(Sáng kiến kinh nghiệm) phương pháp giải một số phương trình lượng giác thường gặp

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu:
Tốn học 11 tiếp nối chương trình Tốn 10 bắt đầu từ phần “Lượng giác”. Việc học
phần phương trình lượng giác của lớp 11 gây khó khăn khơng nhỏ cho học sinh vì học
sinh khơng nắm chắc cơng thức lượng giác nên khả năng vận dụng linh hoạt công thức
lượng giác của học sinh còn yếu và đặc biệt khả năng nhận dạng các phương trình
lượng giác của học sinh cịn hạn chế đó là một trong những lí do tôi chọn sáng kiến
kinh nghiệm này.
2. Tên sáng kiến: Phương pháp giải một số phương trình lượng giác thường gặp
3. Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: Nguyễn Thanh Nhàn
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Thị trấn Lập Thạch - Lập Thạch - Vĩnh Phúc
- Số điện thoại: 0948028536. E_mail:
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Đại số và giải tích
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 28/9/ 2018
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
- Về nội dung của sáng kiến:
Phần I
ĐẶT VẤN ĐỀ
Cơ sở lý luận:
- Căn cứ vào yêu cầu và mục tiêu của ngành giáo dục ở bậc phổ thông trung học.
- Căn cứ vào tình hình học tập của học sinh hệ phổ thông trung học trong việc học
tập bộ mơn Đại số và giải tích 11.
- Kinh nghiệm giảng dạy của một số nhà Tốn học trình bày trong các tài liệu.
- Cách giải phương trình lượng giác cơ bản và thường gặp đã nêu trong sách giáo
khoa lớp 11(cơ bản và nâng cao).
Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn

Trang

1


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

- Chuẩn kiến thức kỹ năng trong chương trình tốn 11.
Cơ sở thực tiễn
- Những thuận lợi và khó khăn trong q trình giảng dạy bộ mơn Đại số và giải tích
và nhất là phần phương trình lượng giác.
Mục đích nghiên cứu:
- Nhằm nâng cao nghiệp vụ chuyên môn và rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy.
- `Nhằm tạo ra tư liệu cho học sinh tự rèn luyện và ôn thi.
a. Kết quả khảo sát đầu năm học
Giỏi
SL
%
11A1 36
03
8,3
11A3 31
0
b. Nguyên nhân
Lớp

Sĩ số

Khá

SL
%
06 16,7
03
9,6

Trung Bình
SL
%
17
47,2
16
51,6

Yếu
SL
%
06 16,7
06 19,4

Kém
SL
%
04 11,1
06 19,4

* Nguyên nhân khách quan
- Sau ba tháng nghỉ hè kiến thức cũ của học sinh mai một nhiều.
- Phân phối chương trình Tốn 11 khơng có tiết ơn tập đầu năm số tiết học Tốn giảm
nhiều so với chương trình cũ.

* Nguyên nhân chủ quan
- Đa số các em học sinh chưa có động cơ học tập đúng đắn.
- Chưa phát huy được tính tự học, tự rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo trong việc học
tốn nói riêng và học tập nói chung .
- Chưa có phương pháp học để khắc sâu kiến thức để từ đó vận dụng kiến thức một
cách linh hoạt vào việc giải toán, kĩ năng tính tốn, kĩ năng giải phương trình lượng
giác ...còn yếu.
c. Các giải pháp thực hiện
Để đạt được kết quả cao trong việc học toán nhất là chủ đề “Lượng giác” đòi hỏi học
sinh cần nắm vững kiến thức từ thấp đến cao, phải học toán thường xuyên liên tục,
biết quan sát bài toán và định hướng được phương pháp giải, biết vận dụng và kết nối
các chuỗi kiến thức đã học để từ đó tiếp thu dể dàng hơn, thuận lợi hơn trong q trình
giải tốn góp phần triệt để đổi mới chương trình mơn Tốn trung học phổ thơng.
Trong u cầu đổi mới chương trình và phương pháp giảng dạy Toán ở trường THPT
Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn

Trang

2


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

với phương châm “lấy học sinh làm trung tâm” kết hợp với kết quả khảo sát đầu năm
học trong chuyên đề này tơi đưa ra giải pháp chính là: hệ thống lại “Các công thức
lượng giác liên quan, công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản và
phương pháp giải các phương trình lượng giác thường gặp đồng thời nêu lên hướng
mở rộng, nâng cao” đảm bảo cho tính liên tục và tính thực tiễn thuận lợi cho học sinh
trong việc học, rèn luyện và ôn tập.
Phần II

NỘI DUNG
A. CÁC KIẾN THỨC CĨ LIÊN QUAN:
 Cơng thức cộng:
 cos(a  b) = cosa cosb + sina sinb

 cos(a + b) = cosa cosb  sina sinb

 sin(a  b) = sina cosb  cosa sinb

 sin(a + b) = sina cosb + cosa sinb

 tan(a  b) 

tana  tanb
1 tantanb

 tan(a  b) 

tana  tanb
1 tanatanb

 Công thức nhân đôi:
 cos2a = cos2a  sin2a = 2cos2a  1 = 1  2sin2a
 tan 2a 

 sin2a = 2sinacosa

2 tan a
1  tan 2 a

 Công thức hạ bậc:
 cos 2 a 

1  cos 2a
2

 sin 2 a 

1  cos 2a
2

 Công thức biến đổi tích thành tổng:
1
2

cos  a  b   cos  a  b  �
 cosa.cosb  �
�
�

 sina.sinb  

1
[cos  a  b   cos(a  b)]
2

1
2

sin  a  b   sin  a  b  �

 sin a.cos b  �
�
�

 Cơng thức biến đổi tổng thành tích:
 cosa  cos b  2cos

ab
a b
cos
2
2

Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn

 cos a  cos b  2sin

ab
a b
sin
2
2
Trang

3


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

 sina  sinb  2sin

ab
a b
cos
2
2

 sina  sinb  2cos

ab
a b
sin
2
2

 Một số cung liên quan đặc biệt
Cung đối:(cos đối)

* /  sin( x)   sin x
* /  tan(  x)   tan x

* /  cos( x)  cos x
* /  cot( x)   cot x

Cung phụ:(phụ chéo)



 x)  sin x
2


* /  cot(  x)  tan x
2
 Phương trình lượng giác cơ bản:

* /  sin(  x)  cos x
2

* /  tan(  x)  cot x
2

* /  cos(

Cung bù: (sin bù)
* /  sin(  x)  sin x
* /  cos(  x)   cos x
* /  tan(  x)   tan x * /  cot(  x)   cot x
Cung khác  : (khác  tang và côtang)
* /  sin( x � )   sin x
* /  tan( x � )  tan x

* /  cos( x � )   cos x
* /  cot( x � )  cot x

a. Phương trình sin x  a
� a  1 : Phương trình vơ nghiệm
ţ

a

1
x    k 2
�
 k ��
x      k 2
�

 sin x  sin  � �

�
x   0  k 3600
 k ��
 sin x  sin  � �
x  1800   0  k 3600
�
0

x  arc sin a  k 2
�
 k ��
x    arc sin a  k 2
�

 sin x  a � �

�f  x   g  x   k 2

Tổng quát: sin f  x   sin g  x  � �

�f  x     g  x   k 2

 k ��

* Các trường hợp đặc biệt


 k 2  k ��
2

� sin x  1 � x    k 2  k ��
2
� sin x  0 � x  k  k ��
� sin x  1 � x 

b.Phương trình cos x  a

� a  1 : Phương trình vơ nghiệm
ţ a 1

 cosx  cos � x  �  k 2  k ��
0
0
0
 cosx  cos � x  �  k 360  k ��
 cosx  a � x  �arccosa  k 2  k ��
Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn

Trang

4

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Tổng quát: cosf  x   cosg  x  � f  x   �g  x   k 2  k ��
* Các trường hợp đặc biệt

 k ��
� cosx  1 � x    k 2  k ��
� cosx  1 � x  k 2

� cosx  0 � x 


 k  k ��
2

c. Phương trình tan x  a

 k ��
�tan x  t an 0 � x= 0  k180 0  k ��
�tan x  a � x = arctan a  k  k ��
Tổng quát: tan f  x   tan g  x  � f  x   g  x   k  k ��
�tan x  t an � x =   k

d. Phương trình cot x  a

 k ��
�cot x  cot  0 � x =  0 + k180 0  k ��
�cot x  a � x = arc cot a + k  k ��

Tổng quát: cotf  x   cotg  x  � f  x   g  x   k  k ��
�cot x  cot  � x =  + k

B. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ
LƯỢNG GIÁC.
1.1 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
Định nghĩa: phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình
có dạng at  b  0 (1) trong đó a,b là các hằng số  a �0  và t là một trong các hàm số
lượng giác.
Phương pháp giải: Biến đổi đưa phương trình (1) về các phương trình lượng giác cơ
bản.
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau
a)2sin x  1  0; b)cos2 x 

1
 0; c)3tan x  1  0; d ) 3 cot x  1  0
2

Giải
a)

� 
x   k 2
�
1

6
2sin x  1  0 � sin x  � sin x  sin � �
 k ��

5
2
6
�
x
 k 2
�
� 6

Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn

Trang

5


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
1
1
2
2
 0 � cos2 x 
� cos2 x  cos
� 2 x  �  k 2  k ��
2
2
3
3

� x  �  k  k ��

3
1
1
c) 3 tan x  1  0 � tan x  � x  arctan  k  k ��
3
3
1
2
2
d)
3 cot x  1  0 � cot x 
� cot x  cot
� x
 k  k ��
3
3
3
Ví dụ 2: Giải phương trình sau: 2 cos x  sin 2 x  0 (Phương trình đưa về phương trình
b) cos2 x 

bậc nhất đối với một hàm số lượng giác)
cos x  sin 2 x  0 � cos x  2sin x cos x  0 � cos x  1  2sin x   0
Giải
� 
x   k
�
2
cos x  0
�
�

cos x  0
�

��
��
��
x   l  k , l ��
1
� 6
�
1  2sin x  0
sin x 
�
�
�
2
5
�
x
 l
� 6

1.2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình
có dạng at 2  bt  c  0 (2), trong đó a, b, c là các hằng số  a �0  và t là một trong các
hàm số lượng giác.
Cách giải: Biến đổi đưa phương trình (2) về các phương trình lượng giác cơ bản.
Ví dụ 3:
a) 2sin 2 x  sin x  3  0 là phương trình bậc hai đối với sin x .
b) cos 2 x  3cosx  1  0 là phương trình bậc hai đối với cos2 x .

c) 2 tan 2 x  tan x  3  0 là phương trình bậc hai đối với tan x .
d) 3cot 2 3x  2 3 cot 3 x  3  0 là phương trình bậc hai đối với cot 3x .
Giải
a ) 2sin x  sin x  3  0(1)
2

Đặt t  sin x , điều kiện t �1 . Phương trình (1) trở thành:
t  1  nhân 
�
�
2t  t  3  0 �
3
�
t   loai 
� 2
Với t=1, ta được sin x  1 � x  k 2  k ��
2

b) cos 2 x  3cosx  1  0  2 

Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn

Trang

6


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Đặt t  cosx , điều kiện t �1 . Phương trình (2) trở thành:

� 3  13
t
 nhân 
�
2
2
t  3t  1  0 � �
� 3  13
t
 loai 
�
�
2
3  13
3  13
3  13
� x  �arccos
 k 2  k ��
Với t 
ta được cosx 
2
2
2

Các câu cịn lại giải tương tự
Ví dụ 4: Giải các phương trình sau:

b)7 tan x  4 cot x  12

a )3sin 22 x  7 cos 2 x  3  0

Giải





a )3sin 2 2 x  7 cos 2 x  3  0 � 3 1  cos 2 2 x  7 cos 2 x  3  0
� 3cos 2 2 x  7 cos 2 x  0 � cos 2 x  3cos 2 x  7   0
cos 2 x  0
�
��
3cos 2 x  7  0
�




 k � x   k ,  k ��
2
4
2
7
*) Giải phương trình: 3cos 2 x  7  0 � cos 2 x 
3
7
Vì  1 nên phương trình 3cos 2 x  7  0 vô nghiệm.
3



Kết luận: vậy nghiệm của phương trình đã cho là x   k ,  k ��
4
2
b)7 tan x  4 cot x  12  1

*) Giải phương trình: cos 2 x  0 � 2 x 

Điều kiện: sin x �0 và cos x �0
Khi đó:
1
 12  0 � 7 tan 2 x  12 tan x  4  0
tan x
t

tan
x
Đặt
, ta giải phương trình bậc hai theo t: 7t 2  4t  12  0

 1 � 7 tan x  4.

