Chuyen de Bat dang thuc

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (610.03 KB, 115 trang )

(1)WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng A. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Toán học là một khoa học tự nhiên, toán học ra đời từ rất sớm nhằm đáp ứng nhu cầu đo đạc ruộng đất và xây dựng nhà cửa. Càng ngày xã hội loài người càng tiến dần lên ở mức độ cao hơn và đến nay đang đang ở trình độ cao nhất từ mà loài người chưa từng có. Do đó toán học củng không nằm ngoài quy luật phát triển từ sơ khai đến hiện đại. Toán học nghiên cứu rất nhiều, rất đa dạng và phong phú. Trong đó các bài toán về bất đẳng thức là những bài toán khó , để giải được các bài toán về bất đẳng thức, bên cạnh việc nắm vững khái niệm và các tính chất cơ bản của bất đẳng, còn phải nắm được các phương pháp chứng minh bất đẳng thức. Có nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng và ta phải căn cứ vào đặc thù của mỗi bài toán mà sử dụng phương pháp cho phù hợp. Mỗi bài toán chứng minh bất đẳng thức có thể áp dụng được nhiều phương pháp giải khác nhau , cũng có bài phải phối hợp nhiều phương pháp một cách hợp lí mới giải được. Bài toán chứng minh bất đẳng thức được vận dụng nhiều vào các dạng bài toán giải và biện luận phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đặc biệt , tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức ...và đề thi học sinh giỏi huyện, thành phố, tuyển sinh vào lớp 10 thường có bài toán bất đẳng thức, trong khi đó sách giáo khoa phổ thông lại trình bày...Vì vậy học sinh cần thiết phải nắm được những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức . Trong thực tế ở trường THCS và THPT, học sinh gặp nhiều khó khăn khi giải các bài toán liên quan về bất đẳng thức , vì các bài toán chứng minh bất đẳng thức thường không có cách giải mẫu, không theo một phương pháp nhất định nên học sinh không xác định được hướng giải bài toán . Mặt khác vì nhận thức của học sinh THCS Và THPT còn có nhiều hạn chế và khả năng tư duy chưa tốt do đó học sinh còn lúng túng nhiều và không biết vận dụng kiến thức vào giải các dạng bài tập khác .. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 1.

(2) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Trong nội dung của đề tài này xin được tập trung giới thiệu các tính chất cơ bản, một số phương pháp hay được sử dụng khi chứng minh bất đẳng thức như : dùng định nghĩa , biến đổi tương đương , dùng các bất đẳng thức đã biết , phương pháp phản chứng, tam tức bậc hai …., một số bài tập vận dụng và các ứng dụng của bất đẳng thức nhằm giúp học sinh bớt lúng túng khi gặp các bài toán về chứng minh hay vận dụng bất đẳng thức , giúp học sinh có thể tự định hướng được phương pháp chứng minh, giải các bài toán liên quan và hứng thú hơn khi học về bất đẳng thức nói riêng và bộ môn Toán nói chung . Qua đề tài (một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức ) tôi muốn giúp học học sinh có thêm một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đó là lý do tôi chọn đè tài này, khi nghiên cứu không tránh khỏi những sai sot mác phải rất mong được sự góp ý của các thày cô giáo, các bạn để đề tài được hoàn thiện hơn, tôi xin chân thành cảm ơn! 2. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU.. - kỹ năng giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức - kỹ năng vận dụng bất đẳng thức để giải các bài toán: Tìm giá trị lớn nhất-nhỏ nhất, giải hệ phương trình, phương trình nghiệm nguyên, phương trình vô tỉ. 3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.. - Học sinh trung học cơ sở - Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của nó. 4- PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU :. Qua quá trình học tập từ trước đến nay, tham khảo tài liệu, thu thập tài liệu, đúc rút, tổng kết kinh nghiệm, kiểm tra kết quả kiểm tra chất lượng học sinh, nghiên cứu hồ sơ giảng dạy, điều tra trực tiếp thông qua các giờ học, thể hiện trên nhiều đối tượng học sinh khác nhau : Học sinh giỏi, khá và học sinh trung bình về môn Toán. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 2.

(3) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 5. PHẠM VI NGHIÊN CỨU.. Giới hạn ở phần chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng của bất đẳng thức ở chương trình toán trung học cơ sở B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ. PHẦN I.. CƠ SỞ LÝ LUẬN.. Để giải được bài toán đòi hỏi mổi người phải đọc kỹ bài toán xem bài toán yêu cầu cái gì, phải sử dụng những phương pháp nào để giải, đã gặp bài toán nào đã giải có dạng tương tự như bài toán đó hay không để từ đó có thể tìm ra cách giải. Đối với học sinh trung học cơ sở việc vận dụng khiến thức lý thuyết, nhận dạng bài toán để tìm ra cách giải chưa được rèn luyện nhiều đôi lúc trình bày vấn đề này còn sơ sài. Khi nghiên cứu về bất đẳng thức ta thấy rằng nó thật sự có tác dụng rèn luyện và phát huy khả năng tư duy để giải toán không chỉ riêng gì bất đẳng thức mà còn giải các dạng toán khác bởi muốn giải được nó đòi hỏi phải thật sự có một kiến thức toán học rất lớn. Phương pháp để giải các bài toán bất đẳng thức không ở đâu xa xôi ngoài chương trình của các em học sinh trung học cơ sở. Nhưng việc các em vận dụng nó như thế nào đó là vấn đề cốt lỏi. Muốn làm được điều đó đòi hỏi học sinh phải thật sự nắm vững kiến thức, phải có lập luận lôgic, xét đầy đủ các mặt khác nhau của bài toán, nhận dạng được bài toán. Đặc biệt các học sinh khá giỏi phải linh hoạt, sáng tạo không chỉ giải được bài toán mà còn phải khái quát được dạng của nó để đua ra phương pháp chung cho các bài toán khác tuơng tự. Khi giảng dạy cho học sinh các giáo viên phải rèn luyện cho các em nắm chắc phần lý thuyết, đưa ra các ví dụ minh hoạ cụ thể, các bài tập vận dụng, nên chú ý tạo cho các em cách nhìn nhận một bài toán để giải không nên giải tắt, làm tắt tạo cho học sinh khó hiểu thậm chí không hình thành được lôgic của toán học. Thời lượng chương trình dành cho bất đẳng thức ở phổ thông cơ sở là hạn chế. Do đó việc học tập và vận dụng thành thao cho các em sẻ khó khăn đói với các em có học lực trung bình, khá. PHẦN 2.. NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI.. I> CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý.. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 3.

(4) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 1) Định nghĩa bất đẳng thức + a nhỏ hơn b , kí hiệu a b , + a nhỏ hơn hoặc bằng b , kí hiệu a  b, + a lớn hơn hoặc bằng b , kí hiệu a  b , 2) môt số tính chất của bất đẳng thức: a) Nếu a  b và b  c thì a  c (tính chất bắc cầu) b) Nếu a  b và c bất kì thì a  c  b  c Tức là: Khi cộng vào 2 vế của bất đẳng thức với cùng một số bất kì thì bất đẳng thức không đổi chiều. c) Nếu a  b  c thì a  b  c Tức là: Ta có thể chuyển một số hạng của bất đẳng thức từ vế này sang vế kia và phải đổi dấu số hạng đó. d) Nếu a  b và c  d thì a  c  b  d Tức là: Nếu cộng vế với vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều ta được một bất đẳng thức cùng chiều. Chú ý: Không được cộng vế với vế của 2 bất đẳng thức ngược chiều e) Nếu a  b và c  d thì a  c  b  d Tức là: Nếu trừ vế với vế của 2 bất đẳng thức ngược chiều ta được một bất đẳng thức cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ. Chú ý: Không được trừ vế với vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều. f) Nếu a  b và c  0 thì ac  bc Nếu a  b và c  0 thì ac  bc Tức là: Nhân 2 vế của một bất đẳng thức với cung một số dương thf bất đẳng thức không đổi chiều Nhân 2 vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm thì bất đẳng thức đổi chiều. g) Nếu a  b  0 và c  d  0 thì ac  bd Tức là: Nếu ta nhân vế với vế hai bất đẳng thức cùng chiều có các vế đều dương thì ta được một bất đẳng thức cung chiều. Chú ý: Không được nhân vế với vế của hai bất đẳng thức ngược chiều.. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 4.

(5) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 1 1  0 h) Nếu a  b  0 thì b a Tức là: Nếu nhân 2 vế của bất đẳng thức đều dương thì phép lấy nghịch đảo dổi chiều của bất đẳng thức. n. k) Nếu a  b  0 và n nguyên dưong thì a  b Nếu a  b và n nguyên dưong thì a 3. Một số bất đẳng thức thông dụng. n. n.  b n 1. 2. + +. A 0( A 0  A 0); A A 2. A B   B A B (B 0).  A B A B    A  B + A  B  A  B . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A, B Cùng dấu + A  B  A  B . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A B 0 hoặc + A B 0 2 2 A  B  A  B + 2. 2. + a 0 (a 0  a 0) 2. 2. + a  b 2ab . (Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b ). a b  2 b a + (Với a, b cùng dấu) Chú ý: Để chứng minh một bất đẳng thức có nhiều cách, tuỳ thuộc vào từng dạng của bài toán. Sau đây là một số cách thường dùng. II> CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC.. 1. Pương pháp sử dụng định nghĩa Để chứng minh A B (hoặc A  B ) ta chứng minh A  B 0 (hoặc A  B  0 ) - Lưu ý : A2  0 với mọi A ; dấu '' = '' xảy ra khi A = 0 . - Ví dụ :. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 5.

(6) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Bài toán 1.1. Chứng minh bất đẳng thức Côsi đối với hai số thực không âm ( còn gọi là bất đẳng thức Ơclit ). a  b  ab a,b  R* 2. Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi a b Thật vậy,. a  b  ab  a  b  2 ab 0  ( a  2. b)2 0. Với mọi a,b 0. Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi a b . Bài toán 1.2. 2. a 2  b 2  c2  a  b  c    3 3   với mọi số thực a, b, c Chứng minh Phân tích: Đây là một đẳng thức khá quen thuộc, ta có thể giải bằng cách xét hiệu vế trái và vế phải. Lời giải: Xét hiệu. a b c 3 2. 2. 2. 2.  a  b c  2 2 2 2   3a  3b  3c  (a  b  c) 3  =  9 (a  b)2  (b  c)2  (c  a)2. =. a 2  b2  c2  a  b  c   3 3  . 9. 0. 2. Vậy Dấu “=” xảy ra  a b c. a 2  b2  c2  a  b  c   3 3  . 2. Do đó Khai thác bài toán:. - Bằng phương pháp xét dấu của hiệu A  B ta xét được sự đúng đắn của bất đẳng thức A B . Để ý rằng với 2 số thực bất kì u, v ta củng có:. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 6.

(7) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng u 2  v2  u  v  2  2  2   - tương tự như chứng minh trên ta có thể chứng minh bài toán sau Bài toán 1.3 . Với mọi số : x, y, z chứng minh rằng : x2 + y2 + z2 +3  2(x + y + z) Lời giải: Ta xét hiệu : H = x2 + y2 + z2 +3 - 2( x + y + z) = x2 + y2 + z2 +3 - 2x - 2y - 2z = (x2 - 2x + 1) + (y2 - 2y + 1) + (z2 - 2z + 1) = (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 Do (x - 1)2  0 với mọi x (y - 1)2  0 với mọi y (z - 1)2  0 với mọi z => H  0 với mọi x, y, z Hay x2 + y2 + z2 +3  2(x + y + z) với mọi x, y, z . Dấu bằng xảy ra <=> x = y = z = 1. Khai thác bài toán: Tương tự ta có thể chứng minh bài toán sau: Cho a, b, c, d, e là các số thực : Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 + d2 + e2  a(b + c + d + e) Bài toán 1.4. Chứng minh rằng:. a  b 2 b a với mọi a, b cùng dấu. Lời giải: 2. 2. 2. a  b  2 a b  2ab (a  b) b a ab ab Ta có: 2 (a  b) a, b cùng dấu  ab > 0  ab  0 a  b 2 Vậy b a dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a  b 0 hay a b Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 7.

(8) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Khai thác bài toán: 1.4.1 Chứng minh tương tự như trên ta có thể chứng minh được bài Toán sau Chøng minh r»ng víi mäi x tho¶ m·n 1 x 5, ta cã : 5 - x  x  1 2.. Hướng dẩn: 5 - x  x  1 2 . . . 2. 5 - x  x  1 2 4  4  2  5  x  x  1 4.   x 5    2  5  x  x  1 0  § óng dÊu b»ng khi   x  1    1.4.2. ab  bc  ca c 2 Chứng minh bất đẳng thức: với a ,b là cạnh 2. góc vuông của tam giác ABC, còn c là cạnh huyền. Hướng dẩn: Ta có : ab + bc + ca < 2.c2 hay ab + bc + ca < a2 + b2 + c2 Xét: a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca =. 1 2a 2  2b 2  2c 2  2ab  2bc  2ca    2 1 2  a  b   (b  c) 2  (c  a) 2  0 2. . . Bài toán 1.5. Chứng minh rằng nếu a.b 1 thì:. 1  1  2 . 1 a 2 1 b2 1 ab. Phân tích: Củng có thể xét hiệu 2 vế thì mới sử dụng được giả thiết a.b 1 (  ab  1 0 ) Lời giải: Xét hiệu:. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 8.

(9) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 1  1  2  1  1  1  1 1 a 2 1 b2 1 ab 1 a 2 1 ab 1 b 2 1  ab 2 (b  a) (ab  1) 0  (1 ab)(1 a 2 )(1 b 2 ) Khai thác bài toán: - Với 3 số dương a, b, c mà abc 1 , bất đẳng thức sau đúng hay sai? Chúng ta có thể phát triển bài toán tổng quát hay không? Nếu được, hãy phát biểu bài toán tổng quát.. 1  1  1  3 1 a 2 1 b2 1 c2 1 abc - Với 2 số x, y mà x  y 0 ta có: 1  1  2 1  4x 1  4 y 1 2x  y 2. Phương pháp biến đổi tương đương - Để chứng minh A B ta biến đổi tương đương A B  …  C D trong đó bất đẳng thức cuối cùng C D là một bất đẳng thức hiển nhiên đúng hoặc là bất đẳng thức đơn giản hơn bất đẳng thức A B . Sau khi khẳng định được tính đúng đắn của bấtđẳng thức C D ta kết luận bất đẳng thức A B đúng - Một số hằng đẳng thức thường dùng : (A+B)2=A2+2AB+B2 (A-B)2=A2-2AB+B2 (A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC (A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3 (A-B)3=A3-3A2B+3AB2-B3 Bài toán 2.1. Chứng minh rằng a, b, c, d  R thì. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 9.

(10) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng a 2  b2  c2  d2  e2 a(b +c +d +e) Lời giải. Bất đẳng thức đang xét tương đương với bấ đẳng thức sau: (nhân hai vế với 4, chuyển vế). (a 2  4ab  4b2 )  (a 2  4ac  4c2 )  (a 2  4ad  4d 2 ) +(a 2  4ae  4e2 ) 0.  (a  2b)2  (a  2c)2  (a  2d)2  (a  2e)2 0 là hằng đúng . Bài toán 2.2.. Cho a, b, c là các số thực. Chứng minh rằng:. a 2  b2 1 ab  a  b Lời giải: Bất đẳng thức    . a 2  b2 1 ab  a  b (a 2  b2 1)  2(ab  a  b) 0 (a 2  2ab  b2 )  (a 2  2a 1)  (b2  2b 1) 0 (a  b)2  (a  1)2  (b  1)2 0 đúng. Điều cần chứng minh Khai thác bài toán: Tương tự như bài toán trên hãy chứng minh bất đẳng thức sau: Cho a, b, c là các số thực. Chứng minh rằng:. a  b  c 2  1  1  1  bc ca ab  a b c  Bài toán 2.3.. x, y chứng minh rằng x 4  y4 xy3  x 3 y. Lời giải: Ta có:. x 4  y4  xy3  yx 3 x 3 (x  y)  y3 (x  y) 2   y 3y 2 2 (x  y)  (x  )  0 2 4  . Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 1.

(11) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng x 4  y4 xy3  x 3 y. Vậy Bài toán 2.4.. a 3  b3  c3  3abc 0 a b c Chứng minh rằng (1). Lời giải. Ta có: (1).  a b c  a . 2.  b2  c 2  ab  ac  bc  0 a b c. 1  (a  b)2  (b  c)2  (c  a)2 0 2. (2). (2) đúng  (1) đúng Bài toán 2.5. Chứng minh rằng. a 2 (1 b2 )  b2 (1  c2 )  c2 (1  a 2 ) 6abc (1). Lời giải:.  (a  bc)  (b  ac)  (c  ab) 0 (1) (2) đúng  (1) đúng Khai hác bài toán: Tương tự như trên ta có thể chứng minh bài toán sau 2.5.1 2. 2. 2. (2). Cho a  0; b  0 vµ a 3  b3 a  b. Chøng minh r»ng: a 2  b 2  ab  1. Hướng dẩn: a 3 + b 3 = a - b   a 3 - b 3   a 2 + b 2 + ab  =  a - b   a 2 + b 2 + ab . a3 - b3   a - b   a + b + ab  = a - b  a + b + ab = 3 a + b3 a3 - b3 2 2 VËy a + b + ab < 1  3 < 1  a3 - b3 < a3 + b3  0 < b3 3 a +b 3. 3. 2. 2. 3. 3. 2. 2. 2.5.2. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 1.

(12) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Chøng minh víi mäi sè dong a, b, c ta lu«n cã :. . a 2  b 2 b 2  c2 c2  a 2 3 a 2  b 2  c2    ab bc ca a bc Hướng dẩn:. .  a 2  b 2 b 2  c2 c2  a 2   3 a 2  b 2  c 2 B§ T   a  b  c    b c ca   ab c a 2  b 2 a b 2  c2 b c2  a 2    a 2  b 2  c 2 a b b c ca 2 2 2 ac c  a  bc c  b  ab b  a     0 § óng   a  b  b  c  a  b  a  c  c  a  b  c 3. Phương pháp quy nạp toán học - Kiến thức : Để chứng minh một bất đẳng thức đúng với n > 1 bằng phương pháp quy nạp toán học , ta tiến hành : + Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = 1 (n = n0) + Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k > 1 (k > n0) + Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1 + Kết luận bất đẳng thức đúng với n > 1 (n > n0) Chú ý: Khi chứng minh bất đẳng thức có n số (n  N) Thì ta nên chú ý sử dụng phương pháp quy nạp toán học - Ví dụ : Bài toán 3.1. Chứng minh bất đẳng thức Côsi trong trường hợp tổng quát.. . .  .  . . . Với a1, a 2... a n  R n , n 2 thì. a1  a 2 ...  a n n a .a ...a 1 2 n n. Lời giải: Ta dùng phương pháp quy nạp theo n :  Với n =2 bất đẳng thức đả được chứng minh ở 1. (bất đẳng thức Ơclit)  Để chứng minh bất đẳng thức tổng quát, trứơc hết ta hãy xét.  vài bất đẳng thức phụ. Nếu x1, x 2  R thì. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 1.

