Tài liệu Phương pháp giải toán nhanh ( dùng đồ thị) pdf

-- Trang
1 -

DÙNG ðỒ THỊ ðỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TỐN 12

Huỳnh Cơng Thành
Email:

Chương trình toán lớp 12 THPT , đồ thò một số hàm số được quan tâm khá kỹ ,
nó gần như xuyên suốt HKI của lớp 12 . Tuy nhiên một điều kỳ lạ là người ta ít
dùng hình dạng cụ thể của từng đồ thò để giải quyết một số dạng toán , chẳng hạn
như một số bài toán về cực trò hay một số bài về tương giao giữa 2 đường.
Dùng hình dạng của đồ thò hàm số đã học trong chương trình toán 12 THPT
để giải quyết một số bài toán . Thiết nghó đây không phải là điều mới , thực tế
trong sách giáo khoa sự tương giao giữa 2 đồ thò đã được dùng để giải quyết số
nghiệm của một phương trình cũng như một số dạng toán khác (phương pháp chung
dùng cho mọi đồ thò). Trong bài này tôi muốn đề cập đến phương pháp dùng hình
dạng của một đồ thò cụ thể đã học trong chương trình để giải quyết một vài bài
toán gọn gàng và nhanh chóng hơn . Không quá nhiều tham vọng, chỉ mong góp
một chút kinh nghiệm nhỏ bé của mình làm phong phú thêm kỹ năng và phương
pháp giải toán để q đồng nghiệp và các em học sinh tham khảo.

1) Quan tâm 1
Quan tâm 1Quan tâm 1
Quan tâm 1 : Đồ thò hàm số y = ax
4
+ bx
2
+ c (a ≠ 0)

a > 0 a < 0

ab ≥ 0
x
y

x
y




ab < 0
x
y

x
y



-- Trang
2 -

Bài toán 1 : (Trích đề thi khối B 2002)
Cho hàm số y = mx
4
+ (m
2

− 9)x
2
+ 10 (1)
Tìm m để hàm số (1) có 3 cực trò

Lời giải trong đáp án
Lời giải trong đáp ánLời giải trong đáp án
Lời giải trong đáp án

Lời giải đề
Lời giải đềLời giải đề
Lời giải đề nghò
nghò nghò
nghò


MXĐ : D = R
y
/
= 4mx
3
+ 2(m
2
− 9)x
= 2x(2mx
2
+ (m
2
− 9))
y

/
= 0 ⇔



=−+=
=
0)9(2)(
0
22
mmxxg
x

Hàm số (1) có 3 cực trò

⇔





≠
>∆
≠
0)0(
0
0
g
m
g

⇔





≠−
>−−
≠
09
0)9(2
0
2
2
m
mm
m

⇔



<<
−<
30
3
m
m

Hàm số (1) có 3 cực trò

⇔ ab < 0
⇔ m(m
2
− 9) < 0
⇔ m < - 3
hoặc 0 < m < 3
Lời bình : Rõ ràng lời giải đề nghò gọn hơn , có cơ sở lý thuyết “đường
hoàng” .

2) Quan tâm 2
Quan tâm 2Quan tâm 2
Quan tâm 2 (Chương trình NC): Đồ thò hàm số y =
11
2
cxb
cbxax
+
++
(ab
1

≠
0)

ab
1
> 0 ab

1
< 0

y
/
= 0
có 2
nghiệm
phân
biệt
x
y


x
y

-- Trang
3 -


y
/
= 0
vô
nghiệm
x
y

x
y



Bài toán 2
Bài toán 2Bài toán 2
Bài toán 2 : Cho hàm số y =
x
mxx +−
32
2
. Đònh m để hàm số không
có cực trò .

Lời giải phổ biến Lời giải đề nghò
D = R \

0


2
2
/
2
x
mx
y
−
=

y
/
= 0
⇔
2x
2
= m
Hàm số không có cực trò
⇔
m
≤ 0
Đặt g(x) = 2x
2
– 3x + m
Hàm số không có cực trò
⇔
P = m
≤
0


•
Giải thích : Lời giải đề nghò xuất phát từ hình dạng của đồ thò hàm
số hữu tỉ . Ta thấy hàm số hữu tỉ (ab
1

≠
0 ) không có cực trò khi và
chỉ khi hoặc là hàm suy biến (tử chia hết cho mẫu ) hoặc là đồ thò

luôn cắt Ox tại 2 điểm nằm về 2 phía của TCĐ. Điều này tương
đương phương trình g(x) = 0 hoặc có nghiệm x = 0 hoặc có 2
nghiệm x
1
, x
2
thỏa x
1
< 0 <x
2
⇔
P
≤
0



Bài toán 3 :
Bài toán 3 : Bài toán 3 :
Bài toán 3 :

Cho hàm số
mx
mmxmx
y
+
++++
=
4)32(
22

. Tìm m để hàm số
có 2 cực trò và 2 giá trò cực trò này trái dấu.

