(Sáng kiến kinh nghiệm) rèn luyện cho học sinh lớp 12 kỹ năng tính một số tích phân đặc biệt

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH LỚP 12
KỸ NĂNG TÍNH MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT

Người thực hiện: Trương Thị Nga
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Tốn

THANH HĨA NĂM 2017
MỤC LỤC
1


MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU….….…………………………………………………...……... ....3
1.1. Lý do chọn đề tài………………………………………………………...3
1.2. Mục đích nghiên cứu…………………………………………….……....3
1.3. Đối tượng nghiên cứu…………………………………………….……...4
1.4. Phương pháp nghiên cứu…………………………………………..…….4
1.5. Những điểm mới của sáng kiến...……………………………….……….4
2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM …………………....…4
2.1. Cơ sở lí luận.............................................................................................4
2.2. Thực trạng vấn đề………...………………………………………...…...4
2.3. Các giải pháp thực hiện………...…………………………………...…..5
2.4. Hiệu quả của sáng kiến…………...………………………………........16
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ ….…………………...……….……………... 16

3.1. Kết luận………………………………………………………………..16
3.2. Kiến nghị………………………………………………………………17

2


1. MỞ ĐẦU.
1.1 Lý do chọn đề tài.
Giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tới một nền giáo dục
tiến bộ, hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và trên thế giới. Một
trong các nội dung đổi mới đó là đổi hình thức thi THPTQG. Đối với bộ mơn
Tốn, năm 2017 thay hình thức thi tự luận được tiến hành lâu nay bằng hình
thức thi trắc nghiệm. Hình thức này là mới đối với chúng ta, nhưng đã được các
nước phát triển trên thế giới áp dụng lâu nay. Cùng với sự thay đổi hình thức thi
thì đề thi cũng có sự thay đổi về hình thức và nội dung. Trong đề thi khơng cịn
nhiều câu hỏi hóc búa, địi hỏi phải suy luận và tính tốn dài dịng, nhưng bên
cạnh đó lại xuất hiện các cách hỏi mới khơng q khó nhưng u cầu học sinh
khi học phải hiểu đầy đủ và cặn kẽ các vấn đề.
Chủ đề tích phân là một trong những chủ đề quan trọng ở chương trình
tốn giải tích lớp 12, đồng thời là một nội dung trong kì thi THPTQG. Thông
qua đề minh họa của Bộ Giáo Dục chúng ta thấy: Ngồi những câu hỏi u cầu
tính tốn tích phân thông thường giống như lâu nay vẫn gặp trong đề thi tự luận,
còn xuất hiện những dạng bài tập mới như các bài toán thực tế, hoặc cách hỏi
mới đó là các bài tập u cầu tính tích phân nhưng không cho biểu thức. Thực
chất để giải quyết những câu hỏi như trên học sinh vẫn sử dụng các công thức,
phương pháp quen thuộc đã học. Nhưng qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy học
sinh khá bối rối khi gặp các bài tính tích phân khơng cho biểu thức, các em
khơng biết tính như thế nào, hay dùng phương pháp nào để tính.
Xuất phát từ thực tế đó, tôi lựa chọn đề tài : “Rèn luyện cho học sinh lớp
12 kỹ năng tính một số tích phân đặc biệt ”. Để giúp học sinh khơng cịn bị

lúng túng khi gặp các câu hỏi như vậy, dần hình thành kỹ năng giải tốn cũng
như tính chính xác và linh hoạt trong q trình giải tốn. Đồng thời tạo được sự
hứng thú, phát triển tư duy, năng lực sáng tạo của học sinh khi học tập mơn tốn
cũng như các mơn học khác.
1.2. Mục đích nghiên cứu.

