Tang em gai tai lieu tu hoc Toan 101112

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (6.83 MB, 446 trang )

(1)BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO. GIÁO TRÌNH TOÁN. 10 – 11 – 12 HỒ XUÂN TRỌNG. NHÀ XUẤT BẢN GIA SƯ VIỆT NAM. 1.

(2) MỤC LỤC ĐẠI SỐ 10 Chương I. MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HỢP Bài 1: Mệnh đề………………………………………………………………………8 Bài 2: Tập hợp……………………………………………………………………...13 Bài 3: Các phép toán tập hợp………………………………………………………15 Bài 4: Các tập hợp số………………………………………………………………17 Bài 5: Số gần đúng. Sai số………………………………………………………....19 Ôn tập chương I……………………………………………………………………20 Chương II. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Bài 1: Hàm số………………………………………………………………………22 Bài 2: Hàm số y = ax + b ………………………………………………………….27 Bài 3: Hàm số bậc hai…………………………………………………………..….29 Ôn tập chương II…………………………………………………………………...32 Chương III. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: Đại cương về phương trình…………………………………………………35 Bài 2: Phương trình quy về bậc nhất, bậc hai……………………………………...38 Bài 3: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn………………………..42 Ôn tập chương III…………………………………………………………………..45 Chương IV. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: Bất đẳng thức……………………………………………………………….48 Bài 2: Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn…………………………...51 Bài 3: Dấu của nhị thức bậc nhất…………………………………………………..55 Bài 4: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn…………………………………………...58 Bài 5: Dấu của tam thức bậc hai…………………………………………………...61 Ôn tập chương IV………………………………………………………………….65 Chương V. THỐNG KÊ Bài 1: Bảng phân bố tần số và tần suất…………………………………………….68 Bài 2: Biểu đồ……………………………………………………………………...71 Bài 3: Số trung bình cộng, số trung vị, mốt………………………………………..74 Bài 4: Phương sai và độ lệch chuẩn………………………………………………..77 Ôn tập chương V…………………………………………………………………...80 Chương VI. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Bài 1: Cung và góc lượng giác……………………………………………………..83 Bài 2: Giá trị lượng giác của một cung…………………………………………….88 Bài 3: Công thức lượng giác……………………………………………………….93 Ôn tập chương VI………………………………………………………………….97 Ôn tập cuối năm……………………………………………………………………99. 2.

(3) HÌNH HỌC 10 Chương I. VECTƠ Bài 1: Các định nghĩa……………………………………………………………..103 Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ………………………………………………...106 Bài 3: Tích của vectơ với một số…………………………………………………109 Bài 4: Hệ trục tọa độ……………………………………………………………...112 Ôn tập chương I…………………………………………………………………..117 Chương II. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 00 đến 1800 ……………………...120 Bài 2: Tích vô hướng của hai vectơ………………………………………………124 Bài 3: Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác………………………..127 Ôn tập chương II………………………………………………………………….133 Chương III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Bài 1: Phương trình đường thẳng…………………………………………………136 Bài 2: Phương trình đường tròn…………………………………………………..142 Bài 3: Phương trình đường elip…………………………………………………..145 Ôn tập chương III…………………………………………………………………147 Ôn tập cuối năm…………………………………………………………………..149. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 Chương I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài 1: Hàm số lượng giác………………………………………………………...152 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản…………………………………………...158 Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp………………………………163 Ôn tập chương I…………………………………………………………………..166 Chương II. TỔ HỢP - XÁC SUẤT Bài 1: Quy tắc đếm……………………………………………………………….169 Bài 2: Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp…………………………………………….171 Bài 3: Nhị thức Niu-Tơn………………………………………………………….174 Bài 4: Phép thử và biến cố………………………………………………………..176 Bài 5: Xác suất của biến cố……………………………………………………….179 Ôn tập chương II………………………………………………………………….183 Chương III. DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học……………………………………………186 Bài 2: Dãy số……………………………………………………………………...188 Bài 3: Cấp số cộng………………………………………………………………..192 Bài 4: Cấp số nhân………………………………………………………………..195 Ôn tập chương III…………………………………………………………………198 Chương IV. GIỚI HẠN Bài 1: Giới hạn của dãy số………………………………………………………..201. 3.

(4) Bài 2: Giới hạn của hàm số……………………………………………………….206 Bài 3: Hàm số liên tục…………………………………………………………….212 Ôn tập chương IV………………………………………………………………...215 Chương V. ĐẠO HÀM Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm……………………………………….218 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm……………………………………………………...221 Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác…………………………………………..224 Bài 4: Vi phân…………………………………………………………………….227 Bài 5: Đạo hàm cấp hai…………………………………………………………...228 Ôn tập chương V………………………………………………………………….229. HÌNH HỌC 11 Chương I. PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG Bài 1: Phép biến hình……………………………………………………………..233 Bài 2: Phép tịnh tiến………………………………………………………………234 Bài 3: Phép đối xứng trục………………………………………………………...237 Bài 4: Phép quay………………………………………………………………….240 Bài 5: Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau……………………….242 Bài 6: Phép vị tự………………………………………………………………….244 Bài 7: Phép đồng dạng……………………………………………………………246 Ôn tập chương I…………………………………………………………………..248 Chương II. ĐƯỜNG THẰNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG Bài 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng………………………………….251 Bài 2: Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song……………….258 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song………………………………….....261 Bài 4: Hai mặt phẳng song song………………………………………………….263 Bài 5: Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình trong không gian…...267 Ôn Tập chương II…………………………………………………………………269 Chương III. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN Bài 1: Vectơ trong không gian……………………………………………………272 Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc……………………………………………….276 Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng…………………………………...279 Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc………………………………………………….283 Bài 5: Khoảng cách……………………………………………………………….289 Ôn tập chương III…………………………………………………………………292 Ôn tập cuối năm…………………………………………………………………..295. 4.

(5) GIẢI TÍCH 12 Chương I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số…………………………………….300 Bài 2: Cực trị của hàm số…………………………………………………………305 Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số……………………………309 Bài 4: Đường tiệm cận……………………………………………………………314 Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số………………………………..316 Ôn tập chương I…………………………………………………………………..324 Chương II. HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT Bài 1: Lũy thừa và các tính chất của lũy thừa…………………………………….331 Bài 2: Hàm số lũy thừa…………………………………………………………...336 Bài 3: Lôgarit……………………………………………………………………..338 Bài 4: Hàm số mũ, hàm số lôgarit………………………………………………...342 Bài 5: Phương trình mũ và phương trình lôgarit…..……………………………...345 Bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit…………………………349 Ôn tập chương II………………………………………………………………….352 Chương III. NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Bài 1: Nguyên hàm……………………………………………………………….359 Bài 2: Tích phân…………………………………………………………………..364 Bài 3: Ứng dụng tích phân trong hình học………………………………………..370 Ôn tập chương III………………………………………………………………....374 Chương IV. SỐ PHỨC Bài 1: Số phức…………………………………………………………………….376 Bài 2: Cộng, trừ và nhân số phức…………………………………………………379 Bài 3: Phép chia số phức………………………………………………………….381 Bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực……………………………………….383 Ôn tập chương IV………………………………………………………………...385. HÌNH HỌC 12 Chương I. KHỐI ĐA DIỆN Bài 1: Khái niệm về khối đa diện…………………………………………………391 Bài 2: Khối đa diện lồi và khối đa diện đều………………………………………394 Bài 3: Thể tích các khối đa diện…………………………………………………..396 Ôn tập chương I…………………………………………………………………..401 Chương II. MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU Bài 1: Mặt nón tròn xoay – Mặt trụ tròn xoay…………………………………....405 Bài 2: Mặt cầu…………………………………………………………………….410 Ôn tập chương II………………………………………………………………….416 Chương III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN. 5.

(6) Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian………………………………………………..419 Bài 2: Phương trình mặt phẳng…………………………………………………...425 Bài 3: Phương trình đường thẳng trong không gian……………………………...432 Ôn tập chương III…………………………………………………………………444. 6.

(7) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. CHÖÔNG I. MỆNH ĐỀ. TẬP HỢP ----- oOo -----.  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: 1. Tập hợp:  Tập hợp là một khái niệm toán học, thường đặt tên bởi các chữ cái in hoa. Ví dụ tập hợp A là tập hợp các chữ cái a, b, c. Để chỉ a là một phần tử của A, ta kí hiệu: a  A đọc là a thuộc A. Để chỉ e không chứa trong tập A, ta kí hiệu: e  A đọc là e không thuộc A hay e không là phần tử cuûa A.  Các phần tử của một tập hợp thường được viết trong hai dấu ngoặc nhọn "{" và "}", cách nhau bởi dấu ";" (nếu có phần tử là số) hoặc dấu ",".  Có hai cách viết một tập hợp: Liệt kê các phần tử của tập hợp: Ví dụ: Tập hợp B là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 5 được viết: B = {0, 1, 2, 3, 4}. Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp đó. Ví dụ: Tập hợp B là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 5 được viết: B = {x  N  x < 4}, trong đó N là tập số tự nhiên.  Tập hợp còn được minh họa bằng một vòng kín (gọi là giản đồ Ven) A c b. a.  Một tập hợp có thể có một phần tử, có hiều phần tử, có vô số phần tử, cũng có thể không có phần tử naøo. Ví duï: C = {x} D = {1; 2; 3; ...; 100} E = {2; 4; 6; 8; ...} Tập hơp không có phần tử nào gọi là tập rỗng, kí hiệu . 2. Tập hợp con: 9 Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B thì tập A gọi là tập hợp 7 10 B A con của tập hợp B. 5 6 4 8 Ví dụ: Tập hợp A = {2; 4; 6; 8} là con của tập hợp B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 3 2 1 10} 3. Các tập hợp số thường sử dụng: N = {0; 1; 2; 3; 4; ...} N* = {1; 2; 3; 4; ...} Z: tập hợp số nguyên. Q: Tập hợp số hữu tỷ. R: Tập hợp số thực.  Ghi chuù: ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 7.

(8) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. §1. MỆNH ĐỀ. I- MỆNH ĐỀ. MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN: 1. Mệnh ñề:  Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai.  Một câu khẳng định đúng là một mệnh đề đúng. Một câu khẳng định sai là một mệnh đề sai.  Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai. Ví dụ: "Hà Nội là thủ đô của Việt Nam" là một mệnh đề đúng. " Số 3 là số chẵn" là một mệnh đề sai.  Trong các câu sau đậy, câu nào là một mệnh đề, câu nào không phải là một mệnh đề: a) "Caùc em khoûe khoâng ?" b) "2 + 3 > 6". c) "Các em thật tuyệt vời !". d) "x + 3 = 5". e) "Ngày mai trời sẽ nắng.".. * Chú ý: Người ta thường dùng các chữ cái in hoa P, Q, ... để kí hiệu cho một mệnh đề nào đó. Ví dụ: Cho mệnh đề P:"4 là một số chẵn". 2. Mệnh ñề chứa biến: Xét câu: "n chia hết cho 3", đây chưa phải là một mệnh đề vì ta không khẳng định được tính đúng sai cuûa noù.  Khi n = 4 ta được "4 chia hết cho 3" là một mệnh đề sai.  Khi n = 15 ta được "15 chia hết cho 3" là một mệnh đề đúng. Ta gọi P(n): "n chia hết cho 3" là một mệnh đề chứa biến. Ví dụ: Tìm hai giá trị thực của x để từ mệnh đề chứa biến Q(x): "x2 + x - 2 = 0" ta được một mệnh đề đúng và một mệnh đề sai. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... II- PHỦ ĐỊNH CỦA MỘT MỆNH ĐỀ:  Hai mệnh đề sau khác nhau ở những điểm nào? "Dơi là một loài chim" "Dơi không phải là một loài chim". Cho mệnh ñề P. Mệnh ñề "khoâng phải P" ñược gọi laø mệnh ñề phủ ñịnh của P vaø kí hiệu P . Ta coù: P đúng khi P sai, P sai khi P đúng. Ví dụ: Lập mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau đây: P: "3 laø moät soá nguyeân toá", Q: "7 khoâng chia heát cho 5", R: "Toång ba goùc trong cuûa moät tam giaùc baèng 1800", S: "Tổng ba cạnh của một tam giác lớn hơn cạnh thứ ba". Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... 8.

(9) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. ...................................................................................................................... ................................................................................................................... III- MỆNH ĐỀ KÉO THEO: Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề " Nếu P thì Q" được gọi là mệnh đề kéo theo, kí hiệu P  Q Mệnh đề P  Q được phát biểu là " P kéo theo Q" hay "Từ P suy ra Q" hay " Vì P nên Q". Mệnh đề P  Q chỉ sai khi P đúng và Q sai. Ví dụ: Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau: a) P: "-3 < -2  (-3)2 < (-2)2", Giaûi:. b) Q: " 3 < 2  3 < 4".. ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... Các định lí toán học là những mệnh đề đúng và thường có dạng P  Q . Khi đó ta nói: P laø giaû thieát, Q laø keát luaän cuûa ñònh lí; P là điều kiện đủ để có Q; Q là điều kiện cần để có P. Ví duï 1: Ñònh lí Pitago: ABC vuoâng taïi A  BC 2  AB 2  AC 2. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Từ các mệnh đề: P: "Tam giaùc ABC coù hai goùc baèng 600" Q: "ABC là một tam giác đều". Hãy phát biểu định lí P  Q. Nêu giả thiết, kết luận và phát biểu lại định lí này dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... IV- MỆNH ĐỀ ĐẢO - HAI MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG: Mệnh đề Q  P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P  Q . Nếu cả hai mệnh đề P  Q và Q  P đều đúng ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương. Khi đó ta kí hiệu P  Q (đọc P tương đương Q hoặc P là điều kiện cần và đủ để có Q hoặc P khi và chỉ khi Q). Mệnh đề P  Q đúng khi cả P và Q cùng đúng hoặc cùng sai và sai trong các trường hợp còn lại. Ví dụ 1: Cho mệnh đề P: "ABC là một tam giác đều", Q: "ABC là một tam giác cân".. 9.

(10) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. Lập mệnh đề P  Q và mệnh đề đảo của của nó. Xét tính đúng sai của các mệnh đề đó. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... Ví duï 2: Ñònh lí Pitago: "Neáu ABC vuoâng thì bình phöông moät caïnh baèng toång bình phöông hai caïnh coøn laïi" Mệnh đề đảo: "Nếu ABC có bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại thì ABC vuông". Mệnh đề đảo này là một mệnh đều đúng, ta gọi mệnh đề này là định lí đảo. Từ đó định lí Pitago được phát biểu: "ABC vuông khi và chỉ khi bình phương một cạnh bằng tổng bình phöông hai caïnh coøn laïi". V- KÍ HIỆU  VAØ  :(được sử dụng trong các mệnh đề chứa biến) 1. Mệnh đề chứa kí hiệu , :  Kí hiệu:  (đọc là "với mọi").  Kí hiệu:  (đọc là "có một" (tồn tại một) hay "có ít nhất một" (tồn tại ít nhất một)).  Mệnh đề:  "Với mọi x thuộc X sao cho P(x)" kí hiệu là " x  X : P( x ) "(*) (*) đúng nếu với bất kì x0  X ta có P(x0) là mệnh đề đúng. (*) sai nếu có một x0  X sao cho P(x0) là mệnh đề sai. Ví dụ: Viết lại mệnh đề "Bình phương mọi số thực đều lớn hơn hoặc bằng không" bằng kí hiệu và xét tính đúng sai của mệnh đề đó, lí do. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... Ví dụ 2: Phát biểu thành lời mệnh đều sau "nZ: n + 1 > n". Mệnh đề này đúng hay sai? vì sao? Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................  "Toàn taïi x thuoäc X sao cho P(x)" kí hieäu laø " x  X : P( x ) "(**) (**) đúng nếu có ít nhất một x0  X ta có P(x0) là mệnh đề đúng. (**) sai nếu với bất kì x0  X sao cho P(x0) là mệnh đề sai. Ví dụ: Viết lại mệnh đề "Có một số nguyên nhỏ hơn không" bằng kí hiệu và xét tính đúng sai của mệnh đề đó, lí do.. 10.

(11) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... Ví dụ 2: Phát biểu thành lời mệnh đều sau "xZ: x2 = x". Mệnh đề này đúng hay sai? vì sao? Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... 2. Phủ định của mệnh đề chứa các kí hiệu , :  Phủ định của mệnh đề" x  X : P( x ) " là mệnh đề " x  X : P ( x ) "  Phủ định của mệnh đề" x  X : P( x ) " là mệnh đề " x  X : P ( x) " Ví dụ: Lập mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của nó? a) P: "x  R : x2 ≠ 1"; b) Q: "n  N: 2n = 1"; c) R: "x  R: x2 + 1 < 1". Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................  Ghi chuù: ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 11.

(12) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Trong các câu sau đây, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến, câu nào không phải là mệnh đề: a) "3 + 2 = 7"; b) "4 + x = 3"; c) "10 laø soá nguyeân toá"; d) "x + y > 1"; e) "2 - 5 < 0"; f) "Ngày mai trời sẽ nắng". Bài 2: Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau và phát biểu mệnh đề phủ định của nó. a) "Soá 11 laø moät soá nguyeân toá"; b) "Soá 111 chia heát cho 3"; c) " < 3,15"; d) "1794 chia heát cho 3"; e) "-125 0; f) " 2 là một số hữu tỉ". Bài 3: Cho các mệnh đề kéo theo P: "Nếu a và b cùng chia hết cho c thì a + b chia hết cho c (a, b, c là những số nguyên). Q: "Các số nguyên có tận cùng bằng 0 đều chia hết cho 5". R: "Tam giác cân có hai đường trung tuyến bằng nhau". S: "Hai tam giaùc baèng nhau coù dieän tích baèng nhau". a) Hãy phát biểu mệnh đề đảo của mỗi mệnh đề trên. b) Phát biểu mỗi mệnh đề trên, bằng cách sử dụng khái niệm "điều kiện đủ". c) Phát biểu mỗi mệnh đề trên, bằng cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần". Bài 4: Xét hai mệnh đề P:" là số vô tỉ" và Q: " không là số nguyên". a) Hãy phát biểu mệnh đề P  Q. b) Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề trên. c) Xém xét tính đúng, sai của các mệnh đề trên. Bài 5: Cho hai tam giác ABC và A'B'C'. Xét hai mệnh đề: P: "Tam giaùc ABC vaø tam giaùc A'B'C' baèng nhau. Q: "Tam giaùc ABC vaø tam giaùc A'B'C' coù dieän tích baèng nhau". a) Xét tính đúng sai của mệnh đề P  Q. b) Xét tính đúng sai của mệnh đề Q  P. c) Xét tính đúng sai của mệnh đề P  Q. d) Lập mệnh đề phủ định và mệnh đề đảo của mệnh đề P  Q. Bài 6: Xét hai mệnh đề P: "24 là số chia hết cho 2 và 3", Q: "24 là số chia hết cho 6". a) Xét tính đúng sai của mệnh đề P  Q. b) Xét tính đúng sai của mệnh đề Q  P. c) Mệnh đề P  Q có đúng không? Bài 7: Phát biểu mỗi mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần và đủ". a) Một số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và ngược lại. b) Một hình bình hành có các đường chéo vuông góc là hình thoi và ngược lại. c) Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biêt khi và chỉ khi biệt thức của nó dương. Bài 8: Dùng kí hiệu ,  để viết các mệnh đều sau: a) Mọi số nhân với 1 đều bằng chính nó; b) Có một số cộng với chính nó bằng 0; c) Mọi số cộng với số đối của nó đều bằng 0. Bài 9: Phát biểu thành lời mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của nó 1 a) x  R : x2 > 0; b) n  N : n2 = n; c) n  N : n  2n; d) x  R : x < . x Bài 10: Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của nó a) n  N : n  n; b) xR : x < x + 1; c) xR : 3x = x2 + 1;d) xQ : x2 = 2.. 12.

(13) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. §2. TẬP HỢP I- KHÁI NIỆM TẬP HỢP: 1. Tập hợp và phần tử:  Tập hợp (còn gọi là tập) là khái niệm cơ bản của Toán học.  Để chỉ a là phần tử của tập A, ta viết a A (đọc a thuộc A).  Để chỉ b không là một phần tử của tập A, ta viết bA (b không thuộc A). 2. Cách xác định tập hợp:  Liệt kê các phần tử của nó (viết các phần tử của nó trong hai dấu móc{...}). Ví dụ 1: Liệt kê các phần tử của tập hợp A các ước nguyên dương của 30. Giaûi: .....................................................................................................................................................................................................................  Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó. Ví dụ 1: Viết lại tập hợp sau bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó. a) Tập hợp B các nghiệm của phương trình 2x2 - 5x + 3 = 0. b) Tập hợp C các số nguyên dương lẻ nhỏ hơn 11. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... Ví dụ 2: Viết lại các sau dưới dạng liệt kê các phần tử của nó a) D = {2k k  N}; b) E = {2n + 1 n  N, 1  n  4}. Giaûi: ................................................................................................................ ................................................................................................................... ................................................................................................................. ...................................................................................................................  Người ta thường minh họa tập hợp bằng một hình phẳng được bao quanh bởi một đường kín gọi là biểu đồ Ven.. B. 3. Tập hợp rỗng:  Tập hợp rỗng, kí hiệu là , là tập hợp không chứa phần tử nào.  Nếu A không phải là tập rỗng thì A chứa ít nhất một phần tử: A    x : x  A . II- TẬP HỢP CON: Nếu mọi phần tử của tập A đều là phần tử của tập B thì ta nói A là tập hợp con của B và viết A  B (đọc là A chứa trong B). A  B ta cũng viết B  A (đọc B chứa A hay B bao hàm A). Nhö vaäy: A  B  x : x  A  x  B ) A khoâng phaûi laø moät taäp con cuûa B ta vieát A  B . Ta coù: A  B  x : x  A vaø x  B A. B. B. A. AB. AB Tính chaát:. 13.

(14) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10 C. a) A  A với mọi tập hợp A. b) Neáu A  B vaø B  C thì A  C. c)   A với mọi tập hợp A.. B A. Ví dụ: Liệt kê tất cả các tập con của tập hợp A = {a, b, c}. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... * Chú ý: Số tập con của tập gồm n phần tử là: .......................... III- TẬP HỢP BẰNG NHAU:  Xét hai tập hợp A = {n  N  n là bội của 4 và 6}, B = {n  N  n là bội của 12}. Chứng minh A  B và B  A.. Khi A  B và B  A ta nói tập hợp A bằng tập hợp B và viết A = B. Nhö vaäy: A = B  (x : x  A  x  B) .  Ghi chuù: ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Cho biết x là một phần tử của tập hợp A, xác định tính đúng sai của các mệnh đề: a  A, {x}  A, x  A, {x}  A. Bài 2: a) Viết các tập hợp sau theo cách liệt kê các phần tử: i) A = { x  N x < 20 vaø x chia heát cho 3}; ii) B = { x  R  (x2 - 2x + 1)(x - 3) = 0}; iii) C = { x  N  x  30, x là bội của 3 hoặc của 5}. b) Cho tập hợp D = { 2, 6, 12, 20, 30}. Hãy xác định D bằng cách chỉ ra một tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó. c) Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp các học sinh lớp em cao dưới 1m60. Bài 3: Trong hai tập hợp A và B dưới đây, tập hợp nào là tập con của tập hợp còn lại? Hai tập hợp A và B coù baèng nhau khoâng? a) A là tập hợp các hình vuông B là tập hợp các hình thoi. b) A = { n  N n là ước chung của 24 và 30} B = { n  N  n là một ước của 6}. Bài 4: Tìm tất cả các tập con của tập hợp sau: a) A = {a; b}; b) B = {0, 1, 2}.. 14.

(15) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. §3. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP I- GIAO CỦA HAI TẬP HỢP:  Cho A = {n  N  n là ước của 12}, B = {n  N  n là ước của 18}. a) Liệt kê các phần tử của A và của B; b) Liệt kê các phần tử của tập hợp C các ước chung của 12 và 18.. Tập C gồm các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B được gọi là giao của A và B. Kí hiệu: C = AB.  A  B = {x  x  A vaø x B}. x  A  x A B   x  B. A. B. Ví dụ: Tìm tập hợp giao của hai tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} và B = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}. Giaûi: ................................................................................................................................................................................................................................... II- HỢP CỦA HAI TẬP HỢP:  Giả sử A, B lần lượt là tập hợp các học sinh giỏi Toán, giỏi Văn của lớp 10CB...... Biết A = {Minh, Nam, Lan, Hồng, Nguyệt}, B = {Cường, Lan, Dũng, Hồng, Tuyết, Lê} Gọi C là tập hợp đội tuyển học sinh giỏi của lớp gồm các bạn giỏi Toán hoặc giỏi Văn. Hãy xác định tập hợp C.. Tập C gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B được gọi là hợp của A và B. Kí hiệu: C = AB.  A  B = {x  x  A hoặc x  B}. x  A  x A B   x  B. A. B. Ví dụ: Tìm hợp của hai tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} và B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}. Giaûi: ................................................................................................................................................................................................................................... III- HIỆU VAØ PHẦN BÙ CỦA HAI TẬP HỢP:  Giả sử A = {An, Minh, Bảo, Cường, Vinh, Hoa, Lan, Tuệ, Quý},là tập hợp các học sinh giỏi của lớp 10CB.... B = {An, Hùng, Tuấn, Vinh, Lê, Tâm, Tuệ, Quý} là tập hợp các học sinh tổ 1 của lớp 10CB.... Gọi C là tập hợp các học sinh giỏi của lớp không thuộc tổ 1. Hãy xác định tập hợp C.. Tập C gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B gọi là hiệu của A và B. Kí hiệu: C = A\B.  A\ B = {x  x A vaø xB} x  A  x A\ B   x  B. A. B. Ví dụ: Tập hợp những phần tử x thuộc R khác 0 (tập R bỏ số 0) được viết là: ............................................. * Ñaëc bieät: B. Khi B  A thì A\B goïi laø phaàn buø cuûa B trong A, kí hieäu C AB . A. Ví dụ: Phần bù của tập hợp N trong tập hợp Z là tập hợp các số nguyên âm.. 15.

(16) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10.  Ghi chuù: ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Kí hiệu A là tập hợp các chữ cái (không dấu) trong câu "CÓ CHÍ THÌ NÊN", B là tập hợp các chữ cái (không dấu) trong câu "CÓ CÔNG MAØI SẮT CÓ NGAØY NÊN KIM". Hãy xác định AB, AB, A\B. Bài 2: Vẽ lại và gạch chéo các tập A  B, A  B, A\B, B\A trong các trường hợp:. A. B. A. B. A. B. B. A. a) b) c) d) Baøi 3: Cho A  B = {2, 3, 4, 5, 6}(1), B \ A = {7, 8, 9}(2), A \ B = {0, 1}(3). Xaùc ñònh A vaø B. Bài 4: Trong số 45 học sinh của lớp 10A có 15 bạn được xếp loại học lực giỏi, 20 bạn được xếp loại hạnh kiểm tốt, trong đó có 10 bạn vừa học lực giỏi, vừa có hạnh kiểm tốt. Hỏi a) Lớp 10A có bao nhiêu bạn được khen thưởng, biết rằng muốn được khen thưởng bạn đó phải học lực giỏi hoặc có hạnh kiểm tốt. b) Lớp 10A có bao nhiêu bạn chưa được xếp loại học lực giỏi và chưa có hạnh kiểm tốt. Baøi 5: Cho taäp A, haõy xaùc ñònh A  A, A  A, A  , A  , CAA, CA.. 16.

(17) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. §4. CÁC TẬP HỢP SỐ I- CÁC TẬP HỢP SỐ ĐÃ HỌC: 1. Tập hợp các số tự nhiên N: N = {0, 1, 2, 3, ...} N* = {1, 2, 3, ...} = N\{0}. 2. Tập hợp các số nguyên Z: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} 3. Tập hợp số hữu tỉ Q: a a Q = {a,b Z , (b  0)} với laø phaân soá toái giaûn. b b Số hữu tỉ được biểu diễn dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn. a a ...a * Công thức đổi số thập phân sang số hữu tỉ: n,(a1a2...an) = n + 1 2n n 10  1 4. Tập hợp các số thực R: Các số thập phân vô hạn không tuần hoàn gọi là số vô tỉ. Tập hợp các số thực R gồm: các số hữu tỉ và các số vô tỉ. Mỗi số thực được biểu diễn bởi một điểm trên trục số và ngược lại. -. 2. -2. -1. 3. 1. 0. 2. aâm voâ cực. (-, + chæ laø kí hieäu - khoâng phaûi laø moät soá) Ta coù quan heä: N  Z  Q  R II- CÁC TẬP HỢP CON THƯỜNG DÙNG CỦA R: 1. Khoảng: (a; b) = {x R, a < x < b}. ( a. (a;   ) = {x R, a < x}. ( a. ) b. ) b. (  ; b) = {x  R, x < b} R = (  ;   ). Mọi số thực R có thể viết: - < x < + 2. Đoạn: [ a. ] b. [a; b) = {x R, a  x < b}. [ a. ) b. (a; b] = {x R, a < x  b}. ( a. ] b. [a;   ) = {x R, a  x}. [ a. [a; b] = {x R, a  x  b} 3. Nửa khoảng:. ] b. (  ; b] = {x R, x  b}. 17. 2. + döông vô cực.

(18) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. Ví dụ: Cho các tập hợp: A = {x  R-5  x  4}; B = {x  R7  x  14}, C = {x  Rx > 2}, D = {x  Rx  4} a) Dùng kí hiệu đoạn, khoảng, nửa khoảng,... để viết lại các tập hợp đó. b) Biểu diễn các tập hợp A, B, C, D trên trục số. c) Xaùc ñònh AB, AB, AC, A\B, B\C, AD. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................  Ghi chuù: ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Cho các tập hợp: A = [-3; 1]; B = [-2; 2] và C = [-2; +). a) Cho biết tập hợp nào là con của tập hợp khác, trong số các tập hợp trên? Tìm phần bù của chúng. b) Tìm AB, AB, AC, A\B,B\C. Bài 2: Dùng trục số xác định các tập hợp AB, AB, A\B, B\A biết: a) A = [-3; 1), B = (0; 4]; b) A = (0; 2], B = [-1; 1); c) (-2; 15), B = (3; +); 4 d) (-1; ), B = [-1; 2); e) A = (-; 1), B = (-2; +); f) A = (-12; 3], B = [-1; 4]. 3 Bài 3: Xác định các tập hợp sau đây: a) (4; 7)(-7; -4); b)(2; 3)[3; 5); c) (-; 2][-2; +); d) (-; 2][-2; +). Bài 4: Xác định các tập hợp sau và sau đó biểu diễn chúng trên trục số: a) (-2; 3)\(1; 5); b) (-2; 3)[1; 5); c) R\(2; +); d) R\(-; 3].. 18.

(19) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. §5. SỐ GẦN ĐÚNG. SAI SỐ I- SỐ GẦN ĐÚNG: Trong đo đạc, tính toán ta thường chỉ nhận được các số gần đúng. Ví duï: Hình troøn coù baùn kính r = 2 (cm) coù dieän tích S = r2. Vì  laø soá thaäp phaân voâ haïn khoâng tuaàn hoàn  = 3,141592653... nên ta chỉ được kết quả gần đúng của S. Khi đó S 12,56 (cm2). II- SAI SỐ TUYỆT ĐỐI:  Cho hình troøn baùn kính r = 2 (cm). Giả sử bạn Nam lấy   3,1 để tính diện tích hình tròn: SN  12,4 (cm2) Minh lấy   3,1415 để tính diện tích hình tròn: SM  12,56 (cm2) Hỏi kết quả tính toán của bạn nào chính xác hơn? Trị tuyệt đối của hiệu số giữa S = r2 với S1, S2 số nào lớn hơn?. 1. Sai số tuyệt đối của một số gần đúng: Nếu a là số gần đúng của số đúng a thì  a  a  a được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a. 2. Độ chính xác của một số gần đúng:  Có thể tính được sai số tuyệt đối của các kết quả tính toán diện tích hình tròn của Nam và Minh không? vì sao?.. Nếu  a  a  a  d thì -d  a - a  d hay a - d  a  a + d. Ta nói a là số gần đúng của a với độ chính xác d, và quy ước viết gọn là a = a  d. * Chú ý: Sai số tuyệt đối của số gần đúng nhận được trong một phép đo đạc đôi khi không phản ánh đầy đủ tính chính xác của phép đo đó.  Tính độ dài đường chéo của một hình vuông có cạnh bằng 3cm và xác định độ chính xác của kết quả tìm được. Cho biết. 2 = 1,4142135. III- QUY TRÒN SỐ GẦN ĐÚNG 1. OÂn taäp quy taéc laøm troøn soá: Nếu chữ số sau hàng quy tròn nhỏ hơn 5 thì ta thay nó và các chữ số bên phải nó bởi chữ số 0. Nếu chữ số sau hàng quy tròn lớn hơn hoặc bằng 5 thì ta cũng làm như trên, nhưng cộng thêm một đơn vị vào chữ số của hàng quy tròn. 2. Cách viết số quy tròn của số gần đúng căn cứ vào độ chính độ chính xác cho trước: Ví dụ: Hãy viết số quy tròn của số gần đúng biết: a) a = 2841275 với độ chính xác d = 300; b) 3,1463  0,001. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi 1: Cho soá a = 13,6481 a) Viết số quy tròn của a đến hàng phần trăm; b) Viết số quy tròn của a đến hàng phần chục. Bài 2: Thực hiện các phép tính sau trên máy tính bỏ túi (kết quả lấy 4 chữ số lẻ ở phần thập phân) a) 37 14 ; b) 3 15.12 4 ; c) 3 217 : 135 ; d) (3 42  3 37 ) : 14 5 .. 19.

(20) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. * OÂN TAÄP CHÖÔNG I * ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................ BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Xét mối quan hệ bao hàm giữa các tập hợp sau: A là tập hợp các hình tứ giác; D là tập hợp các hình chữ nhật; B là tập hợp các hình bình hành; E là tập hợp các hình vuông; C là tập hợp các hình thang; G là tập hợp các hình thoi. Bài 2: Liệt kê các phần tử của mỗi tập hợp sau: a) A = {3k - 2  k = 0, 1, 2, 3, 4}; b) B = {x  N  x  12}; c) C = {(-1)n  n  N}; Bài 3: Xác định các tập hợp sau: a) (-3; 7)  (0; 10); b) (-; 5)  (2; +); c) R\(-; 3).. 20.

(21) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. CHÖÔNG II. HAØM SOÁ BAÄC NHAÁT VAØ BAÄC HAI ----- oOo -----.  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: 1. Mặt phẳng tọa độ: y 6 5.  Hãy xác định tọa độ các điểm A, B, C, D, E, F treân hình veõ.  Hãy vẽ các điểm P(1; 5), Q(5; -2), R(-4; -6), S(2; 5), T(0; 4), S(-5; 0) trên mặt phẳng tọa độ.. 4. A. B. 3 2 1. -5. -4. -3. -2. -1. O. 2. 1. 3. -1. 4. 5. x. D. -2. E. -3. F -4. C. -5 -6. 2. Haøm soá y = ax2(a ≠ 0):  Khi a > 0: Hàm số nghịch biến trên (-; 0), đồng biến trên (0; +). Baûng bieán thieân: x. - +. 0. y. + +. y 0 x O.  Khi a < 0: Hàm số đồng biến trên (-; 0), nghịch biến trên (0; +). Baûng bieán thieân: x. -. 0 0. +. y. O. x. y -. -.  Ghi chuù: ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 21.

(22) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. §1. HAØM SOÁ I- OÂN TAÄP VEÀ HAØM SOÁ: 1. Haøm soá. Taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá: Nếu với mỗi giá trị của x thuộc tập D có một và chỉ một giá trị tương ứng của y thuộc tập số thực R thì ta coù moät haøm soá. Ta goïi x laø bieán soá vaø y laø haøm soá cuûa x. Tập hợp D được gọi là tập xác định của hàm số. 2. Caùch cho haøm soá: a) Haøm soá cho baèng baûng: Ví dụ: Quãng đường đi được y (tính bằng km) và thời gian x kể từ lúc xuất phát (tính bằng giờ) của một xe khách được ghi trong bảng sau: 1 3 5 7 1 2 3 4 x 2 2 2 2 y 15 35 55 73 98 118 143 160 b) Hàm số cho bằng biểu đồ:. Ví dụ: Tỉ lệ học sinh đỗ Đại học - Cao đẳng của trường THPT Trần Quốc Toản từ năm 2004 đến 2007 được cho bởi biểu đồ:. c) Hàm số cho bằng công thức:  Hàm số cho bởi công thức có dạng: y = f(x), trong đó f(x) là một biểu thức chứa biến x. Ví duï: Cho haøm soá y = 2x2 + 5x - 1 .................  Taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá y = f(x) laø D = {x  R  f(x) coù nghĩa} Ví duï: Tìm taäp xaùc ñònh cuûa caùc haøm soá sau ñaây: 1 3x  2  15  x . a) y = ; b) y = x  7 ; c) y = 4  5x x 3 Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... 22.

(23) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10.  Với mỗi giá trị x0  D, giá trị tương ứng y0 = f(x0) được gọi là giá trị của hàm số tại x = x0. Ví duï: Xeùt haøm soá y = f(x) = x  1 . Tính giaù trò cuûa haøm soá taïi x = 5 vaø x = a (a  1). Giaûi: .................................................................................................................................................................................................................................. ...................................................................................................................................................................................................................................  Trong ví dụ trên có tính được f(0) không? vì sao?.. * Chú ý: Một hàm số có thể xác định bởi hai, ba, ...công thức.  2 x  1 khi x  0 Ví duï: Cho haøm soá y = f(x) =  2 . Tìm taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá vaø tính f(-2), f(5)  x khi x  0 Giaûi: .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................... 3. Đồ thị của hàm số: Đồ thị của hàm số y = f(x) xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm M(x; f(x)) trên mặt phẳng tọa độ với mọi x thuộc D. 1 Ví dụ: Đồ thị hàm số y = x + 1 là một đường thẳng, đồ thị hàm số y = x2 là một đường parabol. 2 y. y y=x+1. 1. y = 2 x2. 1. x. x. -1. O. O. g(x) =. f(x) = x + 1  Từ đồ thị các hàm số trên tính f(-2), f(-1), f(0), f(2), g(-1), g(-2), g(0).  Tìm x sao cho f(x) = 2.  Tìm x sao cho g(x) = 2. Giaûi:. 1 2 x 2. .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................... * Nhận xét: Một điểm M(x0; y0) nằm trên (thuộc) đồ thị hàm số y = f(x) khi ................................................................................................................................................................................................................ 23. và ngược lại..

(24) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. 1 3 Ví dụ: Các điểm A(-1; 0), B(-2; -1), C(0; -1), D(2; 4), E( ; ), F(a; a + 1), điểm nào nằm trên đồ 2 2 thò haøm soá y = f(x) = x + 1. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... II. SỰ BIẾN THIÊN CỦA HAØM SỐ 1. OÂn taäp: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b), nếu  x1, x2  (a; b)  x1 < x2 mà f(x1) < f(x2) thì hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến trên (a; b).  x1 < x2 mà f(x1) > f(x2) thì hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến trên (a; b). 2. Baûng bieán thieân: Để diễn tả hàm số nghịch biến trên khoảng (a; b), ta vẽ mũi tên đi xuống. Để diễn tả hàm số đồng biến trên khoảng (a; b) ta vẽ mũi tên đi lên. Nhìn vào bảng biến thiên, ta sơ bộ hình dung được đồ thị hàm số (đi lên trong khoảng nào, đi xuống trong khoảng nào). Ví dụ: Hàm số y = x2 xác định trên (-; +). Hàm số nghịch biến trên khoảng (-; 0) và đồng biến trên khoảng (0; +). Ta có bảng biến thiên: x - 0 + + + y 0 * Nhận xét: Khi x > 0 nhận các giá trị túy ý ta nói x dần tới +, khi x < 0 và x nhận các giá trị tùy ý ta nói x dần tới -. Khi x dần tới + hay - thì x2 dần tới +. Ví dụ: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = -3x + 1 trên R và vẽ bảng biến thiên. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... III. TÍNH CHAÜN LEÛ CUÛA HAØM SOÁ 1. Haøm soá chaün, haøm soá leû: Hàm số y = f(x) với tập xác định D.  laø haøm soá chaün neáu  x  D thì -x D vaø f(-x) = f(x).  laø haøm soá leû neáu  x  D thì -x D vaø f(-x) = -f(x).. 24.

(25) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. * Chú ý: Một hàm số không nhất thiết phải là hàm số chẵn hoặc hàm số lẻ. Ví duï: Xeùt tính chaün, leû cuûa caùc haøm soá sau ñaây: 1 a) y = x2; b) y = ; c) y = x ; d) y = x + 1. x Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... 2. Đồ thị của hàm số chẵn, hàm số lẻ:  Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.  Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng. y. y. y = x3. y=x. 2. x O. x O. Đồ thị hàm số chẵn: y = x2. Đồ thị hàm số lẻ: y = x3.  Ghi chuù: ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 25.

(26) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi 1: Tìm taäp xaùc ñònh cuûa caùc haøm soá sau ñaây: 3x  2 x 1 a) y = ; b) y = x  1 ; c) y = 2 x  1 ; d) y = 2 ; 2x 1 x  2x  3 1 1  x 1 ; e) y = 2 x  1  3  x f) y = g) y = 4  x 2  . x2 x 1  x  1 khi x  2 . Tính giá trị của hàm số đó tại x = 3, x = -1, x = 2. Baøi 2: Cho haøm soá y =  2  x  2 khi x  2 Bài 3: Cho hàm số y = 3x2 - 2x + 1. Các điểm sau có thuộc đồ thị hàm số đó không? a) M(-1; 6); b) N(1; 1); c) P(0; 1). Baøi 4: Xeùt tính chaün, leû cuûa caùc haøm soá sau: a) y = x; b) y = (x + 2)2; c) y = x3 + x; d) y = x2 + x + 1. Baøi 5: Xeùt tính chaün, leû cuûa caùc haøm soá sau: a) 3x4 - 2x2 + 7; b) y = 6x3 - x; c) y = 2x + x2; d) y = x  4  x  4 ; e) y = 4  x  4  x . Bài 6: Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau: a) y = 2x2 treân (0; +); b) y = 2 x  1 treân taäp xaùc ñònh.. 26.

(27) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. §2. HAØM SOÁ y = ax + b I- OÂN TAÄP VEÀ HAØM SOÁ BAÄC NHAÁT y = ax + b (a  0) TXÑ: D = R Chieàu bieán thieân: Với a > 0 hàm số đồng biến trên R. Với a < 0 hàm số nghịch biến trên R. Baûng bieán thieân: a>0 x - + + y -. a<0 x y. - +. + -. b Đồ thị: Đồ thị hàm số y = ax + b là một đường thẳng đi qua hai điểm A(0; b); B(  ;0) a y. y y = ax y = ax. x. O. x O y = ax + b. y = ax + b. Ví dụ: Vẽ đồ thị các hàm số:. 1 b) y =  x  5 . 2. a) y = 3x + 3;. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... II- HAØM SOÁ HAÈNG y = b Đồ thị hàm số y = b là một đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành và cắt trục tung tại ñieåm (0; b). Đường thẳng này gọi là đường thẳng y = b. * Đặc biệt: Khi b = 0 ta có đường thẳng y = 0 là phương trình của trục hoành.. 27. y. b. y=b x. O.

(28) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. III- HAØM SOÁ y = x  Taäp xaùc ñònh: D = R  x khi x  0 Ta coù: y = x =   x khi x  0  Chiều biến thiên: Hàm số y = x nghịch biến trên khoảng (-  ;0) và đồng biến trên khoảng (0;+  ).  Baûng bieán thieân: x - + y. 0. + +. 0  Đồ thị: Trong nửa khoảng [0; +  ) đồ thị của hàm số y = x trùng. y. với đồ thị của hàm số y = x. Trong khoảng (-  ; 0) đồ thị của hàm số y = x trùng với đồ thị của hàm số y = -x * Chú ý: Hàm số y = x là hàm số chẵn, đồ thị của nó. 1. -1. nhận Oy làm trục đối xứng.. O. 1. x.  Ghi chuù: ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi 1: Cho haøm soá y = 3x + 5. a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên. b) Vẽ trên cùng hệ trục đồ thị ở câu a) và đồ thị y = -1. Tìm trên đồ thị tọa độ giao điểm của hai đồ thị y = 3x + 5 vaø y = -1. Bài 2: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số: 3 a) y = 2x - 3; b) y = 2 ; c) y =  x  7 ; d) y = x - 1. 2 Bài 3: Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị y = x + 1 và y = 2x + 3. Bài 4: Xác định a, b để đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua các điểm 3 a) A(0; 3) vaø B( ; 0); b) A(1; 2) vaø B(2; 1); c) A(15; -3) vaø B(21; -3). 5 Bài 5: Viết phương trình y = ax + b của các đường thẳng a) Ñi qua hai ñieåm A(4; 3) vaø B(2; -1); b) Đi qua điểm A(1; -1) và song song với Ox. Bài 6: Vẽ đồ thị của các hàm số  2 x với x  0  x  1 với x  1 a) y =  1 ; b) y =  .  2 x  4 với x  1  2 x với x  0 Bài 7: a) Vẽ đồ thị hàm số y = x. b) Từ đồ thị, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x.. 28.

(29) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. §3. HAØM SOÁ BAÄC HAI Hàm số bậc hai cho bởi công thức y = ax2 + bx + c (a  0) có tập xác định D = R. I- ĐỒ THỊ HAØM SỐ BẬC HAI 1. Nhaän xeùt: a) Hàm số y = ax2 hay parabol y = ax2(a  0; b = c = 0) có đỉnh O(0; 0) và có trục tung là trục đối xứng (đường thẳng x = 0). Khi đó:  a > 0: điểm O(0; 0) là điểm thấp nhất của đồ thị và y  0 với mọi x.  a < 0: điểm O(0; 0) là điểm thấp nhất của đồ thị và y  0 với mọi x. y. y. x. O. x O. a<0. a>0 b) Haøm soá y = ax2 + bx + c (a  0): y = ax2 + bx + c = a(x + Ñieåm I (. b 2  ) + ,  = b2 - 4ac 2a 4a. b  ; ) thuộc đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c (a  0) và đóng vai trò như đỉnh O(0; 0) 2a 4a. cuûa parabol y = ax2. 2. Đồ thị: Đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c là một parabol có đỉnh là điểm I (. b  ; ) , có trục đối xứng 2a 4a. b . 2a Parabol này quay bề lõm lên trên nếu a > 0, quay bề lõm xuống dưới nếu a < 0.. là đường thẳng x = . 3. Caùch veõ parabol y = ax2 + bx + c (a  0): b  ).  Xác định tọa độ của đỉnh I ( ; 2a 4a b  Vẽ trục đối xứng x =  . 2a  Xác định tọa độ các giao điểm của parabol với các trục tọa độ: Giao với trục tung: x = 0  y = c Giao với trục hoành: y = 0  ax2 + bx + c = 0, giải phương trình tìm x (nếu có).  Veõ parabol. y. y -. O. -. -. b 2a. -. x. b. O. 2a. 4a. a>0. a<0. 29. 4a. x.

(30) Hồ Xuân Trọng. Ví duï 1: Veõ caùc parabol sau: Giaûi:. Đại số 10. a) y = x2 - 2x - 1;. b) y = -2x2 - 4x + 1.. ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... Ví dụ 2: Tìm phương trình parbol (P) biết rằng parabol (P) có trục đối xứng là đường thẳng x = 2, tung độ ñænh baèng 9 vaø caét truïc tung taïi ñieåm M(0; 5). Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... II- CHIEÀU BIEÁN THIEÂN CUÛA HAØM SOÁ BAÄC HAI Baûng bieán thieân: a>0 b  + x - 2a + +  y 4a. a<0 x. -. y -. 30. b 2a  4a . +. -.

(31) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. Ñònh lí: b b ), đồng biến trên (  ;+  ). 2a 2a b b  Nếu a < 0 thì hàm số y = ax2 + bx + c đồng biến trên (-  ;  ), nghòch bieán treân (  ;+  ). 2a 2a.  Neáu a > 0 thì haøm soá y = ax2 + bx + c nghòch bieán treân (-  ; . Ví duï: Laäp baûng bieán thieân cuûa caùc haøm soá: Giaûi:. a) y = 3x2 - 2x - 1;. b) y = -2x2 + x + 3.. ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................  Ghi chuù: ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi 1: Laäp baûng bieán thieân cuûa caùc haøm soá sau: a) y = x2 - 4x + 1; b) y = -2x2 - 3x + 7. Bài 2: Xác định tọa độ đỉnh và các giao điểm với trục tung, trục hoành (nếu có) của mỗi parabol sau: a) y = x2 - 3x + 2; b) y = -2x2 + 4x - 3; c) y = x2 - 2x; d) y = -x2 + 4. Bài 3: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) y = x2 - 4x + 3; b) y = -x2 - 3x; c) y = -2x2 + x - 1; d) y = 3x2 + 1; e) y = 3x2 - 4x + 1; f) y = -3x2 + 2x - 1; g) y = 4x2 - 4x + 1; h) y = -x2 + 4x - 4. 2 Bài 4: Viết phương trình parabol y = ax + bx + 2 biết rằng parabol đó: a) Ñi qua hai ñieåm A(1; 5) vaø B(-2; 8). b) Cắt trục Ox tại các điểm có hoành độ x1 = 1, x2 = 2. 3 c) Coù ñænh laø I(2; -2); d) Đi qua điểm A(3; -4) và có trục đối xứng là x =  ; 2 1 e) Đi qua điểm B(-1; -6) và tung độ của đỉnh là  . 4 Baøi 5: Tìm phöông trình cuûa parabol (P) bieát (P) ñi qua ñieåm A(8; 0) vaø coù ñænh laø I(6; -12). Bài 6: a) Vẽ parabol y = 3x2 - 2x - 1. Từ đồ thị chỉ ra những giá trị x để y < 0. b) Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá.. 31.