Bài tập tương tự
Bài tập 1. Giải các phương trình sau:
a) 2 cos x  3  0

b) 3 tan 3 x  3  0

Bài tập 2. Giải các phương trình sau:
a) 2cos2 x  3cosx  1 0 b) cos2 x  sin x  1 0
d) 2sin 2 x  5sinx – 3  0

h) tan x  2 cot x  3  0

� �
c) 2sin �3x  � 3  0
�

6�

c) 2cos2x  4cos x  1

�
� �
2�
3 tan 2 x  (1  3) tan x =0 g) sin  �x  � 2cos  �x  � 1
� 3�
� 3�
4
2
4
4
i) 2 cot x  6 cot x  4  0 k) sin x  cos x  cos x  2

e)

Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn

Trang

7

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Bài tập trắc nghiệm:
Câu 1. Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
A . 3 cos x  1 0 . B. 3 sin x  4 0 .
C. 3 tan x  1 0 . D. cot x  2 0 .
Câu 2. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình: cos 2 x  3 cos x  2 0 .
A. x  k 2 .

B. x  k .

C. x 


 k 2 .
2


 k 2 .
2

3 cot(2 x  30 0 )  3 0 .

Câu3.Tìm tất cả các nghiệm của phương trình:

k
,k  Z .
2
D. x 60 0  k 90 0 , k  Z .

B. x 30 0 

A. x 30 0  k180 0 , k  Z .
C. x 30 0  k 90 0 , k  Z .
Câu 4. Tìm tập nghiệm T của phương trình .

 3



A. T    k 2 ; arcsin(  3)  k 2 , k  Z  .



 6

D. x  

 

B. T    k 2 ;   arcsin(  3)  k 2 , k  Z 


3




 3



C. T    k 2 , k  Z  .



D. T    k 2 , k  Z  .





DẠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sinx và cosx

asinx  bcosx  c.

Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x là phương trình có
dạng a sin x  b cos x  c trong đó a, b, c v a 2 b 2 0
Cách giải:
Ta cã thĨ lùa chän 1 trong 2 c¸ch sau:
C¸ch 1: Chia hai vế phương trình cho a 2  b 2 ta được:
a
a b
2

 Nếu
 Nếu

2

b

sin x 
c

a  b2
2

c
a 2  b2

a b
2

2

cos x 

c
a  b2
2

 1 : Phương trình vơ nghiệm.
�1 thì đặt cos 

(hoặc sin  

a
a 2  b2

� cos 

a
a 2  b2
b

� sin  

a 2  b2

Đưa phương trình về dạng: sin  x    

b
a 2  b2

)
c

a b
2

2

(hoặc cos  x    

c
a  b2
2

) sau đó

giải phương trình lượng giác cơ bản.
Chú ý: Phương trình a sin x  b cos x  c trong đó a, b, c �� và a 2  b 2 �0 có nghiệm khi
c 2 �a 2  b 2 .
Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn

Trang

8


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

C¸ch 2: Thùc hiƯn theo c¸c bíc
x
Bíc 1: Víi cos  0 � x    k 2 (k ) thử vào phơng trình (1) xem
2
có là nghiệm hay kh«ng?
x
0 �x  k 2 (k Z )
Bíc 2: Víi cos
2
x
2t
1 t2
Đặt t tan suy ra sin x
,
cos
x

2
1 t2
1 t2
Khi đó phơng trình (1) có dạng
2t
1 t2
a
b
c � (c  b)t 2  2at  c b 0 (2)
2
2
1 t
1 t
Bớc 3: Giải phơng trình (2) theo t , sau đó giải tìm x.
* Dạng đặc biệt:

. sin x cos x 0 � x    k (k ��)
4

. sin x  cos x  0 � x   k (k ��) .
4
Chó ý: Tõ c¸ch 1 ta cã kÕt qu¶ sau
 a 2  b 2 �a sin x  b cos x � a 2  b 2 từ kết quả đó ta có thể áp dụng
tìm GTLN và GTNN của các hàm số có dạng y a sin x  b cos x ,
a sin x b cos x
y
và phơng pháp đánh giá cho một số phơng trình lc sin x d cos x
ợng giác .
Ví dụ: Giải phơng trình: sin 2 x 3cos 2 x 3 (1)

Giải :
Cách 1: Chia cả hai vế phơng trình (1) cho 12 32 10 ta đợc
1
3
3
sin 2 x
cos 2 x
10
10
10
3
1
sin ,
cos . Lúc đó phơng trình (1) viết đợc dới
Đặt
10
10
dạng
cos sin 2 x sin cos 2 x  sin  � sin(2 x   )  sin x
x    k
�
2 x      k 2
�
�
��
�

�
2
x








k
2

x   k
�
� 2
Vậy phơng trình có 2 nghiệm
Gv thc hin: Nguyn Thanh Nhàn

k ��

Trang

9


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GP

Cách 2:Ta nhận thấy cos x 0 là nghiệm của phơng trình

0 x
k , k . Đặt t  tan x ,ta cã
-Víi cos x �۹

2
2t
1 t2
sin 2 x
, cos 2 x
1 t2
1 t2
Phơng trình (1) sÏ cã d¹ng
2t
1 t2
 3
 3 � 2t  3(1  t 2 )  3(1  t 2 ) � t  3
2
2
1 t
1 t
Hay tan x  3  tan  � x    k , k
Vậy phơng trình có 2 họ nghiệm
Cách 3: Biến đổi phơng trình về dạng
sin 2 x 3(1  cos 2 x) � 2sin x.cos x  6cos 2 x
cos x  0
tan x  3  tan 
�
�
� (sin x  3cos x)cos x  0 � �
��
sin x  3cos x  0
cos x  0
�
�

x    k
�
�� 
, k ��
�
x   k
� 2
Vậy phơng trình có hai họ nghiệm
Bi tp tng t:
Bi tập 1: Giải các phương trình sau:
a) sin x  cos x  1;
b) 3cos 2 x  4sin 2 x  1;
Bài tập 2: Giải các phương trình sau:
a) 2sin x  2cos x  2
b) 3sin x  4cos x  5c) 3sin x  1  4cos x  1  5
d) 3cos x  4sin x  5
e) 2sin 2 x  2 cos 2 x  2 g) 5sin 2 x  6 cos 2 x  13;(*)
� � 1

4
4
h) sin x  cos �x  � (*)
i) sin x  3cosx
� 4� 4
Chú ý: Tùy từng bài có thể đặt theo lý thuyết nhưng có một số bài lại khơng nên dập
khn q máy móc nên tìm cách giải phù hợp đối với từng loại bài .
Bài tập trắc nghiệm:

1
2  sin x  cos x   cos 2 x là:

2
2

B.   k , k �Z C.  k 2 , k �Z
3
6

Câu 1. Các nghiệm của phương trình
A.

3
 k 2 , k �Z
2

Câu 2: Phương trình nào sau đây vơ nghiệm:
A. 3 sin 2 x  cos 2 x  2
C. sin x  cos


4

Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn

D. 


 k , k �Z
4

B. 3sin x  4 cos x  5

D. 3 sin x  cos x  3
Trang

10


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Câu 3: Phương trình: 3.sin 3x  cos 3x  1 tương đương với phương trình nào sau đây:
� � 
� � 1
� � 1
� � 1
3x  � 
3x  �
A. sin �3x  � 
B. sin �3x  � 
C. sin �
D. sin �
6�

6� 6
6� 2
�
m
Câu 4: Tìm m để pt sin2x + cos2x =
có nghiệm là:
2
A. 1  5 �m �1  5 B. 1  3 �m �1  3
C. 1  2 �m �1  2

�

2

�

6� 2

�

D. 0 �m �2
Câu 5: Nghiệm dương nhỏ nhất của pt (2sinx – cosx) (1+ cosx ) = sin x là:
2

A. x 


6

B. x 

5
6

C. x  

D.


12

Câu 6: Tìm m để pt 2sin2x + m.sin2x = 2m vơ nghiệm:
A. 0 < m <

4
3

4
3

4
3

B. 0 �m �

C. m �0; m �

4
3

D. m < 0 ; m �

DẠNG 3 : MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC GIẢI ĐƯA VỀ
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
DẠNG 3. 1 PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI sinx và cosx
a (s inx �cos x)  bsinx .cosx  c

Định nghĩa: Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx là phương trình có
dạng a(s inx �cos x)  bsinx .cosx  c
Cách giải

1)
Phương trình chứa tổng và tích (cịn gọi là phương trình đối xứng theo sin và
cơsin)
 Dạng phương trình:
a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c  R) (1)


 Cách giải : Đặt t = sinx + cosx = 2 sin x    t  2


4

� t  1  2sin x cos x
2

t 2 1
(*)
2
t2  1

at

b
.
 c 0  bt 2  2at  2c  b 0 (1.1) .
(1)
2

� sin x cos x 

Giải phương trình (1.1) chọn nghiệm t = t0 thỏa mãn t 0  2 .
Thay giá trị t0 vào PT (*) và giải PT sin2x = t 02  1 để tìm x.
2)
Phương trình chứa hiệu và tích ( cịn gọi là phương trình phản xứng)
 Dạng phương trình:
a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c  R) (2)

 Cách giải : Đặt t = sinx - cosx = 2 sin x 


Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn


  t  2
4

Trang

11


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
� t 2  1  2sin x cos x
1 t2
� sin x cos x 
(**)
2
1 t2
� at  b.
c  0

2
(1)
.
2
� bt  2at  2c  b  0 (2.1)

Giải phương trình (2.1) chọn nghiệm t = t0 thỏa mãn t 0  2 .
Thay giá trị t0 vào PT (**) và giải PT sin2x = 1- t 02 để tìm x
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
a. s inx+sin 2 x  cos3 x  0
3
2
2  s inx+cosx   t anx+cotx

b. sin 3 x  cos3 x  1  sin 2 x

c.
d. 3  cot x  cosx   5  t anx-sinx   2
Giải
a. s inx+sin x  cos x  0 .
2

3

� s inx+sin 2 x  cos 3 x  0 � s inx  1  s inx   cosx  1  sin 2 x   0
�  1  s inx   s inx+cosx  1-sinx  

� 
x   k 2
s inx=1

�
0� �
�� 2
�2
sinx+cosx-sinxcosx=0
�
t  2t  1  0
�

�
t  1  2   2  l 
� �
�  � 2 1
��
� 2 sin �x  � 2  1 � sin �x  �
 sin 
2
� 4�
� 4�
�
t  2 1
�


�
x     k 2
�
4
 k �Z 
Do đó : �

3
�
x
   k 2
� 4
3
sin 3 x  cos3 x  1  sin 2 x
2
b.
(1)
�  s inx+cosx   1  s inxcosx   1  3sin xcosx

2
� t 2 1 �
�t 2  1 � �3  t 2 � 2  3  t  1
1
Đặt : t  s inx+cosx; t � 2 �  1 � t �
� 1  3 �
�� t �
�
2
� 2 �
�2 � �2 �
�
t  1
�
� t 3  3t 2  3t  1  0 �  t  1  t 2  4t  1  0 � �
t  2  3   2  l  .
�
t  2  3

�

Do đó phương trình :

Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn

Trang

12


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
� � � 1
�
� �

�
sin �x  �
x  k 2 �x   k 2
�
� 2 sin �x  4 � 1
�
4
�
� 2
�
�
2
��
��

��
� �  � 32

3
�
� �
�
x     k 2 �x 
   k 2
sin �x  �
 sin 
�
� 2 sin �x  � 3  2
�
4
4
� 4�
2
�
� � 4�
s inx �0
�

 x k  * . Khi đó phương trình (c)
c. 2  s inx+cosx   t anx+cotx . Điều kiện : �
cosx �0
2
�
sinx cosx
1

+

� 2  s inx+cosx  s inxcosx=1
trở thành : � 2  s inx+cosx  
cosx sinx sinx.cosx
�
t  s inx+cosx � t � 2
�
Đặt : �
. Thay vào phương trình ta được :
t 2 1
s inxcosx=
�
�
2
2
�t  1 �
3
3
2
� 2t �
� 1 � 2t  2t  2  0 � t  t  2  0 � t  2 t  2t  1  0
�2 �








� �
� �
� t  2 � 2 sin �x  � 2 � sin �x  � 1 � x   k 2  k �Z 
4
� 4�
� 4�

Thỏa mãn điều kiện .
s inx �0
�
 x
cosx �0
�

d. 3  cot x  cosx   5  t anx-sinx   2 . Điều kiện : �
cos x

sin x

k


 * .
2

1

�
�

�
�

 s inx-cosx � 2  2sin x �
 1�
Khi đó : � 3 �
�s inx cosx
�
�cosx �
1  cosx � �
�cosx+ s inx � � �
� 3  cosx-sinx  �
 1 � 2 �
s inx �
� 1�
�s inxcosx
� � � cosx � �
�s inx+cosx-sinxcosx �
 2�
�
cosx
�
�
�cosx+ s inx-sinxcosx � �s inx+cosx-sinxcosx �
� 3  cosx-sinx  �
� 2 �
� 0
s inxcosx
cosx
�

� �
�
 cosx+sinx-sinxcosx  �3  cosx-sinx   2 � 0
�
�
�
cosx
� sinx
�
cosx+sinx-sinxcosx=0
�
��
3  cosx-sinx   0
�


4

Trường hợp : cosx-sinx=0 � tanx=1 � x=  k  k �Z 
Trường hợp : sinx+cosx-sinx cosx=0 .
�
t  s inx+cosx � t � 2
�
Đặt : �
Cho nên phương trình :
t 2 1
s inxcosx=
�
�
2

Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn

Trang

13


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
�t

�
t  1  2   2  l 
t 2 1
 0 � t 2  2t  1  0 � �
2
�
t  2 1
�

� �
� 2 sin �x  � 2  1
� 4�


�
x




 k 2
�
�  � 2 1
4
� sin �x  �
 sin  � �
 k �Z 
3
2
� 4�
�
x
   k 2
� 4

Bài tập tương tự:
Bài tập 1: Giải các phương trình sau:
a ) 3  sin x  cos x   2sin 2 x  3  0

b) sin x  cos x  4sin x cos x  1  0

c) sin 2 x  12  sin x  cos x   12  0

d ) sin 3 x  cos3 x  1

Bài tập 2: Giải các phương trình sau :
3
2
d. 3  cot x  cosx   5  t anx-sinx   2

b. sin 3 x  cos3 x  1  sin 2 x

a. s inx+sin 2 x  cos3 x  0
c. 2  s inx+cosx   t anx+cotx

DẠNG 3.2 PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI ĐỐI VỚI sinx và cosx
a sin 2 x  b sin x.cosx  ccos 2 x  d

Định nghĩa: Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x là phương
2
2
trình có dạng a.sin x  b.sin x cos x  c.cos x  d  a, b, c �0 
Cách giải:
 Cách giải 1: (Dùng cơng thức hạ bậc đưa về PT bậc nhất theo sin và
côsin cùng cung)
1  cos 2 x b
1  cos 2 x
 sin 2 x  c
d 0
2
2
2
� b sin 2 x  (c  a) cos 2 x  (2d  a  c) .

(1) � a

 Cách giải 2 (Đưa về PT bậc hai đối với hàm tanx)
� Kiểm tra cos x  0 có là nghiệm khơng, nếu có thì nhận nghiệm này.
� cos x �0 chia cả hai vế cho cos 2 x đưa về phương trình bậc hai theo tan x :

 a  d  tan 2 x  b tan x  c  d  0

Ví dụ: Giải phương trình
a. cos2x - 3 sin2x = 1 + sin2x
b. 4sin2x – 3sinxcosx +  3  4  cos2x = 4
c. 10 cos2x – 5sinxcosx + 3sin2x = 4
Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn

(1)
(2)
(3)
Trang

14


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

d. cos2x + sinxcosx + 3sin2x = 3.
GIẢI
2
2
a.(1)  cos x  sin x   3 sin 2 x 1  cos 2 x  3 sin 2 x 1

(4)

1
3
1




cos 2 x 
sin 2 x   cos 2 x   cos
2
2
2
3
3

b. +Xét cosx = 0 thì sin 2 x 1 nghiệm đúng phương trình (2).

Vậy (2) có nghiệm x   k .
2


+Xét cos x 0 . Chia hai vế PT(2) cho cos 2 x và thay

1
1  tan 2 x và đặt ăn
2
cos x

phụ t = tanx :
3


 tan x tan  x   k
3
6

6


Vậy PT (2) có hai họ nghiệm là : x   k ; x   k ; k  Z
2
6
5
3
c. (3)  5(1  cos 2 x)  sin 2 x  (1  cos 2 x) 3
2
2
 7 cos 2 x  5 sin 2 x  7
d. +Xét cosx = 0 thì sin 2 x 1 nghiệm đúng phương trình (2).