Lời giải phổ biến Lời giải đề nghò
D = R \

- m


2
22
/
)(
2
mx
mmmxx
y
+
−++
=

Dựa vào hình dạng đồ thò hàm số
đã cho ta có :
Ycđb thỏa mãn
⇔
y=0 vô nghiệm
⇔

∆
= (2m+3)

2
– 4(m
2
+ 4m) < 0
-- Trang
4 -

y
/
= 0
⇔
g(x)= x
2
+ 2mx + m
2
- m = 0
Hàm số có 2 cực trò
⇔




≠−
>∆
0)(
0
mg
g

⇔




≠−
>
0
0
m
m

⇔
m > 0
Khi đó gọi 2 cực trò là x
1
, x
2

Gọi y =
)(
)(
xv
xu
là hàm số đã cho ta
tìm được các giá trò cực trò tương ứng
là (phải chứng minh) :

322
)(
)(

1
1
1
1
++==
mx
xv
xu
y


322
)(
)(
2
2
2
2
++== mx
xv
xu
y

Yêu cầu đề bài thỏa mãn khi
y
1
y
2
< 0
⇔

4x
1
x
2
+2(2m+3)(x
1
+x
2
)+(2m+3)
2
< 0
⇔

4(m
2
-m)+2(2m+3)(-2m)+(2m+3)
2
<0
⇔
- 4m + 9 < 0
⇔
m >
4
9
(thỏa m > 0)
KL : m >
4
9

⇔
- 4m + 9 < 0
⇔
m >
4
9


Bài toán 4
Bài toán 4Bài toán 4
Bài toán 4 : Cho hàm số y =
x
mmxx −+−
5
2

Với những giá trò nào của m thì hàm số có CĐ , CT và 2 giá trò cực trò này
cùng dấu .

Lời giải phổ biến Lời giải đề nghò
D = R \

- m


2
2
/
5

x
mx
y
−+
=

y
/
= 0
⇔
g(x)=x
2
+ m - 5 = 0
Hàm số có 2 cực trò
⇔




≠
>∆
0)0(
0
g
g

Dựa vào hình dạng đồ thò hàm số
đã cho ta có :
Ycđb thỏa mãn
⇔

đồ thò cắt Ox
tại 2 điểm pb nằm về 1 phía TCĐ
⇔
h(x) = x
2
– mx + 5 – m = 0 có 2
nghiệm pb x
1
, x
2
và 0
∉
[x
1
;x
2
]
-- Trang
5 -

⇔




≠
<
5
5
m

m

⇔
m < 5 (*)
Khi đó gọi 2 cực trò là x
1
, x
2

Gọi y =
)(
)(
xv
xu
là hàm số đã cho ta
tìm được các giá trò cực trò tương ứng
là (phải chứng minh) :

mx
xv
xu
y
−==
1
1
1
1
2
)(
)(

mx
xv
xu
y
−==
2
2
2
2
2
)(
)(

Yêu cầu đề bài thỏa mãn khi
y
1
y
2
> 0
⇔
4x
1
x
2
-2m(x
1
+x
2

)+m
2
> 0

⇔
4(m - 5) + m
2
> 0

⇔
m
2
+ 4m - 20 > 0
⇔





+−>
−−<
622
622
m
m

Kết hợp với (*) ta được giá trò m cần
tìm là





<<+−
−−<
5622
622
m
m


⇔




>
>∆
0
0
P

⇔




>−
>−+
05
0204

2
m
mm

⇔





<<+−
−−<
5622
622
m
m
(Xong)


*
* *
* LỜI KẾT
LỜI KẾT LỜI KẾT
LỜI KẾT


Không dám nghó các bài giải đề nghò trên là một “phát hiện” của
người viết bài này . Mong rằng nó được xem là một đóng góp nho nhỏ để các
bạn đồng nghiệp cũng như các em học sinh nếu chưa quan tâm thì bây giờ để
ý một chút xíu đến hình dạng cụ thể của một đồ thò đã dạy (hoặc đã học)

trong chương trình phổ thông đã giúp chúng ta giải quyết một số bài toán
cũng rất thú vò .




Hu
HuHu
Huỳnh Cơng Thành
GV Tốn Trường THPT ðức Hòa, huyện ðức Hòa, tỉnh Long An.
Email: