Giản đồ pha điện tử ở mô hình Falicov – Kimball với bất trật tự tuân theo phân bố Gauss.

1

MỤC LỤC
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Danh mục các kí hiệu và chữ viết tắt
Danh mục các hình vẽ, đồ thị
Trang
MỤC LỤC……………………………………………………………… 1
MỞ ĐẦU ……………………………………………………………...

2

CHƢƠNG 1. CHUYỂN PHA KIM LOẠI – ĐIỆN MÔI VÀ ĐỊNH XỨ
ANDERSON……………………………………………………………. 4
1.1. Bức tranh vùng năng lƣợng…..………………………………… 4
1.2 Bức tranh chuyển pha kim loại – điện môi MOTT…..…………. 6
1.3. Định xứ Anderson….. ………………………………………….. 8
CHƢƠNG 2. LÝ THUYẾT MƠI TRƢỜNG ĐIỂN HÌNH CHO ĐỊNH XỨ
ANDERSON…………………………………………………………….. 15
2.1. Sơ lƣợc về hàm Green ………………………………………… 15
2.1.1. Định nghĩa các hàm Green hai thời gian…………………… 15
2.1.2. Phƣơng trình chuyển động cho hàm Green hai thời gian……17
2.1.3. Một ví dụ về tính hàm Green…………………………….... 18
2.2. Lý thuyết mơi trƣờng điển hình cho định xứ Anderson………… 20
2.2.1 Lý thuyết trƣờng trung bình động cho hệ đồng nhất ……….. 20
2.2.2 Lý thuyết môi trƣờng điển hình cho định xứ Anderson…….. 23
CHƢƠNG 3. GIẢN ĐỒ PHA ĐIỆN TỬ Ở FKM VỚI BẤT TRẬT TỰ
TUÂN THEO PHÂN BỐ GAUSS……………………………………… 29
3.1.Mơ hình và hình thức luận………………………………………. 29
3.2. Kết quả tính số và thảo luận…………………………………….. 35

KẾT LUẬN………………………………………………………………. 40
TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………….. 41


2

MỞ ĐẦU
Tƣơng tác giữa các điện tử và bất trật tự đóng một vai trị quan trọng
trong việc hình thành các tính chất của vật rắn. Mặc dù tính chất truyền dẫn
của vật rắn có thể giải thích một cách cơ bản thông qua lý thuyết vùng năng
lƣợng, nhƣng tƣơng tác của các điện tử là nguyên nhân hàng đầu gây nên
trong một số hiện tƣợng vật lý thú vị nhƣ điện môi Mott, siêu dẫn, siêu chảy
v.v. Mặt khác, bất trật tự ln có mặt trong vật liệu thực tế nhƣ tạp chất và
sai hỏng mạng đƣợc thừa nhận có vai trị quyết định cho một loạt tính chất
khác của vật rắn nhƣ thủy tinh spin, hiệu ứng Hall lƣợng tử, hỗn loạn lƣợng
tử v.v. Vì thế, để có thể mơ tả và hiểu đƣợc các tính chất điện tử của vật liệu
cần xem xét đồng thời hai hiệu ứng mất trật tự và tƣơng quan điện tử.
Kết quả nghiên cứu mơ hình liên kết chặt mất trật tự (sau này đƣợc gọi là mơ
hình Anderson) cho thấy bất trật tự đủ lớn sẽ cản trở sự khuyếch tán của hạt
tải. Các quá trình tán xạ ngƣợc kết hợp làm cho các hạt tải bị định xứ. Đặc
biệt, sự định xứ của các trạng thái tại mức Fermi gây ra chuyển pha kim loại –
điện môi, gọi là chuyển pha Anderson. Mặt khác chuyển pha kim loại – điện
môi gây ra bởi tƣơng quan điện tử gọi là chuyển pha Mott. Sự kết hợp giữa
mơ hình Anderson và mơ hình Hubbard tạo nên mơ hình Anderson – Hubbard
(AHM), trong lúc đó sự kết hợp giữa mơ hình Anderson và mơ hình Falicov –
Kimball gọi là mơ hình Anderson – Falicov – Kimball (AFKM). Nhƣ vậy, so
với mơ hình Hubbard (mơ hình Falicov – Kimball) thì AHM (AFKM) đƣợc
bổ sung số hạng thứ ba mô tả thế bất trật tự  i đƣợc phân bố một cách ngẫu
nhiên trên các nút mạng theo hàm phân bố xác suất P   i  nào đó. Các hàm
phân bố xác suất thƣờng đƣợc xét đến là phân bố đều, phân bố Gauss, phân

bố Lorentz và phân bố nhị phân (binary distribusion). Đáng chú ý là việc tìm
kiếm thơng số trật tự để có thể phân biệt đƣợc trạng thái định xứ và trạng thái
lan truyền trong chuyển pha Anderson là một thách thức trong nghiên cứu hệ
điện tử bất trật tự. Dobrosavljevic và các cộng sự đã phát triển lý thuyết mơi
trƣờng điển hình (Typical Medium Theory: TMT) để nghiên cứu các hệ
khơng trật tự, trong đó mật độ trạng thái điển hình (TDOS) đƣợc xấp xỉ bằng
cách lấy trung bình nhân theo các cấu hình khơng trật tự, thay cho mật độ
trạng thái lấy trung bình cộng [1]. Nhóm tác giả này chứng tỏ rằng TDOS triệt


3

tiêu một cách liên tục khi độ lớn của mất trật tự tiến đến giá trị tới hạn và nó
có thể dùng làm thông số trật tự hiệu dụng trung bình cho chuyển pha
Anderson. Giản đồ pha (
) tại
đối với mơ hình AFKM lấp đầy một
nửa thu đƣợc từ lý thuyết mơi trƣờng điển hình TMT cho trƣờng hợp tn
theo phân bố đều trên đoạn
bao gồm 3 pha: kim loại, điện mơi
Mott (có khe cấm) và điện mơi Anderson (khơng có khe cấm) đã đƣợc cơng
bố trong cơng trình của Byczuk [2].
Ở đề tài này chúng tôi sẽ nghiên cứu giản đồ pha ở mơ hình AFKM lấp đầy
một nửa khi bất trật tự tuân theo phân bố Gauss bằng lý thuyết TMT và so
sánh với kết quả của Byczuk nhằm đánh giá ảnh hƣởng của các loại phân bố
tạp lên giản đồ pha tìm đƣợc.
Đề tài luận văn của tơi là: Giản đồ pha điện tử ở mơ hình Falicov –
Kimball với bất trật tự tuân theo phân bố Gauss
Đề tài hƣớng tới những kết quả sau đây:
1) Tìm hiểu về chuyển pha kim loại – điện môi và định xứ Anderson, lý

thuyết trƣờng trung bình động và lý thuyết mơi trƣờng điển hình cho định xứ
Anderson
2) Xây dựng giản đồ pha điện tử ở FKM với bất trật tự tuân theo phân bố
Gauss và so sánh với giản đồ pha ở trƣờng hợp phân bố đều.
Luận văn áp dụng lý thuyết mơi trƣờng điển hình, trong đó kết hợp giữa
DMFT và việc lấy trung bình nhân mật độ trạng thái định xứ. Để đơn giản
hóa việc tính tốn DMFT tuyến tính cũng đƣợc áp dụng ở đây.
Nội dung luận văn có bố cục nhƣ sau
Chƣơng 1: Chuyển pha kim loại – điện môi và định xứ Anderson
Chƣơng 2: Lý thuyết mơi trƣờng điển hình cho định xứ Anderson
Chƣơng 3: Giản đồ pha điện tử ở FKM với bất trật tự tuân theo phân bố
Gauss


4

CHƢƠNG 1: CHUYỂN PHA KIM LOẠI – ĐIỆN MÔI VÀ ĐỊNH XỨ
ANDERSON
Điện mơi hoặc chất dẫn điện kém có khả năng cho ánh sáng đi qua do sự
tồn tại của khe năng lƣợng, Eg . Bởi vì năng lƣợng của ánh sáng nhìn thấy

1.7  3.1

eV  nhỏ hơn năng lƣợng của khe Eg  4 10 eV trong chất điện môi,

hấp thụ photon không xảy ra và vật liệu cho ánh sáng truyền qua. Kim cƣơng,
là chất cách điện tốt, trong suốt và có điện trở suất   1011  1018 m . Kim loại
hoặc chất dẫn điện tốt hấp thụ một phần và phản xạ ánh sáng. Sự phản xạ và
hấp thụ xảy ra do kim loại có vùng dẫn khơng bị lấp đầy. Bạc là một chất dẫn
điện tốt có điện trở suất   108 m và hệ số phản xạ của nó là R  0.90 đối

với ánh sáng nhìn thấy. Khi vật liệu trải qua chuyển pha kim loại – điện môi
(MIT) điện trở suất của nó thay đổi một vài bậc về độ lớn. Ví dụ với V2O3 ,
giản đồ điện trở suất - áp suất đƣợc trình bày trong Hình 1.2a. Tại áp suất
ngoài 20Kbar chuyển pha bậc nhất xảy ra, khi đó điện trở suất của V2O3 thay
đổi 9 bậc. Khi chƣa xét đến bất trật tự, hai tham số điều khiển MIT là cƣờng
độ tƣơng quan điện tử và độ lấp đầy dải điện tử. Cả hai tham số này đều đƣợc
điều khiển thông qua điện trƣờng, từ trƣờng ngoài, áp suất và sự pha tạp hạt
tải. Trong các vật liệu, nơi lý thuyết vùng năng lƣơng áp dụng tốt, điều khiển
tính dẫn điện rất khó, chẳng hạn nhƣ đƣa hạt tải vào kim cƣơng. Ở một số
vật liệu khác tƣơng quan điện tử đóng vai trị chủ đạo trong việc điều khiển
MIT. Ví dụ V2O3.Trạng thái điện mơi của nó đƣợc gọi là điện mơi Mott. Sau
đây là phần giới thiệu vắn tắt về bức tranh vùng năng lƣợng, bức tranh chuyển
pha kim loại – điện môi Mott và định xứ Anderson.
1.1. BỨC TRANH VÙNG NĂNG LƢỢNG
Xét một khí Fermi đƣợc đặt vào thế mạng tinh thể tuần hồn. Nếu thế
Hình.1.1. Bức tranh sơ đồ vùng
năng lượng. EF là năng lượng
Fermi, Eg là khe cấm, k là véc tơ
mạng đảo. Nếu EF cắt với vùng
năng lượng hệ là kim loại.
Nếu EF cắt khe cấm thì hệ là điện
mơi [3].


5

mạng không đổi trong không gian và thời gian, các điện tử đƣợc phân bố đều
trong không gian và tuân theo phân bố Fermi-Dirac trong không gian xung
lƣợng. Khi thế mạng tinh thể tuần hoàn yếu đƣợc đƣa vào V(r) = V(r+R),
trong đó R là véc tơ mạng, các điện tử với véc tơ sóng k nhất định bị phản xạ

Bragg bởi các mặt mạng trong tinh thể, từ đó một khe năng lƣợng (khe cấm)
Eg = 2|V| trong vùng lân cận năng lƣợng Fermi đƣợc hình thành, phân tách
vùng điện tử thành vùng dƣới (vùng hóa tri) và vùng trên (vùng dẫn). Nếu
trạng thái trống thấp nhất đƣợc tách ra khỏi trạng thái đầy cao nhất bởi khe
năng lƣợng (khe cấm) thì hệ là điện mơi. Trong trƣờng hợp này, điện trƣờng
ngồi yếu khơng làm thay đổi sự phân bố điện tử và do đó khơng thể gây ra
dịng điện. Khi số lƣợng điện tử trên mỗi ô cơ sở là chẵn (lẻ) vùng hóa trị ln
bị lấp đầy hoàn toàn (một phần). Nếu Eg  0 và mức Fermi cắt với một trong
các vùng năng lƣợng thì hệ là kim loại. Khi mức Fermi nằm trong khe cấm hệ
là điện mơi và Eg càng lớn thì tính cách điện của vật liệu càng tốt. Lƣợc đồ
cấu trúc vùng đơn giản đƣợc trình bày ở Hình1.2. Năng lƣợng điển hình của
khe cấm khoảng vài eV và năng lƣợng nhiệt kBT  1/ 40 eV khơng đủ để tạo ra
dịng điện tử.
Sự chuyển pha kim loại – điện môi xảy ra nếu một vật liệu đƣợc pha tạp
bởi các hạt tải điện hoặc nếu cấu trúc mạng đƣợc sắp xếp lại do một áp lực
ngồi. Ở trạng thái điện mơi, mức Fermi nằm trong khe cấm, sự pha tạp vừa
đủ của các điện tử làm cho mức Fermi EF dịch chuyển lên trên vùng điện tử
lấp đầy thấp nhất và hệ trở thành kim loại, hoặc ngƣợc lại. Sự tác động của
áp lực ngoài làm thay đổi đáng kể thế mạng hiệu dụng và dẫn tới sự thay
đổi độ rộng của khe cấm. Khi khe cấm nằm trong vùng lân cận mức Fermi bị
triệt tiêu hoặc phát sinh, MIT xảy ra.
Lý thuyết vùng năng lƣợng khơng tiên đốn đƣợc cách hành xử của các
ôxit kim loại chuyển tiếp (V2O3, NiO, Fe3O4 …) và điện mơi Mott. Một số
ơxít kim loại chuyển tiếp là chất cách điện mặc dù chúng có số lẻ điện tử trên
mỗi ô cơ sở. Điều này khơng phù hợp với lý thuyết vùng. Ví dụ các oxit
Fe3O4 và Fe2O3 có cấu trúc mạng nhƣ nhau và có 5.5 và 5 điện tử tƣơng ứng
trên mỗi ơ cơ sở. Tuy thế chất đầu tiên dẫn điện tốt hơn 1011 lần so với chất
thứ hai. Lý thuyết vùng khơng thể giải thích đƣợc pha điện mơi khi vùng năng