(13) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng x1  x 2  x1n  1  x 2n  1 . x , x  R . 1 2 Vậy phải, ta được). thì ta luôn có (chuyển một bộ phận sang vế. (x1n  1  x 2n  1)(x1  x 2 ) 0 x1n  x 2n x1x 2n  1  x 2 x1n  1.  Lấy n số thực không âm x1,x 2...x n  R , viết các bất đẳng thức tương ứng rồi cộng lại ta được:. (x1n  x 2 n )  (x1n  x 3 n )  ...  (x1n  x n n )  (x 2 n  x 3 n )  ...  (x 2 n  x n n )  ...  (x n  1n  x n n ) (x1 x 2 n  1  x 2 x1n  1 )  (x1 x 3 n  1  x 3 x1n  1 )  ...  (x1x n n  1  x n x1n  1 )  ... (x n  1x n n  1  x n x n  1n  1 ) (*). Từ đó:. (n  1)(x1n  x 2n ...  x n n )  x1(x 2n  1  x 3n  1 ...  x n n  1)  x 2 (x1n  1  x 3n  1 ...  x n n  1 )  x n (x1n  2  x 2n  1 ...  x n  1n  1). (**) Bây giờ theo giả thiết quy nạp, ta thừa nhận rằng đối với n  1 số thực không âm bất kì , trung bình cộng không nhỏ hơn trung bình nhân của chúng. Thế thì nói riêng ta có:. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 1.

(14) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng x 2n  1  x3n  1  ...  x n n  1 (n  1)x 2 x 3...x n x1n  1  x3n  1  ...  x n n  1 (n  1)x1x 3...x n. …………………………………………………. x1n  1  x 2n  1  ...  x n  1n  1 (n  1)x 2 x 2...x n  1 Sử dụng các bất đẳng thức này, ta có thể tăng cường các bất đẳng Thức ( ** ). (n  1)(x1n  x 2n  ...  x n n ) n(n  1)x1x 2...x n ) n n n Trong hệ thức này đặt x1 a1,x 2 a 2 ,...x n a n ta được a1  a 2...  a n n a .a ...a 1 2 n n ( đpcm ) Trong tất cả quá trình lý luận trên, dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x1 x 2 ... x n tức là khi và chỉ khi a1 a 2 ... a n Trong lý thuyết đả có một số bất đẳng thức được chúng minh bằng phương pháp quy nạp (bất đẳng thức Côsi, Becnuli, . . .) Sau đây ta xét một số bài toán khác. Bài toán 3.2.. u 2  v2  u  v  2  2  2   Tổng quát của bất đẳng thức Cho a, b là hai số dương, chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 2 Ta có:. u n  vn  u  v  n  2  2   Phân tích: Việc xét hiệu trực tiếp không đạt được kết quả vì vậy chúng ta có thể nghĩ đến cách sử dụng phương pháp quy nạp. Lời giải:. a  b  a  b    2. Với n 2 ta có:. 2. 2. . 2. 2.  (bằng cách xét hiệu).. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 1.

(15) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Giả sử bất đẳng thức đúng với n k , tức là. a k  bk  a  b    2  2 . k. Ta phải chứng minh bất đẳng thức củng đúng với n k 1 , tức là. a k 1  bk 1  a  b    2  2  Thật vậy,. a k  bk  a  b    2  2 . k . k 1. a  b . a k  bk  a  b    2 2  2 . k1. Ta chứng minh:.    . a k 1  bk 1 a  b . a k  bk 2 2  2 a k 1  bk 1 abk  a k b a k 1  a k b  bk 1  abk 0 (a k  bk )(a  b) 0 (a  b)2 (a k  a k  2b  ...  ab2 k  bk  1) 0. (đúng). Khai thác bài toán:. a) Bài toán vẩn đúng trong trường hợp a 0; b 0. a n  bn 1 2 b) Với a  b 2 ta có Bài toán 3.3.. n  N , n >1, chứng minh rẳng: 1  1 ...  1  13 n 1 n  2 2n 24. Lời giải:. VT 1  1  7 14  13 VP 3 4 12 24 24 Với n 2 tacó Giả sử bất đẳng thức đúng với n , nghĩa là ta có:. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 1.

(16) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 1  1  ...  1  13 n 1 n  2 2n 24 Ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với n 1 , nghĩa là phải chứng minh:. 1  1  ...  1  13 n 1 n  2 2(n 1) 24 VT  1  ...  1  ( 1  1  1 ) n 1 2n 2n 1 2n  2 n 1. Ta có. 1  1 ...  1   13 VP n 1 2n (2n 1)(2n  2) 24  Bất đẳng thức đúng với n 1 Kết luận : bất đẳng thức đúng với n  N , n >1. Tương tự như trên ta có thể chứng minh các bất đẳng thức sau. 1) Cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác vuông với c là cạnh huyền . Chứng minh rằng: a 2n  b2n c2n n  N 2) n  N , Chứng minh rằng: 22n 2  2n  5 3) n  N , n >1, chứng minh rẳng:. 1  1  ...  1  2  1 n 12 22 n2 a,b,c,d,e   0;1 thì Bài toán 3.4. Chứng minh rằng với 1  a  1  b 1  c 1  d  1  e 1  a  b  c  d  e Và hãy chứng minh một kết quả tổng quát hơn kết quả của bài toán trên. lời giải: Ta sẻ chứng minh kết quả tổng quát sau đây Với. a1 ,a 2 ,...,a n   0;1  n 2    1  a1   1  a 2  ...  1  a n   1  a 1  a 2  ...  a n Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 1.

(17) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Chứng minh bằng quy nạp toán học theo n. n 2  1  a. 1 a. 1  a  a a  1  a  a.  1  2  1 1 2 1 2 - Với - Giả sử kẳng định đún với n k , ta sẻ chứng minh khẳng định củng đúng với n k  1 Do khẳng định đúng với n k   1  a1   1  a 2  ... 1  a k   1  a1  a 2  ...  a k Với. 0  1  1  a k 1  0 . 1 a  1 1. a 2  ... 1  a k   1  a k 1    1  a 1  a 2  ...  a k   1  a k 1 . Mà vế phải bằng. 1  a1  a 2  ...  a k  a k 1   a1  a 2  ...  a k  a k 1        0.  1  a1  a 2  ...  a k  a k 1   1  a 1   1  a 2  ...  1  a k 1   1  a1  a 2  ...  a k 1 Vậy khẳng định đúng với n  2 4. Phương pháp tam thức bậc hai a) Các tính chất của tam thức bậc hai thương dùng trong bất đẳng thức 2 *. F(x) ax  bx  c. F(x) 0 . x  R (a 0). a  0     0 . *. a x b  (x  a)(x  b) 0. 4ac-b F(x) ax 2  bx  c  4a *.. 2. x  R (a  0). b) Phương pháp. *> Phương pháp 1: Để chứng minh bất đẳng thức M  N ta biến đổi 2 M  N  B  4AC 0. (A  0). Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 1.

(18) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 2 Xét tam thức F(x) Ax  Bx  C. ta chỉ cần chứng. minh F(x) 0 x  R *> Phương pháp 2: Để chứng minh bất đẳng thức M  N ta biến đổi. M  N  B2  4AC 0 . Xét tam thức F(x) Ax 2  Bx  C Ta chỉ cần chứng minh: x 0 / aF(x 0 ) 0 *> Phương pháp 3: Để chứng minh bất đẳng thức M  N ta biến đổi. M  N  Ax 2 Bx  C 0 x và chỉ cần chứng minh: B2  4AC 0  A  0 Bài toán 4.1.. Cho a, b là các số thoả mản điều kiện. a 2  a  2b  4b2  4ab 0 Chứng minh rằng 0 a  2b 1. (1). Phân tích Để ý rằng bất phương trình bậc hai. at 2  bt  c 0 (a  0)  t1  t  t 2 trong đó t1 , t 2 là các nghiệm của 2 tam thức at  bt  c ta có lời giải sau. Lời giải: 2 2 (1)  a  4ab  4b  (a  2b) 0.  (a  2b)2  (a  2b) 0 2 Đặt t a  2b  t  t 0  0 t 1  0 a  2b 1 Khai thác bài toán: Ta đã dùng định lý về dấu tam thức bậc hai để giải bài toán này. nên ta có thể giải các bài toán sau bằng một phương pháp khác đơn giản:. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 1.

(19) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Tìm giá trị lớn nhất (bé nhất) nếu có của các biểu thức: 2  2x  2003 x y x2 y  x 2  3x  2 2 Căn cứ vào đặc điểm Parabol y a.x  bx  c với a  0 ( a  0 ) quay. S  b ,    2a 4a  là điểm có tung độ bề lõm lên trên (xuống dưới), do đó đỉnh  . . bé nhất (lớn nhất), ta có thể thêm một cách tìm giá trị lớn nhất (bé nhất) của các bểu thức có dạng. y a.x 2  bx  c ( a 0 ) Bài toán 4.2.. x,y  R , chứng minh bất đẳng thức sau: x 2 y4  2(x 2  2)y2  4xy  x 2 4xy3. (1). Lời giải: (1). . (y2 1)2 x 2  4y(1 y2 )x  4y2 0 F(x) (y2 1)2 x 2  4y(1  y2 )x  4y2 ' 4y2 (1 y2 )2  4y2 (y2 1)2 '  16y2  '  f (x) 0   0     y  R x, y  R  . Bài toán 4.3.. Với a,b,c,d  R , chứng minh bất đẳng thức sau:. (a  b  c  d)2  8(ac  bd) .. (1). Lời giải:. (1) Xét tam thức.  a 2  2(b  3c  d)a  (b  c  d)2  8bd  0   a  R;b  c  d  F(a) a 2  2(b  3c  d)a  (b  c  d)2  8bd. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 1.

(20) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng ' (b  3c  d)2  (b  c  d)2 8bd ' 8(c  b)(c  d) '  0  F(a)  0. a  R. Vậy (1) đúng Bài toán 4.4. Chứng minh bất đẳng thức Côsi – Bunhiacôpski.. Cho n cặp số thực bất kì a i , bi , i =1,...,n. thế thì. (a1b1  a 2b2 ...  a n bn ) (a12  a 22 ...  a n 2 )(b12  b22 ...  bn 2 ) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi tồn tại số k  R sao cho b1 ka1 , b2 ka 2 , …, bn ka n Lời giải:. Với x  R ta có:. (a1x  b1)2 0. ……………….. (a n x  bn )2 0 Từ đó suy ra:. a12 x 2  2a1b1x  b12 0 …………………………... a n 2 x 2  2a n bn x  bn 2 0 Cộng vế với vế ta được. (a12  a 22  ...  a n n )x 2  2(a1b1  a 2b2  ...  a n bn )x (b12  b22  ...  bn n ) 0 f x Ax 2  2B'x  C với A 0 Và Vế trái là một tam thức bậc hai   f (x) 0 x  R nên nếu A  0 thì 2 ' B'  AC (a1b1  a 2b2 ...  a n bn )  (a12  a 22  ...  a n 2 )(b12  b22  ...  bn 2 ) 0 Và thu đựơc bất đẳng thức cần chứng minh.. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 2.

(21) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Còn nếu A 0 thì a1 a 2 ... a n khi đó bất đẳng thức cần chứng minh là hiển nhiên. Cuối cùng ta thấy dấu “=” trong bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi. ' 0  a1x b1 ... a n x bn  b1 ka1,...,bn ka n. Với k  R .. Khai thác bài toán: Tương tự như bài toán trên ta có thể chứng minh các bất đẳng thứưc sau: 2 2 1) 5x  3y  4xy  2x  8y  9 0 2 2 2) 3y  x  2xy  2x  6y  4 1. x, y  R x, y  R. 2 3) (x  y)  xy 1 (x  y) 3 Bài toán 4.5. Cho a.b 0 Chứng minh rằng:. a 2 b2 a b   3     4 0 b2 a 2 b a Lời giải: a b  Đặt x = b a. a 2 b2 x  2  2 2 b a a 2 b2  2 x 2  2 2  b a 2. ta có :. Bất đẳng thức trở thành:. x 2  2  3x  4 0  x 2  3x  2 0   x  1  x  2  0 Nếu ab  0 Thì ta có. a 2  2ab  b 2 0  a 2  b 2  2ab Chia cả hai vế cho ab ta được a 2  b2  2 ab Vậy x  2 x  1  x  2  0 Trong cả hai trường hợp thì  Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 2.

(22) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Dấu đẳng thức xảy ra khi a b 5. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy #>Với hai số a, b 0 ta luôn có:. a  b  ab 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b. Chứng minh: Cách1: (Phương pháp biến đổi tương đương) 2.  a b 2 a b  a.b    ab  (a  b) 0  2  2 Bđt hiển nhiên đúng. Đẳng thức xảy ra  a b . Cách 2: (Phương pháp hình học) + Nếu a 0 hoặc b 0 thì BĐT hiển nhiên đúng. + Nếu a  0 và b  0 thì ta đặt: HA a , HB b ( Hình vẽ ). . a b OI HC  HA.HB  a.b 2 C. I. H. B. O. Đẳng thức xảy ra  HC OI  H O  a b #> Dạng tổng quát của bất dẳng thức Cauchy Cho a1,a 2 ,...,a n 0 A a1  a 2  ...  a n n a a ...a 1 2 n n Ta có:. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1 a 2 ... a n Chứng minh bằng phương pháp quy nạp Bài toán 5.1..   a,b,c  0.Chøng minh  a + b +c   1  1  1  9 a b c Cho .. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 2.

(23) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Phân tích:. Vế trái chứa a,b,c  0 và các nghịch đảo của chúng.vì vậy ta nghĩ đến việc dùng bất dẵng thức côsi. Lời giải:. 1, 1,1 Cách 1 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các bộ 3 số a,b,c và a b c ta có:. a  b  c 3 3 abc. (1).. 1  1  1 33 1 a b c abc (2) Nhân từng vế của (1) và(2)ta đựơc: Cách 2:.  a  b  c   1a  1b  1c  9 . . . . (đpcm).  a  b  c   1a  1b  1c  3   ba  ac    ac  ac    bc  bc  3  2  2  2 9 . . . . . . . . . . Dấu “=”xảy ra  a b c Khai thác bài toán: Tương tự như trên ta có thể chứng minh được bất đẳng thức sau Cho a,b,c  0 và a  b  c  d 1 Chứng minh rằng. a  b  c  b  c  d  b  d  a  c  d  a 2 3 Bài toán 5.2.. Cho a, b, c  0 và a  b  c 1.. 1 1 1   9 2 2 2 a  2bc b  2ca c  2ab Chứng minh rằng Lời giải:. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 2.

(24) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 1 1 1   a 2  2bc b 2  2ca c 2  2ab 1 1 1 2   a  b  c   2  2  2   a  2bc b  2ca c  2ab    a 2  2bc    b 2  2ca    c 2  2ab   . 1 1 1    2  2  2  9  a  2bc b  2ca c  2ab  Khai thác bài toán. Chứng minh tương tự như trên ta có thể chứng minh được các bài toán sau 5.2.1. Chứng minh rằng với mọi a,b  0 thoả mãn a + b = 1 ta có. 1 1  2 6 ab a  b 2. 5.2.2. Chøng minh r»ng víi mäi a, b  0 tho¶ m·n : a.b  1, ta cã:. Hướng dẩn:. 1 1 2   3 a b a b. 1 1 2 2 a b a b 2    a  b      a b a b a b 2 2 a b a b  a b 2       ab  2 3 2 2 a  b   Bài toán 5.3.. 11 4 Cho x,y >0, chứng minh x y x  y. (1). Phân tích : Do x,y >0 nên bất đẳng thức (1)có thể suy từ bất đẳng thức Côsi hoặc trực tiếp xét hiệu.. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 2.

(25) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Lời giải : Cách 1:. Sử dụng bất đẳng thức Côsicho hai số dương:. x  y 2 xy  x  y 2 4xy. . .  xy  4 . xy x  y Cách hai :. Xét hiệu của hai vế.. Khai thác bài toán: Bất đẳng thức trên có liên quan đến viêc “cộng mẫu” nên có thể sử dụng để chứng minh bất đẳng thưc sau: Bài toán 5.3.1 Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác, chứng minh rằng:. 1  1  1 2  1  1  1  a b c p  a p  b p  c  a b c  . Trong đó p= 2 . Bài toán 5.3.2. 3 5 Cho a  0;b  0 , chứng minh rằng 2 a  b 5 ab Hướng dẩn. Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các số. . Bài toán 5.4.. a,. a,. 3. b,. 3. b,. 3. b. a + a + 3 b + 3 b + 3 b 5 5 ab 2 a  3 b 5 5 ab Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. a  b  c 3 Chứng minh rằng: bc a a c b ba  c .. Lời giải: Cách 1:. Nhận xét: Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên ta có. a  b  c  0; a  c  b  0; b  c  a  0.. Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các cặp số dương:. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 2.

(26) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng (a  b  c)(a  c  b) a  b  c  a  c  b a 2 (a +c-b)(b + c-a) c. (1). (b +c-a)(b +a -c) b. (3). (2). Để ý rằng cả 2 vế của các bất đẳng thức (1) (2) (3) là các số dương và ba bất đẳng thức này cùng chiều, nhân từng vế của chúng ta được. (a  b  c)(a  c  b)(b  c  a) abc.. Trở lại bài toán:. a  b  c 33 abc b c  a a c  b b a  c (b  c  a)(a  c  b)(a  b  c) 3 3 abc abc Cách2:. Đặt x b  c  a;y a  c  b;z a  b  c , khi đó x, y,z  0 và. a y  z ,b x  z ,c x  y 2 2 2 .. Vế trái:. a  b  c 1 ( y z  x z  x  y ) b c  a a c  b b a  c 2 x y z. 1 x y x z y z 1  (      )  (2  2  2) 3 2 y x z x z y 2. . x y  y  x 2   x z   2  z x y z   2  z y. x y z  a b c.. Dấu “=” xảy ra Khai thác bài toán: Trong bài toán trên chúng ta đã sử dụng ẩn phụ hoặc dùng bất đẳng thức Côsi để giải. Sử dụng cách thức trên, hảy giải bài toán sau:. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 2.

