SKKN Rèn luyện tư duy lôgic và tính sáng tạo của học sinh thông qua cách giải một số bài toán về tính đơn điệu của hàm số

A. ĐẶT VẤN ĐỀ:
I. LỜI MỞ ĐẦU:
1. Đất nước ta đang bước vào giai đoạn công nghiệp hoá, hiện đại hoá với
mục tiêu đến năm 2020 Viêt Nam sẽ từ một nước nông nghiệp về cơ bản trở
thành nước công nghiệp hội nhập với cộng đồng quốc tế. Nhân tố quyết định
thắng lợi của công cuộc công nghiệp hoá, hiện đại hoá và hội nhập quốc tế là
con người, là nguồn lực người Việt Nam được phát triển về số lượng và chất
lượng trên cơ sở mặt bằng dân trí được nâng cao. Việc này cần được bắt đầu
từ giáo dục phổ thông. Nói chung đó là một hệ thống phẩm chất và năng lực
được hình thành trên một nền tảng kiến thức, kỹ năng đủ và chắc chắn.
Do sự phát triển nhanh, mạnh với tốc độ mang tính bùng nổ của khoa học
công nghệ thể hiện qua các lý thuyết, các thành tựu mới và khả năng ứng dụng
cao, rộng và nhanh vào thực tế buộc ngành giáo dục cần xem xét, điều chỉnh
về chương trình sách giáo khoa, quan trọng hơn là phương pháp dạy học. Nghị
quyết TƯ lần thứ 2 khoá VIII-1997 khẳng định: “ Phải đổi mới phương pháp
giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư
duy sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến,
phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thời gian tự
học, tự nghiên cứu cho học sinh”.
Học vấn mà Nhà trường phổ thông trang bị không thể thâu tóm được mọi
tri thức mong muốn. Vì vậy phải coi trọng việc dạy phương pháp, dạy cách đi
tới kiến thức của loài người. Trên cơ sở đó mà tiếp tục học tập suốt đời, mọi
người sống trong xã hội học tập. Xã hội đòi hỏi người có học vấn hiện đại
không chỉ có khả năng lấy ra từ trí nhớ các tri thức dưới dạng có sẵn, đã lĩnh
hội ở Nhà trường phổ thông mà còn phải có năng lực chiếm lĩnh, sử dụng các
tri thức mới một cách độc lập, khả năng đánh giá các sự kiện, các tư tưởng,
các hiện tượng một cách thông minh, sáng suốt khi gặp trong cuộc sống. Nội
dung học vấn được hình thành và phát triển trong Nhà trường phải góp phần
quan trọng để phát triển hứng thú và năng lực nhận thức của học sinh, cung
1
cấp cho học sinh những kỹ năng cần thiết cho việc tự học và tự giáo dục sau

này.
2. Lý do chọn đề tài:
Trong quá trình giảng dạy bộ môn Toán học trong trường THPT tôi nhận
thấy rằng trình độ học tập của học sinh là rất khác nhau, mức độ và khả năng
tiếp thu bài học của các em cũng chênh lệch nhau rất đáng kể. Trước tình hình
thực tế đó bản thân tôi cũng suy nghĩ rất nhiều, làm thế nào để bản thân các
em học sinh khá giỏi không xem thường các kiến thức của bài học trong sách
giáo khoa, đồng thời các em học sinh trung bình và yếu lại không e ngại sự
chậm hiểu hay khó với cùng kiến thức đó với mình; để nhằm tạo ra một không
khí làm việc tập thể, dần dà làm cho các em học sinh cảm thấy có nhu cầu làm
việc trong giờ học, từ đó tạo ra sự hứng thú học tập bộ môn một cách tự giác.
Đó là lý do tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm:
“ Rèn luyện tư duy lôgic và tính sáng tạo của học sinh thông qua
cách giải một số bài toán về tính đơn điệu của hàm số ”.
3. Mục đích nghiên cứu:
- Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh
- Phát huy tính tích cực, tư duy lôgic và sáng tạo của học sinh.
4. Đối tượng nghiên cứu:
Cách giải một số bài toán về tính đơn điệu của hàm số.
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU:
1. Thực trạng:
Sau nhiều năm giảng dạy môn Toán ở cấp THPT, tôi thấy ở các Trường
THPT còn rất nhiều bất cập, nhất là chất lượng và hiệu quả. Trình độ kiến
thức, kỹ năng thực hành, phương pháp tư duy khoa học … của đa số học sinh
còn yếu. Có nhiều nguyên nhân để dẫn đến tình trạng như : học sinh giải toán
kém, không phát huy được tính tư duy sáng tạo của mình, học tập thụ động,
đối phó…Điều này liên quan đến người dạy, người học và nhiều vấn đề khác
nữa. Nhưng theo tôi nguyên nhân chủ yếu nhất là do học sinh kém, mất căn
2
bản về phương pháp và kiến thức, hơn nữa lại thiếu cố gắng trong học tập, học

