TÀI LIỆU ÔN THI VÀO LỚP 10 (PHẦN ĐẠI SỐ)

Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 thpt
PhÇn i
®¹i sè
Chuyên đề 1:
Căn thức, rút gọn biểu thức, chứng minh biểu thức
A.KI ế N THC C BN
1.Khỏi nim
x l cn bc hai ca s khụng õm a

x
2
= a. Kớ hiu:
x a=
.
2.iu kin xỏc nh ca biu thc
A
Biu thc
A
xỏc nh


A 0
.
3.Hng ng thc cn bc hai
2
A khi A 0
A A
A khi A 0


= =

<

4.Cỏc phộp bin i cn thc
+)
( )
A.B A. B A 0; B 0=
+)
( )
A A
A 0; B 0
B
B
= >
+)
( )
2
A B A B B 0
=
+)
( )
A 1
A.B A.B 0; B 0
B B
=
+)
( )
( )
2
2

m. A B
m
B 0; A B
A B
A B
=


m
+)
( )
( )
n. A B
n
A 0; B 0; A B
A B
A B
=


m
+)
( )
2
A 2 B m 2 m.n n m n m n = + = =
vi
m n A
m.n B
+ =

=

B. Bài tập vận dụng
I. Mt s bài tập rèn luyện k nng c bn
Bi 1: Khai trin cỏc hng ng thc
1)
2
( 2 1)+
2)
2
( 2 1)
3)
( )
2
23
+
4)
2
( 3 2)
5)
2
( 3 2)+
6)
2
( 3 2)
7)
2
(2 2 2)+
8)

2
(2 2 2)
9)
2 2 1+
10)
2 2 1
11)
( )( )
1212
+
12)
2 2 8
Bi 2: Phõn tớch thnh cỏc ly tha bc hai
1)
8 2 15+
2)
10 2 21
3)
5 24+
4)
12 140
5)
14 6 5+
6)
8 28
7)
9 4 2+
8)
28 6 3+
Bi 3: Phõn tớch thnh nhõn t

1)
1 3 5 15+ + +
2)
10 14 15 21+ + +
3)
35 14 15 6+
4)
3 18 3 8+ + +
5)
2
36x 5
6) 25 - 3x
2
7) x - 4 (x > 0)
8) 11 + 9x (x < 0)
9) 31 + 7x (x < 0)
10)
x y y x+
Bi 4: Tớnh:
A 21 6 6 21 6 6= + +
Bài 5: Thu gn, tớnh giỏ tr cỏc biu thc:
( ) ( ) ( )
( )
2
A 3 3 2 3 3 3 1
3 2 3 2 2
B 2 3
3 2 1
C 3 2 2 6 4 2
D 2 3 2 3

= + +
+ +
= + +
+
= +
= + +
II. Một số bài tập tổng hợp
Bài 1: Cho biểu thức A =
42
2
42
2
+



+
b
b
b
b

a. Tìm điều kiện của x để A xác định
b. Rút gọn biểu thức A.
c. Tìm b để A = 2
Bài 2: Cho biu thc:
2
x 1 x 1 2 x 1
A :
x 1 x 1 x 1 x 1

x 1
+

= +
ữ ữ
+ +


a) Rỳt gn biu thc A
b) Tớnh giỏ tr ca biu thc A khi
x 3 8= +
c) Tỡm giỏ tr ca x khi A =
5
Bài 3: Cho biu thc:
a a 1 a a 1 a 2
A :
a 2
a a a a

+ +
=
ữ
ữ

+

a) Vi giỏ tr no ca a thỡ biu thc A xỏc nh
b) Rỳt gn biu thc A
c) Vi giỏ tr nguyờn no ca a thỡ A cú giỏ tr nguyờn?
Bi 4: Cho biu thc:

x 2x x
B
x 1 x x

=

a) Rỳt gn biu thc B
b) Tớnh giỏ tr ca B khi
x 3 8= +
c) Vi giỏ tr no ca x thỡ B > 0? B< 0? B = 0?
Bài 5. Cho biểu thức: C =
ab
ba
aab
b
bab
a
+


+
+
a) Rút gọn C
b) Tính giá trị của C khi a =
324
+
, b =
324

c) Chứng minh rằng nếu

5
1
+
+
=
b
a
b
a
thì C có giá trị không đổi
Bi 6. Cho biu thc:
2
x 1 10 5
A
x 3 x 2
x x 6
+
= +
+
+
a) Tỡm iu kin ca x A xỏc nh
b) Rỳt gn biu thc A
c) Tỡm giỏ tr ca x A > 0
Bi 7. Cho biu thc
1 1 x 2
C x 3 : x 1 :
x 1 x 1 x
+

= +

ữ ữ


a) Tỡm iu kin i vi x biu thc C xỏc nh
b) Rỳt gn biu thc C
c) Tớnh giỏ tr ca biu thc C khi
x 6 20= +
d) Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn ca x C cú giỏ tr nguyờn
Bi 8. Cho biu thc A =
1 1 1 1 1
:
1 x 1 x 1 x 1 x 1 x

+ +
ữ ữ
+ +

a) Rỳt gn biu thc A
b) Tớnh giỏ tr ca A khi x = 7 + 4
3
c) Vi giỏ tr no ca x thỡ A t giỏ tr nh nht
Bi 17: Cho biu thc
3
1 1 x x
B
x 1 x x 1 x x 1

= + +
+
a) Tỡm iu kin biu thc B xỏc nh

b) Rỳt gn biu thc B
c) Tỡm giỏ tr ca x khi B = 4
d) Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn dng ca x B cú giỏ tr nguyờn
Chuyên đề 2: Hàm số bậc nhất y=ax+b
A.KIN THC cơ bản
Cho hàm số y=ax+b (a

0)
- Hàm số đồng biến khi a>0; nghịch biến khi a<0
- Nếu toạ độ (x
0
;y
0
) của điểm A thoả mãn hàm số y=f(x) thì điểm A thuộc đồ
thị hàm số này.
- Ngợc lại, nếu điểm A(x
0
;y
0
) nằm trên đồ thị của hàm số y=f(x) thì toạ độ
(x
0
;y
0
) của A thoả mãn hàm số y=f(x).
- Cho hai đờng thẳng (d
1
): y=ax+b & (d
2
): y= a

1
.x+b
1
(a

0 ; a
1

0)
+ (d
1
) // (d
2
)

a=a
1
& b

b
1
+ (d
1
)

(d
2
)

a= a

1
& b= b
1
+ (d
1
) cắt (d
2
)

a

a
1

+ (d
1
)

(d
2
)

a.a
1
=-1
B. Bài tập vận dụng
Bi 1: Xỏc nh a v b ng thng y = ax + b i qua hai im A(1; 2)
v B(2; 1).
Bi 2 : Vit phng trỡnh ng thng cú h s gúc l 2 v i qua im
A(1; 5).

Bi 3: Vit PT ng thng i qua im B(1; 8) v song song vi ng
thng y = 4x + 3.
Bi 4: Vit phng trỡnh ng thng song song vi ng thng y = x + 5
v ct trc honh ti im cú honh bng 2.
Bi 5: Xỏc nh h s a, b ca hm s y = ax + b trong mi trng hp sau:
a) th hm s l mt ng thng cú h s gúc bng 3 v i qua
im A(1 ; 3)
b) th ca hm s i qua hai im B(2 ; 1) v C(1 ; 3)
c) th ca hm s i qua im A(1 ; 3) v song song vi ng
thng y = 3x 2.
Bài 6: Cho đờng thẳng (d): y=(m-2)x-m+4.
CMR (d) luôn đi qua điểm cố định với mọi m
Bài 7: Cho các đờng thẳng (d
1
): y=mx-2(m+2) (m

0) và
(d
2
): y= (2m-3)x +(m
2
-1) (m

3/2):
a) CMR: (d
1
) & (d
2
) không thể trùng nhau với mọi m.
b) Tìm m để (d

1
) // (d
2
); (d
1
) cắt (d
2
); (d
1
)

(d
2
)
Bài 8. Cho hai hàm số : y = (k + 1 )x + 3 và y = (3-2k)x +1
Với giá trị nào của k thì đồ thị của hai hàm số cắt nhau? Song song với nhau?
Hai đờng trên có thể trùng nhau đợc không ?
Bài 9.Cho 3 đờng thẳng : y=2x+1(d
1
) ; y=-x-2 (d
2
); y=-2x-m (d
3
)
a. Tìm toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng (d
1
) & (d
2
)
b. Xác định m để 3 đờng thẳng đã cho đồng quy

Chuyên đề 3:
Phơng trình và hệ phơng trình bậc nhất
Bất phơng trình
A.KIN THC cơ bản
1. Phơng trình bậc nhất : ax + b = 0.
Ph ơng pháp giải :
+ Nếu a 0 phơng trình có nghiệm duy nhất : x =
b
a

.
+ Nếu a = 0 và b 0

phơng trình vô nghiệm.
+ Nếu a = 0 và b = 0

phơng trình có vô số nghiệm.
L u ý: Nếu phơng trình không có dạng tổng quát thì cần biến đổi đa
về dạng tổng quát rồi tính
2. Bất phơng trình bậc nhất
*Dạng 1: Bất phơng trình bậc nhất hai ẩn a.x+b>0 hoặc a.x+b<0
Phơng pháp: ax+b>0 ax>-b x>-
a
b
nếu a>0
x<-
a
b
nếu a<0
*Dạng 2: BPT phân thức

B
A
>0 ,BPT tíchA.B>0
Cách giải: Mỗi bất phơng trình tơng đơng với 2 hệ bpt :
0
0
0
0
A
B
A
B
<



<



>



>



3. Hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn :

=+
=+
c'y b' x a'
c by ax
Phơng pháp giải :
Sử dụng một trong các cách sau :
+) Phơng pháp thế : Từ một trong hai phơng trình rút ra một ẩn theo ẩn kia ,
thế vào phơng trình thứ 2 ta đợc phơng trình bậc nhất 1 ẩn.
+) Phơng pháp cộng đại số :
- Quy đồng hệ số một ẩn nào đó (làm cho một ẩn nào đó của hệ có hệ số bằng
nhau hoặc đối nhau).
- Trừ hoặc cộng vế với vế để khử ẩn đó.
- Giải ra một ẩn, suy ra ẩn thứ hai.
+) Phơng pháp đặt ẩn số phụ
B. Bài tập vận dụng
Bài 1. Giải các phơng trình
a) 5x - 15 = 0 b) - 3x + 5 = 0 c) 2(x-7) = 7-5x
d) 2(x-3) + 1 = 2(x+1) - 9 e)
3
1,212
7
5,15
4
7,09

=

+

xxx
f)
16
73
15
74
78
11
77
12

+

=

+

xxxx

Bài 2.Giải và biện luận phơng trình theo m :
(m 2)x + m
2
4 = 0 (1)
Bài 3.Giải các bất phơng trình:
a.
32
16
3
1

52
xxx
x
+

<


b. 2x(3x-5) <0
c.
1
1
2
2
>
++

xx
xx

Bi 4. Gii cỏc h phng trỡnh:
1)
x 2y 3
2x y 1
+ =


=

2)

3x 4y 2
2x 3y 7
=


+ =

3)
x 7y 2
2x y 11
=


+ =

Bi 2: Gii cỏc h phng trỡnh sau bng phng phỏp t n ph:
a)
1 1 4
x y 5
1 1 1
x y 5

+ =




=

b)
15 7
9
x y
4 9
35
x y

=




+ =


c)
1 1 5
x y x y 8
1 1 3
x y x y 8

+ =

+



=

+

Bài tập về nhà:
Giải các hệ phơng trình sau
1)
2x 3y 10
3x 2y 2
+ =


=

2)
2
3 1
x y
x y
=


+ =

3)
2 0
3 1
x y
x y
+ =

+ =

4)
{
132
23
=
=+
yx
yx
5)
1 1
1
3 4
5
x y
x y

=




+ =


6)
1
1
3

2
2
1
1
1
2
1
=



=

+

yx
yx
Chuyên đề 4:
hàm số y=ax
2
.

Mối tơng quan giữa
đồ thị hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai

A.KIN THC cơ bản
1. Hàm số y=ax
2
(a

0)
a. Ví dụ: y=3x
2
(a=3); y=-
2
1
x
2
(a=
2
1
).............
b. Tính chất:
Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0
Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x< 0 và nghịch biến khi x > 0
c. Đồ thị:
Đồ thị của hàm số y=ax
2
(a

