de thi gvg cap huyen4

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÁ THƯỚC ĐỀ CHÍNH THỨC. ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút( không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm: 01 trang. ĐỀ BÀI Câu 1: (4,0 điểm). 1 1 + 1+ √ 2 a+1 1− √2 a −1 x+ z ¿2 ¿ ¿ và 49 ¿ √ 7− x+ √ x +1=x 2 −6 x +13. 1. Tính giá trị của biểu thức M = Biết rằng. a 7 = x + y x+ z. 2. Giải phương trình Câu 2: (4,0 điểm). Cho phương trình x2 - 2(m-1)x + m - 3 = 0 (1) 1. Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. 2. Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình (1) mà không phụ thuộc vào m. 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x21 + x22 (với x1, x2 là nghiệm của phương trình (1)) Câu 3: (4,0 điểm). 1) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A=. 1 + √ 3+ √ 5. 1 + √5+ √ 7. B = 35 + 335 + 3335 + ..... +. 1 + .....+ √ 7+ √9 3333 .. .. . 35 ⏟. 1 √ 97 + √ 99. 99sè 3. 2) Chứng minh phương trình sau không có nghiệm nguyên 2x2 + 2x = 4y3 + z2 + 2 Câu 4: (6,0 điểm). Cho 2 đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B phân biệt. Đường thẳng OA cắt (O), (O’) lần lượt tại điểm thứ hai C, D. Đường thẳng O’A cắt (O), (O’) lần lượt tại điểm thứ hai E, F. 1. Chứng minh ba đường thẳng AB, CE và DF đồng quy tại một điểm I. 2. Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp được trong một đường tròn. 3. Cho PQ là tiếp tuyến chung của (O) và (O’) (P Î (O), Q Î (O’)). Chứng minh đường thẳng AB đi qua trung điểm của đoạn thẳng PQ. Câu 5: (2,0 điểm). 1) Cho biểu thức: B = (4x5 + 4x4 – 5x3 + 5x – 2)2 + 2008. 1 . 2 Tính giá trị của B với x =. 21 2 1 1 x. 2) Cho các số x, y, z dương thoả mãn Chứng ming rằng:. 1 2 x+ y+z. +. 1 x +2 y + z. +. +. 1 + y. 1 x + y +2 z. 1 z. =4. 1. ---------------------------Hết--------------------------Họ và tên thí sinh:...........................................Số báo danh:.............................................. Chữ kí của giám thị 1:.....................................Chữ kí của giám thị 2:................................