tập đối phó, chưa có ý thức học tập một cách tích cực, chủ động, biết phát hiện
và giải quyết vấn đề.
Do tình trạng học tập môn Toán ở cấp THPT của nhiều em học sinh chỉ
mang tính chất đối phó dẫn đến năng lực cảm thụ “ cái hay, cái đẹp ’’ của môn
Toán trong từng bài học gần như thụ động lúng túng. Đây chính là điều khiến
cho các giáo viên dạy Toán rất băn khoăn, suy nghĩ. Từ những nguyên nhân
này dẫn đến các tình trạng như:
1.1) Tiếp thu kiến thức chưa được nhanh, vận dụng lý thuyết vào giải toán
chậm.
1.2) Việc chuẩn bị bài ở nhà của nhiều em học sinh còn mang tính chất đối
phó, không chịu nghiên cứu làm bài tập mà giở sách giải ra chép.
1.3) Trong giờ kiểm tra, nhiều học sinh không chịu tư duy suy nghĩ mà có tư
tưởng chép bài của những bạn khá giỏi.
1.4) Định hướng lời giải cho một bài toán chưa rõ ràng.
1.5) Nhiều học sinh không chịu tìm tòi nghiên cứu các tài liệu môn Toán để
nâng cao kiến thức của mình.
Những thực trạng trên ảnh hưởng rất lớn đến kết quả và chất lượng học
tập môn Toán của các em học sinh ở cấp THPT, trong đó Trường THPT Triệu
Sơn 3 – Thanh Hoá, đơn vị tôi công tác là một minh chứng.
2. Kết quả của thực trạng :
Từ thực trạng trên dẫn tới:
- Một số học sinh chưa hứng thú học tập môn Toán.
- Sau khi học, nhiều học sinh rất nhanh quên kiến thức.
- Chưa thành thục kỹ năng, ứng dụng vào giải toán.
Là giáo viên dạy Toán trực tiếp giảng dạy khối lớp 12 tôi đã mạnh dạn cải
tiến nội dung, phương pháp dạy học trong tiết bài tập về tính đơn điệu của
hàm số. Tôi nhận thấy các em học sinh linh hoạt tích cực chủ động phát hiện
và giải quyết vấn đề và phát triển được tư duy lôgic và tính sáng tạo của mình.
3
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:

I. CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN :
Tuỳ vào đối tượng học sinh mà chúng ta áp dụng các giải pháp sao cho
phù hợp đạt hiệu quả cao.
Đối với học sinh trường THPT Triệu Sơn 3 do lực học của nhiều học
sinh còn non, hơn nữa cơ sở vật chất, đồ dùng dạy học của trường còn thiếu
thốn, đời sốngcon em ở đây còn gặp nhiều khó khăn về kinh tế. Do đó học
sinh ở đây thường không được gia đình đầu tư thích đáng cho việc học tập
ở nhà cũng như ở trường.Điều này ảnh hưởng rất lớn đến việc học tập của
các em.
Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi xin đưa ra một số giải pháp sau:
1) Các biện pháp phải thể hiện rõ ý tưởng tích cực học tập của học sinh.
2) Hệ thống các biện pháp phải mang tính khả thi, thực hiện tốt nội dung
chương trình sách giáo khoa và phù hợp với điều kiện thực tiễn của trường,
phải đảm bảo tính vừa sức giữa chung và riêng.
3) Trong quá trình thực hiện cần đảm bảo sự thống nhất giữa vai trò chủ
đạo của thầy với vai trò tự giác tích cực, độc lập của học sinh.
II. CÁC BIỆN PHÁP THỰC HIỆN :
1) Đưa ra bài tập để củng cố khắc sâu kiến thức:
Bài tập 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số:
a)
3
3 1y x x= − +
; b)
2 4
4y x x= −
c)
1
1
x
y

x
+
=
−
; d)
2
3 6
1
x x
y
x
− +
=
−
Trước khi học sinh giải bài tập thì GV yêu cầu học sinh nhắc lại các bước
tìm các khoảng đơn điệu của một hàm số.
Lời giải:
a) Tập xác định: D = R