3


Đưa ra một số dạng bài tập và phương pháp giải tương ứng giúp học sinh
củng cố kiến thức, hình thành kĩ năng giải toán, phát triển tư duy sáng tạo. Đồng
thời thúc đẩy hứng thú học tập cho học sinh, góp phần nâng cao chất lượng
giảng dạy.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
- Học sinh thực hiện nội dung này là học sinh lớp 12.
- Đối tượng nghiên cứu: Các phương pháp tính tích phân.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết: Nghiên cứu các tài
liệu liên quan đến đề tài như: sách giáo khoa, tài liệu về phương pháp dạy học
toán, sách tham khảo, đề thi khảo sát chất lượng của các trường trung học phổ
thông, mạng internet,..
- Phương pháp điều tra quan sát: Tìm hiểu việc nắm bắt bài học của học
sinh qua việc vận dụng kiến thức để giải toán và qua các bài kiểm tra, tìm hiểu
về việc vận dụng các phương pháp dạy học tích cực ở một số trường phổ thông.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tham gia dự giờ, rút kinh nghiệm
trong tổ bộ môn, tham dự các buổi họp chuyên đề, trao đổi ý kiến với đồng
nghiệp.
- Phương pháp thực nghiệm: Tiến hành thực nghiệm ở các lớp 12A, 12B
trường THPT Hà Trung trong năm học 2016 -2017.
1.5. Những điểm mới của sáng kiến.

- Phân loại các dạng bài tập tính tích phân mà khơng
- Đưa ra một hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khách quan để học sinh tự luyện
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1. Cơ sở lí luận.
- Các tính chất cua tích phân.[1]
- Các phương pháp tính tích phân.[1]
2.2. Thực trạng vấn đề.

4


Học sinh vốn quen thuộc với các bài tập tích phân mà biểu thức tính tích
phân có cơng thức rõ ràng, tương ứng với từng dạng bài tập đều đã có phương
pháp giải rõ ràng, một số bài các em cịn có thể sử dụng sự hỗ trợ của máy tính
Casio. Nhưng với hình thức thi mới, cách hỏi mới xuất hiện các dạng bài tập yêu
cầu tính tích phân nhưng khơng biết biểu thức tính mà chỉ biết một số tích chất
của nó. Khi gặp những bài tập này đa số học sinh thường lúng túng trong quá
trình tìm lời giải, các em không biết phải biến đổi như thế nào hay phải sử dụng
công thức nào, ngay cả những học sinh khá giỏi cũng gặp phải vấn đề như vậy.
2.3. Các giải pháp thực hiện
Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, tơi đã thực
hiện một số giải pháp sau:
- Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản.
- Phân dạng bài tập, đưa ra dấu hiệu và phương pháp giải tương ứng.
- Đưa ra một hệ thống ví dụ và bài tập trắc nghiệm khách quan tăng dần
từ dễ đến khó, tăng dần từ mức độ nhận biết, thông hiểu lên vận dụng. Giúp cho
các em làm quen dần với dạng bài tập này. Dần hình thành kỹ năng giải tốn
cũng như tính chính xác và linh hoạt trong q trình giải tốn.
- Đổi mới trong việc kiểm tra, đánh giá. Ra đề kiểm tra với 4 mức độ nhận
thức: nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao để kiểm tra mức độ

tiếp thu, kiểm tra năng lực của học sinh và có kế hoạch điều chỉnh.
2.3.1. Tính các tích phân không cho biểu thức cụ thể.
Dạng 1: Sử dụng các tính chất của tích phân.
Ví dụ 1. Cho

5

5

5

1

1

1

 f ( x)dx  6,  g( x)dx  8. Tính I   [2 f ( x)  g ( x)]dx .[1]

Lời giải
5

5

5

1

1

1

Ta có I   [2 f ( x)  g ( x)]dx  2  f ( x )dx   g ( x)dx  4
Vậy I  4 .
Ví dụ 2. Cho

3

4

4

0

0

3

 f ( x)dx  3,  f ( z )dz  7. Tính I   f (t )dt .[1]
5


Lời giải
Ta có

3

3

4

4

0

0

0

0

 f (t )dt   f ( x)dx  3,  f (t )dt   f ( z)dz  7
4

4

3

3

0

0

Nên I   f (t )dt   f (t )dt   f (t )dt  4
Vậy I  4 .
Ví dụ 3. Cho f ( x ), g ( x ) là các hàm số liên tục trên  a; b  và

b

 f ( x)dx  3 ,
a

b

b

a

a

 [3 f ( x)  5g( x)]dx  4 . Tính I   g ( x)dx .[3]
Lời giải
b

b

b

b

a

a

a

a

Ta có  [3 f ( x )  5 g ( x)]dx  3 f ( x )dx  5 g( x)dx  9  5 g( x)dx  4

Nên I  1 .
Ví dụ 4. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm trên  1;2 và f (1)  1, f (2)  2 . Tính
2