6

lƣợng bị lấp đầy một phần, cũng nhƣ ở trƣờng hợp sự lấp đầy khơng ngun.
Một ví dụ khác là V2O3 lẽ ra phải là một kim loại trong giản đồ pha, trong khi
nó lại thể hiện chế độ điện mơi (xem Hình.2b) ở nhiệt độ thấp

Hình.1.2: a) Điện trở suất như là hàm của áp suất ở V2O3 tại các độ pha tạp
khác nhau .Sự thay đổi đột ngột của điện trở suất là hệ quả của chuyển pha
kim loại – điện môi. b) Sơ đồ pha cho V2O3. Lý thuyết vùng dự đoán là pha
kim loại trên cả sơ đồ pha, tuy nhiên số liệu thực nghiệm chứng minh sự tồn
tại của pha điện môi tại nhiệt độ thấp [4]
1.2. BỨC TRANH CHUYỂN PHA KIM LOẠI – ĐIỆN MƠI MOTT
Các chất điện mơi hình thành do tƣơng quan điện tử đƣợc gọi là điện môi
Mott. Xét một hệ điện tử đƣợc lấp đầy một nửa với các vùng năng lƣợng hẹp,
đƣợc mô tả bởi Hamiltonian Hubbard sau đây:
H    tij f i† f j    nˆi  U  nˆi nˆi
ij ,

i

i

(1.2.1)


7

Trong đó, fi† , fi là tốn tử sinh hủy điện tử tại nút i có spin  ; tij là tham
số nhảy nút của điện tử từ nút j sang nút i xét trong lân cận gần nhất và số hạng
đầu của Hamiltonian mô tả động năng của hệ điện tử;  là thế hóa học; U là

tƣơng tác Coulomb địa phƣơng của hai điện tử trên cùng một nút trong mạng
và số hạng sau của Hamiltonian mô tả thế năng của hệ; ni  fi† fi là toán tử số
hạt tại nút i. Mặc dù mơ hình Hubbard rất đơn giản, nó cho phép mơ tả pha
điện mơi Mott và chuyển pha MIT giữa pha điện môi Mott và pha kim loại.
Thật vậy, hệ là kim loại hay điện môi phụ thuộc vào tỉ lệ giữa khe năng lƣợng
và cƣờng độ của tƣơng quan điện tử - điện tử, 2t / U . Khi tƣơng quan điện tử điện tử là không đáng kể , t / U 1 , điện tử nhảy giữa các nguyên tử và hệ là
kim loại. Trong giới hạn nguyên tử, t / U 1 , tƣơng quan điện tử - điện tử
chiếm ƣu thế, các điện tử đƣợc định xứ mạnh và hệ là điện mơi.

Hình.1.3. a) Sơ đồ chuyển pha Mott, trong đó khi tương quan điện tử giảm phân
vùng Hubbard dưới (LHB) và phân vùng Hubbard phía trên (UHB) bắt đầu phủ
nhau và hệ trở thành kim loại. b) Phổ phát xạ và các tính tốn của lý thuyết
trường trung bình động cho V2O3 . Đỉnh chuẩn hạt ( E  EF  0 ) và LHB được
nhìn thấy rõ ràng, tuy nhiên đỉnh chuẩn hạt rộng hơn nhiều so với dự đốn của
mơ phỏng theo lý thuyết trường trung bình động [5]. Đỉnh chuẩn hạt
( E  EF  0 ) và LHB được nhìn thấy rõ ràng, tuy nhiên đỉnh chuẩn hạt rộng hơn
nhiều so với dự đoán của mơ phỏng theo lý thuyết trường trung bình động.
Sơ đồ chuyển pha Mott đƣợc trình bày trong Hình 1.3.a. Chúng ta hãy
xem xét một hệ lấp đầy một nửa và xen phủ nhỏ của các quỹ đạo nguyên tử,
tức là độ rộng vùng 2D


U . Năng lƣợng   E0  N  1  E0  N  cần để tăng


8

thêm một điện tử đƣợc cho bởi    N  L   U  D (N là số điện tử và L là số
nút mạng), ở đây kích thích điện tích với năng lƣợng U đƣợc xem là linh
động, sao cho chúng tạo thành một vùng rộng D nhƣ trong trƣờng hợp các

điện tử không tƣơng tác. Vùng này gọi là phân vùng Hubbard trên, nói chung
khơng phải là vùng đơn điện tử và nó mơ tả phổ kích thích điện tích khi một
điện tử đƣợc thêm vào trạng thái cơ bản. Năng lƣợng cần thiết để loại bỏ một
điện tử là    N  L   E0  N   E0  N  1  2 D . Phổ tƣơng ứng tạo thành phân
vùng Hubbard dƣới. Cả hai phân vùng đƣợc trình bày trong Hình.1.3a. Khi
D U chúng ta chờ đợi rằng thế hóa học khơng liên tục và khe năng lƣợng
  N  L   U  D  0 , hai phân vùng tách nhau, do đó hệ là điện môi. Nếu độ

xen phủ nhau của các quỹ đạo nguyên tử tăng U  D , hai phân vùng bắt đầu
chạm nhau, chuyển pha kim loại – điện môi xảy ra. Khi U D các phân vùng
phủ nhau, khe cấm biến mất và hệ là kim loại.
Năng lƣợng khe cấm của chất điện môi vào cỡ eV, trong đó 1 eV ~ 104K,
vƣợt quá thang năng lƣợng (nhiệt độ Neel) đƣợc dự đoán bởi Slater, Eg  kBTN .
Nếu lực đẩy trong chất điện môi là lớn so với động năng, độ ổn định của điện
môi đƣợc đảm bảo.
Mặc dù lý thuyết Mott-Hubbard đã mô tả tốt các trạng thái điện mơi,
nhƣng nó khơng mơ tả đƣợc chính xác các trạng thái kim loại. Trong các kim
loại tƣơng quan, đỉnh chuẩn hạt nằm tại mức
Hubbard dƣới,

