(Sáng kiến kinh nghiệm) báo cáo kết quả nghiên cứu ứng dụng sáng kiến phân dạng và phương pháp giải toán trắc nghiệm phần sự biến thiên của hàm số giải tích 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT TRẦN HƯNG ĐẠO

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

PHÂN DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM

PHẦN SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ-GIẢI TÍCH 12

Tác giả sáng kiến: Trần Thanh Tùng
Mã sáng kiến: 09.52.05

Tam Dương, năm 2018


BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ÚNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu
Thay đổi hình thức thi trắc nghiệm bắt buộc cách học cũng như cách giải phải
thay đổi sao cho phù hợp nhất. Từ năm 2017, phương án tổ chức kỳ thi THPT Quốc
gia của Bộ GD&ĐT đã có nhiều sự thay đổi, thay đổi lớn nhất là thi trắc nghiệm
mơn Tốn. Nếu như trước đây học sinh cần nắm chắc kiến thức và học trình bày
theo các bước cho đúng thứ tự thì bây giờ yêu cầu thêm nữa đó là kiến thức rộng
hơn.
Trong kỳ thi THPT Quốc gia và thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh một trong các
bài toán thường gặp là bài toán về sự biến thiên của hàm số. Nên việc trang bị cho
học sinh ôn thi THPT Quốc gia và đội tuyển HSG Toán các kiến thức và phương
pháp giải bài toán vềsự biến thiên của hàm số là hết sức cần thiết. Từ yêu cầu trên
tôi đã hệ thống lại và đưa ra các phương pháp gải toán trắc nghiệm về sự biến thiên
của hàm số. Ở phần này tôi tập hợp các bài tập điển hình nhằm mục đích cung cấp

cho học sinh các lớp ơn thi THPT Quốc gia có một cách tư duy mới hơn khi làm trắc
nghiệm.
2. Tên sáng kiến:
Phân dạng và phương pháp giải toán trắc nghiệm phần Sự biến thiên của
hàm số -Giải tích 12
3. Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: Trần Thanh Tùng
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Trần Hưng Đạo, Thị trấn Hợp Hòa,
Huyện Tam Dương – Tỉnh Vĩnh Phúc
- Số điện thoại: 0912 880 895;
- E_mail:
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Trần Thanh Tùng
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:
Đề tài này, tôi tập trung tổng hợp kiến thức, phân dạng các bài toán liên quan
và đưa ra một số phương pháp giải toán trắc nghiệm trong q trình giảng dạy ơn thi
THPT Quốc gia.Qua đó, giúp học sinh tìm ra được phương pháp học chủ động sáng
tạo, khoa học và đạt hiệu quả cao.
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 15/10/2016
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
1


7.1. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình tốn trung học phổ thơng, các bài tốn về sự biến thiên của
hàm số là một nội dung quan trọng, là kiến thức cơ sở để giải quyết các bài toán
khác. Trong các đề thi THPT Quốc gia các bài toán liên quan đến nội dung này
chiếm một tỉ lệ không nhỏ. Đây là phần kiến thức khơng q khó nhưng nếu nắm
chắc kiến thức, khơng có phương pháp giải trắc nghiệm thì sẽ mất nhiều thời gian
cho việc giải một câu hỏi.
Đã có nhiều sách viết về phần này, tuy nhiên hầu hết là không hệ thống các

phương pháp hay sử dụng trong giải bài tốn; hoặc nếu có thì cịn sơ sài, chưa đầy đủ.
Chuyên đề “Phân dạng và phương pháp giải toán trắc nghiệm phần Sự biến

thiên của hàm số -Giải tích 12” sẽ giúp cho học sinh có cách nhìn tổng qt hơn
về phương pháp giải tốn. Qua đó, hi vọng sẽ giúp các em học sinh có thêm kĩ năng
giải bài tốn để bước vào các kì thi đạt được kết quả tốt hơn.
7.2. Nội dung đề tài
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
Hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng (a; b) ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈(a; b) (Dấu đẳng
thức xảy ra tại một số hữu hạn điểm).
Hàm số y = f (x) nghịch biến trên khoảng (a; b) ⇔ y ' ≤ 0, ∀x ∈(a; b) (Dấu đẳng
thức xảy ra tại một số hữu hạn điểm).
Chú ý: Điều kiện để tam thức bậc hai f ( x ) = ax 2 + bx + c không đổi dấu trên là:
a > 0
ax 2 + bx + c ≥ 0 ∀x ∈