(27) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 1) Cho a,b,c  0 và a  b  c  d 1 Chứng minh rằng. a  b  c  b  c  d  b  d  a  c  d  a 2 3 2) Cho a,b,c,d  0 , Chứng minh rằng: 3 a) (1 a)(1 b)(1 c) (1  abc ). (a  b)(c  d)  (a  c)(b  d)  b).  (a  d)(b  c) 6 4 abcd. x ,x ,...,x n   0;1 Bài toán 5.5. Cho 1 2 , chứng minh rằng: (1 x1 ...  x n )2 4(x12  x 22 ...  x n 2 ) Lời giải: 2 Theo Côsi ta có: (1 x1  ...  x n ) 4(x1  x 2  ...  x n ). 4(x12  x 22  ...  x n 2 ) xi xi2. Do. 6. Phương pháp sử dụng Bất đẳng thức Bunhacôpski #> Với a, b, c, d  R tacó:. ac  bd  (a 2  b2 )(c2  d 2 ) a c Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi b d #> Trường hợp tổng quát Cho n cặp số Ta có:. a1,a 2 ,...,a n b1,b2 ,...,bn. (a1b1  a 2b2  ...  a n bn )n. (a12  a 22...  a n 2 )(b12  b22  ...  bn 2 ) a1 a 2 ... a n bn Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi b1 b2 Bài toán 6.1.. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 2.

(28) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Víi c¸c sè a, b, c > 0 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn abc = 1. Chøng minh r»ng : a.  ab + a + 1. 2. +. b.  bc + b + 1. +. 2. c.  ca + c + 1. . 2. 1 . a+b+c. Lời giải:. VT    . a.  ab  a  1 a.  ab  a  abc  1 a  bc  b  1. 2. 2. . . 2. . b 2.  bc  b  1 b.  bc  b  1 b.  bc  b  1. 2. 2. . . . c.  ca  c  1. 2. cb 2.  abc  bc  b . 2. b 2c.  bc  b  1. 2. 1. 1  .  b  b 2c    bc  b  1  a 2. á p dụng bất đẳng thức Bunhia - copxki cho hai bộ số : 1 ; b;b c ta cã : a   1 2 2 2 b + c  .  +   a   . a; b; c vµ  . 2.       a. +. 2. 2 2 + b c   1 + b + bc  hay .    b. . 1 2  + b + b 2 c   bc + b + 1 a .  a + b + c   . 1. 1 1 2  . + b + b c    2   a + b + c  bc + b + 1  a. Bài toán 6.2.. a a ,...,a n Cho n số thực 1, 2 và n số dương ( n 1 ). Chứng minh rằng. (§PCM). b1,b2 ,...,bn. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 2.

(29) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng a12  a 22  ...  a n 2 (a1 a 2 ...a n ) b1 b2 bn b b ...b 1. 2. 2. n. Phân tích: Bất đẳng thức trên tương đương với   (a1  a 2 ...  a n )2  ( a1 )2 ...  ( a n )2  .  ( b1 )2 ...  ( bn )2  bn     b1 .. Vậy ta có lời giải sau. Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhacôpski cho n cặp số:. a12 a 22 an2 b1 , b2 ,…, bn Và b1 , b2 , …, bn ta có:    2 2 a a 2 n  a1   a1  ...  a n  (b ...  b ) b  b  ...  b 1 2 n  n  b b1 bn  1  b b 1 2 n  . a12 a n 2 (a1 ...a n ) 2  ...  b1 bn b1 ...b n . Dấu “=” xảy ra Bài toán 6.3.. a1 a2 an b1 b b  2 ...  n  a1 ... a n b1 bn b1 b2 bn .. a,b,c  3 ,a  b  c 3 4 Cho . Chứng minh rằng 4a  3  4b  3  4c  3 3 7. Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhacôpski cho 3 cặp: ( Ta có. 4a  3 ;1), (. 4b  3 ; 1), (. 4c  3 ; 1). 4a  3  4b  3  4c  3 3(4a  3  4b  3  4c  3) 3 7 Khai thác bài toán: Bằng cách xét các cặp số như trên ta có thể giải các bài toán sau:. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 2.

(30) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 2 2 2 x  2y  3z  14 1) Cho x  y  z 1, chứng minh rằng. 2) Cho a,b,c 0 , chứng minh rằng:. a  b  c 1  a  b  b  c  c  a  6 3) Cho a,b,c 0 , chứng minh rằng: c(b  c)  c)a  c)  ab 4) Chứng minh rằng:. (a1  a 2  ...  a n )2 n(a 22  a 22  ...  a n 2 ) 5) Cho ax  by C , chứng minh rằng: 2 2 2 A2 x 2  B2 y2  2A2B C2 2 a B b A Bài toán 6.4. Chứng minh rằng sin( x )+cos( x )  Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhacôpski:. 2 x  R. 1.sin(x)+1.cos(x )  (12 12 )(sin(x) 2 cos(x) 2 )  2  sin( x )+cos( x ). . 2 x  R. Bài toán 6.5.. Cho a,b,c là các số dương. chứng minh bất đẳng thức:. Lời giải:. a 2  b2  c2 a  b  c 2 b c c a a b Áp dụng bất đẳng thức Bunhacôpski.. 7. Phương pháp phản chứng. - Kiến thức : Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai , sau đó vận dụng các kiến thức đã biết và giả thiết của đề bài để suy ra điều vô lý . Điều vô lý có thể là trái với giả thiết , hoặc là những điều trái nhược nhau , từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh là đúng . - Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức :. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 3.

(31) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng + Dùng mệnh đề đảo + Phủ định rồi suy ra điều trái với giả thiết . + Phủ định rồi suy ra trái với đIều đúng . + Phủ định rồi suy ra hai điều trái ngược nhau . + Phủ định rồi suy ra kết luận . - Các ví dụ : Bài toán 7.1. 3 3 Cho a  b 2 , Chứng minh rằng: a  b 2 Lời giải: 3 3 3 3 3 3 Đặt a = m , b = n thì a m , b n . Ta có m + n =2 Cần chứng minh m  n  2 . Giả sử m  n  2 thì. (m  n)3  8  m3  n3  3mn(m  n)  8  2  3mn(m  n)  8  mn(m  n)  2  mn(m  n)  m3  n 3 Chia 2 vế cho số dương m  n (theo giả thiết phản chứng) mn  m2  mn  n 2  0  (m  n)2 (vô lí) Vậy phải có m  n  2 Bài toán 7.2. Cho 25 số tự nhiên a1 ,a 2 ,...,a 25 thoả mãn điều kiện. 1  1 ...  1 9 a1 a2 a 25 .. Chứng minh rằng trong 25 số tự nhiên đó, tồn tại hai số bằng nhau. Lời giải: Chứng minh bằng phản chứng. Giả sử trong 25 số tự nhiên đả cho, không có hai số nào bằng nhau. Không mất tính tổng quát, giả sử. a1  a 2  ...  a 25 a1 1,a 2  2,...,a 25  25 Suy ra 1  1 ...  1  1  1  ...  1 a1 a2 a 25 1 2 25 Thế thì. (1). Ta lại có. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 3.

(32) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 1  1  ...  1 1 2 25  2 25  1 9 (2) 1  1 ...  1 a1 a2 a 25 < 9, trái với giả thiết. Vậy Từ (1) và (2) suy ra tồn tại hai sô bằng nhau trong 25 số a1,a 2 ,...,a 25 . Bài toán 7.3. Chứng minh rằng không có 3 số dương a, b, c nào thoả mãn cả 3 bất đẳng thức:. a Lời giải:. 1  2; b. 1 1 b   2; c  c a. Giả sử tồn tại ba số dương a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thức:. a. 1  2; b. 1 1 b   2; c   2 c a. Cộng theo từng vế ba bất đẳng thức trên, ta được:. 1 1 1 a  b c 6 b c a 1  1  1    a    b    c    6 a  b  c . (1). Vì a, b, c > 0 nên ta dể dàng chứng minh được. 1 1 1  2; b   2; c   2 b c a 1  1  1   a     b     c   6 a  b  c Như vậy  điều này mâu thuẩn với (1). Vậy không tồn tại các số dương a, b, c thoả mãn cả 3 bất a. đẳng thức đã cho. Khai thác bài toán: Tương tự như bài toán trên ta có thể chứng minh được bất đẳng thức sau. Chứng minh rằng không có 3 số dương a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng 3. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net.

(33) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Thức sau:. 4a(1  b)  1; 4. 4. 3. 4b(1  c)  1 ;. 4c(1  a)  1. 3. Bài 7.4 Cho a  b  a  b Chứng minh rằng: a  b  2 Lời giải Phương pháp phản chứng:. a 1  x  b 1  y với x  y 0 Giả sử a  b 2 .Đặt  Xét hiệu: 4. 4. 3. a 4  b 4  a 3  b 3  1  x    1  y    1  x    1  y . 3.  x  y   3  x 2  y 2   3  x 3  y 3   x  y   3  x 2  y 2   3  x  y   x 2  xy  y 2  0 x; y 4. 4. 3. 3. 4 4 3 3 hay a  b  a  b 0  với a  b 2 Thì: a  b a  b Trái. với giả thiết . Vậy a  b  2 Bài 7.5. cho. 3. 3. : a b 2. Chứng minh rằng: a  b  2. Lời giải : Phương pháp phản chứng.. Giả sử a  b 2. a 1  x  b 1  y ta đặt . với. x  y 0. Ta có: 3. 3. a 3  b 3  1  x    1  y  2  3  x  y   3  x 2  y 2   x 3  y 3 =. 2  3  x  y   3  x 2  y 2    x  y   x 2  xy  y 2 2 . Vì x  y 0. 3. 3. Suy ra a  b 2 Trái giả thiết.Vậy a  b  2. 8. Phưong pháp hình học.. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 3.

(34) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Nói chung ta sử dụng các bất đẳng thức trong tam giác: *> Tổng hai cạnh trong tam giác bao giờ củng lớn hơn cạnh còn lại. *> Hiệu hai cạnh trong tam giác luôn bé hơn cạnh còn lại. A  B  C  *> ABC *> Lưu ý đến tính chất các cung liên két: Đối, phụ, bù, khác  Bài toán 8.1. Chứng minh bất đẳng thức sau với a,b,c,d  0. (a 2  c2 )(b2  c2 )  (a 2  d 2 )(b2  d2 ) (a  b)(c  d) Lời giải: Xét tứ giác ABCD Có AC  BD,O là giao điểm của hai đường chéo;. OA a,OC b,OB c,OD d với a,b,c,d  0 . Theo định lý Pitago:. AB  a 2  c2 ,BC  b2  c2 ,AD  a 2  d 2 ,CD  b 2  d 2 AC a  b,BD c  d Cần chứng minh AB.BC  AD.CD AC.BD Thật vậy, ta có. Suy ra. AB.AC 2S ABC AD.CD 2S ADC AB.BC  AD.CD 2SABCD AC.BD. (a 2  c2 )(b2  c2 )  (a 2  d 2 )(b2  d 2 ) (a  b)(c  d) Vậy Cách giải khác. Áp dụng bất đẳng thức Bunhacôpski (m2  n 2 )(x 2  y 2 ) (mx  ny)2 với m a,n c,x c, y b ta được điều cần chứng minh.. Bài toán 8.2. Chứng minh bất đẳng thức sau bằng phương pháp hình học:. a 2  b2 b2  c2 b(a  c) với a,b,c là những số dương Lời giải: Đặt các đoạn BH a,HC c trên một đường thẳng. Kẻ đoạn. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 3.

(35) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng HA b vuông góc với BC . Dể thấy. AB.AC 2SABC BC.AH. Khai thác bài toán: Tương tự như trên ta có thể chứng minh đươc bất đẳng thức sau Chứng minh bất đẳng thức sau bằng phương pháp hình học :. a  b . b  c b(a  c) với a, b,c  0 2. 2. 2. 2. Bài toán 8.3.. Cho tam tam giác ABC có các cạnh a, b, c và các đường cao tương ứng h a , h b , h c . Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác. Chứng minh rằng. r , r , r 1 ha hb hc 2. Phân tích: Chúng ta biết rằng bán kính đường tròn nội tiếp tam giác và đường cao liên quan trực tiếp đến công thức diện tích. Vì vậy chúng ta sể sử dụng diện tích tam giác để tính r và h a , h b , h c Lời giải:. S Pr  r S p. Ta có:. 2S a.h a  h a 2S a r a  a a   a 1 h a 2p a  b  c a  (b  c) a  a 2. Vậy Trong quá trình chứng minh bất đẳng thức ta đả sử dụng đến bất đẳng thức tam giác “trong một tam giác, tổng hai cạnh lớn hơn cạnh còn lại”. Khai thác bài toán.. Nếu thêm vào điều kiện tam giác ABC có a, b thoả mãn điều kiện. r 0,4 a  b  c 2 thì h c. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 3.

(36) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Ta có thể áp dụng “trong một tam giác, tổng hai cạnh lớn hơn cạnh còn lại” để chứng minh các bất đẳng thức sau: 1) Cho tam tam giác ABC có các cạnh a, b, c . Chứng minh rằng. a 2  b2  c2  2(ab  ac  bc) 2) Cho tam tam giác ABC có các cạnh a, b, c . Chứng minh rằng. abc (a  b  c)(b  c  a)(c  a  b) với a  b  c 3) Cho tam tam giác ABC có các cạnh a, b, c . Chứng minh rằng. a 3(b2  c2 )  b3(c2  a 2 )  c3(a 2  b2 )  0 với a  b  c Bài toán 8.4. Cho tam giác ABC có các cạmh góc vuông là a,b và Cạnh huyền là c . Chứng minh rằng ta luôn có ab c 2 Lời giải: 2. 2. 2. 2. Với mọi a, b ta luôn có a  b 2ab . Nhưng a  b c ( Định lý Pitago) Nên:. c 2 2ab  2c 2 a 2  b 2  2ab  2c 2  a  b . 2. 2. a b 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b  c 2 a  b  c . Bài 8.5. Cho a, b, c , là độ dài ba cạnh của một tam giác CMR:. (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) abc Lời giải: Bất đẳng thức về ba cạnh của tam giác cho ta viết. b  c  a  0  a 2  (b  c) 2 a 2 c  a  b  0  b 2  (c  a) 2 b 2 Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 3.

(37) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng a  b  c  0  c 2  (a  b) 2 c 2 a 2  (b  c) 2 b 2  (c  a) 2 c 2  (a  b) 2 a 2 b 2 c 2. Từ đó.   a  b  c   a  b  c   b  c  a   b  c  a   c  a  b   c  a  b  a 2 b 2c 2 2. 2. 2.   a  b  c   b  c  a   c  a  b  a 2 b 2c 2   a  b  c   b  c  a   c  a  b  abc Vì a, b,c là 3 cạch của một tam giác nên a b c 0 bc a 0 ca  b 0 Và abc  0 Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh 9. Phương pháp sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số Bài toán 9.1. chứng minh rằng với mọi số thực x  2 3x  4x  5x (1) Phân tích: 2. 2.  3  4 3  4 5       1  5  5 Để ý rằng 3, 4, 5 là bộ số Pitago: và x x     y  3  , y  4  5  5  nghịch biến, ta có lời giải sau: các hàm số 2. Lời giải: Bất đẳng thức (1) .  3   5. a.    4  5. x . 2. a. 1. 2. .. x .   y  3  , y  4   5  5  nghịch biến (cơ số bé hơn 1) Do các hàm số mũ Nên với x  2 ta có:. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 3.

(38) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng x. 2. x. 2.  3  3  4  4          5 <  5 ,  5 <  5 .  3   5. x. x.      4   3   5 < 5. 2. 2.    4   5  =1 . 3 4 5 . Vậy Khai thác bài toán: a a a Bất đẳng thức x  y  z ( a  2 ) đúng với mọi bộ số Pitago ( x. x. x. x, y,z  R được gọi là bộ số Pitago nếu x 2  y2  z2 ) 10. Phương pháp làm trội, làm giảm. Dùng tính chất của BĐT để đưa một vế của BĐT cần chứng minh về dạng để tính tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn. Bài toán 10.1. Chứng minh bất đẳng thức sau với n  N,n 2 .. 2 n  3  1  1  ...  1  2 n  2 n 2 3. Lời giải:. 1  1  ...  1 n. 3 A 2 Đặt a) Chứng minh A > 2 n  3 bằng cách làm giảm mổi số hạng của A : 1 2 2  2( k 1  k ) k k k k 1  k với mọi k  N* Do đó. A  2  ( n 1  . n ) ...  ( 4 . 3)  ( 3 . 2)   . 2( n 1  2) 2 n 1  2 2  2 n 1  3  2 n  3. b) Chứng minh A < 2 n  2 bằng phương pháp làm trội mổi số hạng của A : 1 2 2  2( k  k  1) * k k k k  k 1 với mọi k  N Do đó. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 3.

(39) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng A  2  ( n  2( n . n  1)  ...  ( 3 . 2)  ( 2 . 1)  . 1) 2 n  2. * Bài toán 10.2. Chứng minh các BĐT sau với n  N : 1  1 ...  1  2  1 2 2 n n2 a) 1 2 1  1  ...  1  5 2 2 n2 3 b) 1 2. Lời giải: a) Với k 1 ta có. 1  1  1 1 k 2 k(k  1) k  1 k Lần lượt thay k 2,3,...,n rồi cộng lại ta có: 1  1  ...  1 1 1 n  đpcm 12 22 n2 b) Với k 1 ta có: 1  2 1  1    k2  2k  1 2k 1  Lần lượt thay k 2,3,...,n rồi cộng lại ta có: 1  1  ...  1 1 2(1  1 ) 1 2 5 12 22 n2 3 2n 1 3 3. Khai thác bài toán: Tương tự như trên ta chứng minh được bất đẳng thức sau:. 1  1  1 ...  1 2 2 3 2 4 3 (n 1) n. 11. Phương pháp dung miền giá trị hàm số.. Đ ể chứng minh B  F(x)  A Với mọi x ta đặt y= F(x)  y- F(x) =0 (*). Biện luận phương trình (*) theo y,  y  (A,B)  đpcm Bài toán 11.1. Chứng minh rằng. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 3.

(40) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 1 x 2  x 1 3 3 x2  x  1 với mọi x Lời giải:. x 2  x 1 y = x 2  x  1 có miền xác định D=R Đặt  (y  1)x 2  (y 1)x  y  1 0 có ngiệm  với y 1  x 0  với y 1 ta có Khai thác bài toán:.  0  (y 1)2  4(y  1)2 0  1  y  3 3. Tương tự chúng ta có thể chứng minh được các bài toán sau:. 2x 2  x  1 1  2 2x  x  1 3 với mọi x 1) 12.. Sử dụng phương pháp đánh giá:. Đây là PP tương đối khó trong việc chứng minh BĐT, tuỳ từng dạng bài mà có có cách đánh giá khác nhau.Cần chỳ ý điều kiện đề bài để có hướng đi phù hợp nhất cho bài toán Bài toán 12.1. Cho x, y, z là ba số thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0 ; 2]. 2(x  y  z)  (xy  yz  zx) 4 Chứng minh rằng: Lời giải: Do giả thiết x, y, z là ba số thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0 ; 2].  (2  x)(2  y)2  z) 0  8  4xyz  2(xy  yz  xz)  xyz 0 1  4 2(x  y  z)  (xy  xz  yz)  xyz 2 2(x  y  z)  (xy  xz  yz) Suy ra ĐPCM. Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi X 2, Y Z 0 4. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net.

(41) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Bài toán 12.2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n 3 ta đều có :. n n 1   n  1. n. Lời giải: 4. 3. 4. 3. Ta có 3 81, 4 64  3  4  Bất đẳng thức cần chứng minh đúng với n 3 n. n.  n 1   1  n    1   n n    n n  3 Với , ĐPCM. (1). Ta lại có n. 1 n n(n  1) 1 n(n  1)...(n  n  1) 1  1 k . 2  ...  . 2  1    C n . k 1   n n n 2! n n! n   1  1 1  1  2  1  1   1    ...   1    1   2!  n  n!  n   n  1 1 1 1  1  1   ...   1  1   ...  n  1 2! n! 2 2 1 1 1  1  1   ...  n  1  ... 1  3 1 2 2 1 2 n  1   1    3  n  (1)  n Bài toán 12.3.. x; y;z   0;1 .. Cho Chứng minh rằng. 2(x 3  y3  z 3 )  (x 2 y  y 2 z  z 2 x) 3. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 4.

(42) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng x; y;z  0;1.   Lời giải:  1  x 2 ;1  y 2 ;1  z 2 ;1  x;1  y;1  z 0 x 3  x 2 ; y3  y 2 ;z 3  z 2  1- y - x 2  x 2 y  1  z  y 2  zy 2  1  x  z 2  z 2 x 0  3  (x 2  y 2  z 2 )  (x  y  z)  x 2 y  y 2z  z 2 x 0  3 x 2  y 2  z 2  x  y  z   x 2 y  y 2z  z 2 x . Dấu “ ” xảy ra khi và chỉ khi hoặc 2 trong 3 số x; y;z bằng 1, số còn lại bằng 0 Biến đổi riêng tưng vế rồi so sánh kết quả suy ra điều chứng minh Bài toán 12.4. Chứng minh rằng. 200300  300200 Lời giải: Ta có. 200300 (2003 )100 8000000100 300200 (3002 )100 90000100 . 200300  300200 (đpcm). Bài toán 12.5. CMR: x1 x 2  x 2 x 3   x 2002 x 2003  x 2003 x1 x12  x 22   x 22003 Lời giải: Xét bất đẳng thức: 2 2 2 2 0  x1  x 2    x 2  x 3     x 2002  x 2003    x 2003  x1  2 2 0  x12  2x1x 2  x 22    x 22  2x 2 x 3  x 32     x 2002  2x 2002 x 2003  x 2003 .   x 22003  2x 2003x1  x12  2 2x1x 2  2x 2 x 3   x 2003 x1 2x12  2x 22   2x 2003 Từ đó suy ra ĐPCM. 13. Phương pháp dùng tính chất tỉ số Cho 3 số dương a, b, c :. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 4.

(43) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng a  (a  c) a 1 Nếu b thì b (b  c) a  (a  c) a 1 Nếu b thì b (b  c) a  c  a  (a  c)  c b (b  d) d Nếu b,d  0 thì từ b d Bài toán 13..1.. Cho 3 số dương a, b, c . Chứng minh rẳng. 1 a  b  c  2 a b c b a c. Lời giải: Do c  0 Tương tự ta có Và. a  a  a c a  b  c a  b a  b  c (1) a   b  a b a  b  c c  b a  b  c (2) . . c  c  b c a b c a c a b c. (3) Cộng vế theo vế của 3 bất đẳng thức kép trên ta được:. 1 a  b  c  2 a b c b a c. (đpcm). Bài toán 13.2.. Chøng minh r»ng : 1 1 1 1    a 2  2b 2  3 b 2  2c2  3 c 2  2a 2  3 2 trong dã a, b, c lµ c¸c sè thùc d ong tho¶ m·n: abc 1 Lời giải. a 2  b 2 2ab; b 2  1 2b  a 2  2b 2  3 2  ab  b  1  Tương tự ta. 1 1 1  . a 2  2b 2  3 2 ab  b  1. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 4.

(44) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 1 1 1  . b 2  2c2  3 2 bc  c  1 1 1 1  . c 2  2a 2  3 2 ac  a  1 Lại có : 1 1 1 1 ab b     2  ab  b  1 bc  c  1 ac  a  1 ab  b  1 ab c  abc  ab abc  ab  b. 1 ab b 1  ab  b    1 ab  b  1 ab  b  1 ab  b  1 ab  b  1 1 1 1 1    . 2 2 2 2 2 2 a  2b  3 b  2c  3 c  2a  3 2 Vậy . 14. Phương pháp sử dung các bất đẳng thức trị tuyệt đối * Một số bất đẳng thức thông dụng 2. 1> 2>. A 0( A 0  A 0); A A 2. A B   B A B (B 0).  A B A B    A  B 3> A  B  A  B . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A, B Cùng 4> dấu. A  B  A  B . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A B 0. 5>. hoặc 6>. A B 0 A  B  A 2  B2. *. a ,a ,...,a n thế thì hiển nhiên a) Cho các số thực 1 2 a1  a 2  ...  a n  a1  a 2  ...  a n b) Cho các số thực khác không bất kì a, b thế thì: Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 4.

(45) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng a b  2 b a dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b Thật vậy: 2.  a b    0  b a. 2. 2. 2. 2.  a  b      2  b  a .  a   b        2 4  b  a  2. a b  a b     22   2 b a b a Bài toán 14.1.. Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c . Biết rằng a  b  c Chứng minh rằng:. a b c b c a      1 b c a c a c Lời giải:. Ta có. a b c b c a a 2c  b 2 a  c 2 b  a 2 b  c 2 a  b 2 c       b c a c a c abc.  a  b  b  c  c  a  abc. =. Mà a, b, c là 3 cạnh của một tam giác nên:. a  b  c; b  c  a; c  a  b   Vậy 15..  a  b  b  c  c  a   a  b  b  c  c  a .  abc. 1 abc a b c b c a      1 b c a c a c. Phương pháp Đổi biến số. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 4.

(46) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng - Kiến thức : Thực hiện phương pháp đổi biến số nhằm đưa bài toán đã cho về dạng đơn giản hơn , gọn hơn , dạng những bài toán đã biết cách giải ... - Các ví dụ : Bài toán 15.1. Chứng minh bất đẳng thức Netbit Lời giải:. a  b  c 3 , a,b,c  0 b c a c a b 2. Đặt x b  c, y a  c,z a  b. a y  z  x ,b x  z  y ,c x  y  z 2 2 2 Khi đó x,y,z > 0 và a  b  c 1  y  z  x  x  z  y  x  y  z   2 2 2  Ta có: b  c a  c a  b 2  Dấu (=) xảy ra  a b c Cách khác:. a  b  c 1  x  y  z  x  y  z  x  y  z  6    x y z b  c a  c a  b 2   1  x  y  z  1  1  1  6   1 9  6 3    x y z  2  2 2     Khai thác bài toán : Bằng cách tương tự, ta có thể chứng minh được các bất đẳng thức sau:. 2 2 2 9    b c c a a b a b c a2 b2 c2 a b c 2)    b c ca a b 2. 1). Bài toán 15.2. Chứng minh rằng ; với mọi số thực x, y ta có bất đẳng thức :. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 4.

(47) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 1 (x 2  y 2 )(1x 2 y 2 ) 1   2 2 2 2 4 (1  x ) (1  y ) 4 Lời giải:. x 2  y2 1  x 2 y2 2 2 2 2 Đặt : a = (1  x )(1  y ) và b = (1  x )(1  y ) (x 2  y 2 )(1  x 2 y 2 ) 2 2 2 2 => ab = (1  x ) (1  y ) 1 1 (a  b) 2 ab  (a  b) 2 4 Ta có dễ thấy với mọi a, b thì : - 4 2 2   2  1  x 2  1 a  b  Mà : =  2  1  2  a  b  =  y2  1 1 1  ab  4 4. Suy ra : Bài 15.3.. 2. Cho a,b,c  0;. a  b  c 1 . Chứng minh rằng : 1 1 1   9 a 2  2bc b 2  2ca c 2  2ab. Lời giải: 2 2 2 a  2bc  x;b  2ac  y;c  2ab z Đặt : x  y  z a 2  2bc  b 2  2ac  c 2  2ab 2. Khi đó.  a  b  c  1. Bài toán trở thành : Cho x, y,z  0;x  y  z 1 Chứng minh rằng : 1 1 1   9 x y z. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 4.

(48) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 1 1 1 (   ) 9 x  y  z x y z Ta chứng minh được :  (Theo bất đẳng thức Côsi ) 1 1 1   9 x  y  z  1 x y z Mà : nên suy ra . Bài toán 15.4. Chứng minh rằng Lời giải: Đặt. 10000001 20000001  10000002 20000002 x 10000002, y 20000002 1 y 1 x y x và 1 1 x y  x y. Ta được Giả sử. 1 x 1 1 1 y 1   1   x x y y. Vậy 16. Phương pháp chứng minh bất đẳng thức trong hình học phẳng Bài 16.1 : CMR trong một tam giác nhọn thì tổng các trung tuyến của nó lớn hơn 4 lần bán kính đường tròn ngoại tiếp C. A1. B1 G 0 A C1. B. Lời giải: Gọi ma, mb, mc là độ dài ba đường trung tuyến và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp  ABC, ta phải chứng minh ma+ mb+mc>4R Vì  ABC là một tam giác nhọn nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nằm trong tam giác ABCnếu G là trọng tâm tam giác ABC thì tâm 0 nằm ở. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 4.

(49) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng một trong ba tam giác tam giác GAB, tam giác GAC ,tam giác GBC . Giả sử tâm O 2 nằm trong tam giác GAB thì OA +OB=2R và GA+ GB > 2R mà GA= 3 2 2 2 AA1= 3 ma ,GB= 3 BB1 = 3 mb 2 Nên GA+GB > 2R  3 (ma+mb) >2R  ma+mb >3R. Mà trong tam giác OCC1 có CC1 >OC  mc >R Do đó ma+ mb+ mc > 3R+R=4R . Vậy ma+mb+ mc >4R Bài 16. 2: Một đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của một tam giác vuông đỉnh A tại hai điểm B và C , kẻ một tiếp tuyến với đường tròn cắt các cạnh. AB  AC  3 AB và AC tại M và N , chứng minh rằng MB+NC< AB  AC 2 Lời giải: A. N. C. l M. 0. B. Gọi I là tiếp điểm của tiếp tuyến MN với đường tròn tâm O tính chất tiếp tuyên cho ta MB=MI ,NC=NI Từ đó MN=MB+NC nhưng tam giác vuông AMN thì MN< AM+AN Nên 2MN < AM+AN +BM+ CN =AB +AC. AB  AC  MN< 2 Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 4.

(50) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Ngoài ra trong tam giác vuông AMN ta cũng có cạnh huyền MN>AM và MN> AN  2MN > AM+AN Vì MN=BC+CN Nên 3MN > AM+AN +BM+CN do đó 3MN > AB+AC  MN >. AB  AC 3 AB  AC AB  AC  3 2 Vậy MB+NC< 17. Phương pháp dùng bất đẳng thức tổng quát chứa luỹ thừa các số tự nhiên Bài toán : Cho a>b>0 CMR:. a1996  b1996 a1995  b1995 a1996  b1996 > a1995  b1995 Lơi giải: Để chứng minh bất đẳng thức trên , ta chứng minh bất đẳng thức trung gian sau nếu a > b > 0 và m, n là hai số tự nhiên mà m>n thì. a m  bm a n  bn  a m  b m a n  b n (1) Thật vậy ta dùng phép biến đổi tương đương để chứng minh. a m  b m  2b m a n  b n  2b n  a m  bm a n  bn (1)  2b m 2b n 2b m 2b n 1 n  m  n m m  1- a  b a  bn a  bm a  bn. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 5.

(51) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng bm bm. bn bn. bm bn  m  n  m m  m n a b a n bn a b a b   b m bm bn b n 1 1  m  n am an a a 1 1  m 1  n 1 bm bn b b m n a a a a  m  n  ( )m  ( )n b b b b (2) a 1 b Bất đẳng thức (2) luôn đúng vì a > b > 0 nên và m > n vậy bất đẳng thức (1) luôn đúng. a m  bm a n  bn  n m m a  b a  b n vối a> b > 0 Áp dụng bất đẳng thức trung gian và m > n nên khi m=1996, n=1995 thì bất đẳng thức phải chứng a1996  b1996 a1995  b1995 a1996  b1996 > a1995  b1995 minh luôn đúng Ngoài ra còn có một số phương pháp khác để chứng minh bất đẳng thức như : Phương pháp Lượng giác hoá , sử dụng tính chất của bất đẳng thức, kĩ thuật Côsi ngược dấu... ta phải căn cứ vào đặc thù của mỗi bài toán mà sử dụng phương pháp cho phù hợp . Trong phạm vi nhỏ của đề tài này không hệ thống ra những phương pháp đó . PHẦN III ỨNG DỤNG CỦA CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN KHÁC Chủ điểm 1: Ứng dụng của bất đẳng thức côsi để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức Bài toán 1.1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 5.

(52) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 2 1 A  1  x x với 0  x  1 Lời giải: Để áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta xét biểu thức. 2x 1  x B  1 x x. 2x 1 x Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với hai số dương 1  x và x có 2x 1  x B 2 . 2 2 1 x x  2x 1  x  (1)  B 2 2  1  x x 0  x  1 (2) 2x 2 (1  x) 2  x 2 1  x. Giải (1) ta được Do 0  x  1 nên. x 2 1  x  x . 1  21 2 1. Như vậy min B 2 2  x  2  1 . Bây giờ ta xét hiệu A  B. 1   2x 1  x  2  2x 1  1  x  2 A  B        x  1 x x  1 x x   1 x 2  1 3 Do đó min A 2 2  3 khi và chỉ khi x  2  1 Khai tác bài toán: Tương tự như trên ta có thể tìm được giá trị nhỏ nhất của. A. (x  a)(x  b) x .. Hướng dẩn:. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 5.

(53) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng ( x  a )( x  b) x  ax + bx +ab  ab  A   x    (a  b) x x x   Áp dụng bất đẳng thức Côsi. Bài toán 1.2. 2. Cho các số dương a, b,c thoả mản a  b  c 1. Tìm giá trị lớn nhất của. Phân tích:. 1 1 1 P (1  )(1  )(1  ). a b c. 3 abc 1  1 3 3 abc 3 Từ a, b, c  0 suy ra . Do đó có thể khai triển biểu thức P rồi ước lượng theo bất đẳng thức Côsi. Lời giải:. P 1 1  1  1  1  1  1  1 a b c ab ac bc abc . Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có:. a  b  c 3 abc  1 3 abc  abc  1 33  1 33 (1) abc. 1  1  1 3 3 ( 1 )2 32 abc Mặt khác: ab ac bc ; 1  1  1 3 3 1 3. a b c abc P 1 3  32  33 (1 3)3 64. Vậy Cách 2.. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 5.

(54) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng P a 1. b 1. c 1  1 (a 1)(b 1)(c 1)  a c b abc = 1 (a  a  b  c)(b  a  b  c)(c  a  b  c) abc 34 4 4 4 3 4 a b c 4 64 abc Khai thác bài toán: Ta có bài toán tổng quát:. Cho 3 số dương a, b, c có S a  b  c .. f (a,b,c) (1 1 )(1 1 )(1 1). a c b Tìm giá trị lớn nhất của, Bài toán 1.3. Tìm giá trị lớn nhất của. B. y 2 x 1  x y. Lời giải:. ab . a b 2 với a. Bất đẳng thức Côsi cho phép làm trội môt tích x  1, y  2 và b không âm. Ta xem các biểu thức là các tích 2(y  2) y 2  x  1  1(x  1) và 2 . Theo bất đăng thức Cô-si 1(x  1) 1  x  1 1 x1    x x 2x 2 y 2 2(y  2) 2  y  2 1 2     y y 4 2y 2 2 2.  x  1 1 1 2 2 2 max B      y  2  2 2 4 4 .  x 2   y 4. Bà toán 1.4. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 5.

(55) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng x y z A   x  y y  z z  x biết x, y, z > 0 , Tìm GTNN của xy  yz  zx 1 2. 2. 2. Lời giải: Ta có: x y z x yz    xy yz zx 2 . 2. 2. 2. Theo bất đẳng thức Cauchy : xy y z zx  xy ;  yz ;  zx 2 2 2 . xy  yz  zx 1 x+y+z   2 2 2 Nên Vậy. 1 1  x y z  3 min A = 2. xy yz zx   z x y với Tìm GTNN của x, y,z  0; x  y  z 1 A. Bà toán 1.5. Lời giải:. xy yz xy yz  2 . 2y z x z x Theo bất đẳng thức Cauchy : . yz zx zx xy  2z ;  2x x y y z Tương tự : . 2A  2(x  y  z) Suy ra min A = 1 với. x y z . 1 3.. Chủ điểm II Ứng dụng của bất đẳng thức bunhacôpski để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Bài toán 2.1.. Tìm giá trị nhỏ nhất của. 2 1 A  1  x x với 0  x  1 Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 5.

(56) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhacôpski cho 2 cặp số. (a 2  b 2 )(m 2  n 2 ) (am  bn) 2 , ta có 2 2    1   2     .   1  x   x     . . (1  x). 1  2    1 x  x   1 x x . . 2.   x 2 1. .   2 1  . 1  x  . x    x  1 x . 2. 2. 2.  A.1 3  2 2. Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi:.  x( 2  1) 1  x  2  1 Vậy min A 3  2 2 khi và chỉ khi x  2  1 Bài toán 2.2. Gi¶ sö x, y 0 tho¶ m·n : x 2  y 2 1 a ) Chøng minh r»ng 1 x  y  2 b ) TÝnh gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña biÓu thøc : P  1  2x  1  2 y Lời giải:. 0  x 1  x 2  x x, y 0; x  y 1   2 0  y 1  y  y Ta có 2. 2.  x 2  y 2 x  y hay x  y 1.  x  y Vậy b). 2.  12  12   x 2  y 2  2  x  y  2  x  y  2. 1 x  y  2. . 1  2x  1  2 y. . 2. 2  2  2 x  2 y  4  4 2.  1  2x  1  2 y 2 1  2 1 x y  2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 5.

(57) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Nên giá trị lớn nhất của p là 2 1  2 khi Bài toán 2.3.. x y . 1 2. a6 b6 c6  3  3 3 3 3 b  c c  a a  b 3 trong đó Timg giá trị nhỏ nhất của a, b,c là những só thực dương thoả m ãn điều kiện a  b  c 1 Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhacôpski.  b3  c3 2  c3  a 3 2  a 3  b 3 2  .   2 2 2  a   b   c   3 3 3 2  3 3   3    b  a  c      3 3 3   b  c   c  a   b  a  . .  .  . . Hay. b6 c6   a6 3 3 3 2 2  a  b  c  . 3 3  3   a  b  c    3 3 3  b c c a a b  3 3 3 b6 c6   a  b  c   a6  3 3 3  3   I 3 3  b  c c  a a  b 2   3. 3. 3. Lại Có.  a  b  c   a 3  a 2  b 2  c 2  (II) 3. 3.  1 1 1  a. 2. 2. 2.   . 2. 2. 2.     b    c   a    b    c  . 3. 2. 3. 3. 2.  b 2  c2   a  b  c  1   a 2  b 2  c2  . 1 (III) 9. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 5.

(58) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng b6 c6  1  a6  3 3 3  3  3 3  b  c c  a a  b   18 Từ (I), (II), (III) 1 a b c  3 Khi b6 c6   a6 1 a b c   b3  c3  c3  a 3  a 3  b3  18  min 3 Vây  khi. Chủ điểm III.. Sử dung bất đẳng thức để giải phương trình. - Kiến thức : Nhờ vào các tính chất của bất đẳng thức , các phương pháp chứng minh bất đẳng thức , ta biến đổi hai vế ( VT , VP ) của phương trình sau đó suy luận để chỉ ra nghiệm của phương trình . Nếu VT = VP tại một hoặc một số giá trị nào đó của ẩn ( thoả mãn TXĐ) => phương trình có nghiệm . Nếu VT > VP hoặc VT < VP tại mọi giá trị của ẩn . => phương trình vô nghiệm . - Các ví dụ : Bài toán 3.1. Giải phương trình. x  3  x  5 x 2  8x 18. Phân tich: Xét thấy x  8x 18 (x  4)  2 2 . Vì vậy chúng ta có thể tìm giá trị lớn nhất của vế trái rồi so sánh giá trị bé nhất của vế phải. Lời giải: Điều kiện: 3 x 5 2. 2. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 5.

(59) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Vế phải (VP ): x  8x 18 (x  4)  2 2 Dấu “=” xảy ra  x 4 Đánh giá vế trái (VT ) theo bất đẳng thức Bunhacôpski: 2. 2. ( x  3.1 5  x.1)2 (x  3  5  x)(12 12 ) 4 x -3  5  x 2.  x  3  5  x  x  3 5  x  x 4 1 1 Dấu “=” xảy ra Ta có VP 2; VT 2  VP 2   x 4   VT 2 Vậy VP = VT   Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x 4 . . Khai thác bài toán: Ta có bài toán tương tự nếu xuất phát từ vế phải là một bình phương “thừa”, chẳng hạn giải phương trình:. x  2  4  x x 2  6x 11. Tổng quát: Giải phương trình sau với 0  a  b : x  a  b  x x 2  2. a b a  b b a x 2 . 2 2 2. Bài toán 3.2. Chứng tỏ phương trình vô nghiệm vì có một vế luôn nhỏ hơn vế kia Giải phương trình. x  1. 5x  1  3x  2. (1). Lời giải: Điều kiện xác định của (1) là x 1 . Với điều kiện này thì x  5x , do đó x  1  5x  1 suy ra vế trái của (1) là số âm, còn vế phải không âm. Phương trình vô nghiệm. Bài toán 3.3. Sử dụng tính đối nghịch ở 2 vế Giải phương trình:. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 5.

(60) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 3x 2  6x  7  5x 2 10x 14 4  2x  x 2. (1). Lời giải: 2 2 3( x  1)  4  5( x  1)  9  4  9 5 Vế trái 2 4  2x  x 2 = 5  (x 1) 5 Vế phải Vậy hai vế của (1) đều bàng 5, khi đó x  1 . Kết luận: x  1. Khai thác bài toán. Tương tự như bài toán trên chúng ta có thể chứng minh được các bất đẳng thức sau 1) 2). x  7  x  9 x 2  16x  66 2x  1  x  2  x 1 x  1  x  3  2 (x  1)(x 2  3x  5) 4  2x. 3) Bài toán 3.4. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số giải phương trình 3. 2x 1  3 x 1. (1). Lời giải: Ta thấy x 0 là nghiệm đúng của phương trình (1) Với x  0 thì. 3. 2x 1 1, 2x 1 1 ,. 3. x  0 nên vế trái của (1) lớn hơn 1 x  0 nên vế trái của (1) nhỏ hơn 1. Với x  0 thì Vậy x 0 là nghiệm đúng của phương trình (1) Bài toán 3.5. Giải phương trình : 3. 3. 13 x  1 + 9 x  1 = 16x Lời giải: Điều kiện : x  1 (*) Cách 1 : Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : 13 x  1 + 9 x  1. 1 3 x 1 x 1 = 13.2. 2 + 3.2. 2 1 9  13( x - 1 + 4 ) + 3(x + 1 + 4 ) = 16x. Dấu '' = '' xảy ra. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 6.

(61) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 1  x  1   2   x 1 3 2  x=  + . 5 4 thoả mãn (*). Phương trình (1) có nghiệm  dấu '' = '' ở (2) xảy ra. 5 Vậy (1) có nghiệm x = 4 .. Chủ điểm IV.. Dùng bất đẳng thức để giải hệ phương trình. - Kiến thức : Dùng bất đẳng thức để biến đổi từng phương trình của hệ , suy luận và kết luận nghiệm . Lưu ý : Một số tính chất :. a2 + b2  2ab a + c < ; c > 0 => a b > 0 . - Các ví dụ : Boài toán 4.1. Giải hệ phương trình :. (1).  x 3  2 y 2  4 y  3 0  2 2 2  x  x y  2 y 0  x3 = - 1 - 2(y - 1)2  x3.  x.  - 1 . (*). 2y 2 x2  1  y  1. ( vì 1 + y2  2y)  -1  x  1 (**) Từ (*) và (**) => x = -1 . Thay x = -1 vào (2) ta có : y = 1 . => Hệ phương trình có nghiệm duy nhất : x = -1 ; y = 1 . - Kiến thức : Biến đổi một phương trình của hệ , sau đó so sánh với phương trình còn lại , lưu ý dùng các bất đẳng thức quen thuộc . (2). . - 1. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 6.

(62) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Bài toán 4.2 : Giải hệ phương trình :.  x  y  z 1  4 4 4  x  y  z  xyz Lời giải: Áp dụng : BĐT : A2 + B2  2AB dấu '' = '' xảy ra khi A = B Ta có : x4 + y4  2x2y2 ; y4 + z4  2y2z2 ; z4 + x4 . 2z2x2 . => x4 + y4 + z4  x2y2 + y2z2 + z2x2 (*) Mắt khác : x2y2 + y2z2  2x2yz y2z2 + z2x2  2xy2z x2y2 + z2x2  2xyz2 => 2(x2y2 + y2z2 + z2x2 )  2xyz(x + y + z) = 2xyz . => x2y2 + y2z2 + z2x2  xyz . (**) 4 4 4  Từ (*) và (**) => x + y + z xyz Dấu '' = '' xảy ra khi : x = y = z mà x + y + z = 1 nên : x=y=z=. 1 3. Vậy hệ phương trình có nghiệm : x = y = z =. 1 3. Cách 2: Áp dụng BĐT Côsi ; - Kiến thức : Dùng phương pháp thế Bài toán 4.3. Giải hệ phương trình. x  y 2  z 3 14   1 1 x y z  1 (    2 x 3 y 6 z )( 2  3  6 ) 1 . (với x, y, z > 0). Lời giải:. a b  2 Áp dụng : Nếu a, b > 0 thì : b a 3 2 1 (   )(3 x  2 y  z ) 36 (2)  x y z Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 6.

(63) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng x y x z y z (  )  3(  )  2(  ) 22 z x z y  6 y x x y (  ) 12 Mặt khác : vì x, y, z > nên 6 y x x z 3(  ) 6 z x ; z y 2(  ) 4 y z x y x z y z (  )  3(  )  2(  ) 22 y x z x z y Dấu '' = '' xảy ra khi x = y = z , thay vào (1) ta được : x + x2 + x3 = 14 <=> (x - 2)(x2 + 3x + 7) = 0 <=> x - 2 = 0 <=> x = 2 . Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất : x = y = z = 2 .. Chủ điểm VI.. Dùng bất đẳng thức để giải phương trình nghiệm nguyên. Ngoài ra còn có một số những ứng dụng khác của bất đẳng thức , đòi hỏi học sinh phải linh hoạt và sáng tạo trong khi giải , học sinh phải nắm chắc được các kiến thức về bất đẳng thức thì mới vận dụng được . Ví dụ : Dùng bất đẳng thức để giải phương trình nghiệm nguyên . Bài 1 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :. 1 1 1   x y z =2 Lời giải: Không mất tính tổng quát , ta giả sử x  y  z , ta có :. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 6.

(64) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 1 1 1   x y z 2=. 3 z. => 2z  3 , mà z nguyên dương Vậy z = 1 . Thay z = 1 vào phương trình ta được : . 1 1  1 x y 1 1  Theo giả sử , x  y , nên 1 = x y. . 2 y. Y nguyên dương nên y = 1 hoặc y = 2 . Với y = 1 không thích hợp Với y = 2 ta có : x = 2 . Vậy (2 ; 2 ; 1) là một nghiệm của phương trình . Hoán vị các số trên , ta được nghiệm của phương trình là : (2 ; 2 ; 1) ; (2 ; 1 ; 2) ; (1 ; 2 ; 2). Chủ điểm VII. Áp dụng các bất đẳng thức và các mệnh đề khác để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất *> Các định lý Mệnh đề 1. Nếu tổng của các số thực dương x1, x 2 ,..., x n bằng một số thực dương cho trước thì tích của chúng lớn nhất khi x1 x 2 ... x n Chứng minh: Theo bất đẳng thức Côsi, ta có:. S x1  x 2  ...  x n  n x1x 2 ...x n n n  S  x1x 2 ...x n     n. n. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 6.

(65) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng x x ... x n 2 . Với S đã cho, khi. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 đó tích có giá trị lớn nhất. Tổng quát hơn, ta có định lý sau: Định lí 2.. Nếu n số thực dương x1, x 2 ,..., x n có tổng S không đổi thì. m1 x m 2 ...x mn P  x 1 2 n tích có giá trị lớn nhất khi x1 x 2 x  ...  n m1 m 2 mn m Trong đó i là các số hữu tỉ dương cho trước Một cách đối ngẩu ta có: Mệnh đề 3:. Nếu tích các số dương x1 , x 2 ,..., x n bằng một số cho trước thì tổng của chúng bé nhất khi x1 x 2 ... x n Chứng minh hoàn toàn như đối với mệnh đề 1 Một cách tổng quát, ta có định lý sau Định lý 4. Nếu n số thực dương x1 , x 2 ,..., x n có tích trị nhỏ nhất khi. P x1m1 x 2m2 ...x n mn không đổi thì tổng S = x1  x1  ...  x n x1 x 2 x  ...  n mn có giá m1 m 2 (trog đó m1,m2 ,...,m N là các số hửu tỉ dương) Bài toán 4.1. Trong tất cả các hình chử nhật có chu vi cho trước, hình nào có diện tích lớn nhất ? Lời Giải: Giả sử x, y là độ dài hai cạnh kề nhau của hình chử nhật, 2S là chu vi của nó, P là diện tích. Ta có x  y S,xy P . Với tổng đã. x y S 2 , tức là nếu hình cho, tích P sẻ có giá trị lớn nhất nếu Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 6.

(66) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng chử nhật là mộ hình vuông Bài toán 4.2. Giá trị nhỏ nhất của hàm số sau đạt được khi nào ?. y (a  x)(b  x) , a, b, x  R  x .. Lời giải:. ab  x y ab  x  a  b x Ta có bé nhất khi x bé nhất. ab .x ab Tích x không đổi, nên y có giá trị bé nhất khi ab x x tức là ab x . Bài toán 5.3. Từ một hình vuông cạnh a , hãy cắt ở bốn góc những hình vuông cạnh x sao cho khi gấp lại thì được một cái hộp có thể tích lớn nhất (không có mép) Lời giải: 2 Diện tích mặt đáy của hình hộp bằng (a  2x) , độ cao bằng x , vậy thể tích cái hộp là:. V x(a  2x) 2 . 2 2V  (2x)y y a  2x Đặt = thì thu được . Ta có 2x  y a không đổi. Vậy 2V b  4ac (do đó, V ) sẻ có giá trị lớn nhất khi 2. x a 6 Từ đó. 2x y 2x a  2x 1 2 tức là 2. Bài toán 4.3. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của A x  2  y  1 trong đó x  y 5 Lời giải:. a  b a  b. a) Áp dụng được A  x  2  y  1 6  2. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 6.

(67) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng max A 6  2 khi chẳng hạn x  2, y  3 x  y  x  y được b) Áp dụng chất trị tính tuyệt đối A x . 2  y  1 4 . min A 4 . 2. 2 khi chẳng hạn x 2, y 3. Khai thác bài toán. Bằng cách áp dụng bài toán trên ta có thể tính được giá trị nhỏ nhất của 2 2 a) A  x  2x  1  x  6x  9. b) B  x  2 x  1  x  2 x  1 c) C  x  2  2x  3  4x  1  5x  10 Bài 4.4. Tìm gia trị nhỏ nhất của biểu thức 2 1  x10 y10  1 16 Q   2  2    x  y16    1  x 2 y 2  . 2 y x  4 Lời giải:. 1  x10 y10  4 4 12 12  2  2  x y dÊu b»ng khi x y 2 y x  1 16 1 x  y16   x 8 y8 dÊu b»ng khi x16 y16  4 2 2 1  Q  x 8 y8  x 4 y 4   1  x 2 y 2  2 2 1 1   x 8 y8  2x 4 y 4  1   1  x 2 y 2   2 2 . 2 2 1 4 4 1 x y  1   x 2 y 2  1   2 2. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 6.

(68) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng l¹i cã: 12  12  x 2 y2 . . . . 2.  12   x 2 y 2  1 . . hay 2 x 4 y 4  1  x 2 y 2  1. . 1 4 4 x y 2. . .  Q. . 2. 2. 2 2.    dÊu b»ng khi x y 1 1   x y  1 8 2. 2 2. 1. 4. 2 4 2 2 1 2 2 1 1 5 5 x y  1  x 2 y 2  1    x 2 y 2  1  4     8 2 8  2 2. .  . . . . dÊu b»ng khi x 2 y 2 1 5 khi x 2 y 2 1 2 PHẦN IV BÀI TÂP TỔNG HỢP I> CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 1> Chứng minh các bất đẳng thức: VËy Q min . 2 a) x  x 2 1  0 ;. b) x  x 2 1  0 ; 2> Chứng minh các bất đẳng thức: 2. 2 2 2 2 a) (x  y  z) 3(x  y  z ) ; 3 3 b) a  b  abc ab(a  b  c) với a, b, c  0 ;. 3> Cho a  2004  2003,b  2005  So sánh a và b , số nào lớn hơn.. 2004. 1 1 1 1   ...  1.1999 2.1998 3.1997 1999.1 4> Cho Chứng minh rằng A 1,999 5> Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n : a) A 1,999 1  1  1  ...  1 2 (n  1) n 2 1 3 2 4 3 b) 6> Chứng min rằng với mọi số tự nhiên n 2 đều có A. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 6.

(69) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng n  1  1  1  1  ...  1  2 n n 1 2 3 4 7> Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n 1  2  3 ...  n n n 1 2 a  2  1  3  2  ...  25  24 1 2 2 3 24  25 8> Cho a2 5 Chứng minh rằng A 1 . 3 . 5 ..... 2n  1 (n  N,n 2) 2 46 2n 9> ) Cho Chứng minh rằng:. 1 ; 2n 1 a) A 1 ; 3n 1 b) A. 10> Chứng minh các bất đẳng thức sau với các số dương a, b, c, d :. (a  b)(c  d)  ac  bd 11> Chứng minh bát đẳng thức sau. a 2  b2  c2  d 2 a  b  c  d 2 a b b c c d d a Với các số dương a, b, c, d 12> Chứng min rằng nêu các đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập được thành một tam giác thì các đoạn thẳng có độ dài được thành một tam giác.. a , b, c củng lập. 13> Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng. 2(a  b  c)  a 2  b2  b2  c2  a 2  c2  3(a  b  c) 14> 108) Cho các số dương a, b, c . Chứng minh bất đẳng thức a  b  c 2 a c b c a b Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 6.