<span class='text_page_counter'>(2)</span> PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÁ THƯỚC ĐỀ CHÍNH THỨC. ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN KÌ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2011 – 2012 Đáp án gồm: 02 trang. II, ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM. Câu. Ý. Nội dung. Điểm. 1 Điều kiện a ≥ 2 ; a ≠1. 0,25. 1 Sau khi quy đồng rồi rút gọn ya được: M =− a. 0,75. Mặt khác theo giả thiết ta có. 1. 1. 0,25 0,25. Kết hợp điều kiện => a = 6 1 Vậy M= − 6. 0,25. Điều kiện −1 ≤ x ≤7. 0,25. Áp dụng BĐT (ax + by)2 Nên vế trái còn vế phải 2. 0,25. 7 a 7−a 7+ a = = = x+z x+ y z − y 2x+ y+z x+ z ¿2 ¿ 7 7 7−a 7+ a ¿ . = . x+ z x+ z z − y 2 x+ y + z ¿ 2 49 − a 13 = (z − y)( 2 x + y + z) (z − y )(2 x + y + z ) ¿ ¿ ¿ 49 ¿. 0,25. (a2 + b2)(x2 + y2). ( √ 7 − x + √ x +1 ) ≤ √(1+ 1)(7 − x+ x +1)=4. x2 - 6x +13 = (x - 3)2 + 4. 4. 0,25 0,25. Dấu “=” xảy ra khi x = 3 Để √ 7− x+ √ x +1=x 2 −6 x +13 thì x2 - 6x +13 = 4 ⇔ x = 3 Ta thấy x = 3 thoả mãn điều kiện Vậy nghiệm của phương trình là x = 3 .. 2. 1. 2. ' Δ = m2 –3m + 4 = (m -. 3 2 ) + 2. 7 >0 4. VËy ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt. ∀ m. 0,5. 0,25.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Theo ViÐt:. ¿ x 1+ x 2=2(m−1) x1 x 2=m− 3 ¿{ ¿. =>. ¿ x 1+ x2 =2m −2 2 x 1 x2 =2m −6 ¿{ ¿. <=> x1+ x2 – 2x1x2 – 4 = 0 kh«ng phô thuéc vµo m P = x12 + x12 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m - 1)2 – 2 (m-3) 5. 3. = (2m - 2 )2 +. 15 15 ≥ ∀m 4 4. 1 1 1 1 + + + .....+ √3+ √5 √ 5+ √7 √ 7+ √9 √97 + √ 99 1 = ( √ 5− ❑√ 3 + √ 7− √ 5 + √ 9 − √ 7 + .....+ √ 99 − √ 97 ) 2 1 = ( √ 99 − √ 3 ) 2 1 A= ( √ 99 − √ 3 ) 2 3333 .. .. . 35 ⏟. 0,25 0,25 0,25 0,5. A=. B = 35 + 335 + 3335 + ..... + 1. 99sè 3. 0,5. =. = 33 +2 +333+2 +3333+2+.......+ 333....33+2 = 2.99 + ( 33+333+3333+...+333...33). 1 ( 99+999+9999+.....+999...99) 3 1 = 198 + ( 102 -1 +103 - 1+104 - 1+ ....+10100 – 1) 3 101 2 10 −10 = 198 – 33 + 30 = 198 +. (. 3. 0,5. B=. (. 0,5. ). 10101 −10 2 30. ). +165. 0,5. Đẳng thức trên được viết lại z2 = 2x(x + 1) - 4y3 + 4. 2. (1). 0,5. 2 = 2x(x + 1) - 4y3 - z2 (2) 3 Vì 2x(x + 1) ⋮ 4; 4y ⋮ 4 và 2 ⋮ 2 nên từ (1) suy ra z2 ⋮ 2 (Vì 2 là số nguyên tố) ⇒ Do z ⋮ 2. ⇒. z ⋮ 2. 0,5. z2 ⋮ 4. Như vậy vế phải của pt (2) chia hết cho 4, còn vế trái của pt (2) chia cho 4 dư 2. Vậy không có số nguyên x, y, z nào thoả mãn 4x2 + 4x = 8y3 - 2z2 + 4. 0,5. 0,5.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 0,5 Ta có :. ABC = 1v. ABF = 1v Þ B, C, F thẳng hàng. AB, CE và DF là 3 đường cao của tam giác ACF nên chúng đồng quy. 0,5. 0,5 1. 4 0,5 ECA = EBA (cùng chắn cung AE của (O) Mà ECA = AFD (cùng phụ với hai góc đối đỉnh) 2. 0,5 0,5. Þ EBA = AFD hay EBI = EFI Þ Tứ giác BEIF nội tiếp.. 0,5. Gọi H là giao điểm của AB và PQ Chứng minh được các tam giác AHP và PHB đồng dạng 3. HP HA  Þ HB HP Þ HP2 = HA.HB. 0,5. Tương tự, HQ2 = HA.HB Þ HP = HQ Þ H là trung điểm PQ. 0,5. Ta có x =. 5. 1. 0,5. 1 2. 21 1  2 1 2.  . . 21. . 2 1. 2. 21  2 21. . .. 0,25 0,25 0,25. 3 2 2 5 2 7 17  12 2 Þ x2 = 4 8 16 ; x3 = x.x2 = ; x4 = (x2)2 = ; x5 = x.x4 = 29 2  41 32 . 29 2  41 17  12 2 5 2 7 32 16 8 Xét 4x + 4x – 5x + 5x – 2 = 4. + 4. - 5. + 5. 21 2 -2 5. 4. 3. 29 2  41  34  24 2  25 2  35  20 2  20  16 8 = = -1.. 0,25.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Với mọi a, b thuộc R: x, y > 0 ta có. 2. a2 b2 ( a+b ) + ≥ (∗) x y x+ y. 0,25. 2 2 ⇔ (a y + b x)(x + y) ( a+b )2 xy.  a2y2 + a2xy + b2 x2 + b2xy  a2xy + 2abxy + b2xy 2.  a2y2 + b2x2  2abxy. 0,25.  a2y2 – 2abxy + b2x2  0  (ay - bx)2  0 (**) 0,25. Bất đẳng thức (**) đúng với mọi a, b, và x, y > 0 a b  x y Dấu (=) xảy ra khi ay = bx hay. Áp dụng bất đẳng thức (*) hai lần ta có 2. 2. 2. 2. 1 1 1  1 1 1  1 1              1 2 2 2 2 4 4 4 4          2x  y  z 2x  y  z x  y x  z xy xz 2. 2. 2. 2. 2.  1  1  1  1         1  2 1 1 4 4 4 4              x y x z 16  x y z  1 1 1 2 1      Tơng tự x  2 y  z 16  x y z  1 1  1 1 2      x  y  2 z 16  x y z . Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có:. 1 1 1 1  2 1 1  1  1 2 1  1  1 1 2  0,25                2 x  y  z x  2 y  z x  y  2 z 16  x y z  16  x y z  16  x y z  1  4 4 4 4  1 1 1 1            .4 1 16  x y z  16  x y z  4 1 1 1   4 Vì x y z Suy ra. Ghi chú: - Thí sinh trình bày đúng, đủ nội dung bài làm cho 20 điểm. - Điểm của toàn bài là tổng điểm thành phần và được làm tròn số đến 0,5đ..

<span class='text_page_counter'>(6)</span>