Vậy (2) có nghiệm x   k .
2
1
1  tan 2 x và đặt ẩn
+Xét cos x 0 . Chia hai vế PT(2) cho cos 2 x và thay
2
cos x

Ta có : 4t 2  3t  3  4 4(1  t 2 )  t 

phụ t = tanx :
Ta có : 1  t  3t 2 3(1  t 2 )  t 2  tan x 2  x arctan 2  k
Bài tập tương tự:
Bài tập 1: Giải các phương trình sau:





a) 3sin 2 x  8sin x cos x  8 3  9 cos 2 x  0
c) sin 2 x  sin 2 x  2cos 2 x 

1
2

b) 4sin 2 x  3 3 sin 2 x  2cos 2 x  4





d ) 2sin 2 x  3  3 sin x cos x 





3  1 cos 2 x  1

Phương trình thuần nhất bậc cao theo sin và côsin
cùng một cung
Ví dụ 1: Giải phương trình: tan x sin x cos x  cos 2 x (1)
Giải cách 1:

2
+(1)  sin x sin x cos 2 x  cos 3 x (*)

+ĐK: x   m .

(đẳng cấp bậc 3).
+cosx = 0 không nghiệm đúng PT. (vì 1 0 ; vơ lý)
Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn

Trang

15


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

+cosx 0, chia hai vế (*) cho cos3x được :
tan x(1  tan 2 x)  tan x  1  t 3  1  t  1  tan x  1  x 

Giải cách 2:
(*)  sin x(1  cos 2 x)  cos 3 x  sin 3 x  cos 3 x
tan 3 x  1  tan x  1  x 


 k (t = tanx)
4

(**)


 k
4

Chú ý:Theo cách giải 2 đã nêu là biến đổi về PT tích nên tơi minh họa lại như
sau:
(**)  sin 3 x  cos3 x 0  (sin x  cos x)(1  sin x cos x) 0  (sin x  cos x)(2  sin 2 x) 0
 sin x  cos x 0  tan x  1  x 


 k
4

.

Ví dụ 2 : Giải phương trình 3cos4x – 4sin2xcos2x + sin4x = 0 (4) (đẳng cấp
bậc 4)
Giải cách 1:
+ cosx = 0 thì sinx = 1 khơng nghiệm đúng ptrình . Vậy cosx 0
+ Chia hai vế (2) cho cos4x rồi đặt ẩn phụ t = tan2 x thì được:
t 2  4t  3 0  t 1  t 3

Giải cách 2:
(4)  (3 cos 4 x  3 sin 2 x cos 2 x)  (sin 2 x cos 2 x  sin 4 x) 0
 3 cos 2 x(cos 2 x  sin 2 x)  sin 2 x(cos 2 x  sin 2 x) 0
cos 2 x 0
 cos 2 x (3 cos 2 x  sin 2 x ) 0  
 tan x  3
Ví dụ 3: Giải phương trình : sin 6 x  cos 6 x cos 2 2 x  sin x cos x (5)

Giải cách 1:
Nếu biến đổi : sin 6 x  cos6 x (sin 2 x  cos2 x)(sin 4 x  cos 4 x  sin 2 x cos2 x)
= sin 4 x  cos 4 x  sin 2 x cos 2 x

Và biến đổi : cos 2 2 x (cos 2 x  sin 2 x) 2 cos 4 x  sin 4 x  2 sin 2 x cos 2 x
Thì PT (5)  sin 2 x cos 2 x  sin x cos x 0 (*)
Khi đó PT (*) giải tiếp theo cách giải 1 hoặc cách giải 2 đã nêu trên là đơn giản
+ Nếu từ PT: sin 6 x  cos 6 x (cos 2 x  sin 2 x) 2  sin x cos x (đẳng cấp bậc 6)
Làm theo cách giải (1) sau bước 2 đã thu gọn ta được phương trình:
 t 0

5
4
3
2
(Với t = tanx ) t  t  2t  t  t 0  

4
3
2
t  t  2t  t  1 0 (5.1)
1 1
 2 1   1
2
Khi đó PT (5.1)  t  t  2   2 0   t  2    t    2 0 (5.2)
t t
t   t

1
PT (5.2) đặt ẩn phụ u t  thì được PT bậc hai u 2  u 0  u 0  u  1 .
t

Trở lại với ẩn t thì các PT này vô nghiệm.
+ Với t = 0  tan x 0  x k .

Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn

Trang

16


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Chú ý: Khi xét cosx = 0 thì nó nghiệm đúng PT đẳng cấp bậc 6 nên:
x


k
 k cũng là nghiệm PT. Kết hợp nghiệm thì được x =
phù hợp với mọi
2
2

cách giải.
Bài tập tương tự:
1) Giải phương trình sinxsin2x + sin3x = 6cos3x
(đẳng cấp bậc
3)
2) Giải phương trình sin3x + cos3x + 2cosx = 0 (đẳng cấp bậc 3)
3) Giải phương trình sinx – 4sin3x + cosx = 0
(đẳng cấp bậc 3)
3
3
4) Giải phương trình : sin x  cos x  sinx  cosx

(đẳng cấp bậc 3)
5) Giải phương trình : 3 (sin 3x  cos x) cos 3x  sin x (đẳng cấp bậc 3)
6) Giải phương trình : 3 (cos 3x  sin x) sin 3x  cos x
(đẳng cấp bậc 3)
3
3
7) Giải phương trình : sin x  cos x  sinx  cosx
(đẳng cấp bậc 3)
4
4
8) Giải phương trình : 4 (sin x  cos x)  3 sin 4 x  2
(đẳng cấp bậc 4)
6
6
9) Giải phương trình : 8sin x  cos x   3 3 sin 4 x 2
(đẳng cấp bậc 6)
6
6
2
10) Giải phương trình : sin x  cos x  2cos x  1
(đẳng cấp bậc 6)
Bài tập trắc nghiệm :
Câu 1: Nghiệm dương nhỏ nhất của pt (2sinx – cosx) (1+ cosx ) = sin2x là:
sin 3 x
 0 thuộc đoạn  2 ; 4  là:
cos x  1
A. 2
B. 4
C. 5
D. 6

Câu 3. Phương trình 2sin 2 x  2sin x cos x  cos 2 x  1 có nghiệm là:

Câu 2: Số nghiệm của phương trình


 k 2 � x  k
B. x  k � x  k 2
6


C. x   k � x  k
D. Đáp án khác.
8
2
Câu 4. Phương trình 6sin 2 x  7 3 sin 2 x  8cos 2 x  6 có các nghiệm là:
� 
� 
� 
� 3
x


k

x


k

x



k

x
 k
� 2
� 4
� 8
�
4
A. �
B. �
C. �
D. �


2

�
�
�
�
x   k
x   k
x
 k
x   k
� 6
� 3

� 12
� 3
A. x 

Câu 5. Phương trình sin4x + cos4x = 2cos2x - 1.



 k 2 B) x    k 2 C) x  k D) x   k
2
2
Câu 6. Phương trình sin8 x  cos6 x  3  sin 6 x  cos8 x  có các họ nghiệm là:
A) x 

Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn

Trang

17


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

� 
x   k
�
4
A. �



�
x k
� 12
7

� 
x   k
�
3
B. �


�
x k
� 6
2

� 
x   k
�
5
C. �


�
x k
� 7
2

� 

x   k
�
8
D. �


�
x k
� 9
3

DẠNG 4: MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC
Cách giải
+ Dùng các cơng thức biến đổi về các phương trình đã biết
+ Đưa về phương trình tích.
+ Áp dụng một số tính chất đặc biệt trong biến đổi đại số
�A  0
�B  0

2
2
+ Áp dụng tính chất: A  B  0 � �

 A M  hay A M 
�
�A  M
+ Áp dụng tính chất: �B �N  hay B �N  � �
�B  N
�A  B  M  N
�

�A �M
�A  M
�
+ Áp dụng tính chất: �B �M � �
�B  M
�A  B
�

Bài 1: Giải phương trình sin 3 x  sin 2 x  2 cos x  2 0
Giải : (1)  (1  cos x)(sin x  cos x  sin x cos x  1) 0

(1)

 x k 2
cos x 1
 
 
 x  k
sin
x

cos
x

sin
x
cos
x

1


0


2

Bài tập áp dụng:
Bài tập 1: Giải các phương trình:
a) cosxcos7x = cos3xcos5x

(1)

c) sin 2 4 x  sin 2 3x  sin 2 2 x  sin 2 x

b) sin2x + sin4x = sin6x

(3) d) sin 3 x  cos3 x  cos 2 x

(2)
(4)

Chú ý: Dùng các cơng thức biến đổi tích về tổng, tổng về tích, cơng thức nhân đơi,
cơng thức hạ bậc và sử dụng các hằng đẳng thức lượng giác.
Giải:
1
1

 1 �  cos8 x  cos6 x    cos8 x  cos 2 x  � cos6 x  cos 2 x � x  k  k �Z 
a)
2

2

Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn

4

Trang

18


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Câu 2 , 3 , 4 giải tương tự
Bài tập 2: Giải các phương trình sau:
a) cos5 x cos 4 x  cos3 x cos 2 x

b) sin x  sin 2 x  sin 3 x  cos x  cos 2 x  cos3 x

c) sin 3 x  sin 5 x  sin 7 x  0

d ) tan x  tan 2 x  tan 3 x

Giải tương tự như bài tập 1
Bài tập 3: Giải các phương trình sau:
a ) sin 2 x  sin 2 2 x  sin 2 3 x  sin 2 4 x 2

b) sin 4 x  cos 4 x 

3  cos 6 x
4

c) 2 cos 2 4 x  sin10 x 1

Cách giải: Dùng công thức hạ bậc để biến đổi
Bài tâp 4: Giải các phương trình sau:
a )  1  sin 2 x   1  tan x   1  tan x

b) tan x  tan 2 x  sin 3 x cos x

c ) tan x  cot 2 x  2cot 4 x

Chú ý: Với dạng bài tập 4 cần phải có điều kiện
Bài tập 5: Giải các phương trình sau:
b) 3  2sin x sin 3 x  3cos 2 x

a) sin x  2 sin 5 x  cos x
c) 2sin x cos 2 x  1  2cos 2 x  sin x  0

Lưu ý: câu a là dạng của pt bậc nhất theo sin x và cos x
Câu b và c đặt nhân tử chung hoặc đưa về pt bậc 3 theo sin x
Bài tập trắc nghiệm:
Câu 1. Nghiệm của phương trình sin   cos x   1 là:



A. x  �  k 2 , k �Z B. x  �  k , k �Z C. x  �  k 2 , k �Z
6

Câu 2. Phương trình

4

3
cos 2 x


 k , k �Z
2

 3tan x  3 có nghiệm là:



 k  , x    k
2
6

C. x  k , x   k
3
A. x 

3

D. x 



 k 2 , x   k

2
6


 k , x    k
D. x 
2
3
B. x 

Câu 3. Cho phương trình cos5 x cos x  cos 4 x cos 2 x  3cos 2 x  1 . Các nghiệm thuộc
khoảng   ;  của phương trình là:
Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn

Trang

19


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

A. 

2 
,
3 3

B. 

 2

,
3 3

Câu 4. Số nghiệm của phương trình

C. 

 
,
2 4

D. 

 
,
2 2

sin 3 x
 0 thuộc đoạn  2 ; 4  là:
cos x  1
D. 6

A. 2
B. 4
C. 5
Câu 5: Nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ của pt sin4x + cos5x = 0 theo thứ tự là:
A. x  




;x 
18
6

B. x  


2
;x 
18
9

C. x  



;x 
18
2

D. x  



;x 
18
3

DẠNG 5. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC KỲ THI ĐẠI HỌC –
THPTQG

KD-2002: Tìm x � 0;14 nghiệm đúng pt: cos3 x  4cos2 x  3cos x  4  0
KB-2002: sin 2 3 x  cos 2 4 x  sin 2 5 x  cos 2 6 x

�
�

sinx 
KA-2002: Tìm nghiệm thuộc  0;2  của pt: 5 �

cos3x  sin 3 x �
� cos2 x  3
1  2sin 2 x �

� 2
x
tan x  cos 2  0
�
4�
2
2
KB-2003: cotx  t anx  4sin 2 x 
sin 2 x
cos2 x
1
 sin 2 x  sin 2 x
KA-2003: cotx  1 
1  t anx
2
KD-2004:  2cos x  1  2sinx  cos x   sin 2 x  sinx

