(Sáng kiến kinh nghiệm) phương pháp giải bài toán về tạo số

----------------------------------SKKN: “Phương pháp giải bài toán về tạo số
”------------------------------

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu
Nhiệm vụ trọng tâm trong trường THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt động
học của trò. Đối với người thầy, ngoài việc truyền thụ kiến thức mới, giúp học sinh
củng cố những kiến thức đã học còn cần biết cách tạo cảm hứng học tập cho học sinh,
giúp các em từng bước vượt qua những khó khăn, thử thách mợt cách nhẹ nhàng.
Ḿn học tớt mơn Tốn, các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở mơn
Tốn mợt cách có hệ thớng, biết vận dụng lý thuyết mợt cách linh hoạt vào từng bài
tốn cụ thể. Điều đó thể hiện ở việc học đi đơi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư
duy logic và có óc sáng tạo linh hoạt. Vì vậy, trong quá trình dạy học giáo viên cần
định hướng cho học sinh cách học và nghiên cứu mơn Tốn mợt cách có hệ thống,
biết cách vận dụng lí thuyết vào bài tập, biết cách quy lạ về quen, biết cách biến cái
"không thể" thành cái "có thể".
Tổ hợp là mợt trong những nợi dung quan trọng của chương trình tốn học phổ
thơng. Nợi dung này thường xuyên xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh,
cấp quốc gia, khu vực và Olympic 30/04. Các dạng toán về tổ hợp rất phong phú và
đa dạng và cũng rất phức tạp nên khó phân loại và hệ thống thành các chuyên đề
riêng biệt. Với thực trạng đó rất cần thiết có người thầy hướng dẫn các em tìm ra

1


----------------------------------SKKN: “Phương pháp giải bài toán về tạo số
”------------------------------

phương pháp giải và tìm ra phương pháp giải tối ưu. Chính vì lí do đó nên tơi đã chọn
cho mình đề tài:“Phương pháp giải bài toán về tạo số”.

2. Tên sáng kiến: “Phương pháp giải bài toán về tạo số”.
3. Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: Phạm Thị Hồng Quyền
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Thái Học
- Số điện thoại: 0967.297.005.
- Email:
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến : Phạm Thị Hồng Quyền
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo viên THPT áp dụng vào dạy ôn thi học
sinh giỏi lớp 11, lớp 12 mơn tốn và ơn thi THPT Q́c Gia phần kiến thức lớp 11.
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:
Tháng 12 năm 2017
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
7.1 Nội dung sáng kiến
PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN VỀ TẠO SỐ
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Khi giải các bài toán loại này ta thường áp dụng các mệnh đề sau đây :
Mệnh đề 1. Giả sử ta viết các chữ số theo hàng ngang và m, n là các chữ số
nguyên

dương với m ≤ n thì
2


----------------------------------SKKN: “Phương pháp giải bài tốn về tạo số
”-----------------------------m
a) Sớ cách viết m chữ số trong n chữ số khác nhau vào m vị trí định trước bằng An

.
m
b) Số cách viết m chữ số phân biệt đã cho vào m vị trí trong n vị trí định trước bằng An

(trong đó n-m vị trí còn lại chưa xét sự thay đổi chữ số).
n− m
m
c) Số cách viết m chữ số giống nhau vào m vị trí trong n vị trí định trước bằng Cn = Cn

.
Mệnh đề 2. Cho tập hợp gồm n chữ sớ, trong đó có chữ sớ 0, sớ các sớ có m chữ
n − 1) Anm−−11
(
số khác nhau tạo thành từ chúng bằng
.

B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
DẠNG 1. Số tạo thành chứa các chữ số định trước
Ví dụ 1: Có bao nhiêu sớ tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau sao cho trong đó có
mặt đồng thời ba chữ sớ 0, 1, 2?
Lời giải.
Gọi số tạo thành là a1a2 a3 a4 a5 .
Sớ tạo thành có 5 chữ sớ ở 5 vị trí: ta có 4 cách chọn vị trí cho chữ số 0; số cách

chọn 2 trong 4 vị trí còn lại cho hai chữ số 1 và 2 là
2
còn lại (khác 0,1,2) cho hai vị trí còn lại là A7 .

3

A42

; số cách chọn 2 trong 7 chữ số

----------------------------------SKKN: “Phương pháp giải bài toán về tạo số
”-----------------------------2 2
Theo quy tắc nhân, ta được số các số tạo thành là 4 A4 A7 = 2016.

Ví dụ 2. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau sao cho trong đó có
mặt các chữ sớ 1và 2?
Lời giải.
Gọi số tạo thành là a1a2 a3 a4 a5 .
Xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1. Trong số tạo thành có chữ sớ 0.
Sớ tạo thành có 5 chữ sớ ở 5 vị trí: ta có 4 cách chọn vị trí cho chữ số 0; số cách
2
chọn 2 trong 4 vị trí còn lại cho hai chữ số 1 và 2 là A4 ; số cách chọn 2 trong 7

2
chữ số còn lại (khác 0,1,2) cho hai vị trí còn lại là A7 .

2 2
Theo quy tắc nhân, ta được số các số tạo thành là 4 A4 A7 = 2016.

Trường hợp 2. Trong sớ tạo thành khơng có chữ sớ 0.
Sớ tạo thành có 5 chữ sớ ở 5 vị trí: số cách chọn 2 trong 5 vị trí cho hai chữ số 1
2
và 2 là A5 ; số cách chọn 3 trong 7 chữ số còn lại (khác 0,1,2) cho hai vị trí còn lại là

A73 .

Theo quy tắc nhân, ta được số các số tạo thành trong trường hợp 2 là

4

A52 A73 = 4200.


----------------------------------SKKN: “Phương pháp giải bài toán về tạo số
”------------------------------

Theo quy tắc cợng, ta được sớ phải tìm là 2016+4200=6216.
Bài tốn tổng quát 1. Cho tập hợp gồm n chữ số khác nhau

( n ≤ 10 ) , trong n chữ

số đã cho có chữ sớ 0. Từ chúng có thể viết được bao nhiêu sớ tự nhiên có m chữ sớ
khác nhau sao cho trong đó có mặt k chữ số định trước (thuộc n chữ số trên) với
k < m ≤ n?
Cách giải. Số tạo thành gồm m chữ sớ có dạng a1a2 ...am . Gọi tập hợp k chữ số định
trước là X.
Trường hợp 1. X chứa chữ sớ 0
Ta có m-1 cách chọn vị trí cho chữ số 0; số cách viết k-1 chữ số khác 0 thuộc X
k −1
vào k-1 vị trí trong m-1 vị trí còn lại bằng Am−1 (theo mệnh đề trên); số cách viết m-k

m− k
trong số n-k chữ số không thuộc X vào m-k vị trí còn lại bằng An − k (theo mệnh đề

trên).
Theo quy tắc nhân, ta được số các số tạo thành trong trường hợp 1 là
S = ( m − 1) Amk −−11 Anm−−kk .

Trường hợp 2. X không chứa chữ số 0
Ta tính theo các bước:
Bước 1. Tính số các số tạo thành chứa chữ số 0.
5


----------------------------------SKKN: “Phương pháp giải bài toán về tạo số
”------------------------------

Lần lượt có m-1 cách chọn vị trí cho chữ sớ 0; số cách viết k chữ số thuộc X vào k vị
k
trí trong m-1 vị trí còn lại bằng Am−1 (theo mệnh đề trên); số cách viết m-k-1 trong số

m − k −1
n-k-1 chữ số khác 0 mà không thuộc X vào m-k -1vị trí còn lại bằng An− k −1 (theo

mệnh đề trên).
Theo quy tắc nhân, ta được số các số tạo thành chứa chữ số 0 bằng:
S1 = ( m − 1) Amk −1 Anm−−kk−−11.

Bước 2. Tính số các số tạo thành không chứa chữ số 0.
k
Số cách viết k chữ số thuộc X vào k vị trí trong m vị trí bằng Am (theo mệnh đề

trên); số cách viết m-k trong số n-k-1 chữ số khác 0 mà không thuộc X vào m-k vị trí

còn lại bằng

Anm−−kk−1

(theo mệnh đề trên).

Theo quy tắc nhân, ta được số các số bằng:

S2 = ( m − 1) Amk Anm−−kk−1.

Bước 3. Theo quy tắc cộng, ta được số các số tạo thành trong trường hợp 2 bằng
S = S1 + S 2 = ( m − 1) Amk −1 Anm−−kk−−11 + Amk Anm−−kk−1

DẠNG 2. Số tạo thành chứa hai chữ số định trước khơng cạnh nhau
Ví dụ 3. Cho tập hợp gồm 6 chữ số {0,1,2,3,4,5}. Từ chúng viết được bao nhiêu sớ
có 4 chữ sớ khác nhau sao cho hai chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau?

6


----------------------------------SKKN: “Phương pháp giải bài toán về tạo số
”------------------------------

Lời giải.
Gọi số tạo thành là a1a2 a3 a4 .
Trước hết ta tính số số tạo thành bất kì. Số cách chọn chữ số cho

chọn 3 trong 5 chữ số còn lại cho 3 vị trí còn lại của số tạo thành là

a1

là 5; số cách

A53 .

Theo quy tắc

3
nhân ta được số số là 5. A5 = 300.

Bây giờ ta tính số sớ tạo thành sao cho trong đó có hai chữ số 1và 2 đứng cạnh
nhau.
Giả sử 1 và 2 xếp theo thứ tự 12.

Nếu

a1a2 = 12 : Số cách chọn 2 trong 4 chữ số còn lại cho hai vị trí còn lại của số tạo

2
thành là A4 .

a1a2 ≠ 12 : Số cách chọn vị trí cho12 là 2 ( a2 a3 hoặc a3a4 ) ; số cách chọn chữ số
Nếu
1
cho a1 là 3; số cách chọn 1 trong 3 chữ số cho vị trí còn lại của số tạo thành là A3 = 3;

ta được số số là 2.3.3=18.
Theo quy tắc cộng số số tạo thành sao cho trong đó có chứa 12 là 12+18=30.

7


----------------------------------SKKN: “Phương pháp giải bài toán về tạo số
”------------------------------

Tương tự sớ sớ tạo thành sao cho trong đó có chứa 21 là 30.
Vậy số số tạo thành sao cho không có hai chữ sớ 1và 2 đứng cạnh nhau là
300-2.30=240.

Bài toán tổng quát 2. Cho tập hợp gồm n chữ số khác nhau

( 2 ≤ n ≤ 10 ) . Từ chúng

có thể viết được bao nhiêu sớ tự nhiên có m (m ≤ n) chữ sớ khác nhau sao cho trong
đó có hai chữ sớ định trước khơng đứng cạnh nhau.
Cách giải. Số tạo thành gồm m chữ số có dạng a1a2 ...am và hai chữ sớ định trước là
x, y (thuộc n chữ số đã cho). Ta xét các trường hợp của giả thiết về chữ số x, y và chữ
số 0 như sau:
1) Giả thiết n chữ sớ đã cho có chữ sớ 0
Trường hợp 1. Giả thiết n chữ số đã cho chứa chữ số 0 và hai chữ số định trước x,
y khác 0.
Bước 1. Tính số các số tạo thành chưa xét đến hai chữ sớ định trước; có n-1 cách
chọn chữ sớ cho a1 ; số cách chọn m-1 trong n-1 chữ số còn lại cho m-1 vị trí còn
lại

là

Anm−−11

m −1
( theo mệnh đề nêu trên). Do đó các sớ tạo thành là S1 = (n − 1) An−1 .

8

----------------------------------SKKN: “Phương pháp giải bài toán về tạo số
”------------------------------

Bước 2. Tính sớ các sớ có hai chữ sớ x, y cạnh nhau theo thứ tự

xy và yx.

Xét trường hợp x, y cạnh nhau theo thứ tự xy.
Với a1a2 = xy. Khi đó mỗi sớ a3 ...am ứng với mợt chỉnh hợp chập m-2 của n-2 chữ số
m− 2
khác x, y. Theo mệnh đề trên, sớ các sớ đó bằng S 2 = An − 2 .

Với

a1a2 ≠ xy.

Lần lượt ta có n-3 cách chọn chữ sớ cho a1 khác 0, x, y; m-2 cách

chọn vị trí cho xy ; số cách chọn m-3 trong n-3 chữ số còn lại khác a1 , x, y cho m-3 vị
m− 3
trí còn lại là An− 3 ( theo mệnh đề trên). Theo quy tắc nhân, sớ các sớ đó bằng

S3 = (n − 3)(m − 2) Anm−−33 .

Từ hai trường hợp trên, ta được sớ các sớ có chứa xy bằng S 2 + S 3
Tương tự có S 2 + S 3 sớ có chứa yx.
Bước 3. Vậy sớ các sớ tạo thành trong trường hợp thứ nhất là
S = S1 − 2( S 2 + S3 ) = (n − 1) Anm−−11 − 2 ( Anm−−22 + (n − 3)(m − 2) Anm−−33 ) .

Trường hợp 2. Giả thiết n chữ số đã cho chứa chữ số 0 và một trong hai chữ số
định trước x, y bằng 0.

9


----------------------------------SKKN: “Phương pháp giải bài toán về tạo số
”------------------------------

Bước 1. Tính số các số tạo thành chưa xét đến hai chữ số x, y định trước bằng
S1 = (n − 1) Anm−−11.

Bước 2. Tính sớ các sớ có x, y cạnh nhau dạng x0 và 0x thứ tự bằng
S2 = (m − 1) Anm−−22 ; S3 = ( m − 2) Anm−−22 .

Số các số tạo thành trong trường hợp thứ hai là:

S = S1 − ( S 2 + S3 ) .

2) Giả thiết n chữ số đã cho khơng có chữ sớ 0.
S = Anm − 2(m − 1) Anm−−22 .
ta
cũng
tìm
được
Khi đó

Ví dụ 4 . Từ các chữ số 0 , 2 , 3 , 5 , 6 , 8 có thể lập được bao nhiêu sớ tự nhiên
gồm 6 chữ sớ đơi mợt khác nhau trong đó hai chữ số 0 và 5 không đứng cạnh nhau.
Lời giải

Sớ các sớ có 6 chữ sớ được lập từ các chữ số 0 , 2 , 3 , 5 , 6 , 8 là 6!− 5! .
Số các số có chữ sớ 0 và 5 đứng cạnh nhau: 2.5!− 4! .
6!− 5!− ( 2.5!− 4!) = 384
Số các số có chữ sớ 0 và 5 khơng đúng cạnh nhau là
.

DẠNG 3. Số tạo thành chứa chữ số lặp lại

10


----------------------------------SKKN: “Phương pháp giải bài tốn về tạo số
”------------------------------

Ví dụ 5. Có bao nhiêu sớ tự nhiên có sáu chữ sớ sao cho trong đó có mợt chữ sớ
xuất hiện ba lần, một chữ số khác xuất hiện hai lần và mợt chữ sớ khác với hai chữ sớ
trên?
Lời giải.
• Nếu kể cả trường hợp chữ số 0 đứng đầu, ta xét lần lượt như sau.
3
Có 10 cách chọn chữ sớ xuất hiện 3 lần và có C6 cách chọn 3 trong 6 vị trí cho chữ sớ

2
đó. Sau đó có 9 cách chọn chữ sớ (khác với chữ sớ trên) xuất hiện 2 lần và có C3 cách

chọn 2 trong 3 vị trí còn lại cho chữ sớ đó. Tiếp theo có 8 cách chọn chữ sớ cho vị trí
còn lại ći cùng. Ta được sớ các sớ đó bằng
S = 10.C36 .9.C32 .8 = 720.C36 .C32 .

• Vì vai trò của 10 chữ số 0, 1, …, 9 như nhau nên sớ các sớ có chữ sớ đầu trái là 0

1
S
10
bằng
, do đó sớ các sớ có chữ sớ đầu trái khác 0 thỏa mãn bài tốn bằng
9
S = 648.C36 .C32 = 38880.
10

Bài toán tổng quát 3. Cho tập hợp gồm n chữ sớ

bao nhiêu sớ có m chữ số

( 3 ≤ n ≤ 10 ) . Từ chúng viết được

( n ≥ m ≥ 3) sao cho trong đó có mợt chữ sớ xuất hiện k lần,

mợt chữ số khác xuất hiện q lần và một chữ số khác với hai chữ số trên với
k + q + 1 = m?
11


----------------------------------SKKN: “Phương pháp giải bài toán về tạo số
”------------------------------

Cách giải. Ta xét hai bài toán nhỏ dưới đây
1) Giả thiết n chữ sớ đã cho có chữ sớ 0
Bước 1. Nếu kể cả trường hợp chữ số 0 đứng đầu, ta thấy:
k

Có n cách chọn chữ sớ xuất hiện k lần và có Cm cách chọn k trong m vị trí cho chữ sớ

q

đó. Sau đó có n-1 cách chọn chữ số xuất hiện q lần (khác với chữ số trên) và có Cm− k
cách chọn q trong m-k vị trí còn lại cho chữ sớ đó. Ći cùng có n-2 cách chọn chữ
số vào vị trí còn lại.
Theo quy tắc nhân, ta tính được sớ các sớ đó bằng S = n(n − 1)(n − 2)C mC m− k .
Bước 2. Vì vai trò của n chữ số như nhau nên sớ các sớ có chữ sớ đứng đầu khác 0
k

q

(n − 1)S
= (n − 1) 2 (n − 2)C mk .C qm − k
n
thỏa mãn bài toán bằng

2) Giả thiết n chữ sớ đã cho khơng có chữ sớ 0.
k
q
k q
Khi đó ta cũng tìm được S = n.Cm .(n − 1)C m− k .(n − 2) = n(n − 1)(n − 2)C mC m − k .

Ta có thể mở rợng bài tốn tổng qt cho t chữ sớ trong đó mỗi chữ sớ xuất hiện lần
lượt k1 , k 2 ,...k t lần (k1 + k 2 + ... + k t = m).
Ví dụ 6. Từ các chữ số 2 , 3 , 4 lập được bao nhiêu sớ tự nhiên có 9 chữ sớ, trong
đó chữ sớ 2 có mặt 2 lần, chữ sớ 3 có mặt 3 lần, chữ sớ 4 có mặt 4 lần?
Lời giải
Cách 1: dùng tổ hợp

2
Chọn vị trí cho 2 chữ sớ 2 có C9 cách.

12


----------------------------------SKKN: “Phương pháp giải bài toán về tạo số
”-----------------------------3
Chọn vị trí cho 3 chữ sớ 3 có C7 cách.

4
Chọn vị trí cho 4 chữ sớ 4 có C4 cách.

2
3
4
Vậy sớ các sớ tự nhiên thỏa u cầu bài tốn là C9 C7 C4 = 1260 sớ.

Cách 2: dùng hốn vị lặp
9!
= 1260
Số các số tự nhiên thỏa yêu cầu bài tốn là 2!3!4!
sớ.

DẠNG 4. Tính số số tự nhiên chẵn
Ví dụ 7. Có bao nhiêu sớ tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau?
Lời giải: Gọi số tạo thành là a1a 2 ...a 5 .
Trường hợp 1. a 5 = 0 : Số cách chọn 4 trong 9 chữ số còn lại cho 4 vị trí còn lại là
A 94 = 3024.

Trường hợp 2. a 5 ≠ 0 : Lần lượt ta có
4 cách chọn chữ sớ chẵn cho a 5 ; sau đó sớ cách chọn chữ sớ cho a1 là 8; tiếp theo số
3
cách chọn 3 trong 8 chữ số còn lại cho 3 vị trí còn lại là A8 .

Ta được số số là 4.8.A8 = 10752.
Theo quy tắc cộng, ta được số số là 10752+3024=13776.
3

3
Nhận xét. Số tự nhiên lẻ gồm 5 chữ số khác nhau (ứng với a 5 ≠ 0 ) là 4.8.A8 = 10752.
DẠNG 5. Tính số số tự nhiên với các chữ số chẵn, lẻ

Ví dụ 8. Có bao nhiêu sớ tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau mà trong đó có đúng
hai
13


----------------------------------SKKN: “Phương pháp giải bài tốn về tạo số
”------------------------------

chữ sớ lẻ?
Lời giải. Sớ tạo thành có 5 chữ sớ ở 5 vị trí.
Trường hợp 1. Trong sớ tạo thành có chữ sớ 0. Lần lượt ta có
2
Sớ cách chọn vị trí cho chữ số 0 là 4; số cách chọn thêm 2 trong 4 chữ số chẵn là C4 ;

2
số cách chọn 2 trong 5 chữ số lẻ là C5 ; với 2 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ chọn ra có 4!

Hốn vị cách xếp vào bớn vị trí còn lại của số tạo thành. Ta được số số là
4.C 24 .C52 .4! = 5760.

Trường hợp 2. Trong sớ tạo thành khơng có chữ sớ 0. Lần lượt ta có
3
Sớ cách chọn trong 4 chữ sớ chẵn khác 0 là C4 ; số cách chọn 2 trong 5 chữ số lẻ là

C52

; với 5 chữ số chọn ra có 5! hốn vị cách xếp vào 5 vị trí của số tạo thành.

Ta được số số là C 4 .C5 .5! = 4800.
Theo quy tắc cộng, ta được sớ sớ tạo thành là 5760 + 4800 =10560.
3

2

Ví dụ 9. Tập S gồm các sớ tự nhiên có 6 chữ số khác nhau được thành lập từ các
chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 . Tìm tập S gồm sớ có sáu chữ sớ khác nhau sao cho khơng
có hai chữ sớ chẵn đứng cạnh nhau.
Lời giải
Vì sớ được chọn có 6 chữ sớ nên ít nhất phải có hai chữ sớ chẵn, và vì khơng có hai
chữ sớ chẵn đứng cạnh nhau nên sớ được chọn có tới đa 3 chữ sớ chẵn.
TH1: Sớ được chọn có đúng 2 chữ sớ chẵn, khi đó gọi số cần tìm là abcdef
14


----------------------------------SKKN: “Phương pháp giải bài toán về tạo số
”------------------------------

Xếp 4 sớ lẻ trước ta có 4! cách.
l

l

l

l

2
2
1
Xếp 2 sớ chẵn vào 5 khe trớng của các sớ lẻ có C5 . A5 − 4.C4 cách.

Trong trường hợp này có

4!( C52 . A52 − 4.C41 ) = 4416

(số).

TH2: Số được chọn có đúng 3 chữ sớ chẵn, khi đó gọi sớ cần tìm là abcdef
Xếp 3 chữ số lẻ trước ta có

A43

cách.
l

l

l

3 3
2
2
Xếp 3 chữ sớ chẵn vào 4 khe trớng của các sớ lẻ có C4 . A5 − C3 . A4 cách.

Trong trường hợp này có

A43 . ( C43 . A53 − C32 . A42 ) = 4896

(sớ).

Vậy có tất cả 9312 sớ có 6 chữ sớ sao cho khơng có hai chữ sớ chẵn đứng cạnh nhau.
Ví dụ 10 . Từ các chữ số 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 có thể lập được bao nhiêu sớ tự nhiên lẻ có
bớn chữ sớ đơi mợt khác nhau và phải có mặt chữ sớ 3 .
Lời giải
Gọi a1a2 a3a4 là số cần tìm.
Trường hợp 1: a4 = 3

15


----------------------------------SKKN: “Phương pháp giải bài toán về tạo số
”-----------------------------2
Chọn a1 có 4 cách. Chọn a2 , a3 có A4 cách.

Trường hợp 2: a1 = 3
2
Chọn a4 có 2 cách. Chọn a2 , a3 có A4 cách.

Trường hợp 3: a1 ≠ 3 , a4 ≠ 3
Chọn a4 có 2 cách. Chọn a1 có 3 cách. Đưa sớ 3 vào 2 cách. Chọn vị trí còn lại 3
cách.
Vậy tất cả có:

4. A42 + 2. A42 + 2.3.2.3 = 108

số.

BÀI TẬP
Bài 1: Cho tập hợp các chữ số

{ 0,1, 2,3, 4,5,6,7} . Từ chúng viết được bao nhiêu số tự

nhiên gồm 5 chữ sớ khác nhau mà trong đó hai chữ sớ cạnh nhau khác tính chẵn lẻ?
Hướng dẫn:
Gọi số tạo thành là a1a 2a 3a 4a 5 .
TH1. Các chữ số a1 ,a 3 , a 5 là lẻ và các chữ số cho a 2 ,a 4 chẵn:
3
2
Số số là A 4 .A 2 = 288.
TH2. Các chữ số a1 ,a 3 , a 5 là chẵn và các chữ số cho a 2 ,a 4 là lẻ:

Số số là 3.A 3 .A 4 = 216.
Đáp số: 504 số.
2

2

16


----------------------------------SKKN: “Phương pháp giải bài toán về tạo số
”------------------------------

Bài 2: Cho tập hợp các chữ số

{ 0,1, 2,3, 4,5,6} . Từ chúng viết được bao nhiêu số tự

nhiên chẵn gồm 4 chữ sớ khác nhau mà trong đó có chữ số 2?
Hướng dẫn:
Gọi số tạo thành là a1a 2a 3a 4 .
Trước hết ta tìm số số tạo thành một cách bất kì.
3
TH1. a 4 = 0 : Số số là A 6 = 120.
2
TH2. a 4 ≠ 0 : Số số là 3.5. A5 = 300
Theo quy tắc cộng, ta được số số là 120+300=420.
Bây giờ ta tìm số sớ tạo thành khơng có chữ sớ 2.
3
TH1. a 4 = 0 : Số số là A5 = 60
2
TH2. a 4 ≠ 0 : Số số là 2.4.A 4 = 96.
Theo quy tắc cộng, ta được số số là 60 + 96 =156.
Đáp số. 420 – 156 = 264.
Bài 3: Có bao nhiêu sớ tự nhiên gồm 5 chữ sớ khác nhau mà trong đó có chữ sớ 1

đứng phía trước chữ số 2?
Hướng dẫn:

Gọi số tạo thành là a1a 2a 3a 4a 5 . Xét các trường hợp:
2 2
TH1. Trong sớ tạo thành có chữ sớ 0: Sớ sớ là 4C4 A 7 = 1008.

TH2. Trong số tạo thành khơng có chữ sớ 0: Sớ sớ là C5 A 7 = 2100 .
Đáp số: 1008+2100=3108 số.
0,1, 2,3, 4,5} .
Bài 4: Cho tập hợp các chữ số {
Từ chúng viết được bao nhiêu số tự
2

3

nhiên gồm 5 chữ số mà trong đó có hai chữ sớ 1 và ba chữ số còn lại khác nhau và
khác 1?
Hướng dẫn:
2
2
TH1. Trong số tạo thành có chữ sớ 0: Sớ sớ là 4.C4 .A 4 = 288 .
2
3
TH2. Trong số tạo thành không có chữ sớ 0: Sớ sớ là C5 .A 4 = 240.
Đáp số: 528 số.

17


----------------------------------SKKN: “Phương pháp giải bài toán về tạo số
”------------------------------

Bài 5: Từ 2 chữ số 1 và 8 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ
số sao cho khơng có 2 chữ số 1 đứng cạnh nhau?
Hướng dẫn:
TH1: Có 8 chữ số 8 .
TH2: Có 1 chữ số 1 , 7 chữ số 8 .
TH3: Có 2 chữ số 1 , 6 chữ số 8 .
TH4: Có 3 chữ số 1 , 5 chữ số 8 .
TH5: Có 4 chữ số 1 , 4 chữ số 8 .
Đáp số: 55 số
Bài 6: Với năm chữ số 1 , 2 , 3 , 5 , 6 có thể lập được bao nhiêu sớ có 5 chữ sớ đơi
mợt khác nhau và chia hết cho 5 ?
Hướng dẫn.
Gọi x = abcde là số thỏa ycbt. Do x chia hết cho 5 nên e = 5 . Số cách chọn vị trí
a, b, c, d là 4! . Vậy có 24 sớ có 5 chữ sớ đơi mợt khác nhau và chia hết cho 5 .

: 7.2 Về khả năng áp dụng của sáng kiến:
Thông qua việc nghiên cứu tài liệu bồi dưỡng ôn thi HSG và ôn thi THPT-QG,
tôi đã áp dụng đề tài trên và nhận thấy:

18


----------------------------------SKKN: “Phương pháp giải bài tốn về tạo số
”------------------------------

- Mợt sớ học sinh có khả năng nhìn nhận tương đới chính xác dạng bài tập có
liên quan đến nợi dung này.
- Một số học sinh nắm chắc kiến thức và tự tin giải quyết các bài tập trong sách
giáo khoa, sách bài tập và đề thi thử THPT-QG. Kết quả điểm kiểm tra được nâng lên
rõ rệt.

- Hình thành được tư duy lơgic, kỹ năng giải các bài tốn về tạo sớ.
- Đề tài đã góp phần tạo hứng thú học tập cho học sinh. Các em học sinh lớp 11
đỡ lúng túng hơn khi giải các bài toán về nội dung này.
8. Những thông tin cần được bảo mật (nếu có): Khơng cần
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
Giáo viên cần có nhận thức đúng đắn hình thức thi và cách thức ra đề như hiện
nay. Điều đó đòi hỏi giáo viên cần có trình độ chuyên môn sâu rộng, nhìn nhận vấn
đề một cách toàn diện, linh hoạt trong công việc.
Học sinh phải chịu khó học hỏi, tìm tòi, tự học và sáng tạo.
10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng
kiến theo ý kiến của tác giả.
Bản thân tôi nhờ vận dụng sáng kiến: “Phương pháp giải bài tốn về tạo số”
nên tơi đã đạt được một số kết quả nhất định:
- Kiến thức phần tổ hợp được nâng cao và hiểu sâu sắc hơn.

19


----------------------------------SKKN: “Phương pháp giải bài toán về tạo số
”------------------------------

- Làm nguồn bồi dưỡng ôn thi HSG và THPT Quốc Gia.
- Làm tài liệu cho học sinh ôn thi HSG và THPT Quốc Gia.
9. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng
sáng kiến lần đầu:

Số TT

1

Tên tổ chức/cá nhân

Địa chỉ

Phạm Thị Hồng Quyền

Khai Quang
– Vĩnh Yên

VĩnhYên, ngày....tháng.....năm 2020

Thủ trưởng đơn vị/
Chính quyền địa phương
(Ký tên, đóng dấu)

Phạm vi/Lĩnh vực
áp dụng sáng kiến

Vĩnh Yên, ngày.....tháng....năm 2020

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG
SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ
(Ký tên, đóng dấu)

Dạy học mơn Tốn ơn thi
HSG và THPT-QG
Vĩnhn, ngày 01 tháng 3năm 2020

Tác giả sáng kiến
(Ký, ghi rõ họ tên)

Phạm Thị Hồng Quyền

20