I   f '( x )dx .[2]
1

Lời giải
2

Ta có I   f '( x )dx  f ( x ) 1  f (2)  f (1)  1
2

1

Vậy I  4 .
Dạng 2: Sử dụng phương pháp đổi biến.
Dấu hiệu: Trong bài tốn ngồi biểu thức f ( x) còn xuất hiện biểu thức
f (u ( x )) ( biểu thức này có thể nằm ở giả thiết của bài tốn hoặc ở tích phân cần

tính), và sự tương ứng về cận nếu ta đổi biến t  u ( x) .
Với một số bài tập ngồi phương pháp đổi biến ta cịn có thể sử dụng cách
chọn hàm. Cách thức này có thể chấp nhận được đối với hình thức thi trắc
nghiệm. Thơng thường ta hay nghĩ đến việc chọn hàm bậc nhất, tức giả sử
6


f ( x)  ax  b (a, b   ) . Từ các giả thiết ta tìm được a, b suy ra hàm số f ( x) và
tính tích phân. Với cách này học sinh yếu và trung bình dễ tiếp nhận hơn vì thao
tác tìm hàm f ( x) thường không liên quan đến những phép biến đổi tích phân

phức tạp. Tuy nhiên thường chỉ một số bài tập đơn giản mới chọn được một hàm
thỏa mãn, cịn đối với cách 1 thì giải quyết được từ những bài đơn giản đến phức
tạp.
Ví dụ 1. Cho

4

2

0

0

 f ( x)dx  16 . Tính I   f (2 x)dx .[2]

Phân tích bài tốn: Dựa vào đề bài ta dự đoán đặt t  2 x , phép đổi biến này
phù hợp với sự tương ứng vể cận.
Lời giải.
1
Cách 1. Đặt t  2 x . Ta có dx  dt . Đổi cận x  0  t  0, x  2  t  4
2
4

1
Khi đó I   f (t )d t  8
20
Cách 2. Chọn f ( x )  a . Khi đó

4

4

 f ( x)d x   a dx  a x
0

Ta có f (2 x)  4 và

2

2

0

0

4
0

 4a  16 . Nên a  4

0

 f (2 x)d x   4dx  8

Vậy I  8 .
1
2


6

Ví dụ 2. Cho I  f ( x )d x  4 . Tính I   f (cos 2 x)sin 2 xdx .[3]

0


4

Phân tích bài tốn: Dễ thấy ta sẽ đặt t  cos 2 x .
Lời giải.
Đặt t  cos 2 x  dt  2sin 2 xdx . Đổi cận x 



1
 t  0, x   t 
4
6
2

1
2

Ta có I   1 f (t )d t  2
2 0

7


Ví dụ 3. Cho hàm số y  f ( x ) liên tục trên [  1; ) và

3

 f(

x  1)dx  4 . Tính

0

2

I   xf ( x)d x .[3]
1

Phân tích bài tốn: Trong bài tốn này ta đặt t  x  1 , như vậy trong trường
hợp này ta biến đổi tích phân đã cho về tích phân cần tính.
Lời giải
Đặt t  x  1  t 2  x  1  2tdt  dx . Đổi cận x  0  t  1, x  3  t  2
3

2

2

0

1

1

Ta có 4   f ( x  1)d x  2 tf (t )d t  2  xf ( x)dx  2 I  I  2
Vậy I  2 .
Ví dụ 4. Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên  , biết


4

 f (tan x)d x  4

và

0

1

1

x 2 f ( x)
0 x 2  1 dx  2 . Tính I  0 f ( x)dx .[3]
Phân tích bài tốn: Trong đề bài xuất hiện các đại lượng tan x; x 2  1 và để ý các
cận của tích phân. Ta nghĩ ngay đên việc đặt x  tan t , tuy nhiên trong bài này ta
cần thêm một vài biến đổi khéo léo.
Lời giải
1