0) là một đờng cong đi qua gốc tọa độ và
nhận trục Oy làm trục đối xứng. Đờng cong đó đợc gọi là một parabol với
đỉnh O.
Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ
thị.
Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ
thị.
2. Mối tơng quan giữa đồ thị hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai
Cho Parabol (P): y=ax
2

và đờng thẳng (d): y=mx+b
- ĐK để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt

phơng trình ax
2
=mx+b có 2
nghiệm phân biệt

>0 (nghiệm của phơng trình chính là hoành độ cỉa
hai giao điểm)
- ĐK để (d) Không cắt (P)

phơng trình ax
2
=mx+b vô nghiệm



<0.
- ĐK để (d) tiếp xúc với (P)

phơng trình ax
2
=mx+b có nghiệm kép



=0
(nghiệm kép tìm đợc đó chính là hoành độ tiếp điểm).
B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Vẽ đồ thị (P) của hàm số y=
2
x

2
.
Tìm a và b để đờng thẳng y=ax+b đi qua điểm (0;-1) và tiếp xúc với (P).
Bài 2: Cho hàm số y=ax
2
có đồ thị (P) đi qua điểm A(-2;4) và tiếp xúc với đồ
thị (T) của hàm số y= (m-1)x- (m-1).
a) Tìm a , m và toạ độ tiếp điểm.
b) Vẽ (P) & (T) với a, m vừa tìm đợc trên cùng mặt phẳng toạ độ.
Bài 3:Cho đờng thẳng (d): y=k(x-1) và Parabol (P): y= x
2
-3x+2
a) CMR: (d) & (P) luôn có một điểm chung.
b) Trong trờng hợp (d) tiếp xúc (P), tìm toạ độ tiếp điểm.
Bài 4: Cho hàm số y=
2
-1
x
2
(P)
a) Vẽ (P).
b) Tìm m để đờng thẳng y= 2x+m cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A & B.
Tìm toạ độ 2 điểm A và B đó.
Bài 5: Cho Parabol (P): y=3x
2
. Lập phơng trình đờng thẳng

() song song với đờng thẳng (d): y=-2x và tiếp xúc với (P).
Bài 6: Cho (P): y=
2
1
2
x
và hai đờng thẳng (d
1
): y=2x-2 và (d
2
): y= ax-1.
a) Vẽ (P) & (d
1
) trên cùng mặt phẳng toạ độ và tìm toạ độ giao
điểm của chúng
b) Biện luận theo a số giao điểm của (P) & (d
2
)
c) Tìm a để 3 đồ thị trên cùng đi qua một điểm.
d) Chứng tỏ rằng đờng thẳng đi qua A(-1;2) luôn cắt (P) tại 2
điểm phân biệt.
Chuyên đề 5:
phơng trình bậc hai- Định lí vi ét và ứng dụng
A.KIN THC cơ bản
1. Phơng trình bậc hai.
a. Định nghĩa.
Phơng trình bậc hai là phơng trình có dạng: ax
2
+bx+c = 0(a

0)
Trong đó a, b,c là các số đã biết, x là ẩn.
b. Cách giải:
* Công thức nghiệm tổng quát:
Tính biệt thức

= b
2
- 4ac
Nếu

<0 thì phơng trình vô nghiệm
Nếu

= 0 thì phơng trình có nghiệm kép x
1
=x
2
=
a
b
2

Nếu

>0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
x
1
=
a

b
2
+
; x
2
=
a
b
2

*Công thức nghiệm thu gọn:
Nếu có b = 2b thì có thể tính
'

=b
2
- ac
Nếu
'

< 0 thì phơng trình vô nghiệm
Nếu
'

= 0 thì phơng trình có nghiệm kép x
1
=x
2
= -
a

b
'
Nếu
'

> 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x
1
=
a
b
'
'
+
; x
2
=
a
b
''

2. nh lý Viột.
Nu x
1
, x
2
l nghim ca phng trỡnh ax
2
+ bx + c = 0 (a

0) thỡ
S = x
1
+ x
2
= -
a
b
p = x
1
x
2
=
a
c
o lại: Nu cú hai s x
1
,x
2
m x
1
+ x
2
= S v x
1
x
2
= p thỡ hai s ú l
nghim (nu có ) của phơng trình bậc 2:
x

2
S x + p = 0
3.Dấu của nghiệm số của phơng trình bậc hai.
Cho phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a

0) . Gọi x
1
,x
2
là các
nghiệm của phơng trình .Ta có các kết quả sau:
x
1
và x
2
trái dấu ( x
1
< 0 < x
2
)

p = x
1
x
2
< 0