Tai lieu on thi HSG lop 11 so 3

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PhÇn 3 C©y - C¢y khung ng¾n nhÊt I / §Þnh nghÜa : Cây là đồ thị hữu hạn , vô hớng , liên thông , không có chu trình , có ít nhất 2 đỉnh . II / TÝnh chÊt : 1 - §Þnh lý 1 : Nếu H là cây có N đỉnh thì H có các tính chất sau đây : a) Thêm vào H một cạnh nối 2 đỉnh bất kỳ không kề nhau , H sẽ xuất hiện chu trình . b) Bít ®i 1 c¹nh trong H th× H kh«ng liªn th«ng c) Giữa 2 đỉnh bất kỳ của H luôn tồn tại 1 đờng đi duy nhất ( vậy H là đồ thị đơn) d) H cã N-1 c¹nh 2 - §Þnh lý 2 : Nêú đồ thị G liên thông có N đỉnh và N-1 cạnh thì G là cây . Vậy cây là đồ thị liên thông có chu số bằng 0 ( suy từ công thức Ơle ) 3 - Ghi chó : Từ 1 đồ thị có thể hình thành nhiều cây khác nhau ( gọi là các cây khung của đồ thị ) . Trong số các cây khung của đồ thị , có 1 cây đợc tạo ra một cách đơn giản nh sau : nối 1 đỉnh với n-1 đỉnh còn lại ! Số cây khung của 1 đồ thị đầy đủ là N n-2 ( N số đỉnh ) Số cây khung của một đồ thị có hữu hạn đỉnh là một số hữu hạn ,nên luôn tìm đợc ít nhất 1 cây khung có tổng độ dài nhỏ nhất ( nguyên lý biên ). Ta gọi cây khung này là cây khung ng¾n nhÊt . Bµi to¸n t×m c©y khung ng¾n nhÊt lµ mét bµi to¸n gÆp trong thùc tÕ : ThÝ dô : X©y dùng m¹ng d©y ®iÖn tho¹i nèi N thµnh phè sao cho 2 thµnh phè bÊt kú liªn lạc đợc với nhau và tổng đờng dây điện ngắn nhất .Đó là bài toán tìm cây khung ngắn nhÊt . Ngîc l¹i : X©y dùng m¹ng d©y ®iÖn tho¹i nèi N thµnh phè sao cho 2 thµnh phè bÊt kỳ liên lạc đợc với nhau và tổng độ tin cậy trên các đờng dây điện là lớn nhất .Đó là bài to¸n t×m c©y khung dµi nhÊt . III / ThuËt to¸n Prim t×m c©y khung nhá nhÊt : Bớc 1 : Khởi trị - Lấy 1 đỉnh i tuỳ ý đa vào tập đỉnh của cây . Khi đó tập đỉnh của cây là Đ = {i }. TËp c¹nh cña c©y lµ C =  ( TËp rçng ) Bớc 2 : Gán nhãn - Với mỗi đỉnh k không thuộc Đ , ta gán cho nó nhãn k(i ,d ) trong đó i là tên đỉnh thuộc Đ ,kề với k , gần k nhất , còn d là khoảng cách giữa i và k . Nếu trong Đ không tìm đợc đỉnh i kề với k thì gán cho k nhãn k( 0 , ) . Bớc 3 : Kết nap - Chọn đỉnh k không thuộc tập Đ , có nhãn d nhỏ nhất , kết nạp k vào § .VËy § = § + { k } . Nh·n cña k lµ k( i ,d ) th× kÕt n¹p c¹nh ( i , k ) vµo tËp c¹nh C . Vậy C = C + { cạnh ( i , k ) } . Gọi đỉnh k vừa kết nạp là i0 . Nếu số đỉnh của Đ bằng N thì kết thúc , còn không chuyển sang bớc 4 Bớc 4 : Sửa nhãn - Với mọi đỉnh k cha thuộc Đ có nhãn là k( i, d ) mà k kề với i 0 - là đỉnh vừa đợc kết nạp vào tập đỉnh ở bớc 3 - ta sửa lại nhãn của k theo nguyên tắc sau : Gọi độ dµi cung (i0 ,k ) lµ e Nếu d > e thì đỉnh k có nhãn mới là k( i 0 , e ).

<span class='text_page_counter'>(2)</span> i0 (i0,10). i e=15. i0. Nh·n míi k (i0,15). k (i,23). +) i0 : võa kÕt n¹p vµo § , k : kh«ng thuéc § ThÝ dô : File d÷ liÖu vµo : PRIM.INT 1 4 6 0 16 3 12 0 0 16 0 12 0 7 0 3 12 0 13 16 10 12 0 13 0 0 3 5 6 0 27 16 0 0 16 0 0 10 5 16 0. 12 16. 3. 13. 12. 5 10. 16 7. File d÷ liÖu ra : PRIM.OUT ( 1, 3)= 3 ( 3, 56)= 10 ( 6, 4)= 5 ( 3, 2)= 12 ( 2, 5)= 7 Tong gia tri cay khung ngan nhat la 37. Uses Crt; Const Fi = 'prim.txt'; Fo = 'prim.out'; Max = 200; Var A : Array[1..Max,1..Max] of Byte; D : Array[1..Max] of Boolean; C : Array[0..Max] of record x1,x2 : Byte; end; Nh : Array[1..Max] of record truoc,giatri : Byte; end; N,dd,socanh : Byte; {canh : Integer;} {--------------------------------} Procedure DocF; Var f : Text; i,j : Byte; Begin Assign(f,fi); Reset(f); Readln(f,n); For i:=1 to n do Begin. 16.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> For j:=1 to n do read(f,a[i,j]); Readln(f); End; Close(f); End; {--------------------------------} Procedure Napdinh1; Begin Fillchar(d,sizeof(d),False); d[1] := True; dd := 1; End; {--------------------------------} Function Min(xj : Byte): Byte; Var xi,p,i : Byte; Begin xi := 0; p := 255; For i:=1 to N do If d[i] then If (p>a[i,xj]) and (a[i,xj]>0) then Begin xi := i; p := a[i,xj]; End; Min := xi; End; {--------------------------------} Procedure Gannhan; Var xi,xj : Byte; Begin For xj:=1 to N do If not d[xj] then Begin xi := Min(xj); If (xi>0) and (A[xi,xj]>0) then Begin nh[xj].truoc := xi; nh[xj].giatri:= A[xi,xj]; End Else If xi=0 then Begin nh[xj].truoc := 0; nh[xj].giatri:= 255; End; End; End; {--------------------------------} Procedure Ketnapthem; Var p,j,xj : Byte; Begin p := 255; For j:=1 to n do If not d[j] then Begin If (nh[j].giatri<p) then Begin xj := j; p := nh[j].giatri; End;.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> End; d[xj] := True; Inc(socanh); c[socanh].x1 := nh[xj].truoc; c[socanh].x2 := xj; dd := xj; End; {--------------------------------} Procedure Suanhan; Var xj : Byte; Begin For xj:=1 to N do If (not D[xj]) and (A[xj,dd]>0) then Begin If Nh[xj].giatri>A[xj,dd] then Begin Nh[xj].truoc := dd; Nh[xj].giatri:= A[xj,dd]; End; End; End; {--------------------------------} Procedure Hiencanh; Var i,p : Byte;f : Text; Begin Assign(f,fo); Rewrite(f);p:=0; For i:=1 to n-1 do Begin p := A[c[i].x1,c[i].x2]+p; Write(f,'(',c[i].x1:2,',',c[i].x2:2,')=',A[c[i].x1,c[i].x2]:3,' ':3); End; Writeln(f); Writeln(f,'Tong gia tri cay khung ngan nhat la ',p); Close(f); End; {--------------------------------} Procedure TT_Prim; Var Ok : Boolean; Begin SoCanh := 0; Fillchar(nh,sizeof(nh),0); Napdinh1; Gannhan; Ok := False; Repeat Ketnapthem; If Socanh=N-1 then Ok:= True Else Suanhan; Until Ok; Hiencanh; End; {--------------------------------} BEGIN Clrscr; DocF; TT_Prim END..

<span class='text_page_counter'>(5)</span> PhÇn 4 Tìm đờng đi ngắn nhất.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>