1

1

1

x2
1
1
f ( x)d x   2
f ( x)dx  2   2
f ( x )dx
Ta có I   f ( x)d x   2
x 1
x 1
x 1
0
0
0
0
Đặt x  tan t  dx 

Khi đó

1

x
0

1

dt . Đổi cận x  0  t  0; x  1  t 
2
cos t
4


4


4

1
1
1
f ( x)d x  
. f (tan t ). 2 dt   f (tan t )dt  4
2
1
tan t  1
cos t
0
0

2

Suy ra I  6

8


Ví dụ 5. Cho hàm số y  f ( x ) liên tục trên  thỏa mãn f ( x )  2 f (1  x)  3 x
1

với mọi x thuộc  . Tính I   f ( x )d x .[3]
0

Lời giải
Cách 1. Đặt x  1  t  dx  dt . Đổi cận x  0  t  1, x  1  t  0
1

0

1

1

0

1

0

0

1

1

1

1

0

0

0

0

Khi đó I   f ( x)d x    f (1  t )d t   f (1  t )d t   f (1  x )d x
Ta có 3I   f ( x)d x  2  f (1  x)d x   [f ( x)  2 f (1  x)]d x   3 xdx 

3
2

1
Vậy I  .
2
Cách 2. Chọn hàm f ( x)  ax  b (a, b   )
 f (1  x)  a(1  x)  b   ax  a  b
 f ( x)  2 f (1  x)  ax  2a  3b
a  3
 a  3

Do f ( x)  2 f (1  x)  3x, x   . Suy ra 
2a  3b  0 b  2
Do đó f ( x)  3 x  2
1

1

0

0

Vậy I   f ( x)d x   (3x  2)d x 

1
.
2

Ví dụ 6. Cho hàm số y  f ( x ) liên tục trên  0;3 và f ( x). f (3  x)  1 với mọi
x thuộc  0;3 . Tính I 

3

1
0 1  f ( x) dx .[3]

Lời giải
3

1
dx .
1

f
(3

x
)
0

Cách 1. Đặt t  3  x , khi đó I  

3

3

1
f ( x)
1
I 
dx  
dx
1
Từ giả thiết ta có f (3  x) 
, Suy ra
.
f
(
x
)

1
0 1
0
f ( x)
f ( x)

9


3

3

3

1
f ( x)
3
dx  
dx   dx  3  I  .
Ta có 2 I  
1  f ( x)
1  f ( x)
2
0
0
0
3
Vậy I  .
2
Cách 2. Ta dễ dàng chọn được một hàm số f thỏa mãn điều kiện của đề bài là
3

1

3

f ( x )  1, x  [0;3] . Khi đó I   dx  .
2
2

0

Nhận xét: Với bài tập này sử dụng cách 2 để làm trắc nghiệm tối ưu hơn vì mất
ít thời gian.
Ví dụ 7. Cho hàm số

y  f ( x)

liên tục trên

f ( x)  f ( x)  2  2cos 2 x với mọi x thuộc  . Tính I 



và thỏa mãn

3
2



f ( x)dx .[2]

3

2

Lời giải
3
2



Đặt x  t , khi đó I 

3
2

f (t )d t 

3

2



f (  x)d x

3

2

Ta có
2I 

3
2





f ( x)d x 

3
2

 2I 

3
2




3
2





3
2

3
2

 [f ( x)  f ( x)]d x

f ( x )d x 

3
2

2  2cos 2 x d x  2


3
2





3
2

cos x d x  12  I  6

3
2

Vậy I  6 .
Dạng 3: Sử dụng cơng thức tích phân từng phần.

10


b

Dấu hiệu: Nếu biểu thức tính tích phân có dạng  u ( x). f '( x)dx mà không dùng
a

phương pháp đổi biến để tính được thì ta thường dùng cơng thức tích phân từng
phần.
1

 ( x  1) f '( x)d x  10 và 2 f (1)  f (0)  2 .