(70) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 15> Cho các số dương a, b, c, d . Chứng minh. a  b  c  d 2 b c c d d a a b. 16> Chứng minh bất đẳng thức. x  y  4 3  x  y    2. 2. y2. x2. . y x. 17> Chứng minh bất đẳng thức. a b  2. ( a  b) 2 ab  8b với a,b  0 a b c d    1 a, b, c, d 1  a 1  b 1  c 1  d 18> Cho các số dương . Biết 1 abcd  81 Chứng minh rằng 19> Chứng minh bất đẳng thức. x 2 y2 z2 x y z      y 2 z 2 x 2 y z x với các số dương x, y, z Bằng cách vận dụng các bất đẳng thức Cô-si và Bunhacôpski. 3. 3. 3 20> Cho a  3  3  3  21> Chứng minh. a). 3. 3, b 2 3 3 . Chứng minh rằng a  b. 2  2  2  ...  2  2  2 (vế trái có 100 dấu căn). 2. 2  2  ...  2  2. . 1 4. b) 2  2  2  ...  2  2 ( tử có 100 dấu căn, mẩu có 99 dấu căn) 22> a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta có n.  1 1   3  n Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 7.

(71) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng b) Chứng minh rằng trong các số có dạng n 2 ) số. n. n ( n là số tự nhiên,. 3 có giá trị lớn nhất. 23> . Cho a, b, c là các số thực không âm và a  b  c 1 . Chứng minh 3. rằng. a  1  b  1  c  1  3,5 ;. a). a b  b c  c a  6 24> ) Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác còn x, y, z là 3 số thoả b). mản điều kiện. ax  by  cz 0 . Chứng minh rằng xy  yz  xz 0 (1). 25> . Cho a  36 và abc 1. Chứng minh rằng 3. a2  b 2  c 2  ab  bc  ca 3 26> Cho (a  c)(a  b  c)  0 . Chứng minh rằng (b  c) 2  4a(a  b  c) 27> Cho các số a, b,c,d,m, n thoả mãn: m 2  n 2  a 2  b 2  c 2  d 2  0 . Chứng minh rằng (m 2  a 2  b 2 )(n 2  c 2  d 2 ) (pq  ac  bd) 2 28> Chứng minh rằng với mọi a, b,c ta đều có:. 19a 2  54b 2  16c2  36ab  24bc  16ca 0 29> Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta đều có: a) a  b  c 3 (a,b,c  0) b c a b)a 2  b2  c2 ab  bc  ca 30> Chứng minh các bất đẳng thức a). a  b 1  ab trong đó a 1, b 1. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 7.

(72) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 1 1 2   2 1  b 2 1  ab b) Với a  b  1 thì 1  a 31> Chứng minh các bất đẳng thức. (a  b)(b  d)  ab  cd ( a, b, c, d > 0) 32> Chứng minh các bất đẳng thức. a m  bm a n  bn  n m m a  b a  b n với a > b > 0, m, n N a) n n n x  1 và n  N, n >1 (1  x)  (1  x)  2 b) với 33> Chứng minh các bất đẳng thức sau với mọi a, b, c 2. 2. 2. 2. a) a  b  1 ab  a  b b) a  b  4 ab  2(a  b). a2  b  c2 ab  ac  2bc c) 4 34> Chứng minh rằng với mọi x. y ta có x 2  5y 2  4xy  2x  6y  3  0 35> Nếu a + b = 1 Chứng minh rằng 36> Chứng minh rằng: x2  2 2 2 x  R a) x  1 x 8 6 x  1 b) , x  1. a4  b4 . 1 8. c) (a  b)(ab  1) 4ab, a,b  0 37> Chứng minh rằng a) (a  b)(b  c)(c  a) 8abc 2. 2. 2. 2. 2. 2. b) a (1  b )  b (1  c )  c (1  a ) 6abc 2 2 x  2y  5 38> . a) Cho x  y 1 Chứng minh rằng. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 7.

(73) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 2 2 2x  3y  5 b) Cho 2x  3y 5 Chứng minh rằng 39> Chứng minh rằng. 1 1 25 2 )  cos x  )  5 sin 2 x cos2 x 2 2 2 2 40> Cho a  b  c  d 1 Chứng minh rằng (x 2  ax  b)2  (x 2  cx  d 2 ) (2x 2  1)2 x  R (sin 2 x . 41> Chứng minh rằng. 1 1 1 1 1    ...   n  1 n  2 n  3 2n 2 a) 1 1 1 n 1  2  ...  2  2 n 3 n b) 2 a ,a ,a ,...a n . Chứng minh rằng 42> Cho n số dương 1 2 3 1 1 1 1   ...  a1 a 2 an.  a a1a 2 ...a n. ( Vế trái gọi là trung bình điều hoà của. a1 ,a 2 ,a 3 ,...a n ) 1 1 1   4 x y z. 43> Cho x, y, z là các số dương thoả mãn: 1 1 1 CMR: 2x  y  z + x  2y  z + x  y  2z ≤ 1 x  y 10 44> CMR: nếu thì x - 2y  200. 45> Tích của 2 số dương lớn hơn tổng của chúng.. 1 CMR: tổng của chúng lớn hơn 4 2 3 3 4 x  y  x  y 46> / Các số dương x, y thoả mãn: CMR: 47> CMR:. x 3  y3 2 .. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 7.

(74) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng a 4  b 4  c4  abc  a  b  c  . 2  ab  bc  ca  3. 48> Tìm tỉ số lớn nhất của số có 3 chữ số với tổng các chữ số của nó. 49> Giả sử a, b, c là các số dương, biết abc 1. CMR: a  b  c 3.. 1 1 1 1 1 1 37        2 4 6 8 98 100 120 50> CMR: 51> Giả sử a, b, c thoả mãn bất đẳng thức: a  b  c  0  ab  ac  bc  0 abc  0  CMR: a > 0; b > 0; c > 0. 52> Có thể có các cạnh x, y, z của 1 tam giác, thỏa mãn bất đẳng thức: x 3  y3  z3  2xyz x 2  y  z   y 2  z  x   z 2  x  y  53> CMR:.  a  b   b  c   c  a  abc. 5. Với a, b, c là độ dài các cạnh tam giác. 2 2 2 2 x  x  x  x  x x1  x 2  x 3  x 4  x 5  2 3 4 5 54> CMR: 55> Giả sử a, b, c là 3 cạnh của một tam giác, chứng minh bất đẳng thức: 2 1. a3+b3+3abc > c3 ab  bc  ca c 2 56> Chứng minh bất đẳng thức: với a ,b là cạnh góc 2. vuông của tam giác ABC, còn c là cạnh huyền. 57> CMR: Với các số dương a, b, c không vượt quá 1 ta có bất đẳng thức:. 58>. a b c   2 bc  1 ac  1 ab  1. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 7.

(75) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Cho c¸c sè x, y, z  0 vµ x  y  z 1. Chøng minh r»ng : x  2y  z 41 - x 1  y 1  z  59> Cho a  b  c  d 2. Chứng minh rằng. a 2  b 2  c 2  d 2 1 60> Cho hai số dương a,b thoả mản a  b 1. Chứng minh rằng 2. 2. 1  1 25  a   b   a  b 2  60> Cho ba số dương a, b,c thoả mãn a  b  c 1 . Chứng minh rằng. a  b 16abc.. 61> Cho 3 số dương a, b,c thoả mản. a  b  c 2  2 2 2 a  b  c 2 4 3 Chứng minh rằng a, b, c   0;1 ta luôn có 62> Chứng minh rằng với mọi 2  1  a  b  c  4  a 2  b 2  c 2  63> Cho a, b,c là 3 số dương. Chứng minh rằng b c a bc   3 c a abc 64> Cho các số dương a, b,c thoả mãn abc 1. Chứng minh rằng a3 b3 c3 3    1  b 1  c 1  a  1  c 1  a  1  b 4 0 a,b,c . 65> Cho a, b thoả mãn. ab. a  b . 2. a  b 1. Chứng minh rằng 1  64. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 7.

(76) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 66> Cho x  R thoả mãn x  1. Chứng minh rằng. x4 1 2 2 x3  x 67> Cho 0 < a, b, c, d <1 . Chứng minh rằng: Ít nhất có một bất đẳng thức sau là sai : 2a(1 - b) > 1 3b(1 - c) > 2 8c(1 - d) > 1 32d(1 - a) > 3 69> Cho tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (a, b , c là độ dài các cạnh của tam giác ) . Chứng minh rằng :. 1 1 1   2 ( 1  1  1 ) p a p b p c a b c. II> TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT NHỎ NHẤT 2. 2. 70> Tìm giá trị nhỏ nhất của A  x  x  1  x  x  1 71> Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của: a) A  1  x  1  x b) B  x  2  6  x 72> Tìm giá trị lớn nhất của. A 2x  5  x 2 73> Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của:. 74> Tìm giá trị nhỏ nhất của A x  y biết x, y là các số dương thoả mãn. a b  1 (a,b  0) x y 4. 4. 4. 75> Tìm giá trị nhỏ nhất của A x  y  z biết rằng. xy  yz  xz 1. 2 2 A  x  y x  4y 1 76> Tìm giá trị lớn nhất của biết rằng. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 7.

(77) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng b c  cd a b 77> Tìm GTNN của với b  c  a  d ; b,c  0; a,d 0 Tìm giỏ trị nhỏ nhất của A x 2  y 2 với x  y 4 A. 78> Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. P x . x2  x  2 x  x  1  1. với x  R 79> Giả sử x, y,z là các số dương thay dổi và thoả mãn điều kiện. xy 2 z 2  x 2 z  y 3z 2 . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức. z4 P 1  z 4  x 4  y4  80> Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. x P. 3.  y3    x 2  y 2 .  x  1  y  1. Trong đó x, y là những số dương lớn hơn 1 81> Với những giá trị của x thoả mãn: của biểu thức. x . 1 2 , hãy tính giá trị lớn nhất. f  x   2x 2  5x  2  2 x  3  2x.. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 7.

(78) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng T  x y x z.    82> Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Trong đó x, y, z la nhửmg số dương thoả mản điều kiện  x  y  z  xyz 1. 83> T × m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : 2 1  x10 y10  1 Q =  2 + 2  + x16 + y16 - 1+ x 2 y 2 . 2 y x  4. . . . 84> Giả sử a, b,c là những số thực dương thoả mãn điều kiện. b 2 + c2 a 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. P=. 1 2 2 1 2 1 b + c + a +    2 2  a2 b c . 85> Cho x  R thoả mãn x  1 . Chứng minh rằng x4 1 2 2 x3  x 86> Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. A  x  1  x  2x  5 2. 2. 87> Tìm giá trị nhỏ nhấ, lớn nhất của biểu thức. A  x 1 y 2 89>. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. A  x 2 x 1  x2 x 1 90> Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. A   x  4x  12  2. 91>.  x  2x  3 2. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức biết x  y 4 a). A  x 1 y 2. B. y 2 x 1  x y. b) 92> Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 7.

(79) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng A 3x  3y với x  y 4 93> Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. A III.. b c  cd a b. với b  c  a  d; b,c ; a,d 0. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH. 2 x  3 + 5  2x 2 x  3 + 5  2x - x2 + 4x - 6 = 0 (*). 94> a) Tìm giá trị lớn nhất của L = 95>. b. Giải phương trình : Giải phương trình :. 6 x +. x  2 = x2 - 6x + 13. 96> Giải phương trình :. 3 x 2  12 x  16 +. I.. y 2  4 y  13 = 5. PHẦN V HƯỚNG DẨN GIẢI BÀI TẬP TỔNG HỢP CHỨNG MINH CÁC BẤT ĐẲNG THỨC.. 2 1> a) x  x 2 1  0 ; a Hướng dẩn:. 2. b). 1  1  x   0   2 2 Biến đổi  a  b  a  b  2 a với a, b  0. Hướng dẩn: 2> Hướng dẩn:. Biến đổi tương đương. 2 2 2 2 Xét hiệu 3(x  y  z )  (x  y  z) 3> Hướng dẩn:. 1 1  2004  2003,  2005  2004 b Cách 1: a. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 7.

(80) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 1 1 So sánh a và b Cách 2: Ta có. Nên. 2003  2005  2004 2 2003  2005  2004  2004. Do đó 2005  Tức là b  a 4> Hướng dẩn:. 2004  2004 . 2003. 1 2  Dùng bất đẳng thức ab a  b chúng minh mổi số hạng của A  0,001 5> a). 1 1 1 1    ...  1 2 1 1 2 3 2  2 3 4 3  3 4 (n 1) n  n n 1 Hướng dẩn: Ta có. 1 1  (n  1) n  n n  1 n. n  1( n  1  n). = Dể dàng giải tiếp. n 1  n 1   n. n  1 n. 1 n 1. 1  1  1  ...  1 2 (n  1) n 2 1 3 2 4 3 b) Hướng dẩn: Ta có. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 8.

(81) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 1 1   1  n    n (n  1) n  n n  1   n  1 1     2 1    n  1 n n  1      =. 1 1  1    n n 1   n 1  n. 1   n 1 . 1   n 1 . Dể suy ra điều cần chứng minh 6> Hướng dẩn:. 1  1  1  1  ...  1 n . Ta có 2 3 4 Đặt a  1 1 1 1 1   ...  a n  n 1 2 n nên n 1 2 2   2( n  n n n n 1 Mặt khác n. n  1). Nên a  2 n 7> Hướng dẩn: Dùng phương pháp quy nạp toán học Với n k  1 .. Sk 1 Sk  k  1 k.. k 1  k 1 2. Cần chứng minh:. k.. k 1 k 2  k  1 (k  1).  2k 2 3k 2 2 Cách 2: Với n 1 bất đẳng thức đúng Với n 2 áp dung bất đẳng thức Bunhacôpski. 8> Hướng dẩn:. Xét. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 8.

(82) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng n 1  n n 1  n n 1  n n 1  n    n  (n  1) 2n  1 4n 2  4n  1 4n 2  4n 1 1 1      2 n n 1  9> Hướng dẩn:. Ta có. 1 3 2n  1 A  . ... 2 4 2n 2 4 2n A  . ... 3 5 n 1 1  A2  2n  1 Suy ra điều cần chứng minh. 10> Hướng dẩn: Bình phương hai vế rồi rút gọn, ta được bất đẳng thức tương đương. (ad  bc) 2 0 11> Hướng dẩn: Áp dụng Cô-si 12> Hướng dẩn: Giả sử a b c  0 . Theo đề bài: c  b  a suy ra. b  c  2 bc  a . b c a. 13> Hướng dẩn: Lần lượt chứng minh. a 2  b 2  b 2  c 2  c 2  a 2  2(a  b  c). (1). a 2  b 2  b 2  c 2  c 2  a 2  3(a  b  c). (2). 2. 2. 2. Chứng minh (1) Dể thấy (a  b) 2(a  b ) nên. a  b  2(a 2  b2 ) Tương tự. c  b  2(c 2  b 2 ). Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 8.

(83) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng a  c  2(a 2  c2 ) 2(a  b  c)  a 2  b 2  b 2  c 2  a 2  c 2 Chứng minh (2): Do a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên Suy ra. (a  b)2  c2  a 2  b 2  c 2  2ab . a 2  b2  c2  2ab. Tương tự. b 2  b 2  a 2  2cb a 2  c2  b 2  2ac Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta được:. 2(a  b  c)  a 2  b2  b 2  c2  a 2  c2 2. 2. 2. (3) 2. Dể dàng chứng minh được (x  y  z) 3(x  y  z ) nên. (x  y  z)  3(x 2  y 2  z 2 ) Áp dụng bất đẳng thức trên ta chứng minh được:. a 2  b 2  b2  c2  a 2  c2  3(a  b  c) (4) Từ (3) và (4) suy ra điều cần chứng minh. 14> Hướng dẩn: Theo bất đẳng thức Cô-si. (b  c) bca  b c  .1   1 : 2  a 2a  a . 2a  b  c a  b c 2b b  a  c a  b c 2c c  b  a a b c a. Do đó Tương tự. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 8.

(84) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng a  b  c 2 a c a b Cộng từng vế ta được b  c a b  c  b a  c  a  b  c 0 c a  b Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  tráivới giả thiết a, b, c là các số dương. Vậy đẳng thức không xảy ra. 15> Hướng dẩn:. 1 4  2 xy (x  y) Áp dụng bất đẳng thức với x  0, y  0 thì a c a 2  ad  bc  c2 4(a 2  ad  bc  c 2 )    b c d a (b  c)(a  d) (a  b  c  d) 2 (1) 2 2 b d 4(b  ab  cd  d )   2 d  c b  a (a  b  c  d) Tương tự (2) Cộng (1) và (2) ta được 2. 2. 2. 2. a  b  c  d 4(a b c d ad bcabcd) 4B b c c d d a a b (a bcd) 2 1 B 2 2 2  (a  c)  (b  d) 0 đúng Ta chứng minh Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a c và b d 16> Hướng dẩn:. x y  a y x Đặt. x2. y2.  2 2 2 2 y x Chứng minh được nên a 4 do đó a 2 hoặc a 2 (1) Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 8.

(85) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng a 2  2  4 3a  a 2 hoặc a 1 (2) Từ (1) và (2) suy ra điều cần chứng minh 17> Hướng dẩn:. a b  2. Ta có. . a. b. . 2. Cần chứng minh ninh. 18> Hướng dẩn: Từ giả thiết ta có:. ab  2. a  b  2 ab  2. 2 a  b  . 8b. . a. b. . 2. 2. suy ra điều cần chứng. b c d a 1   1   b 1 c 1 d 1 a 1 a 1. Áp dụng bất dẳng thức Cô-si cho 3 số dương ta có. 1 b c d bcd    33 a 1 b 1 c 1 d 1 (b  1)(c  1)(d  1) 1 acd 33 b 1 (a  1)(c  1)(d  1). Tương tự. 1 abd 33 c 1 (a  1)(b  1)(d  1) 1 abc 33 d 1 (a  1)(c  1)(b  1) Nhân từng vế 4 bất đẳng thức, ta được 1 81abcd nên 19> Hướng dẩn:. A. x2 2. . y2 2. . abcd . 1 81. z2 2. y z x Gọi Áp dụng bất đẳng thức Bunhacôpski được Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 8.

(86) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng x y z 3A      y z x. 2. (1). Áp dụng bất dẳng thức Cô-si với 3 số x, y, z không âm, ta được x y z x y z   33 . . 3 y z x y z x (2). x y z A   y z x Nhân từng vế của (1) và (2) ta được 20> Hướng dẩn: Đặt. 3 x 3 3  3 3 , y  3 . 3. 3 thì x 3  y3 6. b3  a3 suy ra được điều cần chứng minh. Bằng cách xét hiệu 21> Hướng dẩn:. a) Kí hiệu a n  2  2  ...  2  2 ( có n dấu căn) Ta có. a1  2  2 a 2  2  a1  2  2 2 a 3  2  a 2  2  2 2 ....................................... a100  a 2  99  2  2 2 b) Hướng dẩn: Với kí hiệu như câu a thì tử là 2  a100 tử là. 2  a 99 2  (a 2100  2) 4  a 2100 2 a 1  2 a  a 4 100 4  a Đặt , cần chứng minh 22> Hướng dẩn: Theo quy nạp Với n 2 ta có :. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 8.

(87) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng n. 1 n(n  1) 1 n(n  1)(n  2) 1 n(n  1).2.1 1  1 . 2 . 3  ...  . n  1   1  n  n 2! 3! n!  n n n n 1 1 1  1  1     ...   n!   2! 3! Dể dàng chứng minh được. 1 1 1 1 1 1   ...     ...  2! 3! n! 1.2 2.3 n(n  1) 1 1 1 1 1 1 1     ...   1   1 2 2 3 n 1 n n n  1 1   3 n Do đó  23> Hướng dẩn: a) Cách 1: Ta nhìn tổng a  1 dưới dạng một tích 1( a  1 ) và áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:. a  1  1(a  1) . (a  1)  1 a  1 2 2. b b 1  1 2 Tương tự c c  1  1 2 Cộng vế theo vế ta được a  1  b  1  c  1 3,5 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi. a  1 b  1 c  1  a b c 0 trái với giả thiết a  b  c 1 suy ra a  1  b  1  c  1  3,5. a  1 x; b  1 y; c  1 z . áp dụng bất Cách 2: Đặt đẳng thức (x  y  z) 2 3(x 2  y 2  z 2 ) (Dể chứng minh được). Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 8.

(88) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Suy ra điều cần chứng minh. b) Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Bunhacôpski với hai bộ 3 số. (1; a  b); (1; b  c); (1; a  c) suy ra điều cần chứng minh. Cách 2: Đặt. a  b x; b  c y; a  c z . 2. 2. 2. 2. Áp dụng bất đẳng thức (x  y  z) 3(x  y  z ) suy ra điều phải chứng minh. 24> Hướng dẩn:. ax  by c Từ ax  by  cz 0 ax  by  xy  xz  yz xy  (x  y) 0 c Vậy (1)  ax 2  xy(a  b  c)  by 2 0 (2) 2 Nếu y 0 thì (2)  ax 0 đúng  (1) đúng  z . Nếu y 0 , khi đó 2. x x  a    (a  b  c)  b 0 (3) y  y (2) x Ta xem vế trái của (3) là tam thức bậc hai của y có hệ số của 2 x  y   là a  0 và. (a  b  c) 2  4ab a 2  b 2  c 2  2ab  2ac  2bc Từ Tương tự. b  c  a  b 2  2bc  c 2  a 2 a 2  2ac  c 2  b 2. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 8.

(89) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng a 2  2ab  b 2  c 2. . Vậy. a 2  b 2  c 2 < 2ab  2bc  2ac  a 2  b 2  c 2  2ab  2bc  2ac  0 Nên vế trái của (3) luôn lớn hơn 0.. Suy ra (1) được chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi x y z 0 25> Hướng đẩn: Từ abc 1 Ta có:.  bc . 1 a và do a 3  36 nên chắc chắn là a  0. a2  (b  c)2  2bc  bc  a(b  c) 2 a2  (b  c)  a(b  c)  3bc  > 0 (1) 3 a2 2 f (x) x  ax  3bc  3 ta có hệ số của Xét tam thức bậc hai 2 x là 1 > 0 4a 2 36  a 3 2 a   12bc. 0 3 3a Và . Theo định lý thuận về dấu của 2. Tam thức bậc hai thì. f (x) >0 với mọi x. a2 f (a  b) (b  c)  a(b  c)  3bc   0  (1) đúng 3 2. Suy ra Suy ra điều cần chứng minh. 26> Hướng dẩn:. Nếu a 0 thì từ giả thiết ta có c(b  c)  0. (1). Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng (b  c)  0 Từ (1) suy ra b c . Vậy (2) đúng suy ra (1) đúng. 2. (2). Nếu a 0 xét tam thức bậc hai f (x) ax  x(b  c)  a  b  c 8 2. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net.

(90) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Từ f (0) a  b  c;f (  1) 2(a  c) suy ra từ giả thiết ta có. f (0)f (  1)  0. Theo định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai suy ra phương trình. f (x) 0 có hai Nghiêm phân biệt.. Hay (b  c)  4a(a  b  c)  0  (b  c)  4a(a  b  c) Suy ra điều cần chứng minh. 27> Tự giải 28> Tự giải 29> Hướng dẩn: a) Dùng bất đẳng thức Côsi cho 3 phần tử 2. b) Tính hiệu. 2. a b c , , b c a a 2  b 2  c2  (ab  bc  ac)  1  a  b  2   a  c  2   b  c  2  0 2. 30> Hướng dẩn: a) Bình phương 2 vế. b) Chuyển vế, đưa về vì a b 1 nên ab 1.  b  a  2  ab  1 0  1  ab   1  a  2  1  b 2 . là đúng. 31> Hướng dẩn:. a) Áp dụng hai lần bất đẳng thức Côsi cho ba phần tử a, b, c và. 1 1 1 , , a b c b) Bình phương 2 vế để đi đến kết quả đúng ab  cd 2 abcd 32> Hướng dẩn: a) Vì a. m.  b m  0,a n  b n  0 nên bất đẳng thức cần chứng. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 9.

(91) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng minh tương đương với. (a n  b b )(a m  b m )  (a m  b m )(a n  b n ) . Khai triển ta được bất đẳng thức đúng.. b) Đặt a 1  x, b 1  x khi đó a,b  0 n 1 n 1 n 2n (a  b) n na   b...  nab    b A. Ta có:. n n n Do a,b  0 nên A  0 . Vậy 2  a  b (ĐPCM). 33> Hướng dẩn: a) Nhân hai vế với 2, ta có bất đẳng thức đúng.  a  b  2   a  1 2   b  1 2 0. b) Nhân hai vế với 2, ta có bất đẳng thức đúng.  a  b  2   a  2  2   b  2  2 0. 2. a    b  c  0  c) Tương đương với  2 , hằng đúng 34> Hướng dẩn: Dùng tam thức bậc hai với ẩn x có  là tam thức bậc hai đối với y ,.  0. Ta có y , từ đó suy ra điều phải chứng minh 35> Hướng dẩn:. Chỉ cần chứng minh cho trường hợp a, b có cùng dấu dương. Trường hợp trái lại thì bất đẳng thức hiển nhiên. Ta có 2. a 2  b 2  a  b   2ab 1  ab a 4  b 4 (a  b) 4  2a 2 b 2 (1  2ab) 2  2a 2 b 2 (1) 1 0 ab  4 Vì a  b 1 và a  b 2 ab nên 1 ab  4 vào (1) ta được: Thay. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 9.

(92) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 2. 1 1   1 a  b (1  2ab)  2a b  1  2.   2.   4 8   4 4. 4. 2. 2 2. 36> Hướng dẩn: 2. a) Dùng bất đẳng thức Côsi cho hai số x  1 và 1 b) Dùng bất đẳng thức Côsi cho hai số x  1  0 và 9 c) Dùng bất đẳng thức Côsi, ta có. a  b 2 ab và ab  1 2 ab Nhân 2 vế, ta có ĐPCM 37> Hướng dẩn: a) Ta có a  b 2 ab , c  b 2 cb , a  c 2 ac Nhân 2 vế với các bất đẳng thức trên, ta được ĐPCM b) Khai triển vế trái, dùng bất đẳng thức Côsi cho 6 số và để ý 6. 6 a 6 b 6c 6 6abc, a, b, c 38> Hướng dẩn: a) Dùng bất đẳng thức Côsi-Bunhacôpski, ta có.  x  y  2  12  22  x 2  y2 5 . 2 2 x  y 1 ) (do. x  2y  5. Vậy b) Dùng bất đẳng thức Côsi-Bunhacôpski, ta có.  2x  3y  2  . . 2x. 2. 2 2 3y   2   5 2x 2  3y 2.  . 2 3  .       . . Từ đó suy ra ĐPCM. 39> Hướng dẩn: Dùng bất đẳng thức Côsi-Bunhacôpski cho các số. 1;1;sin 2 x . 1 sin 2 x. ;cos 2 x . 1 cos 2 x ta có. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 9.

(93) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng. . 2 2  2 1   1   2 1  1   sin x  2    cos x   2    sin x   cos x    2. 2. . 2. 2. 1 1  4     sin 2 x  2  cos 2 x   1     2 2   sin x cos x   sin x  2.  1  4  25 Từ đó suy ra ĐPCM 40> Hướng dẩn:. Dùng bất đẳng thức Côsi-Bunhacôpski cho các số x,a,b và x, x, 1 ta có:. . x 2  ax  b. 2.   x 2  a 2  b2  x 2  x 2 1. (1). Áp dụng cho x, c, d và x, x, 1 ta có:. . x 2  cx  d. 2.   x 2  c2  d2  x 2  x 2  1. (2). Cộng vế với vế (1) và (2) ta có:. . x 2  ax  b. 2.  x 2  cx  d.  . 2.   x 2 1 x 2  a 2  b2  c2  d 2   2x  . 2. 41> Hướng dẩn: a) Ta có. 1 1  n  1 2n 1 1  n  1 2n ............... 1 1  n  1 2n. Cộng vế theo vế ta thu được điều cần chứng minh. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 9.

(94) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 1. b) Ta có. 1 22 2 1 1 1 1    2 2.3 2 3 3 1 1 1 1    2 3.4 3 4 4 ......................... . Cộng vế với vế với vế ta được điều cần chứng minh. 42> Hướng dẩn: a) Dùng bất đẳng thức Côsi cho n số dương. 2 2 2 2 a ,a ,a ,...,a 1 2 3 n n b) Dùng bất đẳng thức Côsi cho số dương và. chất khai căn bậc 2 được đối với bất đẳng thức có hai vế dương. 43> Hướng dẩn: - Cách 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có : 2x  y  z = (x  y)  (x  z) ≤ 4 ( x  y + y  z ) ≤ 16 ( x +. 1 1 1 y + z + z) Tương tự: 1 1  b  b 2  4ac 1 1 1 1 x  2y  z ≤ 16 2a (x + y + z + z) 1 1 1 1 1 1 x  y  2z ≤ 16 ( x + y + z + z ) Cộng theo vế 3 BĐT trên: 1 1 1 1 1 1 1 1 2x  y  z + x  2y  z + x  y  2z ≤ 16 . 4 ( x + y + z + z ) Mà. 1 1 1 1 x + y + z + z=4. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 9.

(95) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 1 1 1 2x  y  z + x  2y  z + x  y  2z ≤ 1. Vậy. 4 Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 3. - Cách 2: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có 2x  y  z = 2x  (y  z) ≤ 4 ( 2x + y  z ) ≤ 8x + 16 ( y + z ) = 8x + 1 1 16y + 16z 1 1 1 1 Tương tự: x  2y  z ≤ 16x + 8y + 16z 1 1 1 1 x  y  2z ≤ 16x + 16y + 8z Cộng theo vế các BĐT: 1 1 1 1 1 1 1 x  2y  z + x  y  2z + 2x  y  z  4 ( x + y + z )=1 1 1 1 Vậy x  2y  z + x  y  2z + 2x  y  z  1 44> Hưóng dẩn:. x. y 10. . x 10  y x 100  y  20 y. . . 2. y  10  200 200. Xét x - 2y  - y + 20 y +100 = 45> Hưóng dẩn: Theo giả thiết: x + y < xy Ta đưa về dạng: (x - 1).(y - 1) > 1  x > 1; y > 1;  x  1   y  1 2  x  1 . y  1  2 Theo biểu thức Côsi ta có: x+y>4. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 9.

(96) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 46> Hưóng dẩn: 2 2 3 Ta có x  y x  y (), 2 2 3 3 4 2 3 giả sử x  y x  y theo giả thiết: x  y x  y 3 2 4 2 3   x  x    y  y   2y  2y điều đó ngược với 2 4 3 x  x 3 2x 2 và y  y 2y. 2. 2. Từ () ta có: x  y  x  y. 3.  x3  y 4  2 x  2 y 2  x 2  y 3  x3  y 4.  1  x    1  y  2 x  2 y Mặt khác: 2. 4. 2. x 2  y 3  x 3  y 4 .  2  x 2  y 4  x 2  y 3  x 3  y 4  ĐPCM. 47> Hưóng dẩn: Biến đổi biểu thức về dạng:. 2 2 2 1 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a  b  b  c  c  a  a  bc  b  ca  c  ab               0 2 2 . . . 48> Hưóng dẩn: Ta có:. 100a  10b  c 99a  9b a  b  c 99a  9b    1 a bc a bc a b c a b = 90a 9a  9b 90a  1   10 90  10 100 a b a b a Vậy tỉ số lớn nhất bằng 100, dấu =xảy ra khi c = 0, b = 0 49> Hưóng dẩn: Nếu a b c 1 thì a  b  c 3. Ta giả sử. a  1,b  1. Thì từ ta có. abc 1 ab  a  b  1  a  1  b  1  0 a d cb. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 9.

(97) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 50> Hưóng dẩn: Biến đổi vế trái về dạng: 1   1 1  1 1  1 1   1                2 4   6 8   10 12   98 100  1 37  1 1  1 1  1 1  1 1              2 4   6 8   10 12  4 24 60 120 51> Hưóng dẩn: Thật vậy: a  -b-c  a (-b-c)  (-b-c). 2. bc  b 2  2bc  c 2  b 2  bc  c 2  0 (*) 52> Hưóng dẩn: Bất đẳng thức đã cho có thể viết:.  x  y  z   x . y  z    x  y  z  0 x, y, z là 3 cạnh của tam giác nên mỗi nhân tử đều lớn hơn 0 . Vậy bất đẳng thức không thể xảy ra . 53> Hưóng dẩn: Biến đổi.  a  b   b  c   c  a   5abc  ab  a  b  c   bc  b  c  a   ca  c  a  b   0 Vì a, b, c dương, và a + b > c, b + c > a, c + a > b Vậy (a + b)(b + c)(c + a) > 5abc 54> Hưóng dẩn: 2 2 2 2 2 4( x1  x 2  x 3  x 4  x 5 ) - 4 x1  x 2  x 3  x 4  x 5  =. x  x1 . 2 1.  4x1x 2  4x 22    x12  4x1x 3  4x 32   () 2. 2. =. 2. 2x 2    x1  2x 3    x1  2x 4    x1  x 52  0. 55> Hướng dẩn:. a b c.   2 2 a  ab  b  0  Ta có a3 + b3 + 3.abc = (a - b)(a2 – ab + b2) + 3.abc > c.(a2 – ab + b2) + 3.abc Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 9.

(98) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng = c.(a2 + 2.ab + b2) = c.(a + b)2 > c.c2 = c3 56> Hưóng dẩn:. ab + bc + ca < 2.c2 ab + bc + ca < a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca =. Hay Xét:. 1 1 2 2a 2  2b 2  2c 2  2ab  2bc  2ca    a  b   (b  c) 2  (c  a) 2 .  2 2. . . 57> Hướng dẩn: Ta viết : 0  a  b  c  1. (1 – a ).(1 – b)  0  a + b  1 + ab  1 + 2.ab  a + b + c  a + b + 1 2 + 2.ab  1 + ab  1 + ac  1 + bc a b c a bc    2 bc  1 ac  1 ab  1 1  ab vậy 58> Hướng dẩn: 2. 4  1  x   1  z   2  x  z   1  y   4  1  x   1  y   1  z   1  y   1  y   1  y 2  Cần chứng minh: 1  y 1-y 2 (đúng) 59> Hướng dẩn: Cách 1> 2. 2. 2. 2. 2. 2. Ta có b  c 2bc;c  d 2cd;d  a 2ad;... Cộng vế với vế ta được. 3  a 2  b 2  c2  d 2  2  ab  ac  ad  bc  bd  cd   4  a 2  b 2  c 2  d 2  a 2  b 2  c 2  d 2  2  ab  ac  ad  bc  bd  cd  2.  4  a 2  b 2  c 2  d 2   a  b  c  d  4   a 2  b 2  c 2  d 2  1 Cách 2. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 9.

(99) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 4  a 2  b 2  c 2  d 2   12  12  12  12   a 2  b 2  c 2  d 2  2.  a  b  c  d  8 60>. Hướng dẩn: 2. 1 1 1 1   a  b  2   2 2   1  1  a b a b   a   b    a  b 2 2 . 2. 2. 4   2    25 a b    2 2 61> Hướng dẩn: 2. 2. 1  a  b  c  4  a  b  c  a  b 4  a  b  c Ta có 2 a  b 4ab  a  b 16abc   Lại có 62> Hướng dẩn:. 2  b 2  c 2   2  2  a 2   2  a . 2.  3a 2  4a 0  0 a . Ta có Tương tự 63> Hướng dẩn:. 4 3. 4 4 0 b  ; 0 c  3 3. 1  a  b  c 2. 2. 2. 4  a  b  c . Lại có a a ;b b ;c c. 1  a  b  c. Vậy 64> Hướng dẩn: Áp dụng bất đẳng thức Côsi. 2. 2. 4  a 2  b 2  c 2 . Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 9.

(100) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng a a b a 2b 3a 3   3 2  3 b b c bc abc b b c 3b   3 c c a abc c c a 3c   3 a a b abc. Tương tự Cộng vế với vế ta được điều phải chứng minh 65> Hướng dẩn: Áp dụng bất đẳng thức Côsi. a 3  1  b   1  c  3a a3 1 b 1 c   3. 3  1  b 1  c 8 8 64 1  b 1  c       4 b3 1  a 1  c 3b    1  a  1  c 8 8 4 Tương tự  c3 1  a 1  b 3c    8 4 1  a  1  b 8 Cộng vế với vế ta được: a3 b3 c3 3 a  b  c 3. 3 abc 3       2 2 2 1  b 1  c 1  a  1  c 1  a  1  b 4 66> Hướng dẩn:. 1 ab  a  b    8 1 ab 1  2 ab  . 8 2. ab. a  b   . . 1  64. ab  . . a b. . 2. 1  2 ab    8. . Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm 2 ab và.  1-2 ab . Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 1.

