Tài liệu Đề thi và đáp án môn Toán cao cấp ppt

Thi toán cao cấp học phần một Trần trung kiên
Đề thi số 1 Thi ngày 20/6/2008 – Đề lẻ
Câu I: a/ Phát biểu và tổ hợp tuyến tính của một hệ véc tơ và sự biểu diễn tuyến tính
của một véc tơ qua một hệ véc tơ trong không gian véc tơ
n
¡
.
b/ Trong không gian
3
¡
, cho
{ }
1 2 3
H A , A ,A ,X=
. Biết rằng tập hợp
{ }
3
1 2 3 1 1 2 2 3 3
T t (t ,t ,t ) : X t A t A t A
= = ∈ = + + ≠ ∅
¡
. Cho nhận định về số phần tử của
T.
Câu II: Xét sự hội tụ của chuỗi số
( )
n 1
n 1 n 1
+∞
=
+ − −
∑

b/ Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm:
( )
n
n
n 1
3n 1
(x 1)
2 3
+∞
=
−
−
+
∑
Câu III: Cho hệ véc tơ
{ }
1 2 3
A (1,0,2); A (3,2,5); A (0,1, ); B (4,2,7)= = = α =
.
Với giá trị nào của α thì
{ } { }
1 2 3 1 2 3
rank A , A ,A rank A , A ,A , B=

Câu IV: Cho hệ phương trình tuyến tính:
AX ,= Ο
trong đó:
2 3 5 3 3
7 8 1 1 2
A

1 2 1 1 0
4 3 5 3 1
− −
 
−
 ÷
=
−
 ÷
 ÷
− −
 
.
Hãy chỉ ra công thức nghiệm tổng quát với
1 4 5
x , x , x
làm ẩn cơ sở và một hệ nghiệm cơ bản của
hệ đã cho.
Hết
1
Thi toán cao cấp học phần một Trần trung kiên
Đáp án đề thi số 1 ngày 20/6/2008 – Đề lẻ
Câu I: b/ Mỗi phần tử của T tương ứng với một cách biểu diễn tuyến tính
của X qua hệ véc tơ
{ }
1 2 3
A ,A ,A
và cũng là tương ứng với một nghiệm của hệ phương
trình tuyến tính
1 1 2 2 3 3

t A t A t A X+ + =
(*1).
Giả thiết
T ≠ ∅
cho phép ta khẳng định hệ phương trình (*1) có nghiệm ⇔
{ } { }
1 2 3 1 2 3
rank A , A ,A rank A ,A ,A ,X=
.
Nếu
{ }
1 2 3
rank A , A ,A 3=
thì hệ (*1) chỉ có một nghiệm (vì hệ (*1) là hệ phương
trình tuyến tính Cramer) ⇒ T chỉ có một phần tử.
Nếu
{ }
1 2 3
rank A , A ,A 2=
thì hệ (*1) có vô số nghiệm phụ thuộc bậc nhất vào một
tham số ⇒ T có vô số phần tử, số các phần tử của nó tương đương với số các điểm của
một đường thẳng.
Nếu
{ }
1 2 3
rank A , A ,A 1=
, (tức là 4 véc tơ
1 2 3
A , A ,A , X
tỷ lệ với nhau và có ít nhất

một trong các véc tơ
1 2 3
A , A ,A
khác véc tơ không) thì hệ (*1) có vô số nghiệm phụ
thuộc bậc nhất vào hai tham số ⇒ T có vô số phần tử, số các phần tử của nó tương
đương với số các điểm của một mặt phẳng.
Nếu
{ }
1 2 3
rank A , A ,A 0=
, (tức là cả 4 véc tơ
1 2 3
A , A ,A , X
đều là những véc tơ
không) thì hệ (*1) có vô số nghiệm phụ thuộc bậc nhất vào ba tham số ⇒ T có vô số
phần tử, số các phần tử của nó tương đương với số các điểm của toàn không gian
3
¡
.
Câu II: a/
( )
n 1
n 1 n 1
+∞
=
+ − −
∑
=
n 1
2

n 1 n 1
+∞
=
+ + −
∑
là chuỗi số dương
Nhận thấy rằng
2 1
2n n 1 n 1 n 2
n
n 1 n 1
> ⇔ > + + − ∀ ≥
+ + −
(*1)
* Tam thức bậc 2:
2
y x x 1= − − có 2 nghiệm:
1 2
1 5 1 5
x vµ x
2 2
− +
= =
nên
2
1 5
x x 1 0 x
2
+
− − > ∀ >

⇒
2
n n 1 0 n n 1 n 2− − > ⇔ > + ∀ ≥ (*2)
*
(
)
2
2
1 3
n n 1 n 0 n n n 1 n 1
2 4
− + = − + > ∀ ⇔ > − ∀ >
(*3)
Từ (*2) và (*3) ⇒ (*1)
Chuỗi
n 1
1
n
+∞
=
∑
phân kỳ, theo dấu hiệu so sánh 1 thì chuỗi
( )
n 1
n 1 n 1
+∞
=
+ − −
∑
phân kỳ.

Cách 2: Đặt
n
2
u
n 1 n 1
=
+ + −
,
n
1
v
n
=
⇒
n
n
n
u
lim 1
v
→+∞
=
, mặt khác chuỗi
n 1
1
n
+∞
=
∑

phân kỳ ⇒ chuỗi
( )
n 1
n 1 n 1
+∞
=
+ − −
∑
phân kỳ.
2
Thi toán cao cấp học phần một Trần trung kiên
b/ Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm:
( )
n
n
n 1
3n 1
(x 1)
2 3
+∞
=
−
−
+
∑
Đề thi số 2 Thi ngày 20/6/2008 – Đề lẻ
Câu I: a/ Phát biểu và chứng minh định lý về điều kiện cần và đủ để một hệ véc tơ là
phụ thuộc tuyến tính.
b/ Dùng định lý trên để chứng tỏ hệ hai véc tơ sau là độc lập tuyến tính:
{ }

1 2
A (2, 3, 0, 1); A (6, 9, 0, 2)= =
.
Câu II: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm:
(
)
n
n 1
n x 5
ln(n 1) 3x 1
+∞
=
+
+ +
∑
Câu III: Cho ma trận
2
1 2
A 1 5 1
1 1 4 2
 
−α α
 ÷
= α
 ÷
− α
 
Với giá trị nào của α thì
rankA 2 ?=

rankA 3 ?=

Câu IV: Cho hệ phương trình tuyến tính:
AX ,= Ο
trong đó:
2 3 5 3 3
7 8 1 1 2
A
1 2 1 1 0
4 3 5 3 1
− −
 
−
 ÷
=
−
 ÷
 ÷
− −
 
.
Hãy chỉ ra công thức nghiệm tổng quát với
1 4 5
x , x , x
làm ẩn cơ sở và một hệ nghiệm cơ bản của
hệ đã cho.
Hết
3