Ví dụ . Cho hàm số f ( x) thỏa mãn

0

1

Tính I   f ( x )dx .[2]
0

Lời giải
Ta có
1

1

0

0

1

 ( x  1) f '( x)d x   ( x  1)d( f ( x))  ( x  1) f ( x)   f ( x)d x
1

0

0

1

 2 f (1)  f (0)   f ( x)d x
0

Suy ra I  8 .
Bài tập tương tự
Bài 1. Giả sử

b

b

b

a

a

a

 f ( x)d x  2 và  g ( x)d x  3 . Tính I   [2 f ( x)  3g ( x)]dx

A. I  5 .

B. I  3 .

C. I  13 .

Bài 2. Cho hàm số y  f ( x ) liên tục trên 

D. I  5
2018

và



f ( x)d x  8 . Tính

0

1009

I



f (2 x)d x .

0

A. I  32 .
Bài 3. Cho

B. I  8 .

2

2

0

0

C. I  16 .

D. I  4 .

 f ( x)dx  8 . Tính I   f (2  x)d x .

A. I  8 .

B. I  8 .

C I  6.

D. I  6 .

11

Bài 4. Cho hàm số y  f ( x ) là hàm số chẵn, liên tục trên  . Biết

2

 f ( x)d x  8

1

và

3

6

1

1

 f (2 x)d x  3 . Tính I   f ( x)d x .

Bài 5. Cho hàm số y  f ( x ) liên tục trên  và f ( x)  f (  x)  2(1  sin 2 x)


với mọi x thuộc  . Tính I   f ( x )d x .
0

A. I  4 .

B. I  2 .

D. I  0 .

C. I  2 .

Bài 6. Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên  và hàm số y  g ( x)  x. f ( x 2 ) có đồ
thị như hình vẽ bên. Biết diện tích phần được tơ màu là S 

5
. Tính
2

4

I   f ( x )d x .
1

2

Bài 7. Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên  và f (2)  16,  f ( x)d x  4 . Tính
0

1

I   xf '(2 x)d x .
0

A. I  13 .

C. I  20 .

B. I  12 .

D. I  7 .
5

Bài 8. Cho hàm số f ( x) là hàm số chẵn, liên tục trên  và  [1  2 f ( x)]dx  15 .
0

5

Tính I 

 f ( x)d x .

5

A. I  10 .
Bài 9. Cho

B. I  5 .

C. I  30 .

4

1

1

0

D. I 

15
.
2

 f ( x)d x  9 . Tính tích phân  f (3x  1)dx .
12


A. I  9 .

B. I  3 .

D. I  27 .

C. I  1 .
4

Bài 10. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  và

 f ( x)d x  2 . Mệnh đề nào sau

2

đây sai?
2

A.

C.

3

 f (2 x)d x  2 .

B.

 f ( x  1)d x  2 .

1

3

2

6



f (2 x)d x  1.

D.

1

1
0 2 f ( x  2)d x  1 .

Bài 11. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên  , F (3)  3 và
2

3

1

0

 F ( x  1)d x  1. Tính tích phân I   x. f ( x)d x .
A. I  10 .

B. I  11.

C. I  9 .

D. I  8 .

Bài 12. Cho hàm số y  f ( x ) liên tục trên  và f ( x)  f ( x)  2(1  cos 2 x)


với mọi x thuộc  . Tính I   f ( x )d x .
0

A. I  4 .

B. I  2 .

C. I  4 .

D. I  0 .

Bài 13. Cho hàm số f ( x ) liên tục, có đạo hàm trên R thỏa mãn
1

2

1
0 ( x  1) f '(2 x)d x  7 và f (2)  2 f (0)  3 . Tính I  0 f ( x)dx .
A. I  2 .

