(Sáng kiến kinh nghiệm) một số bài TOÁN về TÍNH đơn điệu của hàm số ẩn

Nguyễn Thị Quyên
THPT Tam Đảo 2
=================================================================
BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. LỜI GIỚI THIỆU
Trong các đề thi THPTQG mấy năm gần đây (kể từ khi mơn Tốn thi trắc nghiệm) đã
xuất hiện khá nhiều các bài toán về hàm ẩn. Lớp bài toán hàm ẩn khá rộng nhưng trong
chuyên đề này tôi chỉ nghiên cứu một phần nhỏ về sự biến thiên của hàm ẩn. Trước hết
giúp bản thân hệ thống được các dạng cơ bản của bài tốn xét tính đồng biến nghịch
biến, qua đó phục vụ tốt hơn cho tác giảng dạy, nâng cao trình độ chun mơn. Vì vậy
tơi viết chun đề: ““MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
ẨN” với mục đích trao đổi, học tập kinh nghiệm để cơng tác bồi dưỡng học sinh ôn thi
THPT quốc gia ngày càng đạt hiệu quả hơn, đáp ứng yêu cầu đổi mới giáo dục.
2. TÊN SÁNG KIẾN
“MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ẨN”
3. TÁC GIẢ SÁNG KIẾN
Họ và tên: Nguyễn Thị Quyên
Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Tam Đảo 2-Tam Đảo- Vĩnh Phúc
Số ĐT: 0984870862; E-Mail:
4. CHỦ ĐẦU TƯ TẠO RA SÁNG KIẾN: là bản thân tác giả
5. LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN
Xây dựng chun đề mơn Tốn: áp dụng để cung cấp mẳng kiến thức cũng
như rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải các dạng tốn liên quan đến tính đồng biếnnghịch biến của hàm ẩn có trong đề thi THPTQG.
6. NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC ÁP DỤNG THỬ
Tháng 9 năm 2019, mơn Tốn lớp 12.
7. MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN
Sáng kiến chia làm 2 phần
Phần 1. Kiến thức cơ sở
Phần 2. Một số dạng tốn thường gặp

PHẦN 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1 Tính đơn điệu của hàm số.

3


Nguyễn Thị Quyên
THPT Tam Đảo 2
=================================================================
1.1.1 Định nghĩa: Gọi K là khoảng ( a;b) hoặc đoạn  a;b hoặc nửa khoảng  a;b) ,( a;b
và hàm số f ( x) xác định trên K.
Hàm số y = f ( x) đồng biến (tăng) trên K nếu ∀ x1,x2 ∈ K : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 )
Hàm số y = f ( x) nghịch biến(giảm) trên K nếu : ∀ x1,x2 ∈ K : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) .
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi là hàm số đơn điệu trên K.
1.1.2 Định lí 1: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên ( a;b) .
• Nếu f ′ ( x) > 0,∀ x∈ ( a;b) thì hàm số f ( x) đồng biến trên ( a;b) .

• Nếu f ′ ( x) < 0,∀ x∈ ( a;b) thì hàm số f ( x) nghịch biến trên ( a;b) .
1.1.3 Định lí 2: (Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu trên K )
Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên ( a;b) .
• Hàm số f ( x) đồng biến trên

( a;b) ⇔ f ′ ( x) ≥ 0,∀ x∈ ( a;b)
f ′ ( x) = 0 có hữu hạn nghiệm thuộc ( a;b) .
• Hàm số f ( x) nghịch biến trên ( a;b) ⇔ f ′ ( x) ≤ 0,∀ x∈ ( a;b)
f ′ ( x) = 0 có hữu hạn nghiệm thuộc ( a;b) .

và phương trình
và phương trình

(Chú ý: Dấu bằng chỉ xảy ra tại các điểm “rời nhau”)
1.1.4 Định lí 3: (Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu trên K )
• Nếu hàm f ( x) đồng biến(hoặc nghịch biến) trên khoảng ( a;b) và f ( x) liên tục
trên nửa đoạn  a;b) thì f ( x) sẽ đồng biến(hoặc nghịch biến) trên nửa đoạn
 a;b) .

• Nếu hàm f ( x) đồng biến(hoặc nghịch biến) trên khoảng ( a;b) và f ( x) liên tục
trên nửa đoạn ( a;b thì f ( x) sẽ đồng biến(hoặc nghịch biến) trên nửa đoạn

( a;b .

• Nếu hàm f ( x) đồng biến(hoặc nghịch biến) trên khoảng ( a;b) và f ( x) liên tục
trên đoạn  a;b thì f ( x) sẽ đồng biến(hoặc nghịch biến) trên đoạn  a;b .
1.2 Đạo hàm của hàm hợp
1.2.1 Hàm số hợp
Cho hàm số y = f ( x ) có tập xác định X , tập giá trị T và hàm số y = g (u ) có tập
xác định Y chứa tập T . Khi đó với mỗi giá trị x ∈ X ta có một giá trị xác định y cho
bởi g . Khi đó y = g (u ) = g ( f ( x )) và ta nói y là một hàm số h theo biến số x với
h( x) = g ( f ( x )) . Hàm số h( x) gọi là hàm số hợp của hàm số f và g theo thứ tự này.
4


Nguyễn Thị Quyên
THPT Tam Đảo 2
=================================================================
1.2.2 Đạo hàm của hàm số hợp
u = f ( x)
khi đó yx ' = y 'u .u 'x
 y = f (u )

Cho hàm số y = g ( f ( x)) . Đặt 

Ví dụ minh họa 1:  f ( 1 − 2 x 2 ) ′ = f ′ ( 1 − 2 x 2 ) . ( 1 − 2 x 2 ) ′ = −4 x. f ′ ( 1 − 2 x 2 )


Ví dụ minh họa 2:  f 2 ( x ) ′ = 2 f ′ ( x ) . f ( x ) .
- Lưu ý khi giải các bài toán hàm hơp.
x = a
u ( x ) = a


+) Nếu f ( x ) = 0 ⇔  x = b ⇒ f ( u ( x) ) = 0 ⇔ u ( x) = b .
 x = c
u ( x) = c
x = 1
 x = −1
1 − 2 x = −1 
1


