(Sáng kiến kinh nghiệm) PHƯƠNG PHÁP GIẢI một số DẠNG TOÁN về hàm ẩn, hàm hợp TRONG kỳ THI THPT QUỐC GIA

MỤC LỤC


BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu
Trong các kỳ thi THPT QG những năm gần đây ( từ năm 2017 trở lại đây) thường
xuất hiện một số dạng toán liên qua đến hàm hợp, hàm ẩn. Khi mới xuất hiện, các dạng
toán này thường ở mức độ 3 và mức độ 4, do đó gây sự lúng túng nhất định cho học sinh,
thậm chí cả giáo viên. Các dạng toán toán này thường chia làm các dạng: Xét sự biến
thiên, tìm cực trị, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, sự tương giao của đồ thị hay số nghiệm
của phương trình, tiệm cận… liên quan đến chương I giải tích lớp 12, hay nguyên hàm,
tích phân hàm ẩn liên quan đến kiến thức chương III của giải tích lớp 12.
Sau một vài năm dạy các khóa học sinh lớp 12 thi THPT QG, tơi nhận thấy cần phải
đúc rút ra một số dạng toán và cách giải quyết nó một cách đơn giản nhất phù hợp với
cách thi trắc nghiệm của kỳ thi. Do đó tôi mạnh dạn viết chuyên đề nhỏ ngày để giúp giải
quyết một số khó khăn mắc phải của học sinh khi gặp dạng toán này.
Các dạng toán về hàm ẩn thì có nhiều dạng như đã nêu ở trên, nhưng trong chuyên
đề nhỏ này, do thời gian có hạn và khối lượng kiến thức hạn chế nên tôi chỉ nêu ba dạng
tốn: Xét sự biến thiên, tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn, tìm số nghiệm của phương
trình liên quan đến hàm hợp, hàm ẩn. Theo tôi nghĩ, ba dạng toán này nếu học sinh
nắm được và sử dụng thành thạo các cơng cụ của nó thì có thể dễ dàng giải quyết các
dạng tốn cịn lại về hàm hợp, hàm ẩn.
Trong quá trình viết chuyên đề nhỏ này, do thời gian và kiến thức có hạn nên khơng
tránh khỏi những sai sót nhất định, rất mong sự đóng góp của các Thầy cơ giáo và các em
học sinh để chun đề được hồn thiện hơn và tơi tiếp tục hồn thành các phần tiếp theo
của dạng tốn này.
2. Tên sáng kiến: PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN, HÀM
HỢP TRONG KỲ THI THPT QUỐC GIA
3. Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: Vũ Doãn Tiến.

- Địa chỉ: Trường THPT Ngô Gia Tự
- Số điện thoại: 0984970114

Email:

4. Chủ đầu tư sáng kiến:
- Là tác giả sáng kiến.
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục (dạy học mơn Tốn THPT phần chương I giải tích
12)
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: tháng 10 năm 2019.
7. Mô tả bản chất của sáng kiến

2


PHẦN 1. NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN, CỰC TRỊ CỦA
HÀM SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH.
1.1. Các kiến thức về sự đồng biến nghịch biến của hàm số:
Kí hiệu K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng.
1.1.1. Định nghĩa:

y = f ( x)
Hàm số

đồng biến (tăng) trên K

∀x1, x2  ∈ K , x1  < x2  thì f ( x1 ) < f ( x2 ) .
⇔

y = f ( x)
Hàm số

nghịch biến (giảm) trên K

∀x1, x2  ∈ K , x1  < x2  thì f ( x1 ) > f ( x2 ) .
⇔
Hàm số đồng biến ( hay nghịch biến) trên tập K gọi chung là đơn điệu trên tập K.

f
1.1.2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Cho hàm số

có đạo hàm trên K.

f ' ( x )  ≥ 0

f
- Nếu

đồng biến trên K thì

f ' ( x )  ≤ 0

f
- Nếu

x∈
  K

với mọi

đồng biến trên K thì

x∈
  K

với mọi

.
.

f
1.1.3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: cho hàm số

f ' ( x )  ≥ 0
- Nếu

với mọi

có đạo hàm trên K.
x∈
  K

f '( x) = 0
và

chỉ tại một

f
số hữu hạn điểm thuộc K thì

đồng biến trên K.

f ' ( x )  ≤ 0
- Nếu

với mọi

x∈
  K

f '( x) = 0
và

chỉ tại một

f
số hữu hạn điểm thuộc K thì

nghịch biến trên K.

f ' ( x )  = 0
- Nếu

với mọi

x∈
  K

f

thì

là hàm hằng trên K.