⇔

∆≤ 0

a < 0
ax 2 + bx + c ≤ 0 ∀x ∈

⇔

∆≤ 0

Các bước xét tính đơn điệu của hàm số
+ Tìm tập xác định, tính đạo hàm y ' .
+ Giải phương trình y ' = 0

+ Xét dấu y ' đưa ra kết luận
Một số căn cứ khác để xét tính đơn điệu:
+ Căn cứ vào bảng biến thiên.
+ Căn cứ vào đồ thị hàm số.
2


B. CÁC DẠNG BÀI TOÁN VỀ SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
1. Các dạng tốn cơ bản:
1.1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.
Phương pháp:Căn cứ vào dấu của y ' .
Ví dụ 1: Hàm số y = 2 x 4 + 4 x 2 −1 đồng biến trên khoảng nào?
A. (1;+∞)

B. (−∞;1)

C. (0;+∞)

D. (−∞;0)

Giải: Ta có y ' = 8 x 3 + 8 x = 0 ⇔ x = 0 . y ' > 0 ⇔ x > 0 .
Vậy hàm số đồng biến trên (0;+∞) .
Đáp án C.
Ví dụ 2: Hàm số y =

2x + 5

đồng biến trên khoảng nào?

x+3

A. (−∞; −3),(3;+∞)
C. (−∞;4),(4;+∞)

B. ∅
D. (−∞; −3),(−3;+∞)

Giải: Đáp án C. Vì y '
=

> 0 ∀x ≠ −3

1

(x + 3)2
Ví dụ 3: Cho hàm số y = x 3 − 4 x 2 + 5 x − 2 . Xét các mệnh đề:


5
(i) Hàm số đồng biến trên khoảng 

;+∞ 

3

(ii) Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;2)
(iii) Hàm số đồng biến trên khoảng

Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề đúng?
A. 1
B. 3

C. 2
Giải: Ta có y ' = 3x2 − 8x + 5 = 0 ⇔



D. 0

x =



5



5

x = 1
. Vậy y ' > 0 ⇔ x ∈ ( −∞;1) ∪ 

3

 5

Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞;1) và 

 3

;+∞  .





;+∞  .
3


Vậy mệnh đề (i) và (iii) đúng. Đáp án đúng là C.
Ví dụ 4: Hàm số y =
A. (0;2)

2x − x2 đồng biến trên khoảng nào?
B. (1;2)

C. (0;1)

D. (−∞;1)
3


Giải: TXĐ D = [0;2] . y '
=

1− x

= 0 ⇔ x = 1;

y ' > 0 ⇔0 < x < 1

2x − x2
Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1) . Đáp án đúng là đáp án C.
Ví dụ 5: Hàm số y =
A. (2;+∞)

x 2 − 4 x + 3 đồng biến trên khoảng nào?
B. (−∞;3)

Giải: TXĐ D = ( −∞;1] ∪ [3;+∞) .. y '

C. (−∞;1)
x −2

D. (3;+∞)

= 0 ⇔ x = 2; y ' > 0 ⇔ x > 3

=

x 2 −4 x + 3
Hàm số đồng biến trên khoảng (3;+∞) . Đáp án đúng là đáp án D.
Bài tập áp dụng:
Câu 1 (Đề thi minh họa THPT Quốc gia lần 1 2017): Hàm số y = 2 x 4 +1 đồng
biến trên khoảng nào?

1
A.

−∞; −



B.(0;+∞)

 1
 2

C. −



;+∞ 

D.(−∞;0)

2


3
2
Câu 2: Cho hàm số y = 2 x + 3 x − 36 x + 3. Chọn đáp án đúng.
A. Hàm số luôn đồng biến trên

B. Hàm số luôn nghịch biến trên

C. Hàm số nghịch biến trên (−3;2)

D. Hàm số nghịch biến trên \ (−3;2)

Câu 3: Cho hàm số y = − x 4 + 2 x 2 +1. Chọn mệnh đề đúng.

A. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −1)
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;0)
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞)
D. Hàm số đồng biến trên khoảng (1;+∞)
Câu 4: Hàm số y = x 3 + 3 x 2 − 4 nghịch biến trên khoảng
A.(−2;0)

B.(−∞; −2)

C.(0;+∞)

D.(−∞;0),(2;+∞)

Câu 5:Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số y = 1 x3 + 1 x2 + 6x +1?
−
2
3
A.(−∞; −3),(2;+∞) B.(−∞; −2),(3;+∞)
C.(−3;2)
D.(−2;3)
Câu 6: Cho hàm số f (x) có đạo hàm f '( x ) = ( x + 1) 2 ( x − 1) 3 (2 − x) . Hàm số f (x)
đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.(−∞; −1)
B.(−1;1)

C.(2;+∞)

D.(1;2)

4


Câu 7: Cho hàm số f (x) có đạo hàm f '( x ) = ( x − 1) 2 ( x + 2) xác định trên .
Mệnh đề nào dưới đay là đúng?
A. Hàm số f (x) đồng biến trên khoảng (−2;+∞)
B. Hàm số f (x) nghịch biến trên khoảng (−2;1)
C. Hàm số f (x) đồng biến trên khoảng (1;2)
D. Hàm số f (x) nghịch biến trên khoảng (1;2)
Câu 8: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f '( x ) =

( x − 1) 2 ( x2 − 4) . Phát biểu

nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−2;1) và (2;+∞) .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−2;2)
C. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −2) và (2;+∞) .
D. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −2) và (1;2)
Câu 9: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f '(x ) =

( x 3 − 4x)( 4x −1) . Phát biểu

nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−2;0) .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (0;2)
C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−2;2)
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −2)
1.2. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số dựa vào bảng biến thiên hoặc đồ
thị hàm số.
Phương pháp chung: Căn cứ vào chiều biến thiên của hàm

số; Hướng đồ thị xét từ trái qua phải.
Ví dụ 1: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:
x−∞

1

y'
y

+
−∞

0
3

+∞

2
−

+
+∞
0

Mệnh đề nào sau đây sai?
5


A. Hàm số đồng biến trên khoảng (2;+∞)
B. Hàm số đồng biến trên (−∞;1)

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;3)
D. Hàm số đồng biến trên (3;+∞)
Trả lời: Đáp án C.
Ví dụ 2: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau:
x
y'
y

−∞
+
−∞

−1
0
2

+∞

1
0

−

+
+∞

0

Cho các mệnh đề:
(i) Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞;2) và (0;+∞)

(ii) Hàm số đồng biến trên các khoảng (−1;1)
(iii) Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (1;+∞)
(iv) Hàm số đồng biến trên
Số mệnh đề đúng trên các mệnh đề trên là:
A. 1
B. 2

C. 3

D. 4

Trả lời: Đáp án A (Mệnh đề (iii)).
Ví dụ 3: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau:
x
y'

−∞
+

−3
0
2

2
0

+

−

+∞

5

y
−∞

−∞

Cho các mệnh đề:
(i) Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −3) và (−3;2)
(ii) Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞;5)
(iii) Hàm số đồng biến trên các khoảng (2;+∞)
(iv) Hàm số đồng biến trên (−∞;2)
Số mệnh đề đúng trên các mệnh đề trên là:
A.1

B.2

C.3

D.4
6


Trả lời: Đáp án B.
Ví dụ 4: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị được biểu diễn
như hình bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2)

y

4

x

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1;0) và (2;3)
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;0) và (2;+∞)

2

O

3

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;0) và (2;+∞)
Hướng dẫn: Dựa vào đồ thị ta có hàm số đồng biến trên khoảng (0;2) , nghịch biến
trên khoảng (−∞;0) và (2;+∞) . Đáp án đúng là đáp án D.
Ví dụ 5: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên .

y

Đồ thị hàm số y = f '(x) được biểu diễn như hình
bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (3;+∞)
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;3)

O
2

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;3)

x

3
4

-1

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (2;4)
Hướng dẫn: f '(x) = 0 ⇔ x = 2, x = 4
Xét dấu f '(x)
x
f '(x)

−∞

2
+

0

+∞

4
−

0

+

Căn cứ vào dấu của f '(x) ta có hàm số nghịch biến trên khoảng (2;4) . Đáp án đúng
là D.
Ví dụ 6: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên .
Đồ thị hàm số y = f '(x) được biểu diễn như hình

y
4

bên. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (4;+∞)
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (1;+∞)
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;1)

O

1

x
2

4

-1

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (2;4)
Hướng dẫn: f '(x) = 0 ⇔ x = 1, x = 4
7

Xét dấu f '(x)
x

−∞

1
−

f '(x)

+∞

4

0

+

0

+

Căn cứ vào dấu của f '(x) ta có đáp án cần chọn là D.
Ví dụ 6: Cho hàm số

y = f (x)

có đạo hàm trên . Đồ thị

hàm số y = f '(x) được biểu diễn như hình bên. Khẳng định

3
nào sau đây là sai?



A. Hàm số đồng biến trên khoảng (−1;0) và  1;

 2



B. Hàm số nghịch biến trên khoảng  − 3 ;−1 và (0;1)


C. Hàm số đồng biến trên khoảng 

 2

−∞; −


3 


và

3





;+∞ 


2  2
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  3 3 

;

2
2




−

3

Hướng dẫn: f '(x) = 0 ⇔ x = ±
2
Xét dấu f '(x)
x

−∞

f '(x)

+

−3
2
0

−

+∞

3
2
0

+

Căn cứ vào dấu của f '(x) ta có đáp án cần chọn là A.
Bài tập áp dụng:
Câu 1: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau:
x
y'
y

−∞

−2
+

0

−

0
0

2
0

+

3

3

−1
−∞
Hàm số y = f (x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.(−2;0)

B.(−∞; −2)

−

+∞

C.(0;2)

−∞

D.(0;+∞)

Câu 2: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau:
8


x
y'
y

−∞

−1
2
+

−∞

+
+∞

+∞

3

−∞

0

−

4

−∞

Khẳng định nào sau đây đúng?


1  và (3;+∞)
A. Hàm số đồng biến trên khoảng  −∞; − 
2


 1
;+∞

B. Hàm số đồng biến trên  −




 2
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (3;+∞)

D. Hàm số đồng biến trên (−∞;3)
y

Câu 3: Cho hàm số y = f (x) . Hàm số y = f '(x) có đồ
thị
như hình bên. Hàm số
y = f (x − 2) đồng biến trên

−1

B.(2;+∞)

C.(−2;1)

D.(−∞; −2)

Câu 3: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên
. Hàm số
y = f '(x) liên tục trên
và có đồ thị như hình bên.
Khẳng định nào sau là sai?

4

x

O

khoảng:
A.(1;3)

1

y
3x

-1

A. Hàm số đạt cực đại tại x = −1
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;1)

O

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (3;+∞)
D. Hàm số đồng biến trên khoảng (1;3)
Câu 4: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên
. Hàm số
y = f '(x) liên tục trên
và có đồ thị như hình bên.
Khẳng định nào sau là sai?

y
x

A. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−1;0) và (1;+∞)
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−1;0) ∪ (1;+∞)
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;0) và (0;+∞)

-1 O

1

D. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −1) và (1;+∞)
9


1.3. Tìm các hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước.
Ví dụ 1: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên ?

A. y
=

x −2
x +1

C. y = x 3 − x 2 + 2 x +1

B. y
=

1 x4 + 2x2 +1
4

D. y = x 3 − x 2 − 3 x + 2

Giải: Các hàm số đa thức bậc chẵn khơng đồng biến trên vì có đạo hàm f '(x) là bậc
lẻ nên điều kiện f '(x) ≥ 0 ∀x ∈ không xảy ra. Loại đáp án B.
Hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất không liên tục trên

. Loại đáp án A.

y = x 3 − x 2 − 3 x + 2 ⇒ y ' = 3 x 2 − 2 x − 3 = 0 có nghiệm thực nên điều kiện y '
≥ 0 ∀x ∈ không xảy ra. Loại đáp án D.
y = x − x 2 + 2 x + 1 ⇒ y ' = 3 x 2 − 2 x + 2 = 2 x 2 + 1 + ( x − 1) 2 ≥ 0 ∀x ∈ nên hàm số
3

đồng biến trên .
Ví dụ 2: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên ?
A. y = x 3 + x − 2 B. y = x 3 − x +1

C. y = x 4 + x2 + 2 D. y = x 2 + x +
2
f '( x ) là
Giải: Các hàm số đa thức bậc chẵn không đồng biến trên vì có đạo hàm
bậc lẻ nên điều kiện f '(x) ≥ 0 ∀x ∈ không xảy ra. Loại đáp án C và D.
y = x − x + 1 ⇒ y ' = 3 x 2 − 1 = 0 có nghiệm thực nên điều kiện y ' ≥ 0 ∀x ∈ không
3

xảy ra. Loại đáp án B.
y = x + x − 2 ⇒ y ' = 3 x 2 + 1 > 0 ∀x ∈ nên hàm số đồng biến trên .
3

Bài tập áp dụng:
Câu 1: Hàm số nào sau đây đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?
A. y = 2x − 3
C. y x − 2
=
x +1

B. y = x 4 + 2 x 2 +1
D. y = x 3 − 3 x 2 + 3 x −1

Câu 2: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên ?
A. y x −1
B. y = 4 x 3 + 4 x 2 + 3 x −1
=
x+2
1 3 1 2
D. y

C. y = x 4 − 2 x 2 −1
x − x + 3x +1
=
3
2


Câu 3: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng xác định của nó?
A. y
=

x −2
x +1

B. y
=

−x + 2
x+2

C. y
=

x −3
2 −x

D. y
=

x +1

x −2
10


Câu 4: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng xác định của nó?
A. y
=

x −2
x +1

B. y
=

x −2
x −1

C. y x −1
=
x+2

D. y
=

x +1
x −2

Câu 5: Hàm số nào dưới đây không đơn điệu trên tập xác định (hoặc từng khoảng
xác định) của nó?
A. y =

1

B. y = x 3 + 3 x + 2 C. y = − x 3 + x 2 − x D. y = x 4 + x2 +1

x
Câu 6: Hàm số nào dưới đây không đơn điệu trên tập xác định (hoặc từng khoảng
xác định) của nó?
A. y = − x 3 − x − 2 B. y = x 3 + 3 x 2 + 3x C. y = − x + 2
x

D. y = x 1
+
x

Câu 7: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên ?
A. y = x3

B. y = − x 3 + x

C. y = − x 3 − x2 D. y = − x 3 − x

2. Các bài tốn chứa tham số
Dạng 1: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu trên tập xác định
Dạng 1.1: Hàm số bậc ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0)
Để hàm số đơn điệu trên

thì y ' ≥ 0 ( y ' ≤ 0) ∀x ∈

Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y = x 3 + 3x 2 + mx + m luôn đồng biến trên

A. m ≥ 3

B. m < 3

C. m ∈

.

D. m ∈∅

Giải: Tập xác định D =
Ta có: y ' = 3 x 2 + 6x + m
Hàm số đồng biến trên
m ≥ 3. Đáp án

⇔ y ' ≥ 0,∀x ∈

⇔ ∆ ≤ 0 ⇔ 9 − 3m ≤ 0 ⇔

A.
Làm trắc nghiệm
Lấy m = 2 ta có: y ' = 3 x 2 + 6 x + 2 = 0 ln có hai nghiệm. Vậy loại bỏ đáp án B, C.

Lấy m = 3 ta có y ' = 3 x 2 + 6 x + 3 = 3( x + 1) 2 ≥ 0 ∀x ∈

. Loại bỏ đáp án D.

Đáp án đúng là A.
Ví dụ 2: Tìm m thì hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 3( m + 6) x + 3 đồng biến trên .

A. m ∈ ( −∞; −3] ∪ [ 2;+∞)

B. m ∈ ( −∞; −2] ∪ [3;+∞)

C. m ∈ ( −3;2)

D. m ∈ [ − 2;3].


11


Giải: Tập xác định
Ta có: y ' = 3 x 2 − 6 mx + 3( m + 6)
Để hàm số đồng biến trên
⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈⇔ ∆ ≤ 0 ⇔ m

2

− m − 6 ≤ 0 ⇔ −3 ≤ m ≤ 2 .

Đáp án D.
Làm trắc nghiệm
Lấy m = 0 ta có: y ' = 3 x 2 + 18 > 0 ∀x ∈

. Vậy loại bỏ đáp án A và B.

Lấy m = 3 ta có y ' = 3 x 2 − 18 x + 54 = 3( x + 3) 2 + 27 > 0 ∀x ∈ . Đáp án đúng là D.
Ví dụ 3: Với giá trị nào của m thì hàm số y =

trên .
A. m ≤ −1

B. −1 ≤ m ≤
4

m

3

2

x − 2x + ( m − 3)x + 3 nghịch biến
3

C. −1 ≤ m < 0

D.0 < m ≤
4.

Giải: Tập xác định
Ta có: y ' = mx 2 − 4x + m
Để hàm số đồng biến trên
m < 0
⇔ y ' ≥ 0,∀x ∈ ⇔ 

Đáp án A.

m < 0
⇔

∆≤ 0

m

2

−3m − 4 ≥ 0

⇔ m ≤ −1.

Làm trắc nghiệm
Lấy m = 0, hàm số là một hàm bậc hai nên không thể nghịch biến trên . Vậy loại bỏ
đáp án B.
Lấy m = −2 ta có y ' = −2 x 2 − 4 x − 2 = −2( x + 1) 2 ≤ 0 ∀x ∈ . Loại bỏ được đáp án
C và D.
Đáp án đúng là A.
Ví dụ 4: Với giá trị nào của m thì hàm số y = ( m − 1) x 3 + ( m − 1)x 2 + x + m đồng biến

trên

.

A.1 ≤ m ≤ 4

B.1 < m ≤ 4

C.1 < m < 4

D. m ∈ ( −∞;1) ∪ [4;+∞)

Giải: Tập xác định
12


Ta có: y ' = 3( m − 1) x 2 − 2( m − 1) x +1
Với m = 1, ta có y ' = 1 > 0 ∀x ∈

. Vậy hàm số luôn đồng biến với m = 1.

m > 1 ⇔ 1 < m ≤
4.

Với m ≠ 1, để hàm số đồng biến trên ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ ⇔ 

∆≤ 0

Kết luận: Với 1 ≤ m ≤ 4 hàm số đồng biến trên . Đáp án A.
Làm trắc nghiệm

Lấy m = 1, hàm số có dạng: y = x +1 là một hàm bậc nhất nên biến trên . Vậy loại
bỏ đáp án B, C, D.
Đáp án đúng là A.

1

Ví dụ 5:Tìm các giá trị m để hàm số y = x3 + 2x2 + ( m + 1)x + 2 đồng biến trên
3
A. m ≥ 3

B. m < 3

C. m ≤ 3

D. m > 3 .

Giải: Tập xác định
Ta có: y ' = x 2 + 4 x + m +1
Hàm số đồng biến trên
A.

⇔ y ' ≥ 0,∀x ∈

⇔ ∆ ≤ 0 ⇔ m ≥ 3. Đáp án

Làm trắc nghiệm
Lấy m = 3 ta có y ' = x 2 + 4 x + 4 = ( x + 2) 2 ≥ 0 ∀x ∈ . Loại bỏ được đáp án B
và D.
Lấy m = 0 ta có: y ' = x 2 + 4 x + 1 = 0 ln có hai nghiệm. Vậy loại bỏ đáp án C.
Đáp án đúng là A.
Bài tập áp dụng:
Câu 1: Cho hàm số y = ( m + 2) x 3 + 3( m + 2) 2 + 3( m + 3) x + 3. Hàm số đồng
biến trên tập xác định khi m nhận giá trị nào?
A. m ≤ −2

B. m ≥ −2

C. m > −2

D. m < −2

Câu 2: Giá trị nào của m để hàm số y = x 3 − mx 2 + 3 x + 4 đồng biến trên .
A. −2 ≤ m ≤ 2

B. −3 ≤ m ≤ 3

1

3

C. m ≥ 3

D. m ≤ −3

2

Câu 3: Cho hàm số y = − x + mx + (3m + 2)x +1. Tìm m để hàm số nghịch biến
3
trên tập xác định?

A. m ∈ \ (−1;2)

B. m ≤ 2

C. −2 ≤ m ≤ −1 D. −1 ≤ m ≤ 0


13

1

Câu 4: Hàm số y = − x 3 + mx 2 − x +1 nghịch biến trên khi và chỉ khi:
3
A. m ∈ \ [−1;1]
B. m ∈ \ (−1;1)
C. m ∈ [ −1;1]
D. m ∈ ( −1;1)
Câu 5: Có bao nhiêu số nguyên m đẻ hàm số y = ( m 2 − 1) x 3 + ( m − 1) x 2 − x +
4 nghịch biến trên .

A.0

B.1

C.2

D.3

Câu 6: Trong tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y =

1

đồng biến trên , giá trị nhỏ nhất của m là:
A. 4
B.−1
C. 0

3

2

x + mx − mx − m
3

D. 1

Câu 7: Tìm tất cả giá trị thực của m để hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 3(2 m − 1) x + 2
đồng biến trên ?
A. m ≠ 1

B. m ≥ 1

C. m ≤ 1

D. m = 1

Câu 8: Tìm các giá trị m để hàm số y = − x 3 + mx 2 − 3 x + 4 nghịch biến trên
A. m = ± 3

B. m ∈ ( −∞; −3) ∪ (3;+∞)

C. m ∈ ( −3;3)

D. m ∈ [ −3;3]

?

Câu 9: Tìm tất cả các giá trị m để hàm số y = x 3 − 3( m + 1) x + 2 đồng biến trên ?
A. m ≤ −1

Câu

10:

B. m < −1
Tìm

tất

cả

các

C. m > 1
giá

trị

thực

D. m ≥ −1

của

m

để

hàm

số

y = ( m + 1) x 3 + ( m + 1) x 2 −2 x + 2 nghịch biến trên ?
A. −7 ≤ m < 1

B. m ≥ −1
ax + b

C. −7 ≤ m ≤ −1 D. m ≤ 7

Dạng 1.2: Hàm số y
=

Để hàm số đã cho đơn điệu trên từng khoảng xác định thì y ' > 0 ( y ' < 0) ∀x ∈
D . Hoặc: hàm số đồng biến khi ad − bc > 0 và nghịch biến khi ad − bc < 0
Ví dụ 1: Cho hàm số y
=
từng khoảng xác định.
A. −2 < m <1

(m + 1)x − 2 . Tìm các giá trị m để hàm số đồng biến trên
x −m

B. m ≤ −2
m ≥ 1

C. −2 ≤ m ≤ 1

D. m < −2
m > 1

14


−m

2

−m + 2

Giải: Ta có: y ' =

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi
y ' > 0 ⇔ − m 2 − m + 2 > 0 ⇔ −2 < m < 1. Đáp án A.
Làm trắc nghiệm
Đối với dạng hàm số này ta có thể loại bỏ các đáp án có lấy giá trị “bằng”. Ở đây ta
loại được các đáp án B và C.
2
Lấy m = 0 ta có y ' = x2 > 0 ∀x ≠ 0 . Loại bỏ được đáp án D.
Đáp án đúng là A.
Ví dụ 2: Điều kiện cần và đủ để hàm số y =

đồng biên trên từng khoảng xác

x +1

định là:
A. m > −5
Giải: Ta có: y ' =

mx + 5

B. m ≥ −5

C. m ≥ 5

D. m > 5

m −5

(x +1)2
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định ⇔ y ' > 0 ⇔ m − 5 > 0 ⇔ m > 5.
Đáp án D.
Làm trắc nghiệm
Đối với dạng hàm số này ta có thể loại bỏ các đáp án có lấy giá trị “bằng”. Ở đây ta
loại được các đáp án B và C.
5
Lấy m = 0 ta có y ' = − ( x + 1)2 < 0 ∀x ≠ −1. Loại bỏ được đáp án A.

Đáp án đúng là D.
Ví dụ 3: Với giá trị nào của m thì hàm số
xác định?
A. m > −1

y mx + 5 đồng biên trên từng khoảng
=
x +1

C. m ≥
D. m ≤ −1
−1

Giải:Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi
y'
=

B. m < −1

−1 − m > 0, ∀x ≠ 1 ⇔ −1 − m > 0 ⇔ m < −1. Đáp án B.
(x −1)2
15


Làm trắc nghiệm
Đối với dạng hàm số này ta có thể loại bỏ các đáp án có lấy giá trị “bằng”. Ở đây ta
loại được các đáp án C và D.
1
Lấy m = 0 ta có y ' = − ( x −1)2 < 0 ∀x ≠ 1. Loại bỏ được đáp án A.

Đáp án đúng là B.
Bài tập áp dụng:
Câu 1: Cho hàm số y =

tập xác định.
A . m ∈(1;2)

. Tìm các giá trị m để hàm số luôn đồng biến trên
x + m −3

B. −3 ≤ m ≤ 1

Câu 2: Cho hàm số y =

tập xác định.
A. m < 1

mx −2

2x −1

C. −1 < m < 1

D. −1 < m < 2

. Tìm các giá trị m để hàm số luôn nghịch biến trên

x −m
B. m > 1

C. m > 1

D. m < 1

2

4

4

2

Câu 3: Với giá trị nào của m thì hàm số y =

mx + 2

2x + m

tập xác định.
A. m ≤ −2
C. m ∈ ( −∞; −2) ∪ (2;+∞)
Câu 4: Tìm giá trị m để hàm số y =

để hàm số luôn đồng biến trên

B. m ≥ 2
D. m ∈ ( −∞; −2] ∪ [ 2;+∞)
−2 x − 2m

đồng biến trên từng khoảng xác

x+3
định.
A. m ≥ 3

B. m > 3

C. m ≤ −3

Câu 5:Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số
khoảng xác định của nó?
A. −1 ≤ m ≤ 2
B. −1 < m < 2

mx − 2

đồng biến trên từng

x − m +1

C. −2 ≤ m ≤ 1

Câu 6: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y
=
từng khoảng xác định của nó?

y
=

D. m < −3

D. −2 < m <1.

(3m + 1)x −m 2 + m đồng biến trên
x+m

16


 1





1∪
A. m ∈  −
;0 
B. m ∈  −∞; −

4 ( 0;+∞ )
 4 


C. m ∈
D. m ≠ 0
Câu 7: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y (3m + 1)x −m 2 + m
nghịch biến
=
x+m
trên từng khoảng xác định của nó?
A. −
≤ m
2
2
≤
2
2
C. m ∈

B. −

2

2

2
2
D. Khơng có m.
y = mx + 4 nghịch biến trên từng

Câu 8: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số

x + 2m
khoảng xác định của nó?
A. − 2 < m <

Β.

2

2;+∞

Χ. m ∈
Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số
để khoảng cho trước.
ax +

m∈

)

( −∞; − 2 ) ∪ (

D. Khơng có giá trị m thỏa mãn.
hàm số đơn điệu trên khoảng, đoạn, nửa

Dạng 2.1: Hàm số y =

b

cx + d

Ví dụ 1: Với giá trị nào của m thì hàm số

y=

đồng biến trên
(0;+∞) ? x + m
B. 0 < m <1

A. m > 2
C. m ∈ (0;1) ∪ (2;+∞)
Giải: TXĐ: D =

mx + 3m −2

D. m ∈ [0;1) ∪ (2;+∞)

\{ − m}

Ta có: y ' = m2 − 3m + 2 . Để hàm số đồng biến trên (0;+∞) thì y ' > 0, ∀x ∈ (0;+∞)

(x + m)2
Để hàm số đồng biến thì m 2 − 3m + 2 > 0 ⇔ m ∈ ( −∞;1) ∪ (2; +∞)
Để hàm số đồng biến trên (0;+∞) thì − m ∉ (0; +∞ ) ⇔ m ≥ 0
Kết hợp các điều kiện ta có đáp án D.
Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y
=
A. − 3 < m < 0

2x − 9m

nghịch biến trên đoạn [ −2;4]

m2 − 3m − x

B. − 3 < m < −1

C. −2 ≤ m ≤ −1 D. −2 ≤ m ≤ 3
−


2

2

2
17


Giải: TXĐ: D =

Ta có: y ' =

\ {m 2 − 3m}

2m 2 + 3m

(m −3m −x)
2

2

.

Để hàm số nghịch biến trên (0;+∞) thì y ' < 0, ∀x ∈ [ − 2;4]
2

 3

+ 3m < 0 ⇔ m ∈  −

Để hàm số nghịch biến thì 2m

 2



;0



Để hàm số nghịch biến trên [ − 2;4] thì
m 2 − 3m ∉ [ − 2;4] ⇔ m ∈ ( −∞; −1) ∪ (1;2) ∪ (4; +∞)
Kết hợp các điều kiện ta có đáp án B.
Bài tập áp dụng:
Câu 1: Tìm m để hàm số y =

mx + 4

luôn nghịch biến trên khoảng (−∞;1)

x+m
A. m > 1
B. 0 < m < 2
C. m ≥ 2
D. 1 < m < 2
Câu 2: Tìm m để hàm số y mx +1 ln nghịch biến trên khoảng (−∞;0)
=
x+m
A. m > 0
B. −1 < m ≤ 0
C. m < −1
D. m > 2
y
nghịch biến trên khoảng
Câu 3: Tìm giá trị của m để hàm số
1− 5x −2
=
1− 5x −m
 1
 0;





.

5
A. m ≤ 0
B. m > 2
C. 1 ≤ m < 2
D. m ≤ 0 hoặc 1 ≤ m < 2
Câu 4: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = 4 − cot x đồng biến trên
 ππ 
khoảng 

4

;

cot x + 2m


2

A. 0
B. 1
C. 2
D. Vơ số.
Câu 5: Tìm các giá trị của m để hàm số y m 1−x − 4 nghịch biến trên (0;1) .

=
1− x −m
A. m < −2 hoặc m > 2
B. −2 < m < 2
C. −2 < m ≤ 0 hoặc 1 ≤ m < 2

D. −2 < m < 0 hoặc 1 < m < 2

Câu 6: Tìm các giá trị của m để hàm số y = tan x − 2
tan x − m


đồng biến trên khoảng 



0;

π



4


18