Ví dụ minh họa 3: f ( x ) = 0 ⇔  x = 0 ⇒ f ( 1 − 2 x ) = 0 ⇔ 1 − 2 x = 0 ⇔  x =
2

 x = 3
1 − 2 x = 3
 x = −1


PHẦN 2: CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

2.1 XÁC ĐỊNH ĐƯỢC KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ y = f ( x) DỰA
VÀO BẢNG BIẾN THIÊN HOẶC ĐỒ THỊ CỦA HÀM f '( x )
Phương pháp giải
Cho đồ thị f '( x) , hỏi tính đơn điệu của hàm y = f ( x)
 Tìm nghiệm của f '( x ) = 0 (hoành độ giao điểm với trục hoành);
 Xét dấu f '( x) (phần trên Ox mang dấu dương; phần dưới Ox mang dấu âm);
 Lập bảng biến thiên của hàm số y = f ( x) , suy ra kết quả tương ứng.
Bài 2.1. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ¡ và có đồ thị của hàm y = f ′ ( x )
như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. Hàm số f ( x ) nghịch biến trên ( −1; 0 ) .
B. Hàm số f ( x ) đồng biến trên ( 1; +∞ )
C. Hàm số f ( x ) nghịch biến trên ( −∞; 2 ) .
D. Hàm số f ( x ) đồng biến trên ( 2; +∞ )
Lời giải
5


Nguyễn Thị Quyên
THPT Tam Đảo 2
=================================================================
Từ đồ thị y = f ′ ( x ) ta thấy
f ′ ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ ( −∞; 2] (Phần đồ thị ứng với x ∈ ( −∞; 2] nằm phía dưới Ox )

và f ′ ( x ) > 0, ∀x ∈ ( 2; +∞ ) (Phần đồ thị ứng với x ∈ ( 2; +∞ ) nằm phía trên Ox ).
Từ đó suy ra mệnh đề A, C, D đúng và B sai.
Cách khác: Để thuận lợi cho một số bài tập phía sau tơi xin đưa ra mơt cách giải khác
 x = −1
.(Trong đó x = −1 là nghiệm kép)
x = 2

Dựa vào đồ thị có f ′ ( x ) = 0 ⇔ 
Chọn f '( x) = ( x + 1) ( x − 2 )
2

Bảng biến thiên
x
f '( x )

−∞

-

-1
0

-

2
0

+∞

+

f ( x)
f (2)

Từ bảng biến thiên ta chọn đáp án B
Bình luận:
 Khi quan sát đồ thị hàm số trong khi làm bài hấp tấp các em học sinh có thể

nhầm tính đồng biến-nghịch biến của hàm số y = f ( x) với tính đồng biến nghịch
biến của hàm số y = f '( x) vì vậy giáo viên nên lập bảng biến thiên để học sinh
TRÁNH NHẦM LẪN.
 Với bài toán cho đồ thị của hàm y = f '( x ) . Phần đồ thị nằm phía trên trục
hồnh ứng với f '( x) > 0 khi đó hàm y = f ( x ) đồng biến; phần đồ thị phía dưới trục
hoành ứng với f '( x) < 0 khi đó hàm số y = f ( x ) nghịch biến.
Bài 2.2. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ¡ và có đồ thị hàm số f ′ ( x ) là
đường cong trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( −1;1) .
B. Hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng ( 1; 2 ) .
C. Hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng ( −2;1) .
D. Hàm số f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 0; 2 ) .

Lời giải
6


Nguyễn Thị Quyên
THPT Tam Đảo 2
=================================================================
Từ đồ thị hàm y = f '( x) ta có f '( x) < 0 ⇔ x ∈ ( −∞; −2 ) ∪ ( 0; 2 )
f '( x) > 0 ⇔ x ∈ ( −2;0 ) ∪ ( 2; +∞ )

Ta có bảng biến thiên
x
f '( x)

−∞

-

-2
0

+

0
0

-

+∞

2
0

+

f ( x)

Từ bảng biến thiên ta chọn đáp án D
Bài 2.3. Cho hàm số y = f ( x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau
x
f '( x)

−∞

+

-2

0 -

-1
0 +

2
0 -

+∞

4
0 +

Hàm số y = −2 f ( x) + 2019 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
A. (−1; 2)

B. (−2; −1)

C. (2; 4)

D. (−4; 2)

Lời giải
Tính đạo hàm y ' = −2 f '( x)
Hàm số y = −2 f ( x) + 2019 nghịch biến khi −2 f '( x) < 0 ⇔ f '( x) > 0
Căn cứ vào bảng biến thiên ta thấy f '( x) > 0 ⇔ x ∈ ( −∞; −2 ) ∪ ( −1; 2 ) ∪ ( 4; +∞ )
Vậy ta chọn đáp án A
2.2. XÁC ĐỊNH ĐƯỢC KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ y = f (u ( x )) DỰA
VÀO BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM f '( x)
Phương pháp giải

Cho đồ thị hàm số y = f '( x ) hỏi tính đơn điệu của hàm hợp y = f (u )
 Đọc đồ thị hàm số y = f '( x ) đề cho và xác định
f '( x) > 0 ⇔ x ∈ ...
f '( x) < 0 ⇔ x ∈ ...

Suy ra

f '(u ) > 0 ⇔ u ∈ ...
f '(u ) < 0 ⇔ u ∈ ...
 Tính đạo hàm y '( x) = u '( x). f '(u ) ;
 Giải bất phương trình f '(u ).u '( x) > 0 ⇔ ... (Quan sát đồ thị suy ra miền

nghiệm);
 Lập bảng biến thiên của y = f (u ) , suy ra kết quả tương ứng.
(Có thể thay thế bước 2 bằng giải phương trình f '(u ).u '( x) = 0 và dựa vào bảng
biến thiên hoặc đồ thị hàm f '( x ) đã cho để xét dấu trực tiếp biểu thức y ' )
7


Nguyễn Thị Quyên
THPT Tam Đảo 2
=================================================================
Bài 2.4 (THPTQG-2019, Mã đề 101) Cho hàm số f ( x) có bảng xét dấu f '( x) như
hình bên dưới
x
−∞
-3
-1
f '( x)
0 +

0
y
=
f
(3
−
2
x
)
Hàm số
nghịch biến trên khoảng

A. (4; +∞)

1
0

-

B. (−2;1)

+∞

+

C. (2; 4)

D. (1; 2)

Lời giải

 −3 < x < −1
x > 1

Bước 1. Từ bảng biến thiên cho ta f '( x) > 0 ⇔ 

 x < −3
f '( x) < 0 ⇔ 
 −1 < x < 1

Bước 2. Tính đạo hàm của hàm y ' = (−2) f '(3 − 2 x) .
Bước 3. Giải bất phương trình y ' > 0 ⇔ ( −2). f '(3 − 2 x) > 0 ⇔ f '(3 − 2 x) < 0
3 − 2 x < −3
x > 3
⇔
⇔
 −1 < 3 − 2 x < 1
2 > x > 1

Bước 4. Lập bảng biến thiên

x
y'

−∞

-

1
0

+

2
0

-

3
0

+∞

+

y
Kết luận từ bảng biến thiên suy ra đáp án B. (−2;1)
Cách khác: Bạn đọc có thể xem thêm một cách giải khác khá thú vị sau
 x = −3

Bước 1. Dựa vào bảng biến thiên có f ′ ( x ) = 0 ⇔  x = −1 (các nghiệm của phương trình
 x = 1
đều là nghiệm bội lẻ vì f '( x) đổi dấu liên tiếp khi qua các môc x = 1, x = 2, x = 3 )

Chọn f ′ ( x ) = ( x + 3) ( x + 1) ( x − 1) .
Bước 2. Tính đạo hàm của hàm y ' = (−2) f '(3 − 2 x) .
⇒ g ′ ( x ) = −2 ( 3 − 2 x + 3) ( 3 − 2 x + 1) ( 3 − 2 x − 1) = −2(6 − 2 x)(4 − 2 x)(2 − 2 x) .