1.1.4. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số
a) Tìm tập xác định
b) Tính đạo hàm
bằng 0 hoặc khơng xác định.

f '( x )  
Tìm các điểm

xi   ( i = 1 , 2 ,..., n )
mà tại đó đạo hàm

xi
c) Sắp xếp các điểm

theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
3


d) Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
1.2. Các kiến thức về cực trị của hàm số:
1.2.1. Định nghĩa

y = f ( x)
Cho hàm số

( a ; b)

liên tục trên khoảng

và điểm

x0  ∈ ( a ; b )
.
h>0

- Nếu tồn tại số

f ( x ) <  f ( x0 ) , ∀x∈
  ( x0  − h ; x0  + h ) , x  ≠  x0 
sao cho

thì
x0

f
ta nói hàm số

đạt cực đại tại
h>0

- Nếu tồn tại số

.

f ( x ) >  f ( x0 ) , ∀x∈
  ( x0  − h ; x0  + h ) , x  ≠  x0 
sao cho

thì
x0

f
ta nói hàm số

đạt cực tiểu tại

.

y = f ( x)
1.2.2. Định lí 1. Cho hàm số

K =  ( x0  − h ; x0  + h )

liên tục trên khoảng

(h

> 0)

K  ‚

{  x0 }

và có đạo hàm trên K hoặc trên

f ′ ( x ) < 0, ∀x ∈ ( x0 − h; x0 )
Nếu

là điểm cực tiểu của hàm số.

.

f ′ ( x ) > 0, ∀ ( x0 ; x0 + h )
và

x0  
thì

1.2.3. Định lí 2. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng K = (x0 - h ; x0 + h) (h > 0).

f ' ( x0 ) = 0, f '' ( x0 ) > 0
- Nếu

x0
thì

là điểm cực tiểu của hàm số

f
.

f ' ( x0 ) = 0,  f '' ( x0 ) < 0
- Nếu

x0
thì

là điểm cực đại của hàm số

f
.
1.2.4. Quy tắc tìm cực trị
Quy tắc 1
- Tìm tập xác định.

f '( x ) .
- Tính

Tìm các điểm tại đó f '(x) bằng 0 hoặc f '(x) không xác định.

- Lập bảng biến thiên.
- Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Quy tắc 2
- Tìm tập xác định.
4


f '( x ) .
- Tính

f '( x ) = 0

xi
Tìm các nghiệm

của phương trình

f '' ( xi )

- Tính

.
xi

suy ra tính chất cực trị của các điểm

.

f '' ( xi ) = 0

xi

(Chú ý: nếu

thì ta phải dùng quy tắc 1 để xét cực trị tại

).

1.3. Các kiến thức biện luận số nghiệm của phương trình:

f (x)
Tính chất 1: Nếu hàm số

[a;b]
và đơn điệu trên khoảng

liên tục

(a;b)

f (x) = 0
thì phương trình

có nhiều nhất một nghiệm trong đoạn

[a;b]
.
f (x)
Mở rộng: Nếu hàm số
n

liên tục trên đoạn

và có đạo hàm đổi dấu

(a;b)
lần trên khoảng
n +1

nhất

[a;b]
f (x) = 0
thì phương trình

[a;b]
.

một nghiệm trong đoạn

f (x)
Tính chất 2: Nếu hàm số

[a;b]
và đơn điệu trên
f (u) = f (v) Û u = v
với

liên tục trên đoạn

(a;b)
khoảng

thì

có nhiều

phương

trình

" u, v Ỵ [a;b]
.

f
Tính chất 3: Nếu hàm số

[a;b]
liên tục trên đoạn

(a;b)

và đơn điệu tăng trên

f (x) > f (y) Û x > y
thì

f
(Nếu

f (x) > f (y) Û x < y

đơn điệu giảm thì

" x, y Ỵ (a;b)
) với

.

Tính chất 4:

y = f (x)
+ Cho hàm số

liên tục trên đoạn

f (x) £ m
nghiệm

đúng

với

mọi

[a;b]
. Bất phương trình
x Ỵ [a;b]
khi và chỉ khi

max f (x) £ m
[a;b]

.

y = f (x)
+ Cho hàm số

liên tục trên đoạn

f (x) £ m

min f (x) £ m

x Ỵ [a;b]
có nghiệm

[a;b]
. Bất phương trình

[a;b]

khi và chỉ khi

.
5


6


CHƯƠNG II: VẬN DỤNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT
ĐỂ GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TẬP

I. XÉT SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN
1. Dạng 1.

y = f ( x)
Cho hàm

y = f '( x )
hoặc hàm

xét sự biến thiên của hàm

g ( x) = f (u ( x))
.
Phương pháp:

g '( x) = f '(u ( x)).u '( x)

- Tính đạo hàm

g '( x)
- Xét dấu

f '(u ( x))
dựa vào dấu của

u '( x)
và

f '(u ( x))
theo quy tắc nhân dấu. Lưu ý khi xét dấu

f '( x)

dựa vào dấu của

f '( x )
như sau: Nếu

D

khơng đổi dấu trên

thì

u ( x) ∈ D

f '(u ( x))

không đổi dấu khi

.

f ( x)
Ví dụ 1. ( Câu 35 Mã đề 102- THPTQG năm 2019). Cho hàm số

, bảng

f '( x)
xét dấu của

như sau:

f (5 − 2 x)
Hàm số
A.

( 2;3) .

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
B.

( 0; 2 ) .

C.

( 3;5) .

D.

( 5; +∞ ) .

Lời giải

y = f (5 − 2 x) → y ' = −2 f '(5 − 2 x)
Ta có

y ' = −2 f '(5 − 2 x) ≤ 0 ⇔ f '(5 − 2 x) ≥ 0
Hàm số nghịch biến khi

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy khi

Nên

.
x ≥ 1
f '( x) ≥ 0 ⇔ 
 −3 ≤ x ≤ − 1

5 − 2 x ≥ 1
3 ≤ x ≤ 4
f '(5 − 2 x) ≥ 0 ⇔ 
⇔
 −3 ≤ 5 − 2 x ≤ − 1  x ≤ 2

7


Vậy hàm số

y = f ( 5 − 2x )

( 3; 4 )
nghịch biến trên các khoảng

và

( −∞; 2 )
. Chọn B

f ( x)
Ví dụ 2. ( Câu 33 Mã đề 103- THPTQG năm 2019). Cho hàm số

, bảng

f ′( x)
xét dấu của

như sau:

y = f ( 3 − 2x)
Hàm số

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

( 2;3)

( 3; 4 )
A.

. B.

( −∞ ; − 3)
.

C.

. D.

( 0; 2 )
.
Lời giải
⇒ y ' = ( 3 − 2x) ′ f ′( 3 − 2x )

y = f ( 3 − 2x)
Ta có:

= −2 f ′ ( 3 − 2 x )
.

y = f ( 3 − 2x)
Hàm số

y′ = −2 f ′ ( 3 − 2 x ) ≥ 0

đồng biến khi

3 − 2 x ≤ −3
⇔

 −1 ≤ 3 − 2 x ≤ 1

⇔ f ′( 3 − 2x) ≤ 0
y = f ( 3 − 2x)
Hàm số

x ≥ 3
⇔
1 ≤ x ≤ 2

.

( 3; +∞ )
đồng biến trên khoảng

nên đồng

( 3; 4 )
biến trên khoảng

.

Đáp án A
Ví dụ 3. ( KSCL lần 1 năm 2019-2020 THPT Trần Phú). Cho hàm số

y = f ( x)
có bảng biến thiên như sau. Các khoảng đồng biến của hàm số

y = f ( 2 x − 1)
?

8


(−∞; 2)

(−∞;0)

A.

B.

( 2; +∞ )

và

(−∞; −1)

C.

(0; +∞)

và

D.

(0; 2)

Lời giải.

y = f ( 2 x − 1) ⇒ y ' = 2 f ' ( 2 x − 1)
Ta có

.

y ' = 2 f ' ( 2 x − 1) > 0 ⇔ −1 < 2 x − 1 < 3 ⇔ 0 < x < 2
Khi đó

. Đáp án D.

y = f ( x)
Ví dụ 3. Cho hàm số

có đạo hàm trên

¡

và có đồ thị

g ( x ) = f ( x2 − x )

f ′( x)
hàm
như hình vẽ dưới đây. Hàm số
đồng biến trên khoảng nào?

