bai tap toan giai tich 12 hk2

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (614.86 KB, 74 trang )

(1)GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN § 1.NGUYÊN HÀM 1) Khái niệm nguyên hàm và tích phân bất định.  F’(x) = f(x) thì ta gọi F(x) là nguyên hàm của f(x)  Tập hợp các nguyên hàm của f(x) gọi là tích phân bất định của f(x) và ký hiệu là:. ò f (x)dx =F (x) +C 2) Bảng các nguyên hàm cơ bản: Nguyên hàm của hàm cơ bản. ò kdx = kx +C. ò dx = x + C a ò x dx =. dx. òx. dx. òx ò. 2. xa +1 +C a +1. (a ¹ - 1). dx. ò (ax + b)2 =-. dx = 2 x +C x x. x. ax. x. ò. +C. ò a dx = ln a +C. (ax + b)a +1 + C (a ¹ - 1) a(a +1). 1. dx. 1 +C x. ò e dx = e. a. ò(ax + b) dx =. ò ax + b = a ln ax + b + C. = ln x + C =-. Nguyên hàm của các hàm hợp. =. 2 ax + b + C a. 1 ax+b e +C a a px+q px +q a dx = + C (0 < a ¹ 1) ò p ln a. òe. (0 < a ¹ 1). dx ax + b. 1 +C a(ax + b). ax +b. dx =. 1. òcos xdx = sin x + C. ò cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C. òsin xdx =-. òsin(ax + b)dx =-. dx. ò cos. 2. dx. x. cos x + C. = tan x + C. ò sin 2 x =-. cot x + C. TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. ò cos ò sin. 2. 2. 1 cos(ax + b) + C a. dx 1 = tan(ax + b) + C (ax + b) a. dx 1 =- cot( ax + b) + C a (ax + b). Page 1.

(2) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2. 3) Các tính chất cơ bản: +. ( ò f ( x)dx) ' = f ( x). +ò. af ( x )dx = a ò f ( x )dx. +ò. [ f ( x) ± g ( x)]dx = ò f ( x) dx ± ò g ( x) dx. ò +ò 4) Các phương pháp tìm nguyên hàm: f (t )dt = F (t ) + C Þ. f (u ) du = F (u ) + C. f ( x)dx = ò g [ u ( x )] u '( x )dx. 1- Phương pháp đổi biến: ò Đặt u = u ( x) Þ du = u '( x) dx. ò f ( x)dx = ò g (u)du = G(u) + C f ( x)dx = òu ( x).v '( x)dx 2- Phương pháp nguyên hàm từng phần: ò Þ. Đặt. ïìï u = u ( x ) Þ í ïîï dv = v '( x)dx. Þ. Lưu ý: +. ïìï du = u '( x)dx í ïîï v = v( x ). ò f ( x)dx = u ( x).v( x) - òv( x).u '( x)dx. òv( x).u '( x)dx. + Nếu. đơn giản hơn. òv( x).u '( x)dx. òu ( x).v '( x)dx. vẫn còn dạng nguyên hàm từng phần. thì tiếp tục thao tác trên như sau:. ìïï u1 = u '( x ) í ïïî dv1 = v( x )dx.  BÀI TẬP Dạng 1: Dạng cơ bản Tìm các nguyên hàm của các hàm số sau: (x a/. ò. d/. g/.. ò. 4. - 3x2 + x +1)dx. b/.. dx 3 x +1. ò(2 x + 3 x )dx. ò( x. e/. h/.. 3. 2 - 3 x + )dx x. dx 5x. ò 2-. ò. TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. f/.. x + x +1 3. c/. ò. x. dx. ò (3 -. i/. ò Page 2. (2 x +1) 2011 dx dx 2 x )2. (2sin x + 3cos x )dx.

(3) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2. p. òsin(2 x + 3 )dx k/.. cos3 xdx j/. ò. m/.. x ò e (2 +. e- x sin 2 x. )dx. ò ; n/.. dx p cos 2 ( - 2 x) 2. l/. ; p/. ò. e. ò (3sin x -. 3- 2 x. dx. 2 cos 2 x. )dx. 2x - 1 ò e x dx q/.. ;. Dạng 2: Biến đổi về dạng cơ bản Bài 1: Tính : 2x - 3 dx ò a/. x +1. x3 dx ò c/. x + 2. 2x2 - 4x + 5 ò x - 2 dx b/.. ( x 2 +1)2 ò x 2 dx d/. dx ò x2 - 3x + 2 g/.. dx. dx. e/.. ò (1 + x)(1-.  h/. x. dx 2. -a. 2. ò 2 f/. x -. 2 x). 4 dx.  i/. a( x -  )( x   ).  x a . Bài 2: Tính : sin 3 x cos 5 xdx a/. ò ;. tan e/. ò. 2. xdx. òsin c/.. sin x sin 3 xdx b/. ò ; 1 + sin x. ;. f/.. ò1 + cos xdx. 2. x dx 2 ;. d/. ò. dx. ;. g/.. ò sin 2 x cos2 x. sin 4 xdx. cos 2 xdx. ; h/.. ò sin 2 x cos2 x. Dạng 3: Phương pháp đổi biến Loại 1: f(x) là đa thức Bài 3: Tính : x (3 I1 = ò. x)5 dx. x I2 = ò. ;. 2. (3 - x 3 ) 2011 dx 3. I3 =. 2 4 ò x (5 - x) dx. I4 =. 2 ò x(1 + x ) 2 dx. Loại 2: f(x) là phân thức Bài 4: Tính : 3dx 3x. ò I1 = 2 -. 2x - 1. - 2 x +3. I2 =. TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. ò x2 -. dx 3x - 5. I3 =. Page 3. ò x2 -. 5x + 6. dx.

(4) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2. x +1. I4 =. ò x2 -. I7 =. ò ( x 2 +1)3. 4x + 4. x. dx. I5 =. x3 dx. ; I8 =. ò. ò (1 + x 2 ). x3 ( x 2 - 2)dx 2. ( x +1). 3. x3. dx 2. I6 =. ò (6 x 4 + 5)5 dx. x2 - 1. ; I9 =. ò ( x 2 +1)2 dx. ; I10=. ò. ( x 2 +1) x x2 - 1. dx. Loại 3: f(x) là hàm vô tỉ. Bài 5: Tính :. I1 =. ò. I4 = ò I7 =. ò. x 2. x +1. dx. I2 =. x x 2 + 5dx. I5 = ò. xdx 1+ x. ò 1-. ; I8 =. ò. x ( x 2 - 2) 1+ x. 2. dx x. I3 =. I6 = ò. x 2 - 5 xdx. dx. ; I9 =. ò. ò (1-. dx x) x. x 2 .3 1 + x3 dx. dx 2. x + 2009. ;. I10 =. Loại 4: f(x) là biểu thức chứa hàm. dx. ò. x2 ± a. (a > 0). eu ( x ). Bài 6: Tính :. I1 =. 3cos x ò e sin xdx. e tan x. ; I2. ò 2 dx = cos x ;. dx. I5 =. ò e x +1. ex. ; I6 =. ò e x + 2 dx. - x2. xe I3 = ò. dx. ;. I4 = ò. dx. ; I7 =. ò e x + e- x + 2. Loại 5: f(x) là biểu thức chứa hàm. (e2 x + 5)3 e 2 x dx dx. ; I8 =. ò ex -. e-. ln(u ( x)). Bài 7: Tính : ln x ò x dx I1 =. dx ò x ln x I2 =. (ln x ) 4 ò x dx I3 =.  I4 =. 2  ln x dx 2x. Loại 6: f(x) là hàm số lượng giác. Bài 8: Tính :. TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. Page 4. x.

(5) GIẢI TÍCH 12. I1 = ò. I2 = ò. cot xdx 1. I4 =. HỌC KÌ 2. 1. sin x. ò x 2 sin xdx. I5 =. 3. ò cos2 x dx sin x. ò 2 dx = cos x. I8. ò 4 dx = cos x. dx. I10 =. I13 = ò I16 =. ò. ò3. I9 = ò. dx. ò sin x 3. I6 =. cos3 x sin xdx sin x cos 2 x. dx. 3. sin x. I7. I3 = ò. tan xdx. I11 = 4. I14 = ò. sin x cos xdx cos x + sin x sin x - cos x. dx. dx. ò sin 3 x. I17 =. 4. I12 = 4. sin x cos xdx. ò. 2. ò cos x sin 2 x. I15 = ò. ;. sin x cos x 2. sin 3 xdx. 2. 2. a sin x + b cos x. sin x 2 cos x - 1dx. (. dx a 2 ¹ b 2. ). Dạng 4: Nguyên hàm từng phần  sin( ax  b)    P( x).  cos(ax  b) dx  e ax b   . Loại 1 : Bài 9: Tính : I1 = ò. xe x dx. x cos xdx I4 = ò. I7 =. ò cos xdx. I2 = ò. xe- x dx. (1I5 = ò. I8 =. I3 = ò. x. x) cos xdx. I6 =. ò x sin(2 x +1)dx. ò sin 2 x dx. I9 = ò. éln u ( x). Loại 2:. ( x 2 + 2 x - 1)e x dx. x sin 2 xdx. ù. ò P( x). êêëlog a u( x)úúûdx. Bài 10: Tính : ln xdx I1 = ò. x ln( x +1)dx I2 = ò. TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. I3 = Page 5. 1+ x dx x. ò x ln 1-.

(6) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2. x ln 2 xdx. I4 = ò. 1 + x 2 ) dx. ln( x + I5 = ò. I6 =. ò. ln(sin x) cos 2 x. dx. x  sin x  e   cos x  dx Loại 3:. Bài 11: Tính : I1 =. òe. x. e I2 = ò. sin xdx. x. sin 2 xdx. e I3 = ò. x. cos 2 xdx. Dạng 5: Tìm nguyên hàm khi biết 1 giá trị hàm số Bài 12: Tìm a/. c/. e/.. F ( x ) = ò f ( x )dx. 1 7 f ( x) = x - 2 + 2, F (2) = 3 x f ( x) =. biết: 3 2 b/. f ( x) = 4 x - 3x + 2, F (- 1) = 3. ;. x3 + 3x 2 + 3x - 1 1 , F (1) = 2 3; x + 2 x +1. f ( x) = ax +. p p f ( x) = tan 2 x, F ( ) = 4 4 d/.. b , F (- 1) = 2, F (1) = 4 x2. §2.TÍCH PHÂN b. Định nghĩa:. b. ò f ( x)dx = F ( x) a = F (b) -. F (a). a. a. Tính chất 1:. ò f ( x)dx = 0 a. b. Tính chất 2:. a. b. Tính chất 3:. b. b. ò k. f ( x)dx = k ò f ( x)dx a. b. Tính chất 4:. a. ò f ( x )dx = -ò f ( x)dx. a. b. b. ò[ f ( x) ± g ( x)]dx = ò f ( x)dx ± ò g ( x)dx a. TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. a. a. Page 6.

(7) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2 b. Tính chất 5:. c. b. ò f ( x)dx = ò f ( x)dx + ò f ( x)dx, c Î ( a; b) a. a. c. b. Tính chất 6: Nếu:. f ( x) ³ 0, " x Î [a; b] thì:. ò f ( x)dx ³. 0. a. b. b. Tính chất 7: Nếu: f ( x) ³ g ( x), " x Î [a; b] thì: a Tính chất 8: Nếu: m £ f ( x) £ M , " x Î [a; b] thì. a. f ( x)dx g( x)dx. b. m(b  a) f ( x )dx  M (b  a) a. t. Tính chất 9: Cho t biến thiên trên đoạn [a;b] thì nguyên hàm của f(t) và G(a) = 0. G (t ) = ò f ( x )dx a. là.  BÀI TẬP Loại 1: Tích phân cơ bản Bài 1: Tính : 16. 3. I1 =. ò( x. - 2 x - 3)dx. I2 =. 1. 1. I4 =. 2. dx. I5 =. 0. I7 = ò. 0. cos xdx. I10 =. ò. 0. 4. I13 =. dx cos 2 x. I8 =. dx. I6 =. 1. ò. I11 =. p 2. 0 3. æp ö sin ç - 2 x÷ ÷ ç ÷dx ç è6 ø. I14 =. 0. 2x. +. 1. 1. I12 = 3 )dx x +1. òe. 2x. dx. 0. 1. ;. I15 =. Loại 2: Biến đổi về cơ bản TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. ö 1 ÷ ÷ dx ÷ ø 33 x2 ÷. òççççè4 x -. cos 3xdx. 6. ò (e. æ. 1. I9 = 0. 2dx 2 x. 1. 3ö.  6. ò sin p. æ1. dx ÷ òçççèx + x 2 ÷ ÷ ø 8. ò (2 x - 1)2. x 4. ò (3x - e )dx 0. I3 =. 1. p p 3. xdx. 2. ò x +1 p. ò. e. Page 7.  e 0. 2x. .   sin  x dx.

(8) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2. Bài 2: Tính :: 2. I1 =. ò. x2 - 2 x x. 1. 3. e2. dx. I2 =. I4 =. 2. I7 =. dx. ò x( x +1) 1. I5 =. I8 =. òsin 3x.sin 5 xdx 0. I13 =. ò0 p. I16 =. 2. I6 =. 0. 2 æ 1ö ÷ ç x + ÷dx òççè x ø÷ 2. I14 = I17 =. 3. p/ 4. ;. I12 =. 8. 3x + 2. p. 2. I15 =. 4. cos 2 xdx. ò sin 2 x cos2 x p. 4. ln 2 2 x +1. 2. dx ò 1 + sin x 0. I18 =. ò 0. e. e. x. +1 dx. b. Loại 3: Tích phân. ò f ( x) dx a. Bài 3: Tính : 2. I1 = I4 =. 0. ò x - 1 dx. I2 =. - 2. 2. x 0. 2. ò. 0. x 2 + 4 x + 4dx. I3 =. -3. òx. ;. I5=. TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. ò sin x dx 0. + 2 x - 3 dx. - 1. p. 2p.  x dx. 2. ò tan x dx. ;. I6 =. Page 8. 2p. 3. x )dx. 0. 3p. ;. dx. ò cos ( 4 -. 8. dx ò sin 2 x cos 2 x p. p. ò x2 -. cos x.cos3 xdx. I11 = - p / 2. 2. dx ò 1 + cos x 0. I9 =. p/ 2. ò. 3. 4 sin x dx 1 + cos x. 4. 2dx ò ( x - 2)( x + 3) - 1. 3p. p. 4. 3 ò x ( x +1)dx. π/4. I10 =. I3 = - 1. 1. 2. 2 x +1. ò x + 2 dx. - 1. 1. x2 + 2x + 3 ò x + 2 dx - 1. 1. 2 x +5 - 7x dx ò x 1.

(9) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2 2p. π. I7 = p. 0. ;. I8=. 1 + sin 2 xdx. ;. 0. I9=. 3. ò p.  √ 1+cos x dx. ò. tan 2 x + cot 2 x - 2dx. 6. §3. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Dạng 1: Phương pháp đổi biến số loại 1 (lượng giác hóa) Phương pháp: Tính + Đặt x  (t )  dx  '(t )dt + Đổi cận :. ïìï x = a Þ t = a í ïïî x = b Þ t = b. b. . a. . .  f ( x) dx  g (t ) dt G (t )  G (  )  G ( ). Dấu hiệu a2 - x2. x2 - a2. CÁC DẤU HIỆU Cách chọn x = asint, x = acost, x=. a sin t. a x= cos t. a2 + x2. , ,. x = atant, x = acott,. Bài 4: Tính. TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. Page 9. -. p p £ t£ 2 2. 0£ t £ p t  [.   ; ] \ {0} 2 2. p t Î [0; p] \ { } 2 .   t  2 2. 0 <t <p.

(10) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2 1. 2. J1 =. ò. 4 - x 2 dx. J2 =. 0. a. J4 =. òx. 2. a - x dx,( a > 0). J5 =. 3. ò 1. J7 =. 3. 3. J10 =. ò 1. 1. J13 =. 4 - 9x2. x 2 +1 2. J8 = dx. J11 =. 2. 4 - x dx. J6 =. 0. ò x - 4dx. x + x +1. ò 0. 0. dx a2 - x 2. J17 =. òx+. òx. 2. 0. 1. J15 =. 0. ;. J18=. dx + x +1. x3 dx. ò ( x8 +1)2 0. p. sin 4 x. ò1 + sin x dx. 2. 0. J12 =. + x +1. 4 - x2. dx. ò1 + x. xdx 2. dx. 0. 1. dx 2 x + a2. p. dx. ;. J9 =. 2. òx. 2. ò. 1. 2. J14 = - 1. 0. 0. 2. 1. x4 +2x2 + x + 2. J3 =. 2. 2. a. ò ( x 2 +1)3. ò. 1- x 2. 0. 4. dx. 1. ò. òx. dx. x. dx. 2. 2. 0. 2. J16=. 2. a. 2. x sin x. ò1 + cos2 x dx 0. Dạng 2: Phương pháp đổi biến số loại 2 . b. b. f ( x)dx g  u ( x) .u '( x)dx. a Phương pháp: Tính a + Đặt u = u ( x) Þ du = u '( x)dx. ìïï x = a Þ u1 = u (a ) í ïïî x = b Þ u2 = u (b). + Đổi cận : b. . u (b ). b. f ( x)dx g  u ( x) .u '( x)dx   g (u )du G (u) a. a. u (b) u (a). u (a ).  BÀI TẬP Loại 1: | ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN HÀM ĐA THỨC Bài 5: Tính : 2 1. I1 = ò0. 3. (2 x +1) dx. ;. TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. x  x  1. I2 = 0. Page 10. 2. dx. ;.

(11) GIẢI TÍCH 12 1. I3 =. x  x -1. 2011. HỌC KÌ 2. dx. 1. x I4 = ò0. 3. ( x 4 - 1)5 dx. ; Loại 2: | ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ. 0. ò. dx 1 = ln | ax + b |; ax + b a. dx (ax + b)1- a = (ax + b)a a(1- a). ò. Bài 6: Tính : 2. I1 =. 3dx ò 1- 2 x 1 2. I2 =. (1- 3x)dx. ò. ( x +1). I5 = 1/ 2 1. I8 =. ;. ; I6 =. ò (1 + x 2 )1008. I9 =. 0. 2. ;. ò (10. x dx. ;. I12=. ò. ;. 1. ( 3 x +1) dx. 0. 2. x). ;. ;. 1 + x 2012. ò x(1-. I10 =. 3. ( x +1). I4 =. 1. 2 x 2 dx ò x3 +1 0. x 2012 ). dx. ;. 7. x dx. 1. ò0 (1 + x 2 )3. 0. ò. I7 =. 100. 1. xdx. ò (1 + x 2 )3. I3 =. x 2 dx. 3. 1. ;. 2 xdx. ò0 (1+ x)3 1. x 2013dx. I11 =. ò0 ( x +1) 3 1. 2. 1. dx. 1. ò0 (1 + x 4 )2. ;. x - x1 dx 1 = ln a(x - x1)(x - x2) a(x1 - x2) x - x2. Bài 7: Tính : 5. I1 =. ò3 1. x( x  1) dx 2  4. x. I4 = 0. 12. dx ( x - 2) ( x +1). x 2  x  2. ;. I5 =. 2. I7=. 1. I10=. ò (x 0. 3. 2. ò1. ;. I3 = 0. dx. 4 2. x ( x +1). ;. I6 =. ;. I8 =. xdx + 2011)( x 2 + 2012). dx ò ( x 2 - 1)( x 2 + 4) 0 1. (7 x  15)dx. ; I11 = 0. ;. I14 = 0. TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. ;. I9 =. ;. dx x( x5 +1). x 2 dx ò x 2 - 7 x +12 1. x dx. 1 x6. I15 =. Page 11. ò0. ;. ( x  1)dx. x 3  x 2  6 x. I12 = 1. 2. ;. 2. 2. xdx. x 6  x 3  2. ò1. 2. x 4  3x 2  2. 1. 4 x  11. x 2  5x  6 dx. 2. x 3  2 x 2  5x. I13 = 1. 1. dx. I2 = 10. ;. dx ò x( x10 +1)2 1. 2x 1. ;. + x5 + x 4 + x + 2 x 6 +1. dx.

(12) GIẢI TÍCH 12. 0. I16 =. ò- 1 x3 -. HỌC KÌ 2. 5 x - 14 x2 - 4 x + 4. dx. ; I17 =. ò. ò0 x3 + 5x 2 +8x + 4 dx. x. n +1. 1. x 2 dx. 1. ; I18 =. ( x +1)2010. ò ( x + 2)2012 dx 0. ;. ; p, q Î ¢ +. 1 ( x ) (1 + n ) p x n q. Bài 8: Tính : 2. I1 =. ò x( x 2 +1) 1. 1. I4 =. 2. dx. I2 =. ò x5 + x3. 0. 6+ 2 2. 6+ 2 2. ò. ò. I5 =. x2 x +1. ;. ò. I8 =. 1. 5. x - x dx 8 +1. 2. òx 1 2. I9 =. x 4 +1. 1. dx. ;. I10 =. I3 =. x +1. 2dx. ò x( x 2 +1)2 1. 6+ 2 2. 2. 6+ 2 2. 4. 1. 2. ;. ;. 1. xdx. ò ( x 2 +1) 2. I7 =. ;. 3. dx. ò. dx. ;. I6 =. 1. x2 - 1 x 4 +1. dx. ;. dx 4. x +1. ;. 1- x 2. ò x + x 3 dx 1. ;. Loại 3: | ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ 3.1 Dạng. ò. é ê ë. xn-1 êxmn ;(a +. đặt:. p ù n q bx ) ú dx;m,n,p Î. ¢,q Î ¢ +. ú û. t = (a + bx n. p q ). Bài 9: 2. I1 = I4 =. ò. I2 =. 1. 4. ò 0. 3. x + 2dx 1 25 - 3x. dx. I5 =. TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. ò 0. - 1. ò 0. 3x - 4 4-x. 1. dx. I3 =. xdx. òx 0. 1. ò. 2. x +2. I6 = - 1. Page 12. 1 + x 2 dx. 2 x +1 x 2 + x +1. dx.

(13) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2 1. 9. 1. ò x. 1- xdx. I7 =. I8 =. 1. ò x . 1- xdx. ò. 3. x 3 x 2 +1dx. I10 = 0 Bài 10:. I11 =. 1. I1 =.  x. 1  xdx 0. x2. ò. (1 + x). 0. 1 3 x 0. 3. - 1. . 1  x 2 dx. 1 4 x . 0. I5 = . 1  xdx. 1 15 x . 0. 1  3 x 8 dx. I8 =  2. . x 3. I11 = 1 x  1 I14 =. I12 =. I20 = 0. 1. I9 =. I12 =. 2. x 1 x x2 1. ;.  dx 3 0 x √ 1+ x. I3 =. ;. I15 =. ò7 x 10. ;. I18 =. I7 = 0 dx. ;. I10 =. x 3 dx. ò0 x + 4. ò x5. dx x 1  x  3 ;. I21=. 1+ x ;. I13 =. dx x2 + 9 ;. dx. ò( x . 3. 3. 2 x- 1. 3. ò0 1. 1 . ;. 1  x2 ; xdx 2 x +1 ;. x 3dx. 2 x 1. I19 = 0. 1. ;. I22 =. 0 1 . ). 1 + x 2 + x 2 (4 - 4 x + x 2 ) dx. m1 ms ù é æ ö æ ö n ns ú ax + b ax + b ê 1 ÷ ç ,..., dx ÷ ÷ ç ò R êêx,ççèçcx + d÷ ÷ ÷ ú çcx + d ø ø è ú ë û 3.2 Dạng. Page 13. ;. x dx. 7. 1. I24 = - 1. TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. 0. x 5 . 1  x 2 dx. . 0. 1 + x2 ;. ;. 3 4 I16 = 0 1  x  1. dx. 1+ x dx  1+ √x 0. 3. 1. 2. 1. x 3. ò1 + x +. I23 = - 1. ;. dx. 1. x x- 1 dx x- 5 ;. 1. 4x 1. I17 = 2. 2.  2. dx. 2 x 1  3. ò = 1.  2. ;. . 3. I6. x4. ;. dx. 7 ( x  1)dx 3 0 3 3x  2. 6. ;. 1+ x2. ò1. 1 3 3. x I4 = 0. x )2 dx. 2. 2. dx. 1  x 2 dx. I2 = . ;. I9 =. 0. 3. 2. ò 3 (1-. 2 8. 3. 2x 1. dx. ;. dx x  x 1.

(14) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2. ax + b = t k , k = BSCNN { n1 , n2 ,...ns } cx + d đặt. Bài 11: 2. ò I= 1 1. I4 =. ò0. 63 2. ò. I5 =. 1. 5. ò2. 3.3 Dạng. I3 =. ;. I8 =. x +1 -. x- 1. x +1 + x - 1. òR ( x,. 1 4. - 13. 3. x (1- x). ;. I6 = ò2. dx. ;. I11 =. ò0. + 1+ x 3. ax2 + bx+ c. 1+ x. , ta có:. I9 =. x +1. ò0. 4. ( 3 - x) 5 dx. 1-. I1= . dx. ;. é b b 2 - 4ac ù ú ax 2 + bx + c = a ê( x + ) 2 ê 2a 4a 2 ú ë û. é êR(u, a 2 + u 2 ) ® u = tan t ê ê 2 + bx + c dx = ê R x , ax R (u , a 2 - u 2 ) ® u = sin t ò ê ê a êR(u, u 2 - a 2 ) ® u = ê sin t ë. ). 2 2. 2. ;. ;. dx. Phương pháp này chỉ nên sử dụng khi liên tục trên đoạn tương ứng của biến t. Bài 12: 1  x dx. x. 1+ x. p p p ïü ïì t = í 0; ± ; ± ; ± ;...ý ïîï 6 4 3 ïþ ï và. 1 2 x . 0. ;. ;. )dx. (. b u = x+ 2a. 1. ; 1 x2. 1-. ò- 1 1 + 3 x +1dx. xdx 4. 1 1+ x dx 1- x. Phương pháp 1: (Lượng giác hóa). Đặt. ;. òx. xdx. 0. 0. x +1 + x + 3. 6+ 2 2. 2 x +1 + 2 x +1 ;. ò 10 x +1. I10 =. ò0. 1 2. 1. I7 =. I2 =. dx 3. dx. 1. xdx 1+ x - 1 ;. I2=. TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. 0. x2 1  x2. 1. dx. ;. Page 14. I3 =. ò0 x +. hàm j (t ). dx 1- x2 ;.

(15) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2 1 3. √2.  dx 2 2 x √ x −1. I4 =. 1. ò. ò8 n. ò0 2. ò. ;. 3. x ( x - 2). a 2. x n- 1dx a - x. ; I9=. 1. ( x + 7) I11= ò0. ;. 1 2. 2. 2n. ;. - 3x + 6 x +1dx. dx. 2. 1. 5. 2 x - x 2 dx. x I6= ò0. 2. dt. 2 2. I12 =. (2 x +1) x 2 +1. I8= ò0. (t +1)2 (t 2 + 2t + 5)3. - 1. 0. dx 2. 1. x - 2 x + 2dx. 3- 2. I10=. I5 =. 2. x I7= ò0. I14=. ;. √3. ò. (1- x 2 )3. 1 1 2. ò. x2. 3 + 2 x - x 2 dx. dx. ò. 2 I13= - 1 x 3 x - 2 x - 1 ;. ;. 1. ( n ³ 2). ;. I15=. ò. (1- x 2 )3 dx. ;. 0. 4 - x2 dx x2. I16= 1 Phương pháp 2: (Phép thế Ơle) 2 + a > 0: đặt ax + bx + c = ± a x + t 2 + c > 0: đặt ax + bx + c = x.t ± c 2 + Nếu x0 là nghiệm: đặt ax + bx + c = t ( x - xo ) Bài 13:. I1= I3=. 1 6 2 3. ò. 0. I5=. 1. dx. 0. ò- 2. 1 + 1- 2 x - x 2. ;. I2=. dx 2. - 3x - 4 x + 7. ò- 1 1 +. 0. x +2x + 2. I4=. ;. I6= ò1. TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. x-. 2. x 2 + 3x + 2. dx. x + x 2 + 3x + 2. ò- 1 x -. ;. dx 2. ò0. ;. dx x 2 - x +1 ;. x x 2 - 2 x + 2dx. Page 15. ;. ;. dx. ; ;.

(16) GIẢI TÍCH 12 dx. 1. I7=. HỌC KÌ 2. ò0 é. dx. 1. 2. 1 + x(1 + x) ù ê ú ë û. ;. I8 =. ò- 11 + x +. 1+ x2.  Một số dạng đặc biệt: 1-. ò. dx. 2-. ò. ax 2 + bx + c. Tính: I1=. - 2x - 3. x2. ò (mx + n). ax 2. ò ( x +1). ò 0. ;. 0. ;. + bx + c. x2 + 4. I4 = dx = k ò. (mx + n). I2=. ;. I4 =. dx. ò0 - 1. 4 x 2 +12 x + 5. u. + k bò. -. 1 2. ò. ; I6= - 2. dx ax 2 + bx + c. ( x + 4)dx. ò. x2 + 4 x + 5. 0. ;. ( x + 2) dx. ò0. x2 + 3x + 2. ®u=. b ± a (mx + n) 2. ò ( x +1). ;. du. dx. 1 mx + n. dx x2 + 2x + 2. ; dx. 1. x2 - 4x + 5. 1 2. dx =k ò. 1. ( x +1) x 2 + 2 x + 2 ; x2 + 2x + 2 dx x. ; I7=. dx ( x +1)3 (3x +1) ( Ax + B) dx. 4-. I2=. dx. ò (2 x + 3). 1. ax 2 + bx + c. dx. 5. 1 2. I5=. (ax 2 + bx + c) '+ b. x2 - 4x + 3. 0. òx. 1. dx. ò4. 1. dx. 2 3. I3=. I2 =. (7 x - 4)dx. I3 = - 3. Tính: I1=. dx = k ò. x2 + 2x - 3. 2. ò. 3-. ;. ( x + 4)dx. ò. - 2. ® t = u + u2 ±a 5. x2 - 2x + 5. ( Ax + B) 3. u2 ±a. dx. 1. ò- 1. Tính: I1=. du. =ò. + bx + c. ax 2. ò (mx + n). ax 2. + bx + c. dx = k ò. TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. dx ax 2. + bx + c. + kl ò. Page 16. dx (mx + n) ax 2 + bx + c.

(17) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2. 1. (2 x - 1) dx. ò ( x +1). Tính: I=. Pn ( x)dx. ò. x 2 + 3x + 3. 0. dx. = Qn- 1 ( x) ax 2 + bx + c + k ò. + bx + c + bx + c 5Đặt Qn-1 theo đa thức bậc n – 1, đạo hàm 2 vế theo x và quy đồng mẫu số, sử dụng phương pháp Hệ số bất định tìm được Qn-1 và k. ax 2. 1. Tính: I1=. 1. x 2 dx. ò. x2. 0. + x +1. ax 2. 6trên.. + bx + c. 1. Tính:. I1=. 0. ;. I2=. P( x)dx. ò Q ( x). ax 2. ,phân tích. P( x) Q( x). 1. 1+ 2x - x2. 0. x2 + 2 x + 3. 0. về phân thức và gặp lại các dạng. x3 dx. ò (1 + x). ( x 2 +1)dx. ò. ; I2=. ò (1 + x) 0. x3 dx 1+ 2x - x2. ; I3=. xdx. ò ( x - 1)2. 1 + 2 x - x2. - 1. ;. xr (a+ bxp )qdx r , p, q Î ¤ ò 3.4 Dạng ; ( Tích phân vi phân nhị thức) s + Nếu q Î ¢ : đặt x = t với s = BSCNN của mẫu số các phân số r, p. 4. Tính: I1=. ò x(1 + 1. 81. ò. I4 = 16. 16. dx x). ;. I2=. ò x(1 + 4 x ). dx. ;. ;. 1. 64. x ( 4 x - 1)3. 1. dx. ò. I5 = 27. I3=. ò. dx. ;. I6=. ;. 0. 8. x ( 3 x - 1). x (1 + 4 x )5 dx. ò. (1 +. 3. x )- 3 dx x. 1. r +1 Î ¢ p s p + Nếu : đặt a + bx = t với s là mẫu số của phân số q. 1. Tính: I1=. 2 3. 1. ò x3 1- x 2 dx 0. ;. I2=. ò x 2 2 + x3 dx 0. ;. I3=. òx 5. 1 7. I4=. ò 3 1+ x 2 0. 1. x3 dx. ;. TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. I5=. ò (4 0. ò. x5 dx x2 ) 4 - x2. ;. Page 17. I6=. 1 2. dx x2 + 4. 1- x dx x3. ;. ;.

(18) GIẢI TÍCH 12 1. I7=. HỌC KÌ 2. ò. (1 + x 2 )3. 0. - 14 /13. I10=. ;. ò. I8=. 3. - 9/7. Tính: I1 =. ( x +1) 2 ( x -. 1)4. ;. I3 =. 3 3. ò. 1+ 4 x x. 1. dx. ;. dx. I11= - 5. ;. a +b = t s p x : đặt với s là mẫu số của phân số q.. ;. 3. I9=. ò 4 ( x - 1)3 ( x + 2)5. x 2 +1dx x2. ò. x - x3 dx. 1. ò. ; - 3. 3 3. 16 3. 1 + 4 x dx. 0. 2. ò. 3. dx. ò. ær +1 ö ç ÷ + q÷ ç ÷Î ¢ ÷ ç è p ø. + Nếu. 1. x3 dx. I1 =. 1. 2. ;. I1 = 1. dx. 2. (1 + x 2 )3. ;. ò x11. I3 =. 1. ò. dx 1+ x4. ;. 1+ x 2. 1. 1 x3 ) 3. (x -. x4. 1 3. I4 =. dx. ò x4. ;. dx. Loại 4: | ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN HÀM SIÊU VIỆT 1.Tính: 3. 0 2 x +1 ò e dx. I1 = - 1 p. I4 = I7 =. 2. cos x ò e .sin xdx 0. 4. e. ò 1. I10 = 2.Tính: 1. x. ;. 0. I8 =. x. e +2. 0. dx. ;. 1. ;. I6 =. e dx. ò1+ e. I11 =. x. ;. 0. I9 =. ò. I2 =. ;. ò 1 + e x dx 0. ;. I8 =. TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC.  0. x 2 +1. ;. I3 =. e2 x dx √e x +1 ; Page 18. ò. e. cos2 x 2 x3. dx 4. . x. 1 x. )dx. dx. ln 3. 0. xdx. ;. tan x. I12 = 0. 1- e x. ln 2. dx. ò0 e2x + 3. ò. ;. 0. ( x e. e - 1dx. 0. òe. p 4 0. 1 x. ln 2. ;. 0. 1. x. e 2 x dx. 0. I3 =. ln 2. dx. ò e2 x +1. ;. ò x e dx. 2. ln 2. ;. 3 4. sin x ò(e + cosx)cosxdx. I5 =. dx x. ò0. I7 =. I2 =. p. ln 2. I1 =. ;. 1. 2. -x ò xe dx. x. e + 2 +1 ;. ;.

(19) GIẢI TÍCH 12 1. I4 =. ò e2x + ex. ;. 0. I5 =. æ e 2 x + 3e x ÷ ö ç ÷ ç 2x dx ÷ ç x ç ÷ èe + 3e + 2 ÷ ø. ò 0. 1. ò. 2. x. e2xdx ò 1+ e- x 0 1. ;. I10 = 0 3.Tính:. I8 = ; I11 =. e. I4 =. ò. ( 1 + ln x ). e. I7 =. dx. ;. I5 =. dx. ò x(1 + ln x) 1. ;. I8 =. I10 =. e. I4 =. ò. ; 2 ( 1 + ln x ). 1. x. 1. e. . I13 =. 1. dx. ln3. ;. I12 =. 3x. e. 2e  e  1 dx  e2 x  e x 1 ;. 3x. 0. 2 + ln x dx 2x. ;. ò1. I3 =. e. dx. ;. I6 =. 1. x. 2. ;. I9 =. e. ò 1. ;. I12 =. ò 1. e2. ;. I14 =. x. dx ò x ln x e e. ;. I17 =. ò. ln 4 xdx x. 1. e. ;. I15 =. ln x dx 2  1 x (2  ln x ) e. I22=. e. ;. I20 =. òx 1. e. dx. ò x ln x.ln ex. ;. ;. I18=. ;. x. I23= 1. TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. ln 2 xdx 1 + ln x. dx. ò x(1 + ln x) 1. e. cos(ln x ) dx x. e3. e. 2. ;. cos(ln x ) dx x. e. 2 + ln x dx 2x. ;. dx. ò x ln x e. e ln x.3 1 + ln 2 xdx. ò. ln 4 xdx ò x 1. ;. I21=. 1. 1  3ln 2 x. ò. ;. Page 19. ;. 3 - 2ln x dx. x 1+ 2ln x. 1. e. log 32 xdx. ;. dx. ò x.3 ln x + 2 e. I19=. ;. 2x. dx. 1  3ln x .ln x dx x. ò1. dx. 1. e ln x. 3 1 + ln 2 xdx. I16 =. I9 =. ;.  e x  2e  x  3. ln 2. ò x.3 ln x + 2. e. I11=. x. 0. dx + 2)2. 3 x e. e. ò. e. ln 2 xdx ò x 1. ;. x. 0. e. 2. x. 1. I2 =. (1 + x)e. ò( ln 5. 3x. ò 1 + xe e. ;. I6 =. 0. 1. e. I1 =. ;.  1+e e x dx. 2 x. x + e + 2x e dx 1 + 2e x. ln 2 xdx ò x 1. 3ln2. 1. dx. ln 2. I7 =. HỌC KÌ 2. ;. 2. ln x 2  ln x dx x. . I24= 1. 3. ;.

(20) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2. Loại 5: | ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC  F (- sin x;- cosx) = F (sin x;cosx) đặt t = tan x  F (sin x;- cosx) = - F (sin x;cosx) đặt t = sin x  F (- sin x;cosx) = - F (sin x;cosx) đặt t = cosx F (sin x;cosx) =. . a1 sin x + b1 cosx + c1 a2 sin x + b2 cosx + c2. đặt. x 2. t = tan. 1.Tính: p. p. I1 =. 2. p òsin( 6 - 2 x)dx 0. I4 = I7 =. I2 =. 2. ò cos. I5 = 0 p. dx. ò sin 2 x. p. I8 =. 4 4. tan x. I10 = 0 2.Tính: p. sin xdx ò 1 + 3cos x 0. dx. I11 =. 2. cos3 x sin x. 6 4. 0. p 12. 3 ò sin xdx. I12 =. 0. 4. 0. dx 2. x 1 + tgx. ;. I2 =. dx ò sin 2 x.cos2 x p 8. ;. I5 =. dx. ò cos2 3x(1 + tan 3x) 0. ;. I10 = ò. 0. sin 4 xdx. cos 2 xdx 2 x.cos 2 x. ò sin. 2 cos x dx 3 + 2sin x ;. p. I3 = 12. ; p 2. sin x - cos x. ò sin x + cos x dx 0. ;. 1 + cos 2 x. ò1 + cos 2 x. I6 =. 0. p 4. 2 ò cot g xdx. p 2. 0. p 2. p 2. p 6. ò. p 2. dx. cos 2 x. p 8. ò cos. I7 =. I9 =. x.sin xdx. ò 1 + sin 2 x dx. 2. p 6. I4 =. p p. 2. p. ò cos2 x. I6 =. 4. 0. ò. 1 + 4sin 3 x .cos3 xdx. ò. x.sin 2 xdx. I3 =. ò cos p. 0. 3. p/ 2. 4. 6. p. p. I1 =. -p. p. p. 4. ò tan xdx. ;. TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. I8 =. ò (tgx + tg. 3. x )dx. ;. 0. I11 = ò. 0. p 4. tan 6 xdx. ;. Page 20. I9 = ò. p. 0. I12 =. ò. 0. p 4. cos 4 xdx dx cos 4 x. ;. ;.

(21) GIẢI TÍCH 12. I13. ò =. p 4. dx sin 4 x. 0. I14. p 3 p 6. dx cos x.sin 4 x. ò. p 2. 0. ò =. ;. I17 = ;. I20. ;. p 4. sin 3 x dx cos 2 x ;. ò. 0. p 4. 0. I23 =. p 12 p 4. ò p 3. p 2. 4sin 3 xdx ò 1 + cos x 0. I25=. 4 cos 3 x dx 1 + sin x ;. ò =. cos xdx 7 + cos 2 x. p 2. 0. 3. sin xdx 1 + cos 2 x. ò. I19 =. ;. 0. ò I16 =. I22 =. p 2. HỌC KÌ 2. 4sin 3 xdx 1 + cos4 x. I15= ò0 I18=. ;. cos x + sin x 3 + sin 2 x. I21. ò. ;. I26=. p 4. 0. ò =. dx. ; I24=. cos 2 x.dx 3 cos x. 0. p 2. I27 =. ;. sin xdx cos 2 x + 3 ;. ò sin x +. cos xdx. ;. 1 + sin x .dx. sin 4 x dx 1 + cos 2 x ;. p 2. 0. p 2. ò sin x + cos x p 6. 2p. ò 0. cos x - sin x dx 2 + sin 2 x. ;. 3.Tính: p. 6. p 2. sin 2 xdx. ò 2sin 2 x + cos 2 x. I1 =. ;. 0. p 4. ò. I2 =. 1 + sin 2 x + cos 2 x ò sin x + cos x dx p. p 2. cos 2 xdx 3. I4= 0 ( sin x + cos x + 2) ; I5= π 2.  √ cos x − cos 3 x dx. 6. cos3 x + cos5 x dx 2 x + sin 4 x. ò sin p 6. ;. p 2. ;. I3=. ò 0. sin x.cos xdx 2. a cos 2 x + b 2 sin 2 x. ;. I6=. ;. 0. I7=. sin 4 xdx ò 1 + cos 2 x 0. p 2 3. p 2. p 4. ; I8=. 4sin x. ò ( sin x + cos x). 3. ò. dx. ;. 0. I9=. p 3. I10 =. 4. ; p 3. p 3. sin 2 x ò cos6 x dx p. sin 3 x - sin x cot xdx sin 3 x. ò sin. p. ;. I11=. TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. dx ò sin x +1 0. ;. I12= Page 21. p 4. 2. dx x cos 4 x. ;.

(22) GIẢI TÍCH 12 p 4. sin xdx. ò . . ;. I14=. ;. I17=. sin xdx ò (sin x + 3 cos x)3 0. I22=. 6. ; I20= . I23=. . I25=. p 3. I28= 4. Tính: 0. p 2 0 11 -. p 2. I3 = I5 =. 0. ò. p 4. 0. I7 = ò. 0. p 2. x. 2. ;. I21=. ò ; I26=. p 6. ( sin x + cos x + 2). sin 2 x ( 1 + sin 2 x) dx. p 6. p sin x.sin( x + ) 4.  6. dx 4. sin 3 x.cos5 x. ;. I27= 0. p 3. cos 2 xdx ò 2cos x + 3sin x 0. 4. ;.  )dx 4 cos 2 x. I30=. p 4. ;. tan xdx. ò cos x ;. x + cos 4 x ) dx. tan( x . . ;. 1 + cos 2 x. p -(1sin)co2xd 0+-x(1sin)2co2. ò. I2= ;. ;. I4. ò =. p 2. 0. sin x + 7 cos x + 6 dx 4sin x + 3cos x + 5 ;. 4p. dx 2. x - 1) cos 2 xdx. 0. cot xdx. dx x - 8sin x.cos x + 5cos 2 x cos 2 x. 3. 0. òcos 2 x(sin. p 2. ; I29=. òp 3 ;. ;. TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. ;. p 2. 1 dx 2. ; I24=. cos xdx 7sin x - cos 2 x ;. ò. ò 3sin. 3 + sin 2 x. I18=. ò (cos ò. 6. sin xdx. ò cos x. I1=. 2. p 3. 3sin x  2 cos x dx 3  0 (sin x  cos x ). ;. sin 2 x dx 4  0 1  cos x. 2.  2. sin 2 x  sin x dx 1  3cos x. p 3. sin x sin. ;. 0. I15 =.  2. p 2. cos3 x òp sin2 x dx. ;. 2.  p 2. tan 4 x ò cos 2 x dx 0. p 2. I19=. . 4. p 6. 2. sin 2 x cos x  1  cos x dx 0. I16=. 1  2sin 2 x  1  sin 2 x dx 0. 4 - 2 cos 2 x. p 3. I13=. HỌC KÌ 2. I6 = I8 =. ò. 0. p 4. dx sin. x 2. ;. dx 1 + tgx. Page 22. ;. ;.

(23) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2 p 2. I9. sin 3 xdx ò 3sin 4 x - sin 6 x - 3sin 2 x = p 2. I11 =. ;. I10 =. 0. ;. I12 =.   sin  x   dx 4   sin 2 x  2 1  sin x  cos x   0. I13 =. Dạng 3: Ý nghĩa:. ;. I14 =. ;. 3sin x + 4cos x. 0. ;. sin x - cos x +1. ò sin x + 2 cos x + 3 dx 0. ;. Phương pháp tích phân từng phần. b. b. b. a. a. a. b. ò u '(x).v(x)dx + ò u(x).v '(x)dx = ò [u(x).v(x)] 'dx = [u(x).v(x)] a b. Phương pháp: + Phân tích:. b. f ( x)dx u ( x).v '( x)dx a. a. b. Þ. b. b. òu( x)v '( x)dx = [u ( x).v( x)] a a. b. hay:. b. òu '( x).v( x)dx a. b. òudv = uv a - ò vdu a. a.  sin(ax  b )    P( x ).  cos(ax  b) dx a  e ax b   . ésin(ax + b) ù ê ú ú u = P ( x ); dv = ê êcos(ax + b)údx ê ax+b ú ê ú ëe û. b. Loại 1:. cos xdx x - 5sin x + 6. ò 3sin 2 x + 4cos 2 x dx p 2.  4. 2. 0. p 2. sin xdx. ò1 + sin 2 x. òsin. . Đặt:. 1. Tính: p. I1 =. p. p. 3. ò x cos xdx 0. 2. ;. I2 =. ò x cos xdx 0. ;. I3 =. ò( x. x ò x sin 2 dx 0. p. 2. I4 =. ;. 4. I5 = 0. TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. (. ). 2 ò x 2cos x - 1 dx. ;. I6 = Page 23. 2. ). +1 sin xdx. 0. p. 2p. 2. 3. xdx. ò sin 2 x. p. 4. ;. ;.

(24) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2 p. I10= ò0. p 6. 2. xtg xdx. ;. I11 =. p. ( x + sin x ). 3. ò. cos 2 x. 0. sin x ò( e + x) cos xdx 0. ò I16 = 0 I19= ò0. p 2. p 2. x cos2 xdx x cos xdx p. I21 = ò0 2. Tính:. 2x. 0. 3 x 1. e. ; ;. p 2. 0.  4 0. I20= . dx. ;. x sin x cos xdx. ;. p. 6. I15 =. 2. ò x cos x sin. sin xdx. ;. I18 =. ex. Loại 2: 1. Tính:. 0. 2. ò sin. 3. ;. ;. ;. ). I3 =. òe I8 =. 1. x. ;. 4. ;. I7. ò = 1. e. 2 2x. e dx. I6 = 0 I9 =. ò. ;. 2 x +1 x. 1. e x dx. éln q( x) ù ú; dv = P ( x) dx u =ê êlog a q( x)ú û . Đặt: ë û ù. ò P( x). êêlog a q( x)úúdx a. ë. ò I2 = 1. 2. ln. e. 2 dx x. ( 3x + 2) ln xdx I3 = ò 1. 8. I4 = ò1. ;. 0. ò( x +1). dx. 4. x 3 dx. -. ò xe 1. 1. ln ( 1+ x) dx. 2. xdx. 0. - 2 x - 1 e- x dx. I5 = 0. éln q ( x). ;. 3. 2. 2 - x ò x e dx. ò( x. ;. xdx. ;. 1. b. 2. 0. ( p 2). ( x  sin 2 2 x) cos 2 xdx. I2 =. ;. 0. 2. I17 = ò. x 2 dx. ò. I1 = ò1. ;. p 2. 0. dx. I4 = 0. 1. I14 = ò. x(cos x + sin 5 x)dx. ò x.e 1. I7 =. I12 =. 1. 1. I1 =. ;. x cos x. ò sin 3 x dx p. p. I13 =. dx. 4. 2. x ln xdx. ln x dx x3. TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. e. I5 = 1 I8. 2. (1- x ) ln xdx. ò = 1. e. ln x dx x5. I6 = I9 =. Page 24. ò 3. ò1. ln x dx x +1. 2 ln. ( x +1) dx x2.

(25) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2 1. I10 =. ò1. e. I13 = ò1. ln xdx ( x +1)2. 3 + ln x ò ( x +1) 2 dx 1 e. e. x ln xdx. e. I16 =. I11 =. ò(2 x 1. I14 =. ò1. 2. ò x ln(1+ x )dx 2. 3. I12 =. ln xdx. 0. I15 = ò1. x. 2. 1. 3 )ln xdx x. 1. x ln( x I17= ò 0. 2. + x +1)dx. ;. I18 =. x log 2 xdx. ln ( x +1). ò ( x + 2). 3. dx. ;. 0. 2. Tính: I1= ò1. e. ln 2 xdx. e. e. I2 = ò1. ;. ò ( x ln x ) I4= 1. e. 2. dx. ;. I5 =. x ln2 xdx. æln x ÷ ö2 ç dx ÷ ç ÷ ç èx ø. ò 1. I7 =. 1 2. I9 =. ò 0. 1 1+ x ln dx 1 - x 2 1- x. p 2 sin x ln 0. I11 = ò. b. òe. x. ;. I8 =. ;. ;. I6 =. ;. ò (1- ln x). 2. dx. 1. 1. ö ÷ + ln 2 x÷ dx ÷ ÷ 1 + ln x ø. ;. æ ln x. p 2 p cos x ln 4. ò. p 4 cos x ln 0. I12 = ò. ;. x 3 ln2 xdx. e. òççççèx. I10 =. ( 1 + cos x ) dx. ;. e. e. æ ln x ö ÷ ÷dx òççççèx 1 + ln x + 3x 2 ln xø÷ ÷ 1. e. I3 = ò1. ;. ( sin x ) dx. ;. ( 1 + cos x ) dx. ;. ésin x ù ésin x ù údx .ê ú; dv = e x dx u =ê ê ú cos x ê ë û (Tích phân lặp). Đặt: ëcos xú û. Loại 3: a Lưu ý: khi tính đến TP thứ 2 tiếp tục áp dụng thuật TPTP trên lần nữa và dừng lại khi thấy xuất hiện TP ban đầu; áp dụng chuyển vế tìm I Tính: p. I1 =. 2. òe 0. p. x. cos xdx. ;. I2 =. TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. 4. òe 0. x. p 4. sin 2 xdx. ;. I3 =. Page 25. òe 0. 3x. .sin 4 xdx.

(26) GIẢI TÍCH 12 p. I4 =. HỌC KÌ 2. 2. -2 x ò e cos3 xdx 0. ;. I5=. òe. ò cos ( ln x) dx. ;. 0. I8=. x. 2. .sin (px) dx. ;. 0. p 4. ep. I7 =. p. 1. ò 0. I6 =. tan x.ln(cos x) dx cos x. òe. I9=. sin 2 xdx. ;. 0. p. ;. 2x. 2. ò (e. cos x. + sin x) sin 2 xdx. 0. b x. ò[ u ( x) + u '( x)] e dx ò (u.v '+ u ' v)dx = ò (uv)' dx = u.v Loại 4: a ; b. b. b. b. b. x ò[ u ( x) + u '( x)] e dx òu ( x)e x dx + éêëu ( x)e x ùúûa - òu ( x)e x dx = éêëu ( x)e x ùúûa. =. a. a. a. .. Tính: e. I1 =. ò 1. 1 + x ln x x e dx x. 2. 1 )e x. ò ( x +1I4 =. 1 2. Loại 5:. 1 x+ x. I2 =. ; I5 = 2. x ±a. ò 0. 1 + sin x. 0. ò (2 cos. 2. 0. 1. x. ò1 + cos x e dx p 2. dx. 2. 1. TC1:. ;. dx. ò. Tính: I1=. p 2. ;. I3 =. xe x. ò (1+ x)2 dx 0. ;. x + x cos x)e sin x dx 2. = ln | x + x2 ± a2 |. dx x2 + 2 ;. a. I2= ò0. x 2 + a 2 dx. a. ;. I3= ò0. x 2 x 2 + a 2 dx. §4. TÍCH PHÂN HÀM CÓ TÍNH CHẤT ĐẶC BIỆT. Nếu hàm số f là hàm số chẵn và liên tục trên [- b;b] , " x Î ¡ và 0 < a ¹ 1 ta có: TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. Page 26.

(27) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2 b. b. f ( x) ò ax + 1dx = ò f ( x) dx -b 0. Tính: p. I1=. sin2 x ò 3x + 1dx - p p 4. ;. I2=. ò. dx. ò cos x(1+e. I4=. p 2 x sin x dx 2 p 1+ 2x 2. p 4. 2. - 3x. ). ;. I5=. I7= TC2:. ò. ;. sin6 x + cos6 x dx 6x + 1. p 2. 1. ;. I6=. ò- 1. 1- x2dx 1+ 2x. ;. sin4 xdx òp 2x + 1. 1. x4 + x2 ò 3x + 1 dx - 1. p 4 p 4. x4dx x ò I3= - 1 1+ 2 ; 1. ;. I8=. -. ;. 2. éa ê f ( x )dx = 0, neáu f(x) leû êò ê- a êa a ê êò f ( x )dx = 2ò f ( x )dx , neáu f(x) chaún ê 0 ë- a Nếu f(x) liên tục trên [-a;a] thì: ê. Tính: p 8. 3. I1= ò- 1 p/ 4. I3=. ò. - p/ 4. 3. 2. 2011. ( x - 3 x + 2) sin x 2. 1+ x + x. dx. ò x7 sin8 xdx ;. I2=. ò( ln( x +. I7= - 2. ;. 1. ;. x2. 4. ò cos x.ln( x + ;. I6=. ). -. p 2. ;. 1. x 2 +1) dx. TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. x 2 +1)dx. é x3 ù 2 ò- 1 êêêln( x + x +1) + (1 + x 2 )3 úúúdx = 0 ë û = ;. 3. ;. ). sin x + e x x 2 dx. p 2. 1 + tan x ò x2 +1 dx - 1 2. p 8. ò (e I = -1. dx. 1. I5=. -. I8. Page 27.

(28) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2. TC3: Nếu hàm số f liên tục trên [ 0 ; 1 ] thì p 2. p 2. 0. 0. ò f ( sin x) dx = ò f ( cosx) dx 1.Tính: I1= p 2. I3=. I5=. ò. p 2. 0. cos xdx cos4 x + sin4 x ;. sin x dx sin x + cosx. ò 0. p 2. p 2. 4. 2011. ;. I4=. ò ln 0. sin x. ò 2011 cosx + 2011 sin xdx. ;. 0. p. 2. Chứng minh: a/. TC4:. I2=. p 2. p. 2. ò cos. n. 0. I6=. ò. p 2. 0. sin6 x ò sin6 x + cos6 x dx 0. (1+ sin x)1+cosx dx 1+ cosx. ;. ;. sin2011 x dx sin2011 x + cos2011 x ; p 2. 2. xdx = ò sin n xdx, ( n Î ¢ + ) 0. b/.. ò sin. sinn xdx p = n x + cos x 4. n. 0. Nếu hàm số f liên tục trên [a;b] và f ( a + b - x) = f (x) thì: b. ò xf (x)dx = a. p. Đặc biệt:. b. a +b f (x)dx 2 ò a. b. p ò xf (sin x)dx = 2 ò f (sin x)dx 0 a p. Tính: I1= ò0. p. 3. x.sin xdx. ;. I2= ò0. p. 4. x sin x cos xdx. ;. I3 =. x sin x. ò 2 + cos2 x dx 0. TC5: Nếu hàm số f liên tục trên [a;b] thì:. TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. b. b. a. a. ò f ( a + b - x) dx = ò f (x)dx. Page 28. ;.

(29) GIẢI TÍCH 12. Đặc biệt:. HỌC KÌ 2. b. b. 0. 0. ò f ( b - x) dx = ò f (x)dx. p 4. 1. ò ln(1+ tan x)dx. ò. ln(1+ x)dx 1+ x2. Tính: I1= 0 ; I2= 0 TC6: Nếu f(x) liên tục trên ¡ và tuần hoàn với chu kì T thì : T. a+T. 0. a. ò f (x)dx = ò . nT. T. 0. 0. a. f (x)dx =. ò f (x)dx, " a Î. 3p. 100p. 5 ò sin xdx. Tính : I1= ; TC7: Nếu f(x) liên tục trên ¡ thì : p. 2a. ( đặt u = x – T). ¥*. ò f (x)dx = nò f (x)dx, n Î. . ¡. a- T. ò. I2=. 1- cos2xdx. 0. a. ò f (x)dx = ò[ f (x) + f (2a - x)] dx, " a Î ¡ 0. 0. 3p. Tính: I1=. ò sin x sin2x sin3xdx 0. 3p. ;. I2=. ò sin x sin2x sin3x sin5xdx 0. §5. BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN TÍCH PHÂN TRUY HỒI 1. Chứng minh: 1. a/.. ò. - x. 3 + e dx £ 2. ;. 0. b/.. p £ 4. 1. 1£. c/.. ò 0. 3p. p. 4. 1. 1 + x 2 dx £ 2. 1£. ;. TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. d/.. 4. ò 3-. ò 0. dx p £ 2 2sin x 2. 4 + x2 5 dx £ 2 2. Page 29.

(30) GIẢI TÍCH 12 p. e/.. p £ 16. ò 0. p. g/.. 2. HỌC KÌ 2. dx p £ 5 + 3cos 2 x 10. f/.. 3. 3 sin xdx 1 < < 4 ò x 2 p. I(t) = ò. t. 0. 1. xdx. ò x2 +1 £ 2 1. p dx p 2 < < 2 6 ò 8 - x - x +4 0 h/.. ;. 1 2 0. I=ò. 2. 1. 6. 2.a/. Tính: b/. Đặt. ;. 2 £ 5. x 4 dx x2 - 1 ;. tg 4 xdx p (0 < t < ) cos 2x 4 . Tính I(t) và chứng minh:. 2. æ pö ö ( tg2t+3tgt) æ p÷ 3 ÷ ç tg ç t + > e , 0 < t < ÷ ÷ ç ç ÷ ç ç è è ø 4ø 4÷ 2 1 " x,e x > x Þ e- x £ 2 x ; 3. a/ CM: b/ CM:. 200. ò100 1. ò b/ CM: 0. x 4.a/ CM: e > 1 + x, " x ¹ 0 ; 1 1 dx p £ ò 2 £ 2012 0 4 1- x 5.a/.CM: 2 ; p 2. 6.a/. Tính:I1= b/. CM:. ò. ò0. p 2. 0. b/. CM: I2=. ò. p 2. 0. x2. dx £ 0,01. 1 2 e1+x dx. 1. sin2xdx 1+ sin4 x ;. ò0. >. 4+p 4. cos px dx £ ln2 1+ x. sin2xdx 1+ cos4 x. sin x cosxdx p > 4 4 (1+ sin x)(1+ cos x) 12 2. t  ln x  J (t )   dx , t  1 1 x   b/. Đặt , tính J(t) theo. ln xdx  1 x ; 7.a/. Tính:I = 2. t ,suy ra J(t) < 2, " t > 1. exdx. ln10. 8.Cho số thực b  ln2. Tính J = 9. Cho. e-. In = ò. 0. 1 2. òb. 3 x. lim J .. e - 2 và tìm b®ln 2. xdx 1- x. 2n. TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. a/. Tính I2 ;. b/. Chứng minh: Page 30. In <. p 12.

(31) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2 1. 10. Cho. I n = ò x n .e x dx, n ³ 0 0. I n+1 £ In , lim I n = 0. a/. Tìm hệ thức liên hệ giữa In+1 và In; dx I n =ò ,n Î ¥ 2 n (1 + x ) 11. Cho. b/ . CM:. a/. Tìm hệ thức liên hệ giữa In-1 và In ;. b/. Tính I3.. n®¥. 1. 12. Tính. lim ò xn (1+ e- x )dx 0. e. I n = ò (ln x)n dx, n Î ¥. 13. Cho a/ .Tính I1 ;. c/ CM:. 0. I n + I n+1 =. I n ³ I n+1 p. 15. Tính 16. Cho. b/. Tìm hệ thức liên hệ giữa In-1 và In. p 4. I n = ò tannxdx, n Î ¥. 14. Cho a/ .CM:. 1. ò I= 0. 1 n- 1;. ;. b/. CM:. 1 1 < In < 2( n + 1) 2( n - 1). d/. Tìm hệ thức liên hệ giữa In-2 và In n. cos x cos(nx)dx, n Î ¢ +. p. I n = ò 4 xtgnxdx, n Î ¢ + 0. a/ . Tính I2 ; b/. CMR:. In. .. n+2 1 æ pö ÷ ç > ÷ è4ø n + 2ç. §6. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Vấn đề 1: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Loại 1: Hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y =f(x) (liên tục trên đoạn [a;b]), hai đường thẳng x = a, x = b và trục Ox. b. Công thức:. S = ò| f (x) | dx a. TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. Page 31.

(32) GIẢI TÍCH 12. Đặc biệt:. HỌC KÌ 2. 1) Diện tích của hình tròn tâm O, bán kính R là : R. S=. 4 ò R 2 - x 2 dx = pR 2 0. x2 y 2 + 2 =1 2 b 2) Diện tích của elip a (a > b > 0) là : a. S=. b 4 ò a 2 - x 2 dx = p.ab a 0. b. S = ò| f (x) | dx = a. Lưu ý:. x1. ò f (x)dx + a. x2. ò f (x)dx + ... + x1. b. ò f (x)dx xn. Với xi là nghiệm của f(x) chứa trong [a;b] Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: 1/.. y=. x +2 2 3. trục Ox , Oy và đường thẳng x = -2.. 2. 2/. y = x - 6 x + 8 x, x = 2, x = 4 3/.. y= y=. 4/.. x2 + 4 x + 5 x +2 , trục Ox, trục Oy và x = 2. 1 x(1 + x3 ). , x = 1, x = 2. và trục Ox.. p 3p y = sin x, Ox, x = , x = 2 2 5/. 6/.. y = sin 2 x , trục Ox, Oy và x = p. 7/. y = ln x , trục Ox, x = 1, x = e 8/. y=x . ln 2 x ; trục Ox; x = 1; 2 9/. y = sin x + sin x +1 ,. x = e.. y = 0, x = 0, x =. p 2. Loại 2: Hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y =f(x), y = g(x) (liên tục trên đoạn [a;b]), hai đường thẳng x = a, x = b.. TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. Page 32.

(33) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2 b. S = ò| f (x) - g(x) | dx. a Công thức: Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường:. 1/.. y=. 2 x 2 - x +1 , y = 2 x - 1, x =1, x = 2 x. 2 2/. y = x + sin x, y = x, x = 0, x = p. 3/.. y = x 2 - 4 x , y = 2 x - 7 , x =- 1, x = 2 y=. 4/.. 1 1 p p ,y= ,x = ,x = sin 2 x cos 2 x 6 3. 2 5/. y = 2 + sin x, y = 1 + cos x. với x ∈ [ 0 ; π ] ; Loại 3: Hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) Phương pháp: Xét pt: f(x) – g(x) = 0, tìm nghiệm x1 < x2 < …< xk  Gọi S là diện tích cần xác định, ta có:  xk. x2. xk. f(x)  g(x) dx  f(x)  g(x) dx  ... . f(x)  g(x) dx. S= 1/. Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: x1. a).. x1. xk 1. ( C ) : y = x 2 - 2 x - 3 với trục hoành; 2. 3 b). ( C ) : ( y - x) = x , x = 1 y2 = 2x;27y2 = 8( x - 1) 3 c).. d).. ( C ) : y = x ( x - 3)2 với trục Ox. ( C ) : y = x 2 (3 - 2 x) với trục hoành C : y = x ( x +1)( x - 2) f). ( ) với trục Ox 4 2 ( C ) : y = x - 8 x +16 với trục hoành. g). e).. 3 2 h). y = x - 4 x + x + 6. và trục Ox; 2/. Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: a).. y  x 2  4 x  3 , y x  3. TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. Page 33.

(34) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2. 2 b). y = x + x -1 và y = 2 - x c). y=x 2 − 2 x , y=− x2 + 4 x. .. 1 y = x3 - x 2 , y = ( x - 1) 9 d). 3 e). y = x - 3x, y = x 3 f). y = x , x + y = 2. với trục hoành y = x - 12 x, y = x 2 g). 3. 4 2 2 h). y = x - 4 x , y = 4 x. 3/. Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: y= a).. 2x - 1 x +1 , tiệm cận ngang và đường thẳng x = 3.. 3 b). y = x - 1. và tiếp tuyến tại điểm (-1; -2).. 2 P : y = x - 4x + 5 c). ( ) và tiếp tuyến kẻ từ. d).. y= y=. f).. x2 - 2 x +5 x - 1 , tiệm cận xiên và 2 £ x £ 3 .. x 2 + 4 x +1 x +1 , trục Oy, tiệm cận xiên của (C) và x = 1.. 1- x 2 , y = x 2. g). y = 1y = 4h).. x2 x2 ,y= 4 4 2. 2. 2. 2. i). y = 2 x, x + y = 8 j). k).. ö 1÷ ÷ ø. x2 x - 1 , tiệm cận xiên và 2 đường thẳng x = -1, x = 0.. y=. e).. 5 æ Aç ;ç è2. y = x2 - 1. y=e. x. và y = x + 5 ; y=e− x , x=1. 2 l). y - 2y + x = 0 và x + y = 0 3 m). x - y + 1 = 0;x + y - 1 = 0;y = 0 ;. TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. Page 34.

(35) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2. 2 n). y = x ; y = 2 - x 2 2 o). y = x ;x = - y. p).. (C 1) ;y =. 27 x2 ;( P1) : y = x2;( P2) : y = x 8. 4/. Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi (P): y = x2 và đường thẳng (d) đi qua I(1;3) biết diện tích đó lớn nhất. 5/. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( P ) : y=x 2 − 4 x +5 và 2 tiếp tuyến của (P) tại A(1;2) và B(4;5). 6/. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ( P1 ) : y=x 2 − 2 x +2 ; ( P2 ) : y=x 2+ 4 x +5 và y = 1 7/. Trên mặt phẳng toạ độ tiêu chuẩn cho 2 đường Parabol: y = 8 - 3x - 2 x 2 và y = 2 + 9 x - 2 x 2 .. a). Xác định a và b sao cho đường thẳng y=ax +b đồng thời là tiếp tuyến của parabol. Xác đinh toạ độ của các tiếp điểm. b). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường parabol đã cho và tiếp tuyến vừa xác định ở trên. 8/. Biết (P): y 2=2 x chia hình phẳng giới hạn bởi đường tròn x 2 + y 2 = 8 thành 2 phần tính diện tích mỗi phần.. 9/. Cho (P): y=x 2 và (Δ) đi qua A(1;4) và có hệ số góc k. Xác định k để diện tích phần hình phẳng bị chắn phía dưới bởi (P) và bị chắn phía trên bởi (Δ) đạt giá trị nhỏ nhất. 10/. Cho (P): y=x 2 +1 và đường thẳng (Δ): y=mx+ 2 . Hãy xác định m sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng (Δ) và (P) là nhỏ nhất.. Vấn đề 2: TÍNH THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRÒN XOAY Loại 1: Vật thể tròn xoay (T)sinh bởi miền (D) giới hạn bởi y = f(x), x = a, x = b, y = 0 quay quanh trục Ox. b. b. 2. V = pò y2dx = pò[ f (x)] dx. a a Công thức: 1/. Tính thể tích khối tròn xoay, khi cho hình phẳng tạo bởi các đường sau quay quanh trục Ox :. TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. Page 35.

(36) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2. 2 a). y = 2 x , y = 0, x = 0, x = 5 2 b). y = x - 4 x + 4, y = 0, x = 0, x = 3 3 c). y = x , y = 0, x = 0, x = 2. d).. y = ln x, y = 0, x = e , trục Oy.. x p y = sin .cos x, y = 0, x = 0, x = 2 2 e).. 2/. Tính thể tích khối trịn xoay, khi cho hình phẳng tạo bởi các đường sau quay quanh trục Ox : x a). y = xe , x = 2, y = 0 b). c).. y = x 2 , y = 3x + 4. 2 và y=2+ x 2 y=4 − x 3 2 d). y = x và y = 2 x 2 e). y = 2 - x và y = 0. f).. y = 2 x - x 2 và y = x. 2 3/. Gọi (D) là miền giới hạn bởi y =- 3 x +10, y =1, y = x ( x > 0) và P : y = x2 (D) nằm ngoài ( ) . Tính thể tích vật tròn xoay tạo nên khi (D). quay quanh trục Ox. 4/. Tính thể tích vật tròn xoay tạo nên khi hình phẳng (H) quay quanh Ox. a/.. (H ) : y =. sin x p ,Ox, x = 0, x = sin x + cosx 4. 2 b/. (H ) : y = x , y = 3x + 4. c/.. {. }. (H ) : ( x - 1) 2 + ( y - 2) 2 £ 1. y = tan3 x,y = 0, x = ±. 5/. Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi các đường. a/. Tính diện tích miền (D); b/. Tính thể tích tròn xoay quanh được tạo thành khi cho (D) quay quanh trục Ox.. TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. Page 36. p 4.

(37) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2. 6/. Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi các đường sau đây: y2 = sin6 x + cos6 x;0 £ x £. p 2 , trục Oy. Tính thể tích vật thể tròn xoay. được tạo nên khi quay hình (D) quanh trục Ox. Loại 2: Vật thể tròn xoay (T) sinh bởi miền (D) giới hạn bởi x = g(y), y = a, y = b, x = 0, quay quanh trục Oy. Công thức:. b. b. a. a. 2. V = pò x2dx = pò[ g(y)] dx. 1/. Cho miền (D) giới hạn bởi : y = x ; y = 2 - x ; y = 0 a/. Tính diện tích miền (D). b/. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi (D) quay quanh Oy. 2 2/. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2 x - x , y = 0 . Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi hình phẳng quay quanh trục Oy. 3. 3/. Cho miền (D) giới hạn bởi : y = 2 x +1, x = 0, y = 3 a/. Tính diện tích miền (D). b/. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi (D) quay quanh Oy. 2. 4/. Cho (D) giới hạn bởi đường: ( P ) : y = ( x - 2) ,( D ) : y = 4 . Tính thể tích khối tròn xoay khi (D) a/. quay quanh Ox; b/.quay quanh Oy? 5/. Tính thể tích vật thể tạo bởi (E): Oy.. y=. ( x - 4) 2 y2 + £1 4 16. quay quanh trục. x ; y = 2 - x ;y = 0. 6/.Cho miền (D) giới hạn bởi : a/. Tính diện tích miền (D); b/. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi (D) quay quanh trục Oy. 7/. Cho hình tròn tâm I(2; 0) bán kính R = 1quay quanh Oy. Tính thể tích hình xuyến tạo nên.. Tích phân trong các đề thi tốt nghiệp và đại học. TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. Page 37.

(38) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2. ln 2. x 2 x ò (e +1) e dx 0. TN 2012. 1. òx. TN 2010. TN 2009. ò x(1 + cos x ) dx 0. 3. . . 3. A2010. (1 + x ) dx. 0. ò 1. B2009. 1. 1. x 2  e x  2 x 2e x. . 1  2e x. 0. CĐ2009. A2011 I =. x sin x  ( x  1) cos x dx x sin x  cos x. 0. 4. D2011. I  0. 4x  1 dx 2x  1  2. A, A1 2012. x3 I  4 dx 0 x  3x 2  2 D 2012. ln x. 1. 2x  1.  x 1 dx. CĐ2010 0.  3. B2011. 1  x sin x I  dx cos 2 x 0 2. CĐ2011. I  1. 2x  1 dx x(x  1).  4. B 2012. I x (1  s in2x)dx 0. 3. 1. CĐ 2012 I =. CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. ). + x e x dx. B2010 1. 3. 1  ln( x  1) I  dx 2 x 1. dx. x  2  ln x  2 dx. dx. . - 2x. 2. 0. e. 3   2 x  x  ln xdx 1  4. ( x +1). ò( e. e. D2010. 3 + ln x. 1. dx. ò ex 1. 1. p. 3 2  cos x  1 cos xdx. A2009. 4 +5 ln x dx x. ò. TN2011:. 2. 0.  2. D2009. 2. e. Page 38.  0. x dx x 1 ..

(39) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2. 1. ĐỊNH NGHĨA PHÉP TOÁN SỐ PHỨC I> Khái niệm số phức:  Là biểu thức có dạng a + b i , trong đó a, b là những số thực và số i 2 thoả i = –1. Kí hiệu là z = a + b i với a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo. 2  Tập hợp các số phức kí hiệu là  = {a + b i / a, b  và i = –1}. Ta có  Ì  .  Số phức có phần ảo bằng 0 là một số thực: z = a + 0. i = a  Ì   Số phức có phần thực bằng 0 là một số ảo: z = 0.a + b i = b i . Đặc biệt i = 0 + 1. i  Số 0 = 0 + 0. i vừa là số thực vừa là số ảo. II> Số phức bằng nhau:  Cho hai số phức z = a + b i và z’ = a’ + b’ i . a a '  Ta có z = z¢ Û b b '  VD: Tìm các số thực x, y biết: (2x – 3) – (3y+1) i = (2y + 1) + (3x – 7) i (1) 2 x  3 2 y  1  x  y 2  x 2 Û Û   x  y 2  y 0 (1) Û  3 y  1 3 x  7 III> Biểu diễn hình học của số phức:  Mỗi số phức z = a + b i được xác định bởi cặp số thực (a; b).  Trên mặt phẳng Oxy, mỗi điểm M(a; b) được biểu diễn bởi một số phức và ngược lại.  Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức. Gốc tọa độ O biểu diễn số 0, trục hoành Ox biểu diễn số thực, trục tung Oy biểu diễn số ảo. TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. Page 39.

(40) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2.  VD: Các điểm A, B, C, D biểu diễn các số phức là: z A = 1 + 4 i , z B = –3 + 0. i , zC = 0 –2 i , z D = 4 – i IV> Môđun của số phức:  Số phức z = a + b i được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Độ dài của véctơ OM được gọi là môđun của số phức z. Kí hiệu. z = a + bi = a 2 + b 2.  VD: z = 3 – 4 i có. z  3  4i  32  ( 4)2. =5. z 2  a 2  b 2  2abi  (a 2  b 2 ) 2  4a 2b 2 a 2  b 2  z. 2.  Chú ý: V> Số phức liên hợp:  Cho số phức z = a + b i , số phức liên hợp của z là z a  bi . z = z z = a + bi Û z = a - bi z z , *Chú ý : Z ¿n ; i=−i ; −i=i  (Z n )=¿ Z =Z  Z là số thực ⇔ ⇔ Z =− Z  Z là số ảo * Môđun số phức Z=a + b.i (a; b R) 2 2 ∀ z | Z | = | Z | Chú ý: C |Z|=|OM|=√ a +b =√ z . z  Hai điểm biểu diễn z và z đối xứng nhau qua trục Ox trên mặt phẳng Oxy. VI> Cộng, trừ số phức:  Số đối của số phức z = a + b i là –z = –a – b i  Cho z a  bi và z ' a ' b ' i . Ta có z ± z' = (a ± a')+ (b ± b')i  Phép cộng số phức có các tính chất như phép cộng số thực. VII> Phép nhân số phức:  Cho hai số phức z a  bi và z ' a ' b ' i . Nhân hai số phức như 2 nhân hai đa thức rồi thay i = –1 và rút gọn, ta được: z.z' = a.a' - b.b' + (a.b' + a'.b)i TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. Page 40.

(41) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2.  k.z = k(a + b i ) = ka + kb i . Đặc biệt 0.z = 0 "z  2 z.z = a 2 + b 2 = z  z. z = (a + b i )(a – b i ) hay 2  VD: Phân tích z + 4 thành nhân tử. 2 z 2 + 4 = z 2 – (2i ) = (z – 2 i )(z + 2 i ).  Phép nhân số phức có các tính chất như phép nhân số thực. VIII> Phép chia số phức: z -1 =.  Số nghịch đảo của số phức z a  bi  0 là 1 a - bi = 2 a + bi a + b 2  Cho hai số phức z a  bi  0 và z ' a ' b ' i thì a' + b'i (a' + b'i)(a - bi) = a + bi a 2 + b2  VD: Tìm z thoả (1 + 2 i )z = 3z – i . i Ta có (3 – 1 – 2 i )z = i Û z = 2  2i Û i (2  2i)  2  2i 1 1 z Û z Û z   i 44 8 4 4. 1 z = 2 z z. hay. z ' z '.z  2 z z. hay. IX> Lũy thừa của đơn vị ảo: Cho k N 4k 4k+ 1 = i; i 4k+ 2 = -1; i 4k+ 3 = -i  i = 1; i 13  VD: Tìm phần thực và ảo của số phức: z = (2  2i) 6 z  (2  2i) 2  (2  2i) (8i) 6 (2  2i)  86.2  86.2i  219  219 i 19 19 Phần thực a =  2 , phần ảo b = 2. 2.BÀI TẬP PHÉP TOÁN SỐ PHỨC. 1) Tìm các số thực x, y biết: a) (3x –2) + (2y +1)i = (x + 1) – (y – 5)i; TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. Page 41.

(42) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2. b) (1 – 2x) – i 3 = 5 + (1 – 3y)i; c) (2x + y) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y + 2x +1)i; 3 4 1 5 1 3  Hướng dẫn: a) x = 2 , y = 3 c) x = 2 , y = 3 b) x = 0, y = 1. 2) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa: a) Phần thực của z bằng –2; b) Phần ảo của z bằng 3; c) Phần thực của z thuộc khoảng (–1; 2); d) Phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3]; e) Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn [–2; 2].  Hướng dẫn: a) Là đường thẳng x = –2; b) Là đường thẳng y = 3; c) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song x = –1 và x = 2 không tính biên; d) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song y = 1 và y = 3 tính cả biên; e) Là miền trong giới hạn bởi bốn đường thẳng đôi một song song x = –2, x = 2 và y = –2, y = 2 tính cả biên. 3) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa: a) |z| = 1; b) |z|  1 c) 1 < |z|  2 d) |z| = 1 và phần ảo của z bằng 1.  Hướng dẫn: 2 2 a) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa a  b 1 , là đường tròn tâm O, bán kính R = 1; 2 2 b) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa a  b 1 , là hình tròn tâm O, bán kính R = 1 tính cả biên; 2 2 c) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa 1  a  b 2 , là hình vành khăn tâm O, bán kính r = 1 không tính biên, bán kính lớn R = 2 tính biên; 4)Thực hiện các phép tính sau: TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. Page 42.

(43) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2. (1  i) 2 (2i)3  2 i b). a) 2i(3 + i)(2 + 4i) 5)Giải phương trình sau: a) (3 – 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i; z  (2  3i) 5  2i c) 4  3i. b) (1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z. 8 9  i  Hướng dẫn: a) z = 1 b) z = 5 5 c) z = 15 – 5i. 6)Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm là gốc tọa độ O trong mặt phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số i.  Hướng dẫn:Gọi A là điểm biểu diễn số phức i thì D biểu diễn số –    3 1 F  cos ;sin   i 6 6  nên F biểu diễn số 2 2 . C đối xứng F i.  . 3 1  i 2 2 . E đối xứng F qua Ox nên. qua O nên C biểu diễn số 3 1  i E biểu diễn số 2 2 . B đối xứng E qua O nên B biểu diễn số 3 1  i 2 2 1 3 1 z   i ; z ; z 2 ; ( z )3 ;1  z  z 2 2 2 . Hãy tính: z 7)Cho . z 1  Hướng dẫn: Ta có nên 1 1 3 1 3   i z z 2   i z 3  z .z 2 1 ; z 2 2 2 2 ; ; 1  z  z 2 0 . 8)Chứng minh rằng:. TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. Page 43.

(44) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2. 1 zz a) Phần thực của số phức z bằng 2 , phần ảo của số phức 1 z z z bằng 2i b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi z  z . c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi z  z . d) Với mọi số phức z, z¢, ta có z  z '  z  z ', zz '  z.z ' và nếu z . z'  z'   0 thì z  z   Hướng dẫn: z a  bi, z a  bi (1) 1 zz a) Lấy vế cộng vế  Phần thực của số phức z bằng 2 . Lấy 1 z z vế trừ vế  phần ảo của số phức z bằng 2i . b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi phần thực bằng 0 Û z  z 0 Û z  z . c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi phần ảo bằng 0 Û z  z 0 Û z z . 2 2 d) z a  bi; z ' a ' b ' i; z z a  b là số thực z  z ' (a  a ')  (b  b ')i (a  a ')  (b  b ')i (a  bi )  ( a ' b ' i )  z  z ' zz ' (aa ' bb ')  (ab ' a ' b)i (aa ' bb ')  (ab ' a ' b)i ( a  bi)( a ' b ' i)  z.z '.  z '   z '.z  z '.z z '.z z '       z.z z  z   z.z  z.z 9)Chứng minh rằng với mọi số nguyên m > 0, ta có i 4 m 1; i 4 m 1 i; i 4 m 2  1; i 4 m3  i 4 2 2  Hướng dẫn: Ta có i i .i 1 TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. Page 44.

(45) GIẢI TÍCH 12 4 m. i . HỌC KÌ 2. 1m Û i 4 m 1 Û i 4 m .i 1.i Û i 4 m 1 i Û i 4 m 1.i i.i. Û i 4 m 2  1 Û i 4 m 2 .i  1.i Û i 4 m 3  i 10)Chứng minh rằng:   | u u e) Nếu của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thì | | z | và từ đó nếu hai điểm A1 , A2 theo thứ tự biểu diễn số phức z1 , z2  A A  z2  z1 thì 1 2 ; f) Với mọi số phức z, z¢, ta có |z.z¢| = |z|.|z¢| và khi z  0 thì z' z'  z z g) Với mọi số phức z, z¢, ta có  Hướng dẫn:. zz' z  z'.   z  a 2  b2 u z  a  bi u a) thì , biểu diễn số phức z thì = (a; b)   2 2 u  a b  do đó | u | | z | A1 , A2 theo thứ tự biểu diễn số phức z1 , z2 thì     A1 A2 OA2  OA1  z2  z1  A1 A2  z2  z1 z.z '  aa ' bb '   ab ' a ' b  i b) z a  bi , z ' a ' b ' i , , z  a 2  b 2 , z '  a '2  b '2 2. 2. z . z '  a 2  b 2   a '2  b '2 . Ta có Ta có 2 2 2 2 2 2 2 z.z '  aa ' bb '    ab ' a ' b   aa '   bb '    ab '    a ' b .  a 2  b2   a '2  b '2  Vậy |z.z¢| = |z|.|z¢| z' . z z'. z z' z ' z '.z   2  2  z z.z z z z Khi z  0 ta có TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. Page 45.

(46) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2.      c) u biểu diễn z, u ' biểu diễn z¢ thì u  u ' biểu diễn z + z¢ và    z  z ' u u '     u Khi , u ' 0 , ta có       2    2   2                2    2         u  u ' u  u '  2 u u ' cos u , u '  u  u '  2 u u '  u  u '       u u ' u  u ' zz' z  z'  do đó 11)Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau: z i 1 z  i 1 z  z  3  4i a) b) z  i c)  Hướng dẫn: Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức. a) Với z  x  yi . . z  i 1 Û x  ( y  1)i 1 Û. . . 2. x 2  ( y  1)2 1 Û x 2   y  1 1. Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I(0; 1) bán kính R = 1. b) Với z  x  yi  z i 1 Û x  ( y  1)i  x  ( y  1)i z i 2. 2. Û x 2   y  1 x 2   y 1 Û y 0 Tập hợp các điểm M là trục thực Ox. c) Với z  x  yi  z  z  3  4i Û x  yi  ( x  3)  (4  y )i. Û x 2  y 2 ( x  3) 2  (4  y )2 Û 6 x  8 y  25 0 . Tập hợp các điểm M là đường thẳng 6 x  8 y  25 0 12)Chứng minh rằng với mọi số phức z  1, ta có z10  1 2 9 1  z  z  ...  z  z 1 TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. Page 46. . 2.

(47) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2.  Hướng dẫn: Với z  1,  1  z  z 2  ...  z 9   z  1 z  z 2  ...  z 9  z10   1  z  z 2  ...  z 9  z10  1 Chia hai vế cho z – 1 hằng đẳng thức được chứng minh.(Cấp số nhân) 13)Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý sao cho biểu thức xác định)? z z z 2  ( z )2 2 2 3 3 a) z  ( z ) b) z  ( z ) c) 1  zz  Hướng dẫn: Ta có z a  bi, z a  bi ,. z 2 (a 2  b 2 )  2abi, z 2 (a 2  b 2 )  2abi, 3 3 2 2 3 3 3 2 2 3 Và z (a  3ab )  (3a b  b )i, z (a  3ab )  (3a b  b )i z z b  3 i 2 2 2 2 3 3 2 z  ( z )  2( a  b ) z  ( z ) a  3 ab Vậy là số thực; là số z 2  ( z )2 4ab  i 1  a 2  b 2 là số ảo. ảo; 1  z.z 13)Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau: 2 2 2 2 a) z là số thực âm; b) z là số ảo ; c) z ( z ) 1 d) z  i là số ảo.  Hướng dẫn: M(x; y) biểu diễn z thì z x  yi  z 2 x 2  y 2  2 xyi; z 2 x 2  y 2  2 xyi 2 2 2 a) z là số thực âm khi xy = 0 và x  y  0 Û x = 0 và y  0. Tập hợp các điểm M là trục Oy trừ O 2 2 2 b) z là số ảo khi x  y 0 Û y =  x.. Tập hợp các điểm M là 2 đường phân giác của gốc tọa độ. 2 2 c) z ( z ) khi xy = 0 Û x = 0 hoặc y = 0. Tập hợp các điểm M là 2 trục tọa độ. TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. Page 47.

(48) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2. 1 x  ( y  1)i 1  2 2 d) z  i = x  ( y  1)i x  ( y  1) là số ảo khi x = 0, y  1. Tập hợp M là trục Oy bỏ điểm M(0; y) 14).Tìm nghiệm phức của phương trình sau:  2  i  z  4 0 c) z 2  4 0 a) iz  2  i 0 b)  2  3i  z z  1  iz  1  z  3i   z  2  3i  0 d e)  Hướng dẫn: 1 3 8 4 z   i z  i 10 10 5 5 a) z 1  2i b) c) d)  i;  3i; 2  3i e) z 2i 15) Cho số phức z  x  yi (x, yR). z i a) Khi z  1, hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức z  i b) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z i z thỏa điều kiện z  i là số thực dương.)  Hướng dẫn: x2  y2  1 2x 2 2 2 2 h) Phần thực là x  ( y  1) , phần ảo x  ( y  1) 2 2 i) Là số thực dương khi x 0 và x  y  1  0  Tập hợp là trục Oy bỏ đoạn IJ với I, J là điểm biểu diễn hai số phức i,  i . 16)a) Trong mặt phẳng phức cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn số phức z1 , z2 , z3 . Hỏi trọng tâm DABC. biểu diễn số phức nào? b) Xét 3 điểm A, B, C của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số z  z2  z3 phức z1 , z2 , z3 thỏa 1 . Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi z1  z2  z3 0  Hướng dẫn:. TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. Page 48.

(49) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2. a) Gọi G là trọng tâm DABC, ta có  1   1 OG  OA  OB  OC   z1  z2  z3  3 3 vậy G biểu diễn số phức 1 z   z1  z2  z3  3    OA  OB  OC b) Vì nên A, B, C thuộc đường tròn tâm O. Tam giác ABC đều khi trọng tâm G trùng O hay z1  z2  z3 0 .. . . 3. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC & PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI.. I> Căn bậc hai của số phức: 2 Cho số phức w, mỗi số phức z = a + b i thoả z = w được gọi là căn bậc hai của w.  w là số thực: w = a   a = 0: Căn bậc hai của 0 là 0  a > 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là a và – a. a .i a .i  a < 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là và –  w là số phức: w = a + b i (a, b  , b  0) và z = x + y. i là 1 căn  x2 - y2 = a 2 2 z w Û (x + yi) = a + bi Û   2xy = b bậc hai của w khi  Mỗi số phức đều có hai căn bậc hai đối nhau.  VD: Tính căn bậc hai của w = –3 + 4 i . Gọi z = x + y i là căn bậc hai của w. Ta có  x 2  y 2  3 2 2 z w Û ( x  yi )  3  4i Û  2 xy 4 Û 2 2 4 2 2  x  y  3  y  3 y  4 0  y 4    Û Û 2 2 2  x  y x  y x  y    TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. Page 49.

(50) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2.  y 2  y  2   Û  x 1 hoặc  x  1 . Vậy có 2 căn bậc hai của w là z1 = 1 + 2 i , z2 = –1 – 2 i . II> Phương trình bậc hai: 1) Phương trình bậc hai với hệ số a,b,c là số thực: ax 2  bx  c 0 (a 0), D b 2  4ac ..  D  0: Phương trình có 2 nghiệm thực  D < 0: Phương trình có 2 nghiệm phức 3  VD: Giải phương trình x  8 0. x1,2 . b D 2a. x1,2 .  b  | D |.i 2a.  x  2 x 3  8 0 Û x 3  23 0 Û ( x  2)( x 2  2 x  4) 0 Û  2  x  2 x  4 0 (1).  (1) có D¢ = 1 – 4 = –3 =. 3.i. . 2. nên có 2 nghiệm phức. x1,2 1  3.i. . Do đó phương trình có 3 nghiệm x1 1  3.i, x2 1  3.i, x3  2 2) Phương trình bậc hai với hệ số phức: Ax 2  Bx  C 0 ( A 0), D B 2  4 AC , D a  bi B x 2A  D = 0: Phương trình có nghiệm kép  B  x1,2  2 A với  là 1 căn  D  0: Phương trình có 2 nghiệm bậc hai của D.  VD: Giải phương trình: 2 2 a) 2z  iz  1 0 ; b) z  (3  2i ) z  5  5i 0 TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. Page 50.

(51) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2. 2 2 a) 2z  iz  1 0 có D = –1 – 8 = – 9 = (3i ) . i  3i z1  i 4 Phương trình có 2 nghiệm phức , i  3i 1 z2   i 4 2 2 b) z  (3  2i ) z  5  5i 0 có D =. (3  2i )2  4(5  5i) 9  12i  4i 2  20  20i  15  8i = (1  4i) 2 Phương trình có 2 nghiệm phức  3  2i  1  4i  3  2i  1  4i z1   1  3i z2   2  i 2 2 ;. 4.BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1) Giải các phương trình sau trên tập phức: 2 2 2 a)  3z  2 z  1 0 b) 7 z  3z  2 0 ; c) 5 z  7 z  11 0  Hướng dẫn: 1 i 2  3 i 47 7 i 171 3 14 10 a) b) c) 2) Giải các phương trình sau trên tập phức: 4 2 4 2 a) z  z  6 0 b) z  7 z  10 0  Hướng dẫn: a)  2; i 3 b) i 2; i 5 3) Cho a, b, c  R, a  0, z1 , z2 là hai nghiệm phương trình az 2  bz  c 0 . Hãy tính z1  z2 và z1 z2 theo các hệ số a, b, c. b c  z  z z z  Hướng dẫn: 1 2 = a , 1 2 = a 4) Cho z = a + bi là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z, z làm nghiệm.  Hướng dẫn: Phương trình ẩn x nhận z, z làm nghiệm nên có (x – z)(x – z ) = 2 0 Û x  ( z  z ) x  zz 0 . TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. Page 51.

(52) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2. 2 2 Với z + z = 2a, z z = a  b . Vậy phương trình đó là x 2  2ax  a 2  b 2 0. 5) Chứng minh rằng nếu z là một căn bậc hai của w thì  Hướng dẫn: z a  bi là một căn bậc hai của w  2 z 2 w Û z 2  w Û z  w Û z  w 3  4i  2  i . z  w. 2. VD: tức z 2  i là một căn bậc hai của w 3  4i z  w thì 6) Tìm nghiệm phức của các phương trình sau: 2 2 2 a) z  z  1 b) z  2 z  5 0 c) z  (1  3i) z  2(1  i ) 0  Hướng dẫn: 2 1 1 5 1 5 1 5  z 2  2.z.   Û  z    Û z   2 4 4 2 4 2 2  a) 2. 2. z 2  2 z  5 0 Û  z  1  4 Û  z  1  2i  Û z  1 2i Û z  1 2i. b) 2. c). 2. D  1  3i   8  1  i  2i  1  i . 2. Phương trình có hai nghiệm z  2 i ; z  1  i 2 phức là 1 . 7) a) Hỏi công thức Viét về phương trình bậc hai với hệ số thực có đúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức không? Vì sao? b) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 4 – i và tích của chúng bằng 5(1 – i). 2 c) Có phải mọi phương trình bậc hai z  Bz  C 0 (B, C là hai số phức) nhận hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thực phải có các hệ số B, C là hai số thực? Vì sao? Điều ngược lại có đúng không?  Hướng dẫn: a) Hai nghiệm của phương trình bậc hai hệ số phức là  B  B C z1,2   2 D B 2  4 AC  z1  z2  ; z1 z2   2A A A. nên TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. Page 52.

(53) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2. z 2   4  i  z  5  1  i  0 b) Hai số cần tìm là nghiệm phương trình 2 D  5  12i  2  3i  Có nên hai số cần tìm là z1 3  i; z2 1  2i . 2 c) Phương trình z  Bz  C 0 có hai nghiệm là z a  bi; z a  bi thì B   z  z   2a là số thực và. C  z.z a 2  b2 là số thực. Điều ngược lại không đúng.  z 2  i   z 2  2iz  1 0 8) a) Giải phương trình sau: 2 b) Tìm số phức B để phương trình z  Bz  3i 0 có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8.  Hướng dẫn: 2 2 2 2 2  i;   i; i z 2  i  z  i  0 2 2 2 a) có 3 nghiệm là 2 . b) Ta có z1  z2  B; z1.z2 3i nên 2 z12  z22 8 Û  z1  z2   2 z1 z2 8 Û B 2  6i 8. . . 2. Û B 2  3  i  Û B  3  i  z. 1 k z trong các trường hợp sau:. 9) Tìm nghiệm của phương trình a) k = 1; b) k = 2 ; c) k = 2i. 1 z  k Û z 2  kz  1 0 z  Hướng dẫn: có 2 nghiệm k  z1,2    2 D k 2  4  2 1 3 2 2 z1,2   i z1,2   i 2 2 2 2 a) k = 1 thì b) k = 2 thì. . . k 2i  z1,2  1  2 i c) 10) Giải phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng phức mỗi phương trình sau: TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. Page 53.

(54) GIẢI TÍCH 12 3 a) z  1 0 ;. HỌC KÌ 2 4 4 4 3 b) z  1 0 ; c) z  4 0 ; d) 8 z  8 z z  1.  Hướng dẫn: a) 1 3 1 3 z 3  1 0 Û  z  1  z 2  z  1 0 Û z  1, z   i, z   i 2 2 2 2 . 4 4 2 b) z  1 0 Û z 1 Û z 1 Û z 1, z i. c) d). z 4  4 0 Û z 4  4 Û z 2 2i Û z  1  i  , z  1  i .  z  1  8 z 3  1 0 Û  z  1  2 z  1  4 z 2  2 z  1 0 1 1 3 Û z  1, z  , z   i 2 4 4 2 11) a) Tìm các số thực b, c để phương trình z  bz  c 0 nhận z 1  i làm nghiệm. 3 2 b) Tìm các số thực a, b, c để phương trình z  az  bz  c 0 nhận z 1  i và z = 2 làm nghiệm.  Hướng dẫn: 2  1  i   b  1  i   c 0 Û b  c   2  b  i 0 Û b  c 0 vaø 2  b 0 Û b  2, c 2 a) b) Lần lượt thay z 1  i và z = 2 vào phương trình, ta được. b  c  2  (2  2a  b)i 0  8  4a  2b  c 0 Û. b  c 2  Û  2a  b  2  4a  2b  c  8 .  a  4  b 6 c  4 . 5. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC(tham khảo). I> Số phức dưới dạng lượng giác: 1) Acgumen của số phức z  0:. TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. Page 54.

(55) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2.  Cho số phức z = a + b i  0 được biểu diễn bởi   điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Số đo (rađian) của góc  (Ox, OM ) được gọi là một acgumen của z.  Mọi acgumen của z sai khác nhau là k2 tức là có dạng  + k2 (k  ) (z và nz sai khác nhau k2 với n là một số thực khác 0).  VD: Biết z  0 có một acgumen là  . Hãy tìm một acgumen của 1 z ; –z ; z . mỗi số phức sau: –z;    z biểu diễn bởi OM thì –z biểu diễn bởi – OM nên có acgumen là  + (2k + 1)  z biểu diễn bởi M¢ đối xứng M qua Ox nên có acgumen là –  + k2  OM ' nên có acgumen là –  + (2k + 1)  – z biểu diễn bởi – 1 1 z 1  z 2 | z | , vì | z |2 là một số thực nên z  1 có cùng  z = acgumen với z là –  + k2. 2) Dạng lượng giác của số phức z = a + b i : Dạng lượng giác của số phức z  0 là z = r (cos  + i sin  ) với  là một acgumen của z. z = a + bi Û z = r  cosφ + isinφ  Với r = a 2 + b 2 ; cosφ =. a b ; sinφ = r r.  VD:  Số –1 có môđun là 1 và một acgumen bằng  nên có dạng lượng giác là z = cos + i sin  Số 1 + 3 i có môđun bằng 2 và một acgumen bằng  thoả cos 1 3   = 2 và sin  = 2 . Lấy  = 3 thì. TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. Page 55.

(56) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2.   1 + 3 i = 2(cos 3 + i sin 3 )  Số 0 có môđun là 0 và một acgumen tuỳ ý nên có dạng lượng giác 0 = 0(cos  + i sin  )  Chú ý:  Số – cos  – i sin  có dạng lượng giác là cos(  + ) + i sin(  + )  Số cos  – i sin  có dạng lượng giác là cos(–  ) + i sin(–  )  Số – cos  + i sin  có dạng lượng giác là cos( –  ) + i sin( – ) II> Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác: Cho z = r (cos  + i sin  ) và z¢ = r ¢(cos  ’ + i sin  ’) với r , r ¢ 0 z.z' = r.r'[cos(φ + φ')+ isin(φ + φ')] và z r = [cos(φ - φ')+ isin(φ - φ')] z' r' ( r ¢ 0) 1  Ta có z ' và z có cùng acgumen là –  ’ + k2 nên 1 1  [cos(  ')  i sin(   ')] z' r' .. z r  [cos( -  ')  i sin( -  ')] Do đó z ' r ' ( r ’ 0) 3 3  5  . 5 z1 2  cos  i sin z2  2  sin  i cos  4 4  và 12 12    VD: z1 z1.z2 và z2. TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. Page 56.    . Tính.

(57) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2.     z2  2  cos  i sin  12 12  ; z1.z2 =  Với  5 5  3 1   2 2  cos  i sin  i   6  2.i  2 2   6 6    2 2   1 2  2 2  3  2 6 z1  i sin i    i  cos   2    3 3  2 2  2 2 2 z  2 và = III> Công thức Moa–vrơ (Moivre) và ứng dụng: 1) Công thức Moa–vrơ: Cho số phức z = r (cos  + i sin  ) n * r(cosφ + isinφ) = r n (cosnφ + isinnφ)   (n  ) 2) Căn bậc hai số phức dạng lượng giác:`  Mọi số phức z = r (cos  + i sin  ) ( r > 0) có 2 căn bậc hai là φ φ    r  cos + isin  2 2  và .     φ  2  r  cos  i sin    2  r  cos  +π 2 2  2   VD: Đổi sang dạng lượng giác rồi tính: w = 1 + 3.i. 1 i.  + isin . và căn bậc hai của.  Ta có 1 + i = 100 1 i = Do đó.      50  2  cos 4  i sin 4   2  cos 25  i sin 25        2  cos  i sin  3 3  có 2 căn bậc hai là  w = 1 + 3.i =    7 7    2  cos  i sin  2  cos  i sin  6 6  và 6 6 .   TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. Page 57.   . 100. 1     1  2  i   2  cos  i sin  4 4. 2    2 100. φ  +π 2.

(58) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2. 1 i 1) Dùng công thức khai triển nhị thức Niutơn Moavrơ để tính. ð190  ð192  ð194  ...  ð1916  ð1918. 19. và công thức. ..    1  i  2  cos  i sin  4 4   Hướng dẫn: Ta có. 1 i. n 19. 19.   ðnk i k ð190 i 0  ð191 i1  ð192 i 2  ...  ð1918i18  ð1919i19 k 0. 0 19. 2 19. 4 19. 16 19. với. 18 19. phần thực là ð  ð  ð  ...  ð  ð 19 19  19 19  2 2 19 9 9  i sin i  1  i   2  cos   2  2 i   2   4 4  2    2 9 có phần thực  2  512 0 2 4 16 18 Vậy ð19  ð19  ð19  ...  ð19  ð19 = –512..  i     1 i . 2004. 2) Tính:  Hướng dẫn:  i     1 i . 2004.  5  3 3i  ;    1  2 3i .  1 i     2 . 21. 2004. 2004.  2      cos  i sin   4 4   2  1 1  1002  cos   i sin    1002 2 2 21 21 21  5  3 3i    2 2    i sin     1  3i  2  cos  3 3   1  2 3 i     221  cos14  i sin14  221 1 w  1  3i n 2 3) Cho số phức . Tìm các số nguyên dương n để w m là số thực. Hỏi có số nguyên dương m để w là số ảo?  Hướng dẫn: 1 4 4 4n 4n w  1  3i cos  i sin  wn cos  i sin 2 3 3 3 3. . . . . . . TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. Page 58.

(59) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2. W là số thực khi dương của 3.. sin. 4n 0 3 , điều này xảy ra khi n là bội nguyên. m Không có m nào để w là số ảo.. 6.CÁC DẠNG BAI TẬP CƠ BẢN. 1. Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau: 1+i 2 ( 10 1 + 1 −i ) + ( 2+3 i ) ( 2 −3 i )+ 1−i i. ( ). 2. Tìm nghiệm phức của mỗi phương trình sau: 2+i −1+3 i z= ; 1 −i 2+i c. z 2+ ¿ z ∨¿ 0 ;. a.. (. b. ( ( 2 −i ) z +3+i ) . iz+. 1 =0 ; 2i. ). 2. 2. d. z +| z| =0 ;. 3.Tính : a) 1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+…….+(1+i)20 b). 1+i+i2+i3++……+i2011 4. Xác đỉnh tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn điều kiện sau: a. ¿ z+ z+3∨¿ 4 ; b. ¿ z − z +1 −i∨¿ 2 ; c. ( 2− z )( i+ z ) là số ảo tùy ý; d. 2∨z −i∨¿∨z − z+2 i∨; −. −. 5. Các vectơ u ,u ' trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z’. a. Chứng minh rằng tích vô hướng b. Chứng minh rằng. −. −. u ,u '. − − 1 u .u ' = ( z . z ' + z . z ' ) ; 2. vuông góc khi và chỉ khi. ¿ z+ z '∨¿∨z − z '∨.. 6. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn. | z −iz |=k , (k là số thực dương cho. trước). TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. Page 59.

(60) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2. 7. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời. | zz−1−i |=1. và. | zz−3+i i|=1 . z +i 4 =1 z −i. ( ). 8. Tìm số phức z thỏa mãn. 1  i tan  9. Tìm phần thực ;phần ảo ;mô đun số phức: 1  i tan . 10. Giải các phương trình sau trên C : 1 z2 a. z − z + + z +1=0 bằng cách đặt ẩn số phụ w=z − z 2 2 2 2 2 b. ( z + 3 z +6 ) + 2 z ( z +3 z +6 ) − 3 z =0 c. (z2+1)2+(z+3)2=0a. ( z − i) ( z 2 +1 ) ( z3 +i ) =0 2 d. ( z 2+ z ) + 4 ( z 2 + z ) − 12=0 . 11. Giải hệ phương trình hai ẩn phức z 1 , z 2 sau : ¿ ¿ z1 + z 2=4+i z 1 z 2=− 5− 5i a/ z 21+ z 22=5 − 2i b/ z 21+ z 22=− 5+2 i ¿{ ¿{ ¿ ¿ 4. 3. ;. 12. Tìm một acgumen của mỗi số phức a.-1-i 3 ; c.. −sin. π. π. b. cos 4 −i sin 4. ;. π π −i cos ; 8 8. d.. 1− sin ϕ+i cos ϕ. (0< ϕ< π2 ) ; 13. Cho PT : z2+ kz+1=0 (-2<k<2) .Chứng minh rằng các điểm biểu diễn nghiệm PT đã cho thuộc đường tròn đơn vị 14. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z  2z  1  i  z  3 phức z thỏa mãn điều kiện sau :. 15. Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau: TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. Page 60.

(61) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2. 7 π π −i sin i 5 ( 1+ √3 i ) ; a. 3 3 1 z 2000 + 2000 biết rằng z+ 1 =1 . z z. (. ). cos. b.. ( 1+i )10. ( √ 3+i ). ;. 9. c.. 18. CMR:3(1+i)2011= 4i(1+i)2009- 4(1+i)2007 19. Hỏi với số nguyên dương n nào, số phức. (. 3− √ 3i √ 3 − 3i. n. ). là số. thực, là số ảo? 1 3  i 20.Viết dạng lượng giác số z= 2 2 .. Suy ra căn bậc hai số phức z. BÀI TẬP TỰ RÈN BÀI 1. Tìm các số thực x, y sao cho: a) 3x + yi = 2y + 1 + (2 – x)i; b) 2x + y –1 = (x + 2y – 5)i.  Hướng dẫn: a) x = 1, y = 1 b) x = –1, y = 3 BÀI 2. Chứng tỏ rằng với mọi số phức z, ta luôn có phần thực và phần ảo không vượt quá môđun của nó.  Hướng dẫn: z = a + bi  |z| =. a 2  b 2 . Ta có |z| . a 2 = a và |. 2. z|  b = b BÀI 3. Giải phương trình sau trên tập phức: a) (3 + 4i)z + (1 –3i) = 2 + 5i; b) (4 + 7i)z – (5 – 2i) = 6iz.  Hướng dẫn: 7 4 18 13  i  i a) 5 5 b) 7 7 BÀI 4. Giải phương trình sau trên tập phức: 2 4 4 a) 3 z  7 z  8 0 b) z  8 0 c) z  1 0  Hướng dẫn:. TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. Page 61.

(62) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2.  7 i 47 4 4 6 a) b)  8 , i 8 c) 1, i BÀI 5. Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3, tích của chúng bằng 4.  Hướng dẫn: z1  z2 3, z1 z2 4  z1 , z2 là nghiệm phương trình 3 i 7 z1,2  2 2 ( 7 i ) z  3z  4 0 với D = 2  BÀI 6. Cho hai số phức z1 , z2 . Biết rằng z1  z2 , z1 z2 là hai số thực. Chứng tỏ z1 , z2 là hai nghiệm một phương trình bậc hai với hệ số thực.  Hướng dẫn: Đặt z1  z2 a, z1 z2 b với a, b  R. Khi z1 , z2 là hai nghiệm 2 phương trình ( z  z1 )( z  z2 ) 0 hay z  ( z1  z2 ) z  z1 z2 0 Û z 2  az  b 0 z  w 1 BÀI 7. Chứng minh rằng nếu thì số zw  1  zw 0  1  zw là số thực. 2.  Hướng dẫn: Ta có. z.z  z 1. 1 1   zw  zw z w z w z w        1  zw  1  zw 1  zw 1  1 1  zw zw nên zw  1  zw 0  1  zw là số thực. BÀI 8. Giải phương trình: 2 iz  3  iz  3  2 3  4 0   z  3  i   6  z  3  i   13 0  z  2 i z  2 i   a) b). z c). 2. 2. 2.  1   z  3 0. TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. Page 62.

(63) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2.  Hướng dẫn:.  z 3  i a) b). 2.  z  3  i 3  2i  6  z  3  i   13 0 Û  Û  z  3  i 3  2i.  z  i  z 3i .  iz  3  z  2i  1 iz  3  iz  3   4 0 Û    3 z  2i  z  2i   iz  3 4  z  2i 1 5  z   i   (1  i ) z  3  2i 2 2 Û Û  (4  i) z 3  8i  z  4  35 i  17 17 c) 2. z. 2. 2.  1    z  3 i  0 Û  z 2  1  ( z  3)i   z 2  1  ( z  3)i  0 2 Phương trình z  iz  1  3i 0 có nghiệm z1 1  2i; z2  1  i 2. 2 Phương trình z  iz 1  3i 0 có nghiệm z3 1  2i; z4  1  i 2 Bài 9. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = ( x  yi )  2( x  yi )  5 .. Với giá trị nào của x, y thì số phức trên là số thực. 2 2  Hướng dẫn: Phần thực là x  y  2 x  5 , phần ảo là 2( xy  y ) . Số phức trên là số thực khi y = 0 hoặc x = 1. Bài 10. Thực hiện các phép tính: 3 3 2010 2009 a) (1  2i )  (1  2i ) ; b) (1  i )  (1  i) 2  i 2 1 i 2  c) 1  i 2 2  i 2 Bài 11. Tìm z, biết:. TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. Page 63.

(64) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2. a) (1  5i ) z 10  2i 1  5i ; z i  1  i 3  i c) 1  i. b) (3  2i ) z 1  i  4 z 2  3i z  1  3i 2 z  1 d) 1  i ; 2 i  1  3i z 2i e) ( 2  i 3) z  i 2  3  2i 2 ; f) 1  i z  2i 1 i z  2  i 2 z  3i    z  1  1  i   2  2i  1 i 1 i 1 i g) h) 2iz  2i  1  i  z  5  5i  1 i i)  Hướng dẫn: 1 3 1 z  i z   i 5 5 ; c) z 2  3i ; d) 5 ; a) z 1  2i ; b) 2 4   i e) i ; f) 5 5 g) z 3  i h) z 3i i) z 2  3i 2 Bài 12. Biết z1 và z2 là hai nghiệm của phương trình z  3 z  3 0 . Hãy tính: z1 z2  2 2 2 2 3 3 z  z2 a) z1  z2 ; b) z1  z2 ; c) z2 z1 ; d) 1  Hướng dẫn: z1 z2  2 2 3 3 z1  z2 z1  z2 6 3 z z1 = –1; 2 a) = –3; b) = ; c) 2. z1  z2. 2. d) = 6. Bài 13. Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3 và tích của chúng bằng 4. 3 7 z1   i 2 2 và  Hướng dẫn: Hai số phức cần tìm là 3 7 z2   i 2 2 Bài 14. Giải các phương trình sau trên tập số phức: TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. Page 64.

(65) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2. 2 z 2   2  i  z  2i 0 a) z  8(1  i ) z  12  16i 0 ; b) ; 2 2 iz  2  1  i  z  4 0 z   5  i  z  8  i 0 c) ; d)  Hướng dẫn: a) z 2i, z  8  6i ; b) z1 2; z2  i ; c) z1  2; z2  2i ; d) z1 2  i; z2 3  2i. Bài 15. Giải các phương trình sau trên tập số phức: 4 2 4 2 a) x  6 x  25 0 ; b) x  16 x  100 0 ; 4 2 4 2 b) c) x  3 x  3  3i 0 d) x  3(1  2i ) x  8  6i 0 4 c) e) x  7  24i 0 ;.  Hướng dẫn: x  1  2i  , x  1  2i  a) ; x  2  i  , x  1  i  c) x  2  i  , x  1  2i  e) ;. 4 f) x  28  96i 0. b). x  3  i  , x  3  i . ;. d). x  2  i  , x  1  i . ;. f). x  3  i  , x  1  3i . Bài 16. Tìm z biết: 1 10  2 z  2  i  z  1  2i 10 a) z  z ; b) z  2 z 2  4i c) và z 2 2 2  Hướng dẫn: Gọi z = x + y i  z = x – y i và z x  y  2 xyi .  x 2  y 2  x (1)  2 2 xy  y (2) z  z a) Û (2) có nghiệm y = 0 thay vào (1)  x = 0 hoặc x = 1 1 3  2 Nếu y  0  (2) có nhiệm x = – 2 thay vào (1)  y =. TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. Page 65.

(66) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2. Vậy nghiệm của hệ là các cặp số  1 3  1 3 (0;0), (1;0),   ;  ,   ;   2   2 2   2 Vậy phương trình có các nghiệm: 1 3 1 3   i   i z = 0; z = 1; z = 2 2 ; z = 2 2 2 z   4i 3 b) c) z 1  3i; z  1  3i Bài 17. Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa: z  3i 1 z  i 2 z  z  1 i z  3 i a) ; b) ; c) ; d) (2  3i ) z  2i  m 0 (m là tham số)  Hướng dẫn: a) z  i 2 Û x  ( y  1)i 2. Û x 2  ( y  1) 2 2 Û x 2  ( y  1) 2 4 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(0; 1), bán kính R = 2. z  3i x  ( y  3)i 1 Û 1 Û z  3i x  ( y  3)i. x 2  ( y  3) 2 x 2  ( y  3) 2. 1 Û y 0. b) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là trục Ox. c) z  z  1  i Û x  yi  ( x  1)  ( y  1)i. Û x 2  y 2  ( x  1) 2  ( y  1) 2 Û x  y  1 0 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d: x + y – 1 = 0. d). TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. Page 66.

(67) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2. (2  3i ) z  2i  m 0 Û z . m  2i 2m  6 3m  4 Û z  i 2  3i 13 13. 2m  6  x   13    3 x  2 y  2 0 3 m  4  y   13 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d: 3x + 2y + 2 = 0..  Bài 18. Dùng công thức Moa-vrơ để tính (1  i ) ,. 3 i. 5.  Hướng dẫn:.  4 1 i. 6. .. ..  Bài 19. Tìm phần thực và phần ảo của số phức Hướng dẫn:. . 3 i. . 8. ..  3 1     3  i 2   i  2  cos  i sin  6 6   2 2  .. 2 Bài 20. Cho z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình 2 z  4 z  11 0 . 2. A. Tính giá trị của biểu thức. z1  z2. 2 2.  z1  z2  .. ĐS: A=11/4. z  2  i 2 Bài 21. Tìm số phức z thoả mãn: . Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị. z 2  2  1  2 i, z 2  2  1  2 i ĐS: .  z 1  z  i 1  1    z  3i 1  2   Bài 22. Tìm số phức z thỏa mãn:  z  i . HD: Gọi z=x+yi; (1)x=y, (2)y=1. ĐS: z=1+i.. . . 4.  z i    1 Bài 23. Giải phương trình:  z  i  . TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. ĐS: z{0;1;1} Page 67. . .

(68) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2. z 2  z 0 Bài 24. . Giải phương trình: . HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình  x, y  z.. ĐS: z{0;i;i}. 2 1. Giải phương trình: z  z 0 . HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình  x, y  z. ĐS: z=0, z=1, 1 3 z  i 2 2 z2 z 4  z3   z  1 0 2 Bài 25. Giải phương trình: . 1 1 z   i 2 2 2 . HD: Chia hai vế phương trình cho z . ĐS: z=1±i, 5 4 3 2 Bài 26. . Giải phương trình: z + z + z + z + z + 1 =0. 1 3 1 3 z  1, z   i , z   i 2 2 2 2 . HD: Đặt thừa số chung ĐS: 2 2 Bài 27. . Cho phương trình: (z + i)(z 2mz+m 2m)=0. Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho phương trình: a. Chỉ có đúng 1 nghiệm phức. b. Chỉ có đúng 1 nghiệm thực. c. Có ba nghiệm phức. Bài 28. . Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận  làm nghiệm biết: a.  = 25i b.  = 2i 3 c.  = 3 - i 2 Bài 29. Giải phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo: a. z3iz22iz2 = 0. b. z3+(i3)z2+(44i)z7+4i = 0. Bài 30. Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức: x2 y  2 z  i  z  z  2i 4 . . ĐS: 3 z  2  3i  2 . Tìm số phức z có Bài 31. Trong các số phức thỏa mãn môđun nhỏ nhất. 3 9 z  2  3i   x  2  2   y  3 2  2… 4. HD: *Gọi z=x+yi.  Vẽ hình |z|min z. TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. Page 68.

(69) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2. 26  3 13 78  9 13  i 13 26 ĐS: . Bài 32. Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: 1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+ … + (1+i)20. HD: Áp dụng công thức tính tổng của CSN. ĐS: phần thực 210, phần ảo: 210+1. z. CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG. Bài 1. (Đề thi Cao đẳng năm 2009 – Khối A, B, D) a) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Cho số phức z thoả mãn (1  i) 2 (2  i ) z 8  i  (1  2i) z . Tìm phần thực và phần ảo của z. b) Chương trình Nâng cao (1 điểm) Giải phương trình 4 z  3  7i  z  2i z i trên tập  .  Hướng dẫn: 2 a) (1  i) (2  i) z 8  i  (1  2i) z Û  (1  i )2 (2  i )  (1  2i )  z 8  i  2i(2  i)  1  2i  z 8  i Û Û 8i (8  i )(1  2i) 10  15i z z z 2  3i 1  2i Û 1 4 5 Û . Phần thực là 2, phần ảo –3 4 z  3  7i  z  2i 2 z i b) Û z  (4  3i ) z  1  7i 0 2 2 Ta có D = (4  3i)  4(1  7i ) 3  4i (2  i) . Phương trình có 2 nghiệm: 4  3i  2  i 4  3i  2  i z1  3  i z2  1  2i 2 2 và Bài 2. (Đề thi Đại học năm 2009 – Khối D) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả điều kiện | z  (3  4i ) |2 ..  Hướng dẫn: TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. Page 69.

(70) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2. Đặt z = x + y i (x, y  )  z  (3  4i )  x  yi  3  4i ( x  3)  ( y  4)i Ta có | z  (3  4i ) |2 Û ( x  3)2  ( y  4)2 = 4. ( x  3)2  ( y  4) 2. =2Û. Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(3; –4), bán kính R = 2 Bài 3. (Đề thi Đại học năm 2009 – Khối B) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm số phức z thoả: | z  (2  i) | 10 và z.z = 25.  Hướng dẫn: Đặt z = x + y i (x, y  )  z  (2  i) x  yi  2  i ( x  2)  ( y  1)i 2 2 Ta có | z  (2  i ) | 10 Û ( x  2)  ( y  1) 10 Û x 2  y 2  4 x  2 y  5 0 (1) 2 2 Ta có z.z = 25 Û (x + y i )( x – y i ) = 25 Û x  y 25 (2) 2 2   y 10  2 x  x  y  4 x  2 y  5 0  2  2 x  y 2 25 x  y 2 25   Từ (1) và (2), ta có Û Û y  10  2 x   x 3  x 5  2    x  8 x  15 0 Û  y 4 hoặc  y 0 . Vậy z = 3 + 4 i hoặc z = 5 + 0i . Bài 4. (Đề thi Đại học năm 2009 – Khối A) Chương trình Chuẩn (1 điểm) 2 Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z  2 z  10 0 . 2. 2. A  z1  z2 Tính giá trị của biểu thức .  Hướng dẫn: 2 z 2  2 z  10 0 có D¢ = 1 – 10 = –9 = (3i ) . Nghiệm là z1  1  3i , z2  1  3i. z  1  9  10 z  1  9  10 Ta có: 1 và 2 nên 2 2 A  z1  z2 20 TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. Page 70.

(71) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2. Bài 5. (Đề thi Cao đẳng năm 2010 – Khối A, B, D) a) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm phần thực, ảo của số phức z 2 2  3i  z   4  i  z   1  3i   thỏa: b) Chương trình Nâng Cao (1 điểm) Giải phương trình z 2   1  i  z  6  3i 0  Hướng dẫn:.  2  3i  z   4  i  z   1  3i  a) Gọi z = a + bi, ta có:.  2  3i  (a  bi)   4  i  (a  bi )   1  3i . 2. 2. Û Û 6a  4b  (2a  2b)i 8  6i. 6a  4b 8  a  2 Û Û  2a  2b 6 b 5 Vậy phần thực a = –2, phần ảo b = 5. z 2   1  i  z  6  3i 0 b) có D = 2 (1  i )  4(6  3i )  24  10i (1  5i )2 1  i  1  5i z1  1  2i 2 Do đó phương trình có 2 nghiệm: ; 1  i  1  5i z2  3i 2 Bài 6. (Đề thi Đại học năm 2010 – Khối D) Chương trình Chuẩn (1 điểm) 2 z  2 Tìm số phức z thỏa: và z là số thuần ảo  Hướng dẫn:  z  a 2  b 2  2 z a 2  b 2  2abi Gọi z = a + bi   . Theo đề ta có: 2 2 2 2  a  b  2 a 2 1 a 1  a  1  a  b 2 Û Û Û hoặ c  2     2 2 2 2 2 2 2  a  b 0 a  b 0 b 1 b 1 a  b 0. a 1 a 1  a  1  a  1 Û hoặc  hoặc  hoặc  b 1 b  1 b 1 b  1 Vậy z = 1 + i hoặc z = 1 – i hoặc z = –1 + i hoặc z = –1 – i. TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. Page 71.

(72) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2. Bài 7. (Đề thi Đại học năm 2010 – Khối B) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa z  1  (1  i ) z  Hướng dẫn: Gọi z = x + yi, ta có. x  ( y  1)i  (1  i )( x  yi ) Û. x 2  ( y  1) 2  ( x  y ) 2  ( x  y ) 2. 2 2 2 2 Û x  y  2 y  1 0 Û x  ( y  1) 2 . Tập hợp là đường tròn tâm I(0; –1), bán kính R = 2 .. Bài 8. (Đề thi Đại học năm 2010 – Khối A) a) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm phần ảo của số phức z thỏa: z ( 2  i) 2 (1  2i ) b) Chương trình Nâng Cao (1 điểm) Cho số phức z thỏa: (1  3i)3 z 1  i . Tìm môđun của số phức z  iz  Hướng dẫn: 2 a) Gọi z = a + bi, ta có: z ( 2  i ) (1  2i) . . . . a  bi  1  2 2i 1 . 2i Û a  bi 5  2i. ..  a 5,  b  2 . Vậy phần phần ảo b = – 2 . b) Gọi z = a + bi, ta có: (1  3i )3 1  3 3i  9  3 3i  8  8(1  i) z     4  4i 1 i 1 i 1 i 1 1  z = –4 + 4i và iz = –4 – 4i  z  iz = –8 – 8i. Do đó :. z  iz .   8. 2. 2.    8  8 2. . Bài 9. (Đề thi Cao đẳng năm 2012) 2 i Câu 7.a (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn (1 – 2i)z – 1  i = (3 – i)z. Tìm tọa độ điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng tọa độ Oxy.. TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. Page 72.

(73) GIẢI TÍCH 12. HỌC KÌ 2. Câu 7.b (1,0 điểm) Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z  z2 z2–2z + 1 + 2i = 0. Tính 1 . Bài 10. (Đề thi Đại học khối A năm 2012) 5( z  i ) 2  i Câu 9.b (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa z  1 . Tính môđun của số phức w = 1 + z + z2. Bài 11. (Đề thi Đại học khối B năm 2012) 2(1  2i ) (2  i ) z  7  8i 1 i Câu 9.a Cho số phức z thỏa mãn . Tìm mô đun của số phức w = z + 1 + i 2 Câu 9.b Giải phương trình trên tập các số phức: z  3(1  i ) z  5i 0 trên tập các số phức 2. z z Bài 12. A2011 Tìm tất cả các số phức z, biết z2 = . Bài 13. D2011 Tìm số phức z, biết : z  (2  3i) z 1  9i Bài 14. A2011 Tính môđun của số phức z, biết: (2z – 1)(1 + i) + ( z +1)(1 – i) = 2 – 2i. Bài 15. 5i 3 z  1 0 z a) B2011 Tìm số phức z, biết: . 3.  1 i 3  z   1  i   b) B2011 Tìm phần thực và phần ảo của số phức . Bài 16. a) CĐ2011 Cho số phức z thoả mãn (1+2i)2z + z = 4i - 20. Tính môđun của z. z2 - 2 ( 1 + i) z + 2i = 0 b) CĐ2011 Cho số phức z thoả mãn . Tìm 1 phần thực và phần ảo của z . o0o TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. Page 73.

(74) GIẢI TÍCH 12. TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. HỌC KÌ 2. Page 74.

(75)

bai tap toan giai tich 12 hk2

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về