8

Nguyễn Thị Quyên
THPT Tam Đảo 2
=================================================================
x = 3
⇒ g ′ ( x ) = 0 ⇔  x = 2
 x = 1

Bảng xét dấu g ′ ( x )
−∞

x

1

g '( x )

-

2
+

0

+∞

3
−

0

0

+

g ( x)

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y = f (3 − 2 x) nghịch biến trên các khoảng (−2;1)
Bình luận:
Ví dụ 1 có thể cho bảng biên thiên hay cho đồ thị hàm f '( x) thì đều có cách
giải như nhau. Từ bảng biến thiên hoặc từ đồ thị suy ra miền âm hay dương của
hàm f '( x ) để từ đó suy ra miền âm hay dương của f '(u ) .
Bài 2.5. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ′( x ) trên ¡ và đồ thị của hàm số
y ' = f ′( x ) như hình vẽ. Hàm số g ( x ) = f ( x 2 − 2 x − 1) đồng biến trên khoảng nào dưới

đây?
A. ( −∞ ;1) .

B. ( 1; + ∞ ) .

C. ( 0; 2 ) .

D. ( −1;0 ) .

Lời giải
Bước 1. Từ đồ thị hàm số f '( x) ta thấy f '( x) ≤ 0 ⇔ x ≤ 2 và f '( x) > 0 ⇔ x > 2
2
Bước 2. Ta có: g ' ( x ) = (2 x − 2). f '( x − 2 x − 1) .

Bước

3.

Tìm

⇔ −1 ≤ x ≤ 3

x

sao

f '( x 2 − 2 x − 1) ≤ 0 ⇔ x 2 − 2 x − 1 ≤ 2 ⇔ x 2 − 2 x − 3 ≤ 0

cho

Bước 4. Lập bảng biến thiên

x

−∞

2x − 2

-1
+

f '( x 2 − 2 x − 1)

+∞

-

1
0
0

3
−

0

+
+

- +

0

-

0

+

+

0
g '( x)

0
g ( x)

9


Nguyễn Thị Quyên
THPT Tam Đảo 2
=================================================================
Dựa vào bảng biến thiên ta chọn đáp án D. ( −1; 0 ) .
Cách 2.
 x = −1
.(Trong đó x = −1 là nghiệm kép)
x = 2

Bước 1. Dựa vào đồ thị có f ′ ( x ) = 0 ⇔ 
Chọn f '( x) = ( x + 1) ( x − 2 )
2

2
Bước 2. Tinh đạo hàm g ' ( x ) = (2 x − 2). f '( x − 2 x − 1)

= (2 x − 2) ( x 2 − 2 x − 1 + 1)
= ( 2 x − 2) ( x2 − 2x )

2

(x

2

2

(x

2

− 2x − 1 − 2)

− 2 x − 3)

x = 1
x = 0

 x = 2 (Trong đó có x = 0; x = 2 là nghiệm kép)
g
'(
x
)
=
0
⇔
Cho

 x = −1
 x = 3

Bước 3. Lập bảng biến thiên
x

−∞

g '( x)

-1
0

-

+

0
0

1
0

+

-

2
0

-

3
0

+∞

+

g ( x)

Dựa vào bảng biến thiên ta chọn đáp án D. ( −1;0 ) .
Bình luận:
Căn cứ vào đồ thị hàm số y = f '( x ) có dạng như đồ thị hàm đa thức bậc 3 cắt
trục hoành tại điểm x = 2 và tiếp xúc tại điểm x = −1 nên ta chọn hàm
f '( x) = ( x + 1)

2

( x − 2 ) . Khi đó hàm số

y = g '( x) = f '( x 2 − 2 x − 1) là một hàm đa thức ta

có thể xét dấu dựa vào quy tắc xét dấu của hàm dạng tích thương các đa thức.
Bài 2.6. Cho hàm số

y = f ( x) .

Đồ thị hàm số

10

y = f ¢( x)

như hình bên dưới


Nguyễn Thị Quyên

THPT Tam Đảo 2
=================================================================

Hàm số g( x) = f (
A.

( - ¥ ;- 1-

)

x2 + 2x + 2

)

nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

B. ( -

2 2.

¥ ;1) .

C.

( 1;2

)

D.

2- 1 .

(2

)

2 - 1;+¥ .

Lời giải.
NX: x 2 + 2 x + 2 > 0, ∀x
Bước 1. Dựa vào đồ thị, suy ra

Bước 2. Tính đạo hàm

éx =- 1
ê
¢
f ( x) = 0 Û êx = 1 .
ê
êx = 3
ë
x +1

g¢( x) =

2

x + 2x + 2

(

)

f ¢ x2 + 2x + 2 ;

Bước 3. Giải phương trình
éx +1= 0
éx +1= 0
ê
ê
ê 2
theo do thi f '( x)
gÂ( x) = 0 ờ
ơắ
ắ
ắ
ắđ
ờ x + 2x + 2 = 1 Û
2
êf ¢ x + 2x + 2 = 0
ê
ë
ê x2 + 2x + 2 = 3
ë

(

)

éx = - 1 ( nghiem boi ba)

ê
ê
.
êx = - 1- 2 2
ê
êx = - 1+ 2 2
ê
ë

Lập bảng biến thiên
−∞

x

x +1
2

f '( x + 2 x + 2)

+

g '( x)

-

−1

−1 − 2 2

+∞

−1 + 2 2

0
0

+

0

-

-

0

+
+

0

+

0

-

0

+

g ( x)

và ta chọn A.

( - ¥ ;- 1-

)

2 2.

Bình luận:
 Với g( x) = f (

)

x2 + 2x + 2

có chứa căn nên ta chỉ chọn cách giải thứ 2 vì cách

giải thứ nhất giải nhiều bất phương trình chứa căn khá phức tạp.
11


Nguyễn Thị Quyên
THPT Tam Đảo 2
=================================================================
 Hàm f '( x 2 + 2 x + 2) không phải là hàm dạng tích thương các đa thức vậy
làm thế nào để xét dấu các biểu thức trên các khoảng cụ thể? Cách xét dấu
như sau: Ví dụ xét trên khoảng

vì dựa vào đồ thị

f ¢( x)

( - 1;- 1+ 2 2) ta chọn

ta thấy tại

x = 2 Ỵ ( 1;3)

x = 0.

( )

Khi đó

f ¢ 2 < 0.

thì

g¢( 0) =

1
2

g¢( x)

( )

f ¢ 2 <0

Các nghiệm của phương

trình g¢( x) = 0 là nghiệm bội lẻ nên qua nghiệm đổi dấu hoặc hàm phức tạp ta nên
thử tương tự ở tất cả các khoảng..
Bài 2.7. Cho hàm số y = f ( x) có bảng xét dấu của f '( x) như sau:
−∞
x
+∞
-2
0
2
f '( x)
0
+
0
0
+

(

)

Hàm số y = g ( x ) = f x 2 − 1 + 1 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ( −1;1) .

 −6

(



)

C. −∞ ; − 2 .

B.  ; − 1÷.
 5


(

)

D. 0; 2 .

Lời giải

x ≥ 1
2
khi 
f (x )
 x ≤ −1 .
Bước 1. Tính đạo hàm của hàm số y = g ( x ) = f x − 1 + 1 = 
 f 2 − x 2 khi − 1 < x < 1
)
 (

(

2

)


x > 1
2
khi 
2 x. f ′ ( x ) ,
 x < −1 .
Ta có: g ′ ( x ) = 
−2 x. f ′ 2 − x 2 khi − 1 < x < 1
(
)


Bước 2. Giải bất phương trình
  x > 1
 x > 1

 2
2
  f ′ ( x ) > 0
 x > 2

  x < −1
  x < −1

x > 2
 f ′ x2 < 0

 1 < x 2 < 2
(
)



g′ ( x ) > 0 ⇔ 
⇔ 
⇔  − 2 < x < −1.
2
 −1 < x < 0, ( 2 − x > 1)
0 < x < 1
 −1 < x < 0



2
 f ′ ( 2 − x2 ) > 0
 2 − x > 2




 0 < x < 1
 0 < x < 1, ( 2 − x 2 > 1)



2
  f ′ ( 2 − x 2 ) < 0

 1 < 2 − x < 2


Hoặc ta có thể chọn phương pháp lập bảng biến thiên để thay thế

12


Nguyễn Thị Quyên
THPT Tam Đảo 2
=================================================================
x = 0
x = 0
 2
x = −2


. ⇔ x = 2
Giải phương trình g ′ ( x ) = 0 ⇔  2
x =2
x = − 2


2
 2 − x = 0

x

−∞

g '( x )

-1

− 2

-

0

+

0
-

1

0

+∞

2

+

-

+

g ( x)

Bước 3. Kết luận
−6



Chọn đáp án B.  ; − 1÷.
 5


Bình luận:

x > 1
2
khi 
2 x. f ′ ( x ) ,
 x < −1 .
Vì hàm số g ′ ( x ) = 
−2 x. f ′ 2 − x 2 khi − 1 < x < 1
(
)

 2 xf '( x 2 ) = 0,
x ∈ (−∞; −1) ∪ ( 1; +∞ )
g
'(
x
)
=
0

⇔

Khi cho
2
 −2 xf '(2 − x ) = 0, x ∈ (−1;1)

2 x. f '( x 2 ) = 0, x ∈ ( −∞; −1) ∪ ( 1; +∞ ) , kết hợp bảng xét dấu f '( x ) ta có
 x2 = 2
⇔
 2
 x = −2( L)

x = 2

 x = − 2

x = 0
x = 0
−2 x. f '(2 − x 2 ) = 0, x ∈ ( −1;1) , kết hợp bảng xét dấu f '( x) ta có 
⇔

2
2 − x = 0
x = ± 2

( x = ± 2 không phải là nghiệm kép của phương trình g '( x) = 0 )
Cách xét dấu của hàm g '( x) ví dụ xét khoảng
được

g '(2) = 2.2. f '(22 ) = 4. f '(4) > 0 ,

g '( x) > 0, x ∈

(

vì

theo

(

)

2; +∞ ta chọn x = 2 thay g '( x) ta

bảng

xét

dấu

f '(4) > 0

nên

)

2; +∞ Ta thực hiện các khoảng còn lại tương tự.

2.3. XÁC ĐỊNH ĐƯỢC KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ y = f ( x) − h( x)

DỰA VÀO BẢNG BIẾN THIÊN HOẶC ĐỒ THỊ CỦA HÀM f '( x )
Tìm khoảng đơn điệu khi biết đồ thị của hàm f '( x )
13


Nguyễn Thị Quyên
THPT Tam Đảo 2
=================================================================
Phương pháp giải
Cho đồ thị hàm số y = f '( x) , hỏi tính đơn điệu của hàm số y = g ( x) , trong đó
g ( x ) = f ( x ) − h( x )
 Tính y ' = g '( x) ;
 Căn cứ đồ thị hàm y = f '( x ) ⇒ Các điểm cực trị của hàm g '( x) . Xét phần đồ thị

hàm f '( x) và h '( x) . Nếu f '( x ) nằm trên h '( x) thì hàm số đồng biến, nếu f '( x)
nằm dưới h '( x ) thì hàm số nghịch biến.
 Lập bảng biến thiên của hàm số y = g ( x) hoặc trực tiếp xác định khoảng đồng
biến nghịch biến dựa vào đồ thị và suy ra kết quả bài toán.

Bài 2.8. Cho hàm số y = f ( x ) với đạo hàm f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ.
3
2
Hàm số g ( x ) = 3 f ( x ) − x + 3x − 3x + 2019 . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

A. Hàm số y = g ( x ) đồng biến trên khoảng ( 1; 2 ) .
B. Hàm số y = g ( x ) đồng biến trên khoảng ( −1;0 ) .
C. Hàm số y = g ( x ) đồng biến trên khoảng ( 0;1) .
D. Hàm số y = g ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 2; +∞ )
Lời giải
2

Bước 1. Ta có: g ′ ( x ) = 3 f ′ ( x ) − 3x + 6 x − 3
2
2
Bước 2. Giải phương trình g ′ ( x ) = 0 ⇔ 3 f ′ ( x ) − 3x + 6 x − 3 = 0 ⇔ f ′ ( x ) = x − 2 x + 1

14


Nguyễn Thị Quyên
THPT Tam Đảo 2
=================================================================
Xét

tương

giao

của

hai

đồ

thị

hàm

số:

y = f ′( x)

và

y = x2 − 2 x + 1

Quan sát đồ thị ta thấy: đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) và đồ thị hàm số y = x 2 − 2 x + 1 cắt nhau
tại ba điểm phân biệt A, B, C có hồnh độ lần lượt là x = 0; x = 1; x = 2
x = 0
⇒ f ′ ( x ) = x − 2 x + 1 ⇔  x = 1
 x = 2
2