A.

1 
 ;1÷

2 

( 1; 2 )
.

B.

.

C.

1

 −1; ÷
2

.D.

( −∞; −1)
.
Lời giải
g ( x ) = f ( x2 − x )

Ta có:

⇒ g ′ ( x ) = ( 2 x − 1) f ′ ( x 2 − x )

.

9

1

x=

1
2


x = 2
x
=
0

2 x −1 = 0
 2
g′ ( x ) = 0 ⇔ 
⇔ x − x = 0 ⇔ x = 1
2
′

f
x
−
x
=
0
)
 (

 2
x
−
x
=
2
 x = −1

x = 2




( Ta tìm các điểm tới

hạn)

f ′( x)
Từ đồ thị

f ′ ( x) > 0 ⇔ x > 2
ta suy ra

x > 2
f ′ ( x2 − x ) > 0 ⇔ x2 − x > 2 ⇔ 
 x < −1

Do đó :

( Ta cần xác định một loại

f '( x2 − x )

dấu của

)

g′( x )
Bảng xét dấu

:

g ( x)
Từ bảng xét dấu ta có hàm số
. Chọn đáp án C.

đồng biến trên khoảng

1

 −1; ÷
2


g′( x )
Lưu ý: Dấu của

ở bảng trên có được nhờ nhân dấu của hai biểu thức
f ′ ( x2 − x )

( 2 x − 1)
và

.

Ví dụ 4. (KSCL lần 1 năm 2019-2020 THPT Đồng Đậu, THPT Yên Lạc) Cho hàm số

y = f ( x)
có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

10


m

Số giá trị nguyên của tham số

y = f ( x 2 + 4 x + m)

để hàm số

( - 1; 1)
nghịch biến trên

là

A. 2

B. 3

C. 1

D. 0

Lời giải
y = f ( x 2 + 4 x + m ) ⇒ y ' = 2( x + 2) f ' ( x 2 + 4 x + m ) ≤ 0, ∀x ∈ ( −1;1)

Ta có:

⇔ f '( x 2 + 4 x + m) ≤ 0, ∀x ∈ ( −1;1)

2( x + 2) > 0, ∀x ∈ ( −1;1)
(vì

)

⇔ −2 ≤ h( x) = x 2 + 4 x + m ≤ 8, ∀x ∈ ( −1;1) (*)

( - 1; 1)

h( x )

Trong khoảng
hàm số
m − 3 = h( −1) < h( x) < h(1) = m + 5
 −2 ≤ m − 3  m ≥ 1
(*) ⇔ 
⇔
m + 5 ≤ 8
m ≤ 3

Vậy

m

đồng biến nên

suy ra có 3 giá trị ngun của

. Đáp án B

Ví dụ 5. Cho hàm số

y = f ( x)

¡

liên tục trên

và bảng xét dấu của hàm số

g ( x ) = f ( x + 1)

y = f ′( x)

như hình bên. Hỏi hàm số
khoảng nào trong các khoảng sau?

nghịch biến trên

( 0; 2 )

( 1; 4 )

( −3;0 )

A.

B.

C.

( −1;1)
D.
Lời giải
 f ( x + 1) , x ≥ 0
g ( x ) = f ( x + 1) = 
 f ( − x + 1) , x < 0
Ta có:

11


g ( x ) = f ( x + 1)

Nhận xét: Hàm
trục tung.

là hàm chẵn, có đồ thị đối xứng nhau qua
y = f ( x)

+) Ta có BBT của hàm số

y = f ( x)

y = f ( x + 1)
sang hàm số

+) B1: Chuyển từ hàm số
( tịnh tiến đồ thị sang trái 1 đv)

y = f ( x + 1)

y = f ( x + 1)
sang hàm số

+) B2: Chuyển từ hàm số

x≥0

bằng cách giữ nguyên phần
với phần

x≥0

qua

x<0
, phần
được lấy đối xứng

Oy
. ( lấy đối xứng qua Oy)

Đáp án B

f ( x + 1)

f ( x)

Nhận xét: Dạng chuyển từ hàm

sang hàm
f ( x)

mắc sai lầm đó là: Chuyển từ
sang
trước), rồi tịnh tiến sang trái 1 đơn vị ( tịnh tiến sau).

rất dễ

f(x)
( lấy đối xứng

12


y = f ( x)
Ví dụ 5. (Đề Chính Thức 2018 - Mã 101) Cho hai hàm số

y = g ( x)

y = f ′( x)

,

y = g′ ( x)

. Hai hàm số
và
có đồ
thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số

y = g′( x)
.