Fermi, ngoài phân vùng

đƣợc quan sát thấy trong các thí nghiệm phát quang. Ví dụ

phổ của V2O3 đƣợc thể hiện trong Hình.1.3.b. Lƣu ý rằng các thí nghiệm phát
quang chỉ phân giải các trạng thái bị chiếm đóng và do đó khơng thể phân giải
phân vùng Hubbard trên. Ngoài ra, ở bức tranh MIT trên đây bất trật tự chƣa
đƣợc đề cập đến. Phần tiếp theo sẽ giới thiệu chuyển pha kim loại – điện môi
Anderson.
1.3. ĐỊNH XỨ ANDERSON

Chuyển tiếp định xứ Anderson là chuyển pha kim loại – điện môi đƣợc
gây ra bởi mất trật tự.
Khi một điện tử lan truyền trong một thế tuần hoàn, sự giao thoa của các
thành phần phản xạ và truyền qua của hàm sóng tạo ra các dải và khe cấm
trong phổ năng lƣợng của điện tử. Với năng lƣợng xác đinh ở một dải, nếu


9

mật độ trạng thái khác khơng, hàm sóng điện tử tƣơng ứng trải rộng trên toàn
bộ cấu trúc. Trong một tinh thể thực, sự tán xạ của hàm sóng điện tử với các
tạp chất làm xuất hiện điện trở và độ dẫn điện hữu hạn. Theo vật lý cổ điển,
điện tử lan truyền trong kim loại theo cơ chế khuếch tán và có thể mơ tả nó
nhƣ là sự dịch chuyển ngẫu nhiên: sau mỗi va chạm điện tử không cịn ghi
nhớ chuyển động trƣớc đó của nó, và do đó mật độ hạt n  r , t  tn theo
phƣơng trình
n
 D 2 n,
t

(1.3.1)

trong đó D là hệ số khuếch tán. Mật độ n  r , t  có thể đƣợc hiểu nhƣ mật độ
hạt, nhƣng cũng có thể hiểu là xác suất tìm thấy một hạt ở tọa độ r tại thời
điểm t. Nếu điện tử bắt đầu dịch chuyển từ một điểm xác định ở thời điểm ban
đầu ( t  0 ), độ dịch chuyển bình phƣơng trung bình tại thời điểm t, khi thời
gian đủ dài là
r  t   2Dt ,
2

t  .

(1.3.2)

Từ biểu thức (1.3.2), gọi l là quãng đƣờng tự do trung bình và  là thời
gian giữa hai lần va chạm liên tiếp, ta có thể viết đƣợc hằng số khuếch tán
nhƣ sau
D

trong đó vF 

k l
l 2 vF l

 F ,
2
2
2m

(1.3.3)

kF
là tốc độ của điện tử ở bề mặt Fermi, m là khối lƣợng của
m

nó, kF là véc tơ sóng Fermi.
Khi vật dẫn đƣợc đặt trong một điện trƣờng E, điện tử nhận xung lƣợng từ
trƣờng ngoài, và nó có tốc độ cuốn: theo mơ tả cổ điển, hạt đƣợc giả định có
xung lƣợng hồn tồn xác định trên quãng đƣờng tự do trung bình l và xung
lƣợng của nó giảm xuống sau mỗi lần tán xạ với tạp chất. Ở trạng thái cân

bằng, tốc độ mà điện tử đƣợc gia tốc nhờ trƣờng ngoài bằng tốc độ mà nó bị
tán xạ do tạp chất . Lƣu ý rằng chỉ có các điện tử ở gần với mức Fermi EF


10

mới tham gia vào quá trình dẫn điện và biểu thức của độ dẫn điện là
  ne2 / m , với mật độ điện tử linh động n liên hệ với mật độ trạng thái tại

mức Fermi đƣợc tính theo công thức:   EF   n / EF  2n / mvF2 . Kết hợp 2 công
thức này với công thức của hằng số khuếch tán và thời gian phục hồi  ở
(1.1.3), chúng ta thu đƣợc liên hệ giữa độ dẫn điện với hằng số khuếch tán
nhƣ sau:
  e 2 D   EF  ,

(1.3.4)

trong đó e là điện tích của điện tử. Theo bức tranh này, khi mất trật tự của hệ
tăng, tức là nồng độ tạp chất tăng, quãng đƣờng tự do trung bình của điện tử
giảm, dẫn tới D giảm và độ dẫn điện giảm. Với mất trật tự mạnh, tuy nhiên
chúng ta vẫn chờ đợi một độ dẫn điện  hữu hạn. Tuy nhiên, trong báo cáo
hội thảo năm 1958, Anderson cho rằng, khi mất trật tự vƣợt qua một giá trị tới
hạn, thì biểu thức (1.3.4) khơng cịn đúng nữa, điện tử bị bẫy và sự chuyển
động khuếch tán của nó bị dừng hồn tồn [6]. Ý tƣởng này ban đầu đƣợc đƣa
ra để giải thích một số kết quả thực nghiệm của nhóm của Feher, theo đó thời
gian phục hồi của các spin điện tử trong chất bán dẫn pha tạp dài một cách bất
thƣờng. Đặc biệt, Anderson đƣa ra giả thuyết rằng, khi quãng đƣờng tự do
trung bình của điện tử nhỏ hơn chiều dài bƣớc sóng Fermi F  2 / kF , thay vì
cho rằng các điện tử nhƣ là các sóng lan truyền với thời gian sống ngắn,
chúng có thể đƣợc xem nhƣ các sóng bị giam cầm trong khơng gian với thời

gian sống dài. Hàm sóng   r  của điện tử đƣợc định xứ theo hàm mũ xung
quanh một tâm r0 , trên một khoảng cách  , đƣợc gọi là độ dài định xứ, và
chúng ta có
 r 

2

 r  r0
A exp  




.


