Giáo trình: Chương I: Xác suất

Cao Hào Thi 1
Chương 1
XÁC SUẤT
(Probability)
1.1. THÍ NGHIỆM NGẪU NHIÊN, KHÔNG GIAN MẪU, BIẾN CỐ:
1.1.1. Thí nghiệm ngẫu nhiên (Random Experiment)
Thí nghiệm ngẫu nhiên là một thí nghiệm có hai đặc tính :
- Không biết chắc hậu quả nào sẽ xảy ra.
- Nhưng biết được các hậu quả có thể xảy ra
Ví dụ:
Tung một con xúc sắc là một thí nghiệm ngẫu nhiên vì :
- Ta không biết chắc mặt nào sẽ xuất hiện
- Nhưng biết được có 6 trường hợp xảy ra (xúc sắc có 6 mặt 1, 2, 3, 4, 5, 6)
Ràng buộc:
- Con xúc sắc đồng chất để 6 mặt đều có thể xuất hiện như nhau.
- Cách tung xúc sắc không cố ý thiên vị cho mặt nào hiện ra.
1.1.2. Không gian mẫu (Sample Space)
Tập hợp các hậu quả có thể xảy ra trong thí nghiệm ngẫu nhiên gọi là không gian mẫu của
thí nghiệm đó.
Ví dụ:

Không gian mẫu của thí nghiệm thảy một con xúc xắc là: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Không gian mẫu của thí nghiệm thảy cùng một lúc hai đồng xu là:
E = {SS, SN, NS, NN} với S: Sấp, N: Ngửa
1.1.3. Biến cố (Event)

a) Biến cố
- Mỗi tập hợp con của không gian mẫu là một biến cố
- Biến cố chứa một phần tử gọi là biến cố sơ đẳng
Ví dụ:

Trong thí nghiệm thảy 1 con xúc sắc :
- Biến cố các mặt chẵn là : {2, 4, 6}. Biến cố các mặt lẻ: {1, 3, 5}
- Các biến cố sơ đẳng là : {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}

Cao Hào Thi 2
b) Biến cố xảy ra (hay thực hiện)
Gọi r là một hậu quả xảy ra và A là một biến cố
- nếu r ∈ A ta nói biến cố A xảy ra
- nếu r ∉ A ta nói biến cố A không xảy ra
Ví dụ:
Trong thí nghiệm thảy một con xúc sắc nếu mặt 4 xuất hiện thì:
- Biến cố {2,4,6} xảy ra vì 4 ∈ {2, 4, 6}
- Biến cố {1,3,5} không xảy ra vì 4 ∉ {1, 3, 5}
Ghi chú:
- φ ⊂ E => φ là một biến cố
∀ r, r ∉ φ => φ là một biến cố vô phương (biến cố không)
- E ⊂ E => E là một biến cố
∀ r, r ∈ E => E là một biến cố chắc chắn
1.1.4. Các phép tính về biến cố
Cho 2 biến cố A, B với A ⊂ E và B ⊂ E
a) Biến cố hội A
∪
B (Union)
Biến cố hội của 2 biến cố A và B được ký hiệu là A ∪ B:
A ∪ B xảy ra Ù (A xảy ra HAY B xảy ra)

b) Biến cố giao A
∩
B (Intersection)
A ∩ B xảy ra Ù (A xảy ra VÀ B xảy ra)







A

B
A∪B
E

A


B
A∩B
E

Cao Hào Thi 3
c) Biến cố phụ A (Biến cố đối lập, Component of A)
A xảy ra Ù A không xảy ra

d) Biến cố cách biệt ( biến cố xung khắc, mutually exclusive event)
A cách biệt với B Ù A ∩ B = φ

A cách biệt với B Ù A với B không cùng xảy ra







Ví dụ:
Trong thí nghiệm thảy một con xúc sắc, ta có không gian mẫu: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
- Gọi A là biến cố mặt lẻ xuất hiện => A = {1, 3, 5}
- Gọi B là biến cố khi bội số của 3 xuất hiện => B = {3, 6}
- Gọi C là biến cố khi mặt 4 xuất hiện => C = {4}, biến cố sơ đẳng.
Ta có:
A ∪ B = {1, 3, 5, 6}
A ∩ B = {3}
A = {2,4,6} : biến cố khi mặt chẵn xuất hiện.
A ∩ C = φ => A và C là 2 biến cố cách biệt.
e) Hệ đầy đủ (Collectively Exhaustive)
Gọi A
1
, A
2

…, A
k
là k biến cố trong không gian mẫu E
Nếu A
1
∪ A
2
∪… ∪A
k
= E thì K biến cố trên được gọi là một hệ đầy đủ.
A
E
A





B

A
E
A∩B=φ

Cao Hào Thi 4
1.2. XÁC SUẤT (Probability).
1.2.1. Định nghĩa:
Nếu thơng gian mẫu E có N biến cố sơ đẳng và biến cố A có n biến cố sơ đẳng thì xác
suất của biến cố A là :
P(A) =

N
n(A)

Một cách khác ta có thể viết :
P(A) =
raxảy thể có hợptrường Số
raxảyAhợptrườngSo
á

Ví dụ:

Trong thí nghiệm thảy một con xúc sắc, xác suất biến cố các mặt chẵn xuất hiện là :
P(A) =
N
n(A)
=
2
1
6
3
=

1.2.2. Tính chất:
a. Gọi A là một biến cố bất kỳ trong khơng gian mẫu E
0
≤
P(A)
≤
1
b. P (

φ
) = 0 =>
φ
là Biến cố vơ phương
P (E) = 1 => E là Biến cố chắc chắn
1.2.3. Cơng thức về xác suất :
a) Xác suất của biến cố hội:
P (A
∪
B) = P (A) + P(B) - P( A
∩
B)
Chứng minh:
Gọi N : là số phần tử của khơng gian mẫu E
n
1
: là số phần tử của (A - B)
n
2
: là số phần tử của (A
∩
B)
n
3
: là số phần tử của (B - A)

A

B

n
1
n
2
n
3

E

Cao Hào Thi 5

n(A
∪
B) = n
1
+ n
2
+ n
3

= n
1
+ n
2

+ n
2
+ n
3
- n
2

= n(A) + n(B) - n(A
∩
B)
Do đó : n( A
∪
B)/N = n(A)/N + n(B)/N - n(A
∩
B )/N
P(A
∪
B) = P(A) + P(B) - P(A
∩
B)
Ghi chú :
Nếu A và B là 2 biến cố cách biệt, ta có:
A
∩
B =
φ
=> P(A
∩
B) = P(
φ

) = 0
==> P (A
∪
B) = P(A) + P(B)
b) Xác suất của biến cố phụ (biến cố đối lập)
Biến cố phụ của biến cố A trong không gian mẫu E là
A
: P(A) + P ( A ) = 1
Chứng minh:
A
∪ A
= E
P (A
∪ A
) = P(E)
P(A) + P(
A
) - P(A
∩ A
) = 1 vì P(A
∩ A
) = P(
φ
) = 0
1.2.4. Công thức nhân về xác suất :
a) Xác xuất có điều kiện :
Gọi P (B / A) là xác suất có điều kiện của biến cố B sau khi biến cố A đã thực hiện.
P(B/A) = P(A
∩
B)/ P(A) Với P(A) > 0 ; P(B) > 0

hay
P(A/B) = P(A
∩
B)/ P(B)
Chứng minh
:
•
Gọi E là không gian mẫu chứa hai biến cố A,B
•
Giả sử A thực hiện rồi thì A là biến cố chắc chắn, ta có thể chọn A làm không gian
mẫu thu gọn.
•
Biến cố B thực hiện sau khi biến cố A xảy ra trở thành biến cố B/A.
•
Trong không gian mẫu biến cố B/A thực hiện nếu và chỉ nếu A
∩
B thực hiện.
r
∈
B/A Ù r
∈
A
∩
B



A

B

A
∩
B
E