3

h ( x ) = f ( x + 4) − g  2x − ÷
2


Hàm số

 31 
 5; ÷
 5

A.

.

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

9 
 ;3 ÷
4 
. C.

B.

 31

 ; +∞ ÷
5


.

D.

 25 
 6; ÷
 4 
.

Lời giải

Ta

3


h′ ( x ) = f ′ ( x + 4 ) − 2 g ′  2 x − ÷ ≥ 0
2


có:
3

f ′ ( x + 4 ) ≥ 2 g′  2 x − ÷
2


khi

.

13


g ′ ( x ) ≤ 5, ∀x ⇔ 2 g ′ ( x ) ≤ 10, ∀x
Từ

đồ

thị

ta

thấy

.

3

f ′ ( x + 4 ) ≥ 2 g′  2 x − ÷
2


ta

cần

x

tìm

Do

đó

để

sao

cho:

 f ′ ( x + 4 ) ≥ 10

 
3

 g′  2 x − 2 ÷≤ 5

 
y = f ′( x)

y = 10

Nên ta kẻ đường thẳng

cắt đồ thị hàm số

A ( a;10 )

tại

a ∈ ( 8;10 )
,

.

Khi

đó

ta

có

 f ( x + 4 ) ≥ 10, khi3 ≤ x + 4 ≤ a
 f ( x + 4 ) ≥ 10, khi − 1 ≤ x < 4

3


⇒ 
 
3
3
3
3
25 ⇔ ≤ x < 4
4
 g  2 x − 2 ÷ ≤ 5, khi 0 ≤ 2 x − 2 < 11  g  2 x − 2 ÷ ≤ 5, khi 4 ≤ x ≤ 4






.
Đáp án B.
Nhận xét: Bài này có thể dùng phương pháp loại trừ để tìm đáp án như sau

h′ = f ′ − 2 g ′
- Ta có:

f'
dẫn đến so sánh

với 2 lần giá trị

10 = 5.2, 8 = 4.2

g'
. Lại thấy các số trên đồ thị có các giá trị
h

vậy để

, như

f'
nghịch biến thì miền giá trị của

nhỏ hơn 8, miền giá

g'
trị của

lớn hơn 4. Từ suy luận đó, dựa vào các điểm trên trục hồnh ta thấy
h '(6) = f '(10) − 2 g '(10,5) < 8 − 2.4 = 0
h

Do đó

sẽ nghịch biến trong những khoảng xung quanh giá trị 6, đó là các

f ' > 10, g ' < 5
phương án A,C, D. Lại thấy đáp án B cho ta
B được chọn.

. Do đó phương án

2. Dạng 2.

y = f ( x)
Cho hàm

y = f '( x)
hoặc

xét sự biến thiên của hàm

g ( x) = f (u ( x)) + h( x)
.
Phương pháp:
14


g '( x) = u '( x ). f '(u ( x)) + h '( x)
- Tính
g '( x)

- Lập bảng xét dấu

bằng cách cộng dấu của hai biểu thức

u '( x ). f '(u ( x))

h '( x)

và

.

f ( x)
Ví dụ 1. (Đề tham khảo THPTQG 2019) Cho hàm số
của đạo hàm như sau:

có bảng xét dấu

y = 3 f ( x + 2 ) − x3 + 3x
Hàm số

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

( 1; +∞ )
A.

( −∞; −1)
.

B.

( −1;0 )

.

C.

( 0; 2 )

.

D.