(1.3.5)

Để giải thích hiện tƣợng định xứ xuất hiện nhƣ thế nào, Anderson đã sử
dụng mô hình liên kết chặt trong một mạng tinh thể mất trật tự, mơ hình này
đã trở thành mơ hình mẫu trong nghiên cứu hiện tƣợng định xứ. Trong mơ
hình Anderson, điện tử chịu ảnh hƣởng của một thế ngẫu nhiên  i tại mỗi nút
i của mạng tinh thế, và nó có thể nhảy qua các nút lân cận nhờ số hạng nhảy


11

nút t. Sự tƣơng tác giữa điện tử với điện tử đƣợc bỏ qua. Hamiltonian của mơ
hình này có dạng [6]
H    i c i c i  t  c i c j  h.c.,

†

i

†

ij

(1.3.6)

trong đó tham số ngẫu nhiên  i đƣợc phân bố độc lập và đồng nhất, chẳng
hạn với dạng phân bố hộp (đều) sau đây:
 1
 W,

p  i   
0 ,


 W W
,
 2 2 
.
 W W
 i   , 
 2 2

 i  

(1.3.7)

Nếu W = 0 hàm riêng của mơ hình là các trạng thái Bloch, còn trong
trƣờng hợp ngƣợc lại, nếu t  0 Hamiltonian là chéo và mỗi trạng thái riêng
đều định xứ hoàn tồn trên mỗi nút của mạng tinh thể. Điều gì xảy ra giữa hai

Hình 1.4. Các hàm sóng định xứ ở vật liệu bất trật tự 2 chiều [7]
trƣờng hợp giới hạn này căn cứ vào tỉ số W / t : nếu nó lớn, có rất ít khả năng
để điện tử tìm thấy một mức năng lƣợng sát nhau và không quá xa nhau trong
không gian, và nhƣ thế sự chồng chập của hàm sóng ở các nút tƣơng ứng là


12

không đáng kể. Để hiểu rõ hơn điều này chúng ta xét một Hamiltonian gồm 2
nút mạng, với số hạng chéo  1 ,  2 và số hạng nhảy nút t.
Dễ dàng thực hiện việc chéo hóa nó. Rõ ràng trong trƣờng hợp này độ lệch
của các trạng thái riêng với các véc tơ trên nút ban đầu t chịu sự chi phối của
tỉ số

t
và sự chênh lệch giữa các giá trị năng lƣợng riêng E1 và E2 đƣợc
1   2

cho bởi 1   2   t 2 . Bởi vậy, nếu 1   2
2

t , hàm riêng gần đúng bằng các

hàm sóng trên nút ban đầu, trong khi nếu 1   2

t chúng ta thu đƣợc hai

trạng thái riêng trong đó xác xuất đƣợc chia sẻ giữa các nút (cộng hƣởng).
Trong mơ hình Anderson chúng ta có thể tƣởng tƣợng rằng, nếu mất trật tự
mạnh  W

t  sẽ có một vài cộng hƣởng cơ lập và các hàm sóng gần đúng

bằng các véc tơ sóng trên nút. Trong trƣờng hợp này điện tử bị bẫy xung
quanh một tâm và hàm sóng của nó đƣợc cho bởi hàm bao. Ngƣợc lại khi số
hạng nhảy nút đủ mạnh so với mất trật tự, chúng ta sẽ có nhiều cộng hƣởng
phủ nhau và hệ sẽ có thuộc tính kim loại.
Các trạng thái riêng định xứ đƣợc chờ đợi xuất hiện trong đuôi phổ năng
lƣợng. Lý do trực quan đầu tiên là những trạng thái này có nguồn gốc từ năng
lƣợng ngẫu nhiên lớn, và do đó, có thể trơng đợi chúng bị ảnh hƣởng bởi mất
trật tự nhiều hơn các trạng thái tại tâm phổ. Lý do thứ hai đƣợc đề xuất bởi
Lifshitz: nhƣ đã đề cập ở trên, sự khuếch tán có thể xảy ra nếu bƣớc sóng
Fermi F của điện tử nhỏ hơn rất nhiều qng đƣờng tự do trung bình. Do đó,
một tiêu chuẩn trực quan cho xuất hiện định xứ là điều kiện
F

l.

(1.3.8)


13

Vì các trạng thái thuộc đi phổ có chiều dài bƣớc sóng lớn hơn so với các
trạng thái ở trung tâm, chúng ta kì vọng sự định xứ xảy ra đầu tiên ở đuôi phổ.

Đối với mỗi giá trị mất trật tự W có một năng lƣợng giới hạn Ec, đƣợc gọi là
biên độ linh động (mobility edge), chia tách các trạng thái định xứ với các
trạng thái phi định xứ. Trong trƣờng hợp của mơ hình Anderson, chúng đƣợc

Trạng thái định xứ

Trạng thái định xứ
Trạng thái
lan truyền

Hình.1.5. Các trạng thái định xứ xuất hiện đầu tiên ở đuôi vùng, như chờ
đợi trực quan. Với một giá trị ấn định của bất trật tự W < Wc, bằng cách
thay đổi mức Fermi so với đuôi vùng, chuyển pha kim loại – điện mơi có thể
xảy ra trong hệ.
 E
biểu diễn định tính trong Hình.1.5. Mật độ trạng thái   đối xứng và hai
biên độ linh động Ec1 và Ec2 tách biệt, với mỗi giá trị của W các trạng thái

định xứ nằm từ phần đuôi vùng đến các trạng thái lan truyền ở phần tâm
vùng. Bằng cách thay đổi mức Fermi EF so với biên độ linh động có thể thu
đƣợc quá trình chuyển pha kim loại – điện môi tại nhiệt độ bằng không (T =
0K). Đặc biệt, nếu EF > Ec1 hệ vận hành nhƣ kim loại, trong trƣờng hợp ngƣợc
lại thì nhƣ một chất điện mơi. Tồn tại một giá trị tới hạn Wc của bất trật tự để
Ec1 = Ec2 , và tất cả các trạng thái trong phổ đƣợc định xứ nhƣ đƣợc chỉ ra ở
Hình 1.6.


14

Điện mơi

Anderson

Kim loại
Khe

Khe

E
Hình 1.6. Giản đồ pha định tính của mơ hình Anderson trên mặt phẳng W-E.
Với mỗi giá trị của bất trật tự W, có 2 biên vùng đối xứng và khi bất trật tự
tăng quá giá trị tới hạn Wc thì tồn bộ phổ đều bị định xứ. Các đường đứt nét
chỉ các biên vùng mà phía ngồi nó mật độ trạng thái bằng khơng [7].
Trực giác của Anderson và khám phá cơ chế của định xứ Anderson thể hiện
sự phá vỡ bức tranh khuếch tán thông thƣờng: chất điện môi của Anderson
không liên quan đến việc lấp đầy các dải mà liên quan đến sự hình thành các
bẫy điện tử trong mạng do có bất trật tự [7].


15

CHƢƠNG 2. LÝ THUYẾT MƠI TRƢỜNG ĐIỂN HÌNH CHO ĐỊNH
XỨ ANDERSON
2.1.

SƠ LƢỢC VỀ HÀM GREEN

Vào những năm 1950 - 1960 các hàm Green lƣợng tử đƣợc Feynman
và Schwinger đề xuất nhƣ là các hàm truyền trong lý thuyết trƣờng lƣợng tử.
Ngay sau đó chúng đƣợc mở rộng cho vật lí thống kê và hệ nhiều hạt. Hàm
Green vật lý có thể là hàm Green một hạt hay hàm Green nhiều hạt. Khi hàm

Green đƣợc xác định thì các tính chất vật lý của hệ tƣơng ứng cũng đƣợc xác
định theo. Trong phần này sẽ đƣa ra các định nghĩa về hàm Green trong vật lý
lƣợng tử đƣợc Zubarev đƣa ra vào năm 1960 để giải gần đúng các bài toán
trong hệ tƣơng quan mạnh.
2.1.1 Định nghĩa các hàm Green hai thời gian.
 Hàm Green trễ Gr.