B. I  16 .

C. I  16 .

D. I  2 .
1

Bài 14. Cho hàm số f ( x ) liên tục, có đạo hàm trên R thỏa mãn

 f ( x)d x  10
0

1

và f (1)  2 f (0)  2 . Tính I   (2  x) f '( x)dx .
0

A. I  8 .

B. I  12 .

C. I  12 .

D. I  8 .

13



Bài 15. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên  , F ( )  1 và
3

3


3

0

0

 xF ( x)d x  1 . Tính tích phân I   x . f ( x)d x .
B. I 

A. I  1 .

2

2

.
3

C. I 


.
3

2
D. I 
 2.
9

2.3.2. Tích phân một số hàm đặc biệt.
Ta sử dụng một số công thức sau:
+ Nếu y  f ( x ) là hàm số chẵn, liên tục trên [-a;a] thì
a

a

a

0

 f ( x)d x  2 f ( x)d x .[4]

+ Nếu y  f ( x ) là hàm số lẻ, liên tục trên [-a;a] thì
a

 f ( x)d x  0 .[4]

a

+ Nếu y  f ( x ) là hàm số chẵn, liên tục trên [-a;a] thì
a

a

f ( x)
 a m x  1 dx  0 f (x)d x .[4]
+ Tính bất biến của tích phân khi biến số thay đổi cận cho nhau
b

b

a

a

 f (a  b  x)d x   f ( x)d x .[4]
2

2
Ví dụ 1. Tính tích phân I   ln( x  x  1)d x .[4]
2

Phân tích bài tốn: Ta thấy cận của tích phân là đối xứng từ -2 đến 2, đồng thời
khéo nhận ra hàm số f ( x)  ln( x  x 2  1) là hàm số lẻ. Vì thế ta có thể áp
dụng cơng thức tích phân của hàm số lẻ

Lời giải.
Dễ dàng chứng minh được hàm số f ( x)  ln( x  x 2  1) là hàm số lẻ.

14


2

2
Do đó I   ln( x  x  1)d x  0 . Vậy I  0 .
2

1

x2
dx .[4]
Ví dụ 2. Tính tích phân I  
1  2017 x
1
Phân tích bài tốn : Ta có cận của tích phân là đối xứng từ -1 đến 1, hàm số
f ( x)  x 2 là hàm số chẵn. Vì thế đủ điều kiện để ta áp dụng cơng thức tích phân
kết hợp giữa hàm số chẵn và hàm số mũ
Lời giải.
1

1

x2
1
1

2
I

d
x

x
d
x

I

Ta có
.
Vậy
.
 1  2017 x 0
3
3
1
Nhận xét: Bằng việc sử dụng các cơng thức trên việc tính tốn một số bài tập
tích phân có biểu thức phức tạp trở nên nhanh chóng và chính xác, học sinh có
thể trả lời nhanh các câu hỏi trắc nghiệm.
Bài tập tương tự.
Bài 1. Cho f ( x ), g ( x ) là hai hàm số liên tục trên đoạn [  1;1] , f ( x) là hàm số
chẵn, g ( x ) là hàm số lẻ. Biết

1

1

0

0

 f ( x)d x  5,  g( x)d x  7 . Trong các mệnh đề

sau mệnh đề nào sai?[3]
1

A.

1

 f ( x)d x  10 .

B.

 g( x)d x  14 .

1

1

1

1

C.  [f ( x)  g( x)]d x  10 .
1

a

Bài 2. Biết rằng



a

D.  [f ( x)  g( x)]d x  10 .
1

x 2  1.cos x
dx  m ( với a là số thực dương). Tính tích phân
1  2x

a

I   x 2  1.cos xdx .[3]
0

A. I  m .

B. I  m .

C. I  0 .

D. I 

m

.
2
15


1

Bài 3. Cho biết


0

A. I  2016 .

1

f (x)
dx .[3]
x
1

2016
1

f ( x)dx  2017 . Tính tích phân I  
B. I  2017 .