(32) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. * OÂN TAÄP CHÖÔNG II * ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................ 32.

(33) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................ BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi 1: Tìm taäp xaùc ñònh cuûa caùc haøm soá sau: 2  x3; a) y = x 1. b) y =. 1 2  3x  ; 1 2x.  1 với x  1  c) y =  x  3 .  2  x với x  1. Bài 2: Xét chiều biến thiên và vẽ đồ thị củc các hàm số: 1 a) y = x - 1; b) y = 4 - 2x; c) y = x 2 ; d) y = x + 1. 2 Bài 3: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số: a) y = x2 - 2x - 1; b) y = -x2 + 3x + 2; c) y = 2x2 + x + 1; d) y = -x2 + x - 1. Bài 4: Xác định a, b biết đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(1; 3), B(-1; 5). Baøi 5: Xaùc ñònh a, b, c bieát parabol y = ax2 + bx + c a) Ñi qua ba ñieåm A(0; -1), B(1; -1), C(-1; 1); b) Coù ñænh I(1; 4) vaø ñi qua ñieåm D(3; 0). CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. 33.

(34) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. CHÖÔNG III. PHÖÔNG TRÌNH. HEÄ PHÖÔNG TRÌNH ----- oOo -----.  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: 1. Nghiệm của đa thức: Nghiệm của đa thức f(x) = a1xn + a2xn-1 + a3xn-2 + ... + an-1x + an là số x = x0 làm cho đa thức bằng 0. Ví dụ: x = 1 là nghiệm của đa thức f(x) = x4 - 3x2 + x + 1 vì f(1) = 14 - 3.12 + 1 + 1 = 0. 2. Giá trị tuyệt đối:  A neáu A  0 A   A neáu A  0 3. Hai quy tắc biến đổi phương trình:  Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.  Trong một phương trình, ta có thể nhân hoặc chia cả hai vế cho cùng một số khác 0. 4. Phöông trình baäc nhaát ax + b = 0 (a ≠ 0) vaø phöông trình ñöa veà daïng ax + b: b  Phöông trình: ax + b = 0  ax = -b  x = - . a (3 x  1)( x  2) 2 x 2  1 11   .  Giaûi caùc phöông trình: a) 2x - (3 - 5x) = 4(x + 3); b) 3 2 2 4. Phöông trình tích: A(x).B(x) = 0  A(x) = 0 hoặc B(x) = 0. Ví duï: Giaûi caùc phöông trình: a) (x - 1)(x2 - 3x - 4) = 0; b) 2x3 = x2 + 2x - 1. 5. Phương trình chứa ẩn ở mẫu: x 2 2x  3 x x 2x    ; b) . Giaûi caùc phöông trình: a) x 2( x  2) 2( x  3) 2 x  2 ( x  1)( x  3) 6. Phöông trình baäc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0): Nêu cách giải phương trình bậc hai và các trường hợp nghiệm đặc biệt? ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ...............................................................................................................................................................................................................................................................  Ghi chuù: ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 34.

(35) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. §1. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH I- KHAÙI NIEÄM PHÖÔNG TRÌNH 1. Phöông trình moät aån:  Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng: f(x) = g(x) (1) trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức của x. Ta gọi f(x) là vế trái, g(x) là vế phải của phương trình (1).  Nếu có số thực x0 sao cho f(x0) = g(x0) là mệnh đề đúng thì x0 được gọi là một nghiệm của phöông trình (1). Ví duï: Soá x = ................. laø moät nghieäm cuûa phöông trình x = 3x - 2.  Giaûi phöông trình (1) laø tìm taát caû caùc nghieäm cuûa noù (nghóa laø tìm taäp nghieäm cuûa noù). Ví duï: Phöông trình x2 = -2x + 3 coù hai nghieäm x1 = 1, x2 = -3 neân coù taäp nghieäm T = {-3, 1}.  Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm (hoặc nói tập nghiệm cuûa noù laø roãng). Ví duï: Phöông trình x2 - x + 4 = 0 voâ nghieäm ta coù theå vieát: x2 - x + 4 = 0 (voâ nghieäm) (hoặc x2 - x + 4 = 0  x   hoặc x2 - x + 4 = 0 có tập nghiệm T = ). 2. Ñieàu kieän cuûa moät phöông trình: Điều kiện xác định của phương trình (1) là điều kiện của ẩn số x để f(x) và g(x) có nghĩa. Ví duï: Haõy tìm ñieàu kieän cuûa caùc phöông trình: x x 1 1  x 1 ;  x3. a) 3  x 2  ; b) c) 2 x2 x 1 2x Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ........................................................................................................................ ....................................................................................................................... .............................................................................................................. ...................................................................................................................... ........................................................................................................................ ....................................................................................................................... .............................................................................................................. ....................................................................................................................... ........................................................................................................................ ...................................................................................................................... .............................................................................................................. ....................................................................................................................... ................................................................................................................... 3. Phöông trình nhieàu aån: Đó là phương trình có dạng F(x, y, z,...) = G(x, y, z, ...), trong đó F(x, y, z,...) và G(x, y, z, ...) là những biểu thức của nhiều biến. Chaúng haïn: 3x + 2y = x2 – 2xy + 8 laøø phöông trình hai aån (x vaø y). Nếu phương trình hai ẩn x và y trở thành mệnh đề đúng khi x = x0 và y = y0 (với x0, y0 là số) thì ta goïi caëp soá (x0, y0) laø moät nghieäm cuûa noù. Khái niệm nghiệm của phương trình ba ẩn, bốn ẩn, … cũng được hiểu tương tự. 4. Phương trình chứa tham số: Trong một phương trình (một hoặc nhiều ẩn), ngoài các chữ cái đóng vai trò ẩn số còn có các chữ cái khác được xem như hằng số và được gọi là tham số. Ví dụ: Phương trình x2 + (m + 1)x + 1 là phương trình ẩn .................... và chứa tham số ..................... Việc giải phương trình chứa tham số thường được gọi là giải và biện luận phương trình.. 35.

(36) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. II- PHÖÔNG TRÌNH TÖÔNG ÑÖÔNG VAØ PHÖÔNG TRÌNH HEÄ QUAÛ 1. Phöông trình töông ñöông: Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm. 15 = 0 có tương đương với nhau hay không? vì sao? Ví duï: Hai phöông trình 2x – 5 = 0 vaø 3x 2 Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... 2. Phép biến đổi tương đương: Ñònh lyù: Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phép biến đổi mới tương đương  Cộng hay trừ hai vế phương trình với cùng một số hoặc một biểu thức;  Nhân hoặc chia hai vế phương trình với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luoân coù giaù trò khaùc 0. * Chú ý: Chuyển vế và đổi dấu một biểu thức thực chất là thực hiện phép cộng hay trừ hai vế với biểu thức đó. Kí hiệu: Ta dùng kí hiệu “” để chỉ sự tương đương của các phương trình. Vaäy: f(x) = g(x)  f(x)  h(x) = g(x)  h(x) f(x) = g(x) + h(x)  f(x) - h(x) = g(x) f(x) = g(x)  f(x).h(x) = g(x).h(x) (h(x) ≠ 0) f ( x ) g( x )  f(x) = g(x)  (h(x) ≠ 0) h( x ) h( x )  Tìm sai lầm trong phép biến đổi sau: x . 1 1 1 1  1  x   1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1. 3. Phöông trình heä quaû: Nếu mọi nghiệm của phương trình f ( x)  g ( x ) đều là nghiệm của phương trình f1 ( x )  g1 ( x) thì phương trình f1 ( x )  g1 ( x) được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f ( x)  g ( x ) . Ta vieát: f ( x)  g ( x )  f1 ( x )  g1 ( x) . Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu. Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai. x 3 3 2x   Ví duï: Giaûi phöông trình . x( x  1) x x  1 Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ........................................................................................................................ ....................................................................................................................... .............................................................................................................. ....................................................................................................................... ................................................................................................................... ....................................................................................................................... ................................................................................................................... 36.

(37) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10.  Ghi chuù: ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi 1: Tìm ñieàu kieän cuûa caùc phöông trình: x4 x 1 2x 2 x2;  3 x + a) x  1  1  1  x  x ; b) c) 2 . x 1 x 4 x 2 Baøi 2: Giaûi caùc phöông trình sau: x 1 2x  1 2  a) ; b) x  2 ( x 2  3 x  4 ) = 0; c) 3  x  x  3  x  1 ; x 1 x 1 x2 9  d) x + x  2  2  x  2 ; e) ; f) x2 - 1  x  x  2  3 . x 1 x 1 Baøi 3: Trong caùc caëp phöông trình sau, haõy chæ ra caùc caëp phöông trình töông ñöông: a) x2 - 3x = 4 vaø x2 - 3x - 4 = 0; b) 6x - 12 = 0 vaø x = 2; 2 c) x - 1 = 3 vaø (x - 1) = 9; d) x + 2 = 4 vaø (x + 2)2 = 16. Baøi 4: Giaûi caùc phöông trình: 2 x5 3 3x   a) x + 1 + ; b) 2x + ; x 3 x 3 x 1 x 1 x 2  4x  2 2x 2  x  3  x2;  2x  3 . c) d) x2 2x  3 CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. 37.

(38) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. §2. PHÖÔNG TRÌNH QUY VEÀ PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT, BAÄC HAI I- OÂN TAÄP VEÀ PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT, BAÄC HAI 1. Phöông trình baäc nhaát:  Giaûi vaø bieän luaän phöông trình daïng ax + b = 0: .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ...............................................................................................................................................................................................................................................................  Khi a  0 phương trình ax + b = 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn. Ví duï: Giaûi vaø bieän luaän caùc phöông trình sau: c) k2(x - 2) = -x + 2k4. a) m(x - 4) = 5x – 2 b) a2x + a + 1 = x; Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ........................................................................................................................ ...................................................................................................................... ........................................................................................................................ ...................................................................................................................... ......................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... 2. Phöông trình baäc hai: Giaûi vaø bieän luaän phöông trình baäc hai: ax2 + bx + c = 0 (a  0): .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 38.

(39) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. 3. Ñònh lyù Vi-eùt:  Neáu phöông trình baäc hai ax2 + bx + c = 0 (a  0) coù hai nghieäm x1, x2 thì b c S = x1  x 2   , P = x1 x 2  a a u  v  S  Ngược lại, nếu hai số u, v có  thì u, v laø caùc nghieäm phöông trình: x2 – Sx + P = 0.  uv  P Ví duï: Tìm hai soá coù toång baèng 15 vaø tích baèng -34. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................  Khẳng định "Nếu a và c trái dấu thì phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu: đúng không? vì sao?. II- PHÖÔNG TRÌNH QUY VEÀ PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT, BAÄC HAI 1. Phương trình chứa ẩn ở mẫu: 2x 1   2. Ví duï: Giaûi phöông trình 2 x 1 x 1 Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ........................................................................................................................ ....................................................................................................................... .............................................................................................................. ....................................................................................................................... ................................................................................................................... 2. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối: Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ta có thể dùng định nghĩa của giá trị tuyệt  A neáu A  0 đối: A   hoặc bình phương hai vế phương trình dẫn đến phương trình hệ quả.  A neáu A  0 Ví duï: Giaûi caùc phöông trình: Giaûi:. a) x - 3 = 2x + 1;. b)3x - 1 = 2x + 3.. ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ........................................................................................................................ ....................................................................................................................... .............................................................................................................. ....................................................................................................................... ................................................................................................................... ....................................................................................................................... ................................................................................................................... ....................................................................................................................... ................................................................................................................... ....................................................................................................................... ........................................................................................................................ ....................................................................................................................... .............................................................................................................. 39.

(40) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. ....................................................................................................................... ................................................................................................................... ....................................................................................................................... ........................................................................................................................ ....................................................................................................................... .............................................................................................................. 3. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn: Để giải các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, ta thường bình phương hai vế để đưa về một phương trình hệ quả không chứa ẩn dưới dấu căn. Ví duï: Giaûi phöông trình: 2 x  3  x  2. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ........................................................................................................................ ....................................................................................................................... .............................................................................................................. ....................................................................................................................... ................................................................................................................... 4. Phöông trình truøng phöông: Phöông trình truøng phöông ax4 + bx + c = 0 (a ≠ 0) coù theå ñöa veà phöông trình baäc hai baèng caùch ñaët t = x2 (t  0). Ví duï: Giaûi phöông trình: 3x4 + 7x + 4 = 0. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................  Ghi chuù: ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 40.

(41) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Giải và biện luận phương trình: m(x - 2) = 3x + 1 với m là tham số. Baøi 2: Giaûi caùc phöông trình sau: x 2  3x  2 2 x  5 2x  3 4 24   2  2;  a) ; b) x 3 x 3 x 9 2x  3 4 c) 3 x  5  3 ; c) (x2 + 2x)2 - (3x + 2)2 = 0. Baøi 3: Giaûi vaøbieän luaän caùc phöông trình sau theo tham soá m: a) m(x - 2) = 3x + 1; b) m2x + 6 = 4x + 3m; c) (2m + 1)x - 2m = 3x - 2. Bài 4: Có hai rổ quýt chứa số quýt bằng nhau. Nếu lấy 30 quả ở rổ thứ nhất đưa sang rổ thứ hai thì số quả ở 1 rổ thứ hai bằng của bình phương số quả còn lại ở rổ thứ nhất. Hỏi số quả quýt ở mỗi rổ lúc ban đầu là 3 bao nhieâu? Bài 5: Một người dùng 300 nghìn đồng để đầu tư cho sản xuất thủ công. Mỗi sản phẩm người đó được lãi 1500 đồng. Sau một tuần, tính cả vốn lẫn lãi người đó có 1050 nghìn dồng. Hỏi trong tuần đó, người ấy sản xuất được bao nhiêu sản phẩm. Bài 6: Một công ti vận tải dự định điều động một số ôtô cùng loại để chuyển 22,4 tấn hàng. Nếu mỗi ôtô chở thêm 1 tạ so với dự định thì số ôtô giảm đi 4 chiếc. Hỏi số ôtô công ty dự định điều động để chở hết số haøng treân laø bao nhieâu? Baøi 7: Giaûi caùc phöông trình: a) 2x4 – 7x2 + 5 = 0; b) 3x4 + 2x2 – 1 = 0; c) x4 - 8x2 - 9 = 0. Baøi 8: Giaûi caùc phöông trình: x  1  3x  1  a) 3x - 2 = 2x + 3; b)2x - 1 = -5 - 2; c) ; d)2x + 5 = x2 + 5x + 1. 2x  3 x 1 Baøi 9: Giaûi caùc phöông trình: a) 5 x  6  x  6 ; b) 3  x  x  2  1 ; c) 2 x 2  5  x  2 ; d) 4 x 2  2 x  10  3 x  1 . Bài 10: Cho phương trình 3x2 – 2(m + 1)x + 3m – 5 = 0. Xác định m để phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó. Baøi 11: Giaûi vaø bieän luaän phöông trình x2 – 2mx + m2 -1 = 0 theo tham soá m. Baøi 12: Cho phöông trình baäc hai: x2 + (2m - 3)x + m2 – 2m = 0. a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. b) Với giá trị nào của m thì phương trình đó có hai nghiệm và tích của chúng bằng 8? Tìm các nghiệm trong trường hợp đó. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. 41.

(42) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. §3. PHÖÔNG TRÌNH VAØ HEÄ PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT NHIEÀU AÅN I- OÂN TAÄP VEÀ PHÖÔNG TRÌNH VAØ HEÄ PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT HAI AÅN 1. Phöông trình baäc nhaát hai aån: Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là ax + by = c (1) trong đó a, b, c là các hệ số, với điều kiện a và b không đồng thời bằng 0 (a2 + b2  0).  Cặp (1; -2) có phải là một nghiệm của phương trình 3x – 2y = 6 không? Phương trình đó có những nghiệm khác nữa không?. * Chuù yù:  Khi a = b = 0 ta có phương trình 0x + 0y = c, khi đó: Neáu c  0 thì phöông trình treân voâ nghieäm Nếu c = 0 thì mọi cặp số (x0, y0) đều là nghiệm. a c x  (2) b a Caëp soá (x0, y0) laø moät nghieäm cuûa phöông trình (1) khi vaø chæ khi ñieåm M(x0, y0) thuoäc đường thẳng (2). Tổng quát, người ta chứng minh được rằng phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm. Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình (1) là một đường thẳng trong phẳng tọa độ Oxy. Ví duï: Bieåu dieãn hình hoïc taäp nghieäm cuûa phöông trình 3x – 2y = 6 Giaûi:.  Khi b  0, phương trình ax + by = c trở thành: y = . ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 2. Heä hai phöông trình baäc nhaát hai aån:  a x  b1 y  c1 Heä hai phöông trình baäc nhaát hai aån coù daïng toång quaùt laø:  1 (3) trong đó x, y là hai ẩn; a2 x  b2 y  c2 các chữ còn lại là hệ số. Nếu cặp số (x0, y0) đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình trong hệ thì (x0, y0) là nghiệm của heä phöông trình (3). Giaûi heä phöông trình (3) laø tìm taäp nghieäm cuûa noù. 4 x  3y  9  3x  6 y  9 Ví duï1: Giaûi caùc heä phöông trình sau: a)  ; b)  .  2x  y  5  2 x  4 y  3. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ............................................................................................................................ ........................................................................................................................ ............................................................................................................... ............................................................................................................. ...................................................................................................................... ................................................................................................................... 42.

(43) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... Ví dụ 2: Một đoàn xe gồm 13 chiếc tắc xi tải chở 36 tấn xi măng cho một công trình xây dựng. Đoàn xe chỉ gồm có hai loại: xe chở 3 tấn và xe chở 2,5 tấn. Tính số xe mỗi loại. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... II- HEÄ BA PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT BA AÅN  a1 x  b1 y  c1 z  d1  Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là: a2 x  b2 y  c 2 z  d 2 (4) trong đó x, y, z là ba a x  b y  c z  d 3 3 3  3 ẩn; các chữ số còn lại là các hệ số. Mỗi bộ ba số (x0; y0; z0) nghiệm đúng cả ba phương trình trong hệ được gọi là nghiệm của hệ phương trình (4). 3 x  4 y  5z  8  xyz2   Ví duï: Giaûi caùc heä phöông trình sau: a)  6 y  z  9 ; b)  x  y  3z  1 .  2 x  y  3z  1 z  21   Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... 43.

(44) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10.  Ghi chuù: ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN  7 x  5y  9 Baøi 1: Cho heä phöông trình:  . Tại sao không cần giải ta cũng kết luận được hệ phương trình 14 x  10 y  10 naøy voâ nghieäm? Baøi 2: Giaûi caùc heä phöông trình: 1 2 2   x y        3 x 2 y 6 2 x 3 y 1 3 x 4 y 5    2 3. a)  ; b)  ; c)  ; d)  3 1 3 1 9  4   6  2  3 4  2  2 x y x y x y     x y 4 2 3 Bài 3: Hai bạn Vân và Lan đến của hàng mua trái cây. Bạn Vân mua 10 quả quýt, 7 quả cam vớ i giá tiền là 17 800 đồng. Bạn Lan mua 12 quả quýt, 6 quả cam hết 18 000 đồng. Hỏi giá tiền mỗi quả quýt và cam laø bao nhieâu?  x  3y  2 z  8  x  3 y  2 z  7   Baøi 4: Giaûi caùc phöông trình: a) 2 x  2 y  z  6 ; b)  2 x  4 y  3z  8 .  3x  y  z  6  3x  y  z  5   Bài 5: Một cửa hàng bán áo sơ mi, quần âu nam và váy nữ. Ngày thứ nhất bán được 12 áo, 21 quần và 18 váy, doanh thu là 5 349 000 đồng. Ngày thứ hai bán được 16 áo, 24 quần và 12 váy, doanh thu là 5600000 đồng. Ngày thứ ba bán được 24 áo, 15 quần và 12 váy, doanh thu là 5 259 000 đồng. Hỏi giá bán mỗi áo, moãi quaàn, moãi vaùy laø bao nhieâu? Bài 6: Ba máy trong một giờ sản xuất được 95 sản phẩm. Số sản phẩm máy III làm trong 2 giờ nhiều hơn số sản phẩm máy I và máy II làm trong một giờ là 10 sản phẩm. Số sản phẩm máy I làm trong 8 giờ đúng bằng số sản phẩm máy II làm trong 7 giờ. Hỏi trong một giờ, mỗi máy sản xuất được bao nhiêu sản phẩm. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 44.

(45) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. * OÂN TAÄP CHÖÔNG III *. ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................ 45.

(46) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi 1: Giaûi caùc phöông trình: a) x  5  x  x  5  6 ; b) 1  x  x  x  1  2 ; 2 x 8  c) ; d) 3 + 2  x = 4x2 - x + x  3 . x2 x 2 Baøi 2: Giaûi caùc phöông trình: 3 x 2  2 x  3 3x  5 3x  4 1 4   2  3;  a) b) ; c) x 2  4  x  1 ; x2 x 2 x 4 2x  1 2 d) 4x - 9 = 3 - 2x; e) 2x + 1 = 3x + 5. Baøi 3: Giaûi caùc heä phöông trình sau:  2 x  5 y  9 3 x  4 y  12 2 x  3 y  5 5 x  3 y  15 a)  ; b)  ; c)  ; d)  .  4 x  2 y  11  5x  2y  7 3 x  2 y  8  4 x  5y  6 Baøi 4: Giaûi caùc heä phöông trình:.  2 x  3 y  z  7  a)  4 x  5y  3z  6 ;  x  2y  2z  5 .  x  4y  2z  1  b)  2 x  3 y  z  6 .  3 x  8y  z  12 . Bài 5: Hai công nhân được giao việc sơn một bức tường. Sau khi người thức nhất làm được 7 giờ và người 5 thức hai làm được 4 giờ thì học sơn được bức tường. Sau đó họ cùng làm việc với nhau trong 4 giờ nữa 9 1 thì chæ coøn laïi bức tường chưa sơn. Hỏi nếu mỗi người làm riêng thì sau bao nhiêu giờ mỗi người mới 18 sơn xong bức tường? Bài 6: Ba phân số đều có tử số là 1 và tổng của ba phân số đó bằng 1. Hệu của phân số thứ nhất và phân số thứ hai bằng phân số thứ ba, còn tổng của phân số thứ nhất và phân số thứ hai bằng 5 lần phân số thứ ba. Tìm các phân số đó. Bài 7: Một phân xưởng được giao sản xuất 360 sản phẩm trong một số ngày nhất định. Vì phân xưởng tăng năng suất, mỗi ngày làm thêm được 9 sản phẩm so với định mức, nên trước khi hết hạn một ngày thì phân xưởng đã làm vượt số sản phẩm được giao là 5%. Hỏi nếu vẫn tiếp tục làm việc với năng suất đó thì khi đến hết hạn phân xưởng làm được tất cả bao nhiêu sản phẩm. Bài 8: Tìm hai cạnh của một mảnh vườn hình chữ nhật trong hai trường hợp a) Chu vi laø 94,4m vaø dieän tích laø 494,55m2; b) Hieäu cuûa hai caïnh laø 12,1m vaø dieän tích laø 1089m2. Bài 9: Hai người quét sân. Cả hai người cùng quyét sân hết 1 giờ 20 phút, trong khi nếu chỉ quyét một mình thì người thứ nhất quét hết nhiều hơn 2 giờ so với người thứ hai. Hỏi mỗi người quyét sân một mình thì hết mấy giờ? CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 46.

(47) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. CHƯƠNG IV. BẤT ĐẲNG THỨC - BẤT PHƯƠNG TRÌNH ----- oOo -----.  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: 1. Bất đẳng thức:  Hệ thức dạng a b, a  b, a  b) là bất đẳng thức. veá traùi. veá phaûi.  Tính chaát: a) Khi cộng cùng một số vào hai vế của một bất đẳng thức ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho. b) Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho. Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho. 2. Baát phöông trình baäc nhaát moät aån: a) Dạng: ax + b < 0 (hoặc ax + b > 0, ax + b  0, ax + b  0), trong đó a, b là các số đã cho, a ≠ 0 b) Hai quy tắc biến đối bất phương trình:  Khi chuyển vế một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia phải đổi dấu hạng tử đó.  Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0, phải:  Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương.  Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm. Ví duï: Giaûi caùc baát phöông trình sau: 1 1 a) x - 5 < 18; b) 3x > 2x + 5; c) x < 3; d)  x  3 . 2 4 Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................  Ghi chuù: ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 47.

(48) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. §1. BẤT ĐẲNG THỨC I- ÔN TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC 1. Khái niệm bất đẳng thức: Các mệnh đề dạng "a < b" hoặc "a > b" được gọi là bất đẳng thức. * Chú ý: Các mệnh đề dạng "a < b" hoặc "a > b" gọi là các bất đẳng thức ngặt. Các mệnh đề dạng "a  b" hoặc "a  b" gọi là các bất đẳng thức không ngặt. 2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương: Nếu mệnh đề "a < b  c < d" đúng thì ta nói bất đẳng thức c < d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a < b và cũng viết là a < b  c < d. Nếu bất đẳng thức a < b là hệ quả của bất đẳng thức c < d và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết là a < b  c < d.  Sử dụng các tính chất "a < b và b < c  a < c", "a 0. a bc a  b  c  d. a>0 c>0. a+c<b+d a  b  c  d  ac < bd. Phaùt bieåu Cộng hai vế của một bất đẳng thức cho cùng một số ta được một bất đẳng thức tương đương cùng chiều. Nhân hai vế của một bất đẳng thức cho cùng một số dương ta được một bất đẳng thức tương đương cùng chiều. Nhân hai vế của một bất đẳng thức cho cùng một số âm ta được một bất đẳng thức tương đương ngược chiều. Cộng vế theo vế hai bất đẳng thức cùng chiều ta được bất đẳng thức cùng chiều. Nhân vế theo vế hai bất đẳng thức cùng chiều ta được bất đẳng thức cùng chiều.. Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một lũy thừa lẻ ta được n nguyeân một bất đẳng thức tương đương cùng chiều. döông Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một lũy thừa chẵn ta 0 < a 0 được một bất đẳng thức tương đương cùng chiều. Khai căn bậc lẻ hai vế của một bất đẳng thức ta được một a<b 3 a < 3 b bất đẳng thức tương đương cùng chiều. Ví dụ: Chứng minh rằng với mọi a, b ta có a2 + b2  ab. Giaûi: a < b  a2n + 1 < b2n + 1. ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... 48.

(49) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... II- BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VAØ TRUNG BÌNH NHÂN (CAUCHY) 1. Bất đẳng thức CauChy (Cô-si): Định lí: Trung bình cộng của hai số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng. ab  ab a, b  0, 2 ab  ab khi vaø chæ khi a = b Đẳng thức 2 a b Ví dụ: Chứng minh rằng với mọi số dương a, b ta có:   2 . b a Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... 2. Caùc heä quaû: Hệ quả 1: Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2. 1 a   2 , a > 0 a Heä quaû 2:  Nếu hai số x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x = y.  Nếu hai số x, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y. YÙ nghóa hình hoïc:  Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.  Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất. III- BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: Ñieàu kieän Noäi dung x  0, x  x, x  -x x  a  -a  x  a a>0 x  a  x  -a hoặc x  a a - b  a + b  a + b Ví dụ: Cho x  [-2; 0]. Chứng minh rằng x + 1  1. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................  Ghi chuù: ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 49.

(50) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Chứng minh rằng: 1 1 a) (a  b)(  )  4 , a, b > 0; b) a2 + b2 + c2  ab + bc + ca với a, b, c  R. a b Bài 2: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. a) Chứng minh (b - c)2 < a2; b) Từ đó suy ra a2 + b2 + c2  2(ab + bc + ca). 3 3 2 2 Bài 3: Chứng minh rằng x + y  x y + xy , x  0, y  0. 3 Bài 4: Cho x > 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức f(x) = x + . x2 Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x  3  6  x . Bài 6: Chứng minh rằng x4 - x 5  x  x  1  0 , x  0. Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, trên các tia Ox và Oy lần lượt lấy cá điểm A và B thay đổi sao cho đường thẳng AB luôn tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính 1. Xác định tọa độ của A và B để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 50.

(51) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. §2. BAÁT PHÖÔNG TRÌNH VAØ HEÄ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MOÄT AÅN I- KHAÙI NIEÄM BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MOÄT AÅN veá traùi veá phaûi 1. Baát phöông trình moät aån: Bất phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến dạng f(x) < g(x) hoặc f (x)  g(x) (1) trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức chứa của x. Số thực x0 sao cho f(x0) < g(x0) (f(x0)  g(x0)) là một mệnh đề đúng gọi là một nghiệm của bất phöông trình (1). Giaûi baát phöông trình laø tìm taäp nghieäm cuûa noù, khi taäp nghieäm roãng thì ta noùi baát phöông trình voâ nghieäm. * Chú ý: Bất phương trình (1) cũng có thể viết lại dưới dạng sau: g(x) > f(x) hoặc g(x)  f(x). 2. Ñieàu kieän cuûa moät baát phöông trình: Điều kiện của ẩn số x để f(x) và g(x) có nghĩa là điều kiện xác định (hay gọi tắt là điều kiện) của baát phöông trình (1). 3. Bất phương trình chứa tham số: Trong một bất phương trình, ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số. Giải và biện luận bất phương trình chứa tham số là xét xem với các giá trị nào của tham số bất phương trình vô nghiệm, bất phương trình có nghiệm và tìm các nghiệm đó. Ví duï: Haõy chæ ra aån soá vaø tham soá trong caùc baát phöông trình sau: a) (2m - 1)x + 3 < 0; b) x2 - nx + 1  0. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... II- HEÄ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MOÄT AÅN Heä baát phöông trình aån a goàm moät soá baát phöông trình aån x maø ta phaûi tìm caùc nghieäm chung cuûa chuùng. Mỗi giá trị của x đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Giaûi heä baát phöông trình laø tìm taäp nghieäm cuûa noù. Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao của các tập nghiệm. 3  x  0 . Ví duï: Giaûi heä baát phöông trình  x 1  0 Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... III- MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI BẤT PHƯƠNG TRÌNH 1. Baát phöông trình töông ñöông: Hai baát phöông trình coù cuøng taäp nghieäm (coù theå roãng) laø hai baát phöông trình töông ñöông vaø duøng kí hiệu "" để chỉ sự tương đương của hai bất phương trình đó.. 51.

(52) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. Khi hai hệ bất phương trình có cùng một tập nghiệm ta cũng nói chúng tương đương với nhau và dùng kí hiệu "" để chỉ sự tương đương đó. 2. Phép biến đổi tương đương: Để giải một bất phương trình (hệ bất phương trình) ta liên tiếp biến đổi nó thành những bất phương trình (hệ bất phương trình) tương đương cho đến khi được bất phương trình (hệ bất phương trình) đơn giản nất mà ta có thể viết ngay tập nghiệm. Các phép biến đổi như vậy được gọi là các phép biến đổi tương ñöông. 3. Cộng (trừ): Cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương. P(x) < Q(x)  P(x) + f(x) < Q(x) + f(x) Ví duï: Giaûi baát phöông trình (x + 2)(2x - 1)  x2 + (x - 1)(x + 3). Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ....................................................................................................................... ................................................................................................................... * Nhận xét: Nếu cộng hai vế của bất phương trình P(x) < Q(x) + f(x) với biểu thức -f(x) ta được bất phương trình P(x) - f(x) < Q(x). Do đó: P(x) < Q(x) + f(x)  P(x) - f(x) < Q(x) (Chuyển vế và đổi dấu các hạng tử của f(x) ta được bất phương trình tương đương) * Chú ý: Trước khi giải bất phương trình ta phải tìm điều kiện của bất phương trình đó. 5x  2 3  x x 43 3 x 1   Ví duï: Giaûi baát phöông trình . 4 4 6 Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... 4. Nhaân (chia): Nhân (chia) hai vế bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị dương (mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình) ta được một bất phương trình tương đương. Nhân (chia) hai vế bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị âm (mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình) và đổi chiều bất phương trình ta được một bất phương trình tương ñöông. P(x) < Q(x)  P(x).f(x) < Q(x).f(x) neáu f(x) > 0, x P(x) < Q(x)  P(x).f(x) > Q(x).f(x) neáu f(x) < 0, x. 52.

(53) Hồ Xuân Trọng. Ví duï: Giaûi baát phöông trình. Đại số 10. x2  x 1 x2  x  2 x2  2 x 1. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... * Chú ý: Khi nhân hai vế bất phương trình cho f(x), nếu biểu thức f(x) nhận cả hai giá trị dương lẫn âm thì ta phải xét lần lượt cả hai trường hợp f(x) < 0 và f(x) > 0. 1  1. Ví duï: Giaûi baát phöông trình x 1 Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... 5. Bình phöông: Bình phương hai vế của một bất phương trình có hai vế không âm mà không làm thay đổi điều kiện của nó ta được một bất phương trình tương đương. P(x) < Q(x)  [P(x)]2 < [Q(x)]2 Ví duï: Giaûi baát phöông trình Giaûi:. x 2  2x  2  x 2  2x  3 .. ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... * Chú ý: Khi bình phương hai vế bất phương trình ta phải lần lượt xét hai trường hợp:  P(x), Q(x) cuøng coù giaù trò khoâng aâm, ta bình phöông hai veá baát phöông trình.  P(x), Q(x) cùng giá trị âm, ta biến đối P(x) < Q(x)  -P(x) > -Q(x) rồi bình phương.. 53.

(54) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. Ví duï: Giaûi baát phöông trình. x2 . 17 1  x . 4 2. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................  Ghi chuù: ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi 1: Neâu ñieàu kieän coù nghóa cuûa caùc baát phöông trình sau: 1 1 a)  1  ; x x 1 2x c) 2x - 1 + 3 x  1  ; x 1 Bài 2: Chứng minh các bất phương trình sau vô nghiệm: a) x2 +. x  8  3 ;. b) 1  2( x  3) 2  5  4 x  x 2 . Baøi 3: Giaûi caùc baát phöông trình sau: 3x  1 x  2 1  2 x   a) ; 2 3 4 Baøi 4: Giaûi heä baát phöông trình:. 1 2x  2 ; x  4 x  4x  3 1 d) 2 1  x  3 x  . x4. b). 3 ; 2. 2. c) 1  x 2  7  x 2  1 .. b) (2x - 1)(x + 3) - 3x + 1  (x - 1)(x + 3) + x2 - 5.. 5  6 x  7  4 x  7 a)  ; 8x  3   2x  5  2. 1   15 x  2  2 x  3 b)  . 3 x  14 2( x  4)  2 . CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 54.

(55) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. §3. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT I- ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT 1. Nhị thức bậc nhất:  Nhị thức bậc nhất đối với x là biểu thức dạng f(x) = ax + b với a, b, c là hai số đã cho, a ≠ 0. b  Nghiệm của nhị thức: f(x) = ax + b là x0 =  (nghiệm của phương trình ax + b = 0) a  Giải các bất phương trình -2x + 3 > 0 và biểu diễn trên trục số tập nghiệm của nó. Từ đó hãy chỉ ra các khoảng mà nếu x lấy giá trị trong đó thì nhị thức f(x) = -2x + 3 có giá trị: trái dấu với hệ số của x; cùng dấu với hệ số của x.. 2. Dấu của nhị thức bậc nhất: Định lí: Nhị thức f(x) = ax + b có giá trị cùng dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng b b (  ; +) và trái dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng (-;  ). a a b x + - Baûng xeùt daáu a ax + b traùi daáu a 0 cuøng daáu a.  Nghieäm x0 = . b của nhị thức chia trục số thành hai khoảng: a beân traùi soá x0. -. f(x) cuøng daáu a. f(x) traùi daáu a. Ví dụ: Xét dấu các nhị thức sau: Giaûi:. x0. +. beân phaûi soá x0. a) f(x) = 3x + 2;. b) g(x) = -2x + 5.. ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................  Minh họa bằng đồ thị: a>0. a<0. y. y y = ax + b. y = ax + b +. + +. + -. -. -. -. b. +. +. +. x. a. -. +. O. O. 55. +. +. -. b. x. a. -. -. -. -.

(56) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. II- ỨNG DỤNG 1. Xét dấu tích, thương các nhị thức bậc nhất: Ví dụ: Xét dấu các biểu thức sau:. a) f(x) = (2x - 1)(3 - x);. b) g(x) =. x ( x  2) . 4  2x. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... 2. Giải bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu: Ví duï: Giaûi caùc baát phöông trình:. a) x3- 4x < 0;. b). 1  1. 1 x. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... 3. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối: Ví duï: Giaûi baát phöông trình -2x + 1 + x - 3 < 5 Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... 56.

(57) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... * Chú ý: Với a > 0, ta có: f(x)  a  -a  f(x)  a f(x)  a  f(x)  -a hoặc f(x)  a  Ghi chuù: ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Xét dấu các biểu thức: a) f(x) = (2x - 1)(x + 3); 4 3  c) f(x) = ; 3x  1 2  x Baøi 2: Giaûi caùc baát phöông trình sau: a) (x - 1)(4 - 2x)(5x - 3)  0; (3 x  1)(3  x )  0; b) 4 x  17 Baøi 3: Giaûi caùc baát phöông trình sau: 1 1 x 2  3x  1   1; a) ; b) x  1 ( x  1) 2 x2 1 Baøi 4: Giaûi caùc baát phöông trình sau: a) 5x - 4  6;. b) f(x) = (-3x - 3)(x + 2)(x + 3); d) f(x) = 4x2 - 1. b) (3x - 1)2 < 9; 2 3  c) . 1  x 2x  1 c). x 2  10 x  9 0; x 2  5x  6. b) x - 2  x;. Baøi 5: Giaûi caùc heä baát phöông trình sau:. 2 x  7  0 a)  ; 5 x  1  0 . d). 1 2 3   . x x 4 x 3. 5 10 .  x2 x 1 (2 x  3)( x  1)  0 b)  . 7 x  5  0  c). CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 57.

(58) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. §4. BAÁT PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT HAI AÅN I- BAÁT PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT HAI AÅN Baát phöông trình baäc nhaát hai aån x, y coù daïng toång quaùt laø ax + by  c (1) (ax + by < c, ax + by  c, ax + by > c) trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số. II- BIEÅU DIEÃN TAÄP NGHIEÄM CUÛA BAÁT PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm bất phương trình (1) được gọi là mieàn nghieäm cuûa noù. Quy taéc bieåu dieãn hình hoïc taäp nghieäm (hay mieàn nghieäm) cuûa baát phöông trình ax + by  c (1): Bước 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng : ax + by = c. Bước 2: Xét một điểm M(x0;y0) không nằm trên  (thường lấy O(0; 0) nếu O  ). Bước 3: Thay x0 và yo vào biểu thức ax + by. Bước 4: Kết luận:  Nếu ax0+by0  c là mệnh đề đúng thì nử a mặt phẳng (kể cả bờ ) chứa điểm M là miền nghieäm cuûa baát phöông trình ax + by + c  0.  Nếu ax0+by0  c là mệnh đề sai thì nửa mặt phẳng (kể cả bờ ) không chứa điểm M là miền nghieäm cuûa baát phöông trình ax + by + c  0. * Lưu ý: Miền nghiệm của bất phương trình ax + by  c bỏ đi đường thẳng ax + by = c là miền nghiệm cuûa baát phöông trình ax + by < c. Ví duï: Bieåu dieãn hình hoïc taäp nghieäm cuûa caùc baát phöông trình sau: a) 2x + y  3; b) -3x + 2y > 0. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... III- HEÄ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT HAI AÅN Heä baát phöông trình baäc nhaát hai aån goàm moät soá baát phöông trình baäc nhaát hai aån x, y maø ta phaûi tìm caùc nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Ta coù theå bieåu dieãn hình hoïc taäp nghieäm cuûa heä baát phöông trình baäc nhaát hai aån. Ví duï: Bieåu dieãn hình hoïc taäp nghieäm cuûa heä baát phöông trình sau:. 58.

(59) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. 3 x  y  6 xy4  b)  .  x0  y  0.  2x  y  3 a)  ; 2 x  5y  12 x  8 Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... IV- ÁP DỤNG VAØ BAØI TOÁN KINH TẾ Ví dụ bài toán: Một phân xưởng có hai máy đặc chủng M1, M2 sản xuất hai loại sản phẩm kí hiệu là I và II. Một tấn sản phẩm loại I lãi 2 triệu đồng, một tấn sản phẩm loại II lãi 1,6 triệu đồng. Muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại I phải dùng máy M1 trong 3 giờ và máy máy M2 trong 1 giờ. Muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại II phải dùng máy M1 trong 1 giờ và máy M2 trong 1 giờ. Một máy không thể dùng để sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm. Máy M1 làm việc không quá 6 giờ trong một ngày, máy M2 một ngày chỉ làm việc không quá 4 giờ. Hãy đặt kế hoạch sản xuất sao cho tổng số tiền lãi cao nhất. Giaûi: y ................................................................................................................................................ 6 ............................................................................................................................................... 3x + y = 6. ............................................................................................................................................... ................................................................................................................................................ 4. C I. ............................................................................................................................................... L = 2x + 1,6y. ............................................................................................................................................... x+y=4. ................................................................................................................................................ 2. ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ................................................................................................................................................  Ghi chuù:. 59. O. A. 4. x.

(60) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN. Baøi 1: Bieåu dieãn hình hoïc taäp nghieäm cuûa caùc baát phöông trình baäc nhaát hai aån sau: a) -x + 2 + 2(y - 2) < 2(1 - x); b) 3(x - 1) + 4(y - 2) < 5x - 3. Baøi 2: Bieåu dieãn hình hoïc taäp nghieäm cuûa caùc heä baát phöông trình baäc nhaát hai aån sau:  x y  3  2 1  0  x  2y  0  1 3y   2. a)  x  3 y  2 ; b)  x  y  2 2  yx3  x0    Bài 3: Có ba nhóm máy A, B, C dùng để sản xuất ra hai loại sản phẩm I và II. Để sản xuất một đơn vị sản phẩm mỗi loại phải lần lượt dùng các máy thuộc các nhóm khác nhau. Số máy trong một nhóm và số máy của từng nhóm cần thiết để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm mỗi loại được cho trong bảng sau: Số máy trong từng nhóm để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm Soá maùy trong Nhoùm moãi nhoùm Loại I Loại II A 10 2 2 B 4 0 2 C 12 2 4 Một đơn vị sản phẩm I lãi 3 nghìn đồng, một đơn vị sản phẩm II lãi 5 nghìn đồng. Hãy lập phương án sản xuất hai loại sản phẩm trên sao cho có lãi cao nhất. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 60.

(61) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. §5. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI I- ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 1. Tam thức bậc hai:  Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng f(x) = ax2 + bx + c, trong đó a, b, c là những số thực cho trước gọi là các hệ số với a ≠ 0.  Nghiệm của tam thức bậc hai là nghiệm phương trình ax2 + bx + c = 0.  Lập bảng xét dấu của các biểu thức: f(x) = (x - 1)(x + 2); g(x) = (x + 1)(3 - x), h(x) = -(x - 2)2; r(x) = (x - 4)2+ 1. Có nhận xét gì về dấu của tam thức so với hệ số a của tam thức đó.. 2. Dấu của tam thức bậc hai: Cho f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0),  = b2 - 4ac  Nếu  < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a, với mọi x  R. b  Nếu  = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a, trừ khi x = - . a  Nếu  > 0 thì f(x) có hai nghiệm x 1 và x 2 (x1 < x2). Khi đó f(x) trái dấu với hế số a với mọi x nằm trong khoảng (x1; x2) và f(x) cùng dấu với hế số a với mọi x nằm ngoài đoạn [x1; x2]. * Chuù yù: Khi heä soá b chaün ta coù theå thay  baèng ' = b'2 - ac. Các bước lập bảng xét dấu tam thức bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0)  Tính  = b2 - 4ac  Neáu  < 0 thì f(x) voâ nghieäm vaø x - 2 ax + bx + c. +. cùng dấu với a b  Neáu  = 0 thì f(x) coù nghieäm keùp x = - vaø a b x + - a ax2 + bx + c cùng dấu với a 0 cùng dấu với a  Nếu  > 0 thì f(x) có 2 nghiệm x1, x2 (với x1 < x2) và x - x1 x2 2 ax + bx + c cùng dấu với a 0 trái dấu với a 0 cùng dấu với a. +. Ví dụ: Xét dấu các tam thức sau: a) f(x) = -2x2 + 6x - 10; Giaûi:. b) f(x) = 2x2 - 5x + 2;. c) f(x) = x2 + 4x + 4.. ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... 61.

(62) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. Minh hoïa hình hoïc: <0. =0 y. y. a>0. >0. + + +. + + + +. + + + +. +. + + +. x. + + + +. +. O. -. O. <0. x1. +. +. +. +. y. x. -. -. -. O. -. -. -. -. -. -. -. -. x. >0 y. x -. x2. ---. 2a. y. a<0. -. b. =0. y. O. O. + + + +. -. b. x. 2a. -. -. + + + + + O -. x. -. II- AÙP DUÏNG GIAÛI BAÁT PHÖÔNG TRÌNH BAÄC HAI 1. Baát phöông trình baäc hai: Baát phöông trình baäc hai aån x laø baát phöông trình daïng ax2 + bx + c < 0 (hoặc ax2 + bx + c  0 hoặc ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c  0), trong đó a, b, c là những số thực đã cho với a ≠ 0.  Lập bảng xét dấu của các tam thức và trả lời câu hỏi tương ứng a) f(x) = -2x2 + 3x + 5, với giá trị nào của x thì f(x)  0; b) g(x) = -3x2 + 7x - 4, với giá trị nào của x thì g(x) < 0.. 2. Giaûi baát phöông trình baäc hai: Giải bất phương trình bậc hai là tìm các giá trị x để ax2 + bx + c âm (dương, không âm, không dương) tương ứng với < 0 (> 0,  0,  0) của bất phương trình. Ví duï: Giaûi caùc baát phöông trình sau: a) 3x2 + 2x + 5 > 0; b) -2x2 + 3x + 5 > 0; c) -3x2 + 7x - 4 < 0; d) 9x2 - 24x + 16  0. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... 62.

(63) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... Ví dụ 2: Tìm các giá trị của m để phương trình 2x2 - (m2 - m + 1)x + 2m2 - 3m - 5 = 0 có hai nghiệm trái daáu. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................  Ghi chuù: ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. 63.

(64) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Xet dấu các tam thức bậc hai: a) 5x2 - 3x + 1; b) -2x2 + 3x + 5; Bài 2: Lập bảng xét dấu các biểu thức sau: a) f(x) = (3x2 - 10x + 3)(4x - 5);. c) x2 + 12x + 36;. d) (2x - 3)(x + 5).. b) f(x) = (3x2 - 4x)(2x2 - x - 1); (3 x 2  x )(3  x 2 ) d) f(x) = . 4x 2  x  3. c) f(x) = (4x2 - 1)(-8x2 + x - 3)(2x + 9); Baøi 3: Giaûi caùc baát phöông trình sau:. 1 3  2 ; d) x2 - x - 6  0. x  4 3x  x  4 Bài 4: Tìm các giá trị của tham số m để các phương trình sau vô nghiệm a) (m - 2)x2 + 2(2m - 3)x + 5m - 6 = 0; b) (3 - m)x2 - 2(m + 3)x + m + 2 = 0.. a) 4x2 - x + 1 < 0;. b) -3x2 + x + 4  0;. Bài 5: Với giá trị nào của m thì hàm số y =. c). 2. x 2  2 mx  m luoân xaùc ñònh?. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 64.

(65) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. * OÂN TAÄP CHÖÔNG IV * ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................ 65.

(66) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................ BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, hãy vẽ đồ thị hai hàm số y = f(x) = x + 1 và y = g(x) = 3 - x và chỉ ra caùc giaù trò naøo cuûa x thoûa maõn: a) f(x) = g(x); b) f(x) > g(x); c) f(x) < g(x). Haõy kieåm tra laïi keát quaû baèng caùch giaûi phöông trình, baát phöông trình. ab bc ca    6. Bài 2: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng c a b a b   a  b. Bài 3: Cho a > 0, b > 0. Chứng minh rằng: a b Bài 4: Bằng cách sử dụng hằng đẳng thức a2 - b2 = (a - b)(a + b) hãy xét dấu f(x) = x4 - x2 + 6x - 9 = 0 và 4 g(x) = x2 - 2x - 2 . x  2x Baøi 5: Tìm nghieäm nguyeân cuûa baát phöông trình x(x3 - x + 6) > 9. Bài 6: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, chứng minh raèng: b2x2 - (b2 + c2 - a2)x + c2 > 0. x. 3 x  y  9  x  y 3  Baøi 7: Bieåu dieãn hình hoïc taäp nghieäm cuûa heä baát phöông trình baäc nhaát hai aån  . 3 y  8  x   y  6 CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 66.

(67) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. CHÖÔNG V. THOÁNG KEÂ ----- oOo -----.  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: Moät soá khaùi nieäm veà thoáng keâ:  Khi cần điều tra hoặc thống kê một vấn đề nào đó, người điều tra thu thập số liệu về vấn đề đó và ghi lại trong một bảng, gọi là bảng số liệu thống kê. Ví dụ: khi thống kê số học sinh nữ khối 11 của trường THPT Trần Quốc Toản, người ta thường ghi vào bảng số liệu thống kê như sau: Lớp 11CB1 11CB2 11CB3 11CB4 11CB5 11CB6 11CB7 11CB8 Số lượng 22 20 24 23 25 20 22 21  Vấn đề hay hiên tượng mà người điều tra quan tâm tìm hiểu gọi là dấu hiệu điều tra. Ví dụ trên dấu hiệu điều tra là số học sinh nữ ở mỗi lớp, còn mỗi lớp là một đơn vị điều tra.  Ứng với mỗi đơn vị điều tra có một số liệu, số liệu đó gọi là một giá trị của dấu hiệu. Số tất cả các giá trò cuûa daáu hieäu baèng soá caùc ñôn vò ñieàu tra.  Số lần xuất hiện của một giá trị trong dãy số giá trị của dấu hiệu là tần số của giá trị đó.  Ghi chuù: ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. 67.

(68) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. §1. BAÛNG PHAÂN BOÁ TAÀN SOÁ VAØ TAÀN SUAÁT I- OÂN TAÄP 1. Soá lieäu thoáng keâ: Ví dụ: Khi điều tra “Năng suất lúa hè thu năm 1998” của 31 tỉnh, người ta thu thập được các số liệu ghi trong bảng dưới đây: Naêng suaát luùa heø thu (taï/ha) naêm 1998 cuûa 31 tænh 30 30 25 25 35 45 40 40 35 45 25 45 30 30 30 40 30 25 45 45 35 35 30 40 40 40 35 35 35 35 35 Baûng 1 Tập hợp các đơn vị điều tra là tập hợp 31 tỉnh, mỗi một tỉnh là một đơn vị điều tra. Dấu hiệu điều tra là năng suất lúa hè thu năm 1998 ở mỗi tỉnh. Các số liệu trong bảng 1 gọi là các số liệu thống kê, còn goïi laø caùc giaù trò cuûa daáu hieäu vaø soá caùc soá lieäu thoáng keâ laø 35. 2. Taàn soá: Taàn soá laø soá laàn xuaát hieän cuûa moät soá lieäu trong baûng thoáng keâ. Ví duï: Haõy xaùc ñònh taàn soá cuûa caùc giaù trò khaùc nhau cuûa caùc soá lieäu trong baûng 1. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... II- TAÀN SUAÁT Giả sử dãy n số liệu thống kê đã cho có k giá trị khác nhau (k  n). Gọi xi là một giá trị bất kì trong k n giá trị đó và ni là tần suất của giá trị tương ứng. Khi đó, số f i  i gọi là tần suất của giá trị xi. n Ví duï: Haõy tính taàn suaát cuûa caùc giaù trò khaùc nhau coù trong baûng 1. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... Dựa vào các kết quả thu được, ta lập bảng sau: Naêng suaát luùa Taàn soá (taï/ha). Baûng phaân boá taàn soá vaø taàn suaát.. Taàn suaát (%). 25. .......................... ............................ 30. .......................... ............................ 35. .......................... ............................ 40. .......................... ............................ .......................... ............................ 45 Coäng. 31 Baûng 2. 68. 100 (%).

(69) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. Nếu trong bảng 2, bỏ cột tần số ta được bảng phân bố tần suất; bỏ cột tần suất ta được bảng phân boá taàn soá. III- BẢNG PHÂN BỐ TẦN SỐ VAØ TẦN SUẤT GHÉP LỚP Giả sử dãy n số liệu thống kê đã cho được phân vào k lớp (k < n). Xét lớp thứ i (i = 1, 2, 3, ... k) trong k lớp đó, ta có: Số ni các số liệu thống kê thuộc lớp thứ i được gọi là tần số của lớp đó. n Số f i  i được gọi là tần suất của lớp thứ i. n Ví dụ: Để chuẩn bị may đồng phục cho học sinh, người ta đo chiều cao của 36 học sinh trong một lớp học và thu được các số liệu thống kê ghi trong bảng sau: Chieàu cao cuûa 36 hoïc sinh (ñôn vò: cm) 158 152 156 158 168 160 170 166 161 160 172 173 150 167 165 163 158 162 169 159 163 164 161 160 164 159 163 155 163 165 154 161 164 151 164 152 Hãy tính tần số và tần suất của các lớp tương ứng và điền vào bảng sau. Giaûi: Chieàu cao cuûa 36 hoïc sinh Lớp số đo chiều cao Taàn soá Taàn suaát (%) (cm) Baûng phaân boá taàn soá vaø taàn suaát ghép lớp.. [150 ; 156). ................... ...................... [156 ; 162). ................... ...................... [162 ; 168). ................... ...................... ................... ...................... [168 ; 174] Coäng. 36 100 (%) Baûng 3 Nếu trong bảng 3, bỏ cột tần số thì sẽ có bảng phân bố tần suất ghép lớp; bỏ cột tần suất thì sẽ có bảng phân bố tần số ghép lớp.  Cho caùc soá lieäu thoáng keâ trong baûng sau Tiền lãi (nghìn đồng) của mỗi ngày trong 30 ngày được khảo sát ở một quầy bán báo 81 37 74 65 31 63 58 82 67 77 63 46 30 51 44 52 92 93 53 85 77 47 42 57 57 85 Hãy lập bảng phân bố tần suất ghép lớp với các lớp như sau: [29,5 ; 40,5), [40,5 ; 51,5), [51,5 ; 62,5), [62,5 ; 73,5), [73,5 ; 84,5), [84,5 ; 95,5].. 53 55. 73 64.  Ghi chuù: ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 69.

(70) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi 1: Cho caùc soá lieäu thoáng keâ ghi trong baûng sau: Tuổi thọ của 30 bóng đèn điện được thắp thử (đơn vị: giờ) 1180 1150 1190 1170 1180 1170 1160 1170 1160 1150 1190 1180 1170 1170 1170 1190 1170 1170 1170 1180 1170 1160 1160 1160 1170 1160 1180 1180 1150 1170 a) Laäp baûng phaân boá taàn soá vaø baûng phaân boá taàn suaát. b) Dựa vào kết quả của câu a), hãy đưa ra nhận xét về tuổi thọ của các bóng đèn nói trên. Bài 2: Cho bảng phân bố tầ số ghép lớp sau Độ dài của 60 lá dương xỉ trưởng thành Lớp của độ dài Taàn soá 8 [10; 20) 18 [20; 30) 24 [30; 40) 10 [40; 50] Coäng 60 a) Lập bảng phân bố tần suất ghép lớp. b) Dựa vào kết quả của câu a), hãy nêu rõ trong 60 lá dương xỉ được khảo sát: Số lá có độ dài dưới 30 cm chiếm bao nhiêu phần trăm? Số lá có độ dài từ 30 cm đến 50 cm chiếm bao nhiêu phần trăm? Baøi 3: Cho caùc soá lieäu thoáng keâ ghi trong baûng sau: Khối lượng của 30 củ khoai tây thu hoạch được ở nông trường T (đơn vị: g). 90 73 88 99 100 102 111 96 79 93 81 94 96 93 95 82 90 106 103 116 109 108 112 87 74 91 84 97 85 92 Lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp, với các lớp sau: [70 ; 80); [80 ; 90); [90 ; 100); [100 ; 110); [110 ; 120]. Baøi 4: Cho caùc soá lieäu thoáng keâ ghi trong baûng sau: Chiều cao của 35 cây bạch đàn (đơn vị: m) 6,6 7,5 8,2 8,2 7,8 7,9 9,0 8,9 8,2 7,2 7,5 8,3 7,4 8,7 7,7 7,0 9,4 8,7 8,0 7,7 7,8 8,3 8,6 8,1 8,1 9,4 6,9 8,0 7,6 7,9 7,3 8,5 8,4 8,0 8,8 a) Lập bảng phân bố tần suất ghép lớp, với các lớp sau: [6,5 ; 7,0) ; [7,0 ; 7,5) ; [7,5 ; 8,0) ; [8,0 ; 8,5) ; [8,5 ; 9,0) ; [9,0 ; 9,5]. b) Dựa vào kết quả của câu a), hãy nêu nhận xét về chiều cao của 35 cây bạch đàn nói trên. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 70.

(71) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. §2. BIỂU ĐỒ I- BIỂU ĐỒ TẦN SUẤT HÌNH CỘT VAØ ĐƯỜNG GẤP KHÚC TẦN SUẤT Ta có thể mô tả một cách trực quan các bảng phân bố tần suất (hoặc tần số), bảng phân bố tần suất (hoặc tần số) ghép lớp bằng biểu đồ hoặc đường gấp khúc. 1. Biểu đồ tần suất hình cột: Để mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp và trình bày các số liệu thống kê: Chieàu cao cuûa 36 hoïc sinh Lớp số đo chiều cao (cm) Taàn soá Taàn suaát (%) [150 ; 156) 6 16,7 [156 ; 162) 12 33,3 [162 ; 168) 13 36,1 [168 ; 174] 5 13,9 Coäng 36 100 (%) Ta có thể vẽ biểu đồ tần suất hình cột sau: .................................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................................................................................................................... 2. Đường gấp khúc tần suất: Cũng có thể mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp bằng cách vẽ đường gấp khúc tần suất. a) Giá trị đại diện: Trong bảng phân bố ghép lớp, ta gọi trung bình cộng của hai mút lớp thứ i là giá trị đại diện của lớp đó, kí hiệu là ci. b) Cách vẽ đường gấp khúc tần suất: Trên mặt phẳng tọa độ, xác định các điểm (ci; fi), i = 1, 2, 3, ..., k, trong đó ci và fi lần lượt là giá trị đại diện, tần suất của các lớp của bảng phân bố (gồm k lớp). Vẽ các đoạn thẳng nối điểm (ci; fi) với điểm (ci+1; fi+1), i = 1, 2, 3,..., k-1 ta thu được một đường gấp khúc, gọi là đường gấp khúc tần suất. .................................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................................................................................................................... 71.

(72) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10.  Cho bảng phân bố tần suất ghép lớp sau: Nhiệt độ trung bình của tháng 12 tại thành phố Vinh từ 1961 đến 1990 (30 năm) 0 Taàn suaát (%) Lớp nhiệt độ ( C) [15 ; 17) 16,7 [17 ; 19) 43,3 [19 ; 21) 36,7 [21 ; 23] 3,3 Coäng 100 (%) Hãy mô tả bảng trên bằng cách vẽ biểu đồ tần suất hình cột và đường gấp khúc tần suất.. 3. Chú ý: Ta cũng có thể mô tả bảng phân bố tần số ghép lớp bằng biểu đồ tần số hình cột hoặc đường gấp khúc tần số. Cách vẽ cũng như cách vẽ biểu đồ tần suất hình cột hoặc đường gấp khúc tần suất, trong đó thay trục tần suất bởi trục tần số. II- BIỂU ĐỒ HÌNH QUẠT Người ta còn dùng biểu đồ hình quạt để mô tả bảng cơ cấu trong ví dụ dưới đây. .................................................................................................. Cơ cấu giá trị sản xuất công nghiệp trong nước năm 1997, phaân theo thaønh phaàn kinh teá. Caùc thaønh phaàn kinh teá (1) Khu vực doanh nghiệp nhà nước (2) Khu vực ngoài quốc doanh (3) Khu vực đầu tư nước ngoài Coäng. Soá phaàn traêm 23,7 47,3 29,0 100 (%). ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. .................................................................................................. *Chú ý: Các bảng phân bố tần suất ghép lớp cũng có thể mô tả bằng biểu đồ hình quạt.  Cho bảng phân bố tần suất ghép lớp sau: Nhiệt độ trung bình của tháng 12 tại thành phố Vinh từ 1961 đến 1990 (30 năm) Taàn suaát (%) Lớp nhiệt độ (0C) [15 ; 17) 16,7 [17 ; 19) 43,3 [19 ; 21) 36,7 [21 ; 23] 3,3 Coäng 100 (%)  Hãy mô tả bảng trên bằng cách vẽ biểu đồ tần suất hình cột và đường gấp khúc tần suất.  Dựa vào biểu đồ hình quạt sau, lập bảng cơ cấu giá trị sản xuất công nghiệp trước năm 1999 Cơ cấu giá trị sản xuất công nghiệp trong nước năm 1999. 22%. Khu vực doanh nghiệp nhà nước. 38.10% Khu vực ngoài quốc doanh. 39.90%. Khu vực đầu tư nước ngoài. 72.

(73) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10.  Ghi chuù: ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Độ dài của 60 lá dương xỉ trưởng thành Lớp của độ dài (cm) Taàn soá [10 ; 20) 8 18 [20 ; 30) 24 [30 ; 40) [40 ; 50] 10 Coäng 60 Hãy mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp của bảng trên bằng cách vẽ biểu đồ tần suất hình cột và đường gấp khúc tần suất. Bài 2: Xét bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp của bảng số liệu sau: Khối lượng của 30 củ khoai tây thu hoạch được ở nông trường T (đơn vị: g). 90 73 88 99 100 102 111 96 79 93 81 94 96 93 95 82 90 106 103 116 109 108 112 87 74 91 84 97 85 92 Theo các lớp: [70 ; 80); [80 ; 90); [90 ; 100); [100 ; 110); [110 ; 120]. a) Hãy vẽ biểu đồ tần suất hình cột, đường gấp khúc tần suất. b) Hãy vẽ biểu đồ tần số hình cột, đường gấp khúc tần số. c) Dựa vào biểu đồ tần suất hình cột đã vẽ ở câu a), hãy nêu nhận xét về khối lượng của 30 củ khoai tây được khảo sát. Bài 3: Dựa vào biểu đồ hình quạt dưới đây, hãy lập bảng cơ cấu "Cơ cấu giá trị sản xuất công nghiệp trong nước năm 2000, phân theo thành phần kinh tế (%)". Cơ cấ u giá trị sả n xuấ t công nghiệ p trong nướ c nă m 2000. Khu vự c doanh nghiệ p nhà nướ c. 32.20%. 23.5% Khu vự c ngoà i quốc doanh. 44.30%. Khu vự c đầ u tư nướ c ngoà i. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 73.

(74) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. §3. SOÁ TRUNG BÌNH COÄNG. SOÁ TRUNG VÒ. MOÁT I- SOÁ TRUNG BÌNH COÄNG (HAY SOÁ TRUNG BÌNH) Ta có thể tính số trung bình cộng của các số liệu thống kê theo các công thức sau đây. Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất 1 1 k 1 k x  (n1 x1  n2 x 2  ...  nk x k )   ni x i   f i x i n n i 1 n i 1 với ni, xi lần lượt là tần số, tần suất của giá trị xi, n là số các số liệu thống kê n1 + n2+...+nk = n. Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp k 1 k x   n i ci   f i c i n i 1 i 1 với ci, ni, fi lần lượt là giá trị đại diện, tần số, tần suất của lớp thứ i, n là số các số liệu thống kê. Ví dụ: Để chuẩn bị may đồng phục cho học sinh, người ta đo chiều cao của 36 học sinh trong một lớp học và thu được các số liệu thống kê ghi trong bảng sau: Chieàu cao cuûa 36 hoïc sinh (ñôn vò: cm) 158 152 156 158 168 160 170 166 161 160 172 173 150 167 165 163 158 162 169 159 163 164 161 160 164 159 163 155 163 165 154 161 164 151 164 152 a) Haõy tính chieàu cao trung bình cuûa 36 hoïc sinh treân. b) Sử dụng bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp, hãy tính chiều cao trung bình của 36 học sinh trên, với các lớp [150; 156), [156; 162), [162; 168), [168; 174]. Giaûi: ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ..............................................................................................................................................................................................................................................................  Cho 2 bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp sau Nhiệt độ trung bình của tháng 2 tại thành phố Vinh Từ 1961 đến hết 1990 (30 năm) Lớp nhiệt độ (0C) Taàn soá Taàn suaát (%) [12 ; 14) 1 3,33 [14 ; 16) 3 10,00 [16 ; 18) 12 40,00 [18 ; 20) 9 30,00 [20 ; 22] 5 16,67 Coäng 30 100 (%). Nhiệt độ trung bình của tháng 12 tại thành phố Vinh từ 1961 đến 1990 (30 năm) Lớp nhiệt độ (0C) Tần suất (%) [15 ; 17) 16,7 [17 ; 19) 43,3 [19 ; 21) 36,7 [21 ; 23] 3,3 Coäng 100 (%). a) Haõy tính soá trung bình coäng cuûa 2 baûng treân. b) Từ kết quả đã tính được ở câu a), có nhận xét gì về nhiệt độ ở thành phố Vình trong tháng 2 và tháng 12 (của 30 năm được khaûo saùt).. 74.

(75) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. II- SOÁ TRUNG VÒ Sắp thứ tự các số liệu thống kê thành dãy không giảm (hoặc không tăng). Số trung vị (của các số liệu thống kê đã cho) kí hiệu Me là số đứng giữa dãy nếu số phần tử là lẻ và là trung bình cộng của hai số đứng giữa dãy nếu số phần tử là chẵn. Ví dụ: Điểm thi Toán của bốn học sinh lớp 6 được xếp thành dãy không giảm là: 1; 2,5; 8; 9,5. Hãy tìm soá trung vò cuûa daõy treân. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................  Trong bảng phân bố tần số, các số liệu thống kê đã được sắp thứ tự thành dãy không giảm theo các giá trị của chúng. Hãy tìm số trung vụ của các số liệu thống kê cho ở bảng sau. Số áo bán được trong một quý ở một cửa hàng bán áo sơ mi nam Cỡ áo. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. Coäng. Taàn soá (số áo bán được). 13. 45. 126. 110. 126. 40. 5. 465. III- MOÁT Mốt của một bảng phân bố tần số là giá trị có tần số lớn nhất và được kí hiệu là M0.  Nếu trong bảng phân bố tần số có hai giá trị có tần số bằng nhau và lớn hơn tần số của giá trị khác thì chọn mốt là giá trị naøo? Haõy tìm moát cuûa baûng soá lieäu treân..  Ghi chuù: ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 75.

(76) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Tính số trung bình cộng của các bảng phân bố được lập từ hai bảng số liệu sau: Tuổi thọ của 30 bóng đèn điện được thắp thử (đơn vị: giờ) 1180 1150 1190 1170 1180 1170 1160 1170 1160 1150 1190 1180 1170 1170 1170 1190 1170 1170 1170 1180 1170 1160 1160 1160 1170 1160 1180 1180 1150 1170. Độ dài của 60 lá dương xỉ trưởng thành Lớp của độ dài (cm) Taàn soá 8 [10 ; 20) 18 [20 ; 30) [30 ; 40) 24 10 [40 ; 50] Coäng 60. Bài 2: Trong một trường THPT, để tìm hiểu tình hình học môn Toán của hai lớp 10A và 10B, người ta cho hai lớp thi Toán theo cùng một đề thi và lập được hai bảng phân bố tần số ghép lớp sau đây: Điểm thi Toán của lớp 10A Lớp điểm thi Taàn soá [0 ; 2) 2 [2 ; 4) 4 [4 ; 6) 12 [6 ; 8) 28 [8 ; 10] 4 Coäng 50. Điểm thi Toán của lớp 10B Lớp điểm thi Tần số [0 ; 2) 4 [2 ; 4) 10 [4 ; 6) 18 [6 ; 8) 14 [8 ; 10] 5 Coäng 51. Tính các số trung bình cộng của hai bảng phân bố ở trên và nêu nhận xét về kết quả làm bài thi của hai lớp. Bài 3: Điều tra tiền lương hàng tháng của 30 công nhân một xưởng may, ta có bảng phân bố tần số: Tiền lương của 30 công nhân xưởng may Tiền lương (đồng) 300 500 700 800 900 1000 Coäng Taàn soá 3 5 6 5 6 5 30 Tìm mốt của bảng phân bố trên. Nêu ý nghĩa của kết quả đã tìm được. Baøi 4: Tieàn löông haøng thaùng cuûa 7 nhaân vieân trong moät coâng ti du lòch laø: 650, 840, 690, 720, 2500, 670, 3000 (đơn vị: nghìn đồng). Tìm số trung vị của các số liệu thống kê đã cho. Nêu ý nghĩa của kết quả đã tìm được. Bài 5: Cho biết tình hình thu hoạch lúa vụ mùa năm 1980 của ba hợp tác xã ở địa phương V như sau: Hợp tác xã Naêng suaát luùa (taï/ha) Dieän tích troàng luùa (ha) A 40 150 B 38 130 C 36 120 Hãy tính năng suất lúa trung bình của vụ mùa năm 1980 trong toàn bộ ba hợp tác xã kể trên. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 76.

(77) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. §4. PHƯƠNG SAI VAØ ĐỘ LỆCH CHUẨN I- PHÖÔNG SAI  Cho biết giá trị thành phẩm quy ra tiền (nghìn đồng) trong một tuần lao động của 7 công nhân ở hai tổ là: Toå 1: 180, 190, 190, 200, 210, 210, 220 (1); Toå 2: 150, 170, 170, 200, 230, 230, 250 (2). Hãy tính giá trị trung bình x , y của hai dãy số liệu trên và nhận xét xem dãy số liệu nào có các số liệu gần với giá trị trung bình hôn?. 1. Ñònh nghóa: Phương sai của một dãy số liệu là trung bình cộng của bình phương các độ lệch giữa các số liệu thống kê và số trung bình của dãy đó. 2. Công thức tính: Coù theå tính phöông sai theo moät trong ba caùch sau:  Đối với bảng phân bố tần số, tần suất:. 1 s x2  [n1 ( x1  x ) 2  n2 ( x 2  x ) 2  ...  n k ( x k  x ) 2 ] n  f1 ( x1  x ) 2  f 2 ( x 2  x ) 2  ...  f k ( x k  x ) 2.  Đối với bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp:. 1 [n1 (c1  x ) 2  n2 (c 2  x ) 2  ...  n k (c k  x ) 2 ] n  f1 (c1  x ) 2  f 2 (c 2  x ) 2  ...  f k (c k  x ) 2. s x2 . trong đó ni, fi lần lượt là tần số, tần suất của giá trị xi trong bảng phân bố tần số, tần suất (hay là tần số, tần suất của lớp thứ i trong bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp); n1 + n2 + ... + nk = n là số các số liệu thống kê, x là số trung bình cộng của các số liệu thống kê; ci là giá trị đại diện của lớp thứ i.. . 2.  Hoặc: s x2  x 2  x trong đó x 2 là trung bình cộng của các bình phương số liệu thống kê. Đối với bảng phân bố tần số, tần suất: 1 x 2  (n1 x12  n2 x 22  ...  n k x k2 )  f1 x12  f 2 x 22  ...  f k x k2 n Đối với bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp: 1 với x 2  (n1c12  n 2 c 22  ...  n k c k2 )  f1c12  f 2 c22  ...  f k ck2 n 3. Ý nghĩa và cách sử dụng phương sai: Phương sai được sử dụng để đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê (so với số trung bình coäng cuûa caùc soá lieäu). Khi hai dãy số liệu thống kê có cùng đơn vị đo và có số trung bình cộng bằng nhau hoặc xấp xỉ bằng nhau, nếu phương sai càng nhỏ thì mức độ phân tán (so với số trung bình cộng) của các số liệu thống keâ caøng beù. Ví duï: Tính phöông sai cuûa baûng soá lieäu sau ñaây:. 77.

(78) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. Chieàu cao cuûa 36 hoïc sinh Lớp số đo chiều cao (cm) Taàn soá [150 ; 156) 6 [156 ; 162) 12 [162 ; 168) 13 [168 ; 174] 5 Coäng 36. Taàn suaát (%) 16,7 33,3 36,1 13,9 100 (%). Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... II- ĐỘ LỆCH CHUẨN Độ lệch chuẩn sx là căn bậc hai của phương sai s x2 : s x  s x2 . Phương sai s x2 và độ lệch chuẩn sx đều được dùng để đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê (so với số trung bình cộng). Nhưng khi cần chú ý đến đơn vị đo thì ta dùng sx, vì sx có cùng đơn vị đo với dấu hiệu được nghiên cứu.  Ghi chuù: ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 78.

(79) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Tính phương sai và độ lệch chuẩn của bảng phân bố tần số và bảng phân bố tần số ghép lớp được lập từ các bảng số liệu sau: Tuổi thọ của 30 bóng đèn điện được thắp thử (đơn vị: giờ) 1180 1150 1190 1170 1180 1170 1160 1170 1160 1150 1190 1180 1170 1170 1170 1190 1170 1170 1170 1180 1170 1160 1160 1160 1170 1160 1180 1180 1150 1170 Độ dài của 60 lá dương xỉ trưởng thành Lớp của độ dài (cm) Taàn soá 8 [10 ; 20) 18 [20 ; 30) 24 [30 ; 40) 10 [40 ; 50] Coäng 60 Bài 2: Hai lớp 10C, 10D của một trường Trung học phổ thông đồng thời làm bài thi môn Ngữ văn theo cùng một đề thi. Kết quả thi được trình bày ở hai bảng phân bố tần số sau đây: Điểm thi Ngữ văn của lớp 10C Ñieåm thi 5 6 7 8 9 10 Coäng Taàn soá 3 7 12 14 3 1 40 Điểm thi Ngữ văn của lớp 10D Ñieåm thi 6 7 8 9 Coäng Taàn soá 8 18 10 4 40 a) Tính các số trung bình cộng, phương sai, độ lệch chuẩn của các bảng phân bố tần số đã cho. b) Xét xem kết quả làm bài thi của môn Ngữ văn ở lớp nào là đồng đều hơn? Bài 3: Cho hai bảng phân bố tần số ghép lớp Khối lượng của nhóm cá mè thứ I Lớp khối lượng (kg) [0,6 ; 0,8) [0,8 ; 1,0) [1,0 ; 1,2) [1,2 ; 1,4] Coäng Taàn soá 4 6 6 4 20 Khối lượng của nhóm cá mè thứ II Lớp khối lượng (kg) [0,5; 0,7) [0,7; 0,9) [0,9; 1,1) [1,1; 1,3) [1,3; 1,5] Coäng Taàn soá 3 4 6 4 3 20 a) Tính các số trung bình cộng của các bảng phân bố tần số ghép lớp đã cho. b) Tính phương sai của các bảng phân bố tần số ghép lớp đã cho. c) Xét xem nhóm cá nào có khối lượng đồng đều hơn? CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 79.

(80) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. * OÂN TAÄP CHÖÔNG V * ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................ BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Kết quả điều tra 59 hộ gia đình ở một vùng dân cư về số con của mỗi hộ gia baûng sau: 3 2 1 1 1 1 0 2 4 0 3 1 3 0 2 2 2 1 3 2 2 3 2 2 4 3 2 2 4 3 2 4 1 0 1 3 2 3 1 4 3 0 2 2 2 1 2 0 4 2 3 1 1 2 0 a) Laäp baûng phaân boá taàn soá vaø taàn suaát; b) Nêu nhận xét về số con của 59 gia đình đã điều tra; c) Tính số trung bình cộng, số trung vị, mốt của các số liệu thống kê đã cho. Bài 2: Cho các số liệu thống kê được ghi trong hai bảng sau đây. 80. đình được ghi trong 0 3 3 1.

(81) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. Khối lượng (tính theo gam) của nhóm cá thứ I 645 650 645 644 650 635 650 654 650 650 650 643 650 630 647 650 645 650 645 642 652 635 647 652 Khối lượng (tính theo gam) của nhóm cá thứ II 650 645 650 643 645 650 650 642 640 650 645 650 641 650 650 649 645 640 645 650 650 644 650 650 645 640 640 a) Lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp theo nhóm cá thứ I với các lớp là: [630 ; 635); [635 ; 640); [640 ; 645); [645 ; 650); [650 ; 655]; b) Lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp theo nhóm cá thứ II với các lớp là: [638 ; 642); [642 ; 646); [646 ; 650); [650 ; 654]; c) Mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp đã được lập ở câu a) bằng cách vẽ biểu đồ tần suất hình cột và đường gấp khúc tần suất; d) Mô tả bảng phân bố tần số ghép lớp đã được lập ở câu b), bằng cách vẽ biểu đồ tần số hình cột và đường gấp khúc tần số; e) Tính số trung bình cộng, phương sai và độ lệch chuẩn của các bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp đã lập được. Từ đó, xét xem nhóm cá nào có khối lượng đồng đều hơn. Bài 3: Cho các số liệu thống kê được ghi trong bảng sau Mức lương hàng năm của các cán bộ và nhân viên trong một công ti (đơn vị: nghìn đồng) 20910 76000 20350 20060 21410 20110 21410 21360 20350 21130 20960 125000 Tìm mức lương bình quân của các cán bộ và nhân viên trong công ti, số trung vị của các số liệu thống kê đã cho. Nêu ý nghĩa của số trung vị. Bài 4: Người ta đã tiến hành thăm dò ý kiến của khách hàng về các mẫu 1, 2, 3, 4, 5 của một loại sản phẩm mới được sản xuất ở một nhà máy. Dưới đây là bảng phân bố tần số theo số phiếu tín nhiệm dành cho caùc maãu keå treân. Maãu 1 2 3 4 5 Coäng Taàn soá 2100 1860 1950 2000 2090 10000 a) Tìm mốt của bảng phân bố tần số đã cho. b) Trong saûn xuaát, nhaø maùy neân öu tieân cho maãu naøo? CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 81.

(82) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. CHƯƠNG VI. CUNG VAØ GÓC LƯỢNG GIÁC - CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC ----- oOo -----.  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: 1. Tia, goùc hình hoïc vaø cung hình hoïc: B. x O.  Tia là hình gồm điểm O và một phần đường thẳng bị chia ra bởi điểm O được gọi là tia gốc O.. O. A. y.  Hai điểm A, B nằm trên đường tròn tâm O tạo thành hai cung hình học: cung lớn AB và cung nhỏ O x AB.  Đơn vị đo cung cũng là "độ"  Hai tia Ox, Oy taïo thaønh moät goùc oOy  Cung bằng nửa đường tròn có số đo là 1800.  Đơn vị đo góc là "độ". 2. Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 00 đến 1800: Với mỗi góc  (00    1800) ta xác định một điểm M trên y nửa đường tròn đơn vị sao cho góc xOM bằng và giả sử điểm 1 M có tọa độ M(x0; y0). Khi đó ta định nghĩa: M y0  sin cuûa goùc  laø x0, kí hieäu sin = y0;  coâsin cuûa goùc  laø x0, kí hieäu cos = x0; y y  x  tang cuûa goùc  laø 0 (x0 ≠ 0), kí hieäu tan = 0 ; R=1 x0 x0 x0 1 -1 O x0 x0  coâtang cuûa goùc  laø (y0 ≠ 0), kí hieäu cot = . y0 y0  Ghi chuù: ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 82.

(83) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. §1. CUNG VAØ GÓC LƯỢNG GIÁC I- KHÁI NIỆM CUNG VAØ GÓC LƯỢNG GIÁC 1. Đường tròn định hướng và cung lượng giác: Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại là chiều âm. Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của kim đồng hoà laøm chieàu döông.. + A. -. Trên đường tròn định hướng cho hai điểm A và B. Một điểm M duy động trên đường tròn luôn theo một chiều (âm hoặc dương) từ A đến B tạo nên một cung lượng giác có điểm đầu A điểm cuối B. Với hai điểm A, B đã cho trên đường tròn định hướng ta có vô số cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B. Mỗi cung như vậy đều được kí hiệu là AB.. * Chuù yù: Trên một đường tròn định hướng, lấy hai điểm A và B thì:  Kí hiệu AB chỉ một cung hình học (cung lớn hoặc cung bé) hoàn toàn xác định.  Kí hiệu AB chỉ một cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B. 2. Góc lượng giác: Trên đường tròn định hướng cho điểm M D chuyển động từ C tới D tạo một cung lượng giác CD. Khi đó tia OM quay xung quanh gốc O từ vị trí OC tới vị trí OD tạo nên một góc lượng giác, có tia O M đầu là OC, tia cuối là OD. C Kí hiệu góc lượng giác đó là (OC, OD). 3. Đường tròn lượng giác: y. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ đường tròn định hướng tâm O bán kính R = 1. Đường tròn này cắt hai trục tọa độ tại bốn ñieåm A(1 ; 0), A’(-1 ; 0), B(0 ; 1), B’(0 ; -1). Ta laáy A(1 ; 0) làm điểm gốc của đường tròn đó. Đường tròn được xác định như trên được gọi là đường tròn lượng giác (gốc A).. B(0; 1). + A(1; 0). A'(-1; 0). O. B'(0; -1). 83. x.

(84) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. II- SỐ ĐO CỦA CUNG VAØ GÓC LƯỢNG GIÁC 1. Độ và rađian: a) Đơn vị rađian: ngoài đơn vị độ thường được sử dụng, trong Toán học và Vật lý ta còn sử dụng một đơn vị đo cung và góc khác nữa là rađian (đọc là ra – đi - an). Viết tắc là rad. Trên đường tròn tùy ý, cung có độ dài bằng bán kính được gọi là cung có số đo 1 rad. b) Quan hệ giữa độ và rađian: 10 . .  180  rad vaø 1 rad    180   . Với   3,14 thì 10  0,01745 và 1 rad  57 017'45" . * Chú ý: Khi viết số đo của một góc (hay cung) theo đơn vị rađian, ta thường không viết chữ rad sau số đo đó. Chẳng hạn cung. . được hiểu là cung. 2 Bảng chuyển đổi thông dụng: Độ 300 450. . Rañian. .  2. rad.. 600. 900. . . 6 4 3 Ví dụ: Đổi số đo các góc sau đây ra rađian: Giaûi:. 2. 1200 2 3 a) 1050;. 1350 3 4. 1500 1800 5  6 b) 57030'.. ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... Ví dụ: Đổi số đo các góc sau đây ra độ, phút, giây:a).  15. ;. b).  7. .. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... c) Độ dài của một cung tròn: Cung có số đo  rad của đường tròn bán kính R có độ dài: l = R Ví dụ: Một đường tròn bán kính 10cm. Tìm độ dài các cung trên đường tròn có số đo: a).  18. ;. b) 450.. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... 2. Số đo của một cung lượng giác: Số đo của một cung lượng giác AM (A ≠ M) là một số thực, âm hay dương. Kí hieäu soá ño cuûa cung AM laø sñAM * Chuù yù:. 84.

(85) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. Số đo của các cung lượng giác có cùng điểm đầu và điểm cuối sai khaùc nhau moät boäi cuûa 2.. M. Ta viết: SđAM =  + 2k, k  Z , trong đó là số đo của một cung lượng giác tùy ý có điểm đầu là A điểm cuối là M. Khi M truøng A ta coù: sñAA = k2, k  Z; khi k = 0 thì sñAA = 0.  Nếu viết số đo bằng độ ta có:.  O. A. SñAM = a 0  k 360 0 , k  Z trong đó a0 là số đo của một cung lượng giác tùy ý có điểm đầu là A và ñieåm cuoái laø M. 3. Số đo của một góc lượng giác: Số đo của góc lượng giác (OA, OC) là số đo của cung lượng giác AC tương ứng. * Chú ý: Vì mỗi cung lượng giác ứng với một góc lượng giác và ngược lại, đồng thời số đo của các cung lượng giác và các góc lượng giác tương ứng là trùng nhau, nên từ nay về sau khi nói cung thì điều đó cũng đúng với góc và ngược lại. 1 Ví dụ: Trên hai đường tròn lượng giác sau lấy điểm P trên cung AB sao cho AP = AB, điểm E là trung 3 điểm cung A'B'. Xác định số đo cung AD và số đo các góc lượng giác (OA, OE), (OA, OP)?. y. y. B P. D A. A. A'. x. O. O. x. E B'. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... 3. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác: Để biểu diễn cung lượng giác có số đo  trên đường tròn lượng giác, ta chọn điểm A(1 ; 0) làm điểm đầu của cung, vì vậy chỉ cần xác định điểm cuối M trên đường tròn lượng giác sao cho cung AM có sñ AM =  . Ví dụ: Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các cung lượng giác có đo lần lượt là:. 85.

(86) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. a). 25 ; 4. b) -7650.. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................  Ghi chuù: ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 86.

(87) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Khi biểu diễn các cung lượng giác có số đo khác nhau trên đường tròn lượng giác, có thể xảy ra trường hợp các điểm cuối của chúng trùng nhau không? Khi nào trường hợp này xảy ra? Bài 2: Đổi số đo các góc sau đây ra rađian: a) 180; b) 57030’; c) -250 ; d) -127045’; 0 0 0 e) 105 ; f) 108 ; g) 57 30'. Bài 3: Đổi số đo các góc sau đây ra độ, phút, giây:  3 3 a) ; b) ; c) -2; d) ; 18 16 4  3  e) ; f) ; g) . 15 4 7 Bài 4: Một đường tròn bán kính 20cm. Tìm độ dài các cung trên đường tròn có số đo a). . ;. c) 370;. b) 1,5 ;. d). . e) 450.. ;. 15 18 Bài 5: Trên đường tròn lượng giác hãy biểu diễn các cung có số đo 5 10 ; ; a)  b) 1350; c) d) -2250; e) 300; 4 3 7 4 f) -1200; g) 6300; h) ; i)  . 6 3 Bài 6: Trêân đường tròn lượng giác gốc A, xác định các điểm M khác nhau, biết rằng cung AM có số đo tương ứng là (trong đó k là số nguyên tùy ý). a) k;. b) k.  2. ;. c) k.  3. .. Bài 7: Trên đường tròn lượng giác cho điểm M xác định bởi sđAM =  (0   . . ). Goïi M1, M2, M3 laàn 2 lượt là điểm đối xứng của M qua trục Ox, trục Oy và gốc tọa độ. Tìm số đo của các cung AM1, AM2, AM3.. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 87.

(88) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. §2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG I- GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG  1. Ñònh nghóa:  Tung độ y = OK của điểm M gọi là sin của  và kí hieäu laø sin. Trên đường tròn lượng giác cho cung AM có sđAM =  y sin = OK B  Hoành độ x = OH của điểm M gọi là côsin của  M K vaø kí hieäu laø cos. sin = OH  sin  A x A' goïi laø tang cuûa  vaø kí  Neáu cos ≠ 0 thì tæ soá cos  H O sin  hiệu là tan (hoặc tg). Vậy: tan = cos  cos  goïi laø coâtang cuûa  vaø  Neáu sin ≠ 0 thì tæ soá B' sin  cos  kí hiệu là cot (hoặc cotg). Vậy: cot = sin  Các giá trị sin, cos, tan, cot được gọi là các giá trị lượng giác của cung . Trục tung còn được gọi là trục sin, trục hoành còn được gọi là trục côsin. * Chú ý: Các định nghĩa trên cũng áp dụng cho các góc lượng giác. Nếu 0    1800 thì các giá trị lượng giác của góc  chính là các giá trị lượng giác của góc đó đã nêu trong SGK hình học 10.  Tính sin. 25 , cos(-240), tan(-4050). 4. 2. Heä quaû:  sin vaø cos luoân xaùc ñònh  R, vaø sin( + k2) = sin cos( + k2) = cos  Vì -1  OK  1, -1  OH  1 neân ta coù: - 1  sin  1 (sin 1). - 1  cos  1 (cos  1).  Với mọi m  R mà -1  m  1 đều tồn tại  và  sao cho sin = m và cos = m.. .  k ; 2 cot xaùc ñònh khi   k.  Dấu của các giá trị lượng giác của góc  phụ thuộc vào vị trí điểm cuối của cung AM..  tan xaùc ñònh khi  . y. Phaàn tö Giá trị lượng giác sin cos tan cot. II. I. II. III. IV. + + + +. + -. + +. + -. 88. B. I + + + + +++++ A A' ------O  H -K M III IV B'. x.

(89) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. 3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt: . 0 (00). sin. 0. cos. 1. tan. 0. cot. kxñ.  6. (300) 1 2. 3 2 1. 3 3.  4. . (450). 3. . (600). 2 2 2 2. 3 2 1 2. 1. 3. 2. 1 0 kxñ. 1. 1. (900). 0. 3. II- YÙ NGHÓA HÌNH HOÏC CUÛA TANG VAØ COÂTANG t. y B. y. i M. K. H. A. . A x A'. O. s. M. K . A'. S. B. s'. 1. O. x. H T. T B'. B' t'. tan = AT  tan được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ AT treân truïc t'At.  Trục t'At được gọi là trục tang. * Chuù yù:  tan( + k) = tank    III- QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC 1. Công thức lượng giác cơ bản:  sin2 + cos2 = 1. cot = BS  cot được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ BS treân truïc s'As.  Trục s'As được gọi là trục côtang. .  cot( + k) = cotk.  1  tan 2  . 1  (   k , k  Z). 2 2 cos . 1  (  k, k  Z).  tan.cot = 1 (   k , k  Z). 2 2 sin  3  Ví dụ 1: Cho sin = , với <  < . Tính các giá trị lượng giác của góc . 5 2 Giaûi:.  1  cot 2  . ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... 89.

(90) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. Ví duï 2: Cho tan = . 4 3 , với <  < 2. Tính sin vaø cos. 5 2. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... Ví duï 3: Cho a ≠.  2. cos a  sin a  tan 3 a  tan 2 a  tan a  1 . 3 cos a. + k, k  Z. Chứng minh rằng. Giaûi: .................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................................................................... 2. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt: a) Cung đối nhau: - và : Ta có: M và M' đối xứng qua trục x'Ox và:. y B. sin(-) = -sin cos(-) = cos tan(-) = -tan cot(-) = -cot. M A'.  -. O. B'. b) Cung buø ( -  vaø ): Ta có: M và M' đối xứng qua trục y'Oy, và:. sñAM'= -. y B. sñAM'= -. sin( - ) = sin cos( - ) = -cos tan( - ) = -tan cot( - ) = -cot. A x. H. M'. Ví duï: sin(-450) = ........................................................................... M'. M. K. sñAM =  -. A'. A x.  O. 2 ) = .......................................................................... 3 c) Cung hôn keùm  ( +  vaø ): Ta có: M và M' đối xứng nhau qua gốc O, và:. Ví duï: cos(. B'. y sñAM'= +. sin( + ) = -sin cos( + ) = -cos tan( + ) = tan cot( + ) = cot Ví duï: cos(. sñAM = . B M sñAM = . A'. H'. +. O. 4 ) = .......................................................................... 3. 90. A x. . M' B'. H.

(91) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. d) Cung phuï nhau (900 -  vaø ): Ta có: M và M' đối xứng nhau qua đường phân giác y = x, và: sin( cos( tan( cot(.  2.  2.  2.  2. y B. - ) = cos. sñAM'=. M'. K'.  2. -. M. K. sñAM = . - ) = sin. A'. A x. . O. H'. H. - ) = cot - ) = tan. B'.  Ghi chuù: ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 91.

(92) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Có cung  nào mà sin nhận các giá trị tương ứng sau đây không? 4 a) -0,7; b) ; c) - 2 ; 3 Bài 2: Các đẳng thức sau đây có thể xảy ra đồng thời không? 2 3 4 3 a) sin = vaø cos = ; b) sin =  vaø cos =  ; 5 5 3 3 Baøi 3: Cho 0 <  < a) sin( - );.  2. d). 5 . 2. c) sin = 0,7 vaø cos = 0,3.. . Xác định dấu của các giá trị lượng giác b) cos(. 3 - ); 2. c) tan( + );. Bài 4: Dùng định nghĩa, xác định giá trị lượng giác của góc: 1800;. d) cot( +.  2. ).. 7  4 ; . 6 3. Baøi 5: Tìm caùc giaù trò tan4200, sin8700, cos(-2400). 3 3 Baøi 6: a) Cho sina =  ,  < a < . Tính cosa, tana, cota. 5 2 1  b) Cho tana =  , < a < . Tính sina, cosa. 2 2 Bài 7: Tính các giá trị lượng giác của góc , nếu 4  3 a) cos = vaø 0 <  < ; b) sin = -0,7 vaø  <  < ; 13 2 2 15  3 c) tan =  vaø <  < ; d) cot = -3 vaø <  < 2. 7 2 2 Bài 8: Chứng minh rằng (với x là giá trị để các biểu thức có nghĩa), ta có: a) (cotx + tanx)2 - (cotx - tanx)2 = 4; b) cos4x - sin4x = 1 - 2sin2x. Bài 9: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có: AC B a) sin(A + B) = sinC; b) tan = cot . 2 2 Baøi 10: Tính , bieát a) cos = 1; b) cos = -1; c) cos = 0; d) sin = 1; e) sin = -1; f) sin = 0. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 92.

(93) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. §3. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC I- CÔNG THỨC CỘNG Với mọi số thực a, b và các biểu thức đều có nghĩa, ta có: cos(a - b) = cosacosb + sinasinb cos(a + b) = cosacosb - sinasinb sin(a - b) = sinacosb - cosasinb sin(a + b) = sinacosb + cosasinb tan a  tan b tan( a  b)  1  tan a tan b tan a  tan b tan( a  b)  1  tan a tan b Ví duï1: Tính tan.  12. .. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... Ví dụ 2: Chứng minh rằng. sin( a  b) tan a  tan b  . sin(a  b) tan a  tan b. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... II- CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI Với mọi số thực a, ta có: sin2a = 2sinacosa cos2a = cos2a - sin2a = 2 cos2a - 1 = 1 - 2sin2a 2tana tan 2a  1  tan 2 a  Công thức hạ bậc: 1  cos 2 a 2 1  cos 2a sin 2 a  2 1  cos 2 a tan 2 a  1  cos 2a cos 2 a . 93.

(94) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. Ví duï 1: Bieát sina + cosa =. 1 . Tính sin2a. 2. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... Ví duï 2: Tính cos.  8. .. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... III- CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THAØNH TỔNG, TỔNG THAØNH TÍCH 1. Công thức biến đổi tích thành tổng: 1 cosacosb = [cos(a + b) + cos(a - b)] 2 1 sinasinb =- [cos(a + b) - cos(a - b)] 2 1 sinacosb = [sin(a + b) + sin(a - b)] 2  3 13 5 sin Ví dụ: Tính giá trị biểu thức A = sin cos , B = sin . 8 8 24 24 Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... 2. Công thức biến đổi tổng thành tích: uv uv cos 2 2 uv uv cosu - cosv = -2sin sin 2 2 uv uv sinu + sinv = 2sin cos 2 2 uv uv sinu - sinu = 2cos sin 2 2. cosu + cosv = 2cos. 94.

(95) Hồ Xuân Trọng. Ví duï 1: Tính A = cos. Đại số 10.  9.  cos. 5 7  cos . 9 9. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... Ví dụ 2: Chứng minh rằng trong tam giác ABc ta có: sinA + sinB + sinC = 4 cos. A B C cos cos . 2 2 2. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................  Ghi chuù: ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. 95.

(96) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi 1: Tính a) cos2250, sin2400, cot(-150), tan750, cos1050, tan150 ;. b) sin. 7  13 , cos(  ), tan . 12 12 12. Baøi 2: Tính a) cos( +.  3. ), bieát sin =. 1 3. vaø 0 <  <. c) cos(a + b), sin(a - b), bieát sina =.  2. ;. b) tan( -.  4. ), bieát cos = . 1  vaø <  < ; 3 2. 4 0 2 , 0 < a < 900 vaø sinb = , 900 < b < 1800. 5 3. Bài 3: Rút gọn các biểu thức: a) sin(a + b) + sin( c) cos(. .  2. - a)sin(-b);. b) cos(.  4. + a)cos(.  4. - a) +. 1 2 sin a; 2. . - a)sin( - b) - sin(a - b). 2 2 Bài 4: Chứng minh các đẳng thức: cos(a  b) cot a cot b  1  a) ; b) sin(a + b)sin(a - b) = sin2a - sin2b = cos2b - cos2a. cos(a  b) cot a cot b  1 c) cos(a + b)cos(a - b) = cos2a - sin2b = cos2b - sin2a. Bài 5: Chứng minh rằng: 1 a) sin4x + cos4x = 1 - sin22x; b) cos4x - sin4x = cos2x. 2 Baøi 6: Tính sin2a, cos2a, tan2a, bieát 3 5  a) sina = -0,6 vaø  < a < ; b) cosa = vaø < a < ; 2 13 2 1 3 1 c) sina + cosa = vaø < a < ; d) sina - cosa = . 2 4 5 5  Baøi 7: Cho sin2a =  vaø < a < . Tính sina vaø cosa. 9 2 Bài 8: Biến đổi thành tích các biểu thức sau: a) 1 - sinx; b) 1 + sinx; c) 1 + 2cosx; d) 1 - 2sinx. sin x  sin 3 x  sin 5 x Bài 9: Rút gọn biểu thức A = . cos x  cos 3 x  cos 5 x CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. 96.

(97) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. * OÂN TAÄP CHÖÔNG VI * ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................ 97.

(98) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi 1: Tính. 2  vaø     ; 2 3 2 3    2 ; c) tan  , neáu sin    vaø 2 3 Bài 2: Rút gọn các biểu thức: 2 sin 2  sin 4 a) ; 2 sin 2  sin 4 a) sin  , neáu cos   . b) cos , neáu tan   2 2 vaø    . 3 ; 2. 1  d) cot  , neáu cos    vaø     . 4 2  1  cos 2   b) tan    sin   ;  sin  .     sin      cos    sin 5  sin 3 ; 4  4 c) . d) 2 cos 4     sin     cos    4  4  Bài 3: Không sử dụng máy tính, hãy tính 22 23 25 10    tan a) cos ; b) sin ; c) sin ; d) cos 2  sin 2 . 3 3 4 3 8 8 Bài 4: Không sử dụng máy tính, hãy chứng minh 6 a) sin 75 0  cos 75 0  b) tan 267 0  tan 93 0  0 ; 2 c) sin 65 0  sin 55 0  3 cos 5 0 ; d) cos 12 0  cos 48 0  sin 18 0 . Bài 5: Chứng minh các đồng nhất thức 1 sin x  sin 1  cos x  cos 2 x x  tan x ;  cot x ; a) b) x sin 2 x  sin x 2 1  cos x  cos 2 sin( x  y ) 2 cos 2 x  sin 4 x    tan 2   x  ; c) d) tan x  tan y  . cos x cos y 2 cos 2 x  sin 4 x 4  Bài 6: Chứng các biểu thức sau không phụ thuộc vào x     a) A  sin   x   cos  x  ; 4 4       c) C  sin 2 x  cos  x  cos  x  ; 3  3 .     b) B  cos  x   sin  x  ; 6 3   1  cos 2 x  sin 2 x . cot x . d) D  1  cos 2 x  sin 2 x. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. 98.

(99) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. * OÂN TAÄP CUOÁI NAÊM * ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................ 99.

(100) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi 1: Cho haøm soá f ( x )  x 2  3x  4   x 2  8 x  15. a) Tìm taäp xaùc ñònh A cuûa haøm soá f(x); b) Giả sử B  x  R | 4  x  5. Hãy xác định các tập A \ B và R \ (A \ B). Baøi 2: Cho phöông trình: mx2 – 2x – 4m – 1 = 0. a) Chứng minh rằng với mọi giá trị m ≠ 0, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt. b) Tìm giá trị của m để -1 là một nghiệm của phương trình. Sau đó tìm nghiệm cón lại. Baøi 3: Cho phöông trình: x2 – 4mx + 9(m - 1)2 = 0. a) Xét xem với giá trị nào của m, phương trình trên có nghiệm. b) Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho, hãy tính tổng và tích của chúng. Tìm một hệ thức giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m. c) Xác định m để hiệu các nghiệm của phương trình bằng 4. Bài 4: Chứng minh các bất đẳng thức sau a) 5(x - 1) < x5 – 1 < 5x4(x - 1), neáu x – 1 > 0; b) x5 + y5 – x4y – xy4  0, bieát x + y  0 ; 1 c) 4a  1  4b  1  4c  1  5 , biết rằng a, b, c cùng lớn hơn  và a + b + c = 1. 4  x  3y  2z  1  Baøi 5: Giaûi heä phöông trình 3 x  5y  z  9 baèng caùch ñöa veà heä phöông trình daïng tam giaùc. 5 x  2 y  3z  3  Bài 6: a) Xét dấu biểu thức: f(x) = 2x(x + 2) – (x + 2)(x + 1). b) Lập bảng biến thiên và vẽ trong cùng một hệ trục tọa độ Oxy đồ thị của các hàm số sau: y = 2x(x + 2) (C1) y = (x + 2)(x + 1) (C2) Tính tọa độ các giao điểm A và B của (C1) và (C2). c) Tính các hệ số a, b, c để hàm số y = ax2 + bx + c có giá trị lớn nhất bằng 8 và đồ thị của nó đi qua A vaø B. Bài 7: Chứng minh các hệ thức sau 1  2 sin 2 a 1  tan a sin a  sin 3a  sin 5a  tan 3a ;  a) ; b) cos a  cos 3a  cos 5a 1  sin 2 a 1  tan a sin 4 a  cos 4 a  cos 2 a a tan 2 x tan x  sin 2 x .  cos 2 ; c) d) tan 2 x  tan x 2(1  cos a) 2 Bài 8: Rút gọn các biểu thức sau 1  sin 4 a  cos 4 a 1  cos a a cos 2 x  sin 4 x  cos 6 x tan 2  cos 2 a a) ; b) c) . 1  cos a 2 1  cos 4 a  sin 4 a cos 2 x  sin 4 x  cos 6 x Baøi 9: Tính a) 4(cos240 + cos480 – cos840 – cos120);. b) 96 3 sin. c) tan 9 0  tan 63 0  tan 810  tan 27 0 . Baøi 10: Ruùt goïn x 2x 4x 8x cos cos a) cos cos ; 5 5 5 5 Bài 11: Chứng minh rằng trong một tam giác ABC ta có: a) tan A  tan B  tan C  tan A tan B tan C (A, B, C cuøng khaùc. 100. b) sin.  2. );.  48. cos.  48. cos.  24. cos. x 3x 5x  2 sin  sin . 7 7 7.  12. cos.  6. ;.

(101) Hồ Xuân Trọng. Đại số 10. b) sin 2 A  sin 2 B  sin 2C  4 sin A sin B sin C. sin 40 0  sin 45 0  sin 50 0 6 3  3 tan 15 0 Bài 12: Không sử dụng máy tính, hãy tính .  cos 40 0  cos 45 0  cos 50 0 3  3 tan 15 0. . . ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. 101.

(102) Hồ Xuân Trọng. Hình học 10. CHÖÔNG I. VECTÔ ----- oOo -----.  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: 1. Đoạn thẳng, đường thẳng và tia: B. x. A. A. d. Cho hai điểm A, B ta có một đoạn thẳng duy nhất, kí hiệu: AB hoặc BA. (Giới hạn hai đầu) 2. Troïng taâm tam giaùc:. Tia Ax (Giới hạn một đầu). Đường thẳng d (Không giới hạn - dài vô tận) A. Trọng tâm G của tam giác là giao điểm ba đường. b. c. 2 trung tuyeán, vaø AG  AM . 3. G. B. a. C. M. 3. Đường trung bình của tam giác: A. Đường trung bình trong tam giác song song và 1 bằng cạnh đáy. 2. N. M. C. B. 4. Hình bình haønh: Cho hình bình haønh ABCD. Ta coù: AB // DC vaø AB = DC BC // AD vaø BC = AD AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường. Khi đó O gọi là tâm của hình bình hành.. B. C. O. A. D.  Ghi chuù: ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 102.

(103) Hồ Xuân Trọng. Hình học 10. §1. CAÙC ÑÒNH NGHÓA 1. Khaùi nieäm vectô: Cho đoạn thẳng AB. Nếu ta chọn điểm A làm điểm đầu, điểm B làm điểm cuối thì đoạn thẳng AB có hướng từ A đến B. Khi đó ta nói AB là một đoạn thẳng có hướng. Định nghĩa: Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. B  Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B được kí hiệu là: AB A.  Khi khoâng caàn chæ roõ điểm đầu và điểm cuối của một vectơ thì     vectơ được kí hiệu là: a , b , x , y ,... gọi là các vectơ tự do.. a. x.  Từ hai điểm phân biệt ta có bao nhiêu vectơ? Nhận xét sự khác nhau giữa đoạn thẳng và vectơ?. 2. Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng: Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó. giaù cuûa vectô AB. B A. Định nghĩa: Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Hai vectơ cùng phương, cùng hướ ng. B. A. C. D Q. R. F P S. E. Hai vectơ cùng phương, ngược hướng.  Nhận xét:  Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.  Ba ñieåm phaân bieät A, B, C thaúng haøng khi vaø chæ khi hai vectô AB vaø AC cuøng phöông.  Khẳng định: "Nếu ba điểm A, B, C thẳng hàng thì hai vectơ AB và BC cùng hướng" đúng hay sai? vì sao? 3. Hai vectô baèng nhau:  Mỗi vectơ có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài vectơ AB được kí hiệu là AB . Vậy:. AB  AB  BA  Vectơ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị.  Hãy nhận xét về hướng và độ dài của hai vectơ AB và DC trong hình vẽ sau: B. C. ............................................................................................................................. ............................................................................................................................. ............................................................................................................................... A. D. ............................................................................................................................... 103.

(104) Hồ Xuân Trọng. Hình học 10.      Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng hướng và cùng độ dài, kí hiệu a  b . .  Hãy dựng vectơ OA bằng vectơ a .. a. O.   * Chú ý: Khi cho trước vectơ a và điểm O, thì ta luôn tìm được một điểm A duy nhất sao cho OA  a . 4. Vectô - khoâng:  Vectơ đặc biệt có điểm đầu và điểm cuối đều là A (điểm đầu và điểm cuối trùng nhau), được kí hiệu laø: AA vaø goïi laø vectô - khoâng.  Vectơ - không cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.  Độ dài vectơ - không: AA = 0, nên mọi vectơ - không đều bằng nhau.   Vectơ - không được kí hiệu: 0 .  Ghi chuù: ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 104.

(105) Hồ Xuân Trọng. Hình học 10. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN.     Bài 1: Cho ba vectơ a, b , c đều khác vectơ 0 . Các khẳng định sau đúng hay sai?      a) Nếu hai vectơ a, b cùng phương với c thì a và b cùng phương.      b) Nếu a, b cùng ngược hướng với c thì a và b cùng hướng. Bài 2: Cho hình bình hành ABCD, tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD, BC.  a) Có bao nhiêu vectơ khác vectơ 0 có điểm đầu và điểm cuối là một trong số các điểm A, B, C, D, O, M, N. b) Chỉ ra hai vectơ có điểm đầu, điểm cuối lấy trong số các điểm A, B, C, D, O, M, N mà: i/ cùng phương với AB ; ii/ cùng hướng AB ; iii/ ngược hướng với AB . c) Chæ ra caùc vectô baèng vectô MO , OB . Bài 3: Chỉ ra các vectơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng và các vectơ bằng nhau trong hình sau: x. w. a y. b. v. u. z. Bài 4: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng tứ giác đó là hình bình hành khi và chỉ khi AB = DC . Bài 5: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O.  a) Tìm các vectơ khác 0 và cùng phương với OA ; b) Tìm caùc vectô baèng vectô AB . Bài 6: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm BC, CA, AB. Chứng minh EF = CD . Bài 7: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Điểm I là giao điểm của AM và BN, K là giao điểm của DM và CN. Chứng minh AM  NC , DK  NI .. 105.

(106) Hồ Xuân Trọng. Hình học 10. §2. TOÅNG VAØ HIEÄU CUÛA HAI VECTÔ 1. Toång cuûa hai vectô:.   Ñònh nghóa: Cho hai vectô a vaø b . Laáy   moät ñieåm A tuøy yù, veõ AB  a vaø BC = b .  Vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ a và      b . Ta kí hieäu toång hai vectô a vaø b laø a  b . Vaäy:   AC  a  b. a. b. 2. Quy taéc hình bình haønh: B. C. Neáu ABCD laø hình bình haønh thì: AB  AD  AC A. D. 3. Tính chaát cuûa pheùp coäng caùc vectô:    Với ba vectơ a, b , c tùy ý ta có:     a  b  b  a (tính chất giao hoán)       (a  b )  c  a  (b  c ) (tính chất kết hợp)      a  0  0  a  a (tính chaát cuûa vectô - khoâng) 4. Hieäu cuûa hai vectô:  Hãy nhận xét về hướng và độ dài của hai vectơ B. AB vaø CD trong hình bình haønh ABCD:. C. ............................................................................................................................. ............................................................................................................................. A. ............................................................................................................................... D.   a) Vectơ đối: Cho vectơ a . Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với a được gọi là vectơ đối của vectơ   a , kí hieäu laø - a . B * Chú ý:  Vectơ đối của vectơ AB là BA , nghĩa là  AB  BA A    Vectơ đối của vectơ 0 là vectơ 0 . Ví dụ: Cho tam giác ABC, gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB. Tìm ít nhất ba cặp vectơ đối nhau? A Giaûi: .............................................................................................................................. E. F. ............................................................................................................................. .............................................................................................................................. ............................................................................................................................... B. D. C. 106.

(107) Hồ Xuân Trọng. Hình học 10. b) Ñònh nghóa hieäu cuûa hai  vectô:  Cho hai vectô a vaø b . Ta goïi hieäu cuûa hai       vectô a vaø b laø vectô a  (b ) , kí hieäu a  b . Vaäy:     a  b  a  (b ). a. * Chú ý: Phép toán tìm hiệu hai vectơ còn gọi là phép trừ vectơ. c) Quy taéc ba ñieåm: Với ba điểm A, B, C tùy ý, ta có:. b. O. AB  BC  AC AB  AC  CB Ví dụ: Chứng minh rằng với bốn điểm bất kì A, B, C, D ta luôn có AB  CD  AD  CB . Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... 5. Trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác:.   Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi IA  IB  0 .   Ñieåm G laø troïng taâm cuûa tam giaùc ABC khi vaø chæ khi GA  GB  GC  0 ..  Ghi chuù: ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 107.

(108) Hồ Xuân Trọng. Hình học 10. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN. Bài 1: Chứng minh rằng đối với tứ giác ABCD bất kì ta luôn có  a) AB  BC  CD  DA  0 ; b) AB  AD  CB  CD . Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Chứng minh rằng a) CO  OB  BA ; b) AB  BC  DB ; c) DA  DB  OD  OC ; d) DA  DB  DC  0 . Bài 3: Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng MA  MC  MB  MD . Bài 4: Cho sáu điểm M, N, P, Q, R, S bất kì. Chứng minh rằng: MP  NQ  RS  MS  NP  RQ . Bài 5: Cho tam giác đều ABC, cạnh a. Tính độ dài các vectơ AB  BC , AB  AC , AB  AC , AB  BC . Bài 6: Cho tam giác ABC. Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh  raèng RJ  IQ  PS  0 . Bài 7: Chứng minh rằng AB  CD khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau. Bài 8: Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B sao cho AM > MB. Vẽ các vectơ MA  MB và MA  MB .    Bài 9: Cho a, b là hai vectơ khác 0 . Khi nào có đẳng thức         a) a  b  a  b ; b) a  b  a  b .     Bài 10: Cho a  b  0 . So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ a và b . Bài 11: Cho ba lực F1  MA , F2  MB và F3  MC cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên. Biết cường độ của F1 , F2 đều là 100N và góc AMB bằng 600. Tìm cường độ và hướng của lực F3 .. 108.

(109) Hồ Xuân Trọng. Hình học 10. §3. TÍCH CỦA VETƠ VỚI MỘT SỐ 1. Ñònh nghóa:.      Cho số k  0 và vectơ a  0 . Tích của vectơ a với số k là một vectơ, kí hiệu là k a , cùng hướng với a   nếu k > 0, ngược hướng với a nếu k < 0 và có độ dài bằng k a .. Ta còn gọi tích của vectơ với một số là tích của một số với một vectơ.     Quy ước: 0. a = 0 , k. 0 = 0 . 2. Tính chaát:   Với hai vectơ a và b bất kì, với mọi số h và k, ta có:         (h + k) a  h a  ka  k( a  b ) = ka  kb        h(k a ) = (hk) a 1. a = a , (-1). a = - a .  1) Cho hình bình hành MACB, gọi I là giao điểm của AB và MC. Nhận xét gì về mối quan hệ giữa A. MA  MB với MI .. C I. M. B. . 2) Cho G là trọng tâm tam giác ABC. Dựa vào đẳng thức GA  GB  GC  0 , chứng minh MA  MB  MC  3MG .. 3. Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác: a) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M ta có: MA  MB  2MI . b) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M ta có: MA  MB  MC  3MG Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng AB  2 AC  AD  3 AC . Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... 4. Điều kiện để hai vectơ cùng phương:        Điều kiện cần và đủ để hai vectơ a và b ( b  0 ) cùng phương là có một số k để a = k b .  Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để AB  k AC . 5. Phaân tích moät vectô theo hai vectô khoâng cuøng phöông:.   Cho hai vectô a vaø b khoâng cuøng phöông. Khi  đó mọi vectơ x đều phân tích được một cách duy   nhaát theo hai vectô a vaø b , nghóa laø coù duy nhaát    caëp soá h, k sao cho x  ha  kb. A'. C. x. A a O. b. B. B'. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,   CA, AB và I là giao điểm của AD và EF. Đặt u  AE , v  AF . Hãy phân tích các vectơ AI , AG, DE, DC theo   hai vectơ u , v .. 109.

(110) Hồ Xuân Trọng. Hình học 10. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................  Ví dụ 2: Cho 4 điểm A, B, C, M thỏa mãn MA  2 MB  3MC  0 . Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................  Ghi chuù: ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 110.

(111) Hồ Xuân Trọng. Hình học 10. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng: AB  AC  AD  2 AC . Bài 2: Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC và D là trung điểm của đoạn AM. Chứng minh rằng:  a) 2 DA  DB  DC  0 ; b) 2OA  OB  OC  4OD , với O là một điểm túy ý. Bài 3: Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD. Chứng minh rằng: 2MN  AC  BD  BC  AD Baøi 4: Cho AK vaø BM laø hai trung tuyeán cuûa tam giaùc ABC. Haõy phaân tích caùc vectô AB, BC , CA theo hai   vectô u  AK , v  BM . Bài 5: Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy một điểm M sao cho MB  3MC . Hãy phân   tích vectô AM theo hai vectô u  AB vaø v  AC .  Baøi 6: Cho hai ñieåm phaân bieät A vaø B. Tìm ñieåm K sao cho: 3KA  2 KB  0 .  Baøi 7: Cho tam giaùc ABC. Tìm ñieåm M sao cho MA  MB  2 MC  0 . Bài 8: Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm. Bài 9: Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần 3 lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB. Chứng minh rằng MD  ME  MF  MO . 2. 111.

(112) Hồ Xuân Trọng. Hình học 10. §4. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ 1. Trục và độ dài đại số trên trục:  Trục tọa độ (hay gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O gọi là điểm gốc  vaø moät vectô ñôn vò e .  Kí hieäu: (O; e ). O. e. M.    Cho điểm M nằm trên trục (O; e ). Khi đó có duy nhất một số k sao cho OM = k e . Ta gọi số k đó là tọa độ của điểm M đối với trục đã cho.    Cho hai điểm A, B nằm trên trục (O; e ). Khi đó có duy nhất số a sao cho AB = a e . Ta gọi số a đó là. độ dài đại số của vectơ AB đối với hệ trục đã cho và kí hiệu a = AB .   * Nhận xét: Nếu AB cùng hướng e thì AB = AB, còn nếu AB ngược hướng e thì AB = -AB. Độ dài đại số của vectơ OM chính là tọa độ điểm M.   Nếu hai điểm A và B trên trục (O; e ) có tọa độ lần lượt là a và b thì AB = b - a. Ví dụ: Trên trục cho các điểm A, B, M, N lần lượt có tọa độ là -4; 3; 5; -2. a) Hãy biểu diễn các điểm đó trên trục số; b) Hãy xác định độ dài đại số của các vectơ AB , AM , MN . Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... 2. Hệ trục tọa độ: a) Ñònh nghóa:     Hệ trục tọa độ (O; i , j ) gồm hai trục (O; i ) và (O; j ) vuông góc với nhau.  Điểm gốc O chung của hai trục gọi là gốc tọa độ.   Trục (O; i ) được gọi là trục hoành và kí hiệu Ox   Trục (O; j ) được gọi là trục tung và kí hiệu Oy.      Caùc vectô i vaø j laø caùc vectô ñôn vò treân Ox vaø Oy vaø i  j = 1.   Hệ trục tọa độ (O; i , j ) còn được gọi là Oxy. truïc tung (Oy). y. y. trục hoành (Ox) j. O. i. x. 2i. 1 -1. 1. O. 2. x. * Chú ý: Khi trong mặt phẳng đã cho một hệ trục tọa độ Oxy, gọi mặt phẳng đó là mặt phẳng tọa độ Oxy hay maët phaúng Oxy. b) Tọa độ của vectơ:       Đối với hệ trục tọa độ (O; i , j ), mọi vectơ u đều được biểu diễn u = x i +y j với (x; y) là cặp số duy nhaát.. 112.

(113) Hồ Xuân Trọng. Hình học 10.    Khi đó: cặp số (x; y) được gọi là tọa độ của vectơ u , kí hiệu là: u = (x; y) hay u (x; y)..     Nhö vaäy: u = (x; y)  u = x i + y j. * Nhận xét: Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau.  x  x'     Neáu u  ( x; y ) , u '  ( x' ; y ' ) thì u  u '    y  y' c) Tọa độ của một điểm: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ của vectơ OM được gọi là tọa độ của ñieåm M.  Cặp số (x; y) là tọa độ của điểm M khi và chỉ khi OM = (x; y). Ta viết: M(x; y) hoặc M = (x; y).. Hoành độ của điểm M còn được kí hiệu xM, tung độ điểm M còn được kí hiệu yM. y.  Gọi M1, M2 lần lượt là hình chiếu của M trên Ox, Oy. Khi đó, nếu M(x; y) thì x = OM1. M(x; y). M2. y = OM 2. j. O. Ví duï 1: Xác định tọa độ các điểm A, B, C, D, E, F trên hình veõ. Giaûi:. x. M1. i. y E. 6 5. A. 4. .......................................................................................................................... 3 2. .......................................................................................................................... D. C -6. .......................................................................................................................... -4. -5. -3. -2. -1. 1 1. 2. 4. 3. 6. 5. x. O -1 -2. .......................................................................................................................... -3. F. .......................................................................................................................... -4. B. -5 -6. Ví duï 2: y 6 5 4. Biểu diễn các điểm sau đây trên hệ trục tọa độ. 3. Oxy: M(-2; 3), N(0; -4), P(3; 0), Q(-5; 6), I(-4; -2). 2 1 1 -6. -5. -4. -3 -2. O. -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6. 113. 2. 3. 4. 5. 6. x.

(114) Hồ Xuân Trọng. Hình học 10. d) Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng: Với hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB) thì: AB = (xB - xA; yB - yA) Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(2; 5), B(1; 2) và C(4; 1). Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giaùc ABCD laø hình bình haønh. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................      3. Tọa độ của các vectơ u  v , u  v , ku :   Cho u = (u1; u2) và v = (v1 ; v2). Khi đó:       u  v = (u1 + v1; u2 + v2);  u  v = (u1 - v1; u2 - v2);  k a = (kx; ky) với k  R;        Ví dụ 1: Cho a  (1;2) , b  (3;4) , c  (5;1) . Tìm tọa độ vectơ u  2a  b  c . Giaûi: ............................................................................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................................................................ .............................................................................................................................................................................................................................................      Ví duï 2: Cho a  (1;1), b  (2;1) . Haõy phaân tích vectô c  (4;1) theo a vaø b . Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................   * Chú ý: Vectơ u =(u1; u2) cùng phương với vectơ v =(v1; v2) với  u  kv1   khaùc 0 sao cho u  kv hay  1 . u 2  kv2   Ví dụ 1: Cho u =(2; -5). Tìm x biết rằng b = (6; x) cùng phương với Giaûi:.   v  0 khi và chỉ khi tồn tại số thực k.  u.. ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... 114.

(115) Hồ Xuân Trọng. Hình học 10. 3 ), C(2; 1). Hãy chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng. Hai 2 vectơ AB và AC cùng hướng hay ngược hướng? Giaûi:. Ví duï 2: Cho ba ñieåm A(-2; -1), B(3;. ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... 4. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ của trọng tâm tam giác:   Cho A(xA; yA), B(xB; yB), gọi I(xI; yI) là trung điểm AB. Từ đăng thức IA  IB  0 , hãy tìm tọa độ điểm I?  Cho đoạn thẳng AB có A(xA; yA), B(xB; yB). Khi đó tọa độ trung điểm I(xI; yI) của AB được tính theo x  xB y  yB công thức: x I  A , yI  A . 2 2  Cho A(xA; yA), B(xB; yB), C(xC; yC), goïi G(xG; yG) laø troïng taâm tam giaùc ABC. Haõy phaân tích vectô OG theo ba vectô. OA, OB, OC . Từ đó hãy tính tọa độ của G theo tọa độ của A, B, C.  Cho tam giác ABC có A(xA; yA), B(xB; yB), C(xC; yC). Khi đó tọa độ trọng tâm G(xG; yG) được tính theo x  x B  xC y  y B  yC công thức xG  A , yG  A . 3 3 Ví dụ: Cho tam giác ABC có ba đỉnh A(2; 3), B(6; 7), C(1; 2). Tìm tọa độ trung điểm I của cạnh AB và troïng taâm G cuûa tam giaùc ABC. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................  Ghi chuù: ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 115.

(116) Hồ Xuân Trọng. Hình học 10. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN  Bài 1: Trên trục (O; e ) cho các điểm A, B, M, N có tọa độ lần lượt là -1; 2; 3; -2. a) Hãy vẽ trục và biểu diễn các điểm đã cho trên trục; b) Tính độ dài đại số của AB và MN . Từ đó suy ra hai vectơ AB và MN ngược hướng. Bài 2: Tìm tọa độ của các vectơ sau:           a) a  2i ; b) b  3 j ; c) c  3i  4 j ; d) d  0,2i  3 j . Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có A(-1; -2), B(3; 2), C(4; -1). Tìm tọa độ đỉnh D.      Baøi 4: Cho a =(2; -2), b =(1; 4). Haõy phaân tích vectô c =(5; 0) theo hai vectô a vaø b . Bài 5: Các điểm A'(-4; 1), B'(2; 4) và C'(2; -2) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA và AB của tam giác ABC. Tính tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác ABC và A'B'C' truøng nhau.. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 116.

(117) Hồ Xuân Trọng. Hình học 10. * OÂN TAÄP CHÖÔNG I * ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................ 117.

(118) Hồ Xuân Trọng. Hình học 10. ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................ BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Hãy chỉ ra các vectơ bằng AB có điểm đầu và điểm cuối là O hoặc các đỉnh của lục giác. Bài 2: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính:. a) AB  AC ;. b) AB  AC .. Bài 3: Cho sáu điểm M, N, P, Q, R, S bất kì. Chứng minh rằng: MP  NQ  RS  MS  NP  RQ . Bài 4: Chứng minh rằng nếu G và G' lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và A'B'C' thì ta có đẳng thức: 3GG'  AA'  BB'  CC ' .    Baøi 5: Cho a = (2; 1), b = (3; -4), c = (-7; 2).     a) Tìm tọa độ của vectơ u  3a  2b  4c ;      b) Tìm tọa độ vectơ x sao cho x  a  b  c ;    c) Tìm caùc soá k vaø h sao cho c  ka  hb .      1   Bài 6: Cho u  i  5 j , v  mi  4 j . Tìm m để u và v cùng phương. 2 Bài 7: Cho tam giác OAB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OA và OB. Tìm các số m, n sao cho: b) AN  mOA  nOB ; a) OM  mOA  nOB ; c) MN  mOA  nOB ; d) MB  mOA  nOB . CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................. 118.

(119) Hồ Xuân Trọng. Hình học 10. CHƯƠNG II. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VAØ ỨNG DỤNG ----- oOo -----.  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: 1. Caùc ñieåm ñaëc bieät trong tam giaùc: A. A. A. ha. b. c. A. b. c. G. H. R. hc. hb B. a. r. C. a. B. I. C. B. C. M. b. c. O. C. B. a Troïng taâm G cuûa tam giaùc laø Trực tâm H của tam giác Tâm O đường tròn ngoại Tâm I của đường tròn nội giao điểm ba đường trung ABC laø giao ñieåm ba tieáp ABC laø giao ñieåm tieáp ABC laø giao ñieåm ba 2 đường cao. tuyeán, vaø AG  AM . ba đường trung trực. đường phân giác trong. 3. 2. Tam giaùc vuoâng ABC vuoâng taïi A:  Hệ thức lượng:. A. A. B. . B. C. AC AB sin = cos = BC BC AC AB tan = cot = AB AC 2 2  Ñònh lí Pitago: BC = AB + AC2 1  Dieän tích: S = AB.AC 2 3. Các công thức đặc biệt:. H. C. M.  Nghịch đảo đường cao bình phương:. 1 BC 2.  Độ dài đường trung tuyến AM =  Công thức khác: AB.AC = AH.BC. 3 4  Độ dài đường chéo hình vuông: l = cạnh  2 4. Dieän tích caùc hình ñaëc bieät khaùc:.  Diện tích tam giác đều: S = (cạnh)2 . BA2 = BH.BC. CA2 = CH.CB.  Chiều cao tam giác đều: h = cạnh .  Hình chữ nhật: S = dài  rộng  Hình troøn: S = R2 5. Hai tam giác đồng dạng và định lí Talet: B. A. N. C. M. 3 2. 1  Hình thoi: S = (cheùp daøi  cheùo ngaén) 2 1  Hình thang: S = (đáy lớn + đáy bé)  chiều cao 2  Hình bình hành: S = đáy  chiều cao.  Hình vuoâng: S = caïnh  caïnh. A. 1 1 1   2 2 AH AB AC 2. M. N. P.  ABC ∽MNP nếu chúng có hai góc tương ứng bằng nhau. AB MN   Neáu ABC ∽MNPthì AC MP. 119. C. B. AM AN MN   AB AC BC.

(120) Hồ Xuân Trọng. Hình học 10. §1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ TỪ 00 ĐẾN 1800 1. Ñònh nghóa: y 1. Nửa đường tròn đơn vị: Nửa đường tròn tâm O nằm phía trên trục hoành bán kính R = 1 được gọi là nửa đường tròn đơn vị.. x. R=1. O. -1. 1.  Nếu cho trước một góc nhọn  thì ta có thể xác định một điểm M duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho góc xOM bằng . Giả sử điểm M có tọa độ (x0; y0). Hãy chứng tỏ rằng sin = y0, cos = x0, tan =. y0 x , cot = 0 x0 y0. Với mỗi góc  (00    1800) ta xác định một điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho góc xOM bằng và giả sử điểm M có tọa độ M(x0; y0). Khi đó ta định nghĩa:  sin cuûa goùc  laø x0, kí hieäu sin = y0;  coâsin cuûa goùc  laø x0, kí hieäu cos = x0; y y  tang cuûa goùc  laø 0 (x0 ≠ 0), kí hieäu tan = 0 ; x0 x0 x x  coâtang cuûa goùc  laø 0 (y0 ≠ 0), kí hieäu cot = 0 . y0 y0. y 1 M. y0.  -1. x0. x. R=1. O. 1. Các số sin, cos, tan, cot được gọi là các giá trị lượng giác của góc .  Nhắc lại mối quan hệ giữa tọa độ của điểm M(x0; y0) và độ dài đại số của các vectơ. OH vaø OK trong hình veõ sau:. .................................................................................................................... ..................................................................................................................... y. M(x0;y0). ..................................................................................................................... H x0. Ví dụ: Tìm các giá trị lượng giác của góc 1350. Giaûi:. K y 0. x. O. y. ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ M. y0. ...................................................................................................................... ....................................................................................................................... 1350. x0. x. O. * Chuù yù:  Neáu  laø goùc tuø thì cos, tancot   tan chæ xaùc ñònh khi  ≠ 900, cot chæ xaùc ñònh khi  ≠ 00 vaø  ≠ 1800. 2. Tính chaát: y. 0. sin(108 -  = sin cos(1080 -  = -cos tan(1080 -  = -tan cot(1080 -  = -cot. N. M y0.  -x0. 120. O. x0. x.

(121) Hồ Xuân Trọng. Hình học 10. 3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt:  Giaù trò 00. 300. 450. 600. 900. 1 2. 2 2 2 2. 3 2 1 2. 1. 3. . 1. 1 3. 0. lượng giác. sin. 0. cos. 1. tan. 0. cot. . 3 2 1. 3 3. 1 0. Ví dụ: Tìm các giá trị lượng giác của các góc 1200 và 1500. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... 4. Góc giữa hai vectơ:    Định nghĩa: Cho hai vectơ a và b đều khác vectơ 0 . Từ   một điểm O bất kì ta vẽ OA  a và OB  b . Góc AOB với   số đo từ 00 đến 1800 được gọi là góc giữa hai vectơ a và b .     Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ a và b là (a, b ) .     Nếu (a, b ) = 900 thì ta nói rằng a và b vuông góc với     nhau, kí hiệu là a  b hoặc b  a .     * Chú ý: Từ định nghĩa ta có (a, b ) = (b, a). A. b. a. a B. b O. Ví duï: Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A vaø coù goùc B = 500. Tính caùc goùc ( BA, BC ), ( AB, BC ), ( CA, CB ), ( AC, BC ), ( AC, CB ), ( AC, BA ). Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... 5. Sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trị lượng giác của một góc:  Tính các giá trị lượng giác của góc : AÁn MODE khi maøn hình xuaát hieän. Deg Rad Gra 1 2 3. "Độ". ấn 1 để chọn đơn vị đo góc là "độ".. "Radian". 121.

(122) Hồ Xuân Trọng. Hình học 10. Để tính sin, cos, tan của một góc  ấn sin, cos hay tan  ấn góc . Ví dụ: Tính sin của góc  = 63052'41'' ta thực hiện: AÁn sin  aán 63  aán o'''  aán 52 aán o'''  aán 41 aán o'''  aán = ta được kết quả  0.897859012 0 * Chuù yù: 1 = 60', 1' = 60''.  Xác định độ lớn của góc khi biết giá trị lượng giác của góc đó: Để xác định xem giá trị a là sin, cos, tan của góc  là bao nhiêu độ ta thực hiện:  Choïn ñôn vò cho maùy laø "Deg" aán sin-1, cos-1 hay tan-1  aán soá a  aán = Ví dụ: Tìm góc x biết sinx = 0.3502 ta thực hiện: AÁn sin-1  aán 0.3502  aán =   SHIFT  aán o''' ta được kết quả 20029'58''. 6. Công thức sin2 + cos2: y Với mọi góc  bất kì ta có: sin2 + cos2 * Chú ý: (sin)2 được kí hiệu sin2.. M. K. Ví duï1: sin2(2a) + cos2(2a) = ............................. x x sin2 + cos2 = ............................. 2 2. R. . O. H. x. Ví dụ 2: Cho góc tù x biết sinx = 0,2. Hãy tính các giá trị lượng giác của góc x. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................  Ghi chuù: ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. 122.

(123) Hồ Xuân Trọng. Hình học 10. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Chứng minh rằng: a) sin1050 = sin750; b) cos1700 = -cos100; c) cos1220 = -cos580. Baøi 2: Tính 3sin1350 + cos600 + 4sin1500. Bài 3: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có: a) sin sin(B + C); b) cosA = -cos(B + C). 1 Bài 4: Cho góc x, với cosx = . Tính giá trị của biểu thức P = 3sin2x + cos2x. 3 Bài 5: Cho AOB là tam giác cân tại O có OA = a và có các đường cao OH và AK. Giả sử góc AOH bằng . Tính AK vaø OK theo a vaø . Baøi 6: Cho hình vuoâng ABCD. Tính: cos( AC , BA) , sin( AC, BD) , cos( AB, CD ) . CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 123.

(124) Hồ Xuân Trọng. Hình học 10. §2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 1. Ñònh nghóa:       Cho hai vectơ a và b đều khác vectơ 0 . Tích vô hướng của a và b là một số, kí hiệu là a.b , được xác định bởi công thức sau:      a.b  a b cos(a , b )      * Chú ý:  Nếu a = 0 hoặc b = 0 ta quy ước a.b = 0.        Với a và b khác vectơ 0 ta có a.b  0  a  b .         Khi a  b tích vô hướng a .a = a . a . cos 0 0 được kí hiệu là a 2 và số này được gọi là bình  phương vô hướng của vectơ a .  2 Ta có: a 2  a (bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của nó) Ví dụ: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và có chiều cao AH. Tính các tích vô hướng AB. AC , AC.CB , AH.BC . Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... 2. Các tính chất của tích vô hướng:    Với ba vectơ a, b , c bất kì và mọi số k ta có:   a.b  b.a      a.(b  c )  a.b  a.c      (ka).b  k (a.b )  a.(kb )     a 2  0, a 2  0  a  0 .. (tính chất giao hoán) (tính chaát phaân phoái). Từ các tính chất của tích vô hướng, ta có:            (a  b )2  a 2  2a.b  b 2  (a  b ) 2  a 2  2a.b  b 2.        (a  b )(a  b )  a 2  b 2. 3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng:     Trên mặt phẳng tọa độ (O, i , j ) , cho hai vectơ a  (a1 ; a2 ) , b  (b1 ; b2 ) . Khi đó:  a.b  a1b1  a2 b2    * Nhận xét: Cho hai vectơ a  (a1 ; a2 ) , b  (b1 ; b2 ) đều khác vectơ 0 . Ta có:    a  b  a.b  0 Ví dụ 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(2; 4), B(1; 2), C(6; 2). Chứng minh rằng AB  AC . Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... 124.

(125) Hồ Xuân Trọng. Hình học 10. Ví dụ 2: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm M(-3; 4), N(1; -3). Tìm điểm P trên trục Ox sao cho tam giaùc MNP vuoâng taïi P. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... 4. Ứng dụng:  a) Độ dài của vectơ: Độ dài của vectơ a  (a1 ; a2 ) được tính theo công thức:  2 2 a  a1  a2    b) Góc giữa hai vectơ: Cho hai vectơ a  (a1 ; a2 ) , b  (b1 ; b2 ) đều khác 0 thì ta có:  a1b1  a2 b2 a.b   cos( a, b )     ab a12  a22 . b12  b22 Ví dụ: Tính góc giữa hai vectơ OM  (2;1) và ON  (3;1) . Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... c) Khoảng cách giữa hai điểm: Khoảng cách giữa hai điểm A(xA; yA), B(xB; yB) được tính:. AB  AB  ( x B  x A ) 2  ( y B  y A )2 Ví dụ: Tính khoảng cách giữa hai điểm M(-2; 2), N(1; 1). Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................  Ghi chuù: ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 125.

(126) Hồ Xuân Trọng. Hình học 10. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = AC = a. Tính các tích vô hướng AB. AC , AC.CB . Bài 2: Cho tam giác đều ABC cạnh a, có trọng tâm G. a) Tính các tích vô hướng: AB.CA , GA.GB theo a. b) Tính sin(GA, GB) , cos( AB, CG ) , tan(GA, BG) , cot( AB, BC) .   Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy hãy tính góc giữa hai vectơ a, b trong các trường hợp sau:       a) a  (2;3), b  (6;4) ; b) a  (3;2),b  (5;1) ; c) a  (2;2 3 ), b  (3; 3 ) . Bài 4: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm A(7; -3), B(8; 4), C(1; 5), D(0; -2). Chứng minh tứ giác ABCD laø hình vuoâng. Bài 5: Trên mặt phẳng Oxy cho điểm A(-2; 1). Gọi B là điểm đối xứng với điểm A qua gốc tọa độ O. Tìm tọa độ của điểm C có tung độ bằng 2 sao cho tam giác ABC vuông ở C. Baøi 6: Treân maët phaúng Oxy, cho hai ñieåm A(1; 3), B(4; 2). a) Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA = DB; b) Tính chu vi tam giaùc OAB; c) Chứng tỏ OA vuông góc với AB và từ đó tính diện tích tam giác OAB. Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(2; 1), B(8; 9), C(5; -3). a) Chứng minh A, B, C không thẳng hàng. b) Tính: chu vi tam giác ABC, số đo góc A của ABC, tọa độ trực tâm H của ABC. Bài 8: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Với điểm M tùy ý, tính MA.MB theo AB và MI. Bài 9: Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng và biết OA = a, OB = b. Tính tích vô hướng OA.OB trong hai trường hợp: a) Điểm O nằm ngoài đoạn AB; b) Điểm O nằm trong đoạn AB. Bài 10: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Gọi M và N là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho hai daây cung AM vaø BN caét nhau taïi I. a) Chứng minh AI . AM  AI . AB và BI .BN  BI .BA . b) Hãy dùng kết quả câu a) để tính AI. AM + BI.BN theo R. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 126.

(127) Hồ Xuân Trọng. Hình học 10. §3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VAØ GIẢI TAM GIÁC 1. Ñònh lí coâsin: a) Định lí: Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c ta coù:. A b. c. a2 = b2 + c2 - 2bccosA b2 = a2 + c2 - 2accosB c2 = a2 + b2 - 2abcosC. B. a. C. b) Heä quaû:. b2  c2  a 2 a2  c2  b2  cos B  2 bc 2 ac 2 2 2 a b c  cos C  2 ab Ví dụ: Tam giác ABC có BC = 8, AB = 3, AC = 7. Lấy điểm D trên cạnh BC sao cho BD = 5. Tính độ dài đoạn AD. Giaûi:  cos A . ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... c) Công thức tính độ dài đường trung tuyến: Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b, AB = c. Gọi ma, mb, mc là độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A, B và C. Ta có: A b2  c2 a2  2 4 ma b c 2 2 a c b2 2  mb  2 4 mc mb 2 2 2  a b c C a  mc2  B M 2 4 Ví dụ: Cho tam giác ABC có a = 7cm, b = 8cm, c = 6cm. Hãy tính độ dài các đường trung tuyến của tam giác ABC đã cho. Giaûi:. ma2 . ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... 127.

(128) Hồ Xuân Trọng. Hình học 10. ...................................................................................................................... ................................................................................................................... 2. Ñònh lí sin: Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC, ta coù: a b c    2R sin A sin B sin C. A. b. c. O. R. a. B. Ví duï: Cho tam giaùc ABC coù b = 7cm, c = 5cm vaø cosA =. C. 3 . Tính a, sinA và bán kính đường tròn ngoại 5. tieáp ABC. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... 3. Công thức tính diện tích tam giác: Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b, AB = c. Gọi R và r lần lượt là bán kính đường tròn abc ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp ABC. Gọi p = là nửa chu vi ABC. Kí hiệu ha, hb, hc là chiều 2 cao của ABC ứng với các đỉnh A, B, C và S là diện tích ABC. Ta có: 1 1 1 aha  bhb  chc moät phaàn hai caïnh 2 2 2 đáy nhân chiều cao 1 1 1 S = ab sin C  bc sin A  ac sin B 2 2 2 abc S= nửa tích số hai cạnh 4R nhân sin góc xen giữa S = pr S = p( p  a)( p  b)( p  c) (công thức Hê-rông). A. S=. c. b ha. O R. r. B. a. C. Ví duï 1: Cho tam giaùc ABC coù caùc caïnh a = 13m, b = 14m vaø c = 15m. a) Tính dieän tích tam giaùc ABC; b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... 128.

(129) Hồ Xuân Trọng. Hình học 10. ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... Ví duï 2: Tam giaùc ABC coù caïnh a = 2 3 , caïnh b = 2 vaø goùc C = 300. Tính caïnh c, goùc A vaø dieän tích tam giaùc ABC. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... 4. Giải tam giác và ứng dụng vào việc đo đạc: a) Giaûi tam giaùc: Giaûi tam giaùc laø tìm moät soá yeáu toá cuûa tam giaùc khi cho bieát caùc yeâu toá khaùc. Ví duï 1:Cho tam giaùc ABC bieát caïnh a = 17,4m, goùc B = 44030' vaø goùc C = 640. Tính goùc A vaø caùc caïnh b, c. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... Ví duï 2: Cho tam giaùc ABC coù caïnh a = 49,4cm, b = 26,4cm vaø goùc C = 47020'. Tính caïnh c, goùc A vaø goùc B. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... 129.

(130) Hồ Xuân Trọng. Hình học 10. ...................................................................................................................... ................................................................................................................... b) Ứng dụng vào việc đo đạc:  Vấn đề 1: Để đo chiều cao của một cây trong sân (không leo lên cây) ta làm như thế nào?. ................................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................... .................................................................................................................................. ................................................................................................................... .................................................................................................................................. ................................................................................................................... .................................................................................................................................. ................................................................................................................... .................................................................................................................................. ................................................................................................................... .................................................................................................................................. ................................................................................................................... ................................................................................................................................. ...................................................................................................................  Vấn đề 2: Muốn biết con sông rộng bao nhiêu ta làm sao? (không có phương tiện qua sông). ................................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................................... ................................................................................................................... .................................................................................................................................. ................................................................................................................... .................................................................................................................................. ................................................................................................................... .................................................................................................................................. ................................................................................................................... .................................................................................................................................. ................................................................................................................... .................................................................................................................................. ................................................................................................................... .................................................................................................................................. ................................................................................................................... 130.

(131) Hồ Xuân Trọng. Hình học 10. .................................................................................................................................. ...................................................................................................................  Ghi chuù: ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Cho tam giác ABC có a = 6 , b = 2, c = 3 + 1. Tính các góc A, B, bán kính R của đường tròn ngoại tiếp, trung tuyến ma của tam giác ABC. Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, góc B = 580 và cạnh a = 72cm. Tính góc C, cạnh b, cạnh c và đường cao ha. Baøi 3: Cho tam giaùc ABC bieát caùc caïnh a = 52,1cm, b = 85cm vaø c = 54cm. Tính caùc goùc A, B vaø C. Baøi 4: Cho tam giaùc ABC coù goùc A = 1200, caïnh b = 8cm vaø c = 5cm. Tính caïnh a vaø caùc goùc B, C cuûa tam giác đó. Bài 5: Tính diện tích S của tam giác có số đo các cạnh lần lượt là 7, 9 và 12. Baøi 6: Tam giaùc ABC coù goùc A = 1200. Tính caïnh BC cho bieát caïnh AC = m vaø AB = n. Baøi 7: Cho tam giaùc ABC coù caùc caïnh a = 8cm, b = 10cm vaø c = 13cm. a) Tam giác đó có góc tù không? b) Tính độ dài đường trung tuyến MA của tam giác ABC đó. Bài 8: Tính các góc lớn nhất của tam giác ABC biết a) Caùc caïnh a = 3cm, b = 4cm vaø c = 6cm; b) Caùc caïnh a = 40cm, b = 13cm vaø c = 37cm. Baøi 9: Cho tam giaùc ABC bieát caïnh a = 137,5cm, goùc B = 830 vaø goùc C = 570. Tính goùc A, baùn kính R cuûa đường tròn ngoại tiếp, cạnh b và c của tam giác. Bài 10: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có: a) a = bcosC + ccosB; b) sinA = sinBcosC + sinCcosB. b2  c 2  a 2 . Bài 11: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có: cotA = 4S Bài 12: Cho hình bình hành ABCD có AB = a, BC = b, BD = m và AC = n. Chứng minh ta có đẳng thức sau: m2 + n2 = 2(a2 + b2). CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 131.

(132) Hồ Xuân Trọng. Hình học 10. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 132.

(133) Hồ Xuân Trọng. Hình học 10. * OÂN TAÄP CHÖÔNG II * ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................ 133.

(134) Hồ Xuân Trọng. Hình học 10. ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................ BAØI TAÄP REØN LUYEÄN.    Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho vectơ a  (3;1) và vectơ b  (2;2) , hãy tính tích vô hướng a.b . Bài 2: Cho tam giác ABC có góc A = 600, BC = 6. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Baøi 3: Cho tam giaùc ABC coù a = 12, b = 16, c = 20. Tính dieän tích S cuûa tam giaùc, chieàu cao ha, caùc baùn kính R, r của các đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác và đường trung tuyến ma của tam giác. Bài 4: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: a) Goùc A nhoïn khi vaø chæ khi a2 < b2 + c2; b) Goùc A tuø khi vaø chæ khi a2 > b2 + c2; c) Goùc A vuoâng khi vaø chæ khi a2 = b2 + c2. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 134.

(135) Hồ Xuân Trọng. Hình học 10. CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG ----- oOo -----.  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: 1. Đường thẳng y = ax + b: Đồ thị hàm số y = ax + b là một đường thẳng gọi là đường thẳng y = ax + b. 2. Hệ số góc của đường thẳng: y d. x. .  Tang của góc  tạo bởi đường thẳng d với trục Ox được gọi là hệ số góc của đường thẳng d. k = tan  Đường thẳng y = ax + b có hệ số góc là a.. O. 3. Đường tròn:  Đường tròn tâm O, bán kính R là hình gồm các điểm cách đều điểm O một khoảng bằng R. Đường tròn tâm O, bán kính R thường được kí hiệu C(O; R). C(O; R) = {M  OM = R}  Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng tiếp xúc Tieáp ñieåm M với đường tròn tại một điểm. R  Tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với bán kính tại Tiếp tuyến của đường tròn tieáp ñieåm. O  Đường thẳng  tiếp xúc với đường tròn (O; R) khi và chỉ khi khoảng cách từ O đến  bằng bán kính R. 4. Quan hệ giữa hai vectơ:  Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.      u cuøng phöông v k  R\{0} : u =k v .     u  v  u.v = 0.  Ghi chuù: ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 135.

(136) Hồ Xuân Trọng. Hình học 10. §1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng:  Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng  là đồ thị của hàm số y . 1. x. 2 a) Tìm tung độ của hai điểm M0 và M nằm trên  , có hoành độ lần lượt là 2 và 6.. b) Cho vectơ u  2;1 . Hãy chứng tỏ M 0 M cùng phương với. u..  Vectơ u được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng  nếu    u  0 và giá của u song song hoặc trùng với . Nhaän xeùt:    Nếu u là một vectơ chỉ phương của đường thẳng  thì ku (k ≠ 0) cũng là một vectơ chỉ phương của . Do đó một đường thaúng coù voâ soá vectô chæ phöông.  Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.. y Vectơ chỉ phương của đườ ng thẳng. u v. x O. 2. Phương trình tham số của đường thẳng: a) Ñònh nghóa:  Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng  đi qua điểm M0(x0; y0) và nhận vectơ u  (u1 ; u2 ) làm vectơ.  x  x 0  u1t chæ phöông coù phöông trình tham soá laø:  , trong đó t  R là tham số.  y  y 0  u2 t. x  5  6t.  Hãy tìm ít nhất ba điểm trên đường thẳng : . y  2  8t. vaø hai vectô chæ phöông cuûa noù.. b) Liên hệ giữa vectơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng:  u Nếu đường thẳng  có vectơ chỉ phương u  (u1 ; u2 ) với u1 ≠ 0 thì  có hệ số góc k  2 . u1 Ví dụ: Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua hai điểm A(2; 3) và B(3; 1). Tính hệ số góc cuûa d. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... 3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng:. x  5  2t.  Cho đường thẳng : . y  4  3t. và vectơ n  3; 2  . Hãy chứng tỏ n vuông góc với vectơ chỉ phương của .. 136.

(137) Hồ Xuân Trọng. Hình học 10.  Vectơ n được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng. y.  nếu n  0 và n vuông góc với vectơ chỉ phương của  . Nhaän xeùt:  Nếu n là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng  thì k n k  0  cũng là một vectơ pháp tuyến của . Do đó một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến.  Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu bieát moät ñieåm vaø moät vectô phaùp tuyeán cuûa noù.. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng. u n. x O. 4. Phương trình tổng quát của đường thẳng: a) Ñònh nghóa: Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng  đi qua điểm M0(x0; y0) và nhận n  a; b  làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là: a(x - x0) + b(y - y0) = 0 hay ax + by + c = 0 với c = ax0 + by0. Nhận xét: Nếu đường thẳng  có phương trình tổng quát ax + by + c = 0 thì  có một vectơ pháp   tuyeán laø n = (a; b) vaø coù moät vectô chæ phöông laø u = (-b; a). Ví dụ: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng  đi qua hai điểm A(2; 2) và B(4; 3). Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... b) Các trường hợp đặc biệt: Cho đường thẳng  có phương trình tổng quát ax + by + c = 0 (1) y. c  Nếu a = 0 thì (1) trở thành bx + c = 0 hay y   . b. Khi đó đường thẳng  vuông góc với trục Oy tại điểm (0; . -. c ). b. c b. x O. y.  Nếu b = 0 thì (1) trở thành ax + c = 0 hay x = . c . a. c Khi đó đường thẳng  vuông góc với trục Ox tại điểm (  ;0 ). a. -. O. 137. c a. x.

(138) Hồ Xuân Trọng. Hình học 10 y.  Nếu c = 0 thì (1) trở thành ac + by = 0. Khi đó đường thẳng  đi qua gốc tọa độ O. x. O.  Nếu a, b, c đều khác 0 ta có thể đưa (1) về dạng. x y   1 với a0 b0. c c a0   , b0   . Đây là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn a b cuûa  . Đường thẳng này cắt Ox và Oy lần lượt tại M(a0; O) và N(0; b0).. y -. c b. -. O. c a. x. 5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng: Xét hai đường thẳng 1 và 2 có phương trình tổng quát lần lượt là: a1x + b1y + c1 = 0 vaø a2x + b2y + c2 = 0. a x  b1 y  c1  0 Tọa độ giao điểm của 1 và  2 là nghiệm của hệ phương trình:  1 a2 x  b2 y  c2  0 Ta có các trường hợp sau: a) Heä (I) coù moät nghieäm (x0; y0)  caét  2 taïi ñieåm M 0  x0 ; y0  .. (I). b) Heä (I) coù voâ soá nghieäm  1 truøng  2 . c) Heä (I) voâ nghieäm  1 song song  2 . Ví dụ : Cho đường thẳng d có phương trình x - y + 1 = 0, xét vị trí tương đối của d với mỗi đường thẳng sau: 1: 2x + y - 4 = 0, 2: x - y - 1 = 0, 3: 2x - 2y + 2 = 0. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... 138.

(139) Hồ Xuân Trọng. Hình học 10. ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... 6. Góc giữa hai đường thẳng:  Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I và các cạnh AB = 1, AD = Tính soá ño caùc goùc AID vaø DIC .. A. 3.. D. I B. Cho hai đường thẳng 1: a1x + b1y + c1 = 0, 2: a2x + b2y + c2 = 0. Góc giữa hai đường thẳng 1, 2 được kí hiệu là (1, 2). a1 a2  b1 b2 . Đặt  = (1, 2), khi đó ta có: cos   a12  b12 a22  b22. C. n1  n2 . 1. 2. Ví dụ: Tính góc giữa hai đường thẳng 1: 3x - y + 9 = 0 và 2: 2x - 4y + 19 = 0. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... * Chuù yù:    1  2  n1  n2  a1a2 + b1b2 = 0.  Nếu 1 và 2 lần lượt có phương trình y = k1x + m1 và y = k2x + m2 thì 1  2  k1.k2 = -1. 7. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng  có phương trình ax + by + c = 0 và điểm M0(x0; y0). Khoảng cách từ điểm M0 đến đường thẳng , kí hiệu là d(M0, ), được tính bởi công thức: ax 0  by0  c d M 0 ,    . a 2  b2 Ví dụ: Tính khoảng cách từ các điểm M(-2; 1) và O đến đường thẳng  có phương trình 3x - 2y - 1 = 0. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................  Ghi chuù: ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 139.

(140) Hồ Xuân Trọng. Hình học 10. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Lập phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:  a) d ñi qua ñieåm M(2; 1) vaø coù vectô chæ phöông u = (3; 4).  b) d ñi qua ñieåm M(-2; 3) vaø coù vectô phaùp tuyeán laø n =(5; 1). Bài 2: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng  trong mỗi trường hợp sau: a)  ñi qua M(-5; -8) vaø coù heä soá goùc k = -3; b)  ñi qua hai ñieåm A(2; 1) vaø B(-4; 5). Bài 3: Viết phương trình tổng quát, phương trình tham số của đường thẳng  trong mỗi trường hợp sau: a)  đi qua điểm A(1; -2) và song song đường thẳng d: 2x - 3y - 3 = 0. a)  ñi qua hai ñieåm M(1; -1) vaø N(3; 2). a)  đi qua điểm P(2; 1) và vuông góc đường thẳng d: x - y + 5 = 0. Baøi 4: Cho tam giaùc ABC, bieát A(1; 4), B(3; -1) vaø C(6; 2). a) Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng AB, BC và CA; b) Lập phương trình tổng quát của đường cao AH và trung tuyến AM. Baøi 5: Cho tam giaùc ABC, bieát A(-4; 1), B(2; 4) vaø C(2; -2). a) Tính cosA; b) Tính khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB. Bài 6: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d1 và d2 sau đây: x  5  t a) d1 : 4 x  10 y  1  0 vaø d 2 : x  y  2  0 ; b) d1 : 12 x  6 y  10  0 vaø d2 :  ;  y  3  2t  x  6  5t  x  1  5t  x  6  5t' c) d1 : 8 x  10 y  12  0 vaø d2 :  ; d) d1 :  vaø d2 :  . y  3  t  y  2  4t  y  2  4t'  x  2  2t Bài 7: Cho đường thẳng d có phương trình tham số  . Tìm ñieåm M thuoäc d vaø caùch ñieåm A(0; 1) y  3  t một khoảng bằng 5. Bài 8: Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng d1: 4x - 2y + 6 = 0 và d2: x - 3y + 1 = 0. Bài 9: Tìm khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng trong các trường hợp sau: a) A(3; 5), : 4x + 3y + 1 = 0; b) B(1; -2), d: 3x - 4y - 26 = 0; c) C(1; 2), m: 3x + 4y - 11 = 0. Bài 10: Tìm bán kính của đường tròn tâm C(-2; -2) tiếp xúc với đường thẳng : 5x + 12y - 10 = 0. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 140.

(141) Hồ Xuân Trọng. Hình học 10. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 141.

(142) Hồ Xuân Trọng. Hình học 10. §2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN 1. Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước: y. Đường tròn tâm I(a; b), bán kính R có phương trình là:. M(x; y) R. (x - a)2 + (y - b)2 = R2.. b. * Chú ý: Phương trình đường tròn có tâm là gốc tọa độ O vaø coù baùn kính R laø: x2 + y2 = R2.. I(a; b). x O. a. Ví dụ: Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau: a) (C) coù taâm I(1; -2) vaø ñi qua ñieåm A(3; 5). b) (C) nhận AB làm đường kính với A(3; -4) và B(-3; 4). c) (C) có tâm I(1; -2) và tiếp xúc với đường thẳng x + y = 1. d) (C) ñi qua 3 ñieåm M(1; 2), N(5; 2) vaø P(1; -3). Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... 2. Nhaän xeùt:. 142.

(143) Hồ Xuân Trọng. Hình học 10. Phương trình x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn (C) khi và chỉ khi a2 + b2 - c > 0. Khi đó (C) có bán kình là R = a 2  b 2  c . Ví dụ: Tìm tọa độ tâm và độ dài bán kính của đường tròn (C) x2 + y2 - 2x + 4y - 5 = 0. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................  Hãy cho biết phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn: 2x2 + y2 - 8x + 2y - 1 = 0; x2 + y2 + 2x - 4y - 4 = 0; 2 2 x2 + y2 + 6x + 2y + 10 = 0. x + y - 2x - 6y + 20 = 0;. 3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn: M. Cho đường tròn (C) tâm I(a; b), bán kính R. Tiếp tuyến  tại điểm M(x0; y0) nằm trên đường tròn (C) có phöông trình: (x0 - a)(x - x0) + (y0 - b)(y - y0) = 0. M0. I. Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M(3; 4) thuộc đường tròn (C): (x - 1)2 + (y - 2)2 = 8. Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................  Ghi chuù: ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 143.

(144) Hồ Xuân Trọng. Hình học 10. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau: a) x2 + y2 - 2x - 2y - 2 = 0; b) 16x2 + 16y2 + 16x - 8y - 11 = 0; c) x2 + y2 - 4x + 6y - 3 = 0. Bài 2: Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau: a) (C) coù taâm I(-2; 3) vaø ñi qua M(2; -3); b) (C) có tâm I(-1; 2) và tiếp xúc với đường thẳng x - 2y + 7 = 0; c) (C) có đường kính AB với A(1; 1) và B(7; 5). Bài 3: Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm: a) A(1; 2), B(5; 2), C(1; -3). b) M(-2; 3), N(5; 5), P(6; -2). Bài 4: Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy và đi qua điểm M(2; 1). Bài 5: Cho đường tròn có phương trình x2 + y2 - 4x + 8y - 5 = 0. a) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm A(-1; 0); b) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn, biết rằng nó vuông góc với đường thẳng x + 2y = 0. Bài 6: Lập phương trình của đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm ở trên đường thẳng  có phöông trình 4x - 2y - 8 = 0. Bài 7: Cho đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 - 4x + 8y - 5 = 0. a) Tìm tọa độ tâm và bán kính của (C); b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) đi qua điểm A(-1; 0); c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) vuông góc với đường thẳng 3x - 4y + 5 = 0. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 144.

(145) Hồ Xuân Trọng. Hình học 10. §3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP 1. Định nghĩa đường elip:  Cho hai điểm cố định F1 , F2 và một độ dài không đổi 2a lớn hơn F1 F2 . Elip là tập hợp các điểm M trong maët phaúng sao cho: F1 M  F2 M  2a.  Các điểm F1 và F2 gọi là các tiêu điểm của elip. Độ dài F1 F2  2c gọi là tiêu cự của elip. 2. Phöông trình chính taéc cuûa elip: Cho elip (E) có các tiêu điểm F1 và F2. Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho F1(-c; 0), F2(c; 0). Khi đó phương trình chính tắc của elip (E) coù daïng: x2 y2   1 với b2 = a2 - c2 a2 b2. B2. M(x; y). A1. A2. O. F1. F2. x. B1. 3. Hình daïng cuûa elip:  (E) có các trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối xứng là gốc O. b B  (E) caét truïc Ox taïi hai ñieåm A1(-a; 0), A2(a; 0) vaø caét  (E) caét truïc Oy taïi hai ñieåm B1(0; -b), B2(0; b). A A -a F (-c; 0) O F (c; 0) a x  Caùc ñieåm A1, A2, B1, B2 goïi laø caùc ñænh cuûa elip.  Đoạn thẳng A1A2 gọi là trục lớn, đoạn thẳng B1B2 gọi là trục -b B nhoû cuûa elip. c  Tỉ số = e được gọi là tâm sai của elip. a x2 y2  1 . Hãy xác định các đỉnh, tiêu điểm và độ dài các trục của elip  E  . Ví duï 1: Cho elip  E  :  9 1 Giaûi: 2. 2. 1. 1. 2. 1. ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... Ví duï 2: Vieát phöông trình chính taéc cuûa elip (E) bieát: a) (E) có độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6; 3 b) (E) có độ dài trục lớn bằng 8, tăm sai e = . 2 Giaûi: ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... 145.

(146) Hồ Xuân Trọng. Hình học 10. ...................................................................................................................... ................................................................................................................... ...................................................................................................................... ................................................................................................................... 4. Liên hệ giữa đường tròn và đường elip: a) Từ hệ thức b 2  a 2  c 2 ta thấy nếu tiêu cự của elip càng nhỏ thì b càng gần bằng a, tức là trục nhỏ của elip càng gần bằng trục lớn. Lúc đó elip có dạng gần như đường tròn. b) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình 2 x  y 2  a 2 . Với mỗi điểm M(x; y) thuộc đường tòn ta xét điểm M'(x'; y')  x '  x b (với 0 < b < a) thì tập hợp các điểm M’ có tọa độ thỏa sao cho  '  y y  a x ' 2 y' 2 mãn phương trình 2  2  1 là một elip (E). Khi đó ta nói đường tròn a b (C) được co thành elip (E).  Ghi chuù:. y M(x; y) M'(x'; y'). O. H. x. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Xác định độ dài các trục, tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh của các elip có phương trình sau: x2 y2   1; a) b) 4x2 + 9y2 = 1; c) 4x2 + 9y2 = 36. 25 9 Baøi 2: Laäp phöông trình chính taéc cuûa elip (E) , bieát: 12 a) (E) có độ dài trục lớn, trục nhỏ lần lượt là 8 và 6; b) (E) ñi qua hai ñieåm M(0; 3), N(3;  ); 5 3 c) Elip coù moät tieâu ñieåm laø F1(  3 ; 0) vaø ñieåm M(1; ) naèm treân (E). 2 Bài 3: Để cắt một bảng hiệu quảng cáo hình elip có trục lớn là 80 cm và trục nhỏ là 40 cm từ một tấm ván ép hình chữ nhật có kích thước 80 cm x 40 cm, người ta vẽ hình elip đó lên tấm ván ép như hình 3.19. Hỏi phải ghim hai cái đinh cách các mép tấm ván ép bao nhiêu và lấy vòng dây có độ dài là bao nhiêu? CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 146.

(147) Hồ Xuân Trọng. Hình học 10. * OÂN TAÄP CHÖÔNG III * ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................ 147.

(148) Hồ Xuân Trọng. Hình học 10. ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................ BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD. Biết các đỉnh A(5; 1), C(0; 6) và phương trình CD: x + 2y - 12 = 0. Tìm phương trình các đường thẳng chứa các cạnh còn lại. Baøi 2: Cho ba ñieåm A(4; 3), B(2; 7) vaø C(-3; -8).. a) Tìm tọa độ của trọng tâm G và trực tâm H của tam giác ABC; b) Gọi T là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh T, G và H thẳng hàng; c) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Bài 3: Lập phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi đường thẳng : 3 x  4 y  12  0 và đường thaúng d: 12 x  5 y  7  0 . Bài 4: Tìm góc giữa hai đường thẳng 1 và  2 trong các trường hợp sau: 1 3 a) 1 : 2 x  y  4  0 vaø  2 : 5 x  2 y  3  0 ; b) 1 : y  2 x  4 vaø  2 : y  x  . 2 2 x2 y2   1 . Tìm tọa độ các đỉnh, các tiêu điểm và vẽ elip đó. Baøi 5: Cho elip (E): 16 9 Bài 6: Cho đường thẳng : x - y + 2 = 0 và hai điểm O, A(2; 0). a) Tìm điểm đối xứng của O qua  ; b) Tìm điểm M trên  sao cho độ dài đường gấp khúc OMA ngắn nhất. Bài 7: Cho đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính bằng 3. Chứng minh rằng tập hợp các điểm M mà từ đó ta vẽ được hai tiếp tuyến với (C) tạo với nhau một góc 600 là một đường tròn. Hãy viết phương trình đường tròn đó. Bài 8: Cho A(1; 2), B(-3; 1) và C(4; -2). Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA2  MB 2  MC 2 . Bài 9: Tìm tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng 1: 5x + 3y - 3 = 0 và 2: 5x + 3y + 7 = 0. Bài 10: Ta biết rằng Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất theo một quỹ đạo là một elip mà Trái Đất là một tiêu điểm. Elip đó có chiều dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là 769 266 km và 769 106 km. Tính khoảng cách ngắn nhất và khoảng cách dài nhất từ Trái Đất đến Mặt Trăng, biết rằng các khoảng cách đó đạt được khi Trái Đất và Mặt Trăng nằm trên trục lớn của elip. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 148.

(149) Hồ Xuân Trọng. Hình học 10. * OÂN TAÄP CUOÁI NAÊM *         Bài 1: Cho hai vectơ a và b có a = 3, b = 5, ( a, b ) = 1200. Với giá trị nào của m thì hai vectơ a  mb và   a  mb vuông góc với nhau? Baøi 2: Cho tam giaùc ABC vaø hai ñieåm M, N sao cho AM   AB , AM   AC . 2 2 a) Haõy veõ M, N khi  = ,  =  ; 3 3 b) Hãy tìm mối liên hệ giữa  và  để MN song song với BC. Bài 3: Cho tam giác đều ABC cạnh a. a) Cho M là một điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính MA 2  MB 2  MC 2 theo a; b) Cho đường thẳng d tùy ý, tìm điểm N trên đường thẳng d sao cho NA 2  NB 2  NC 2 nhỏ nhất. Bài 4: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 6 cm. Một điểm M nằm trên cạnh BC sao cho BM = 2 cm. a) Tính độ dài của đoạn thẳng AM và tính côsin của góc BAM; b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM; c) Tính độ dài đường trung tuyến vẽ từ đỉnh C của tam giác ACM; d) Tính dieän tích tam giaùc ABM. Bài 5: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC đều có: a) a = bcosC + ccosB; b) sinA = sinBcosC + sinCcosB; c) ha = 2RsinBsinC. Baøi 6: Cho caùc ñieåm A(2;3 ), B(9; 4), M(5; y) vaø P(x; 2). a) Tìm y để tam giác AMB vuông tại M; b) Tìm x để ba điểm A, P và B thẳng hàng. Bài 7: Cho tam giác ABC với H là trực tâm. Biết phương trình của đường thẳng AB, BH và AH lần lượt là 4x + y - 12 = 0, 5x - 4y - 15 = 0 và 2x + 2y - 9 = 0. Hãy viết phương trình hai đường thẳng chứa hai cạnh còn lại và đường cao thứ ba. Bài 8: Lập phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng : 4x + 3y - 2 = 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng d1: x + y + 4 = 0 và d2: 7x - y + 4 = 0. x2 y2   1. Baøi 9: Cho elip (E): 100 36 a) Hãy xác định tọa độ của đỉnh, các tiêu điểm của elip (E) và vẽ elip đó; b) Qua tiêu điểm của elip dựng đường thẳng song song với Oy và cắt elip tại hai điểm M và N. Tính độ dài đoạn MN. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 149.

(150) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HAØM ĐỂ KHẢO SÁT HAØM SỐ ----- oOo -----.  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: 1. Các giá trị lượng giác của cung (góc) :  sin luoân xaùc ñònh  R vaø sin( + k2) = sin cos luoân xaùc ñònh  R vaø cos( + k2) = cos  - 1  sin  1 (sin 1). - 1  cos  1 (cos  1).  tan xaùc ñònh khi  . .  k vaø tan(k) = tan; 2 cot xaùc ñònh khi   k vaø cot( + k) = cot.  Dấu của các giá trị lượng giác của góc  Phaàn tö Giá trị lượng giác sin cos tan cot. I. II. III. IV. + + + +. + -. + +. + -. 2. Bảng các giá trị lượng giác đặc biệt: . 0 (00). sin. 0. cos. 1. tan. 0. cot. kxñ.  (300) 6 1 2 3 2 1. 3. 3.  (450) 4.  (600) 3. 2 2 2 2. 3 2 1 2. 1. 3 1. 1. 3. 3. Công thức lượng giác cơ bản:  sin2 + cos2 = 1.  1  tan 2  .  (900) 2 1 0 kxñ 0. 1  (   k , k  Z). 2 2 cos . 1  (  k, k  Z).  tan.cot = 1 (   k , k  Z). 2 2 sin  4. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt: Cung đối:(-) và  Cung hôn keùm : ( + ) vaø  Cung buø:( - ) vaø  Cung phuï:(  - ) vaø  2 sin(-) = -sin sin( - ) = sin sin( + ) = -sin  sin( - ) = cos cos(-) = cos cos( - ) = -cos cos( + ) = -cos 2  1  cot 2  . 2. tan(-) = -tan. tan( - ) = -tan. cot(-) = -cot. cot( - ) = -cot.  - ) = sin 2  tan( - ) = cot 2  cot( - ) = tan 2 cos(. ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 150. tan( + ) = tan cot( + ) = cot.

(151) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. 5. Các công thức lượn giác thường sử dụng: Công thức cộng: Công thức nhân đôi: Công thức hạ bậc: 1  cos 2a cos(a - b) = cosacosb + sinasinb sin2a = 2sinacosa cos 2 a  2 2 cos(a + b) = cosacosb - sinasinb cos2a = cos a - sin a 2 2 1  cos 2a sin(a - b) = sinacosb - cosasinb = 2 cos a - 1 sin 2 a  2 2 sin(a + b) = sinacosb + cosasinb = 1 - 2sin a 1  cos 2a tan a  tan b 2tana tan 2 a  tan( a  b)  tan 2a  2 1  cos 2a 1  tan a tan b 1  tan a tan a  tan b tan( a  b)  1  tan a tan b Công thức biến tích thành tổng: Công thức biến đổi tổng thành tích: uv uv 1 cos cosacosb = [cos(a + b) + cos(a - b)] cosu + cosv = 2cos 2 2 2 uv uv 1 sinasinb =- [cos(a + b) - cos(a - b)] cosu - cosv = -2sin sin 2 2 2 uv uv 1 sinacosb = [sin(a + b) + sin(a - b)] sinu + sinv = 2sin cos 2 2 2 uv uv sinu - sinu = 2cos sin 2 2  Công thức nhân ba: sin3a = 3sina - 4sin3a cos3a = 4cos3a - 3cosa  Công thức sina + cosa: sina + cosa = sina + cosa =  Ghi chuù:.  ) 4  2 cos(a - ) 4.  ) 4  sina - cosa = - 2 cos(a + ) 4. 2 sin(a +. sina - cosa =. 2 sin(a -. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 151. 3.

(152) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. §1. HAØM SỐ LƯỢNG GIÁC I- ÑÒNH NGHÓA: 1. Haøm soá sin vaø haøm soá coâsin: a) Haøm soá sin: y. y B. sinx. M'. sinx. M. x A'. O. A. x. O. x. x. B'.  Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sinx sin: R  R x  y = sinx được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y = sinx  Taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá sin laø: D = R. b) Haøm soá coâsin: y. y B. M''. cosx. M. x A'. O. cosx. A. x. O. x. x. B'.  Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cosx cos: R  R x  y = cosx được gọi là hàm số côsin, kí hiệu là y = cosx  Taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá coâsin laø: D = R. 2. Haøm soá tang vaø haøm soá coâtang: a) Haøm soá tang: sin x  Hàm số tang là hàm số được xác định bởi công thức y = (cosx ≠ 0), kí hieäu laø y = tanx. cos x  Taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá y = tanx laø: D = R\{.  + k, k  Z}. 2. b) Haøm soá coâtang:  Hàm số côtang là hàm số được xác định bởi công thức y =. cos x (sinx ≠ 0), kí hieäu laø y = cotx. sin x.  Taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá y = cotx laø: D = R\{k, k  Z}.  Nhaéc laïi ñònh nghóa haøm soá chaün, haøm soá leû. Xeùt tính chaün, leû cuûa caùc haøm soá y = sin(x), y = cos(x), y = tan(x) vaø y = cot(x).. 4. ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 152.

(153) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. * Nhận xét: Hàm số y = sinx là hàm số lẻ, hàm số y = cosx là hàm số chẵn, từ đó suy ra các hàm số y = tanx và y = cotx đều là những hàm số lẻ. II- TÍNH TUẦN HOAØN CỦA HAØM SỐ LƯỢNG GIÁC:  Giải nghĩa từ tuần hoàn, lấy ví dụ thực tế đời sống. Tìm những số T sao cho f(x + T) = f(x) với mọi x thuộc tập xác định của các hàm số:. a) y = sinx;. b) y = tanx..  Hàm số y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kì 2.  Hàm số y = cosx là hàm số tuần hoàn với chu kì 2.  Hàm số y = tanx và y = cotx cũng là hàm số tuần hoàn, với chu kì . III- SỰ BIẾN THIÊN VAØ ĐỒ THỊ CỦA HAØM SỐ LƯỢNG GIÁC: 1. Haøm soá y = sinx:  Hàm số y = sinx xác định với mọi x  R và -1  sinx  1;  Laø haøm soá leû;  Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2. a) Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [0; ]:. x3 x4. y. y. B. 1 x2. sinx2 sinx1. A'. sinx2. x1. sinx1. A x. O. O. x1. x2. x3. . x4. . x. 2. B'.   ] vaø nghòch bieán treân [ ; ]. 2 2. Hàm số y = sinx đồng biến trên [0; Baûng bieán thieân:.  2. 0. x. . 1 y = sinx 0. 0 y 1. * Chú ý: Vì hàm số y = sinx là hàm số lẻ nên lấy đối xứng đồ thị hàm số trên đoạn [0; ] qua gốc tọa độ O, ta được đồ thị hàm số trên đoạn [-; 0].. -. -.  2. O.  2. . x. -1. b) Đồ thị hàm số y = sinx trên R: y -. 5 2. -2. - -. -. 1. . 3. . 2. 3. O. 2.  2. -1. 2. 2. 5 2. x. 2. ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 153. 5.

(154) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. c) Taäp giaù trò cuûa haøm soá y = sinx: Taäp giaù trò cuûa haøm soá y = sinx laø T = [-1; 1]. 2. Haøm soá y = cosx:  Hàm số y = cosx xác định với mọi x  R và -1  cosx  1;  Laø haøm soá chaün;  Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2;  Hàm số y = cosx đồng biến trên [-; 0] và nghịch biến trên [0; ].  Baûng bieán thieân: x - 0  1 y = cosx -1 -1  Đồ thị hàm số y = cosx:. y -. 1. 5 2. -. -. -2 -. 3. . . 2. O. 2. . 3 2. 2. 2. 2. -1.  Taäp giaù trò cuûa haøm soá y = cosx laø T = [-1; 1]. Đồ thị hàm số y = sinx, y = cosx được gọi chung là các đường hình sin. 3. Haøm soá y = tanx:  Taäp xaùc ñònh: D = R\{. . 2.  k , k  Z};.  Laø haøm soá leû;  Là hàm số tuần hoàn với chu kì ; a) Sự biến thiên của hàm số y = tanx trên nửa khoảng [0;.  ): 2. y. B. M2. T2. tanx2. T1. tanx1. A. O. M1. A'. O. x1 x2. B'. Hàm số y = tanx đồng biến trên nửa khoảng [0; 6.  ). 2. ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 154. 5.  2. x. x.

(155) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. Baûng bieán thieân:.  4. -. x.  2 +. y = tanx. 1 0. * Nhaän xeùt: Khi x caøng gaàn.   thì đồ thị hàm số y = tanx càng gần đường thẳng x = . 2 2. b) Đồ thị hàm số y = tanx trên D:.  .  Đồ thị hàm số y = tanx trên ( ; ) : 2 2 y. -. O.  2.  Đồ thị hàm số y = tanx trên D:. -3. 2. x. y. -. -. 2. . 3.  2. O. . . 2. 2. x.  Taäp giaù trò cuûa haøm soá y = tanx laø T = (-; +). 4. Haøm soá y = cotx:  Taäp xaùc ñònh: D = R\{k, k  Z};  Laø haøm soá chaün;  Là hàm số tuần hoàn với chu kì ; a) Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = cotx trên khoảng (0; ): Hàm số y = cotx nghịch biến trên khoảng (0; )..  2. 0. x. . + y = tanx. 0 -. ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 155. 7.

(156) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 y.  O.  2. x. b) Đồ thị hàm số y = cotx trên D: y. -2. -3 2. -. O -. . 2. . . 3. 2. 2. 2. x.  Taäp giaù trò cuûa haøm soá y = cotx laø T = (-; +).  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... 8. ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 156.

(157) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Hãy xác định các giá trị của x trên đoạn [-; a) Nhaän giaù trò baèng 0; c) Nhaän giaù trò döông; Baøi 2: Tìm taäp xaùc ñònh cuûa caùc haøm soá: 1  cos x 1  cos x a) y = ; b) y = ; 1  cos x sin x. 3 ] để hàm số y = tanx: 2 b) Nhaän giaù trò baèng 1; d) Nhaän giaù trò aâm.. . c) y = tan( x  ) ; 3. d) y = cot( x .  6. ).. 1 . 2 Bài 4: Dựa vào đồ thị hàm số y = sinx, tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị dương. Bài 5: Dựa vào đồ thị hàm số y = cosx, tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị âm. Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số: a) y = 2 cos x + 1; b) y = 3 - 2sinx. Bài 3: Dựa vào đồ thị hàm số y = cosx, tìm các giá trị của x để cosx =. Bài 7: Dựa vào đồ thị của hàm số y = sinx, hãy vẽ đồ thị của hàm số y = sinx. Bài 8: Chứng minh rằng sin2(x + k) = sin2x với mọi số nguyên k. Từ đó vẽ đồ thị hàm số y = sin2x. 2. Baøi taäp naâng cao: Baøi 1: Xeùt tính chaün - leû cuûa moãi haøm soá sau: a) y = -2sinx; b) y = 3sinx - 2; c) y = sinx - cosx; d) y = sinxcos2x + tanx. Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau: a) y = 2cos(x +.  ) + 3; 3. b) y = 1  sin( x 2 ) - 1;. c) y = 4sin x .. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 157. 9.

(158) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. §2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 1. Phöông trình sinx = a: Xeùt phöông trình sinx = a (a  R) (1) Trường hợp a > 1: phương trình (1) vô nghiệm Trường hợp a  1:  x    k 2 sinx = sin   (k  Z )  x      k 2 sinx = a. sin 1 M'. B. a K. A' -1. M. 1 A. O.  x  arcsin a  k 2 sinx = a   (k  Z )  x    arcsin a  k 2. coâsin. -1 B'. * Chuù yù: sin u( x )  sin .  u( x )    k 2 [ 0  k 360 0 ] (k  Z )   0 0 0 [sin u( x )  sin  0 ] u( x )      k 2 [180    k 360 ]  sinu(x) = a (-1  a  1) sin u( x )  a.  u( x )  arcsin a  k 2 [arcsin a  k 360 0 ] (k  Z )   0 0 (sin u( x )  a) u( x )    arcsin a  k 2 [180  arcsin a  k 360 ]  f ( x )  g( x )  k 2 (k  Z )  Toång quaùt: sin[f(x)] = sin[g(x)]    f ( x )    g( x )  k 2  Ñaëc bieät:.  + k2, k  Z 2  sin[f(x)] = -1  f(x) = - + k2, k  Z 2. sin[f(x)] = 1  f(x) =. sin[f(x)] = 0  f(x) = k, k  Z. Ví duï: Giaûi caùc phöông trình sau: 1 1 a) sinx = ; b) sinx = ; c) sin2x = 1; 2 5 Giaûi:. 10. d) sin(x + 450) = -. 2 . 2. ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 158.

(159) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. 2. Phöông trình cosx = a: Xeùt phöông trình cosx = a (a  R) (2) Trường hợp a > 1: phương trình (2) vô nghiệm Trường hợp a  1:  x    k 2 cosx = cos   (k  Z )  x    k 2 cosx = a. sin 1. B M. A' -1.  x  arccos a  k 2 cosx = a   (k  Z )  x   arccos a  k 2. 1 A. a. O. coâsin. H. M'. -1 B'. * Chuù yù:. cos u( x )  cos . u( x )    k 2 [ 0  k 360 0 ] (k  Z )   0 0 [cos u( x )  cos  0 ]  u( x )    k 2 [   k 360 ]  cosu(x) = a (-1  a  1) cos u( x )  a. u( x )  arccos a  k 2 [arccos a  k 360 0 ] (k  Z )   0 [cos u( x )  a]  u( x )   arccos a  k 2 [ arccos a  k 360 ]  f ( x )  g( x )  k 2  Toång quaùt: cos[f(x)] = cos[g(x)]   (k  Z )  f ( x )   g( x )  k 2  Ñaëc bieät: cos[f(x)] = 1  f(x) = k2, k  Z cos[f(x)] = -1  f(x) =  + k2, k  Z cos[f(x)] = 0  f(x) =.  + k, k  Z. 2. Ví duï: Giaûi caùc phöông trình sau: a) cosx = cos Giaûi:.  ; 6. b) cos3x = -. 2 ; 2. c) cosx =. 1 ; 3. d) cos(x + 600) =. 2 . 2. ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 159. 11.

(160) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. 3. Phöông trình tanx = a: tanx = tan  x =  + k, k  Z [x = 0 + k1800, k  Z] tanx = a tanx = a x = arctana + k, k  Z [x = arctana + k1800, k  Z] * Chuù yù: tan[u(x)] = tan  u(x) =  + k, k  Z [ux) = 0 + k1800, k  Z]  tan[u(x)] = a tan[u(x)] = a ux) = arctana + k, k  Z [ux) = arctana + k1800, k  Z]  Toång quaùt: tan[f(x)] = tan[g(x)]  f(x) = g(x) + k, k  Z.  Ñaëc bieät: tan[u(x)] = 0  u(x) = k, k  Z. Ví duï: Giaûi caùc phöông trình sau: 1  b) tan2x = - ; c) tan(3x + 150) = 3 . a) tanx = tan ; 3 5 Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... 4. Phöông trình cotx = a: cotx = cot  x =  + k, k  Z [x = 0 + k1800, k  Z] cotx = a cotx = a x = acrcota + k, k  Z [x = acrcota + k1800, k  Z] * Chuù yù: cot[u(x)] = cot  u(x) =  + k, k  Z [ux) = 0 + k1800, k  Z]  cot[u(x)] = a cot[u(x)] = a ux) = acrcota + k, k  Z [ux) = acrcota + k1800, k  Z]  Toång quaùt: cot[f(x)] = cot[g(x)]  f(x) = g(x) + k, k  Z.  Ñaëc bieät:. cot[u(x)] = 0  u(x) =. Ví duï: Giaûi caùc phöông trình sau: 2 a) cot4x = cot ; 7 12.  + k, k  Z. 2. b) cot3x = -2; ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 160. c) cot(2x - 100) =. 1 3. ..

(161) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ......................................................................................................................  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 161. 13.

(162) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Baøi 1: Giaûi caùc phöông trình sau: 1 a) sin(x + 2) = ; b) sin3x = 1; 3 2x  1 3  )=- ; c) sin( d) sin(x + 200) = . 3 3 2 2 Bài 2: Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = sin3x và y = sinx bằng nhau? Baøi 3: Giaûi caùc phöông trình sau: 2 a) cos(x - 1) = ; b) cos3x = cos120; 3 3x  1 1 c) cos( d) cos22x = .  )=- ; 2 4 2 4 2 cos 2 x  0. Baøi 4: Giaûi phöông trình 1  sin 2 x Baøi 5: Giaûi caùc phöông trình sau: 3 a) tan(x - 150) = ; b) cot(3x - 1) = - 3 ; 3 c) cos2x.tanx = 0; d) sin3xcotx = 0. Bài 6: Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = tan(.  - x) vaø y = tan2x baèng nhau? 4. Baøi 7: Giaûi caùc phöông trình sau: a) sin3x - cos5x = 0; b) tan3x.tanx = 1. 2. Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Tìm nghiệm của các phương trình sau trong khoảng đã cho: 1 3 a) sin2x =  với 0 < x < ; b) cos(x - 5) = với - < x < ; 2 2  1 c) tan(2x - 150) = 1 với -1800 < x< 900; d) cot3x = với  < x < 0. 2 3 Baøi 2: Tìm taäp xaùc ñònh cuûa moãi haøm soá sau: 1  cos x sin( x  2) a) y = ; b) y = cos 2 x  cos x 2 sin x  2 tan x 1 ; d) y = . c) y = 1  tan x 3 cot 2 x  1. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 14. ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 162.

(163) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. §3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP I- PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT HAØM SỐ LƯỢNG GIÁC Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình dạng: at + b = 0 trong đó a, b là các hằng số (a ≠ 0) và t là một trong các hàm số lượng giác. Cách giải: Biến đổi phương trình đã cho về phương trình lượng giác cơ bản. Ví duï: Giaûi caùc phöông trình sau: d) 3 cotx - 3 = 0. a) 2sinx - 3 = 0; b) 5cosx + 3 = 0; c) 3 tanx + 1 = 0; Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... II- PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HAØM SỐ LƯỢNG GIÁC: Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình dạng: at2 + bt + c = 0 trong đó a, b, c là các hằng số (a ≠ 0) và t là một trong các hàm số lượng giác. Caùch giaûi: Ñaët aån phuï (ñieàu kieän cho aån phuï neáu coù), giaûi phöông trình theo aån phuï roài ñöa veà vieäc giaûi các phương trình lượng giác cơ bản. Ví duï: Giaûi phöông trình sau: x x 2 2 2 c) 2sin 2 + 2 sin - 2 = 0. a) 3cos x - 5cosx + 2 = 0; b) 3tan x - 2 3 tanx + 3 = 0; 2 Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 163. 15.

(164) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... III- PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sinx VAØ cosx: 1. Công thức biến đổi biểu thức asinx + bcosx: asinx + bcosx =. a 2  b 2 sin(x + ). với cos =. a a2  b2. vaø sin =. b a2  b2. 2. Phöông trình daïng asinx + bcosx = c: Xeùt phöông trình asinx + bcosx = c (a2 + b2 ≠ 0) (1) Nếu a = 0, b ≠ 0 (hoặc a ≠ 0, b = 0) thì (1) là phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác. c Neáu a ≠ 0, b ≠ 0 thì (1)  a 2  b 2 sin(x + ) = c  sin(x + ) = a2  b2 Ví duï 1: Giaûi phöông trình sinx + 3 cosx = 1. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... Ví duï 2: Giaûi phöông trình 3sin3x - 4cos3x = 5. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ......................................................................................................................  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... 16. ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 164.

(165) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Baøi 1: Giaûi caùc phöông trình sau: a) sin2x - sinx = 0; b) 2cos2x - 3cosx + 1 = 0; c) 2tan2x + 3tanx + 1 = 0. Baøi 2: Giaûi caùc phöông trình sau: a) cosx - 3 sinx = 2 ; b) 3 sin3x - cos3x = 2 ; c) 2sinx + 2cosx - 2 = 0; d) 5cos2x + 12sin2x - 13 = 0. Baøi 3: Giaûi caùc phöông trình sau: x x a) 2sin2x + 2 sin4x = 0; b) sin 2  2 cos  2  0 ; c) tanx - 2cotx + 1 = 0. 2 2 Baøi 4: Giaûi caùc phöông trình sau: a) 2sin2x + sinxcosx - 3cos2x = 0; b) 3sin2x - 4sinxcosx + 5cos2x = 2; 1 c) sin2x + sin2x - 2cos2x = ; d) 2cos2x - 3 3 sin2x - 4sin2x = -4. 2 Baøi 5: Giaûi caùc phöông trình sau: a) tan(2x + 1)tan(3x - 1) = 1;. b) tanx + tan(x +. Baøi 6: Giaûi caùc phöông trình sau: a) 2(sinx + cosx) + 6sinxcosx – 2 = 0; c) (1 -. b) 2sin2x - 3 3 (sinx + cosx) + 8 = 0;. 2 )(1 + sinx – cosx) = sin2x;. d) cosx – sinx + 3sin2x – 1 = 0;. e) 5sin2x + sinx + cosx + 6 = 0;. f) sin2x +. 2. Baøi taäp naâng cao: Baøi 1: Giaûi caùc phöông trình sau: a) cosxcos5x = cos2xcos4x; c) sin24x + sin23x = sin22x + sin2x; Baøi 2: Giaûi caùc phöông trình sau: a) sinx + 3 cosx = 2sin(2x +.  ) = 1. 4. 2 sin(x -.  ) = 1. 4. b) sin2x + sin4x = sin6x; d) (sinx – cosx)2 – ( 2 + 1)(sinx – cosx) +.  ); 6. b) 2sinx(cosx - 1) =. b) cos3x - sinx = 3 (cosx - sin3x); Baøi 3: Giaûi caùc phöông trình sau:   2 a) cos[ cos( x  )]  ; 2 4 2. c) 3 cosx - sinx =. 2 = 0.. 3 cos2x; 2 (sin3x - cos3x).. . b) tan[ (cos x  sin x)]  1 . 4. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 165. 17.

(166) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. * OÂN TAÄP CHÖÔNG I * ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................ 18. ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 166.

(167) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................ BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Baøi 1: a) Haøm soá y = cos3x coù phaûi laø haøm soá chaün khoâng? Taïi sao? b) Haøm soá y = tan(x +.  ) coù phaûi laø haøm soá leû khoâng? Taïi sao? 5. Bài 2: Căn cứ vào đồ thị hàm số y = sinx, tìm những giá trị của x trên đoạn [  a) Nhaän giaù trò baèng -1; b) Nhaän giaù trò aâm. Baøi 3: Giaûi caùc phöông trình sau: x 1 2 1 a) sin(x + 1) = ; b) sin22x = ; c) cot2 2 = 3 ; 3 2 Baøi 4: Giaûi caùc phöông trình sau: a) 2cos2x - 3cosx + 1 = 0; Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số sau: a) y =. 3 ; 2] để hàm số đó: 2. d) tan(.  + 12x) = - 3 . 12. b) 2sinx + cosx = 1..  ) - 2; 6 cos x .. 2(1  cos x ) + 1;. b) y = 3sin(x -. c) y = 3 - 4sinx; d) y = 2 2. Baøi taäp naâng cao: Baøi 1: Tìm taäp xaùc ñònh cuûa caùc haøm soá: 2  cos x tan x  cot x a) y = ; b) y = .  1  sin 2 x 1  tan( x  ) 3 Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau: a) y = 2cos( x . . 3. ) + 3;. b) y = 1  sin( x 2 ) - 1;. c) y = 4sin x .. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 167. 19.

(168) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. CHƯƠNG II. TỔ HỢP - XÁC SUẤT ----- oOo -----.  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: 1. Tập hợp:  Tập rỗng:  là tập hợp không chứa phần tử nào.  Taäp con: A. B. A  B  x : x  A  x  B )  Số tập con của tập có n phần tử là 2n. 2. Các phép toán trên tập hợp: Giao Hợp.  A = B  A  B vaø B  A  Tính chaát: a) A  A với mọi tập hợp A. b) Neáu A  B vaø B  C thì A  C. c)   A với mọi tập hợp A.  Kí hiệu: N*, Z*, Q*, R* là các tập hợp số không có phần tử 0. Hieäu. Phaàn buø B. A. A. B.  A  B ={xx  A vaø x  B}. x  A x  B.  x A B  . A. B. A.  A  B ={xx  A hoặc x  B}. x  A x  B.  x A B  . B.  A\ B ={xx  A vaø x  B}. x  A x  B.  x A\ B  . Khi B  A thì A\B goïi laø phaàn buø cuûa B B trong A, kí hieäu C A .. 3. Daáu hieäu chia heát:  Số chia hết cho 2 là những số có chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8.  Số chia hết cho 5 là những số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.  Số chia hết cho 3 là những số có tổng các chữ số chia hết cho 3.  Số chia hết cho 9 là những số có tổng các chữ số chia hết cho 9. 4. Số và chữ số: số có ba chữ số. 128  Ghi chuù:. chữ số. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... 20. ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 168.

(169) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. §1.QUY TẮC ĐẾM Số phần tử hữu hạn của tập hợp A được kí hiệu n(A) hoặc A. a) Nếu A = {a, b, c} thì số phần tử của tập hợp A là 3, ta viết n(A) = 3 hoặc A = 3. b) Neáu A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} vaø B = {2, 4, 6, 8} thì A\ B = {1, 3, 5, 7}. - Số phần tử của tập hợp A là n(A) = 9. - Số phần tử của tập hợp B là n(B) = 4. - Số phần tử của tập hợp A\B là n(A\B) = 5. I- Quy taéc coäng: Quy tắc: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện (không trùng với bất kì cách nào của hàng động thứ nhất) thì công việc đó có m + n cách thực hiện. * Chú ý:  Quy tắc cộng có thể mở rộng cho nhiều hành động.  Quy tắc cộng thực chất là quy tắc đếm số phần tử của hai tập hợp hữu hạn không giao nhau. Vậy nếu A và B là các tập hữu hạn không giao nhau thì n(A  B) = n(A) + n(B). II- Quy taéc nhaân: Quy tắc: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công vieäc. * Chú ý: Quy tắc nhân có thể mở rộng cho nhiều hành động liên tiếp. B 4 2 Ví dụ 1: Một mạng đường đi giữa các thành phố A, B, C, D như sau: A D (Số giữa hai địa điểm chỉ số con đường đi giữa hai địa điểm đó) 2 3 C Có bao nhiêu cách đi từ thành phố A đến thành phố D? Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... Ví dụ 2: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm: a) 3 chữ số; b) 3 chữ số khác nhau. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... Ví dụ 2: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và chia heát cho 5? ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 169. 21.

(170) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... Ví dụ 3: Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác nhau? Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ......................................................................................................................  Có bao nhiêu số điện thoại gồm 9 chữ số..  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tựnhiên gồm: a) Một chữ số? b) Hai chữ số? c) Hai chữ số khác nhau? Bài 2: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên bé hơn 100? Bài 3: Các thành phố A, B, C, D được nối với nhau bởi các con đường (như hình vẽ). 3 A. 2 B. 3 C. D. Hoûi:. a) Có bao nhiêu cách đi từ A đến D mà qua B và C chỉ một lần? b) Có bao nhiêu cách đi từ A đến D rối quay lại A? Bài 4: Có ba kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn, elip) và bốn kiểu dây (kim loại, da, vải và nhựa). Hỏi có bao nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây? Bài 5: Lớp 11CB1 có 20 nam và 24 nữ. Có bao nhiêu cách chọn ban cán sự lớp 3 người gồm một lớp trưởng nam, một lớp phó nam và một lớp phó nữ. 2. Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, có bao nhiêu cách chọn một số hoặc là số chẵn hoặc là số nguyeân toá. Bài 2: Có bao nhiêu số nguyên dương gồm không quá ba chữ số khác nhau? CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 22. ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 170.

(171) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. §2. HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP I- HOÁN VỊ:  Coù bao nhieâu caùch saép xeáp ba baïn A, B, C vaøo moät baøn daøi coù 3 choã ngoài .. 1. Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n  1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. * Nhận xét: Hai hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp. 2. Số các hoán vị: Kí hiệu Pn là số các hoán vị của n phần tử. Ta có: Pn = n(n - 1)(n - 2)...2.1 = n! Ví dụ: Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau, các chữ số được lấy từ tập A = {1, 2, 3, 4, 5}. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... II- CHỈNH HỢP:  Có bao nhiêu cách chọn hai bạn giữ chức vụ bí thư và phó bí thư chi đoàn trong số 3 bạn đắc cử ban chấp hành.. 1. Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n  1). Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho. 2. Số các chỉnh hợp: Kí hiệu Ank là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1  k  n). Ta có: Ank = n(n - 1)(n - 2)...(n - k + 1). * Chuù yù: a) Với quy ước 0! = 1, ta có: Ank =. n! (1  k  n)(n, k  N) (n  k )!. b) Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử. Vì vậy Pn = Ann ..  Ví dụ: Trong mặt phẳng cho một tập hợp gồm 6 điểm phân biệt. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ 0 có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp điểm này? Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... III- TỔ HỢP:  Trong mặt phẳng cho 4 điểm phân biệt A, B, C, D (không có ba điểm nào thẳng hàng). Liệt kê tất cả các đoạn thẳng được tạo thành từ các điểm đó?. 1. Định nghĩa: Giả sử tập A có n phần tử (n  1). Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. * Chú ý: Vì tập  (0 phần tử) là tập con của tập A nên ta có điều kiện 0  k  n. 2. Số các tổ hợp: Kí hiệu C nk là số các tổ hợp chập k của n phần tử. Ta có:. Cnk . n! (0  k  n) (n, k  N) k!(n  k )!. ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 171. 23.

(172) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. Ví dụ: Một tổ gồm có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ. Cần lập một đoàn đại biểu gồm 5 người. Hỏi: a) Coù taát caû bao nhieâu caùch laäp? b) Có bao nhiêu cách lập đoàn đại biểu, trong đó có ba nam, hai nữ. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... 3. Tính chaát cuûa caùc soá C nk : a) Tính chaát 1: Cnk  Cnnk (0  k  n) Ví duï:. C73  C74. b) Tính chất 2: Cnk11  Cnk1  Cnk (1 k < n) - công thức Pascal Ví duï:. C73  C74  C84. Ví dụ: Chứng minh rằng, với 2  k  n - 2, ta có: Cnk  Cnk22  2Cnk21  Cnk2 . Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ......................................................................................................................  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... 24. ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 172.

(173) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập các số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau. Hỏi: a) Coù taát caû bao nhieâu soá? b) Coù bao nhieâu soá chaün, bao nhieâu soá leû? c) Coù bao nhieâu soá beù hôn 432000? Bài 2: Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho mười người khách vào mười ghế kê thành một dãy. Bài 3: Giả sử có bảy bông hoa màu khác nhau và ba lọ khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách cắm ba bông hoa vào ba lọ đã cho (mỗi lọ cắm một bông)? Baøi 4: Trong maët phaúng, cho saùu ñieåm phaân bieät sao cho khoâng coù ba ñieåm naøo thaúng haøng. Hoûi coù theå lập được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập điểm đã cho? Bài 5: Có bao nhiêu cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau? Baøi 6: Coù bao nhieâu caùch caém 3 boâng hoa vaøo 5 loï khaùc nhau (moãi loï caém khoâng quaù moät boâng) neáu: a) Caùc boâng hoa khaùc nhau? b) Caùc boâng hoa nhö nhau? Bài 7: Trong mặt phẳng có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành từ bốn đường thẳng song song với nhau và năm đường thẳng vuông góc với bốn đường thẳng song song đó? 2. Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Có bao nhiêu cách sắp xếp n đại biểu vào một bàn hình tròn? Bài 2: Một lớp học có 20 nam, 10 nữ. Có bao nhiêu cách chọn 3 người trực lớp a) Moät caùch tuøy yù; b) Có đúng một nữ; c) Có ít nhất một nữ; d) Có nhiều nhất hai nữ. Bài 3: Một lớp học có 20 nam, 10 nữ. Có bao nhiêu cách chọn một ban cán sự gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó học tập, 1 lớp phó phong trào: a) Moät caùch tuyø yù; b) Lớp trưởng là nữ; c) Có đúng một nữ; d) Có ít nhất một nữ.. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 173. 25.

(174) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. §3. NHỊ THỨC NEWTON I- CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON:  Khai triển hằng đẳng thức (a + b)3 và viết lại các hệ số dưới dạng tổ hợp chập k của 3 phần tử? Trong khai triển đó thành phaàn naøo laø soá haïng? thaønh phaàn naøo laø heä soá cuûa soá haïng?. (a  b)n  Cn0 a n  Cn1 a n1b  Cn2 a n2 b 2  ...  Cnk a nk b k  ...  Cnn1ab n1  Cnn b n. Heä quaû:  Với a = b = 1, ta có: (1 + 1)n = 2n = Cn0  Cn1  ...  Cnn  Với a = 1, b = -1, ta có: (1 - 1)n = 0n = Cn0  Cn1  ...  (1)k Cnk  ...  (1)n Cnn * Chú ý: Vế phải trong khai triển nhị thức NewTon: a) Số các hạng tử là n + 1; b) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n (quy ước a0 = b0 = 1). c) Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau. Ví dụ 1: Khai triển biểu thức (x + y)6. Giaûi: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... Ví dụ 2: Khai triển biểu thức (2x - 3)4. Giaûi: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... Ví dụ 3: Chứng tỏ rằng với n  4, ta có: Cn0  Cn2  Cn4  ...  Cn1  Cn3  ...  2 n1 . Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... II- TAM GIAÙC PASCAL: n = 0 ........................................................................................................................................................................................................................................ n = 1 ........................................................................................................................................................................................................................................ n = 2 ........................................................................................................................................................................................................................................ n = 3 ........................................................................................................................................................................................................................................ n = 4 ........................................................................................................................................................................................................................................ n = 5 ........................................................................................................................................................................................................................................ n = 6 ......................................................................................................................................................................................................................................... 26. ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 174.

(175) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11.  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Newton: a) (a + b)5;. b) (a -. 2 )6;. c) (x -. 1 13 ) . x. 2 6 ). x2 Bài 3: Từ khai triển biểu thức (3x - 4)17 thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được. Baøi 4: Bieát heä soá cuûa x2 trong khai trieån cuûa (1 - 3x)n laø 90. Tìm n. 1 Bài 5: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của ( x 3  )8. x 2. Baøi taäp naâng cao: 2 Bài 1: Tìm số hạng thứ năm trong khai triển (x + )10, mà trong khai triển đó số mũ của x giảm dần. x Bài 2: Trong khai triển của (1 + ax)n ta có số hạng đầu là 1, số hạng thứ hai là 24x, số hạng thứ ba là 252x2. Haõy tìm a vaø b. Bài 2: Tìm hệ số của x3 trong khai triển của biểu thức (x +. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 175. 27.

(176) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. §4. PHÉP THỬ VAØ BIẾN CỐ I- PHÉP THỬ, KHÔNG GIAN MẪU:  Khi gieo một con súc sắc 1 lần, em có biết trước kết quả không? Hãy liệt kê các kết quả có thể có của việc gieo một con súc saéc 1 laàn?. 1. Phép thử: Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó. 2. Không gian mẫu: Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và kí hiệu là . Ví dụ: Mô tả không gian mẫu của các phép thử sau: a) Gieo một đồng tiền 1 lần; b) Gieo một đồng tiền 2 lần; c) Gieo moät con suùc saéc 2 laàn. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... II- BIEÁN COÁ:  Hãy gieo một đồng tiền hai lần, mô tả không gian mẫu. Xét sự kiện A: "Kết quả của hai lần gieo là như nhau", hãy viết lại sự kiện A theo kiểu liệt kê các phần tử của tập hợp A là tập hợp các khả năng có thể xảy ra của sự kiện trên? Em hãy cho thêm một vài sự kiện khác?. A.  Bieán coá laø moät taäp con cuûa khoâng gian maãu. * Chuù yù: i) Các biến cố thường được kí hiệu bởi các chữ in hoa A, B, C,... Khi nói: "cho các biến cố A, B, C" (mà không nói gì thêm) thì ta hiểu chúng cùng liên quan đến một phép thử. ii) Các biến cố thường được cho bởi mệnh đề mô tả biến cố hoặc mệnh đề xác định tập con của khoâng gian maãu. Ví dụ: Một hộp chứa bốn cái thẻ được đánh số 1, 2, 3, 4. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ. a) Moâ taû khoâng gian maãu. b) Xác định biến cố A: "Tổng các số trên hai thẻ là số chẵn" bằng mệnh đề mô tả tập con; c) Xác định biến cố B = {(2, 4), (1, 3)} bằng mệnh đề. Giaûi:. 28. ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 176.

(177) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11  Hãy nêu những đặc điểm khác nhau về sự tồn tại của hai biến cố A: "Con súc sắc xuất hiện mặt 7 chấm" và B: "Con súc sắc xuất hiện mặt có số chấm không vượt quá 6" khi thực hiện phép thử gieo một con súc sắc 1 lần?.  Tập  được gọi là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không). Còn tập  được gọi là biến cố chắc chaén. * Chú ý: Biến cố A xảy ra trong một phép thử nào đó khi và chỉ khi kết quả của phép thử đó là một phần tử của tập A (hay thuận lợi cho A). III- PHÉP TOÁN TRÊN CÁC BIẾN CỐ: a) Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử. Tập \A được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hieäu laø A . b) Giả sử A và B là hai biến cố liên quan đến một phép thử. Ta có:  Tập A  B được gọi là hợp của các biến cố A và B; A  B xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra hoặc B xaûy ra.  Tập A  B được gọi là giao của các biến cố A và B (còn được viết tắt là A.B); A  B xảy ra khi và chỉ khi A và B đồng thời xảy ra.  Neáu A  B =  thì ta noùi A vaø B xung khaéc; A vaø B xung khaéc khi vaø chæ khi chuùng khoâng khi naøo cuøng xaûy ra. Kí hieäu Ngôn ngữ biến cố A A laø bieán coá A= A laø bieán coá khoâng A A= A laø bieán coá chaéc chaén B C=AB C là biến cố "A hoặc B" C=AB C laø bieán coá "A vaø B" AB= A vaø B xung khaéc A và B đối nhau. B= A Ví dụ: Xét phép thử gieo một đồng tiền hai lần với các biến cố A: "kết quả của hai lần gieo là như nhau", B: "Có ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp", C: "Lần thứ hai mới xuất hiện mặt sấp" và D: "Lần đầu xuất hiệ n maët saáp". a) Xác định các biến cố A, C, D dưới dạng mệnh đề mô tả tập hợp. b) Xaùc ñònh caùc bieán coá C  D vaø A  D. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ......................................................................................................................  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 177. 29.

(178) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Baøi 1: Gieo moät con suùc saéc hai laàn. a) Moâ taû khoâng gian maãu. b) Phát biểu các biến cố sau dưới dạng mệnh đề: A = {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}; B = {(2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 4)}; C = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}. Bài 2: Hai xạ thủ cùng bắn vào bia. Kí hiệu Ak là biến cố: "Người thứ k bắn trúng", k = 1, 2. a) Hãy biểu diễn các biến cố A: "Không ai bắn trúng", B: "Cả hai đều bắn trúng", C: "Có đúng một người bắn trúng" và D: "Có ít nhất một người bắn trúng" qua các biến cố A1, A2 b) Chứng tỏ rằng A = D ; B và C xung khắc. Bài 3: Gieo một đồng tiền liên tiếp cho đến khi lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp hoặc cả bốn lần ngửa thì dừng lại. a) Moâ taû khoâng gian maãu; b) Xác định các biến cố A: "Số lần gieo không vượt quá ba" và B: "Số lần gieo là bốn". Bài 4: Gieo một đồng tiền ba lần. a) Moâ taû khoâng gian maãu. b) Xác định các biến cố A: "Lần đầu xuất hiện mặt sấp", B: "Mặt sấp xảy ra đúng một lần" và C: "Mặt ngửa xảy ra ít nhất một lần". Bài 5: Một hộp chứa năm quả cầu được đánh số 1, 2, 3, 4, 5, lấy ngẫu nhiên liên tiếp hai lần mỗi lần một quả và xếp theo thứ tự từ trái sang phải. a) Moâ taû khoâng gian maãu. b) Xác định các biến cố A: "Chữ số sau lớn hơn chữ số trước", B: "Chữ số trước gấp đôi chữ số sau" và C: "Hai chữ số bằng nhau". 2. Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Gieo một đồng tiền, sau đó gieo một con súc sắc. Quan sát sự xuất hiện mặt sấp (S), mặt ngửa (N) của đồng tiền và số chấm suất hiện trên con súc sắc. a) Xây dựng không gian mẫu. b) Xác định các biến cố A: "Đồng tiền xuất hiện mặt sấp và con súc sắc xuất hiện mặt chẵn chấm", B: "Đồng tiền xuất hiện mặt ngửa và con súc sắc xuất hiện mặt lẻ chấm" và C: "Mặt 6 chấm xuất hiện". Bài 2: Từ một hộp chứa 10 cái thẻ, trong đó các thẻ đánh số 1, 2, 3, 4 màu đỏ, thẻ đánh số 6 màu xanh và các thẻ đánh số 7, 8, 9, 10 màu trắng. Lấy ngẫu nhiên một thẻ. a) Moâ taû khoâng gian maãu. b) Kí hiệu A, B, C là các biến cố A: "Lấy được thẻ màu đỏ", B: "Lấy được thẻ màu trắng" và C: "Lấy được thẻ ghi số chẵn". Hãy biểu diễn các biến cố A, B, C bởi các tập hợp con tương ứng của không gian mẫu. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 30. ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 178.

(179) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. §5. XAÙC SUAÁT CUÛA BIEÁN COÁ I- ÑÒNH NGHÓA COÅ ÑIEÅN CUÛA XAÙC SUAÁT:  Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất một lần. Mô tả không gian mẫu và cho biết khả năng xuất hiện của moãi maët laø bao nhieâu? Khaû naêng xuaát hieän cuûa bieán coá A: "Con suùc saéc xuaát hieän maët leû" laø bao nhieâu?.. 1. Định nghĩa: Giả sử là biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả n( A ) naêng xuaát hieän. Ta goïi tæ soá laø xaùc suaát cuûa bieán coá A, kí hieäu laø P(A). n( ) n( A ) P(A) = n( ) * Chú ý: n(A) là số phần tử của A hay cũng là số các kết quả thuận lợi cho biến cố A, còn n() là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử. 2. Caùc ví duï: Ví dụ 1: Gieo ngẫu nhiên một đồng tiền cân đối và đồng chất hai lần. Tính xác suất của biến cố: a) A: "Maët saáp xuaát hieän hai laàn"; b) B: "Mặt sấp xuất hiện đúng một lần"; c) C: "Maët saáp xuaát hieän ít nhaát moät laàn". Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... Ví dụ 2: Gieo ngẫu nhiên một một con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của biến cố: a) A: "Maët chaün xuaát hieän"; b) B: "Xuaát hieän maët coù soá chaám chia heát cho 3"; c) C: "Xuaát hieän maët coù soá chaám khoâng beù hôn 3". Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 179. 31.

(180) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. Ví dụ 3: Gieo ngẫu nhiên một một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Tính xác suất của các bieán coá sau: a) A: "Soá chaám trong hai laàn gieo baèng nhau"; b) B: "Toång soá chaám baèng 8". Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... II- TÍNH CHAÁT CUÛA XAÙC SUAÁT: 1. Định lí: Giả sử A và B là các biến cố liên quan đến một phép thử có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Khi đó:  P(P  P với mọi biến cố A.  Nếu A và B xung khắc, thì P(A  B) = P(A) + P(B) (công thức cộng xác suất) Hệ quả: Với mọi biến cố A, ta có: P( A ) = 1 - P(A) 2. Caùc ví duï: Ví dụ 1: Từ một hộp chứa ba quả cầu trắng, hai quả cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời hai quả. Hãy tính xác suất sao cho hai quả đó: a) Khaùc maøu; b) Cuøng maøu. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... Ví dụ 2: Một hộp chứa 20 quả cầu đánh số từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên một quả. Tính xác suất của caùc bieán coá sau: a) A: "Nhận được quả cầu ghi số chẵn"; b) B: "Nhận được quả cầu ghi số chia hết cho 3"; c) A  B; d) C: "Nhận được quả cầu ghi số không chia hết cho 6". Giaûi: 32. ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 180.

(181) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... III- CÁC BIẾN CỐ ĐỘC LẬP, CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT: Ví dụ: Bạn thứ nhất có một đồng tiền, bạn thứ hai có con súc sắc (đều cân đối, đồng chất). Xét phép thử "Bạn thứ nhất gieo đồng tiền, sau đó bạn thứ hai gieo con súc sắc". a) Mô tả không gian mẫu của phép thử này. b) Tính xaùc suaát cuûa caùc bieán coá sau: A: "Đồng tiền xuất hiện mặt sấp"; B: "Con suùc saéc xuaát hieän maët 6 chaám"; C: "Con suùc saéc xuaát hieän maët leû". c) Chứng tỏ P(A.B) = P(A).P(B); P(A.C) = P(A).P(C). Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ..................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 181. 33.

(182) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11.  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. a) Haõy moâ taû khoâng gian maãu. b) Xaùc ñònh caùc bieán coá sau: A: "Toång soá chaám xuaát hieän trong hai laàn gieo khoâng beù hôn 10" B: "Maët 5 chaám xuaát hieän ít nhaát moät laàn". c) Tính P(A), P(B). Bài 2: Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Giả sử con súc sắc xuất hiện mặt b chấm. Xét phương trình x2 + bx + 2 = 0. Tính xaùc suaát sao cho: a) Phöông trình coù nghieäm; b) Phöông trình voâ nghieäm; c) Phöông trình coù nghieäm nguyeân. Bài 3: Từ cỗ bài tú lơ khơ 52 con, rút ngẫu nhiên cùng một lúc bốn con. Tính xác suất sao cho: a) Cả bốn con đều là át; b) Được ít nhất một con át; c) Được hai con át và hai con K. Bài 4: Một người chọn ngẫu nhiên hai chiếc giày từ bốn đôi giày cỡ khác nhau. Tính xác suất để hai chiếc chon được tạo thành một đôi. 2. Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Có bốn tấm bìa được đánh số từ 1 đến 4. Rút ngẫu nhiên ba tấm. a) Haõy moâ taû khoâng gian maãu. b) Xaùc ñònh caùc bieán coá sau: A: "Toång caùc soá treân ba taám bìa baèng 8"; B: "Các số trên ba tấm bìa là ba số tự nhiên liên tiếp". c) Tính P(A), P(B). Bài 2: Hai bạn nam và hai bạn nữ được xếp ngồi ngẫu nhiên vào bốn ghế xếp thành hai dãy đối diện nhau. Tính xaùc suaát sao cho: a) Nam, nữ ngồi đối diện nhau; b) Nữ ngồi đối diện nhau. Bài 3: Có hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 6 quả trắng, 4 quả đen. Hộp thứ hai chứa 4 quả trắng, 6 quả đen. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả. Kí hiệu: A là biến cố: "Quả lấy từ hộp thứ nhất trắng" và B là biến cố: "Quả lấy từ hộp thứ hai trắng". a) Xét xem A và B có độc lập không. b) Tính xaùc suaát sao cho hai quaû caàu laáy ra cuøng maøu. c) Tính xaùc suaát sao cho hai quaû caàu laáy ra khaùc maøu. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 34. ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 182.

(183) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. * OÂN TAÄP CHÖÔNG II *. ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................ ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 183. 35.

(184) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................ BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Có bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số được tạo thành từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 sao cho: a) Các chữ số có thể giống nhau; b) Các chữ số khác nhau. Bài 2: Xếp ngẫu nhiên ba bạn nam và ba bạn nữ ngồi vào sáu ghế kê theo hàng ngang. Tìm xác suất sao cho: a) Nam, nữ ngồi xen kẽ nhau; b) Ba baïn nam ngoài caïnh nhau. Baøi 3: Gieo moät con suùc saéc ba laàn. Tính xaùc suaát sao cho maët saùu chaám xuaát hieän ít nhaát moät laàn. Bài 4: Từ một hộp chứa sáu quả cầu trắng và bốn quả cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời bốn quả. Tính xaùc suaát sao cho: a) Boán quaû laáy ra cuøng maøu; b) Coù ít nhaát moät quaû maøu traéng. Bài 5: Cho lục giác đều ABCDEF. Viết các chữ cái A, B, C, D, E, F vào sáu cái thẻ. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ. Tìm xác suất sao cho đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên thẻ đó là: a) Caïnh cuûa luïc giaùc; b) Đường chéo của lục giác; c) Đường chéo nối hai đỉnh đối diện của lục giác. Bài 6: Gieo đồng thời hai con súc sắc. Tính xác suất sao cho: a) Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn; b) Tích caùc soá chaám treân hai con suùc saéc laø soá leû. 2. Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Trong khai triển (x + a)3(x - b)6, hệ số của x7 là -9 và không có số hạng chứa x8. Tìm a và b. 1 Baøi 2: Bieát raèng heä soá cuûa xn - 2 trong khai trieån (x - )n baèng 31. Tìm n. 4. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 36. ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 184.

(185) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. CHÖÔNG III. DAÕY SOÁ - CAÁP SOÁ COÄNG ----- oOo -----.  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: 1. Tính chaát chia chaát cuûa moät toång:  Nếu tất cả các số hạng trong một tổng chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó.  Nếu chỉ có một số hạng của tổng không chia hết cho một số, còn các số hạng khác đều chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đó. 2. Tính chất của luỹ thừa với số mũ nguyên dương: a, b  Q, m, n  Z+, ta coù: am a0 = 1 a1 = a am.an = am + n = am – n n a n a a ( ) n  n (b ≠ 0) (am)n = am.n (ab)n = anbn b b 3. Tính chất của bất đẳng thức:  a 0 thì a 0 thì a bc; + 2n + 1 2n + 1  Với n  Z thì a 0 thì a < b . a <. a<b. b;. 3. a <. 3. b , a  R..  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 185. 37.

(186) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. §1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC  Xét mệnh đề chứa biến dạng P(n) ="3n < n + 100" và Q(n) = "2n > n" với n  N*. a) Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai? b) Với mọi n  N * thì P(n), Q(n) đúng hay sai?. I– PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC: Bước 1. Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1. Bước 2. Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k  1 (gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1. II– VÍ DUÏ AÙP DUÏNG: Ví dụ 1: Chứng minh rằng với n  N* thì 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ......................................................................................................................  Chứng minh rằng với n  N* thì 1 + 2 + 3 + ... + n =. n(n  1) 2. Ví dụ 2: Chứng minh rằng với n  N* thì n3 - n chia hết cho 3. Giaûi:. 38. ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 186.

(187) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 n. *. n.  Cho hai số 3 và 8n với n  N . So sánh 3 với 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5 và sau đó dự đoán kết quả rồi chứng minh.. * Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n  p (p là một số tự nhiên) thì: Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p. Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì n = k  p và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Chứng minh rằng với n  N*, ta có các đẳng thức: n(3n  1) a) 2 + 5 + 8 +…+ 3n – 1 = ; 2 1 1 1 1 2n  1 b)    ...  n  n ; 2 4 8 2 2 n (n  1)(2n  1) c) 12 + 22 + 32 +…+ n2 = . 6 1 1 1 n   ...   Baøi 2: Cho toång Sn = với n  N*. 1.2 2.3 n(n  1) n  1 a) Tính S1, S2, S3. b) Dự đoán công thức tính tổng Sn và chứng minh bằng quy nạp. Bài 3: Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là. n(n  3) . 2. Bài 4: Chứng minh rằng với n  N*, ta có: c) n3 + 11n chia heát cho 6; a) n3 + 3n2 + 5n chia heát cho 3; b) 4 n + 15n – 1 chia heát cho 9; 2. Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  2, ta có các bất đẳng thức: a) 3n  3n  1 ; b) 2n 1  2n  3 . Bài 2: Chứng minh rằng nếu tam giác ABC vuông tại A, có số đo các cạnh là a, b, c thì với mọi số tự nhiên n  2, ta có bất đẳng thức bn + cn  an.. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 187. 39.

(188) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. §2. DAÕY SOÁ I– ÑÒNH NGHÓA:  Cho haøm soá f(n) =. 1 , n  N*. Tính f(1), f(2), f(3), f(4), f(5). 2n  1. 1. Định nghĩa dãy số: Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N* được gọi là một dãy số vô haïn (goïi taét laø daõy soá). Kí hieäu: u: N*  R n  u(n). Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển: u1, u2, u3,…, un,…, trong đó un = u(n) hoặc viết tắt là (un), và gọi u1 là số hạng đầu, un là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số. Ví dụ: Chỉ ra số hạng đầu và số hạng tổng quát của các dãy số sau: a) Dãy số tự nhiên lẻ; b) Daõy soá chính phöông. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... 2. Định nghĩa dãy số hữu hạn: Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1, 2, 3, …, m} với m  N* được gọi là một dãy số hữu hạn. Dạng khai triển của nó là u1, u2, u3,…, um, trong đó u1 là số hạng đầu, um là số hạng cuối. Ví duï: a) -5, -2, 1, 4, 7, 10, 13 là dãy số hữu hạn có: u1 = ....... và ...... = 13. 1 1 1 1 1 , là dãy số hữu hạn có: u1 = ......., u5 = ........ b) , , , 2 4 8 16 32 II– CAÙCH CHO MOÄT DAÕY SOÁ: 1. Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát: 3n Ví dụ 1: Cho dãy số (un) với un = (-1)n. n Ta coù: u5 = .................................................... Daïng khai trieån: ........................................................................................................ Ví dụ 2: Viết 5 số hạng đầu tiên của dãy số cho bởi công thức un =. n . n 1. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ......................................................................................................................  Viết năm số hạng đầu và số hạng tổng quát của các dãy số sau: a) Dãy nghịch đảo của các số tự nhiên lẻ; b) Dãy các số tự nhiên chia cho 3 dư 1.. 40. ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 188.

(189) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. 2. Daõy soá cho baèng phöông phaùp moâ taû: Ví dụ: Số  là số thập phân vô hạn không tuần hoàn: 3,141 592 653 589... Lập dãy số (un) với un là giá trị gần đúng thiếu của số  với sai số tuyệt đối 10-n, ta có: u1 = 3,1; u2 = 3,14; u3 = ..............; u4 = .......................; u5 = ................................. 3. Daõy soá cho baèng phöông phaùp truy hoài: Ví dụ: Viết 10 số hạng đầu của dãy số (un) được xác định như sau: u1  u2  1  (Fibonacci)  un  un1  un2 với n  3 Giaûi: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................................................................................  Haõy cho moät daõy soá khaùc baèng phöông phaùp truy hoài.. III– BIEÅU DIEÃN HÌNH HOÏC CUÛA DAÕY SOÁ: Ví dụ: Các số hạng của dãy số cho bởi công thức un = 1. 0. n 1 được biễu diễn trên trục số như sau: n 5. 4. 4. 3. u4 u3. 3 2. 2. u2. u1. u(n). IV– DAÕY SOÁ TAÊNG, DAÕY SOÁ GIAÛM VAØ DAÕY SOÁ BÒ CHAËN:  Cho các dãy số (un) và (vn) với un = 1 . 1 n. , vn = 5n - 1 .Tính un+1 và vn+1, chứng minh un+1 < un và vn+1 > vn, n  N*.. 1. Daõy soá taêng, daõy soá giaûm:  Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng nếu ta có un+1 > un với mọi n  N*.  Dãy số (un) được gọi là dãy số giảm nếu ta có un+1 < un với mọi n  N*.  Phương pháp chứng minh dãy số tăng, dãy số giảm: ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... Ví dụ: Chứng minh dãy số (un) với un = 2n – 1 là dãy số tăng. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... Ví dụ: Dãy số (un) với un =. n laø daõy soá giaûm. 3n. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 189. 41.

(190) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. * Chú ý: Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm. Chẳng hạn, dãy số (un) với un =  3 , tức là dãy soá: -3, 9, -27, 81,… khoâng taêng vaø cuõng khoâng giaûm. n.  Chứng minh các bất đẳng thức. 2 n 1 vaø n  1  1, n  N * .  2 2n n 1 2. 2. Daõy soá bò chaën:  Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho un  M, n  N*.  Dãy số (un) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho un  m, n  N*.  Dãy số (un) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho m  un  M , n  N*. Ví dụ: Chứng minh dãy số (un) với un = Giaûi:. n bò chaën. n 1 2. ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ......................................................................................................................  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... 42. ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 190.

(191) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Viết năm số hạng đầu của các dãy số có số hạng tổng quát un cho bởi công thức: 2n  1 n a) un = n ; b) un = n ; 2 1 2 1 n. n  1 c) un = 1   ; d) un = .  n n2  1 Bài 2: Cho dãy số (un), biết: u1 = -1, un+1 = un + 3 với n  1. a) Viết năm số hạng đầu của dãy số. b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: un = 3n – 4. Baøi 3: Xeùt tính taêng, giaûm cuûa caùc daõy soá (un), bieát: n 1 1 a) un =  2 ; b) un = ; n 1 n 2n  1 c) un = (-1)n(2n + 1); d) un = . 5n  2 Bài 4: Trong các dãy số (un) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn? 1 a) un = 2n2 – 1; b) un = ; n(n  2) 1 c) un = 2 ; d) un = sinn + cosn. 2n  1. Bài 5: Dãy số (un) cho bởi: u1 = 3, un+1 = 1  un2 , n  1. a) Viết năm số hạng đầu của dãy số. b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát un và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp. 2. Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Cho dãy số (un) với un = n2 - 4n + 3. a) Viết công thức truy hồi của dãy số; b) Chứng minh dãy số bị chặn dưới; c) Tính tổng n số hạng của dãy đã cho. u1  1  Bài 2: Dãy số (un) được xác định bởi công thức  . 3 u  u  n vớ i n  1 n  n1 a) Tìm công thức số hạng tổng quát; b) Tính số hạng thứ 100 của dãy số.. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 191. 43.

(192) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. §3. CAÁP SOÁ COÄNG  Biết bốn số hạng đầu của một dãy số là -1, 3, 7, 11. Từ đó chỉ ra một quy luật rồi viết tiếp năm số hạng của dãy đã cho theo quy luật đó.. I– ÑÒNH NGHÓA:  Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.  Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.  Nếu (un) là cấp số cộng với công sai d , ta có công thức truy hồi: un+1 = un + d với n  N*  Đặc biệt khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau). Ví dụ 1: Chứng minh dãy số hữu hạn sau là một cấp số cộng: 1, -3, -7, -11, -15. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ......................................................................................................................  Cho (un) là một cấp số cộng có sáu số hạng với u1 = . 1 3. , d = 3. Vieát daïng khai trieån cuûa noù.. II– SOÁ HAÏNG TOÅNG QUAÙT:  Hai baïn chôi troø xeáp caùc que dieâm thaønh hình thaùp treân mặt sân. Cách xếp được thể hiện ở hình bên. Hỏi nếu tháp có 100 tầng thì cần bao nhiêu que diêm để xếp tầng đế của tháp?. 1 taàng. 2 taàng. 3 taàng. Định lí: Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức: un = u1 + (n – 1)d với n  2 Ví duï: Cho caáp soá coäng (un), bieát u1 = -5, d = 3. a) Tìm u15. b) Số 100 là số hạng thứ bao nhiêu? c) Biểu diễn các số hạng u1, u2, u3, u4, u5 trên trục số. Nhận xét vị trí của mỗi điểm u2, u3, u4 so với hai ñieåm lieàn keà. Giaûi:. 44. ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 192.

(193) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. III– TÍNH CHAÁT CAÙC SOÁ HAÏNG CUÛA CAÁP SOÁ COÄNG: Định lí: Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là u  uk 1 với k  2 uk = k 1 2 IV– TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG: Định lí: Cho cấp số cộng (un). Đặt Sn = u1 + u2 + u3 +…+ un. Khi đó: n(u1  un ) Sn = 2 * Chú ý: Vì un = u1 + (n – 1)d nên công thức trên có thể viết: n(n  1) d Sn = nu1 + 2 Ví dụ: Cho dãy số (un) với un = 3n – 1. a) Chứng minh dãy (un) là cấp số cộng. Tìm u1 và d. b) Tính tổng của 50 số hạng đầu. c) Bieát Sn = 260, tìm n. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ......................................................................................................................  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 193. 45.

(194) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Tìm số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng sau, biết: u1  u3  u5  10 u7  u3  8 a)  ; b)  . u1  u6  17 u2 .u7  75 Bài 2: Trong các bài toán về cấp số cộng, ta thường gặp năm đại lượng u1, d, n, un, Sn. a) Hãy viết các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng đó. Cần phải biết ít nhất mấy đại lượng để có thể tìm được các đại lượng còn lại? b) Lập bảng theo mẫu sau và điền số thích hợp vào ô trống: u1 -2 3. d -4 4 27. un 55. Sn 120. 7 17. 2. n 20 15. -5. 12. 72 -205. Bài 3: Từ 0 giờ đến 12 giờ trưa, đồng hồ đánh bao nhiêu tiếng, nếu nó chỉ đánh chuông báo giờ và số tiếng chuông bằng số giờ? Bài 4: Trong các dãy số (un) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tính số hạng đầu và công sai của nó. n 7  3n a) un = 5 – 2n; b) un =  1 ; c) un = 3n ; d) un = . 2 2 Bài 5: Mặt sàn tầng một của một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0,5m. Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai goàm 21 baäc, moãi baäc cao 18 cm. a) Viết công thức để tìm độ cao của một bậc tuỳ ý so với mặt sân. b) Tính độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân. 2. Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Chứng minh rằng ba số dương a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi các số 1 1 1 , , theo thứ tự lập thành cấp số cộng. b c c a a b Bài 2: Có thể cómột tam giác mà số đo các cạnh và chu vi của nó lập thành một cấp số cộng được khoâng? CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 46. ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 194.

(195) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. §4. CAÁP SOÁ NHAÂN  Hãy tìm ra một quy luật của dãy số: 2, 4, 8, 16, 32, 64 và viết tiếp 5 số hạng tiếp theo của dãy theo quy luật đó. Nhận xét một cách tổng quát mối quan hệ giữa một số hạng và số hạng đứng trước nó trong dãy.. I– ÑÒNH NGHÓA:  Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.  Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.  Nếu (un) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi: un 1  un .q với n  N*. * Ñaëc bieät: Khi q = 0, caáp soá nhaân coù daïng u1, 0, 0,…,0,… Khi q = 1, caáp soá nhaân coù daïng u1, u1, u1,…, u1,… Khi u1 = 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0, 0, 0,…, 0,… Ví dụ: Chứng minh dãy số hữu hạn sau là một cấp số nhân: -4, 1, -. 1 1 1 , , . 4 16 64. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ......................................................................................................................  Nếu ô thứ nhất trên bàn cờ vua đặt 1 hạt thóc, ô thứ hai đặt 2 hạt, ô thứ ba đặt 4 hạt,... Hãy tính xem ô thứ 11 có mấy hạt?. II– SOÁ HAÏNG TOÅNG QUAÙT: Định lí: Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức: un  u1.q n 1 với n  2 1. Ví dụ 1: Cho cấp số nhân (un) với u1 = 3, q =  . 2. a) Tính u7;. b) Hoûi. 3 là số hạng thứ mấy? 256. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 195. 47.

(196) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. Ví dụ 2: Tế bào E.Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại phân đôi một lần. a) Hỏi một tế bào sau mười lần phân chia sẽ thành bao nhiêu tế bào? b) Nếu có 105 tế bào thì sau hai giờ sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào? Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ......................................................................................................................  Cho cấp số nhân (un) với u1 = -2 và q = . 1 2. .Viết năm số hạng đầu của dãy và so sánh. u22 với tích u1 .u3 , u32 với tích u2 .u4 ;. Từ đó nhận xét tổng quát từ kết quả trên.. III– TÍNH CHAÁT CAÙC SOÁ HAÏNG CUÛA CAÁP SOÁ NHAÂN: Định lí: Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là: uk2  uk 1.uk 1 (hay uk  uk 1.uk 1 ) với k  2 .  Nếu ô thứ nhất trên bàn cờ vua đặt 1 hạt thóc, ô thứ hai đặt 2 hạt, ô thứ ba đặt 4 hạt,... Hãy tổng số hạt thóc ở 11 ô đầu.. IV– TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ NHÂN: Định lí: Cho cấp số nhân (un) với công bội q  1. Đặt Sn  u1  u2  ...  un . Khi đó:. Sn . u1 (1  q n ) 1 q. * Chú ý: Nếu q = 1 thì cấp số nhân là u1, u1, u1,…, u1,… Khi đó Sn = n.u1. Ví dụ: Cho cấp số nhân (un), biết u1 = 2, u3 = 18. Tính tổng của mười số hạng đầu tiên. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ......................................................................................................................  Tính toång S = 1 . 48. 1 1 1  2  ...  n 3 3 3 ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 196.

(197) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11.  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Cho cấp số nhân (un) với công bội q. a) Bieát u1 = 2, u6 = 486. Tìm q? 8 2 b) Bieát q = , u4 = . Tìm u1? 21 3 c) Biết u1 = 3, q = -2. Hỏi số 192 là số hạng thứ mấy? Baøi 2: Tìm caùc soá haïng cuûa caáp soá nhaân (un) coù naêm soá haïng, bieát: a) u3 = 3 vaø u5 = 27. b) u4 – u2 = 25 vaø u3 – u1 = 50. Bài 3: Tỉ lệ tăng dân số của tỉnh X là 1,4%. Biết rằng số dân của tỉnh hiện nay là 1,8 triệu người. Hỏi với mức tăng như vậy thì sau 5 năm, 10 năm số dân của tỉnh đó là bao nhiêu? 3 5 1 Bài 4: Chứng minh các dãy số ( .2 n ) , ( n ) , (( ) n ) là các cấp số nhân. 5 2 2 Bài 5: Tìm cấp số nhân có sáu số hạng, biết rằng tổng của năm số hạng đầu là 31 và tổng của năm số haïng sau laø 62. Bài 6: Cho hình vuông C1 có cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông C2. Từ hình vuông C2 lại làm tiếp như trên, ta nhận được dãy các hình vuông C1, C2, C3, …, Cn,… Gọi an là độ dài cạnh của hình vuông Cn. Chứng minh daõy soá (an) laø moät caáp soá nhaân. 2. Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Cho dãy số (un) với un = 22n + 1. a) Chứng minh dãy số (un) là cấp số nhân. nêu nhận xét về tính tăng, giảm của dãy số; b) Lập công thức truy hồi của dãy số; c) Hỏi số 2048 là số hạng thứ mấy của dãy số này? Bài 2: Cho bốn số nguyên dương, trong đó ba số đầu lập thành một cấp số cộng, ba số sau lập thành một cấp số nhân. Biết tổng của số hạng đầu và cuối là 37, tổng của hai số hạng giữa là 36, tìm bốn số đó.. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 197. 49.

(198) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. * OÂN TAÄP CHÖÔNG III * ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................ 50. ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 198.

(199) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................ BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Chứng minh rằng với mọi n  N*, ta có: a) 13n  1 chia heát cho 6 b) 3n3  15n chia heát cho 9. Bài 2: Cho dãy số (un), biết u1 = 2, un+1 = 2un -1 (với n  1 ). a) Viết năm số hạng đầu của dãy. b) Chứng minh un = 2n 1  1 bằng phương pháp quy nạp. Baøi 3: Xeùt tính taêng, giaûm vaø bò chaën cuûa caùc daõy soá (un), bieát: 1 1 n 1 a) un  n  ; b) un =  1 sin ; c) un = n 1  n . n n Bài 4: Tìm số hạng đầu u1 và công sai d của các cấp số cộng (un), biết: u7  u15  60 5u1  10u5  0 a)  ; b)  2 . 2 S4  14 u4  u12  1170 Bài 5: Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của các cấp số nhân (un), biết: u2  u5  u4  10 u6  192 u4  u2  72 a)  ; b)  ; c)  . u5  u3  144 u3  u6  u5  20 u7  384 Bài 6: Tứ giác ABCD có số đo (độ) của các góc lập thành một cấp số cộng theo thứ tự A, B, C, D. Biết rằng góc C gấp năm lần góc A. Tính các góc của tứ giác? Baøi 7: Bieát raèng ba soá x, y, z laäp thaønh moät caáp soá nhaân vaø ba soá x, 2y, 3z laäp thaønh moät caáp soá coäng. Tìm coâng boäi cuûa caáp soá nhaân. Bài 8: Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích đế tháp. Biết diện tích bề mặt đế tháp là 12 288 m2. Tính diện tích mặt trên cùng? 2. Baøi taäp naâng cao: 1 1 Bài 1: Chứng minh rằng nếu các số a2, b2, c2 lập thành một cấp số cộng (abc  0) thì các số , , bc ca 1 cuõng laäp thaønh moät caáp soá coäng. ab Baøi 2: Tính toång: 1 3 5 2n  1 a)  2  3  ...  n ; b) 12 - 22 + 32 - 42 + ... + (-1)n-1.n2. 2 2 2 2 CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 199. 51.

(200) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN ----- oOo -----.  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: Tính chaát cuûa caên baäc hai:.  A neáu A  0 A2  A    A neáu A  0.  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... 52. ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 200.

(201) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. §1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ I– GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ: 1. Ñònh nghóa:  Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hieäu: lim un  0 hay un 0 khi n   . n  .  Ta nói dãy số (vn) có giới hạn là số a (hay vn dần tới a) khi n   , nếu lim (vn – a) = 0. n  . Kí hieäu: lim vn = a hay vn a khi n   . n  . Ví dụ: Cho dãy số (vn) với vn =. 2n  1 . Chứng minh rằng lim vn = 2. n   n. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... 2. Một vài giới hạn đặc biệt: Từ định nghĩa ta suy ra các kết quả sau: 1 1  0 ; lim k  0 với k nguyên dương; a) lim n   n n   n n b) lim q  0 neáu q  1 ; n  . c) Neáu un = c (c laø haèng soá) thì lim un = lim c = c. n  . n  . * Chú ý: Từ nay về sau thay cho lim un = a, ta viết tắt là limun = a. n  . II– ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN: Ñònh lí: a) Neáu limun = a vaø limvn = b thì:  lim(un + vn) = a + b;.  lim(un – vn) = a – b; u a  lim n  (neáu b  0). vn b.  lim(un.vn) = a.b;. b) Nếu un  0 với mọi n và limun = a thì a  0 và lim un  a .. 3n 2  n Ví duï 1: Tìm lim . 1  n2 Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 201. 53.

(202) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. * Nhaän xeùt:................................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... 1  4n 2 Ví duï 2: Tìm lim . 1  2n Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... * Nhaän xeùt:................................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... III – TOÅNG CUÛA CAÁP SOÁ NHAÂN LUØI VOÂ HAÏN:  Cấp số nhân vô hạn (un) có công bội q, với q < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.  Lấy hai ví dụ về cấp số nhân lùi vô hạn (ứng với q âm và q dương), sau đó tính tổng n số hạng đầu tiên của các cấp số nhân đã cho theo n..  Gọi S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (un) hay S = u1 + u2 + u3 +…+ un +…. Khi đó: u S= 1  q  1. 1 q Ví duï: a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (un), với un = 1 1 1  1 b) Tính toång 1     ...    2 4 8  2  Giaûi:. 54. 1 . 3n. n 1.  .... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 202.

(203) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. IV– GIỚI HẠN VÔ CỰC: 1. Ñònh nghóa:  Ta nói dãy số (un) có giới hạn   khi n   , nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hieäu: limun =   hay un =   khi n   .  Dãy số (un) được gọi là có giới hạn   khi n   nếu lim  un    . Kí hieäu: limun =   hay un   khi n   .. * Nhaän xeùt: limun =    lim  un    .. 2. Một vài giới hạn đặc biệt: Ta thừa nhận các kết quả sau: a) lim nk   với k nguyên dương b) lim q n   neáu q > 1. 3. Ñònh lí: a) Neáu limun = a vaø limvn =   thì lim. un  0. vn. b) Nếu limun = a > 0, limvn = 0 và vn > 0 với mọi n thì lim. un   . vn. c) Neáu limun =   vaø limvn = a > 0 thì limunvn =   . 2n  5 Ví duï 1: Tìm lim . n.3n Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... Ví duï 2: Tìm lim(n2 - 2n - 1). Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... * Nhaän xeùt:................................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 203. 55.

(204) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. Ví duï 3: lim. 3n  5.4n . 4n  2n. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... * Nhaän xeùt:................................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................................................................................  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... 56. ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 204.

(205) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Tính các giới hạn sau:. 2  3n 9n 2  n  1 3n 2  n  5 6n  1 lim( ) ; b) lim ; c) Tính ; d) lim . 3n  2 2n 2  1 4n  2 2 n  3n Bài 2: Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột Mickey quyết định tô màu một miếng bìa hình vuông cạnh bằng 1. Nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là 1, 2, 3,…, n,…, trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh của hình vuông trước đó. Giả sử quy trình tô màu của Mickey có theå tieán ra voâ haïn. a) Gọi un là diện tích của hình vuông màu xám thứ n. Tính u1, u2, u3 và un. b) Tím limSn với Sn = u1 + u2 + u3 +…+ un.  1n 1 1 Baøi 3: Tính toång S =  1   2  ...  n 1  ... 10 10 10 Bài 4: Tính các giới hạn sau: a) lim(n3 + 2n2 - n + 1); b) lim(-n2 + 5n - 2); a) lim. c) lim( n 2  n - n);. d) lim( n 2  n + n).. Bài 5: Cho hai dãy số (un) và (vn). Biết limun = 3, limvn =   . Tính các giới hạn: 3u  1 v 2 a) lim n ; b) lim n2 . un  1 vn  1 2. Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Có 1kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian T = 24 000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe của con người (T được gọi là chu kì bán rã). Gọi un là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n. a) Tìm soá haïng toång quaùt un cuûa daõy soá (un). b) Chứng minh rằng (un) có giới hạn là 0. c) Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, cho biết chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phoùng xaï coøn laïi beù hôn 106 g. 1 Bài 2: Biết dãy số (un) thoả mãn un  1  3 với mọi n. Chứng minh rằng limun = 1. n Bài 3: Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 1,020 202… (với chu kì là 02). Hãy viết số a dưới dạng một phaân soá.. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 205. 57.

(206) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. §2. GIỚI HẠN CỦA HAØM SỐ I– GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HAØM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM: Kí hiệu: K = (a; b) hoặc K = (-; b) hoặc K = (a; +) hoặc K = (-; +) 1. Ñònh nghóa: Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc trên K\{x0}. Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, xn K\{x0} và xn  x0 , ta coù f(x)  L . Kí hieäu: lim f ( x)  L hay f(x)  L khi x  x0 . x  x0. Ví duï 1: Cho haøm soá f ( x) . x2  4 . Chứng minh rằng lim f ( x)  4 . x  2 x2. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... * Nhaän xeùt:  lim x  x 0 x  x0.  lim c  c , với c là hằng số. x  x0. 2. Định lí về giới hạn hữu hạn: Ñònh lí: a) Giả sử lim f ( x)  L và lim g ( x)  M. Khi đó: x  x0. x  x0.  lim  f ( x)  g ( x)  L  M ; x  x0.  lim  f ( x)  g ( x)  L  M ; x  x0.  lim  f ( x).g ( x)  L.M ; x  x0.  f ( x)  L   lim  (neáu M  0) . x  x0 g ( x)    M b) Neáu f ( x)  0 vaø lim f ( x)  L , thì L  0 vaø lim x  x0. x  x0. f ( x)  L .. (Dấu của f(x) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn, với x  x0 ). Ví duï 1: Cho haøm soá f ( x) . x2  1 . Tìm lim f ( x) ? x3 2 x. Giaûi:. 58. ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 206.

(207) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. x2  x  2 . x 1 x 1. Ví duï 2: Tính lim Giaûi:. ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... 3. Giới hạn một bên: Ñònh nghóa:  Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x0; b). Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) khi x  x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, x0  xn  b và xn  x0 , ta có f ( xn )  L . Kí hieäu: lim f ( x)  L . x  x0.  Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; x0 ). Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f(x) khi x  x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, a  xn  x0 và xn  x0 , ta có f ( xn )  L . Kí hieäu: lim f ( x)  L . x  x0. Ñònh lí: lim f ( x)  L khi vaø chæ khi lim f ( x)  lim f ( x)  L . x  x0. x  x0. x  x0. 5x  2 khi x  1 Ví duï 1: Cho haøm soá f(x) =  2 . Tính giới hạn của hàm số khi x  1 (nếu có).  x  3 khi x  1 Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... 5x  a khi x  1 Ví duï 2: Cho haøm soá f(x) =  2 . Tìm a để hàm số có giới hạn khi x  1, tính giới hạn đó.  x  3 khi x  1 Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 207. 59.

(208) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. II– GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HAØM SỐ TẠI VÔ CỰC: Ñònh nghóa: a) Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +). Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x   neáu voùi daõy soá (xn) baát kì, xn > a vaø xn   , ta coù f ( xn )  L . Kí hieäu: lim f ( x)  L hay f ( x)  L khi x   . x  . b) Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (-; a). Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x   neáu voùi daõy soá (xn) baát kì, xn < a vaø xn   , ta coù f ( xn )  L . Kí hieäu: lim f ( x)  L hay f ( x)  L khi x   . x  . Ví duï: Cho haøm soá f ( x) . 2x  3 . Tìm lim f ( x) vaø lim f ( x) . x   x   x 1. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... * Chuù yù: a) Với c, k là các hằng số và k nguyên dương, ta luôn có:  lim c  c vaø lim c  c ; x . x . c c  0 vaø lim k  0 . k x  x x  x b) Định lí 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi x  x0 vẫn còn đúng khi x   hoặc xn   .  lim. Ví duï: Tìm lim f ( x)  x  . 3x 2  2 x . x2  1. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... * Nhaän xeùt:................................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... 60. ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 208.

(209) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. III– GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HAØM SỐ: 1. Giới hạn vô cực: Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;   ). Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là   khi x   nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn   , ta có f ( xn )   . Kí hieäu: lim f ( x)   hay f (x)   khi x   . x  . * Nhaän xeùt: lim f ( x)    lim ( f ( x))   . x  . x  . 2. Một vài giới hạn đặc biệt: a) lim x k   với k nguyên dương. n  . b) lim x k   neáu k laø soá leû. n  . c) lim x k   neáu k laø soá chaün. n  . 3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực: a) Quy tắc tìm giới hạn của tích: f(x).g(x) Nếu lim f ( x)  L  0 và lim g ( x)   (hoặc   ) thì lim f ( x).g ( x) được tính theo quy tắc cho x  x0. x  x0. x x 0. trong baûng sau:. lim f ( x). lim g ( x). x x0. x x 0.    . L>0 L<0 b) Quy tắc tìm giới hạn của thương:. lim f ( x). x x0.    . f ( x) g ( x). lim g ( x). x x 0. lim f ( x).g ( x). x x0. Daáu cuûa g(x). lim. x x 0. f ( x) g ( x). Tuyø yù 0 +  L>0  0 +  L<0    * Nhận xét: Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp x  x 0 , x  x 0 , x  +, x  -. L. . Ví duï 1: Tìm lim ( x 3  2 x ) . x . Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... * Nhaän xeùt:................................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 209. 61.

(210) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau: a) lim x 1. 2x  3 ; x 1. b) lim x 1. 2x  3 . x 1. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ......................................................................................................................  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... 62. ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 210.

(211) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Tính các giới hạn sau: x2  1 a) lim ; x  3 x  1 2x  6 d) lim ; x   4  x Bài 2: Tính các giới hạn sau: 3x  5 a) lim ; x 2 ( x  2) 2 Baøi 3: Tính: a) lim ( x 4  x 2  x  1) ;. 4  x2 b) lim ; x  2 x  2 17 e) lim 2 ; x   x  1 b) lim x 1. x3 3 ; x6  2x2  x  1 f) lim . x   3 x. c) lim. x 6. 2x  7 ; x 1. c) lim x 1. b) lim (2 x3  3x 2  5) ;. x  . c) lim. x  . 2x  7 . x 1. x  . x  2x  5 ;. d) lim. 2. x  . x2  1  x . 5  2x. Bài 4: Dùng định nghĩa, tìm các giới hạn sau: 2  5x2 x 1 ; b) lim 2 . a) lim x   x  3 x  4 3x  2 2. Baøi taäp naâng cao:  x  1 khi x  0 1 1 Baøi 1: Cho haøm soá f ( x )   và các dãy số (un) với un  , (vn) với vn   . n n  2 x khi x  0 a) Tính limun, limvn, lim f (un ) vaø lim f (vn ) . b) Từ đó có kết luận gì về giới hạn của hàm số đã cho khi x  0 ? Bài 2: Tính giới hạn của các hàm số khi x  + và khi x  - a) f(x) =. x 2  3x ; x2. b) f(x) = x +. x2  x 1 ;. c) f(x) =. x2  x  x2 1 .. 3  1   3 khi x  1 Baøi 3: Cho haøm soá f(x) =  x  1 x  1 .  mx  2 khi x  1 Với giá trị nào của tham số m thì hàm số f(x) có giới hạn khi x  1? Tìm giới hạn này.. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 211. 63.

(212) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. §3. HAØM SOÁ LIEÂN TUÏC I– HAØM SOÁ LIEÂN TUÏC TAÏI MOÄT ÑIEÅM: Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và x0  K. Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục taïi x0 neáu lim f ( x )  f ( x 0 ) . x  x0. Ví duï: Xeùt tính lieân tuïc cuûa haøm soá f ( x) . x taïi x0 = 3. x2. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ......................................................................................................................  Hàm số y = f(x) không liên tục tại x0 được gọi là hàm số gián đoạn tại điểm đó. II– HAØM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG: Ñònh nghóa:  Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.  Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên một đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a; b) và lim f ( x)  f (a) , lim f ( x)  f (b) . x a. x b. Khái niệm hàm số liên tục trên nửa khoảng, như (a; b], [a; +),... được định nghĩa một cách tương tự. * Nhận xét: Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một “đường liền” trên khoảng đó. y. y. a. x. a. O. b. x. O. b. Haøm soá lieân tuïc treân (a; b). Haøm soá khoâng lieân tuïc treân (a; b). III– MOÄT SOÁ ÑÒNH LÍ CÔ BAÛN: Ñònh lí 1: a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R. b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng. Định lí 2: Giả sử y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x0. Khi đó: a) Caùc haøm soá y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x) vaø y = f(x).g(x) lieân tuïc taïi x0; f ( x) b) Haøm soá y  lieân tuïc taïi x0 neáu g(x0)  0. g ( x). 2x 2  2x  Ví duï: Cho haøm soá h(x) =  x  1 khi x  1 . Xeùt tính lieân tuïc cuûa haøm soá treân taäp xaùc ñònh cuûa noù. 5 khi x  1 Giaûi: 64. ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 212.

(213) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... Định lí 3: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0, thì tồn tại ít nhất một điểm c  (a; b) sao cho f(c) = 0.. y. y. f(b) a. f(a). x O. b. O. a. f(a). b. x. f(b). * Nhaän xeùt:................................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... Ví dụ: Chứng minh rằng phương trình x3  2 x  5  0 có ít nhất một nghiệm. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... * Nhaän xeùt:................................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................................................................................  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 213. 65.

(214) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Baøi 1: a) Duøng ñònh nghóa xeùt tính lieân tuïc cuûa haøm soá f ( x)  x3  2 x  1 taïi x0 = 3..  x3  8  b) Xeùt tính lieân tuïc cuûa haøm soá y = g(x) taïi x0 = 2, bieát g( x )   x  2 khi x  2 . 5 khi x  2 c) Trong biểu thức xác định g(x) ở trên, cần thay số 5 bởi số nào để hàm số liên tục tại x0 = 2.  3x  2 khi x  1 Baøi 2: Cho haøm soá f(x) =  2 .  x  1 khi x  1 a) Vẽ đồ thị của hàm số y = f(x). Từ đó nêu lên nhận xét về tính liên tục của hàm số trên tập xác ñònh cuûa noù. b) Khẳng định nhận xét trên bằng một chứng minh. Bài 3: Chứng minh rằng phương trình: a) 2 x3  6 x  1  0 coù ít nhaát hai nghieäm; b) cosx = x coù nghieäm. x 1 Baøi 4: Cho caùc haøm soá f ( x)  2 và g(x) = tanx + sinx. Với mỗi hàm số, hãy xác định các khoảng x  x6 trên đó hàm số liên tục. 2. Baøi taäp naâng cao:  x 1 , neáu x  1  taïi x = 1. Baøi 1: Xeùt tính lieân tuïc cuûa haøm soá g(x) =  2  x  1   2 x , neáu x  1.  x2  x  2  Bài 2: Tìm giá trị của tham số m để hàm số f(x) =  x  2 , nếu x  2 liên tục tại x = 2.  m , neáu x  2. Bài 3: Chứng minh rằng phương trình (1 - m2)x5 - 3x - 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi tham số m.. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 66. ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 214.

(215) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. * OÂN TAÄP CHÖÔNG IV * ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................ ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 215. 67.

(216) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Tên của một học sinh được mã hóa bởi số 1530. Biết rằng mỗi chữ số trong số này là giá trị của một trong các biểu thức A, H, N, O với: 3n  1 a) A  lim ; b) H = lim( n 2  2n  n) ; n2 3n  5.4n n 2 c) N  lim ; d) O  lim . 1  4n 3n  7 Hãy cho biết tên của học sinh này, bằng cách thay các chữ số trên bởi các chữ kí hiệu biểu thức tương ứng. Bài 2: Tìm các giới hạn sau: x2  5x  6 2x  5 x3 a) lim 2 ; b) lim ; c) lim ; 2 x  3 x2 x  x  4 x4 x  4 x  3x. x2  2x  4  x x3 ; f) lim . x  x   x   3 x  1 3x  1  x2  x  2  Baøi 3: Xeùt tính lieân tuïc treân R cuûa haøm soá g(x) =  x  2 khi x  2 .  5  x khi x  2 5 4 Bài 4: Chứng minh rằng phương trình x  3x  5x  2  0 có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng (-2; 5). Baøi 5: a) Coù nhaän xeùt gì veà coâng boäi cuûa caùc caáp soá nhaân luøi voâ haïn? b) Cho ví duï veà moät caáp soá nhaân luøi voâ haïn coù coâng boäi laø soá aâm vaø moät caáp soá nhaân luøi voâ haïn có công bội là số dương và tính tổng của mỗi cấp số nhân đó. 2. Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Cho hai dãy số (un) và (vn). Biết un  2  vn với mọi n và limvn = 0. Có kết luận gì về giới hạn của d) lim ( x 3  x 2  2 x  1) ;. e) lim. daõy soá (un)? Bài 2: Chứng minh rằng phương trình: a) m(x - 1)3(x2 - 4) + x4 - 3 = 0 luôn có ít nhất hai nghiệm với mọi giá trị của tham số m. b) x3 - 3x = m có ít nhất hai nghiệm với mọi giá trị của m  (-2; 2).  u1  1  2u  3 Bài 3: Cho dãy số (un) xác định bởi  . un1  n với n  1  un  2 a) Chứng minh rằng un > 0 với mọi n. b) Biết (un) có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 68. ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 216.

(217) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. CHƯƠNG V. ĐẠO HAØM ----- oOo -----.  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: 1. Hệ số góc của đường thẳng: y. . O. x.  Tang của góc tạo bởi đường thẳng  và trục hoành được gọi là hệ số góc của đường thẳng .  Đường thẳng : y = ax + b có hệ số góc là k = a.. 2. Phương trình đường thẳng: Đường thẳng  đi qua M(x0; y0), hệ số góc k có dạng: y - y0 = k(x - x0)  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 217. 69.

(218) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. §1. ĐỊNH NGHĨA VAØ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HAØM I– ĐẠO HAØM TẠI MỘT ĐIỂM: 1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm: Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0  (a; b). Nếu tồn tại giới hạn (hữu f ( x)  f ( x0 ) haïn) lim thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 và kí hiệu là x  x0 x  x0 f ( x)  f ( x0 ) . f’(x0) (hoặc y’(x0)), tức là: f'(x0) = lim x  x0 x  x0 * Chuù yù:  Đại lượng x = x - x0 được gọi là số gia của đối số tại x0.  Đại lượng y = f(x) - f(x0) = f(x0 + x) - f(x0) được gọi là số gia tương ứng của hàm số. Vậy: y y’(x0) = lim x  0 x 2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa: Quy taéc:  Bước 1: Giả sử x là số gia của đối số tại x0, tính y  f ( x0  x)  f ( x0 ) .. y . x y  Bước 3: Tìm lim . x  0 x  Bước 2: Lập tỉ số. Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số f ( x) . 1 taïi ñieåm x0 = 2. x. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... 3. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số: Định lí 1: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó. * Chuù yù: a) Định lí trên tương đương với khẳng định: Nếu hàm số y = f(x) gián đoạn tại x0 thì nó không có đạo hàm tại điểm đó. b) Mệnh đề đảo của Định lí 1 không đúng. Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó. 4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm:  a) Vẽ đồ thị hàm số f ( x ) . x. 2. 2. .. b) Tính f'(1). c) Vẽ đường thẳng đi qua điểm M(1;. 1 2. ) và có hệ số góc bằng f'(1). Nêu nhận xét về vị trí tương đối của đường thẳng này và. đồ thị hàm số đã cho.. 70. ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 218.

(219) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. a) Tiếp tuyến của đường cong phẳng: Là đường thẳng tiếp xúc y (C) với đường cong (C) tại một điểm M; điểm M được gọi là tiếp điểm. b) Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Cho hàm số y = f(x) xác định M f(x) trên khoảng (a; b) và có đạo hàm tại x0  (a; b). Gọi (C) là đồ thị của T hàm số đó. Định lí: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc f(x0) M0 cuûa tieáp tuyeán M0T cuûa (C) taïi ñieåm M0(x0; f(x0)). c) Phöông trình tieáp tuyeán: x x0 x O Định lí: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) taïi ñieåm M0(x0; f(x0)) laø: y - y0 = f'(x0)(x - x0) trong đó y0 = f(x0). 2 Ví dụ: Cho parabol y = -x + 3x - 2. Viết phương trình tiếp tuyến của parabol tại điểm có hoành độ x = 2. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... II– ĐẠO HAØM TRÊN MỘT KHOẢNG: Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó. Khi đó, ta gọi hàm số f': (a; b)  R x  f'(x) là đạo hàm của hàm số y = f(x) trên khoảng (a; b), kí hiệu là y’ hay f’(x). Ví dụ: Hàm số y = x2 có đạo hàm y’ = 2x trên khoảng (-; +). Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ......................................................................................................................  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 219. 71.

(220) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Baøi 1: Tính y vaø a) y  2 x  5 ;. y cuûa caùc haøm soá sau theo x vaø x: x b) y  x 2  1 ;. c) y  2x3 ;. d) y . 1 . x. Bài 2: Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của hàm số y = x2 + x tại x0 = 1; Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = x3: a) Taïi ñieåm (-1; -1); b) Tại điểm có hoành độ bằng 2; c) Bieát heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán baèng 3. 1 Bài 4: Một vật rơi tự do theo phương trình s = gt2, trong đó g  9,8m/s2 là gia tốc trọng trường. 2 a) Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t (t = 5s) đến t + t, trong các trường hợp t = 0,1s; t = 0,05s; t = 0,001s. b) Tìm vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 5s. Baøi 5: Tìm soá gia cuûa haøm soá f(x) = x3, bieát raèng: a) x0 = 1; x = 1; b) x0 = 1; x = -0,1. Bài 6: Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra: 1 x 1 b) y  taïi x0 = 0. a) y  , taïi x0 = 2; x x 1 1 Bài 7: Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol y  x 1 a) Taïi ñieåm ( ; 2); 2 b) Tại điểm có hoành độ bằng -1; 1 c) Bieát heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán baèng - . 4 2. Baøi taäp naâng cao: ( x  1)2 khi x  0 Bài 1: Chứng minh rằng hàm số f(x) =  2 không có đạo hàm tại điểm x = 0 nhưng có đạo khi x  0  x haøm taïi ñieåm x = 2. ( x  1)2 , neáu x  0 Bài 2: Chứng minh hàm số f(x) =  không có đạo hàm tại x = 0, nhưng liên tục tại đó. 2 ( x  1 ) , neá u x  0 . CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 72. ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 220.

(221) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. §2. QUY TẮC TÍNH ĐẠO HAØM I– ĐẠO HAØM CỦA MỘT HAØM SỐ THƯỜNG GẶP: Định lí 1: Hàm số y  x n ( n  N , n  1) có đạo hàm tại mọi x  R và: (xn)' = nxn - 1 * Nhaän xeùt: Đạo hàm của hàm hằng bằng 0: (c') = 0 (c = const) Đạo hàm của hàm số y = x bằng 1: (x)' = 1 Định lí 2: Hàm số y = x có đạo hàm tại mọi x dương và: 1 ( x )'  2 x II– ĐẠO HAØM CỦA TỔNG, HIỆU, TÍCH, THƯƠNG: 1. Ñònh lí: Giả sử u = u(x), v = v(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có:  (u + v)' = u' + v';  (u - v)' = u' - v'; u u' v  v' u ( )'  (v = v(x) ≠ 0).  (u.v)' = u'v + v'u;  v v2 Toång quaùt: (u1  u2  ...  un)' = (u1)'  (u2)'  ...  (un)'. Ví dụ: Tìm đạo hàm của hàm số y = x2 - x4 + x . Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ......................................................................................................................  Tính đạo hàm các hàm số y = 5x3 - 2x5, y =  x. 3. x. 2. Heä quaû: Heä quaû 1: Neáu k laø moät haèng soá thì (ku)' = ku'. 1 v' Heä quaû 2: ( )'   2 ( v  v( x)  0) . v v III– ĐẠO HAØM CỦA HAØM HỢP: 1. Hàm hợp: Giả sử u = g(x) là hàm số của x, xác định trên khoảng (a; b) và lấy giá trị trên khoảng (c; d); y = f(u) là hàm số của u, xác định trên (c; d) và lấy giá trị trên R. Khi đó, ta lập một hàm số xác định trên (a; b) vaø laáy giaù trò treân R theo quy taéc sau: x  f(g(x)) Ta gọi hàm số y = f(g(x)) là hàm hợp của hàm y = f(u) với u = g(x). Ví dụ 1: Hàm số y = (1 - x3)10 là hàm số hợp của hàm số ........................................... với u = .................................... Ví dụ 2: Tìm hàm số hợp của hàm số y = f(u) = u3 biết u = Giaûi:. x2 1 .. ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 221. 73.

(222) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. 2. Đạo hàm của hàm hợp: Định lí: Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm tại x là u'x và hàm số y = f(x) có đạo hàm tại u là y'u thì hàm hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại x là: y'x = y'u.u'x. 3 Ví dụ: Tìm đạo hàm của hàm số y = (1 - 2x) . Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ......................................................................................................................  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... 74. ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 222.

(223) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a) y  x5  4 x3  2 x  3 ;. b) y . x 4 2 x3 4 x 2    1; 2 3 5 Bài 2: Tìm đạo hàm của các hàm số sau: c) y . a) y = (x7 - 5x2)3;. 1 1  x  x 2  0,5 x 4 ; 4 3. d) y  3x5 (8  3x 2 ) .. b) y = (x2 + 1)(5 - 3x2);. 3  5x n ; e) y = (m  2 )3 (m, n laø caùc haèng soá). x  x 1 x Bài 3: Tìm đạo hàm của các hàm số sau: d) y =. c) y =. 2x ; x2 1. 2. a) y = x 2  x x  1 ; x3 c) y = (a laø haèng soá); a2  x 2. b) y =. 2  5x  x 2 ; 1 x d) y = . 1 x. Bài 4: Cho y  x3  3x 2  2 . Tìm x để: a) y’ > 0; b) y’ < 3. 2. Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y  7  x  x 2 taïi x0 = 1; b) y  x3  2 x  1 taïi x0 = 2. Bài 2: Cho f(x) = x5 + x3 - 2x - 3. Chứng minh rằng: f'(1) + f'(-1) = -4f(0). 2 x2 x3  . Giaûi baát phöông trình f(x)  g(x). Baøi 3: Cho f(x) = , g(x) = 2 3 x. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 223. 75.

(224) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. §3. ĐẠO HAØM CỦA HAØM SỐ LƯỢNG GIÁC 1. Giới hạn của hàm số y =  Tính. sin x : x. sin 0,01 sin 0,001 baèng maùy tính boû tuùi. , 0,01 0,001. sin x 1 x tan x . Ví duï 1: Tính lim x 0 x Giaûi: Ñònh lí 1: lim x 0. ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... sin 2 x . x 0 x. Ví duï 2: Tính lim Giaûi:. ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... 2. Đạo hàm của hàm số y = sinx: Định lí: Hàm số y = sinx có đạo hàm tại mọi x  R và (sinx)’ = cosx * Chuù yù: Neáu y = sinu vaø u = u(x) thì: (sinu)’ = u’.cosu. . Ví dụ: Tìm đạo hàm của hàm số y = sin(3x  ) . 5 Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... 3. Đạo hàm của hàm số y = cosx:  Tính đạo hàm của hàm số y = sin(.  2.  x) .. Định lí: Hàm số y = cosx có đạo hàm tại mọi x  R và (cosx)’ = -sinx * Chuù yù: Neáu y = cosu vaø u = u(x) thì: (cosu)’ = -u’.sinu 76. ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 224.

(225) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. Ví dụ: Tìm đạo hàm của hàm số y = cos(x3 - 1). Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... 4. Đạo hàm của hàm số y = tanx:  Tính đạo hàm của hàm f ( x ) . sin x cos x. (x .  2.  k , k  Z ).  + k, k  Z vaø: 2 1 (tan x )'  cos 2 x. * Định lí: Hàm số y = tanx có đạo hàm tại mọi x ≠. * Chuù yù: Neáu y = tanu vaø u = u(x) thì ta coù:. (tan u)' . u' cos 2 u. Ví dụ: Tìm đạo hàm của hàm số y = tan(3x2 + 5). Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... 5. Đạo hàm của hàm số y = cotx:  Tính đạo hàm của hàm số y = tan(.  2.  x ) với x ≠ k, k  Z.. Định lí: Hàm số y = cotx có đạo hàm tại mọi x ≠ k, k  Z và: 1 (cot x )'   2 sin x * Chuù yù: Neáu y = cotu vaø u = u(x), ta coù: u' (cot u)'   2 sin u 3 Ví dụ: Tìm đạo hàm của hàm số y = cot (3x - 1). Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ......................................................................................................................  Ghi chuù: ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 225. 77.

(226) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a) y = 5sinx - 3cosx;. b) y =. sin x  cos x ; sin x  cos x. c) y = xcotx;. sin x x ; e) y = 1 2 tan x ; f) y = sin 1  x 2 .  x sin x Bài 2: Chứng nminh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x: a) y = sin6x + cos6x + 3sin2x.cos2x;   2 2 b) y = cos 2 (  x )  cos 2 (  x )  cos 2 (  x )  cos 2 (  x )  2 sin 2 x . 3 3 3 3 Baøi 3: Giaûi phöông trình f'(x) = 0, bieát raèng: 2  x ). a) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x; b) f(x) = 1 - sin( + x) + 2cos ( 2 Bài 4: Tìm đạo hàm của các hàm số sau: x2  2x  3 x2  7 x  3 x 1 2x  3 a) y  ; b) y  ; c) y  ; d) y  . 3  4x x 2  3x 5x  2 7  3x Bài 5: Tìm đạo hàm của các hàm số sau: 1 a) y = (9 - 2x)(2x3 - 9x2 + 1); b) y = (6 x  2 )(7 x  3) ; c) y = ( x  2) x 2  1 ; x x d) y = tan2x - cot2x; e) y = cos . 1 x f ' (1) x Baøi 6: Tính , bieát raèng f(x) = x2 vaø (x) = 4x + sin .  ' (1) 2 2. Baøi taäp naâng cao: Baøi 1: Giaûi caùc baát phöông trình sau: x2  x  2 x2  3 2x 1 a) y’ < 0 với y = ; b) y’  0 với y = ; c) y’ > 0 với y = 2 . x 1 x 1 x x4 Baøi 2: Giaûi baát phöông trình f'(x) > g'(x), bieát raèng: x2 a) f(x) = x3 +x - 2 , g(x) = 3x2 + x + 2 ; b) f(x) = 2x3 - x2 + 3 , g(x) = x3 + - 3. 2 d) y =. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 78. ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 226.

(227) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. §4. VI PHAÂN 1. Ñònh nghóa:  Cho haøm soá f(x) =. x , x0 = 4 vaø x = 0.01. Tính f'(x0)x.. Ta gọi tích f'(x)x là vi phân của hàm số y = f(x) tại x ứng với số gia x. Kí hiệu là df(x) hoặc dy, tức là: dy = df(x) = f'(x)x * Chú ý: Áp dụng định nghĩa trên vào hàm số y = x, ta có: dx = d(x) = (x)'x = 1.x = x. Do đó, với hàm soá y = f(x) ta coù: dy = df(x) = f'(x)dx Ví duï: Tìm vi phaân cuûa caùc haøm soá sau: a) y = x3 - 5x + 1; b) y = sin3x. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... 2. Ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng: f(x0 + x)  f(x0) + f'(x0)x Ví dụ: Tính giá trị gần đúng của Giaûi:. 3.99 .. ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ......................................................................................................................  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi 1: Tìm vi phaân cuûa caùc haøm soá sau: x a) y  (a, b laø caùc haèng soá); ab Baøi 2: Tìm dy, bieát:. b) y = ( x 2  4 x  1)( x 2  x ) .. a) y  tan2 x ;. b) y . cos x . 1  x2. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 227. 79.

(228) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. §5. ĐẠO HAØM CẤP HAI I– ÑÒNH NGHÓA: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mỗi điểm x  (a; b). Khi đó, hệ thức y' = f'(x) xác định một hàm số mới trên khoảng (a; b). Nếu hàm số y' = f'(x) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y' là đạo hàm cấ p hai của hàm số y = f(x) và kí hiệu là y'' hoặc f''(x). * Chuù yù:  Đạo hàm cấp ba của hàm số y = f(x) được định nghĩa tương tự và kí hiệu là y''' hoặc f'''(x)hoặc f3(x).  Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp n – 1, kí hiệu là fn - 1(x) (n  N, n  4) . Nếu fn - 1(x) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f(x), kí hiệu là y(n) hoặc fn(x). fn(x) = (f(n - 1)(x))' II– Ý NGHĨA CƠ HỌC CỦA ĐẠO HAØM CẤP HAI: Đạo hàm cấp hai f''(t) là gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t. Ví dụ: Xét chuyển động có phương trình s(t) = Asin(t + ) (A, ,  là những hằng số). Tìm gia tốc tức thời tại thời điểm t của chuyển động. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ......................................................................................................................  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Baøi 1: a) Cho f(x) = (x + 10)6. Tính f''(2).. . . b) Cho f(x) = sin3x. Tính f ' ' ( ) , f ' ' (0) , f ' ' ( ) . 2 18 Bài 2: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: 1 1 a) y = ; b) y = ; c) y = tanx; 1 x 1 x. d) y = cos2x.. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 80. ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 228.

(229) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. * OÂN TAÄP CHÖÔNG V *. ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................ ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 229. 81.

(230) Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Tìm đạo hàm của các hàm số sau: x3 x2   x 5; a) y = b) y = 3 2 2 d) y = (  3x )( x  1) ; e) y = x Bài 2: Tìm đạo hàm của các hàm số sau: cos x a) y = 2 x sin x  ; b) y = x 2 cos   sin  d) y = ; e) y = 3 sin   cos . 2 4 5 6  2 3 4 ; x x x 7x 1 x ; 1 x 3 cos x ; 2x  1 tan x ; sin x  2. Baøi 3: Cho haøm soá f(x) = 1  x . Tính f(3) + (x - 3)f'(3). Baøi 4: Giaûi phöông trình f'(x) = 0, bieát raèng: f(x) = 3x . 3x 2  6 x  7 ; 4x  x 2  7x  5 f) y = . x 2  3x. c) y =. t 2  2 cos t c) y = ; sin t cot x f) y = . 2 x 1. 60 64   5. x x3. Baøi 5: Vieát phöông trình tieáp tuyeán: x 1 a) Cuûa hypebol y = taïi ñieåm A(2; 3); x 1 b) Của đường cong y = x3 + 4x2 - 1 tại điểm có hoành độ x0 = -1; c) Của parabol y = x2 - 4x + 4 tại điểm có tung độ y0 = 1. f ' ( 0) cos x Baøi 6: Cho f(x) = , g(x) = xsinx. Tính g' (0) x 1 f ' ( 0) . Tính . Baøi 7: Cho haøm soá f(x) = tanx vaø g(x) = 1 x g' (0) 2. Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = t3 - 3t2 - 9t, trong đó t được tính bằng giây và s được tính bằng mét. a) Tính vận tốc của chuyển động khi t = 2s. b) Tính gia tốc của chuyển động khi t = 3s. c) Tính gia tốc tại thời điểm vận tốc triệt tiêu. d) Tính vận tốc tại thời điểm gia tốc triệt tiêu. x2 1 vaø y = . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của mỗi hàm số đã Baøi 2: Cho hai haøm soá y = x 2 2 cho tại giao điểm của chúng. Tính góc giữa hai tiếp tuyến kể trên.. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 82. ----- Taøi lieäu löu haønh noäi boä -----. 230.

(231) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. CHƯƠNG I. PHÉP DỜI HÌNH VAØ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG ----- oOo -----.  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: 1. Vectô: a) Caùc ñònh nghóa: caùc caëp vectô cuøng phöông.  Độ dài vectơ AB kí hiệu AB bằng độ dài đoạn thẳng AB.  Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.  Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.  Hai vectơ được gọi là đối nhau nếu chúng ngược hướng và   cùng độ dài. Vectơ đối của vectơ a kí hiệu là - a ; vectơ đối của. hai vectơ đối nhau. hai vectô baèng nhau. a u MN laø NM neân ta coù  MN  NM .     v b 1  Hai vectô a vaø b cuøng phöông  k  R: a = k b . v =- u a = 2b    3  a  b  a.b  0  Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình  Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tùy ý, ta có: bình haønh thì: AB  BC  AC B C AB  AC  CB.  A, B, C thaúng haøng  AB  k AC , k  R   I laø trung ñieåm AB  IA  IB  0. A. D.   G laø troïng taâm ABC  GA  GB  GC  0. AB  AD  AC b) Tọa độ vectơ và tọa độ điểm:   Cho hai vectô u = (u1; u2), v = (v1; v2), ta coù:    u  v = (u1 + v1; u2 + v2)    u  v = (u1 - v1; u2 - v2)   k u = (ku1; ku2)   u.v = u1v1 + u2v2 Cho hai ñieåm A(xA; yA), B(xB;yB), ta coù:  AB = (xB - xA; yB - yA).   u  u12  u22  u  v1    uv 1 u2  v2.  AB = AB. x A  x B y A  yB ) ; 2 2 x  x B  x C y A  y B  yC )  Tọa độ trọng tâm ABC: G( A ; 3 3 2. Đường thẳng trong mặt phẳng:  x  x0  at  ñi qua M(x 0 ; y 0 )  Phương trình tham số của đường thẳng :  laø :  .  y  y0  bt coù VTCP u  (a; b)  ñi qua M(x 0 ; y 0 )  Phương trình tổng quát của đường thẳng :  laø: A(x - x0) + B(y - y0) = 0. coù VTPT n  (A; B)  Phương trình Ax + By + C = 0 là phương trình đường thẳng  có vectơ pháp tuyến n  ( A; B ) .    Nếu đường thẳng d có vectơ chỉ phương u  (a; b) thì d có một vectơ pháp tuyến n  (b; a) . Nếu đường   thaúng  coù vectô phaùp tuyeán n = (A; B) thì  coù moät vectô chæ phöông laø u  ( B; A) .  Tọa độ trung điểm của AB: I(. 231.

(232) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11.  Đường thẳng song song đường thẳng : Ax + By + C = 0 có dạng: Ax + By + C1 = 0 (C ≠ C1).  Đường thẳng vuông góc đường thẳng : Ax + By + C = 0 có dạng: -Bx + Ay + C2 = 0. 3. Đường tròn:  taâm I (a; b)  Đường tròn (C):  coù phöông trình: (x - a)2 + (y - b)2 = R2. baùn kính R  Phương trình x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn (C) khi và chỉ khi a2 + b2 - c > 0. Khi đó (C) có tâm I(a; b) và bán kình là R =. a2  b 2  c ..  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... 232.

(233) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. §1. PHEÙP BIEÁN HÌNH  Trong mặt phẳng cho đường thẳng d và điểm M. Dựng hình chiếu vuông góc M' của điểm M lên đường thẳng d. Dựng được bao nhieâu ñieåm M' nhö theá?. ÑÒNH NGHÓA: Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M' của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng. Neáu kí hieäu pheùp bieán hình laø F thì tavieát F(M) = M' hay M' = F(M) vaø goïi ñieåm M' laø aûnh cuûa ñieåm M qua pheùp bieán hình F. Nếu H là một hình nào đó trong mặt phẳng thì ta kí hiệu H' = F(H) là tập hợp các điểm M' = F(M), với mọi điểm M thuộc H. Khi đó ta nói F biến hình H thành hình H', hay hình H' là ảnh của hình H qua pheùp bieán hình F. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó được gọi là phép đồng nhất.  Cho trước số a dương, với mỗi điểm M trong mặt phẳng, gọi M' là điểm sao cho MM' = a. Quy tắc đặt tương ứng điểm M với ñieåm M' neâu treân coù phaûi laø moät pheùp bieán hình khoâng? vì sao?.  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 233.

(234) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. §2. PHEÙP TÒNH TIEÁN I- ÑÒNH NGHÓA:  Trong maët phaúng cho vectô v . Pheùp bieán hình bieán moãi ñieåm v  M thành điểm M' sao cho MM ' = v được gọi là phép tịnh tiến  M theo vectô v .    Phép tịnh tiến theo vectơ v thường được kí hiệu là Tv , v được gọi là vectơ tịnh tiến.   Vaäy: Tv ( M )  M '  MM '  v. M'.  Phép tịnh tiến theo vectơ - không chính là phép đồng nhất.  Cho hai tam giác đều ABE và BCD bằng nhau. Tìm phép tịnh tiến biến ba điểm A, B, E theo thứ tự thành ba ñieåm B, C, D.. v. C. H' B. H. D.  Pheùp tònh tieán theo vectô v bieán hình H thaønh hình H'  Ví dụ: Dựng ảnh của các hình sau đây qua phép tịnh theo vectơ v A. E. v. M. v. N A. d. I B. C. II- TÍNH CHAÁT: Tính chất 1: Nếu Tv ( M )  M ' , Tv ( N )  N ' thì M ' N '  MN và từ đó suy ra M'N' = MN. Hay phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Tính chất 2: Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cuøng baùn kính. III- BIỂU THỨC TỌA ĐỘ  Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ v = (a; b), với mỗi điểm M(x; y). Gọi M'(x'; y') là ảnh của M qua  phép tịnh tiến theo vectơ v , khi đóù:  x'  x  a (biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến Tv )  ' y y b   .  v = (1; 2). Tìm tọa độ của điểm M' là ảnh của điểm M(3; -1) qua phép tịnh tiến Tv .  Ví dụ1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho v = (-2; 3) và đường thẳng d có phương trình 3x - 5y + 3 = 0. Viết phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến Tv .  Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ. Giaûi:. 234.

(235) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... Ví dụ2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0. Tìm ảnh  cuûa (C) qua pheùp tònh tieán theo vectô v = (-2; 3). Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ......................................................................................................................  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... 235.

(236) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Dựng ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ AD . Baøi 2: Cho tam giaùc ABC coù G laø troïng taâm. Xaùc ñiïnh aûnh cuûa tam giaùc ABC qua pheùp tònh tieán theo vectô AG . Xaùc ñònh ñieåm D sao cho pheùp tònh tieán theo vectô AG bieán D thaønh A.  Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho v = (2; -1), điểm M(3; 2). Tìm tọa độ của các điểm A sao cho: a) A = Tv (M ) ; b) M = Tv (A) .  Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ v = (-1; 2), hai điểm A(3; 5), B(-1; 1) và đường thẳng d có phöông trình x - 2y + 3 = 0.  a) Tìm tọa độ của các điểm A', B' theo thứ tự là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến theo vectơ v .  b) Tìm tọa độ của điểm C sao cho A là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo v .  c) Tìm phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo v . Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x - 1)2 + (y + 2)2 = 9. Tìm ảnh của  (C) qua pheùp tònh tieán theo vectô v = (-2; 5). Bài 6: Chứng minh rằng: M' = Tv ( M )  M  Tv ( M ' ) . Bài 7: Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Hãy chỉ ra một phép tịnh tiến biến a thành b. Có bao nhieâu pheùp tònh tieán nhö theá. 2. Baøi taäp naâng cao:  Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho v = (-2; 1), đường thẳng d có phương trình 2x - 3y + 3 = 0, đường thẳng d1 coù phöông trình 2x - 3y - 5 = 0. a) Viết phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua Tv .  b) Tìm tọa độ của w có giá vuông góc với đường thẳng d để d1 là ảnh của d qua Tw . Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x - y - 9 = 0. Tìm phép tịnh tiến theo vectơ có phương song song với trục Ox biến d thành đường thẳng d' đi qua gốc tọa độ và viết phương trình đường thẳng d'. Bài 3: Cho hai điểm phân biệt B và C cố định trên đường tròn (O) tâm O, điểm A di động trên đường tròn (O). Chứng minh rằng khi A di động trên đường tròn (O) thì trực tâm của tam giác ABC di động trên một đường tròn. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 236.

(237) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. §3. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC I- ÑÒNH NGHÓA: Cho đường thẳng d. Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc d thành M' sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM' được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng trục. M Đường thẳng d được gọi là trục của phép đối xứng d M trục hoặc đơn giản là trục đối xứng. Phép đối xứng trục d thường được kí hiệu là Đd. 0. M'. Nếu hình H' là ảnh của hình H qua phép đối xứng trục d thì ta còn nói H đối xứng với H' qua d, hay H và H' đối xứng với nhau qua d. * Nhaän xeùt:  Cho đường thẳng d. Với mỗi điểm M, gọi M0 là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng d. Khi đó: M' = Đd(M)  M 0 M '   M 0 M  .  M' = Ñd(M)  M = Ñd(M'). Ví dụ 1: Cho hình thoi ABCD. Tìm ảnh của các điểm A, B, C, D qua phép đối xứng trục AC. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... Ví dụ 2: Dựng ảnh của các hình sau đây qua phép đối xứng trục Đd: M N a. d. d. B I. C A. d. d. 237.

(238) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. II- BIỂU THỨC TỌA ĐỘ 1) Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Ox trùng với đường thẳng d. Với mỗi điểm M(x; y), gọi M' = Ñd(M) = (x'; y') thì:  x'  x  y'   y. y. M (x; y). M0. d x. O. Biểu thức tọa độ của phép ĐOy. M' (x'; y'). 2) Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Oy trùng với đường thẳng d. Với mỗi điểm M(x; y), gọi M' = Ñd(M) = (x'; y') thì:  x'   x   y'  y. y M'(x'; y'). d. M (x; y). M0. x. Biểu thức tọa độ của phép ĐOy. O.  Tìm ảnh của các điểm A(1; 2), B(5; 0) qua phép đối xứng trục Ox và Oy.. Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(1; 5), đường thẳng d có phương trình x - 2y + 4 = 0 và đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0. Tìm ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng trục Ox. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... III- TÍNH CHAÁT: Tính chất 1: Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Tính chất 2: Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. IV- TRỤC ĐỐI XỨNG CỦA MỘT HÌNH: Định nghĩa: Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối xứng qua d biến H thành chính nó. Khi đó ta nói H là hình có trục đối xứng. Ví dụ: Dựng trục đối xứng (nếu có) của các hình sau đây: B A. B. CD. A D. E. C. F. B. A. C B. C. D. A. F. E. 238. C. D.

(239) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11.  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(1; -2) và B(3; 1). Tìm ảnh của A, B và đường thẳng AB qua phép đối xứng trục Ox. Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x - y + 2 = 0. Viết phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy. Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại E. Xác định ảnh của tam giác ABE qua phép đối xứng qua đường thẳng CD. Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(3; -5), đường thẳng d có phương trình 3x + 2y - 6 = 0 và đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0. Tìm ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng trục Oy. Bài 5: Trong các chữ cái sau đây, chữ nào có trục đối xứng? VIETNAMWTO 2. Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(1; 5), đường thẳng d có phương trình x - 2y + 4 = 0. Tìm ảnh của M qua Ñd. Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x - 5y + 7 = 0 và đường thẳng d' có phương trình 5x - y - 13 = 0. Tìm phép đối xứng qua trục biến d thành d'. Bài 3: Chứng minh rằng đồ thị hàm số chẵn luôn có trục đối xứng. Bài 4: Cho hai đường tròn (C) và (C') có bán kính khác nhau và đường thẳng d. Hãy dựng hình vuông ABCD có hai đỉnh A, C lần lượt nằm trên (C) và (C') còn hai đỉnh kia nằm trên d. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 239.

(240) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. §4. PHEÙP QUAY I- ÑÒNH NGHÓA: Cho điểm O và góc lượng giác . Phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành M' sao cho OM' = OM và góc lượng giác (OM; OM') bằng  được gọi là phép quay tâm O góc . M'. Điểm O được gọi là tâm quay còn  được gọi là góc quay của phép quay đó. Phép quay tâm O góc  thường được kí hiệu là Q(O,).. α M. O. * Nhaän xeùt: M'. 1) Chieàu döông cuûa pheùp quay laø chieàu döông cuûa đường tròn lượng giác nghĩa là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ.. M'. α. α. M. O. Chieàu quay döông 2) Với k là số nguyên ta luôn có:  Phép quay Q(O; 2k) là phép đồng nhất.  Phép quay Q(O; (2k + 1)) là phép đối xứng tâm O.. M. O. Chieàu quay aâm. M'. M. O.  Cho hai điểm A, B bất kì và điểm O không nằm trên đường thẳng AB. Tìm ảnh của A, B qua phép quay tâm O, góc quay -900. Chứng minh AB = A'B'.. II- TÍNH CHAÁT: Tính chất 1: Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. C'. Tính chất 2: Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng noù, bieán tam giaùc thaønh tam giaùc baèng noù, bieán đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.. R. I. B' A'. O. C R. * Nhận xét: Phép quay góc  với 0 <  < , biến đường thẳng d thành đường thẳng d' sao cho góc giữa d vaø d' baèng  (neáu 0 <  .  2.  2. B. O. I'. A. O d. ), hoặc bằng  -  (nếu. α H. d' I.  . α H'. Ví dụ1: Cho tam giác ABC và điểm O nằm khác phía với điểm C so với đường thẳng AB. Xác định ảnh cuûa tam giaùc ABC qua pheùp quay taâm O goùc quay 600. Giaûi: C. B. A. O. 240.

(241) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(3; 4). Hãy tìm tọa độ điểm A' là ảnh của A qua phép quay taâm O goùc 900. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ......................................................................................................................  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Baøi 1: Cho hình vuoâng ABCD taâm O. a) Tìm aûnh cuûa ñieåm C qua pheùp quay taâm A goùc 900. b) Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay tâm O góc 900. Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(2; 0) và đường thẳng d có phương trình x + y - 2 = 0. Tìm aûnh cuûa A vaø d qua pheùp quay taâm O goùc 900. Baøi 3: Cho hình vuoâng ABCD taâm O. M laø trung ñieåm cuûa AB, N laø trung ñieåm cuûa OA. Tìm aûnh cuûa tam giaùc AMN qua pheùp quay taâm O goùc 900. Bài 4: Cho lục giác đều ABCDEF, O là tâm đối xứng của nó, I là trung điểm của AB. a) Tìm aûnh cuûa tam giaùc AIF qua pheùp quay taâm O goùc 1200. b) Tìm aûnh cuûa tam giaùc AOF qua pheùp quay taâm E goùc 600. 2. Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Cho ba điểm thẳng hàng A, B, C, điểm B nằm giữa hai điểm A và C. Dựng về một phía của đường thẳng AC các tam giác đều ABE và BCF. a) Chứng minh rằng AF = EC và góc giữa hai đường thẳng AF và EC bằng 600. b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm AF và EC. Chứng minh BMN đều. Bài 2: Cho hai đường thẳng a, b và điểm C không nằm trên chúng. Hãy tìm trên a và b lần lượt hai điểm A và B sao cho ABC là tam giác đều. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 241.

(242) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. §5. KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH VAØ HAI HÌNH BẰNG NHAU I- KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH: Ñònh nghóa: Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Nếu phép dời hình F biến các điểm M, N lần lượt thành các điểm M', N' thì MN = M'N'. * Nhaän xeùt: 1) Các phép đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay đều là các phép dời hình. 2) Phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình cũng là một phép dời hình. Ví dụ: Cho tam giác ABC. Tìm ảnh của ABC qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp pheùp quay taâm B goùc 900 vaø pheùp tònh tieán theo vectô AB . A C. B.  Cho hình vuông ABCD, gọi O là giao điểm của AC và BD. Tìm ảnh của các điểm A, B, O qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc 900 và phép đối xứng qua đường thẳng BD.. II- TÍNH CHAÁT: Phép dời hình biến: 1) Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm; 2) Đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó; 3) Tam giaùc thaønh tam giaùc baèng noù, goùc thaønh goùc baèng noù; 4) Đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. A' * Chuù yù: a) Nếu một phép dời hình biến tam giác B' A I' H' ABC thaønh tam giaùc A'B'C' thì noù cuõng bieán troïng O' G' tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại I O tiếp của tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm, G trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp H B C C' cuûa tam giaùc A'B'C'. b) Phép dời hình biến đa giác n cạnh thành đa giác n cạnh, biến đỉnh thành đỉnh, biến cạnh thành caïnh. A. Ví dụ: Cho lục giác đều ABCDEF, O là tâm đường tròn ngoại tiếp của nó. Tìm ảnh của tam giác OAB qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện lieân tieáp pheùp quay taâm O, goùc 600 vaø pheùp tònh tieán theo vectô OE .. B. E. O. C. 242. F. D.

(243) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ......................................................................................................................  Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E, F, H, I theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, CD, BC, EF. Hãy tìm một phép dời hình bieán tam giaùc AEI thaønh tam giaùc FCH.. III- KHAÙI NIEÄM HAI HÌNH BAÈNG NHAU: v H''. Định nghĩa: Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.. H. -600 H'. O.  Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AD và BC. Chứng minh raèng caùc hình thang AEIB vaø CFID baèng nhau..  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm A(-3; 2), B(-4; 5) và C(-1; 3). a) Chứng minh rằng các điểm A'(2; 3), B'(5; 4) và C'(3; 1) theo thứ tự là ảnh của A, B và C qua phép quay taâm O goùc -900. b) Gọi tam giác A1B1C1 là ảnh của tam giác ABC qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc -900 và phép đối xứng qua trục Ox. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác A1B1C1. Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E, F, H, K, O, I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA, KF, HC, KO. Chứng minh hai hình thang AEJK và FOIC bằng nhau.  Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho v =(3; 1) và đường thẳng d: 2x - y = 0. Tìm ảnh của d qua phép  dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc 900 và phép tịnh tiến theo vectơ v . 2. Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi O là tâm đối xứng của nó; E, F, G, H, I, J theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA, AH, OG. Chứng minh rằng hai hình thang AIOE và GJFC bằng nhau. Bài 2: Cho hình vuông ABCD có tâm I. Trên tia BC lấy điểm e sao cho BE = AI. Xác định một phép dời hình biến A thành B và I thành E, dựng ảnh của hình vuông ABCD qua phép dời hình ấy. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 243.

(244) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. §6. PHÉP VỊ TỰ I- ÑÒNH NGHÓA: Ñònh nghóa: Cho ñieåm O vaø soá k ≠ 0. Pheùp bieán hình bieán moãi ñieåm M thaønh ñieåm M' sao cho. OM '  k.OM được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số k. Phép vị tâm O, tỉ số k thường được kí hiệu là V(O,k). Ví duï:. M'. M O. B'. A. 3. 4 O. B. H'. 2 M'. H. 6. M A'. O. Phép vị tự tâm O tỉ số ........... Phép vị tự tâm O tỉ số ........... * Nhaän xeùt: 1) Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó. 2) Khi k = 1, phép vị tự là phép đồng nhất. 3) Khi k = -1, phép vị tự là phép đối xứng qua tâm vị tự. 4) M' = V(O,k)(M)  M = V 1 ( M ' ) . (O , ) k.  Cho tam giác ABC. Gọi E và F tương ứng là trung điểm AB và AC. Tìm một phép vị tự biến B và C tương ứng thành E và F.. II- TÍNH CHAÁT:  Tính chất 1: Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N tùy ý theo thứ tự thành M', N' thì M ' N '  k.MN vaø M'N' = k .MN. M' M. O.  Tính chất 2: Phép vị tự tỉ số k: a) Bieán ba ñieåm thaúng haøng thaønh ba ñieåm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm; b) Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng; c) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó; d) Biến đường tròn bán kính R thành đường troøn baùn kính k R.. N. N'. A A' B A'. C'. A C. B'. I. C'. I. C. B. B'. A' A. R' R. I. O. O'.  Cho tam giác ABC có A', B', C' theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Tìm một phép vị tự biến tam giác ABC thaønh tam giaùc A'B'C'.. Ví dụ 1: Cho điểm O và đường tròn (I; R). Tìm ảnh của đường tròn đó qua phép vị tự tâm O tỉ số -2. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... 244.

(245) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x + 2y - 6 = 0. Hãy viết phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số k = 2. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ......................................................................................................................  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và H là trực tâm. Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự tâm 1 H, tæ soá . 2 Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x - 3)2 + (y + 1)2 = 9. Hãy viết phương trình đường tròn (C') là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm I(1; 2) tỉ số k = -2. Bài 3: Chứng minh rằng khi thực hiện liên tiếp hai phép vị tự tâm O sẽ được một phép vị tự tâm O. 2. Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Cho tam giác ABC có hai góc B, C đều nhọn. Dựng hình chữ nhật DEFG có EF = 2DE với hai đỉnh D, E nằm trên BC và hai đỉnh F, G lần lượt nằm trên AC, AB. Bài 2: Cho nửa đường tròn đườn kính AB. Hãy dựng hình vuông có hai đỉnh nằm trên nửa đường tròn, hai đỉnh còn lại nằm trên đường kính AB của nửa đường tròn đó. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 245.

(246) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. §7. PHÉP ĐỒNG DẠNG I- ÑÒNH NGHÓA: B. Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0), nếu với hai điểm M, N bất kì và ảnh M', N' tương ứng của chúng ta luôn có M'N' = kMN.. M B' M'. A. C. N. C'. N'. A'. * Nhaän xeùt: a) Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1. b) Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số k . c) Nếu thực hiện liên tiếp phép đồng dạng tỉ số k và phép đồng dạng tỉ số p ta được phép đồng dạng tỉ soá pk. II- TÍNH CHAÁT: Phép đồng dạng tỉ số k: a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy; b) Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng; c) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó; d) Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính kR. * Chuù yù: a) Nếu một phép đồng dạng biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C' thì nó cũng biến trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác A'B'C'. b) Phép đồng dạng biến đa giác n cạnh thành đa giác n cạnh, biến đỉnh thành đỉnh, biến cạnh thành caïnh.  Dựng ảnh của tam giác ABC qua phép đồng dạng F có được từ việc thực hiện liên tiếp hai phép vị tự tâm I tỉ số. 1 vaø pheùp 2. quay taâm I goùc quay 900. Nhaän xeùt hai tam giaùc treân.. I B. A. C. III- HÌNH ĐỒNG DẠNG: Định nghĩa: Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia. Ví dụ: Cho hình chữ nhật ABCD, AC và BD cắt nhau tại I. Gọi H, K, L và J lần lượt là trung điểm của AD, BC, KC và IC. Chứng minh hai hình thang JLKI và IHAB đồng dạng với nhau. Giaûi:. 246.

(247) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ......................................................................................................................  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Cho tam giác ABC. Xác định ảnh của nó qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp 1 phép vị tự tâm B tỉ số và phép đối xứng qua đường thẳng trung trực BC. 2 Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD, AC và BD cắt nhau tại I. Gọi H, K, L và J lần lượt là trung điểm AD, BC, KC và IC. Chứng minh hai hình thang JLKI và IHDC đồng dạng với nhau. Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm I(1; 1) và đường tròn tâm I bán kính 2. Viết phương trình của đường tròn là ảnh của đường tròn trên qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O, góc 450 và phép vị tự tâm O, tỉ số 2 . Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao kẻ từ A. Tìm một phép đồng dạng biến tam giác HBA thaønh tam giaùc ABC. 2. Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau và điểm C. Tìm trên a và b các điểm A và B tương ứng sao cho tam giác ABC vuông cân ở A. Bài 2: Cho hình thang ABCD có AB song song với CD, AD = a, DC = b còn hai đỉnh A, B cố định. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo. a) Tìm tập hợp các điểm C khi D thay đổi. b) Tìm tập hợp các điểm I khi C và D thay đổi như trong câu a). CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 247.

(248) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. * OÂN TAÄP CHÖÔNG I *. ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................ 248.

(249) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................ BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Tìm ảnh của tam giác AOF a) Qua pheùp tònh tieán theo vectô AB ; b) Qua pheùp quay taâm O goùc 1200. Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-1; 2) và đường thẳng d có phương trình 3x + y + 1 = 0. Tìm aûnh cuûa A vaø d  a) Qua pheùp tònh tieán theo vectô v = (2; 1); b) Qua pheùp quay taâm O goùc 900. Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn tâm I(3; -2), bán kính 3. a) Viết phương trình của đường tròn đó;  b) Viết phương trình ảnh của đường tròn (I; 3) qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (-2; 1). Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn tâm I(1; -3), bán kính 2. Viết phương trình ảnh của đường tròn (I; 2) qua phép đồng dạng có được từ việc thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số 3 và phép đối xứng qua trục Ox. Bài 5: Cho hai điểm A, B và đường tròn tâm O không có điểm chung với đường thẳng AB. Qua mỗi điểm M chạy trên đường tròn (O) dựng hình bình hành MABN. Chứng minh rằng điểm N thuộc một đường tròn xác ñònh. 2. Baøi taäp naâng cao: 1 Bài 1: Cho hai hình chữ nhật có tỉ số giữa chiều rộng và chiều dài bằng . Chứng minh rằng luôn có một 2 phép đồng dạng biến hình này thành hình kia. Baøi 2: Cho tam giaùc ABC. Tìm moät ñieåm M treân caïnh AB vaø moät ñieåm N treân caïnh AC sao cho MN song song với BC và AM = CN.. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 249.

(250) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. CHƯƠNG II. ĐƯỜNG THẲNG VAØ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HEÄ SONG SONG ----- oOo -----.  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: 1. Hình hoïc phaúng: a) Ñònh lí Talet:. b) Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng a, b:. A. b. a. a. M. N. C. MN// BC . AM AN  AB AC. c) Một số tính chất thường sử dụng: Tính chaát baéc caàu:  Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song nhau.  Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song nhau.. 2. Moät soá hình hình hoïc khoâng gian: Hình chóp đều. Lăng trụ đứng A'. S. b ab. a // b. a caét b. B. a. b. Hình hộp chữ nhật B'. C'. B'. C'. D'. A'. B. B. A. D. A. A. C. C. C. D. B.  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... 250.

(251) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. §1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VAØ MẶT PHẲNG. I- KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU: 1. Maët phaúng: Mặt phẳng là một đối tượng của toán học. Mặt phẳng không có bề dày và không có giới hạn.  Để biểu diễn tả mặt phẳng ta thường dùng hình bình haønh hay moät mieàn goùc vaø ghi teân cuûa maët P α phaúng vaøo moät goùc cuûa hình bieåu dieãn.  Để kí hiệu mặt phẳng, ta thường dùng các chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hi Lạp đặt trong dấu ngoặc "( )". Ví duï maët phaúng (P)  vieát taét mp(P) hay (P); maët phaúng ()  vieát taét mp() hay ();.... 2. Ñieåm thuoäc maët phaúng: Cho ñieåm A vaø maët phaúng () A. A .  Ñieåm A thuoäc maët phaúng () ta noùi A naèm  trên () hay () chứa A hoặc () đi qua A.  Kí hieäu: A  ().  Ñieåm A khoâng thuoäc maët phaúng () ta noùi A naèm ngoài () hay () không chứa A hoặc () không đi qua A.  Kí hieäu: A  (). 3. Hình bieåu dieãn cuûa moät hình khoâng gian: Để nghiên cứu hình học không gian người ta thường vẽ các hình không gian lên bảng, lên giấy. Ta gọi hình vẽ đó là hình biểu diễn của một hình không gian. Hình biểu diễn được vẽ dựa vào các quy tắc:  Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn là đoạn thẳng;  Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau;  Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa các điểm và đường thẳng;  Dùng nét vẽ liền "______" để biểu diễn cho đường nhìn thấy và nét đứt đoạn "- - - -" biểu diễn cho đường bị che khuất. Ví duï: Veõ hình bieåu dieãn cuûa moät hình laäp phöông. Giaûi: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... II- CÁC TÍNH CHẤT THỪA NHẬN: Tính chất 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.. 251.

(252) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. Tính chaát 2: Coù moät vaø chæ moät maët phaúng ñi qua ba ñieåm khoâng thaúng haøng. Tính chất 3: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó. Nếu đường thẳng d có hai điểm thuộc mp() thì khi đó mọi điểm của đường thẳng d đều thuộc mp() ta nói d chứa trong (nằm trong) mp() hay mp() chứ d và kí hiệu d  () hay ()  d.  Cho tam giác ABC, M là điểm thuộc phần kéo dài của đoạn BC. Hãy cho biết M có thuộc mp(ABC) không? và đường thẳng AM coù naèm trong mp(ABC) khoâng?.. Tính chaát 4: Toàn taïi boán ñieåm khoâng cuøng thuoäc moät maët phaúng. Nếu có nhiều điểm cùng thuộc một mặt phẳng thì ta nói những điểm đó đồng phẳng, còn nếu không có mặt phẳng nào chứa các điểm đó thì ta nói rằng chúng không đồng phẳng. Tính chất 5: Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa. Neáu hai maët phaúng phaân bieät coù moät ñieåm chung  thì chúng sẽ có một đường thẳng chung đi qua điểm  chung aáy. Đường thẳng chung của hai mặt phẳng phân biệt d ( và () được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng () vaø () vaø kí hieäu laø: d = ()  () giao tuyeán cuûa hai maët phaúng A.  Hình vẽ bên cạnh đúng hay sai? vì sao?.. B.  Trong maët phaúng (P), cho hình bình haønh ABCD. Laáy ñieåm S nằm ngoài mặt phẳng (P). Hãy chỉ ra một điểm chung của hai maët phaúng (SAC) vaø (SBD) khaùc ñieåm S.. C. M. K L. P. Tính chất 6: Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng. III- CAÙCH XAÙC ÑÒNH MOÄT MAËT PHAÚNG: 1. Ba caùch xaùc ñònh maët phaúng: a) Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba ñieåm khoâng thaúng haøng. B Maët phaúng qua ba ñieåm khoâng thaúng haøng A, B, C kí A  hieäu laø: mp(ABC) hoặc (ABC) b) Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua một điểm và chứa một đường thẳng không đi qua điểm đó. Cho đường thẳng d và điểm A không nằm trên d, khi đó  ta xác định được mặt phẳng, kí hiệu là: mp(A, d) hay (A, d) c) Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau. Cho hai đường thẳng cắt nhau a và b. Khi đó hai đường thaúng a vaø b xaùc ñònh moät maët phaúng vaø kí hieäu laø:  mp(a, b) hay (a, b), hoặc mp(b, a) hay (b, a). 2. Một số bài toán cơ bản: a) Xaùc ñònh giao tuyeán cuûa hai maët phaúng:. 252. C. A d. b a.

(253) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. Ví dụ: Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D. Trên đoạn AB và AC lấy hai điểm M và N AM AN sao cho  1 vaø  2 . Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (DMN) với các mặt phẳng (ABD), BM NC (ACD), (ABC) vaø (BCD). Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... Phöông phaùp:................................................................................................................................................................................................................ .................................................................................................................................................................................................................................................................... b) Chứng minh ba điểm thẳng hàng: Ví dụ: Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D. Trên ba cạnh AB, AC và AD lần lượt lấy các điểm M, N và K sao cho đường thẳng MN cắt đường thẳng BC tại H, đường thẳng NK cắt đường thẳng CD tại I, đường thẳng KM cắt đường thẳng BD tại J. Chứng minh ba điểm H, I, J thẳng hàng. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... 253.

(254) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. Phöông phaùp:................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... c) Tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng: Ví dụ: Cho tam giác BCD và điểm A không thuộc mặt phẳng (BCD). Gọi K là trung điểm của đoạn AD và G là trọng tâm của tam giác ABC. Tìm giao điểm của đường thẳng GK và mặt phẳng (BCD). Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... Phöông phaùp:................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... IV- HÌNH CHÓP VAØ HÌNH TỨ DIỆN:  Trong mặt phẳng () cho đa giác lồi A1 A2 ...An . Lấy điểm S nằm ngoài (). Lần lượt nối S với các đỉnh. A1 A2 ...An ta được n tam giác SA1 A2 , SA2 A3 ,…, SAn A1 . Hình gồm đa giác A1 A2 ...An và n tam giác SA1 A2 , SA2 A3 , …, SAn A1 gọi là hình chóp, kí hiệu là S.A1A2...An. Ta gọi S là đỉnh và đa giác A1 A2 ...An là mặt đáy. Các tam giác SA1 A2 , SA2 A3 , …, SAn A1 được gọi là các mặt bên; các đoạn SA1 , SA2 ,..., SAn là các cạnh bên; các cạnh của đa giác đáy gọi là các cạnh đáy của hình chóp. Ta gọi hình chóp có đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác, … lần lượt là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác,…  Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác ABC, ACD, ABD và BCD gọi là hình tứ diện (hay ngắn gọn là tứ diện) và được kí hiệu là ABCD. Các điểm A, B, C, D gọi là các đỉnh của tứ diện. Các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, CA, BD gọi là các cạnh của tứ diện. Hai cạnh không đi qua một đỉnh gọi là hai cạnh đối diện. Các tam giác ABC, ACD, ABD, BCD gọi là các mặt của tứ diện. Đỉnh không nằm trên một mặt gọi là đỉnh đối diện với mặt đó. * Đặt biệt: Hình tứ diện có bốn mặt là các tam giác đều gọi là hình tứ diện đều. .................................................................................................................................................................................................................................................................... 254.

(255) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................................................................................  Hãy kể tên các mặt bên, cạnh bên, cạnh đáy của hình chóp S.ABCD (hình vẽ trên)?.. Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AD, SC. Tìm giao điểm của mặt phẳng (MNP) với các cạnh của hình chóp và giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với các mặt của hình chóp. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... * Các bước giải bài toán hình học không gian: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... 255.

(256) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................................................................................  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng  chứa tam giác BCD. Lấy E, F là các điểm lần lượt nằm treân caùc caïnh AB, AC. a) Chứng minh đường thẳng EF nằm trong mặt phẳng (ABC). b) Khi EF và BC cắt nhau tại I, chứng minh I là điểm chung của hai mặt phẳng (BCD) và (DEF). Bài 2: Cho bốn điểm A, B, C và D không đồng phẳng. Gọi GA, GB, GC, GD lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, CDA, ABD, ABC. Chứng minh rằng AGA, BGB, CGC, DGD đồng quy. Bài 3: Cho bốn điểm A, B, C và D không đồng phẳng. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP = 2PD. a) Tìm giao điểm của đường thẳng CD và mặt phẳng (MNP). b) Tìm giao tuyeán cuûa hai maët phaúng (MNP) vaø (ACD). Baøi 4: Cho hình choùp S.ABCD coù AB vaø CD khoâng song song. Goïi M laø moät ñieåm thuoäc mieàn trong cuûa tam giaùc SCD. a) Tìm giao điểm N của đường thẳng CD và mặt phẳng (SBM). b) Tìm giao tuyeán cuûa hai maët phaúng (SBM) vaø (SAC). c) Tìm giao điểm I của đường thẳng BM và mặt phẳng (SAC). d) Tìm giao điểm P của SC và mặt phẳng (ABM), từ đó suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng (SCD) và (ABM). Bài 5: Cho tứ giác ABCD nằm trong mặt phẳng () có hai cạnh AB và CD không song song. Gọi S là điểm nằm ngoài mặt phẳng () và M là trung điểm của đoạn SC. a) Tìm giao điểm N của đường thẳng SD và mặt phẳng (MAB).. 256.

(257) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. b) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng ba đường thẳng SO, AM, BN đồng quy. Bài 6: Cho bốn điểm A, B, C và D không đồng phẳng. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng AD, BC. a) Tìm giao tuyeán cuûa hai maët phaúng (IBC) vaø (KAD). b) Gọi M và N là hai điểm lần lượt lấy trên hai đoạn thẳng AB và AC. Tìm giao tuyến của hai mặt phaúng (IBC) vaø(DMN). Bài 7: Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD, trên cạnh AD lấy điểm P không trùng với trung điểm của AD. a) Gọi E là giao điểm của đường thẳng MP và đường thẳng BD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (PMN) vaø (BCD). b) Tìm giao ñieåm cuûa maët phaúng (PMN) vaø BC. Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Trong mặt phẳng đáy vẽ đường thẳng d đi qua A và không song song với các cạnh của hình bình hành, d cắt đoạn BC tại E. Gọi C’ là một điểm nằm treân caïnh SC. a) Tìm giao ñieåm M cuûa CD vaø maët phaúng (C’AE). b) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (C’AE). 2. Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Gọi M là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (). Chứng minh M là điểm chung của () với một mặt phẳng bất kì chứa d. Bài 2: Cho ba đường thẳng d1, d2, d3 không cùng nằm trong một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi một. Chứng minh ba đường thẳng trên đồng quy.. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 257.

(258) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. §2. HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VAØ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG I- VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN: Trường hợp 1: Có một mặt phẳng chứa a và b. Khi đó ta nói a và b đồng phẳng, có ba khả năng xảy ra: i) a vaø b coù ñieåm chung duy nhaát M. Ta noùi a vaø b caét nhau taïi M vaø kí hieäu laø a  b = {M}. Ta coù theå vieát a  b = M. ii) a và b không có điểm chung. Ta nói a và b song song với nhau và kí hiệu là a // b. iii) a truøng b, kí hieäu laø a  b. b. a. a. . b. a. b . . ab=M a // b ab Như vậy, hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có ñieåm chung. Trường hợp 2: Không có mặt phẳng nào chứa a và b. Khi a đó ta nói a và b chéo nhau hay a chéo với b. A I. B. b. . D. a vaø b cheùo nhau. C.  Hãy chỉ ra tất cả các cặp đường thẳng chéo nhau trong tứ diện ABCD.. II- TÍNH CHAÁT: Định lí 1: Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho. * Nhaän xeùt: M d' Hai đường thẳng song song a và b xác định một mặt d phaú ng, kí hieäu laø mp(a, b) hay (a, b)   Cho hai mặt phẳng () và ( ) cắt nhau. Một mặt phẳng () cắt () và ( ) lần lượt theo giao tuyến a và b. Chứng minh rằng khi a vaø b caét nhau taïi I thì I laø ñieåm chung cuûa () vaø () . Ñònh lí 2: (veà giao tuyeán cuûa ba maët phaúng): Neáu ba maët phaúng phaân bieät ñoâi moät caét nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.. I. . .   a. a. b. c. b. . Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó.. d. . . d. d1. 258. d2. d.  . . d2. d1. .

(259) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Xác định giao tuyến của các mặt phẳng (SAD) vaø (SBC). Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và BD. (P) là mặt phẳng qua IJ và cắt AC, AD lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng tứ giác IJNM là hình thang. Nếu M là trung điểm của AC thì tứ giaùc IJNM laø hình gì? Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... Định lí 3: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. . Khi hai đường thẳng a và b cùng song song với đường thẳng c ta kí hiệu a // b // c và gọi là ba đường thẳng song song.. .  a. b. c. Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R và S lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AC, BD, AB, CD, AD và BC. Chứng minh rằng các đoạn thẳng MN, PQ, RS đồng quy tại trung điểm của mỗi đoạn. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... 259.

(260) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ......................................................................................................................  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi P, Q, R và S là bốn điểm lần lượt lấy trên bốn cạnh AB, BC, CD và DA. Chứng minh rằng nếu bốn điểm P, Q, R và S đồng phẳng thì a) Ba đường thẳng PQ, SR và AC hoặc song song hoặc đồng quy. b) Ba đường thẳng PS, RQ và BD hoặc song song hoặc đồng quy. Bài 2: Cho tứ diện ABCD và ba điểm P, Q, R lần lượt lấy trên ba cạnh AB, CD, BC. Tìm giao điểm S của AD và mặt phẳng (PQR) trong hai trường hợp sau đây: a) PR song song với AC. b) PR caét AC. Bài 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AB và CD và G là trung điểm của caïnh MN. a) Tìm giao điểm A’ của đường thẳng AG và mặt phẳng (BCD). b) Qua M kẻ đường thẳng Mx song song với AA’ và Mx cắt (BCD) tại M’. Chứng minh B, M’, A’ thaúng haøng vaø BM’ = M’A’ = A’N. c) Chứng minh GA = 3GA’. Bài 4: Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm tam giác ABD. Trên đoạn BC lấy điểm M sao cho MB = 2MC. Chứng minh rằng MG // (ACD). 2. Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi G1 và G2 lần lượt là trọng tâm của các tam giác ACD và BCD. Chứng minh rằng G1G2 song song với các mặt phẳng (ABC) và (ABD). Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, O là giao điểm của AC và BD, M là trung điểm của SA. Tìm thiết diện của mặt pẳng () với hình chóp S.ABCD nếu () qua M và đồng thời song song với SC và AD. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 260.

(261) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. §3. ĐƯỜNG THẲNG VAØ MẶT PHẲNG SONG SONG I- VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VAØ MẶT PHẲNG: Cho đường thẳng d và mặt phẳng (). Tùy theo số điểm chung của d và (), ta có ba trường hợp:  d và () không có điểm chung. Khi đó ta nói d song song với () hay () song song với d và kí hiệu là: d // () hay () // d.. d. . d.  d và () có một điểm chung duy nhất M. Khi đó ta noùi d vaø () caét nhau taïi M vaø kí hieäu laø: d  () = {M} hay d  () = M. M .  d và () có từ hai điểm chung trở lên. Khi đó, d nằm trong () hay () chứa d và kí hiệu:  d  () hay ()  d II- TÍNH CHAÁT: Định lí 1: Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng () và d song song với đường thẳng d’ nằm trong () thì d song song với ().. d. . d. ................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................. d' . ..................................................................................................................................................................................  Phương pháp chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng (): ..............................................................................................................................................................................................................................................................  Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, AD. Các đường thẳng MN, NP, PM có song song với mp(BCD) khoâng?. Định lí 2: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (). Nếu mặt phẳng () chứa a và cắt () theo giao tuyến b thì b song song với a.. . a. .................................................................................................................................................................................. b. ................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................. . Ví du: Cho tứ diện ABCD. Lấy M là điểm thuộc miền trong của tam giác ABC. Gọi () là mặt phẳng qua M và song song với các đường thẳng AB và CD. Xác định thiết diện tạo bởi () và tứ diện ABCD. Thiết diện đó là hình gì? Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... 261.

(262) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.. . d' d. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................. . Định lí 3: Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Baøi 1: Cho hai hình bình haønh ABCD vaø ABEF khoâng cuøng naèm trong moät maët phaúng. a) Gọi O và O’ lần lượt là tâm của các hình bình hành ABCD và ABEF. Chứng minh rằng đường thẳng OO’ song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE). b) Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABD và ABE. Chứng minh đường thẳng MN song song với mặt phẳng (CEF). Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy một điểm M. Cho () là mặt phẳng qua M, song song với hai đường thẳng AC và BD. a) Tìm giao tuyến của () với các mặt của tứ diện. b) Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng () là hình gì? Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng () đi qua O, song song với AB và SC. Thiết diện đó là hình gì? Bài 4: Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm tam giác ABD. Trên đoạn BC lấy điểm M sao cho MB = 2MC. Chứng minh rằng MG // (ACD). 2. Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi G1 và G2 lần lượt là trọng tâm của các tam giác ACD và BCD. Chứng minh rằng G1G2 song song với các mặt phẳng (ABC) và (ABD). Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, O là giao điểm của AC và BD, M là trung điểm của SA. Tìm thiết diện của mặt phẳng () với hình chóp S.ABCD nếu () qua M và đồng thời song song với SC và AD. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 262.

(263) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. §4. HAI MAËT PHAÚNG SONG SONG I- ÑÒNH NGHÓA: Hai mặt phẳng (), () được gọi là song song với nhau nếu chúng khoâng coù ñieåm chung. Khi đó ta kí hiệu: () // () hay () // (). II- TÍNH CHAÁT. . . Định lí 1: Nếu mặt phẳng () chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng ( thì () song song với ().. a b. . M. ........................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................ . ............................................................................................................................................................................  Cho tứ diện SABC. Hãy dựng mặt phẳng () qua trung điểm I của đoạn SA và song song với mặt phẳng (BCA)?. Ví dụ: Cho tứ diện ABCD. Gọi G1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ABD. Chứng minh mặt phẳng (G1G2G3) song song với mặt phẳng (DBC) Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ......................................................................................................................  Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng song song: ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... Định lí 2: Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.. A . . Hệ quả 1: Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng () thì trong () có một đường thẳng song song với d và qua d có duy nhất một mặt phẳng () song song với ().. d . . 263.

(264) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. Hệ quả 2: Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau. Heä quaû 3: Cho ñieåm A khoâng naèm treân maët phaúng (). Mọi đường thẳng đi qua A và song song với () đều nằm trong mặt phẳng đi qua A và song song với ().. . A. . Ví dụ: Cho tứ diện SABC có SA = SB = SC. Gọi Sx, Sy, Sz lần lượt là phân giác ngoài của các góc S trong ba tam giác SBC, SCA, SAB. Chứng minh: a) Mặt phẳng (Sx, Sy) song song với mặt phẳng (ABC); b) Sx, Sy, Sz cuøng naèm treân moät maët phaúng. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... . b. a. A'. Ñònh lí 3: Cho hai maët phaúng song song. Neáu moät maët phaúng caét maët phaúng naøy thì cuõng caét maët phaúng kia vaø hai giao tuyeán song song với nhau..  A. a . B' . B. b . Heä quaû: Hai maët phaúng song song chaén trên hai cát tuyến song song những đoạn thaúng baèng nhau. III- ÑÒNH LÍ TA-LEÙT (THALEØS): d. Ñònh lí 4 (Ñònh lí Ta-leùt): Ba maët phaúng ñoâi moät song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. Neáu d vaø d' laø hai caùt tuyeán baát kì caét ba maët phẳng song song (), (), () lần lượt tại các điểm A, B, C vaø A', B', C' thì: AB BC CA   A' B' B' C ' C ' A'. 264. d' A'. A P. B. B'. Q C. R. C'.

(265) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. IV- HÌNH LAÊNG TRUÏ VAØ HÌNH HOÄP: Cho hai maët phaúng song song () vaø ('). Treân () cho ña giaùc loài A1 A2 ...An . Qua caùc ñænh A1, A2 ,..., An ta vẽ các đường thẳng song song với nhau và cắt (') lần lượt tại A'1 , A'2 ,..., A'n .  Hình goàm hai ña giaùc A1 , A2 ,..., An , A'1 , A'2 ,..., A'n vaø caùc hình bình hành A1 A'1 A'2 A2 , A2 A'2 A'3 A3 ,..., An A'n A'1 A1 được gọi là hình lăng trụ và được kí hiệu là A1 A2 ...An .A'1 A'2 ...A'n .. A'4. A'5.  Hai đa giác A1 , A2 ,..., An và A'1 , A'2 ,..., A'n được gọi là hai mặt đáy. A'1. A'3. A'2. '. cuûa hình laêng truï.  Các đoạn thẳng A1 A'1 , A2 A'2 ,..., An A'n được gọi là các cạnh bên của hình laêng truï.  Các hình bình hành A1 A'1 A'2 A2 , A2 A'2 A'3 A3 ,..., An A'n A'1 A1 được gọi. A4. A5 A1. A2. . A3. laø caùc maët beân cuûa hình laêng truï.  Các đỉnh của hai đa giác được gọi là các đỉnh của hình lăng trụ. * Nhaän xeùt: + Các cạnh bên của hình lăng trụ bằng nhau và song song với nhau. + Caùc maët beân cuûa hình laêng truï laø caùc hình bình haønh. + Hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau.  Hình lăng trụ được gọi tên dựa vào tên của đa giác đáy: "lăng trụ" ghép với "tên đa giác đáy".. .................................................... .................................................... .................................................... .................................................... V- HÌNH CHOÙP CUÏT: Ñònh nghóa: Cho hình choùp S. A1 , A2 ,..., An ; moät maët phaúng (P) khoâng. S. qua đỉnh, song song với mặt phẳng đáy của hình chóp cắt các cạnh SA1 , SA2 ,..., SAn lần lượt tại A'1 , A'2 ,..., A'n . Hình tạo bởi thiết diện. A'1 A'2 ...A'n và đáy A1 A2 ...An của hình chóp cùng với các tứ giác A'1 A'2 A2 A1 , A'2 A'3 A3 A2 ,..., A'n A'1 A1 An goïi laø hình choùp cuït.. A'1.  Đáy của hình chóp gọi là đáy lớn của hình chóp cụt, còn thiết diện A'1 A'2 ...A'n gọi là đáy nhỏ của hình chóp cụt. Các tứ giác. A'2. A'5. A'3. P. A'4. A'1 A'2 A2 A1 , A'2 A'3 A3 A2 ,..., A'n A'1 A1 An goïi laø caùc maët beân cuûa hình choùp cụt. Các đoạn thẳng A1 A'1 , A2 A'2 ,..., An A'n gọi là các cạnh bên của hình. A2 A. A3. 1 choùp cuït.  Tùy theo đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác…, ta có hình chóp cụt tam A4 A5 giác, hình chóp cụt tứ giác, hình chóp cụt ngũ giác,… * Tính chaát:  Hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và tỉ số các cặp cạnh tương ứng bằng nhau.  Các mặt bên là những hình thang.  Các đường thẳng chứa các cạnh bên đồng quy tại một điểm.. 265.

(266) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11.  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, M’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, B’C’. a) Chứng minh rằng AM song song với A’M’. b) Tìm giao điểm của mặt phẳng (AB’C’) với đường thẳng A’M. c) Tìm giao tuyeán d cuûa hai maët phaúng (AB’C’) vaø (BA’C’). d) Tìm giao điểm G của đường thẳng d với mặt phẳng (AM’M). Chứng minh G là trọng tâm của tam giaùc AB’C’. Baøi 2: Cho hình hoäp ABCD.A’B’C’D’. a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C) song song với nhau. b) Chứng minh rằng đường chéo AC’ đi qua trọng tâm G1 và G2 của hai tam giác BDA’ và B’D’C. c) Chứng minh G1 và G2 chia đoạn AC’ thành ba phần bằng nhau. d) Gọi O và I lần lượt là tâm của các hình bình hành ABCD và AA’C’C. Xác định thiết diện của mặt phẳng (A’IO) với hình hộp đã cho. Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A1 là trung điểm của cạnh SA và A2 là trung điểm của đoạn AA1. Gọi () và () là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABCD) và lần lượt đi qua A1, A2. Mặt phẳng ( cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại B1, C1, D1. Mặt phẳng () cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại B2, C2, D2. Chứng minh: a) B1, C1, D1 lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC, SD. b) B1B2 = B2B, C1C2 = C2C, D1D2 = D2D. c) Chỉ ra các hình chóp cụt có một đáy là tứ giác ABCD. Bài 4: Trong mặt phẳng () cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ bốn đường thẳng a, b, c, d song song với nhau và không nằm trên (). Trên a, b, c lần lượt lấy ba điểm A’, B’, C’ tùy ý. a) Hãy xác định giao điểm D’ của đường thẳng d với mặt phẳng (A’B’C’). b) Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành. 2. Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Cho hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M và N lần lượt cắt AD và AF tại M' và N'. Chứng minh: a) (ADF) // (BCE); b) M'N' // DF; c) (DEF) // (MM'N'N) vaø MN // (DEF). Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD với đáy là hình thang ABCD có AD // BC, AD = 2BC. Gọi E là trung điểm AD và O là giao điểm của AC và BE. I là một điểm di động trên cạnh AC khác với A và C. Qua I, ta vẽ mặt phẳng () song song với (SBE). Tìm thiết diện tạo bới () và hình chóp S.ABCD. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 266.

(267) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. §5. PHEÙP CHIEÁU SONG SONG. HÌNH BIEÅU DIEÃN I- PHEÙP CHIEÁU SONG SONG: Cho mặt phẳng () và đường thẳng  cắt (). Với mỗi điểm M trong không gian, đường thẳng đi qua M và song M song hoặc trùng với  sẽ cắt () tại điểm M’ xác định. Điểm M’ được goïi laø hình chieáu song song cuûa ñieåm M treân maët phaúng () theo phöông của đường thẳng  hoặc nói gọn là theo phương . Mặt phẳng () gọi là M' maët phaúng chieáu. Phöông  goïi laø phöông chieáu. Phép đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với hình chiếu M’  của nó trên mặt phẳng () được gọi là phép chiếu song song lên () theo phöông . Nếu H là một hình nào đó thì tập hợp H’ các hình chiếu M’ của tất cả những điểm M thuộc H được goïi laø hình chieáu cuûa H qua pheùp chieáu song song noùi treân. * Chú ý: Nếu một đường thẳng có phương trùng với phương chiếu thì hình chiếu của đường thẳng đó là một điểm. Sau đây ta chỉ xét các hình chiếu của những đường thẳng có phương không trùng với phương chieáu. II- CAÙC TÍNH CHAÁT CUÛA PHEÙP CHIEÁU SONG SONG: Ñònh lí 1: a) Pheùp chieáu song song bieán ba ñieåm thaúng haøng thaønh ba ñieåm thaúng haøng vaø khoâng laøm thay đổi thứ tự ba điểm đó. b) Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.. C B A. A'. B'. C'. . c) Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. b. b. a. a. b' a'  b'. . a' . . d) Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng. aA. A C D A' C'. C. D. a. b' a'. B. B b. a' A'. B'. B' C'. D'. . . AB A' B'  CD C' D'. AB A' B'  CD C' D'. 267. D'.

(268) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. III- HÌNH BIEÅU DIEÃN CUÛA MOÄT HÌNH KHOÂNG GIAN TREÂN MAËT PHAÚNG: Hình bieåu dieãn cuûa moät hình H trong khoâng gian laø hình chieáu song song cuûa hình H treân moät maët phaúng theo một phương chiếu nào đó hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó. Hình biểu diễn của các hình thường gặp: Hình biểu diễn của một tam giác thường, tam giác đều, tam giác cân, tam giác vuông, v.v… là:......... .................................................................................................................................................................................................................................................................... Hình biểu diễn của một tứ giác, hình bình hành, hình vuông, hình thoi, hình chữ nhật,… là:.................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... Một hình thang bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một hình thang tùy ý cho trước, miễn là tỉ số độ dài hai đáy của hình biểu diễn phải bằng tỉ số độ dài hai đáy của hình thang ban đầu. Người ta thường dùng hình elip để biểu diễn cho hình tròn. Ví duï: Veõ hình bieåu dieãn cuûa caùc hình sau: a) Hình chóp S.ABC có đáy là: tam giác vuông tại A; tam giác đều; tam giác cân tại B. b) Hình chóp S.ABCD có đáy là: hình bình hành, hình vuông, hình chữ nhật, hình thang vuông; c) Hình laêng truï ABC.A'B'C', hình hoäp ABCD.A'B'C'D' . ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................................................................................  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 268.

(269) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. * OÂN TAÄP CHÖÔNG II * ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................................................................... 269.

(270) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Cho hai hình thang ABCD, ABEF chung đáy lớn AB và không cùng nằm trong một mặt phẳng. a) Tìm giao tuyeán cuûa caùc maët phaúng sau: (AEC) vaø (BFD); (BCE) vaø (ADF). b) Lấy M là điểm thuộc đoạn DF. Tìm giao điểm của đường thẳng AM với mặt phẳng (BCE). c) Chứng minh hai đường thẳng AC và BF không cắt nhau. Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng SA, BC, CD. Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (MNP). Bài 3: Cho hình chóp đỉnh S có đáy là hình thang ABCD với AB là đáy lớn. Gọi M, N theo thứ tự là trung ñieåm cuûa caùc caïnh SB, SC. a) Tìm giao tuyeán cuûa hai maët phaúng (SAD) vaø (SBC). b) Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN). c) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (AMN). Bài 4: Cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ bốn nửa đường thẳng Ax, By, Cz, Dt ở cùng phía đối với mặt phẳng (ABCD), song song với nhau và không nằm trong mặt phẳng (ABCD). Một mặt phẳng () lần lượt cắt Ax, By, Cz, Dt tại A’, B’, C’ và D’. a) Chứng minh mặt phẳng (Ax, By) song song với mặt phẳng (Cz, Dt). b) Gọi I = AC  BD, J = A'C'  B'D'. Chứng minh IJ song song với AA’. c) Cho AA’ = a, BB’ = b, CC’ = c. Haõy tính DD’. Bài 5: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Vẽ thiết diện của hình hộp tạo bởi mặt phẳng đi qua hai trung điểm M, N cuûa caùc caïnh AB, AD vaø taâm O cuûa maët CDD'C'. 2. Baøi taäp naâng cao: Baøi 1: Cho hình bình haønh ABCD vaø ABEF naèm trong hai maët phaúng khaùc nhau. Laáy caùc ñieåm M, N laàn lượt thuộc các đường chéo AC, BF sao cho MC = 2AM, NF = 2BN. Qua M, N kẻ các đường thẳng song song với AB cắt các cạnh AD, AF lần lượt tại M1, N1. Chứng minh rằng: c) mp(MNN1M1) // mp(DEF). a) MM // DE; b) M1N1 // mp(DEF); Bài 2: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Trên ba cạnh AB, DD', C'B' lần lượt lấy ba điểm M, N, P không AM D' N B' P trùng với các đỉnh sao cho .   AB D' D B' C' a) Chứng minh rằng mp(MNP) và mp(AB'D') song song với nhau. b) Xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mp(MNP). CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 270.

(271) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. CHÖÔNG III. ----- oOo -----.  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: 1. Vectô:  Vectơ là một đoạn thẳng có hướng được đặc trưng bởi: phương, chiều và độ lớn. Đường thẳng chứa vectơ   a được gọi là giá của vectơ a .  Độ dài của vectơ AB , kí hiệu AB  AB  BA  Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.      Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng hướng và cùng độ dài, kí hiệu a  b .   Hai vectơ được gọi là đối nhau nếu chúng ngược hướng và có cùng độ dài, vectơ đối của vectơ a , kí hiệu  laø - a . Ta coù:  AB  BA . 2. Quy taéc hình bình haønh vaø quy taéc ba ñieåm: Quy taéc hình bình haønh: Neáu ABCD laø hình bình haønh thì: AB  AD  AC . Quy taéc ba ñieåm: cho ba ñieåm A, B, C baát kì ta coù  AB  BC  AC 3. Caùc tính chaát cuûa pheùp coäng vectô:    Cho ba vectô a, b , c baát kì, ta coù:            (a  b )  c  a  (b  c )  ab ba.  AB  AC  CB.       a0  0a a. 4. Phép nhân một số với một vectơ:     Định nghĩa: Cho số k  0 và vectơ a  0 . Tích của vectơ a với số k là một vectơ, kí hiệu là k a , cùng    hướng với a nếu k > 0, ngược hướng với a nếu k < 0 và có độ dài bằng k a .   Tính chất: Với hai vectơ a và b bất kì, với mọi số h và k, ta có:         (h + k) a  ha  ka  k( a  b ) = ka  kb        h(k a ) = (hk) a 1. a = a , (-1). a = - a . 5. Một số tính chất thường gặp:   Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi IA  IB  0 .   Ñieåm G laø troïng taâm cuûa tam giaùc ABC khi vaø chæ khi GA  GB  GC  0 .  Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M ta có: MA  MB  2 MI .  Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M ta có: MA  MB  MC  3MG        Điều kiện cần và đủ để hai vectơ a và b ( b  0 ) cùng phương là có một số k để a = k b .  Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để AB  k AC .     Cho hai vectơ a và b không cùng phương. Khi đó mọi vectơ x đều phân tích được một cách duy nhất      theo hai vectô a vaø b , nghóa laø coù duy nhaát caëp soá h, k sao cho x  ha  kb  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... 271.

(272) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. §1. VECTÔ TRONG KHOÂNG GIAN I- ÑÒNH NGHÓA VAØ CAÙC PHEÙP TOÙAN VEÀ VECTÔ TRONG KHOÂNG GIAN: Cho đoạn thẳng AB trong không gian. Nếu ta chọn điểm đầu là A, điểm cuối là B ta có một vectơ, được kí hieäu laø AB . 1. Định nghĩa: Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu AB chỉ vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B. Vectơ còn được kí hiệu là a, b, x, y ,… Các khái niệm có liên quan đến vectơ như giá của vectơ, độ dài của vectơ, sự cùng phương, cùng hướng của hai vectơ, vectơ – không, sự bằng nhau của hai vectơ, … được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng.  Cho hình tứ diện ABCD. Hãy chỉ ra các vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là các đỉnh còn lại của hình tứ diện. Các vectơ coù cuøng naèm trong maët phaúng khoâng? Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Hãy kể tên các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp và bằng vectơ AB .. 2. Phép cộng và phép trừ vectơ trong không gian: (..............................................................................) Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh: AC  BD  AD  BC . Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ......................................................................................................................  Cho hình hộp ABCD.EFGH. Hãy thực hiện các phép toán sau đây:. a) AB  CD  EF  GH ;. b) BE  CH .. B'.  Quy taéc hình hoäp: Cho hình hoäp ABCD.A’B’C’D’ coù. C'. A'. ba cạnh xuất phát từ đỉnh A là AB, AD, AA’ và có đường chéo là AC’. Khi đó ta có quy tắc hình hộp là: AB  AD  AA'  AC '. D'. B. A. C. D. 3. Phép nhân vectơ với một số: (.................................................................................................................)   Trong không gian, tích của vectơ a với một số k ≠ 0 là vectơ k a được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng và có các tính chất giống như các tính chất đã được xét trong mặt phẳng. Ví dụ: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC và G là trọng tâm của tam giác BCD. Chứng minh rằng: 1 a) MN  ( AB  DC) ; b) AB  AC  AD  3 AG ; 2 Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... 272.

(273) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11           Trong không gian cho hai vectơ a và b đều khác vectơ - không. Hãy xác định các vectơ m  2 a , n  3b và p  m  n .. II- ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BA VECTƠ: 1. Khái niệm về sự đồng phẳng của ba vectơ trong không gian: Trường hợp các đường thẳng OA, OB, OC cùng Trường hợp các đường thẳng OA, OB, OC không cùng nằm trong một mặt phẳng, khi đó ta nói nằm trong một mặt phẳng thì ta nói ba vectơ a, b, c rằng ba vectơ a, b, c không đồng phẳng. đồng phẳng. A a a. O. A b. O. b c. B. C. B. c C. * Chú ý: Việc xác định sự đồng phẳng hoặc không đồng phẳng của ba vectơ nói trên không phụ thuộc vào vieäc choïn ñieåm O. b 2. Ñònh nghóa: a Trong không gian ba vectơ được gọi là đồng a phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một b O c maët phaúng.  c. Ví dụ: Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng ba vectơ BC , AD, MN đồng phẳng. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ..................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ......................................................................................................................  Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Chứng minh rằng các đường thẳng IK và ED song song với mp(AFC). Từ đó suy ra ba vectơ AF , IK , ED đồng phẳng.. 3. Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Định lí 1: Trong không gian cho hai vectơ a, b không cùng phương và vectơ c . Khi đó ba vectơ a,. b , c đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n sao cho c = ma  nb . Ngòai ra cặp số m, n là duy nhất..           Cho hai vectơ a và b đều khác vectơ 0 . Hãy xác định vectơ c  2 a  b và giải thích tại sao ba vectơ a, b , c đồng phẳng.        Cho ba vectơ a, b , c trong không gian. Chứng minh rằng nếu ma  nb  pc  0 và một trong số ba số m, n, p khác không thì    ba vectơ a, b , c đồng phẳng.. 273.

(274) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. Ví dụ: Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Trên các cạnh AD và BC 2 2 lần lượt lấy các điểm P và Q sao cho AP  AD và BQ  BC . Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q 3 3 cuøng thuoäc moät maët phaúng. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... Định lí 2: Trong không gian cho ba vectơ không đồng phẳng a, b , c . Khi đó với mọi vectơ x ta đều tìm được một bộ ba số m, n, p sao cho x  ma  nb  pc . Ngòai ra bộ ba số m, n, p là duy nhất. Ví dụ: Cho hình hộp ABCD.EFGH có AB  a , AD  b , AE  c . Gọi I là trung điểm của đoạn BG. Haõy bieåu thò vectô AI qua ba vectô a, b , c . Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ......................................................................................................................  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... 274.

(275) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng: a) AB  B' C '  DD'  AC ' b) BD  D' D  B' D'  BB' c) AC  BA'  DB  C ' D  0 . Bài 2: Cho hình bình hành ABCD. Gọi S là một điểm nằm ngòai mặt phẳng chứa hình bình hành. Chứng minh raèng: SA  SC  SB  SD . Bài 3: Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng: 1 1 a) MN  ( AD  BC ) ; b) MN  ( AC  BD ) . 2 2 Bài 4: Cho hình tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng: DA  DB  DC  3DG . Bài 5: Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MN và P là một điểm bất kì trong không gian. Chứng minh rằng:  1 a) IA  IB  IC  ID  0 b) PI  ( PA  PB  PC  PD ) . 4 Bài 6: Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’. Mặt phẳng (P) cắt các cạnh bên AA’, BB’, CC’, DD’ lần lượt tại I, K, L, M. Xét các vectơ có các điểm đầu là các điểm I, K, L, M và có các điểm cuối là các đỉnh của hình laêng truï. Haõy chæ ra caùc vectô: a) Cùng phương với IA . b) Cùng phương với IA . c) Ngược hướng với IA . Baøi 7: Cho hình laêng truï tam giaùc ABC.A’B’C’ coù AA'  a , AB  b , AC  c . Haõy phaân tích (hay bieåu thò) caùc vectô B' C , BC ' qua caùc vectô a, b , c . 2. Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Cho hình tứ diện ABCD. Hãy xác định hai điểm E, F sao cho: a) AE  AB  AC  AD b) AF  AB  AC  AD Bài 2: Cho tam giác ABC. Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC). Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho 1 MS  2MA và trên đoạn BC lấy điểm N sao cho NB   NC . Chứng minh rằng ba vectơ AB , MN , SC 2 đồng phẳng. Baøi 3: Cho hình hoäp ABCD.EFGH. Goïi K laø giao ñieåm cuûa AH vaø DE, I laø giao ñieåm cuûa BH vaø DF. Chứng minh ba vectơ AC , KI , FG đồng phẳng.. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 275.

(276) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. §2. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC I- TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN: 1. Góc giữa hai vectơ trong không gian:   Ñònh nghóa: Trong khoâng gian, cho u vaø v laø hai vectô khaùc vectô - khoâng. Laáy moät ñieåm A baát kì, goïi B vaø C laø hai ñieåm sao   cho AB  u , AC  v . Khi đó ta gọi góc BAC (00  C  1800) là     góc giữa hai vectơ u và v trong không gian, kí hiệu là ( u, v ).. u B A. C.  v.  Cho tứ diện đều ABCD có H là trung điểm của cạnh AB. Hãy tính góc giữa các cặp vectơ: AB và BC , CH và AC .. 2. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian: Định nghĩa: Trong không gian cho hai vectơ u và v đều khác vectơ - không. Tích vô hướng của hai vectơ u và v là một số, kí hiệu là u . v , được xác định bởi công thức:      u.v  u v . cos( u , v ) Trường hợp u = 0 hoặc v = 0 ta quy ước u . v = 0. Ví dụ: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = 1. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Tính góc giữa hai vectơ OM và BC . Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ......................................................................................................................  Cho hình laäp phöông ABCD.A'B'C'D'. Haõy phaân tích caùc vectô AC' vaø BD theo ba vectô AB , AD , AA' . Tính cos( AC ', BD ) vaø từ đó suy ra AC' và BD vuông góc nhau.. II- VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG: 1. Ñònh nghóa: Vectô a khaùc vectô – khoân g a được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu d giá của vectơ a song song hoặc trùng với đường thaúng d. 2. Nhaän xeùt:    Nếu a là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì vectơ ka với k  0 cũng là một vectơ chỉ phöông cuûa d.  Một đường thẳng d trong không gian hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm A thuộc d và một  vectô chæ phöông a cuûa noù.  Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi chúng là hai đường thẳng phân biệt và có hai vectô chæ phöông cuøng phöông.. 276.

(277) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. III- GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG: b 1. Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua a b' một điểm và lần lượt song song với a và b. O a' 2. Nhaän xeùt:  Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại.    Nếu u là vectơ chỉ phương của đường thẳng a và v là vectơ chỉ phương của đường thẳng b và   (u, v ) =  thì góc giữa hai đường thẳng a và b bằng  nếu 00    900 và bằng 1800 -  nếu 900 <   1800.  Nếu a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 00.  Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Tính góc giữa các cặp đường thẳng: AB và B'C'; AC và B'C'; A'C' và B'C.. Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và BC = a 2 . Tính góc giữa hai đường thaúng AB vaø SC. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... V- HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC: 1. Định nghĩa: Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900. Người ta kí hiệu hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau là a  b. 2. Nhaän xeùt:     Nếu u và v lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b thì: a  b  u.v  0 .  Cho hai đường thẳng song song. Nếu một đường thẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.  Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau. Ví dụ: Cho tứ diện ABCD có AB  AC và AB  BD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng AB và PQ là hai đường thẳng vuông góc với nhau. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... 277.

(278) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11.  Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Hãy nêu tên các đường thẳng đi qua hai đỉnh của hình lập phương đã cho và vuông góc với đường thẳng AB, AC..  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ sau đây: a) AB vaø EG ; b) AF vaø EG ; c) AB vaø DH . Bài 2: Cho tứ diện ABCD. a) Chứng minh rằng AB.CD  AC.DB  AD.BC  0 ; b) Từ đẳng thức trên hãy suy ra rằng nếu tứ diện ABCD có AB  CD và AC  DB thì AD  BC. Bài 3: Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC’ có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, CB, BC’, C’A. Chứng minh rằng: a) AB  CC’; b) Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật. Bài 4: Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và có góc ASB = BSC = CSA . Chứng minh rằng: SA  BC, SB  AC, SC  AB. Baøi 5: Trong khoâng gian cho hai hình vuoâng ABCD vaø ABC’D’ coù chung caïnh AB vaø naèm trong hai maët phẳng khác nhau, lần lượt có tâm O và O’. Chứng minh rằng: AB  OO’ và tứ giác CDD’C’ là hình chữ nhật. Bài 6: a) Trong không gian nếu hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với đường thẳng c thì a và b có song song với nhau không? b) Trong không gian nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c thì a có vuông góc với c không? 2. Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và góc BAC = BAD = 600 . Chứng minh rằng: a) AB  CD. b) Nếu M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD thì MN  AB và MN  CD. 2 2 1 AB . AC  ( AB. AC ) 2 . Bài 2: Cho S là diện tích của hình tam giác ABC. Chứng minh rằng: S = 2 CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 278.

(279) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. §3. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG I- ÑÒNH NGHÓA: Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng () nếu d vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong maët phaúng (). Khi d vuông góc với () ta còn nói () vuông góc với d, hoặc d và () vuông góc với nhau. Kí hieäu: d  (). II- ĐIỀU KIỆN ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG: Định lí: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.. Hệ quả: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ ba của tam giác đó.. ......................................................................................................................... ......................................................................................................................... .......................................................................................................................... ......................................................................................................................... ......................................................................................................................... ..........................................................................................................................  Nhaän xeùt: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................................................................................  Phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B và có cạnh SA vuông góc với mặt phaúng (ABC). a) Chứng minh BC  (SAB). b) Gọi AH là đường cao của tam giác SAB. Chứng minh AH  SC. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... 279.

(280) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. III- TÍNH CHAÁT: d. Tính chaát 1: Coù duy nhaát moät maët phaúng ñi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.. * Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng: Người ta gọi mặt phẳng đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB và vuông góc với đường thẳng AB là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.. O . M. A. B. I . O. Tính chất 2: Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.. . IV- LIÊN HỆ GIỮA QUAN HỆ SONG SONG VAØ QUAN HỆ VUÔNG GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VAØ MAËT PHAÚNG: Tính chaát 1: a b a) Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia. b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc  với một mặt phẳng thì song song với nhau. Tính chaát 2: a a) Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng  nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia. b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với  một đường thẳng thì song song với nhau. Tính chaát 3: b a a) Cho đường thẳng a và mặt phẳng () song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với () thì cũng vuông góc với a. b) Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng  (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau. V- PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC VAØ ĐỊNH LÍ BA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC: 1. Pheùp chieáu vuoâng goùc: Cho đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng (). Phép chiếu song song theo phương của  lên mặt phẳng () được gọi là phép chiếu vuông góc leân maët phaúng ().. A B. A' . 280. B'.

(281) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. * Nhận xét: Phép chiếu vuông góc lên một mặt phẳng là trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song nên có đầy đủ các tính chất của phép chiếu song song. Chú ý rằng người ta còn dùng tên gọi “phép chiếu lên maët phaúng ()” thay cho teân goïi “pheùp chieáu vuoâng goùc leân maët phaúng ()” vaø duøng teân goïi H' laø hình chieáu cuûa H treân maët phaúng () thay cho teân goïi laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa H treân maët phaúng (). A 2. Định lí ba đường vuông góc: B Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng () b và b là đường thẳng không thuộc() đồng thời không vuông góc với (). Gọi b’ là hình chiếu vuông góc b' A' B' của b trên (). Khi đó a vuông góc với b khi và chỉ a  khi a vuông góc với b’. 3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Định nghĩa: Cho đường thẳng d và mặt phẳng (). d A  Trường hợp đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng () thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng () bằng 900.  Trường hợp đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng  O () thì góc giữa d và hình chiếu d’ của nó trên () gọi là góc giữa H d' đường thẳng d và mặt phẳng ().  * Chú ý: Nếu là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng () thì ta luoân coù 00    900. Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, có cạnh SA = a 2 và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). a) Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A lên các đường thẳng SB và SD. Tính góc giữa đường thaúng SC vaø maët phaúng (AMN). b) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD). Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ......................................................................................................................  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... 281.

(282) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD và có SA = SB = SC = SD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng: a) Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD). b) Đường thẳng AC vuông góc với mp(SBD) và đường thẳng BD vuông góc với mp(SAC). Bài 2: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O tới mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng: 1 1 1 1 a) H là trực tâm của tam giác ABC; b) .    2 2 2 OH OA OB OC 2 Baøi 3: Treân maët phaúng () cho hình bình haønh ABCD. Goïi O laø giao ñieåm cuûa AC vaø BD, S laø moät ñieåm nằm ngoài mặt phẳng () sao cho SA = SC, SB = SD. Chứng minh rằng: a) Đường thẳng SO vông góc mp(). b) Nếu trong mặt phẳng (SAB) kẻ SH vuông góc với AB tại H thì AB vuông góc với mp(SOH). Bài 4: Cho điểm S không thuộc mặt phẳng () có hình chiếu trên () là điểm H. Với điểm M bất kì trên () và M không trùng với H, ta gọi SM là đường xiên và đoạn HM là hình chiếu của đường xiên đó. Chứng minh raèng: a) Hai đường xiên bằng nhau khi và chỉ khi hai hình chiếu của chúng bằng nhau. b) Với hai đường xiên cho trước, đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn và ngược lại đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn. Bài 5: Cho hai đường thẳng phân biệt a,b và mặt phẳng (). Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? a) Neáu a // () vaø b  () thì a  b. b) Neáu a // () vaø b  a thì b  (). c) Neáu a // () vaø b // () thì b // a. d) Neáu a  () vaø b  a thì b // (). Bài 6: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và BCD là hai tam giác cân có chung cạnh đáy BC. Gọi I là trung ñieåm cuûa caïnh BC. a) Chứng minh rằng BC vuông góc với mặt phẳng (ADI). b) Gọi AH là đường cao của tam giác ADI, chứng minh rằng AH vuông góc với mặt phẳng (BCD). 2. Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD và có cạnh SA vuông góc với mp(ABCD). Gọi I SI SK . Chứng minh: và K là hai điểm lần lượt lấy trên hai cạnh SB và SD sao cho  SB SD a) BD vuông góc với SC. b) IK vuông góc với mặt phẳng (SAC). Bài 2: Cho tứ diện SABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có tam giác ABC vuông tại B. SM SN Trong mặt phẳng (SAB) kẻ AM vuông góc với SB tại M. Trên cạnh SC lấy điểm N sao cho . Chứng  SB SC minh raèng: a) BC  (SAB) vaø AM  (SBC). b) SB  AN. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 282.

(283) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. §4. HAI MAËT PHAÚNG VUOÂNG GOÙC I- GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG: 1. Ñònh nghóa: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì ta nói rằng góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 00. 2. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau:  Giả sử hai mặt phẳng () và () cắt nhau theo giao tuyến c. b Từ một điểm I bất kì trên c ta dựng trong () đường thẳng a vuông góc với c và dựng trong () đường thẳng b vuông góc với c. c Người ta chứng minh được góc giữa hai mặt phