Tài liệu Đề thi và đáp án kỳ thi olympic toán ppt

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ANGIANG

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM


Trường THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

---------------------------------
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI OLYMPIC
ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG
Năm học 2005 – 2006
Môn TOÁN
( Thời gian làm bài : 180 phút )


Bài 1 : ( 4 điểm )
Hãy tìm tất cả những đa thức P(x) sao cho thoả mãn đẳng thức sau :
x P(x – 1) = (x – 26) P(x)

Bài 2 : ( 4 điểm )
Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình :
x
3
+ (x + 1)
3
+ ... + (x + 7)
3
= y

3
(1)

Bài 3 : ( 4 điểm )
Cho số a > 2 và dãy số (u
n
) xác đònh bởi :
0
1
2
1
2
1
1
2 ( 1)
n
nn
n
u
ua
u
u u n
u













  





Chứng minh rằng : với mọi
kN



2
0 1 2
1 1 1 1 1
24
2
k
aa
u u u u
       


Bài 4 : ( 4 điểm )
Cho hình bình hành ABCD có AB = a , AD = 1 ,
ˆ

BAD


, tam giác
ABD có
tất cả các góc đều nhọn . Hãy chứng minh rằng các hình tròn bán kính bằng
1 có
tâm lần lượt là A , B , C , D sẽ phủ kín hình bình hành này nếu :
cos 3sin


a

Bài 5 : ( 4 điểm )
Gọi r và R lần lượt là bán kính của hình cầu nội tiếp và ngoại tiếp một
hình chóp
tứ giác đều . Tìm giá trò nhỏ nhất của tỉ số
R
r


------------------------------------------------

Bài 1 : ( 4 điểm )
Hãy tìm tất cả những đa thức P(x) sao cho thoả mãn đẳng thức sau :
x P(x – 1) = (x – 26) P(x)

Đáp án

Cho P(x) là đa thức thoả điều kiện bài toán . Hiển nhiên nó chia hết cho x .

Nghóa là : P(x) = x P
1
(x) , ở đây P
1
(x) là một đa thức .
(0,5đ)

Khi đó , P(x – 1) = (x – 1) P
1
(x – 1) , nghóa là :
x (x – 1) P
1
(x – 1) = x P(x – 1) = (x – 26) P(x)
(0,5đ)

Từ đây suy ra P(x) chia hết cho cả (x – 1) , nghóa là P(x) = x (x – 1) P
2
(x)
(0,5đ)

Từ đây ta lại nhận được : P(x – 1) = (x – 1) (x – 2) P
2
(x – 1)
(0,5đ)

Hoặc là x (x – 1) (x – 2) P
2
(x – 1) = (x – 26) . P(x)
(0,5đ)

Từ đây ta suy ra P(x) chia hết cho (x – 2) .
Tiếp tục theo tinh thần đó , cuối cùng ta nhận được :
P(x) = x (x – 1) (x – 2) ... (x – 25) . P
26
(x)
(0,5đ)

Khi đó , từ điều kiện bài toán suy ra :
x (x – 1) (x – 2) ....(x – 26) . P
26
(x – 1) = (x – 26) x (x – 1)...(x – 25) . P
26
(x)
Suy ra : P
26
(x – 1) = P
26
(x)
(0,5đ)

Và vậy P
26
(x) = c ( c : hằng số )
Vậy P(x) = c . x (x – 1) (x – 2) ... (x – 25)
(0,5đ)

Kiểm tra lại ta thấy nhận .


-------------------------------------------------

Bài 2 : ( 4 điểm )
Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình :
x
3
+ (x + 1)
3
+ ... + (x + 7)
3
= y
3
(1)

Đáp án

Đặt P(x) = x
3
+ (x + 1)
3
+ ... + (x + 7)
3
= 8x
3
+ 84x
2
+ 420x + 784

Xét x

0 , ta có :

(2x + 7)
3
= 8x
3
+ 84x
2
+ 294x + 343 < P(x) < 8x
3
+ 120x
2
+ 600x + 1000 = (2x +
10)
3
(0,5đ)


2x + 7 < y < 2x + 10

y = 2x + 8 hoặc y = 2x + 9
(0,5đ)
Vì cả hai phương trình : P(x) – (2x + 8)
3
= 0

– 12x
2
+ 36x + 272 = 0
P(x) – (2x + 9)
3
= 0


– 24x
2
– 66x + 55 = 0
đều không có nghiệm nguyên . Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên với
x

0 (0,5đ)

Lại có P(– x – 7) = – P(x) . Vậy (x ; y) là nghiệm của (1)

(– x – 7 ; y) cũng là
nghiệm . (0,5đ)
Do đó không tồn tại nghiệm với x

– 7 . Vậy nếu (x ; y) là nghiệm thì ta phải có -6


x

-1 (0,5đ)

Với -3

x

-1 , ta có :
P(-1) = 440 không phải là số lập phương , P(-2) = 216 = 6
3
, P(-3) = 64 = 4

3



(-2 ; 6) và (-3 ; 4) là các nghiệm với -3

x

-1
(0,5đ)
Do tính chất P(– 7 – x) = – P(x)

(-5 ; -6) và (-4 ; -4) là nghiệm của (1) với -6

x


-1 (0,5đ)

Vậy các nghiệm của (1) là : (-2 ; 6) , (-3 ; 4) , (-4 ; -4) , (-5 ; -6)
(0,5đ)



-------------------------------------------------

Bài 3 : ( 4 điểm )
Cho số a > 2 và dãy số (u
n
) xác đònh bởi :

0
1
2
1
2
1
1
2 ( 1)
n
nn
n
u
ua
u
u u n
u












  






Chứng minh rằng : với mọi
kN



2
0 1 2
1 1 1 1 1
24
2
k
aa
u u u u
       


Đáp án
a > 2
1
, 0 :b R b a b
b
     

(0,5đ)