2
' 3 3 0 1y x x= − = ⇔ = ±
4
' 0, ( ; 1) (1; )
' 0, ( 1;1)
y x
y x
> ∀ ∈ −∞ − ∪ +∞
< ∀ ∈ −

Vậy: Hàm số đồng biến trên các khoảng

( ; 1),(1; )−∞ − +∞
và nghịch biến trên
khoảng (-1; 1).
b) Tập xác định: D = R
3 2
0
' 8 4 4 (2 ) 0
2
x
y x x x x
x
=

= − = − = ⇔

= ±

' 0, ( ; 2) (0; 2)
' 0, ( 2;0) ( 2; )
y x
y x
> ∀ ∈ −∞ − ∪
< ∀ ∈ − ∪ +∞
Vậy: Hàm số đồng biến trên các khoảng
( 2;0),( 2; )− +∞
và nghịch biến trên
các khoảng
( 2;0),( 2; )− +∞
.
c) Tập xác định:

{ }
\ 1D R=
2
2
' 0,
( 1)
y x D
x
−
= < ∀ ∈
−
Vậy: Hàm số luôn nghịch biến trên tập xác định.
d) Tập xác định:
{ }
\ 1D R=
2
2 2
1
2 3 ( 3)( 1)
' 0
3
( 1) ( 1)
x
x x x x
y
x
x x
= −

− − − +

= = = ⇔

=
− −

' 0, ( ; 1) (3; )
' 0, ( 1;1) (1;3)
y x
y x
> ∀ ∈ −∞ − ∪ +∞
< ∀ ∈ − ∪
Vậy: Hàm số đồng biến trên các khoảng
( ; 1),(3; )−∞ − +∞
và nghịch biến trên
các khoảng
( 1;1),(1;3)−
2) Giới thiệu bài toán với tư cách là một tình huống gợi vấn đề:
a. Tình huống gợi vấn đề là một tình huống gợi ra cho học sinh những khó
khăn về lý luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết và có khả năng vượt qua,
nhưng không phải là ngay tức khắc nhờ một quy tắc có tính chất thuật toán,
mà phải trải qua một quá trình tích cực suy nghĩ, hoạt động để biến đổi đối
5
tượng hoạt động hoặc điều chỉnh kiến thức sẵn có. Cần làm cho học sinh thấy
rõ tuy họ chưa có ngay lời giải, nhưng đã có một số kiến thức, kỹ năng liên
quan đến vấn đề đặt ra và họ tin rằng nếu tích cực suy nghĩ thì sẽ giải quyết
được.
b. Giới thiệu bài toán với tư cách là một tình huống gợi vấn đề với mục
đích làm cho vấn đề trở nên hấp dẫn tạo khả năng kích thích hoạt động tích
cực của học sinh.
Sau khi học về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số, cho học sinh giải

các bài tập củng cố và khắc sâu kiến thức, tôi yêu cầu học sinh giải các bài tập
sau:
Bài tập 1: Tìm m để hàm số
3 2
1
( 1) ( 3) 4
3
y x m x m x= − + − + + −
a) Nghịch biến trên R.
b) Đồng biến trên khoảng (0; 3)
Bài tập 2: Tìm m để hàm số
2
6 2
2
mx x
y
x
+ −
=
+
nghịch biến trên
[1; )+∞
.
Để học sinh linh hoạt trong quá trình giải các bài tập, GV đặt câu hỏi:
? Điều kiện cần và đủ để hàm số
( )y f x=
đồng biến (nghịch biến) trên
khoảng (a; b).
- Hàm số đồng biến (nghịch biến) khi và chỉ khi
'( ) 0 ( '( ) 0) , ( ; )f x f x x a b≥ ≤ ∀ ∈