�x
�2

2
KD-2003: sin � 

2
KB-2004: 5sin x  2  3  1  sinx  tan x

KA-2004: Không hỏi về giải pt LG (thay bởi bài hệ thức lượng trong tam giác)

� � � �3
.sin �
3x  �  0
�
4� 2
� 4� �
KB-2005: 1  sinx  cos x  sin 2 x  cos2 x  0
KA-2005: cos 2 3x.cos2 x  cos 2 x  0
KD-2006: cos3 x  cos2 x  cos x  1  0
x�
�
1  t anx.tan � 4
KB-2006: cotx  sinx �
2�
�
4
4
x
KD-2005: cos x  sin x  cos �

KA-2006:

2  cos6 x  sin 6 x   sin x cos x
2  2sinx

0

2

x�
� x
KD-2007: �
sin  cos � 3 cos x  2
2�
� 2
KB-2007: 2sin 2 2 x  sin 7 x  1  sin x
Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn

Trang

20


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP









2
2
KA-2007: 1  sin x cos x  1  cos x sin x  1  sin 2 x

CĐ-2008: cos3x  3 cos3 x  2sin 2 x

KD-2008: 2sin  1  cos 2 x   sin 2 x  1  2cos x
KB-2008: sin 3 x  3 cos3 x  sin x.cos 2 x  3 sin 2 x.cos x

1

KA-2008: sin x

1
�7
�
 4sin �  4 �
� 3 �
�4
�
sin �x 
�
� 2 �

CĐ-2009:  1  2sin x  cos x  1  sin x  cos x
2

KD-2009:

3 cos5 x  2sin 3x.cos 2 x  sin x  0



3
KB-2009: sin x  cos x.sin 2 x  3 cos3x  2 cos 4 x  sin x

KA-2009:

 1  2sin x  cos x
 1  2sin x   1  sin x 



 3

KD-2010: sin 2 x  cos 2 x  3sin x  cos x  1  0

KB-2010:  sin 2 x  cos 2 x  cos x  2cos 2 x  sin x  0

�
�
KA-2010:
� 4 � 1 cos x
1  tan x
2
sin 2 x  2cos x  sin x  1

0
KD-2011:
tan x  3
KB-2011: sin 2 x.cos x  sin x.cos x  cos 2 x  sin x  cos x
1  sin 2 x  cos 2 x
 2 sin x.sin 2 x
KA-2011:
1  cot 2 x
KD-2012: sin 3 x  cos3x  sin x  cos x  2 cos 2 x

 1  sin x  cos 2 x  sin �
�x 





KB-2012: 2 cos x  3 sin x cos x  cos x  3 sin x  1
KA-2012:

3 sin 2 x  cos 2 x  2cos x  1
�
�

�

KA-2013: 1  tan x  2 2 sin �x  �
4

KB- 2013: sin 5 x  2 cos 2 x  1

KD-2013: sin 3x  cos 2 x  sin x  0

�
�
CĐ – 2013: cos �2  x � sin 2 x  0

�

KA- 2014 : sinx  4cosx  2  sin2x

�

�

THPTQG-2015 Tính giá trị của biểu thức P  ( 1  3 cos 2 )( 2  3 cos 2 ) biết sin  

2
3

THPT QG - 2016 Giải phương trình: 2 sin 2 x  7 sin x  4  0 .
Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn

Trang

21


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Phần III
KẾT LUẬN
Phương trình lượng giác là một nội dung quan trọng trong chương trình mơn Tốn lớp
11 nói riêng và bậc THPT nói chung. Vì vậy, bản thân tơi rất chú trọng khi dạy phần
này cho học sinh.
Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân khi dạy phương trình lượng giác cho
học sinh. Tuy bản thân rất cố gắng tìm tịi học hỏi, nhưng chắc hẳn bài viết cịn nhiều
hạn chế, mong các thầy cơ chân tình góp ý và bố sung.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1)
2)
3)
4)

Sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 cơ bản và nâng cao - Nhà xuất bản Giáo dục.

Báo Toán học tuổi trẻ - Nhà xuất bản Giáo dục.
Các đề thi Đại học - Cao đẳng – THPT QG các năm.
Giải toán Đại số và lượng giác 11 – Võ Anh Dũng - Nhà xuất bản Giáo dục.

- Về khả năng áp dụng của sáng kiến: Sáng kiến có thể sử dụng làm giáo án giảng
dạy cho giáo viên và tài liệu học tập cho học sinh trong nhà trường.
8. Những thông tin cần được bảo mật (nếu có): Khơng
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
Trình độ chuyên môn: Nắm vững các kiến thức cơ bản của phần lượng giác và có
phương pháp truyền đạt phù hợp với từng đối tượng học sinh.
Cơ sở vật chất: Lớp học có đầy đủ các trang thiết bị cần thiết cho quá trình học tập.
10. Kết quả đạt được :
Sáng kiến đã nêu lên các dạng phương trình lượng giác thường gặp và các phương
pháp giải phù hợp. Sau khi áp dụng sáng kiến với các lớp trực tiếp giảng dạy tơi thu

được kết quả cụ thể như sau:
Giỏi
Khá
Trung Bình
Yếu
Kém
Lớp Sĩ số
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
11A1 36
03
8,3
06 16,7
21
58,3 04 11,1 02
5,6
11A3 31
0
03
9,7
20
64,5 05 16,1 03

9,7
11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng
kiến lần đầu :
TT Tên tổ chức/cá nhân
Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn

Địa chỉ

Phạm vi/Lĩnh vực
Trang

22


PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

áp dụng sáng kiến
l

11A1

2

11A3

Trường THPT Triệu TháiĐại số và giải tích
– Vĩnh Phúc

Lập Thạch, ngày tháng
năm 2018

Thủ trưởng đơn vị

Lập Thạch, ngày 25 tháng 10 năm 2018
Tác giả sáng kiến

Nguyễn Thanh Nhàn

Gv thực hiện: Nguyễn Thanh Nhàn

Trang

23