Ta có bảng biến thiên:
x
g '( x)
g ( x)

−∞

+∞

-

0
0

1
+

+∞

2
0

-

0

g (1)
g (0)

+

+∞

g (2)

Từ bảng biến thiên suy ra: chọn đáp án C. ( 0;1)
Bình luận: Khi vẽ đồ thị ta để ý đến các điểm đặc biệt mà đồ thị ban đầu cho tọa độ
cụ thể..
Bài 2.9. Cho

f ( x)

mà đồ thị hàm số

y = f ( x − 1) + x 2 − 2 x đồng biến trên khoảng

15

y = f ′( x)

như hình bên. Hàm số


Nguyễn Thị Quyên
THPT Tam Đảo 2
=================================================================
A. ( 1; 2 ) .
B. ( −1; 0 ) .
C. ( 0;1) .
D. ( −2; −1) .
Lời giải
2
Bước 1. Tính đạo hàm của hàm y = f ( x − 1) + x − 2 x

Bước 2. Khi đó y′ = f ′ ( x − 1) + 2 x − 2 .
Hàm số đồng biến khi y′ ≥ 0 ⇔ f ′ ( x − 1) + 2 ( x − 1) ≥ 0 ( 1)
Đặt t = x − 1 thì ( 1) trở thành: f ′ ( t ) + 2t ≥ 0 ⇔ f ′ ( t ) ≥ −2t .
Bước 3. Quan sát đồ thị hàm số y = f ′ ( t ) và y = −2t trên cùng một hệ trục tọa độ như
hình vẽ.

Khi đó ta thấy với t ∈ ( 0;1) thì đồ thị hàm số y = f ′ ( t ) luôn nằm trên đường thẳng
y = −2t

Suy ra f ′ ( t ) + 2t > 0, ∀t ∈ ( 0;1) .
Với

0 < t < 1 ⇒ 0 < x −1 < 1 ⇔ 1 < x < 2 .

Do

đó

∀x ∈ ( 1; 2 )

thì

hàm

số

y = f ( x − 1) + x 2 − 2 x đồng biến. Chọn đáp án A

Bài 2.10. (ĐỀ THAM KHẢO CỦA BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Cho hàm số f ( x)
có bảng xét dấu đạo hàm như sau
x
f '( x)

−∞

-

1
0

+

2
0

+

3
0

-

Hàm số y = 3 f ( x + 2) − x 3 + 3 x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
16

4
0

+∞

+


Nguyễn Thị Quyên
THPT Tam Đảo 2
=================================================================
A. ( −∞; −1) .

B. ( −1; 0 ) .

C. ( 0; 2 ) .

D. ( 1; +∞ ) .

Lời giải
2
Bước 1. Tính đạo hàm y ' = 3  f '( x + 2) − ( x − 1) 
2
2
Bước 2. Ta có y ' > 0 ⇔ 3 f ' ( x + 2 ) − 3x + 3 > 0 ⇔ f ' ( x + 2 ) > x − 1.

Đặt t = x + 2, bất phương trình trở thành: f '(t ) > (t − 2)2 − 1 ⇔ f '(t ) − (t 2 − 4t + 3.) > 0
Khơng thể giải trực tiếp bất phương trình:
Bước 3. Ta sẽ chọn t thỏa mãn
−∞

t
f '(t )
t 2 − 4t + 3

-

1
0

+

+

0

-

2

0

+

3
0

-

-

0

+

4
0

+∞

+
+

Quan sát bảng biến thiên
 f '(t ) > 0

Xét với t ∈ ( 1;3) ⇒ 

t − 4t + 3 < 0
2

⇒ f '(t ) − ( t 2 − 4t + 3) > 0

Với 1 < t < 3 ⇒ 1 < x + 2 < 3 ⇒ −1 < x < 1
2
Khi x ∈ ( −1;1) thì y ' = 3  f '( x + 2) − ( x − 1)  > 0 tức là hàm số y = 3 f ( x + 2) − x 3 + 3 x

đồng biến.
Từ đó chọn đáp án B
Bài 2.11. Cho hàm số f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm như sau
x
f '( x)

−∞

−4

+

−1

0

-

2

0

-

0

+

0

2
3

Hàm số y = f (2 x + 1) + x 2 − 8 x + 5 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
1

B.  −1; ÷.

A. ( 1; +∞ ) .



C. ( −∞; −2 ) .

2

Lời giải
4
3

Bước 1. Ta có y ' = 2 f '(2 x + 1) + x − 8
4
3

Bước 2. Giải bất phương trình: 2 f '(2 x + 1) + x − 8 ≤ 0
t 13
≤0
3 3

Đặt t = 2 x + 1 ⇒ f '(t ) + −

17

+∞

4

D. ( −1; 7 ) .

-


Nguyễn Thị Quyên
THPT Tam Đảo 2
=================================================================
Bước 3. Ta có bảng xét dấu
t
f '(t )
t 13
−
3 3
y'

−∞

−4

+

0

−1

-

-

2

0

-

-

0

4

+

-

0

-

-

-

-

13
0

+∞

+

-

 f '(t ) < 0
t ∈ (−4; 2)
t 13

⇒ f '(t ) + − < 0
Từ bảng biến thiên ta thấy 
thì  t 13
− <0
3 3
t ∈ (4;13)


3 3

Xét với −4 < t < 2 ⇒ −4 < 2 x + 1 < 2 ⇒

−5
1
< x<
2
2

4
 5 1
⇔ x ∈  − ; ÷ thì 2 f '(2 x + 1) + x − 8 < 0
3
 2 2

Khoảng còn lại t ∈ ( 4;13) (loại)
Vậy chọn Đáp án B
Bình luận:
 Đối với bài toán cho bảng biến thiên của hàm số ta có thể dựa vào các điểm
trên đồ thị để xác định vị trí tương đối của các đường cong để suy ra dấu đạo hàm.
 Đối với bài toán cho bảng xét dấu đạo hàm ta sẽ thử trực tiếp dấu của biểu
thức
4.4. Tính đơn điệu của hàm hợp có chứa tham số
“Tìm m để hàm số y = f ( x, m ) đồng biến (nghịch biến) trên khoảng ( a; b ) ”:
Phương pháp giải
+ Tính đạo hàm của hàm số y = f ( x, m ) ;
+ Bài tốn trở thành: Tìm m để bất phương trình f '( x, m) ≥ 0 (hoặc
f '( x, m) ≤ 0, ∀x ∈ ( a; b)
Bước 1: Cô lập tham số m, nghĩa là đưa bất phương trình f '( x, m) ≥ 0 (hoặc

f '( x, m) ≤ 0, ∀x ∈ (a; b) ) về dạng g ( x) ≥ h(m) (hoặc g ( x) ≤ h( m), ∀x ∈ ( a; b) ).
Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số g ( x ) trên khoảng ( a; b ) .
Bước 3: Từ bảng biến thiên ta suy ra các giá trị cần tìm của tham số m.
Bài 2.12. [VD] Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị của
2
tham số m để hàm số y = f ( 3x + 2 x + m ) nghịch biến trên khoảng ( 0;1) .

18


Nguyễn Thị Quyên
THPT Tam Đảo 2
=================================================================

Hướng dẫn giải:
+ Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) ta có dấu của y ' = f ' ( x ) . Cụ thể là đồ thị có dáng đi xuống
trên khoảng ( −1;1) , đi lên trên hai khoảng ( −∞; −1) ; ( 1; +∞ ) nên f ' ( x ) < 0 ⇔ x ∈ ( −1;1) ;
f ' ( x ) > 0 ⇔ x ∈ ( −∞; −1) ∪ ( 1; +∞ ) .
2
2
+ Tính đạo hàm của hàm y = f ( 3x + 2 x + m ) : y ' = ( 6 x + 2 ) f ' ( 3 x + 2 x + m ) .

+ Sử dụng điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước và kỹ thuật cô
lập m, giải bài tốn tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ ( 0;1) .
Lời giải
• Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) ta có f ' ( x ) ≤ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1 .
•

y ' = ( 6 x + 2 ) f ' ( 3x 2 + 2 x + m ) .

• Dễ thấy y ' có hữu hạn nghiệm, nên hàm số y = f ( 3x 2 + 2 x + m ) nghịch biến trên

( 0;1)

•

⇔ y ' ≤ 0 ∀x ∈ ( 0;1) ⇔ f ' ( 3 x 2 + 2 x + m ) ≤ 0, ∀x ∈ ( 0;1)

2

3 x + 2 x ≥ −m − 1, ∀x ∈ ( 0;1)
⇔ −1 ≤ 3x 2 + 2 x + m ≤ 1, ∀x ∈ ( 0;1) ⇔  2

3 x + 2 x ≤ 1 − m, ∀x ∈ ( 0;1)
Hàm số g ( x ) = 3x 2 + 2 x đồng biến trên [0;1] nên hệ trên tương đương

 −m − 1 ≤ g ( 0 ) = 0
m ≥ −1
⇔
⇔ m ∈ ∅.

m ≤ −4
1 − m ≥ g ( 1) = 5

Vậy khơng có m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Binh luận:

+ Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) , ta thấy bất phương trình f ' ( x ) ≤ 0 ⇔ x ∈ [ −1;1] và suy ra
2
nghiệm của f ' ( 3 x + 2 x + m ) ≤ 0 .

+ Ta có thể tương tự hóa dạng bài này khi học sinh học đến bài hàm mũ, logarit,…
+ Nếu hàm số y = f ( x ) có f ' ( x ) ≥ 0 ∀x ∈ ( a; b ) , dấu bằng xảy ra tại hữu hạn x ∈ ( a; b )
thì hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng đó.
Bài 2.13. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ¡ và bảng xét dấu của đạo hàm như
hình vẽ sau:
19


Nguyễn Thị Quyên
THPT Tam Đảo 2
=================================================================

2
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số g ( x ) = f ( x − x + m ) nghịch biến trên

khoảng ( −1; 0 ) ?
Lời giải

• g ′ ( x ) = ( 2 x − 1) . f ′ ( x − x + m ) .
2

• Hàm số g ( x ) nghịch biến trên khoảng ( −1; 0 ) ⇔ g ′ ( x ) ≤ 0 ∀x ∈ ( −1; 0 )
⇔ ( 2 x − 1) . f ′ ( x 2 − x + m ) ≤ 0 ∀x ∈ ( −1; 0 ) .

 x 2 − x + m ≥ 4, ∀x ∈ ( −1;0 )
⇔ f x − x + m ≥ 0 ∀x ∈ ( −1; 0 ) ⇔  2
 x − x + m ≤ 1, ∀x ∈ ( −1;0 )

(

2

)

 m ≥ − x 2 + x + 4, ∀x ∈ ( −1;0 )
 m ≥ − x 2 + x + 4, ∀x ∈ ( −1;0 )
m ≥ 4
⇔
⇔
⇔

 m ≤ −1 .
2
2
m
≤
−
x
+
x
+
1,
∀
x
∈
−
1;0
m
≤

−
x
+
x
+
1,
∀
x
∈
−
1;
0
(
)
(
)



m ≥ 4
Vậy 
 m ≤ −1

2
Bài 2.14. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = 3x + 2 x − 5, ∀x ∈ ¡ . Tìm tất cả các

giá trị của tham số m để hàm số g ( x ) = f ( x ) − ( m + 1) x − 2019 nghịch biến trên khoảng

( 0; 2 )
Hướng tiếp cận:

Với dạng bài tập này ta thực hiện theo các bước sau:
+ Tính đạo hàm của g ( x ) = f ( x ) − ( m + 1) x − 2019 ⇒ g ' ( x ) = f ' ( x ) − ( m + 1)
+

Thay

giả

thiết

f ' ( x ) = 3x2 + 2 x − 5

ta

có

g ' ( x ) = 3x 2 + 2 x − 5 − ( m + 1) = 3x 2 + 2 x − 6 − m

+ Sử dụng điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước và kỹ thuật
cô lập m, giải bài tốn tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ ( 0; 2 ) .
Lời giải
Ta có g ( x ) = f ( x ) − ( m + 1) x − 2019 ⇒ g ' ( x ) = f ' ( x ) − ( m + 1) .
Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0; 2 )
⇔ g ' ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ ( 0; 2 ) (dấu '' = '' xảy ra tại hữu hạn điểm trên khoảng

đúng) ⇔ f ' ( x ) − ( m + 1) ≤ 0, ∀x ∈ ( 0; 2 )
⇔ 3 x 2 + 2 x ≤ m + 6, ∀x ∈ ( 0; 2 )

( *)

2
Xét hàm số h ( x ) = 3x + 2 x, x ∈ ( 0; 2 ) . Ta có h ' ( x ) = 6 x + 2 > 0, ∀x ∈ ( 0; 2 ) .

Bảng biến thiên:
20

( 0; 2 ) - luôn


Nguyễn Thị Quyên
THPT Tam Đảo 2
=================================================================
016

Từ bảng biến thiên ta có ( *) ⇔ m + 6 ≥ 16 ⇔ m ≥ 10 .
Bàn luận:

+ Vì hàm số liên tục và đơn điệu trên đoạn [ 0; 2] nên khi khơng lập bảng biến
thiên,
ta
có
thể
diễn
đạt:
m + 6 ≥ 3x 2 + 2 x = h ( x ) , ∀x ∈ ( 0; 2 ) ⇔ m + 6 ≥ max h ( x ) = g ( 2 ) = 16.
[ 0;2]

+ Ta có thể tương tự hóa dạng bài này khi học sinh học đến bài hàm mũ, logarit.
x
Bài 2.15. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = ( x + 1) e . Tìm tất cả các giá trị của

2
3
tham số m để hàm số y = g ( x ) = f ( ln x ) − mx + mx − 2 nghịch biến trên ( 1; e ) .
Lời giải

1
x

3
Trên ( 1; e ) ta có g ' ( x ) = . f ' ( ln x ) − 2mx + m = ln x + 1 − ( 2 x − 1) m.
3
3
Hàm số y = g ( x ) nghịch biến trên ( 1; e ) ⇔ g ' ( x ) = ln x + 1 − ( 2 x − 1) m ≤ 0, ∀x ∈ ( 1; e )

⇔ ln x + 1 ≤ ( 2 x − 1) m, ∀x ∈ ( 1; e3 )

ln x + 1
≤ m, ∀x ∈ ( 1; e3 ) (*)
2x −1
1
− − 2 ln x
ln x + 1
3
Xét hàm số h ( x ) =
trên ( 1; e ) , có h ' ( x ) = x
< 0, ∀x ∈ ( 1; e3 ) nên hàm số
2
2x − 1
( 2 x − 1)
⇔

3
nghịch biến trên ( 1;e ) . Mà h ( 1) = 1 suy ra (*) ⇔ m ≥ 1 .

2
2
Bài 2.16. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = x ( x + 2 ) ( x + mx + 5 ) ∀x ∈ R . Tìm
2
tất cả các giá trị của tham số m để hàm số g ( x ) = f ( x + x − 2 ) đồng biến trên ( 1; +∞ ) .
Lời giải

2
Ta có g ′ ( x ) = ( 2 x + 1) f ′ ( x + x − 2 ) .

2
Hàm số đồng biến trên ( 1; +∞ ) ⇔ ( 2 x + 1) f ′ ( x + x − 2 ) ≥ 0 , ∀x ∈ ( 1; +∞ )

⇔ f ′ ( x 2 + x − 2 ) ≥ 0 , ∀x ∈ ( 1; +∞ ) (vì 2 x + 1 > 0, ∀x ∈ ( 1; +∞ ) )

⇔ ( x2 + x − 2)

2

(x

2

2
+ x ) ( x 2 + x − 2 ) + m ( x 2 + x − 2 ) + 5 ≥ 0 , ∀x ∈ ( 1; +∞ ) ( 1) .




Đặt t = x 2 + x − 2 , do x ∈ ( 1; +∞ ) nên t > 0 .

( 1) ⇒ t 2 ( t + 2 ) ( t 2 + mt + 5 ) ≥ 0 , ∀t > 0 ⇔ t 2 + mt + 5 ≥ 0 , ∀t > 0 ⇔ m ≥ −  t +


21

5
÷ , ∀t > 0 (2)
t


Nguyễn Thị Quyên
THPT Tam Đảo 2
=================================================================
5
 5
Dễ thấy ∀t > 0 : t + ≥ 2 5 ⇒ −  t + ÷≤ −2 5 , do đó (2) ⇔ m ≥ −2 5.


t

t

Bàn luận: Bài tốn có thể mở rộng theo ý tưởng sau:
2
Bài 2.17. Cho hàm số g ( x ) = f ( 5 − x ) có g ' ( x ) = ( 5 − x ) ( 2 − x )  x − ( m + 10 ) x + 5m + 41 ,
2

∀x ∈ ¡ . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng

( −∞; −1) .
Hướng tiếp cận:
Vì ta cần xét tính đơn điệu của hàm số f ( x ) nên cần biết dấu của f ' ( x )
+ Từ giả thiết g ( x ) = f ( 5 − x ) suy ra f ' ( 5 − x ) = − g ' ( x )
2
+ Thay g ' ( x ) = ( 5 − x ) ( 2 − x )  x − ( m + 10 ) x + 5m + 41 vào biểu thức f ' ( 5 − x )
2

+ Suy ngược ra công thức f ' ( x ) . Từ đó suy ra tính đơn điệu của hàm f ( x ) .
Lời giải
• Ta có g ' ( x ) = − f ' ( 5 − x ) ⇒ f ' ( 5 − x ) = − g ' ( x ) .
2
Suy ra f ' ( 5 − x ) = − g ' ( x ) = ( x − 5 ) ( 2 − x )  x − ( m + 10 ) x + 5m + 41
2

2
2
= ( x − 5 ) ( 5 − x ) − 3 ( 5 − x ) + m ( 5 − x ) + 16 



Nghĩa là f ' ( x ) = − x ( x − 3)  x 2 + mx + 16  .
2

• Hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng ( −∞; −1) khi và chỉ khi f ' ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ( −∞; −1)
(Dấu “ = ” chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm x ∈ ( −∞; −1) - luôn đúng).
⇔ − x ( x − 3)

2

(x

2

+ mx + 16 ) ≥ 0, ∀x ∈ ( −∞; −1)

⇔ x 2 + mx + 16 ≥ 0, ∀x ∈ ( −∞; −1) (vì − x > 0 và ( x − 3) 2 > 0, ∀x ∈ ( −∞; −1) )
− x 2 − 16
⇔m≤
, ∀x ∈ ( −∞; −1)
x

− x 2 − 16
16
= − x − ≥ 2.
( *) . Với h ( x ) =
x
x

−16 
÷= 8,
 x 

( − x ) . 

dấu “=” xảy ra khi x = −4 ∈ ( −∞; −1) . Do đó (*) ⇔ m ≤ 8 .
2.5 CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 2. 18 (Mã đề 104-BGD-2019) Cho hàm số f ( x) , bảng xét dấu của f '( x ) như sau:
x

−∞

f '( x )

-1

1

+

-

0

0

+∞

+

0

Hàm số y = f (5 − 2 x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ( 3; 4 ) .

B. ( 1;3) .

C. ( −∞; −3) .

D. ( 4;5 ) .

Bài 2.19. Cho hàm số f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm như hình bên dưới
t

−∞

−3

−2

0
22

1

3

+∞


Nguyễn Thị Quyên
THPT Tam Đảo 2
=================================================================
f '(t )

-

0

+

0

-

0

-

0

+

-

Hàm số y = f ( 1 − 2 x ) đồng biến trên khoảng
 1 





A.  0; ÷.
2
3






B.  − ;1÷.
2



1

C.  −2; − ÷.
2


3



D.  ;3 ÷.
2 

Bài 2.20. Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số
y = f ( 1 + x 2 ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.

(

)

3; +∞ .

Bài 2.21. Cho hàm số

(

)

(

B. − 3; −1 .
y = f ( x) .

)

C. 1; 3 .

Đồ thị hàm số

y = f ¢( x)

D. ( 0;1)

như hình bên dưới

Hàm số g( x) = f ( 1- 2x) đồng biến trên
khoảng nào trong các khoảng sau ?
A. ( - 1;0) .
B. ( - ¥ ;0) .

C. ( 0;1) .
D. ( 1;+¥ ) .

Lời giải.
Dựa vào đồ thị, suy ra
Ta có
Xét

éx <- 1
f ¢( x) < 0 Û ê
.
ê1< x < 2
ë

g¢( x) = - 2 f ¢( 1- 2x) .

é1- 2x <- 1
g¢( x) > 0 Û f ¢( 1- 2x) < 0 Û ê
Û
ê1< 1- 2x < 2
ë

Vậy g( x) đồng biến trên các khoảng

éx > 1
ê
ê 1
.
ờ- < x < 0
ờ

ở 2

ổ1 ử
ỗ
- ;0ữ
ữ
ỗ
ữ v ( 1;+Ơ ) .
ỗ
ố 2 ứ

Chn D.

Bi 2.22. Cho hm s y = f ( x ) có đạo hàm trên ¡ và có đồ thị hàm số y = f ' ( x ) như
hình vẽ bên:

23


Nguyễn Thị Quyên
THPT Tam Đảo 2
=================================================================
y
2

O

4

x

−4
2
Hàm số g ( x ) = f ( − x − x ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?




A. ( −∞ ; − 1) .

B.  −1;

 −1

−1 
÷.
2 



D. ( −1;0 )

C.  ; + ∞ ÷.
 2


Bài 2.23. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:
x
g '( x)
g ( x)

−∞

-2
0
3

+

0
0

-

+∞

2
0

+

3

−∞
-1
Hàm số y = f ( x − 2 ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
−∞

2

A. ( −∞; −2 ) .

B. ( 0; 2 ) .

C. ( 2; +∞ ) .

D. ( −2;0 ) .

Bài 2.24. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ¡ . Biết rằng hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị
như hình vẽ bên dưới:

2
Hàm số y = f ( x − 5 ) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?

A. ( −∞; −3) .

B. ( −5; −2 ) .

1 3

C.  ; ÷.
2 2

Bài 8. Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị như hình vẽ.

24

D. ( 2; +∞ ) .

Nguyễn Thị Quyên
THPT Tam Đảo 2
=================================================================

2
Hàm số y = g ( x ) = f ( x ) nghịch biến trên khoảng

A. ( −∞; −1) .

B. ( −1;0 ) .

C. ( 0;1) .

D. ( 1;3) .

Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị như hình bên. Hàm số

Bài 2.25.

y = f ( 1 + x 2 ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.

(

3; +∞

)

(

)

B. − 3; −1

(

C. 1; 3

)

D. ( 0;1)

Bài 2.26. Cho hàm số f ( x) liên tục trên ¡ có f (−1) = 0 và có đồ thị hàm số y = f ′( x)
như hình vẽ bên.

2
Hàm số y = 2 f ( x − 1) − x đồng biến trên khoảng

A. ( 3; +∞ ) .

B. ( −1; 2 ) .

C. ( 0; +∞ ) .

Lời giải
Chọn D
25

D. ( 0;3)

Nguyễn Thị Quyên
THPT Tam Đảo 2
=================================================================
Đặt g ( x) = 2 f ( x − 1) − x 2 ⇒ g ′( x ) = 2[ f ′( x − 1) − ( x − 1) − 1]

Dựa vào đồ thị hàm số y = f ′( x) và đồ thị hàm số y = x + 1 ta có:
g ′( x ) > 0 ⇔ f ′( x − 1) > ( x − 1) + 1 ⇔ −1 < x − 1 < 2 ⇔ 0 < x < 3

Bảng biến thiên:
−∞

x
g '( x)
g ( x)

0
0

-

1
0

+

+∞

3

0

+

3

0
2
Dựa vào bảng biến thiên, hàm số y = 2 f ( x −1) − x đồng biến trên khoảng

( 0;3)
y = f ( x)

Bài 2.27. Cho hàm số
−∞

x
g '( x)
g ( x)

-2
0
4

+

có bảng biên thiên như hình vẽ
-

−∞

Hàm số

+∞

3
0

+

+∞

-2

ỉ 2 5
3ư
g( x) = f ỗ
ữ
ỗ2x - x - ữ
ữ nghch
ỗ
ố
2
2ứ

bin trờn khong no trong cỏc khong

sau?
A.

ổ 1ữ
ử
ỗ
- 1; ữ
.
ỗ
ữ
ỗ
ố 4ứ

B.

Bi 2.28. Cho hm s
f Â( x)

f ( x)

ổ1 ử
ữ.
ỗ
;1ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố4 ứ

cú o hm liờn tc trờn

C.
Ă.

ổ 5ử
ữ.
ỗ
1; ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố 4ứ

D.

1

0

1

2

3
f '( x )

1

2
-1
26

ử

ữ.
ữ
ữ
ứ

Bng bin thiờn ca hm s

nh hỡnh v
x

ổ9
ỗ
;+Ơ
ỗ
ỗ
ố4

3
4


Nguyễn Thị Qun
THPT Tam Đảo 2
=================================================================
ỉ x÷
ư
÷+ x
ø
2÷

Hàm số g( x) = f ỗỗỗố1A. ( -

4;- 2) .

B. ( -

nghch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

2;0) .

C. ( 0;2) .

Bài 2.28. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên
hình
bên dưới

D. ( 2;4) .
¡.

Đồ thị hàm số

y = f ¢( x)

như

Hàm số g( x) = 2 f ( x) - x đồng biến
trên khoảng nào trong các khoảng
sau đây ?
A. ( - ¥ ;- 2) .
B. ( - 2;2) .

C. ( 2;4) .
D. ( 2;+Ơ ) .
2

Li gii. Ta cú

gÂ( x) = 2 f Â( x) - 2x ắắ
đ gÂ( x) = 0 Û f ¢( x) = x.

Số nghiệm của phương trình
y = f ¢( x)

và đường thẳng

Dựa vào đồ thị, suy ra

g¢( x) = 0

d: y= x

chính là số giao điểm của đồ thị hàm số

(như hình vẽ bên dưới).

éx =- 2
ê
g¢( x) = 0 Û êx = 2 .
ê
êx = 4
ë

Lập bảng biến thiên (hoặc ta thấy với
phía trên ng thng

y= x

nờn

x ẻ ( - 2;2)

gÂ( x) > 0 ) ắắ
đ

( - 2;2) . Chn B

27

thỡ th hm số

f ¢( x)

nằm

hàm số g( x) đồng biến trên