(101) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng. . . 2 ab. 1  2 ab . . . ab 1  2 ab . 2 ab  1  2 ab 1 1   2 ab 1  2 ab  hay: 2 2 4. . . 1 8. 67> Hướng dẩn: Giả sử ngược lại cả bốn đẳng thức đều đúng . Nhân từng về ta có :. 2.3.8.32a(1 - b)b(1 - c)c(1 - d)d(1 - a) > 2 .3 1  a(1  a)  b(1  b)  c(1  c)   d (1  d )  256 =>. (1). Mặt khác , áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :. a (1  a ) . a 1  a 1  2 2. =>. a(1 - a). 1  4. 1 Tương tự : b(1 - b)  4 1 c(1 - c)  4 1 d(1 - d)  4. Nhân từng về các bất đẳng thức ; ta có :.  a(1  a)  b(1  b)  c(1  c)  d (1  d ) . 1 256. (2). Từ (1) và (2) suy ra vô lý . Điều vô lý đó chứng tỏ ít nhất một trong 4 bất đẳng thức cho trong đầu bài là sai . 69> Hướng dẩn:. bc  a 0 2 Ta có : p - a = Tương tự : p - b > 0 ; p - c > 0 ; Áp dụng kết quả bài tập (3.5) , ta được ;. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 1.

(102) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng. Tương tự :. 1 1 4 4    p  a p  b ( p  a )  ( p  b) c 1 1 4   p b p c a 1 1 4   p a p c b 1 1 1 1 1 1 2(   ) 4(   ) p a p c p c a b c =>. => điều phải chứng minh . Dấu '' = '' xảy ra khi : p - a = p - b = p - c  a = b = c . Khi đó tam giác ABC là tam giác đều . iii.. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤ. 70> Hướng dẩn: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được min A 2 khi x 0 71> Hướng dẩn: a) A  1  x  1  x 2. Hướng dẩn: Xét A 2 2 1  x. 2. ta được. min A  2 với x 1 , max A 2 với x=0 b) B  x  2  6  x 2 B 4  2 (x  2)(6  x) ta có Hướng dẩn: Xét  x 2 min B 2    x 6 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si a  b 2 ab ta được max B 2 2  x  2 6  x 4 72> Hướng dẩn:. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 1.

(103) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Áp dụnh bất đẳng thức Bunhacôpski ta được. max A 5  x 2. 73> Hướng dẩn: Áp dụng bất đẳng thức Côsi và Bunhacôpski ta được. min A  100  x  10,max A 1000  x 10. 74> Hướng dẩn: Cách 1:.  a b ay bx A x  y 1(x  y)    (x  y) a   b x y x y   Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta được.  x a  ab min A a  b  2 ab ( a  b)    y b  ab 2. Cách 2. Dùng bất đẳng thức Bunhacôpski.  a b  a b A (x  y).1 (x  y)     x  y  x y  x y . 2. 75> Hướng dẩn: 4. 4. 2 2. 4. 4. 2 2. 4 4 2 2 Ta có x  y 2x y ; z  y 2z y ; x  z 2x z 4. 4. 4. 2 2. 2 2. 2 2. x  y  z x y  z y  x z Suy ra Mặt khác, để chứng minh rằng nếu a  b  c 1 thì. a 2  b2  c2  Do đó Vậy 76> Hướng dẩn:. 1 3. 1 3. 1 3 min A   x y z  3 3 x 2 y2  z 2 y2  x 2z 2 . A  x  y 0 , do đó A lớn nhất khi và chỉ khi A 2 lớn nhất Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 1.

(104) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng A2 . 5 4. ( Bunhacôpski). 77> Hướng dẩn: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số x  y  z và t. Vậy. 1  2x  5  2 max A  y  2  x 2  4y 2 1 .  2 5  x  5  y  5  10 hoặc.  2 5  x  5   y  5  10 78> Hướng dẩn: 2. P x . x x 2 x  x  1  1. . . . 2. x  x  1  1  1 x  x  1  1.  x  x  1  1 . 1 x  x  1  1.  x 0 dÊu d¼ng thøc khi x  x  1  1 1    x  1. 79> Hướng dẩn: Ta có. z4 1 1 P   4   x 4  y4  4 4 4 P z 1 z  x  y . x2 y xy z  x z  y 3z  xy   2 3 z z Từ Áp dụng Côsi cho 4 số không âm 2 2. 2. 2. 2. 1 x8 x2 1 2 2 4 4 4 1  4  x  x 4 4 4 1; 2 ;x ; x z z z z có Áp dụng Côsi cho 4 số không âm 1 1 y4 y 1 1 4 4 4 1  4  4  y 4 8 4 2 1; 4 ; 4 ; y z z z z z z có. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 1. 2.

(105) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Áp dụng Côsi cho 4 số không âm 4 4 4 4 8 2 1; x 4 ; y4 ; y 4 có 1  x  y  y 4 4 x y 4xy Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức trên ta được  x2 y  1 1 4 4 3  3. 4  3.x  3.y 4.  2  xy 2  12  3 dÊu b»ng khi x y z 1. z P  z z  1 VËy Pmax  khi x y z 1. 3 80> Hướng dẩn:. x P. 3.  y3    x 2  y 2 .  x  1  y  1. x 2  x  1  y2  y  1 x2 y2     y 1 x 1  x  1  y  1. 2xy.  x  1  y  1. x2 y2 x  1 1 x  l¹i cã  x-1 .1   dÊu b»ng khi x 2 y 1 x 1 2 2 y  1 1 y  dÊu b»ng khi y 2  y  1 .1  2 2 2xy  P 8 dÊu b»ng khi x y 2 x y . 2 2 VËy Pmin 8 khi x y 2. 81> Hướng dẩn: dÊu b»ng khi. Ta có. f  x   2x 2  5x  2  2 x  3  2x  Áp dụng Côsi cho 2 số không âm Ta có.  x  2   2x  1   x  2  vµ  2x  1. 4  x  3   2x.. x  2  2x  1 3x  3  2 2 dÊu d¼ng thøc khi: x  2 2x  1  x 1 4 vµ  x  3 Áp dụng Côsi cho 2 số không âm.  x  2   2x  1 . Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 1.

(106) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 4x 3 x 7  2 2 DÊu d¼ng thøc khi : 4 x  3  x 1 4  x  3 . Ta có. .  x  2   2x  1 . 4  x  3   2x . 3x  3 x  7   2x 5 2 2. dÊu d¼ng thøc khi x 1 VËy: f  x  min 5 khi x 1.. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 1.

(107) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 82> Hướng dẩn: 2 Ta có T  x  y   x  z  x  xz  xy  yz x  x  y  z   yz 1 Tõ:  x  y  z  xyz 1  x  x  y  z   thay vµo T ta cã: yz. T. 1  yz 2 dÊu d¼ng thøc khi yz 1 yz. 83> Lời giải. 1  x10 y10  4 4   x y   2 2 12 12 2 y x   Ta có Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x y 1 16 1 x  y16   x 8 y8 dÊu b»ng khi x16 y16  4 2 2 2 1 1 1  Q  x 8 y8  x 4 y 4   1  x 2 y 2    x 8 y8  2x 4 y 4  1   1  x 2 y 2   2 2 2 2 2 1 1   x 4 y 4  1   x 2 y 2  1  2 2 2 l¹i cã:  12  12    x 2 y 2   12   x 2 y 2  1   2. hay 2  x 4 y 4  1  x 2 y 2  1 dÊu b»ng khi x 2 y 2 1 84> Hướng dẩn: Ta có. 1 2 1 1 2 a 2  1 1  3a 2  1 1  2 2 1 2 P  2 b c  a  2  2   2 b c    2  2      a 4  b c  4  b2 c2  b c  a Có. 1 2 a2  1 1  1 2 a2  1 1  2 2  b  c   4  b2  c 2  2 a 2  b  c  . 4  b2  c 2  a2    . 1 2 a2 4 1 2 a2  1 1  2 2 2 2  b  c  . . 2 2 dÊu b»ng khi 2  b  c    2  2  a 4 b  c2 a 4 b c . Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 1.

(108) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng  4b 2 c 2 a 4 ; b 2 c 2 a2  1 1  a2 4 3.  2  2  3. . 2 3 2 4 b c 4 b  c   Lại có dấu “=” xảy ra khi và chỉ 2 2 khi b c a2 a2 2 2 2 2  P 5 dÊu b»ng khi b c  . VËy Pmin 5 khi b c  . 2 2 85> Hướng dẩn:. 2. 2 2 x 4  1  x  1  2x x2  1 2x    2 2 x3  x x x2  1 x  x 2  1. 86> Hướng dẩn: Áp dụng bất đẳng thức :. a2  b2  c2  d 2  (a  c)2  (b  d)2. A  x 2  12  (1  x)2  22  ( x  1  x)2  (1  2) 2  10 1 x 1 min A  10  2  x  x 3. 87>. a) Điều kiện : x 1, y 2 . Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm giảm một tổng :. a b  ab 2. Ở đây ta muốn làm tăng một tổng. Ta dựng bất đẳng thức :. a  b  2(a 2  b2 ) A  x  1  y  2  2(x  1  y  3)  2  x  1 y  2  x 1,5 max A  2      x  y 4  y 2,5 Cách khác : Xét A2 rồi dùng bất đẳng thức Cauchy.. b) Điều kiện : x 1, y 2. Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm trội một tích :. ab . a b 2. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 1.

(109) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng x  1 , y  2 là các tích : 2(y  2) x  1  1.(x  1) , y  2  2 x  1 1.(x  1) 1  x  1 1    x x 2x 2 Theo bất đẳng thức Cauchy : y 2 2.(y  2) 2  y  2 1 2     y 4 y 2 2y 2 2 2  x  1 1  x 2 1 2 2 2 M ax B        2 4 4  y  2 2  y 4 Ta xem các biểu thức. 88> Hướng dẩn: 2 2  x = y ≥ 0, ta có : y x  2 2 1 9 9 9 1 7  2 a 2  y  y   y      max A =  y   x  2 4 4 4 2 4 . Điều kiện x 2 Đặt. 89> Hướng dẩn Áp dụng | A | + | B | ≥ | A + B | . min A = 2  1 ≤ x ≤ 2 . Áp dụng các bất đẳng thức đả biết Áp dụng xét hiệu 90> Hướng dẩn 2 ( x  2)(6  x) 0  x  4 x  12 0     1 x 3  2 ( x  1)(3  x )  0  x  2 x  3  0  Tập xác định :  (1) Xét hiệu : (- x2 + 4x + 12)(- x2 + 2x + 3) = 2x + 9. Do (1) nên 2x + 9 > 0 nên A > 0.. . A2 . ( x  2)(6  x) . ( x  1)(3  x). . 2. Xét : . Hiển nhiên A2 ≥ 0 nhưng dấu “ = ” không xảy ra (với A > 0). Ta biến đổi A2 dưới dạng khác : ( x  2)(6  x )( x  1)(3  x ) A2 = (x + 2)(6 – x) + (x + 1)(3 – x) - 2 =. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 1. .

(110) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng = (x + 1)(6 – x) + (6 – x) + (x + 2)(3 – x) – (3 – x) - 2 ( x  2)(6  x )( x  1)(3  x ). = (x + 1)(6 – x) + (x + 2)(3 – x) – 2. =. . ( x  2)(6  x)( x  1)(3  x). ( x  1)(6  x) . +3. ( x  2)(3  x). A2 ≥ 3. Do A > 0 nên min A =. . 2. 3. .. 3 với x = 0.. 91> Lời giải: 2 2 a  b  2(a  b ) (*) (a + b ≥ 0) Trước hết ta chứng minh : Áp dụng (*) ta có : S  x  1  y  2  2(x  1  y  2)  2. 3  x    x  1 y  2 2 maxS  2      x  y 4  y 5  2 2  Có thể tính S rồi áp dụng bất đẳng thức Cauchy. 92> Lời giải:. A 3x  3y 2. 3x.3y 2 3x y 2. 34 18 . min A = 18 với x = y = 2. 93. Lời giải: Không mất tính tổng quát, giả sử a + b ≥ c + d. Từ giả thiết suy ra :. a bcd 2 . b c b c  c c  a b cd  c d cd  A         cd a b cd  cd a b  2(c  d)  c d a b  Đặt a + b = x ; c + d = y với x ≥ y > 0, ta có : bc . A. xy y y x 1 y  x y 1 x y 1 1      1      2. .   2 2y y x 2y 2 x  2y x  2 2y x 2 2. min A  2 . 1  d 0 , x y 2 , b  c a  d 2 ;. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 1.

(111) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng a  2  1, b  2  1,c 2,d 0. Chẳng hạn khi II.. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH. 94> Hướng dẩn : a. Tóm tắt : ( 2 x  3 +. . 5  2x )2  2(2x - 3 + 5 - 2x) = 4 2 x  3 + 5  2x  2. => MaxL = 2 khi x = 2 .. 3 5 x  2 2 b. TXĐ : (*)  2 x  3 + 5  2x = x2 - 4x + 6 VP = (x - 2)2 + 2  2 , dấu '' = '' xảy ra khi x = 2 . => với x = 2 ( thoả mãn TXĐ ) thì VT = VP = 2 . => phương trình (*) có nghiệm x = 2 . 95> Hướng dẩn: TXĐ : -2  x  6. VP = (x - 3)2 + 4  4 . Dấu '' = '' xảy ra khi x = 3 . VT2 = ( 6  x .1 +. x  2 .1)2.  (6. - x + x + 2)(1 + 1) = 16 6 x = x2  x = 2 .. => VT  4 , dấu '' = '' xảy ra khi => không có giá trị nào của x để VT = VP => Phương trình vô nghiệm 96> Hướng dẩn:. y 2  4 y  13  3 => VT  x  2 0  x 2   y  2  0 y 2  Dấu '' = '' xảy ra khi :  3 x 2  12 x  16. 2 ;. 5 .. => phương trình có nghiệm : x = 2 ; y = 2 c.. KẾT LUẬN. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 1.

(112) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Các bài tập về bất đẳng thức thường là tương đối khó đối với học sinh , nhưng khi hướng dẫn học sinh xong đề tài (một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức ), học sinh sẽ thấy rằng việc làm bài toán về bất đẳng thức sẽ rễ hơn . Đồng thời đứng trước bài toán khó cho dù ở dạng bài tập nào học sinh cũng có hướng suy nghĩ và tập suy luận , các em sẽ có tự tin hơn . Chuyên đề còn có thể còn nhiều thiếu sót , rất mong được sự ủng hộ của các Thầy, Cô giáo Và các bạn để đề tài ngày càng hoàn thiện hơn. Nhân đây, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu nhà trường, ban chủ nhiệm Khoa Toán – Tin, đặc biệt là giảng viên.Th.S.NCS.Nguyễn Quang Hoè đã tạo điều kiện và trực tiếp hướng dẫn , giúp đỡ tôi hoàn thành đề tài này.. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương. MỤC LỤC A. ĐẶT VẤN ĐỀ..................................................................................................1 1.Lý do chọn đề tài.........................................................................................1 2. Nhiệm vụ nghiên cứu................................................................................2 3. Đối tượng nghiên cứu...............................................................................2 4. Phương pháp nghiên cứu.........................................................................2 5 Phạm vi nghiên cứu..................................................................................3 B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ...........................................................................3 PHẦN I. CƠ SỞ LÝ LUẬN.........................................................................3 PHẦN II NỘI DUNG ĐỀ TÀI.....................................................................3 I. CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý...........................................................3 Định nghĩa bất đẳng thức .....................................................................3 Một số tính chất bất đẳng thức............................................................4 Các bất đẳng thức thông dụng..............................................................5 II. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT DẲNG THỨC...........5 1. Phương pháp sử dụng định nghiă........................................................5 2. Phương pháp biến đổi tương đương....................................................9 3. Phương pháp quy nạp toán học..........................................................12 4. Phương pháp tam thức bậc hai...........................................................16 1. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net.

(113) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 5. Phương pháp Cauchy..........................................................................21 6. Phưong pháp Bunhacôpski.................................................................26 7. Phương pháp phản chứng...................................................................29 8. Phương pháp hình học.........................................................................32 9. Phương pháp sử dụng tính đòng biến, nghịch biến của hàm số .......................................................................................................................36 10. Phương pháp làm trội, làm giảm.......................................................36 11. Phương pháp dùng miền giá trị..........................................................38 12. Phưong pháp đánh giá.........................................................................39 13. Phương pháp dùng tính chất tỉ số......................................................41 14. Phương pháp sử dung các bất đẳng thức trị tuyệt đối.....................42 15. Phương pháp Đổi biến số ...........................................................................................................................44 16. Phương pháp chứng minh bất đẳng thức trong hình học phẳng .......................................................................................................................46 17. Phương pháp dùng bất đẳng thức tổng quát chứa luỹ thừa các số tự nhiên .......................................................................................................................48 PHẦN III ỨNG DỤNG CỦA CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN KHÁC .......................................................................................................................49 Chủ điểm I: Ứng dụng của bất đẳng thức côsi để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức .......................................................................................................................49 Chủ điểm II Ứng dụng của bất đẳng thức Bunhacôpski để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất .......................................................................................................................53 Chủ điểm III. Sử dung bất đẳng thức để giải phương trình .......................................................................................................................55 Chủ điểm IV. 1. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net.

(114) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng Dùng bất đẳng thức để giải hệ phương trình .......................................................................................................................58 Chủ điểm VI. Dùng bất đẳng thức để giải phương trình nghiệm nguyên .......................................................................................................................61 Chử điểm VII. Áp dụng các bất đẳng thức và các mệnh đề khác để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất .......................................................................................................................62. PHẦN IV BÀI TÂP TỔNG HỢP .......................................................................................................................65 I> CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC .......................................................................................................................66 II> TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT NHỎ NHẤT .......................................................................................................................83 III.> GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ...............................................................................................................................75 MỤC LỤC..........................................................................................................107 ************************************************************. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1> 2> 3> 4> 5> 6>. Đại số sơ cấp và thực hành giải toán Hoàng Kỳ( chủ biên) Bài tập cơ bản và nâng cao đại số 8 (Phan Văn Đức-Ngyễn TháI Hoà - Nguyễn Thế Thựơng Nguyễn Anh Dũng) Bài tập toán chọn lọc về BĐT (GS: Phan Huy Khải) Nâng cao và phát triển toán 8 (Vũ Hữu Bình) Toán nâng cao đại số 8 (Nguuyễn Vĩnh Cận) Bất đẳng thức (Trần Đức Huyên). Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 1.

(115) WWW.ToanCapBa.Net Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng 7> 8>. Toán nâng cao và các chuyên đề đại số 8 (Vũ Dương Thụy: Chủ biên) Nguyễn Ngọc Đạm Nâng cao và phát triển toán 8 Vũ Hữu Bình).. Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin K48. WWW.ToanCapBa.Net. 1.

(116)

Chuyen de Bat dang thuc

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về