 



G r t , t '  i t  t '





A t  B t 

r



A t  B t 

a

 At  , B t ' 



 

.

(2.1.1)

.

(2.1.2)

 Hàm Green sớm Ga.

 



G a t , t '  i t '  t



 At  , B t ' 


 

 Hàm Green nhân Gc

 



Gc t , t '  i A t  , B t '

 G† (t, t').

(2.1.3)

Trong các cơng thức trên:
Tốn tử sắp xếp thứ tự thời gian từ lớn đến nhỏ:



A t  , B t '

   t  t ' A t  B  t '    t ' t  B  t ' A t .

Hàm Heaviside (hàm bƣớc)

.


16

Ở đây

...

là kí hiệu lấy trung bình thống kế của hệ, tức



nghịch đảo và Z  Tr  e   là hàm phân hoạch của hệ.
là X 



1
1
là nhiệt độ
Tr e   H X , với H là Hamiltonian của hệ,  
Z
T
 H



A  t  và B t '

là toán tử phụ thuộc thời gian trong biểu diễn

Heisenberg và tiến hóa theo quy luật



A  t   eiHt AeiHt ; B t '  eiHt BeiHt

Tùy theo các hạt là Fermion (   1 ) hoặc boson (  1) mà

 A, B  AB   BA là giao hoán tử hay phản giao hốn tử.





 

Từ định nghĩa ta có: Khi t < t’ thì  t  t '  0 , tức là G r t , t '  0 . Khi





 

t > t’ thì  t '  t  0 , tức là G a t , t '  0.
Xét hàm Green đối với hệ cân bằng ( tức là Hamiltonian không phụ
thuộc vào thời gian) thì hàm Green hai thời gian chỉ phụ thuộc vào hiệu số
giữa hai thời gian G  t , t    G  t  t   .
Chứng minh: xét hàm Green trễ:

G r  t , t    i  t  t    A  t  , B  t   







 i  t  t   A  t  B  t     B  t   A  t  .

(2.1.4)

Mặt khác ta có:






1
Tr e   H A  t  B  t  

1
 Tr e   H eiHt Ae iHt eiHt Be iHt

1
iH t t 
 iH t t 
 Tr e   H e   Ae   B .


A t  B  t  







Nhƣ vậy hàm Green trễ (2.1.4) chỉ phụ thuộc vào hiệu t  t  .
Vì vậy ta có thể sử dụng phép biến đổi Fourier thuận nghịch

(2.1.5)


17

G  t  t  



d
 i  t t  
.
 2 G   e


G   



 dtG  t  e

it

(2.1.6)

.

(2.1.7)



2.1.2. Phƣơng trình chuyển động cho hàm Green hai thời gian.
Phƣơng trình chuyển động cho hàm Green hai thời gian có thể nhận
đƣợc bằng cách lấy đạo hàm theo thời gian cho hàm Green.
Xét phƣơng trình chuyển động cho hàm Green trễ:

i

G r  t  t     t  t  
 A  t 


, B t 
 A  t  , B  t      i  t  t ' i
t
t
 t
 

G r  t  t  
i
   t  t 
t
G r  t  t  
i
   t  t 
t

 A  t  , B  t '    i  t  t    A, H   t  , B  t    

 A  t  , B  t '   

 A, H t  B  t 

(2.1.8)

.

Với hàm Green sớm ta cũng thu đƣợc kết quả tƣơng tự.
Vậy phƣơng trình chuyển động cho hảm Green hai thời gian có dạng:

i

G  t  t  
   t  t    A  t  , B  t '   
t

 A, H  t  B  t 

.

(2.1.9)

Lấy ảnh Fourier cho phƣơng trình (2.1.9) ta thu đƣợc

 AB



  A, B  

 A, H  B



.

(2.1.10)

Phƣơng trình (2.1.10) đƣợc gọi là phƣơng trình chuyển động cho hàm
Green viết dƣới dạng tần số.


18

2.1.3.

Một ví dụ về tính hàm Green.

Bài tốn: Tính hàm Green của hệ điện tử trong mơ hình Hubbard ở các
trƣờng hợp riêng U = 0 và t = 0
Hamiltonian Hubbard trong tập thống kê lớn





1
H  H 0  H1   tij   ij ci† c j  U  ni ni  .
2 i

ij

(2.1.11)

Với ni  ci† ci là tốn tử số hạt; tij là thơng số nhảy nút của điện tử từ
nút j sang nút i; U là tƣơng tác Coulomb địa phƣơng của hai điện tử trên nút i.
Ta có :

ck ' , H     tij   ij  ck ' , ci† c j  
ij

1
U  ck ' , ni ni  
2 i

1
   tij   ij  c j  ki  '  U   ci ci† ci   ki  '  ci† ci ci   ki   ' 
2 i
ij

(2.1.12)

   tkj   kj  c j '  Unk  ' ck ' .
j

Ta có phƣơng trình chuyển động cho hàm Green của hệ :
Gij     ij   Gij     tim Gmj    U

ci† c i  ci c †j

m

ilm,j   

ci† c l  cm c†j

.

,

(2.1.13)

(2.1.14)

Phƣơng trình (2.1.13) trở thành:
(   )Gij     ij   tim Gmj    U iii , j   .
m

(2.1.15)

 Xét giới hạn U = 0 . Phƣơng trình (2.1.15) với lƣu ý tim  t với lân
cận gần nhất ta đƣợc:
(   )Gij     ij  t  Gmj   .
m

Chuyển sang biểu diễn Fourier theo tọa độ:

(2.1.16)

19


1
ik  R  R 
e i j Gk  k , 

Gij   
N k


1
ik  R  R 
e i j
.
 ij 

N k


1
ik  R  R   ik 
e i j
Gk  k , 
 Gmj   

N k
m







(2.1.17)



Từ (2.1.16) và (2.1.17) suy ra:





Gk k ,  

1

 

    k

,

(2.1.18)

với   k   t  eik  .


Đây là hàm Green của điện tử linh động khi bỏ qua tƣơng tác. Hệ luôn
là kim loại.
 Xét giới hạn t  0 .
Ta tính:
Với

iii,j   

ci† c i  ci c†j

.

    U  iii, j  ij n   tim  iim, j

 imi , j  iim, j  .

Ta sử dụng gần đúng nguyên tử: tij  0 khi i  j và đặt tii   k ta thu
đƣợc:
iii , j     ij

n
.
    k U

(2.1.19)

Từ (2.1.15) và (2.1.19) ta thu đƣợc kết quả:

Gij   

1  n
n

.
    k     k  U

(2.1.20)

Đây là hàm Green của điện tử khơng linh động (khơng có nhảy nút).
Điện tử bị định xứ và hệ là điện môi [8].


20

2.2.

LÝ THUYẾT MƠI TRƢỜNG ĐIỂN HÌNH CHO ĐỊNH XỨ

ANDERSON
2.2.1. Lý thuyết trƣờng trung bình động cho hệ đồng nhất
Trong lý thuyết trƣờng trung bình động, bản chất vật lý của bài toán hệ
nhiều hạt đƣợc quy về bài toán ở các mơ hình đơn tạp đƣợc liên kết tự hợp
với một mơi trƣờng hiệu dụng. Để lấy ví dụ, ta xét mơ hình Hubbard có
Hamiltonian đƣợc cho ở cơng thức (1.2.1) ở Chƣơng 1.

Hình 2.1: Hình minh họa cho hệ có sự tương tác giữa các nút
Giả sử có một hệ thỏa mãn tính bất biến tịnh tiến nhƣ trong Hình 2.1.
Xét một nút bất kì trong hệ, nếu số nút lân cận tiến tới vô cùng, theo định lý
giới hạn trung tâm những thăng giáng trong không gian là nhỏ và có thể bỏ
qua. Điều này có nghĩa là ảnh hƣởng từ các nút khác có thể đƣợc thay thế

bằng một môi trƣờng hiệu dụng, tức là tất cả các bậc tự do trên các nút khác
sẽ đƣợc tích hợp nhƣ là một bể ngoài đối với nút đã cho, đƣợc thể hiện ở Hình
2.2 . Do đó động lực học tại nút đã cho ấy (tạp) có thể đƣợc coi là sự tƣơng
tác (sự lai hóa) của nút này với bể. Hơn thế nữa, bể này tự nó khơng tƣơng
tác.

Bể

Hình 2.2: Hình minh họa của phương pháp
hốc


21

Bây giờ phƣơng trình Hamiltonion hiệu dụng đƣợc viết lại dƣới dạng:
†
†
H    c
c    f    nˆ  Unˆi nˆi      c
f  f† c  ,







(2.2.1)

trong đó, số hạng đầu là năng lƣợng của điện tử dẫn; số hạng thứ hai biểu hiện

năng lƣợng của tạp; số hạng thứ ba là thế năng tƣơng tác Coulomb ở tạp;   là
tham số lai hóa giữa tạp và bể. Chỉ số  là bậc tự do của trạng thái điện tử
của bể. Do đó bài tốn hệ nhiều hạt chuyển thành bài toán tạp lƣợng tử. Chú ý
rằng đến tƣơng tác Coulomb chỉ tồn tại ở nút tạp.
Nếu năng lƣợng của các điện tử tƣơng quan   và tham số lai hóa   đã
biết, chúng ta có thể thu đƣợc hàm Green G  cho tạp khi lực tƣơng tác
Coulomb U  0 . Hàm Green này chứa tất cả các thơng tin của bể. Do đó nếu
biết đƣợc hàm Green thì sẽ biết đƣợc bể. Sau đó chúng ta có thể tính tốn và
thu đƣợc hàm Green G  i  với

i biểu thị tần số trên trục

U tùy ý.

Matsubara.
Ý tƣởng vật lý của lý thuyết trƣờng trung bình động dựa trên việc nhận
thấy rằng năng lƣợng riêng
hạn vô hạn chiều. Tức là

  k , i  trở thành không phụ thuộc k trong giới
  k , i    i  . Cách tính hai đại lƣợng này
n

n

nhƣ sau: Năng lƣợng riêng trong vơ hạn chiều có thể đƣợc suy ra từ lý thuyết
nhiễu loạn, chỉ chứa các phần tử địa phƣơng.

  r , r , i     i 
i

j

n

n

i, j

.

(2.2.2)

Trong đó in là tần số Matsubara, ri , rj là vị trí nút mạng i và j. Năng
lƣợng riêng chỉ phụ thuộc vào hàm Green địa phƣơng.

  in  

 G  in  
 G  in 

.

(2.2.3)

Trong đó  G  in   là hàm Luttinger-Ward. Thực tế là năng lƣợng riêng
không phụ thuộc k trong số chiều vô hạn làm cho việc nghiên cứu đơn nút trở


22

nên chính xác trong giới hạn vơ hạn chiều nếu sự thăng giáng cục bộ đƣợc xử
lý chính xác. Khi biết năng lƣợng riêng, chúng ta có thể tìm đƣợc hàm Green
của mạng tại nút i:
Gi  i  

1
N

1
 G  k , i   N  i

1

n

k

k

n

  k      i 

,

(2.2.4)

trong đó  là thế hóa học và  k là độ tán sắc. Hàm Green trần là hàm Green
khơng có tƣơng tác

Gi0  i  

1
N

 i
k

1
n

 k  



1
.
G  in      in 
1

(2.2.5)

Từ định nghĩa của hàm Green G   in  chúng ta có thể có đƣợc mối
quan hệ
Gi0  i   G   in  ,

(2.2.6)

G1  in     in   G 1  in  .

(2.2.7)

và

Do đó, chúng ta thu đƣợc tất cả các thơng tin về bể từ hàm Green của
tạp và năng lƣợng riêng. Đồng thời hàm Green và năng lƣợng riêng cũng
đƣợc xác định bởi bể, thiết lập chính xác bởi G  . Nhƣ vậy, phƣơng trình
(2.2.7) là phƣơng trình tự hợp khép kín. Nghĩa là lời giải tự hợp của các đại
lƣợng cục bộ cho bài toán mạng ban đầu đƣa đến lập luận hợp lý rằng một
đơn tạp kết hợp vơi một bể hiệu dụng là một mơ hình hiệu quả cho bài toán
mạng ban đầu.
Mặc dù lý thuyết trƣờng trung bình động đƣợc dẫn ra trong giới hạn d
→ ∞, nó có kết quả đáng ngạc nhiên trong điều kiện gần đúng số chiều hữu
hạn, ngay cả ở chiều d  3 miễn là sự thăng giáng không gian nhỏ.
Trong lý thuyết trƣờng trung bình động, tất cả các thăng giáng không
gian của năng lƣợng riêng đã bị bỏ qua, trong khi các thăng giáng lƣợng tử
địa phƣơng đƣợc tính đến đầy đủ. Đó là lý do tại sao lý thuyết đƣợc gọi là


23

Đầu vào


Hàm Weiss

Bộ giải tạp

G

Hội Tụ?
Đầu ra

Hình 2.3. Mơ hình minh họa kêt quả tính tốn DMFT và mối quan hệ giữa
DMFT và bộ giải tạp [9]

“thuyết động học”. Ở đây, bộ giải tạp mô tả động lực học địa phƣơng của hệ
nhiều hạt lƣợng tử. Do đó, mơ hình tạp lƣợng tử là một bài toán tƣơng tác hệ
nhiều hạt mà ở đó cần các phƣơng pháp đáng tin cậy để tính năng lƣợng riêng
địa phƣơng của mơ hình tạp. Hơn thế nữa, gần đây lý thuyết trƣờng trung
bình động đƣợc cải tiến để tính đến các thăng giáng không gian cho các cụm
trong không gian xung lƣợng hoặc trong khơng gian thực.
Bằng cách thay thế một mơ hình mạng của hệ nhiều hạt phức tạp bằng
mơ hình đơn tạp, bậc tự do có thể đƣợc giảm đáng kể và do đó bài tốn đƣợc
đơn giản hóa với lý thuyết trƣờng trung bình động. Hơn nữa, mơ hình đơn tạp
đƣợc nghiên cứu rộng rãi. Tất cả các phƣơng pháp đƣợc khai thác để giải mơ
hình đơn tạp Anderson có thể sử dụng để giải phƣơng trình DMFT.
2.2.2 Lý thuyết mơi trƣờng điển hình cho định xứ Anderson
Để nghiên cứu hệ bất trật tự cần phải sử dụng các hàm phân bố của các
đạị lƣợng ngẫu nhiên mà ta quan tâm. Thực ra, trong các bài toán vật lý hay
thống kê ngƣời ta thƣờng quan tâm đến các giá trị “điển hình” của các đại


24

lƣợng ngẫu nhiên đƣợc cho bởi giá trị khả dĩ nhất của hàm phân bố . Tuy
nhiên, trong nhiều trƣờng hợp chúng ta khơng biết đƣợc tồn bộ hàm phân bố
mà chỉ biết đƣợc một số thông tin hạn chế về hệ thống thông qua các moment
hay các cumulant của nó. Trong trƣờng hợp đó điều quan trọng là chọn đƣợc
đại lƣợng trung bình chứa đựng nhiều thơng tin nhất của biến ngẫu nhiên. Ví

dụ, nếu hàm phân bố của biến ngẫu nhiên có một đỉnh và các đi giảm
nhanh thì giá trị điển hình của đại lƣợng ngẫu nhiên có thể ƣớc lƣợng tốt bằng
kỳ vọng, tức là trung bình cộng của nó. Tuy nhiên có nhiều trƣờng hợp, chẳng
hạn nhƣ với mật độ trạng thái địa phƣơng (LDOS) của hệ bất trật tự, biết
đƣợc trung bình cộng là chƣa đủ, vì hàm phân bố trải rộng và do đó đƣợc đặc
trƣng bởi vơ hạn các moment. Vì vậy, khơng ngạc nhiên khi trung bình cộng
của LDOS hồn tồn khơng giống với giá trị điển hình của nó. Nghĩa là, trung
bình cộng của đại lƣợng ngẫu nhiên đơn hạt không là tới hạn tại chuyển pha
Anderson và do vậy khơng mơ tả đƣợc chuyển pha này. Việc tìm kiếm thơng
số trật tự một hạt khả dĩ có thể phân biệt đƣợc trạng thái định xứ và trạng thái
lan truyền trong chuyển pha Anderson là một trong những thách thức chủ yếu
khi nghiên cứu hệ điện tử không trật tự. Trái với trung bình cộng, trung bình
nhân đƣa ra một xấp xỉ tốt hơn cho giá trị khả dĩ nhất của mật độ trạng thái
định xứ. Dobrosavljevic và các cộng sự đã phát triển lý thuyết mơi trƣờng
điển hình TMT để nghiên cứu các hệ khơng trật tự, trong đó mật độ trạng thái
điển hình (TDOS) đƣợc xấp xỉ bằng cách lấy trung bình nhân theo các cấu
hình khơng trật tự, thay cho mật độ trạng thái lấy trung bình cộng. Phần này
trình bày vắn tắt TMT [10].
a. Các điều kiện tự hợp
Nhƣ đã trình bày ở phần trên ý tƣởng chính của DMFT là: trong mạng
có tƣơng tác, một nút mạng đƣợc lấy ra và các nút mạng khác đƣợc ánh xạ
vào một bể các hạt không tƣơng tác. Nhƣ vậy mơ hình mạng đã đƣợc ánh xạ
sang mơ hình “tạp”, bao gồm một nút duy nhất có tƣơng tác (“tạp”) đƣợc lên
kết với một bể hạt không tƣơng tác. Sự liên kết giữa tạp và bể có thể đƣợc mô
tả thông qua hàm lai hay hàm hốc    .
Xét hệ bất trật tự, để hình thành lý thuyết tự hợp cho tham số trật tự,
chúng ta thực hiện theo “phƣơng pháp hốc”. Đây là cách tiếp cận chung mà ta


25

có thể rút ra từ DMFT. Theo cách tiếp cận này, một nút đã cho trƣớc đƣợc
xem nhƣ đƣợc đặt vào một trƣờng hiệu dụng đƣợc mô tả bởi hàm năng lƣợng
riêng định xứ

   . Để đơn giản chúng ta tập trung vào mơ hình liên kết

chặt của các điện tử không tƣơng tác với năng lƣợng nút ngẫu nhiên  i với
phân bố P  i  . Hàm Green định xứ tƣơng ứng có dạng:
1

G  ,  i      i      ,

(2.2.8)

“Hàm hốc” đƣợc cho bởi:

   

o

      ' i ",

(2.2.9)

và

 o     

1

Go  

,

(2.2.10)

trong đó hàm Green mạng

Go    





d 

Ao  '
,
  

(2.2.11)

là biến đổi Hilbert của mật độ trạng thái trần Ao   đặc trƣng cho cấu
trúc vùng.
Cho một trƣờng hiệu dụng đƣợc đặc trƣng bởi năng lƣợng riêng

  

ta đánh giá đƣợc tham số trật tự mà ta chọn là mật độ trạng thái đặc trƣng

TDOS đƣợc cho bởi :

Atyp    exp
trong đó, LDOS A  ,  i   

1



 d P   ln A, ,
i

i

i

(2.2.12)

Im G  ,  i  (mật độ trạng thái địa phƣơng) cho

bởi các phƣơng trình từ (2.2.8) đến (2.2.11). Theo quan hệ nhân quả, hàm