C. I  2017 .

D. I  e 2017 .

Bài 4. Tính các tích phân sau.
1
2

1 x
cos
x
.ln(
)d x .
1
1 x

a) I1 



2

1

1
dx .
(2 x  1)( x 2  1)
1

b) I 2  
1

2

2017
c) I 3   [ln( x  x  1)] .
1

d) I 4 


2

sin x sin 2 x cos5 x
dx .

ex  1



2



x sin x
dx .[4]
2
1

sin
x
0

e) I 5  

2.4. Hiệu quả của sáng kiến.
Năm học 2016-2017 tôi được giao nhiệm vụ giảng dạy mơn Tốn ở các lớp :
12A, 12B. Đa số học sinh chăm ngoan và có ý thức học, đặc biệt các em rất có
hứng thú học và giải tốn. Tuy nhiên khi gặp bài tốn tích phân đặc biệt các em
rất lung túng không biết giải thế nào. Sau khi tiến hành thực nghiệm sáng kiến
của mình tại các lớp dạy của mình, tơi đã thu được nhiều kết quả khả quan. Hoạt
động học tập của học sinh diễn ra khá sôi nổi, đa số học sinh hiểu bài và vận
dụng được vào giải toán. Một số học sinh khá giỏi đã biết tự tìm tịi, nghiên cứu
thêm ở các đề thi và sách tham khảo để hệ thống hóa, đào sâu kiến thức.
Kết quả kiểm tra:

Lớp

Điểm yếu
Số bài

%

Điểm TB
Số bài

%

Điểm khá
Số bài

%

Điểm giỏi

Số bài

%

16


12A

0

0

5

11,9

17

40,5

20

47,6

12B

3

5,9

8

15,7

25

49

15

29,4

3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.
3.1. Kết luận.
Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy rằng: sau khi đưa ra hệ thống bài tập
trên, học sinh đã biết vận dụng cách linh hoạt, vào các bài toán khác nhau, từ
đơn giản đến phức tạp. Học sinh khơng cịn tâm lý e ngại khi gặp các bài toán
này nữa. Mặt khác, hiệu quả áp dụng tương đối cao, bài giải trở nên sáng sủa,
ngắn gọn và hầu hết các em vận dụng tốt.
3.2. Kiến nghị.
Nhà trường cần tạo điều kiện nhiều hơn nữa cho giáo viên trong việc tiếp
xúc với các loại sách tham khảo có chất lượng trên thị trường, đồng thời cũng
cần có tủ sách lưu lại các sáng kiến kinh nghiệm của giáo viên đã được xếp loại,
các chuyên đề tự học, tự bồi dưỡng của giáo viên để đồng nghiệp có tư liệu tham
khảo.
Các cơ quan quản lý giáo dục trong tỉnh cần phát triển rộng rãi các sáng
kiến kinh nghiệm của giáo viên, đặc biệt là các sáng kiến đã được xếp loại để
đồng nghiệp tham khảo, học hỏi. Qua đó nâng cao hiệu quả của các sáng kiến
kinh nghiệm trong ứng dụng vào thực tế nhà trường.

Mặc dù đã có nhiều cố gắng song khơng thể tránh khỏi những sơ suất,
thiếu sót. Kính mong hội đồng khoa học các cấp và bạn bè đồng nghiệp góp ý,
xây dựng, bổ sung cho bản kinh nghiệm của tôi đạt chất lượng tốt hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 22 tháng 5 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
17


mình viết, khơng sao chép nội dung của
người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)

Trương Thị Nga
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa giải tích 12, tác giả Đồn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Trần
Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng, nhà xuất bản giáo dục
năm 2008.
2. Đề thi minh họa mơn Tốn năm 2017 của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo
3. Đề thi thử THPTQG mơn tốn của các Sở Giáo Dục, các trường THPT trong
cả nước.
4.Tuyển chọn những bài ôn luyện thi vào đại học cao đẳng, tác giả Nguyễn
Trọng Bá, Lê Thống Nhất, Nguyễn Phú Trường, nhà xuất bản giáo dục, năm
2001.

18

DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Trương Thị Nga
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Hà Trung – Hà Trung –
Thanh Hóa.

TT

Cấp đánh giá xếp

Kết quả

loại

đánh giá xếp

Năm học

loại

đánh giá xếp

Tên đề tài SKKN
(Ngành GD cấp
huyện/tỉnh; Tỉnh...)

1.

Rèn luyện kỹ năng sử dụng

Sở Giáo Dục và

lượng liên hợp để giải

Đào Tạo tỉnh

phương trình, bất phương

Thanh Hóa.

loại
(A, B, hoặc C)

C

2014-2015

trình vô tỉ.

19


----------------------------------------------------

20