.
Lời giải

y′ = 3 f ′ ( x + 2 ) − 3x 2 + 3 = 3  f '( x + 2) + (1 − x 2 ) 

Ta có

f '( x + 2) = 0 ⇔ x + 2 ∈ {1, 2,3, 4} ⇔ x ∈{−1, 0,1, 2}

Xét
1 − x 2 = 0 ⇔ x = 1, x = −1
Xét
1 < x + 2 < 3
 −1 < x < 1
f '( x + 2) > 0 ⇔ 
⇔
x + 2 > 4
x > 2

Lại có:

và

1 − x > 0 ⇔ −1 < x < 1
2

Bảng xét dấu

15


( −1; 0 )
Từ bảng xét dấu suy ra trên khoảng
C.

hàm số đồng biến. Chọn đáp án

Lưu ý:
y'

- Để xác định dấu của

trong bảng trên ta phải cộng dấu của

( 1− x )
2

f '( x + 2)

và

với nguyên tắc cùng dấu thì cộng được. Nếu
y'
khác dấu nhau thì khơng xác định được dấu của
.
f '( x + 2) > 0

- Dó đó ta có thể giải

1 − x2 > 0

và

tập nghiệm ta được kết quả hàm số chắc chắn đồng biến trên

rồi lấy giao hai
( −1;1)
. Nên

( −1;0 ) ⊂ (−1;1)
chọn đáp án là tập

.

y = f ′( x)
- Nếu đề bài cho đồ thị hàm

, xét sự biến thiên của hàm

g ( x ) = f ( x ) − h( x )

g '( x) = f '( x ) − h '( x )
dẫn đến xét dấu của

dựa

vào sự tương giao đồ thị.

y = f ( x)
Ví dụ 2. Cho hàm số

có đạo hàm liên tục trên

¡.

Đồ

y = f ′( x)
thị hàm số

như hình bên dưới.

g ( x ) = 2 f ( x ) − x2
Hàm số
đây?

đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau

16


( −∞; −2 )
A.

( −2; 2 )
.

B.

( 2; 4 )
. C.

. D.

( 2; +∞ )
.
Lời giải

g ′ ( x ) = 2 f ′ ( x ) − 2 x ⇒ g ′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( x ) = x.
Ta có

g′ ( x) = 0

Số nghiệm của phương trình

chính là số giao điểm của đồ thị hàm

y = f ′( x)
số

d:y=x

và đường thẳng

Dựa vào đồ thị, suy ra
Lập bảng biến thiên

⇒

(như hình vẽ bên dưới).

 x = −2
g ′ ( x ) = 0 ⇔  x = 2 .
 x = 4

g ( x)
hàm số

( −2; 2 )
đồng biến trên

và

( 4; +∞ )
. So sánh 4 đáp án Chọn B

17


g′ ( x ) = 2 ( f ′ ( x ) − x )
Lưu ý: Ta xác định được dấu của

theo nguyên tắc:

( a; b )
trong khoảng

f '( x)
đồ thị hàm số

g′ ( x ) > 0

y=x
thẳng

nằm phía trên đường

thì

.

Ví dụ 3. (Chun Phan Bội Châu Nghệ An năm 2018-2019) Cho hàm số

f ( x)
có bảng xét dấu của đạo hàm như sau :

y = 2 f ( 1− x ) + x2 +1 − x
Hàm số

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?

( −∞;1)
A.

( −∞; −2 )
.

B.

.

( −2;0 )

C.

( −3; −2 )
.

D.

.
Lời giải

y ' = −2 f ' ( 1 − x ) +
Ta có :
x − x2 + 1
Vì

x2 + 1

x
x2 + 1

− 1 = −2 f ' ( 1 − x ) +

x − x2 +1

x2 +1

< 0, ∀x ∈ R.

Nên ta tìm khoảng để :
1 ≤ 1 − x ≤ 3  −2 ≤ x ≤ 0
−2 f ' ( 1 − x ) ≤ 0 ⇔ f ' ( 1 − x ) ≥ 0 ⇔ 
⇔
1 − x ≥ 4
 x ≤ −3

.

So sánh các đáp án, chọn C.
3. Dạng 3.

y = f (u ( x ))
Cho hàm

y = f '(u ( x))
hoặc hàm

xét sự biến thiên

y = f ( x)
của hàm

.

f '(u ( x)) > 0 ⇔ x ∈ D

Phương pháp: Giả sử ta có:

. Ta cần giải BPT

f '( x) > 0
.
18


t = u ( x) ⇒ x = v(t )
- Đặt

f '(t ) > 0 ⇔ f '(u( x)) > 0 ⇔ x ∈ D ⇔ x = v(t ) ∈ D ⇔ t ∈ D '
- Giải BPT:

.

f '( x) > 0 ⇔ x ∈ D '
- Vậy

y = f ( x)
Ví dụ 1. Cho hàm số

có đạo hàm trên

¡

. Hàm số

y = f '(3x − 1)

có đồ thị như hình vẽ:

y = f ( x)
Hàm số

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

( −∞; −7 )

( 2;6 )
A.

.

B.

.

1

 −∞; − ÷
3


( −∞; −6 )
.

D.

C.

.

Lời giải

f '( x) > 0
Ta cần giải BPT dạng

Ta có

 x < −2
f '(3 x − 1) > 0 ⇔ 
1 < x < 2
t = 3x − 1 ⇒ x =

Đặt

Do đó:

Vậy

.

t +1
3

t +1
 3 < −2
 x < −2
t < −7

f '(t ) > 0 ⇔ f '(3 x − 1) > 0 ⇔ 
⇔
⇔
1 < x < 2
2 < t < 5
1 < t + 1 < 2

3
 x < −7
f '( x) > 0 ⇔ 
2 < x < 5

. Chọn đáp án B.
19


y = f ( x)
Nhận xét: Dạng 1 cho hàm

tìm sự đơn điệu của hàm

y = f (u ( x))

y = f (u ( x ))
có bước tính đạo hàm của hàm

nhưng

y = f (u ( x))
Dạng 3 cho hàm

không có bước tính đạo hàm của hàm

y = f ( x)
.

y = f ( x)
Ví dụ 2. Cho hàm số

¡

có đạo hàm trên

. Hàm số

y = f '(2 − x )
bảng xét dấu như sau:

y = f ( x)
Hàm số

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

(−∞;0)
A.

(−∞;1)
.

B.

(2; +∞)
. C.

. D.

(0;2)
.
Lời giải

Ta có

 x < −1
f '(2 − x) < 0 ⇔ 
x > 2

. Đặt

t = 2− x ⇔ x = 2−t

 x < −1  2 − t < − 1  t > 3
f '(t ) < 0 ⇔ f '(2 − x ) < 0 ⇔ 
⇔
⇔
x > 2
2 − t > 2
t < 0
Khi đó
x > 3
f '( x ) < 0 ⇔ 

x < 0
Vậy

. Chọn đáp án A

y = f ( x)
Ví dụ 3. Cho hàm số

có liên tục trên

¡

. Hàm số

y = f (3 − 4 x)
đồ thị như sau :

20


y = f ( x)
Hàm số

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

(−7;1)
A.

(−∞; −1)
.

B.

.

(7; +∞)

C.

(−1;6)
.

D.

.
Lời giải

f '(3 − 4 x) < 0 ⇔ −1 < x < 1
Từ đồ thị ta suy ra

.

t = 3 − 4x ⇔ x =

Đặt

3−t
4

.

f '(t ) < 0 ⇔ f '(3 − 4 x) < 0 ⇔ −1 < x < 1 ⇔ −1 < 3 − 4t < 1 ⇔ −1 < t < 7
Khi đó

f '(t ) < 0 ⇔ −1 < t < 7 hay : f '( x ) < 0 ⇔ −1 < x < 7
Vậy

. Chọn đáp án D.
7

f ′  −2 x + ÷ = 3x 2 − 12 x + 9
2


y = f ( x)

Ví dụ 4. Cho hàm số

có

.

y = f ( x)

Hàm số

A.

nghịch biến trên khoảng nào sau đây.

1 9
 ; ÷
4 4
 5 3
− ; ÷
 2 2

.

.

B.

9

 ; +∞ ÷
4

.

D.

5

 −∞; − ÷
2

.

C.

Lời giải
f ′( x) < 0

Ta cần giải bất phương trình

.

21


Từ

7

f ′  −2 x + ÷ = 3 x 2 − 12 x + 9
2

7

⇒ f ′  −2 x + ÷ < 0 ⇔ 3 x 2 − 12 x + 9 ⇔ 1 < x < 3
2

t = −2 x +

Đặt

7
2

f ′( t ) < 0 ⇔ 1 <

⇒x=

7 − 2t
4

7 − 2t
5
3
<3⇔− 4
2
2

.

. Khi đó ta có

.
 5 3
− ; ÷
 2 2

y = f ( x)

Vậy hàm số

nghịch biến trên khoảng

. Chọn C.

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

y = f ( x)
Bài 1. Cho hàm số

¡

có đạo hàm liên tục trên

y = f ′ ( 3x + 5 )
hàm số
trên khoảng nào?

y = f ( x)
như hình vẽ. Hàm số

 7

 − ; +∞ ÷
 3


( −∞;8 )
A.

.

4


 ; +∞ ÷
3

.

B.

.

nghịch

C.

( −∞;10 )
D.

.

y = f ( x)
Bài 2. Cho hàm số

. Đồ thị

y = f ′( 2 − x)
có đồ thị hàm số

như

y = f ( x)

hình vẽ bên. Hỏi hàm số

đồng biến trên khoảng nào sau đây?

22


( −1;3)

( −2;4 )
A.

.

B.

( −2;0 )
. C.

. D.

( 0;1)
.

y = f ( x)
Bài 3. Cho hàm số

¡

có đạo hàm trên

. Đồ thị hàm số

y = f ′( x)
như hình vẽ bên dưới.

g ( x) = f ( x) −
Hàm số
khoảng sau?

( −1;0 )
A.

x3
+ x2 − x + 2
3

đồng biến trên khoảng nào trong các

( 0; 2 )
.

B.

( 1; 2 )
. C.

. D.

( 0;1)

.

y = f ( x)
Bài 4. (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) Cho hàm số

. Hàm số

y = f ′( x)

y = f ( 2 − x)
có đồ thị như hình bên. Hàm số

đồng biến

trên khoảng:
y

y = f ′( x)

−1
O 1

4 x

23


( 1;3)
A.

( 2; +∞ )
.

B.

( −2;1)
.C.

. D.

( −∞; 2 )
.
Bài 5. (Sở GD&ĐT Nam Định năm 2018-2019) Cho hàm số
đạo hàm

f ′( x)

thỏa mãn

f ′ ( x ) = ( 1 − x ) ( x + 2 ) g ( x ) + 2018

số

y = f ( 1 − x ) + 2018 x + 2019

A.

( 1; +∞ ) .

f ( x)

với

liên tục trên ¡ và có

g ( x ) < 0, ∀x ∈ ¡

. Hàm

nghịch biến trên khoảng nào?

B.

( 0;3) .

C.

( −∞;3) .

D.

( 4; +∞ ) .

Bài 6. (Chuyên Lê Quý Đôn- Điện Biên năm 2018-2019) Cho hàm số
y = f ( x)

có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

y = f ( x2 − 2)

Hàm số

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

( −2; −1)
A.

( 2; +∞ )
.

B.

( 0;2 )
.C.

. D.

( −1;0)
.
f ′( x)

Bài 7. Cho hàm số

có bảng xét dấu như sau:

y = f ( x2 + 2 x )

Hàm số

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

( −2;1)
A.

( −4; −3)
.

B.

( 0;1)

.

C.

( −2; −1)
.

D.

.
y = f ( x)

Bài 8. ( Sở Hà Nội năm 2018-2019) Cho hàm số bậc ba

, hàm số

y = f ′ ( x)

có đồ thị như hình vẽ.

24


(

g( x) = f − x − x2
Hàm số

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

( −2; −1)

A.

)
( 1;2)

.

B.

( −1;0)

. C.

. D.

 1 
 − 2 ;0÷



f ( x)

Bài 9. Cho hàm số

f '( x)

. Biết hàm số

có đồ thị như hình

y = f (3 − x 2 ) + 2018
vẽ bên. Hàm số

đồng biến trong khoảng nào dưới đây?

( −1;0 )
A.

( 2;3)
.

B.

( −2; −1)

C.

( 0;1)
.

D.

.

f ( x)
Bài 10. Cho hàm số

¡

liên tục trên

, hàm số

y = f ′( x)
có

đồ

thị

như

hình

vẽ.

Xét

hàm

số

h ( x ) = 2 f ( 3 x + 1) − 9 x 2 − 6 x + 4
. Hãy chọn khẳng định đúng:

25