đồng thời f’(x) = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu
hạn điểm.
Lời giải:
Bài tập 1: Ta có:
2
' 2( 1) ( 3)y x m x m= − + − + +
a. Hàm số nghịch biến trên R
' 0,y x R⇔ ≤ ∀ ∈

2
2
( ) 2( 1) 3 0,
' ( 1) ( 3) 0
g x x m x m x R
m m
⇔ = − + − + + ≤ ∀ ∈
⇔ ∆ = − + + ≤
2
4 0m m⇔ − + ≤
không tồn tại m.
6
b. Hàm số đồng biến trên (0; 3)
' 0, (0;3)y x⇔ ≥ ∀ ∈

2
' 4 0
3
12
. (0) ( 1)( 3) 0
12

7
. (3) ( 1)(7 12) 0
7
m m
m
a g m m
m
a g m

∆ = − + >
≥ −



⇔ = − + ≤ ⇔ ⇔ ≥
 
≥
 
= − − ≤


Bài tập 2: Ta có
2
2
4 14
'
( 2)
mx mx
y
x

+ +
=
+
Hàm số nghịch biến trên
[1; ) ' 0, [1; )y x+∞ ⇔ ≤ ∀ ∈ +∞
2
( ) 4 14 0, [1; )g x mx mx x⇔ = + + ≤ ∀ ∈ +∞
- Trường hợp 1: m = 0, g(x) = 14 > 0 không thoả mãn.
- Trường hợp 2: m > 0
( ) 0g x⇒ ≤
có miền nghiệm là độ dài hữu hạn. Bài toán
không thoả mãn.
- Trường hợp 3: m < 0
( ) 0, [1; )g x x⇒ ≤ ∀ ∈ +∞
2
14
' 0
4 14 0
5
(1) 0
7
(5 14) 0
1
2
2
m
m
mg
m m
m

S



∆ ≥
≤ −


− ≥

⇔ ≥ ⇔ ⇔

 
+ ≥



≥


<


Do m < 0 nên những giá trị của m thoả mãn là:
14
( ; ]
5
m∈ −∞ −
Bài tập tương tự:
BT 1: Tìm m để hàm số

3 2
1 1
( 1) 3( 2)
3 3
y mx m x m= − − + − +
đồng biến trên
[2; )+∞
.
BT 2: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số
2
2 (1 ) 1x m x m
y
x m
+ − + +
=
−
đồng
biến trên
(1; )+∞
3) Vận dụng lý thuyết định hướng tìm tòi lời giải bài toán:
a. Việc giải bài toán là một yêu cầu rất quan trọng đối với học sinh. Do
vậy, khi dạy học sinh giải toán, giáo viên không chỉ đơn thuần cung cấp lời
7
giải mà quan trọng hơn là dạy cho học sinh biết cách suy nghĩ tìm ra con
đường hợp lý để giải toán. Trong quá trình giải một bài toán cụ thể nào đó, lẽ
đương nhiên không cần huy động đến mọi kiến thức mà người giải đã thu
thập, tích luỹ được từ trước. Cần huy động đến kiến thức nào, cần xem xét đến
những mối liên hệ nào, điều đó còn phụ thuộc vào khả năng chọn lọc của
người giải toán. Người giải toán đã tích luỹ được những tri thức ấy trong bộ
nhớ, giờ đây rút ra và vận dụng một cách thích hợp để giải bài toán.

b. Bài tập:
* Dạng 1: Vận dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để giải phương
trình, hệ phương trình và bất phương trình.
Bài tập 1: Giải các phương trình sau:
a) lnx = 1- x ; b)
2
4 1 4 1 1x x− + − =
Bài tập 2: Giải hệ phương trình:

2 7 3
tgx tgy y x
x y
π
− = −


+ =

Bài tập 3: Tìm m để bất phương trình
2 2 2
sin cos sin
2 3 .3
x x x
m+ ≥
có nghiệm.
* Dạng 2: Vận dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để chứng minh
bất đẳng thức.
Bài tập 4: Cho
0
2

x
π
< <
. Chứng minh rằng sinx < x.
Bài tập 5: Chứng minh rằng
2
2 3
(1 ) , x (0;1)
9
x x− ≤ ∀ ∈
. Từ đó chứng
minh: nếu a, b, c > 0 và
2 2 2
1a b c+ + =
thì
2 2 2 2 2 2
3 3
2
a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + +
Lời giải:
Bài tập 1:
a.
ln 1 ln 1 0x x x x= − ⇔ + − =
Xét hàm số: f(x) = lnx + x – 1 miền xác định
(0; )D = +∞
8
Ta có:

1
'( ) 1 0,f x x D
x
= + > ∀ ∈ ⇒
f(x) đồng biến trên D.
Mặt khác, ta lại có: f(1) = 0 .
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1
b.
2
4 1 4 1 1x x− + − =
.
Điều kiện:
2
4 1 0
1
4 1 0
2
x
x
x
− ≥

⇔ ≥

− ≥

Ta nhận thấy: số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số
2
4 1 4 1y x x= − + −
với đường thẳng y = 1

Xét hàm số
2
4 1 4 1y x x= − + −
trên miền xác định
1
[ ; )
2
D = +∞
2
2 4
' 0,
4 1
4 1
x
y x D
x
x
= + > ∀ ∈
−
−
. Hàm số luôn đồng biến trên D.
Mặt khác,
1 1
( ) 1
2 2
y x= ⇒ =
là nghiệm duy nhất của phương trình.
Bài tập 2: Giải hệ phương trình:

2 7 3

tgx tgy y x
x y
π
− = −


+ =

. Điều kiện:
, ,
2
x y k k Z
π
π
≠ + ∈
Phương trình
tgx tgy x y tgx x tgy y− = − ⇔ + = +
(*)
Xét hàm số
( ) , D=R\ ,
2
f t tgt t k k Z
π
π
 
= + + ∈
 
 
2
1

'( ) 1 0,
cos
f t t D
t
= + > ∀ ∈
. Hàm số luôn đồng biến trên tập xác định.
Từ (*) suy ra
( ) ( )f x f y x y= ⇔ =
. Ta được hệ phương trình
3
2 7 3
3
x
x y
x y
y
π
π π

=

=


⇔
 
+ =


=



. Hệ phương trình có nghiệm
( ; ) ( ; )
3 3
x y
π π
=
.
Bài tập 3: Tìm m để bất phương trình
2 2 2
sin cos sin
2 3 .3
x x x
m+ ≥
có nghiệm.
9
Bất phương trình đã cho tương đương với
2
2
2
1 sin
sin
sin
2 3
( )
3
3
x
x

x
m
−
+ ≥
2 2
sin sin
2 1
( ) 3( )
3 9
x x
m⇔ + ≥
Xét hàm số
2 2
sin sin
2 1
( ) 3( )
3 9
x x
y = +
là hàm số nghịch biến trên tập xác định.
Ta có:
2 2
2 1 1 sin sin 0 0
2 1 2 1 2 1
0 sin 1 ( ) 3( ) ( ) 3( ) ( ) 3( )
3 9 3 9 3 9
x x
x≤ ≤ ⇔ + ≤ + ≤ +
2 2
sin sin

2 1
1 ( ) 3( ) 4
3 9
x x
≤ + ≤
.
Từ đó suy ra được bất phương trình có nghiệm khi
1 4m≤ ≤
.
Bài tập 4: Cho
0
2
x
π
< <
. Chứng minh rằng sinx < x.
Xét hàm số
( ) sinf x x x= −
trên miền xác định
(0; )
2
D
π
=
Ta có:
'( ) cos 1 0,f x x x D= − < ∀ ∈ ⇒
Hàm số nghịch biến trên D
Do đó:
( ) (0), sin 0, sin ,f x f x D x x x D x x x D< ∀ ∈ ⇔ − < ∀ ∈ ⇔ < ∀ ∈
Bài tập 5: Chứng minh rằng

2
2 3
(1 ) , x (0;1)
9
x x− ≤ ∀ ∈
. Từ đó chứng minh:
nếu a, b, c > 0 và
2 2 2
1a b c+ + =
thì
2 2 2 2 2 2
3 3
2
a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + +
Xét hàm số:
2
( ) (1 )y f x x x= = −
trên miền xác định D = (0; 1)
Ta có:
2
3
3
'( ) 1 3 0
3
3
x
f x x

x D

=


= − = ⇔

= − ∉


Bảng biến thiên
x
0
3
3
1
y’ + 0 -
10
y

2 3
9
0 0
Từ bảng biến thiên
2 3
( ) , (0;1)
9
y f x x⇒ = ≤ ∀ ∈

2
2 3
(1 ) , (0;1)
9
x x x⇔ − ≤ ∀ ∈
áp dụng kết quả trên ta có:
2
2 2
1 3 3 3 3
(1 ) 2 (1 ) 2
x x
x x x
≥ ⇒ ≥
− −
Do đó:

2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
1 1 1
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
( )
2 2 2 2 2
a b c a b c
b c c a a b a b c
a b c
a b c
+ + = + + ≥
+ + + − − −
≥ + + = + + =

Đẳng thức xảy ra khi
3
3
a b c= = =
Khi làm bài tập, giáo viên cần đưa ra hệ thống bài tập, dẫn dắt giúp học
sinh phát hiện ra hướng giải quyết bài toán, tạo được một nhu cầu học tập tích
cực của học sinh.
Ví dụ như khi học sinh giải bài tập 1, giáo viên gợi ý cho học sinh xét
hàm số f(x) = lnx + x – 1 trên miền xác định
(0; )D = +∞
.Từ gợi ý đó học sinh
sẽ tự đặt ra câu hỏi vì sao lại như vậy và suy nghĩ trả lời để tìm ra con đường
hợp lý giải bài toán.
Bài tập tương tự:
BT1: Giải phương trình
2 2
3 2 1x x x x− − − + − =
BT2: Giải và biện luận phương trình:
2 2
2 2 2 4 2 2
5 5 2
x mx x mx m
x mx m
+ + + + +
− = + +
BT3: Giải hệ phương trình:
11

4
6 2

1
log ( ) log
4
16
sin 1
1 cos
4
cos
16
x x x
x
x
x
π
π
π

+ =




+

< −



BT4: Chứng minh rằng:
ln(1 ) , 0x x x+ < ∀ >

BT5: Chứng minh rằng với
0
2
x
π
< <
thì
3
1
2sin
2
2 2 2
x
x tgx
+
+ >
.
4) Trong quá trình giảng dạy giáo viên cần tuần tự nâng cao yêu cầu đối
với học sinh, từ đó sẽ phát huy được tính tích cực, tính sẵn sàng học tập và sự
phát triển trí tuệ của học sinh.
Trong trường hợp học sinh gặp khó khăn trong quá trình giải toán, giáo
viên có thể tạm thời hạ thấp yêu cầu. Sau khi học sinh đã đạt được nấc thấp
nhất này, yêu cầu lại được tuần tự nâng cao.
Đối với học sinh khá, giỏi thì giáo viên dạy cần đưa ra những bài tập đòi
hỏi tính sáng tạo cao, và dẫn dắt giúp học sinh phát hiện ra hướng giải quyết
của bài toán, tạo được một nhu cầu học tập tích cực của học sinh.
Khi học xong tính đơn điệu của hàm số, giáo viên yêu cầu học sinh giải bài
tập sau:
Bài tập 1:
a, Xét tính đơn điệu của hàm số

3 2
1
3
y x x x= − + −
trên R .
b, Tìm a để hàm số
3 2
1
3
y ax ax x= − + −
luôn nghịch biến trên R.
Nhận xét:
Câu a là bài tập cơ bản, sẽ không có gì khó khăn đối với học sinh.
Câu b yêu cầu được nâng cao hơn khi bài toán có chứa tham số.Để giải
câu này đòi hỏi tư duy của học sinh, tạo nhu cầu học tập tích cực của học sinh.
Lời giải
12
a. TXĐ: D = R
Ta có:
2 2
' 2 1 ( 1) 0, y x x x x R= − + − = − − ≤ ∀ ∈
Vậy hàm số nghịch biến trên R.
b. Tìm a để hàm số
3 2
1
3
y ax ax x= − + −
luôn nghịch biến trên R
TXĐ: D = R
2

' 2 1y ax ax= − + −
. Để hàm số nghịch biến trên R thì
' 0,y x R≤ ∀ ∈

2
2 1 0,ax ax x R⇔ − + − ≤ ∀ ∈
.
TH1: a = 0. Khi đó
' 1 0,y x R= − < ∀ ∈
. (Thoả mãn).
TH2:
0a ≠
. Khi đó điều kiện là
2
0 0 0
0 1
' 0 0 0 1
a a a
a
a a a
− ≤ > >
  
⇔ ⇔ ⇔ < ≤
  
∆ ≤ − ≤ ≤ ≤
  
Kết hợp các trường hợp trên ta được:
[0;1]a∈
Bài tập tương tự:
a, Xét tính đơn điệu của hàm số:

3 2
1
3 3
3
y x x x= + − +
trên khoảng (-2;0).
b, Tìm a để hàm số
3 2
1
(2 1) 2
3
y x ax a x a= − + − − +
nghịch biến trên
khoảng (-2;0).
5) Sử dụng dạy học phân hoá như là một điều kiện tiến hành dạy học
đồng loạt.
a. Việc kết hợp giữa giáo dục diện “đại trà” với giáo dục diện “mũi
nhọn”, giữa “phổ cập” với “ nâng cao” trong dạy học Toán học ở trường phổ
thông cần được tiến hành thao các tư tưởng chủ đạo sau:
1> Lấy trình độ phát triển chung của học sinh trong lớp làm nền tảng.
2> Sử dụng biện pháp phân hoá đưa diện học sinh yếu kém lên trình độ
chung.
13
3> Có những nội dung bổ sung và biện pháp phân hoá giúp học sinh khá,
giỏi đạt những yêu cầu nâng cao trên cơ sở đã đạt được những yêu cầu cơ
bản.
b. Phương pháp dạy học phân hoá:
1> Đối xử cá biệt ngay trong những pha dạy học đồng loạ.
2> Tổ chức những pha phân hoá trên lớp.
- Ra bài tập phân hoá.

- Điều khiển phân hoá của thầy, cô giáo.
- Tác động qua lại giữa những người học.
3>Phân hoá bài tập về nhà.
- Phân hoá về số lượng bài tập cùng loại phù hợp với từng loại đối tượng để
cùng đạt một yêu cầu.
- Phân hoá về nội dung bài tập để tránh đòi hỏi quá cao đối với học sinh yếu,
kém và quá thấp đối với học sinh giỏi.
- Phân hoá yêu cầu về tính độc lập: bài tập cho diện yếu kém chứa nhiều yếu
tố dẫn dắt hơn là bài tập diện khá, giỏi.
- Ra riêng những bài tập nhằm đảm bảo trình độ xuất phát cho những học sinh
yếu kém để chuẩn bị cho những bài học sau.
- Ra riêng những bài tập nâng cao cho những học sinh khá, giỏi.
Một khả năng dạy học phân hoá thường dùng là phân hoá nội tại.
Ví dụ: Bài tập phân hoá nhằm củng cố kiến thức về tính đơn điệu của hàm số
Bài tập 1: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

3 2 4 2
2
, y 3 1 , 10 9
3 3
, y ,
1 1
a x x b y x x
x x x
c d y
x x
= + + = − + −
− +
= =
− +

Bài tập 2: Xác định m để hàm số:
a,
2
1y x mx= + +
đồng biến trên khoảng
(1; )+∞
b,
2 2
(2 1) 1
1
mx m x m
y
x
− + + −
=
−
nghịch biến trên từng khoảng xác định ?
14
Bài tập 3: a, Giải phương trình
2 6
x
x= −
b, Chứng minh bất đẳng thức:
2
cos 1
2
x
x ≥ −
với mọi
x R∈

Đối với học sinh yếu và trung bình giáo viên yêu cầu các em tuần tự làm
các bài tập 1, 2. Trong khi đó những học sinh khá giỏi có thể bỏ qua bài tập 1,
dành thời gian làm các bài tập 2, 3.
Trong khi học sinh giải bài tập giáo viên cần chú ý đến hoạt động của từng
loại học sinh và có sự giúp đỡ, động viên chỉ bảo cần thiết, cụ thể.
6) Xây dựng hệ thống bài toán như một cơ sở kiến thức và kỹ năng
để giải toán.
Muốn giải toán, trước hết cần phải phân tích kỹ để nắm được đặc điểm và
bản chất của bài toán, các yếu tố cấu tạo nên bài toán đó. Công việc sáng tạo
các bài toán mới, trước hết có thể đi từ việc thay đổi các điều kiện đã cho của
một bài toán để tìm kết quả mới. Để phát triển tư duy của học sinh trong quá
trình dạy học người giáo viên có thể từ một bài toán bằng cách thay đổi hình
thức, chuyển hoá nội dung để biến đổi thành nhiều bài toán khác.
Ví dụ: Từ bài tập xét tính đơn điệu của hàm số
ln 1y x x= + −
, ta có thể
chuyển hoá thành các dạng bài tập sau:
BT1: Chứng minh rằng hàm số
ln 1y x x= + −
đồng biến trên tập xác định của
nó.
BT2: Giải phương trình
ln 1x x= −
BT3: Chứng minh rằng phương trình
ln 1 0x x+ − =
có nghiệm duy nhất. Tìm
nghiệm đó.
Tương tự từ bài toán xét tính đơn điệu của hàm số
3
sin

6
x
y x x= − −
trên
khoảng
(0; )+∞
, ta có thể yêu cầu học sinh giải các bài toán sau:
BT1: Chứng minh rằng hàm số
3
sin
6
x
y x x= − −
nghịch biến trên khoảng
(0; )+∞
15
BT2: Chứng minh rằng
3
sin
6
x
x x− <
với x > 0.
C. KẾT LUẬN
I. Kết quả nghiên cứu:
Qua thực tế giảng dạy năm học 2007 – 2008 ở trường THPT Triệu Sơn 3
tôi nhận thấy: những tiết bài tập sử dụng tính đơn điệu của hàm số lớp học sôi
nổi hơn, học sinh hiểu bài sâu sắc hơn.
Kết quả nghiên cứu và thăm dò đối với 2 khoá học sinh lớp 12 vào
tháng 11 năm 2006 và tháng 11 năm 2007 về kiến thức ứng dụng đạo hàm để

xét tính đơn điệu của hàm số( với cùng một đề) như sau:
Đề bài:
Câu 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số:
3 2
1
3 1
3
y x x x= − − +
Câu 2:Xác định m để hàm số
2
3y x mx= − +
đồng biến trên khoảng
( 1; )− +∞
Câu 3: Xác định m để hàm số
2
2 2x mx m
y
x m
− + +
=
−
đồng biến trên từng
khoảng xác định của hàm số?
Câu 4: Giải phương trình
2
1 2
2 ( 1) 2
x x x
x
− −

= − +
.
Kết quả thăm dò các em học sinh của 2 lớp 12I, 12K vào tháng 11 năm
2006 :
Lớp
Câu
12I(sĩ số 50) 12K(sĩ số 46)
Làm được Không làm được Làm được Không làm được
SL % SL % SL % SL %
1 48 96 2 4 37 80.4 9 19.6
2 45 90 5 10 32 69.6 14 30.4
3 28 56 22 44 2 4.3 44 95.7
4 5 10 45 90 1 2.2 45 97.8
16
Kết quả thăm dò các em học sinh của 2 lớp 12B, 12G vào tháng 11 năm
2007:
Lớp
Câu
12B(sĩ số 48) 12G(sĩ số 50)
Làm được Không làm được Làm được Không làm được
SL % SL % SL % SL %
1 48 100 0 0 48 96 2 4
2 47 97.9 1 2.1 42 84 8 16
3 35 72.9 13 27.1 25 50 25 50
4 28 58.3 20 41.7 8 16 42 84
II. Kiến nghị đề xuất:
1) Đối với nhà trường: Tạo điều kiện về mặt thời gian để sinh hoạt tổ
chuyên môn nhằm trao đổi với nhau về đổi mới phương pháp, về kiến thức.
2) Đối với Sở giáo dục và đào tạo:
- Hàng năm cần triển khai các chuyên đề để mọi giáo viên Toán tham gia.

- Đưa tiêu chuẩn trường có đủ phương tiện dạy học, có các phòng học bộ
môn…vào tiêu chuẩn xét thi đua của trường.
3) Những khai thác về tính đơn điệu của hàm số mà tôi trình bày ở đây có
thể chưa đầy đủ. Song bài viết này tôi mong muốn được chia sẻ cùng với đồng
nghiệp những suy nghĩ, trăn trở của mình về việc rèn luyện kỹ năng giải toán,
rèn luyện tư duy lôgic và tính sáng tạo của học sinh thông qua cách giải một số
bài toán về tính đơn điệu của hàm số.
Vì điều kiện thời gian cũng như năng lực còn hạn chế nên bài viết không
thể tránh được những thiếu sót. Rất mong được các bạn độc giả góp ý.

17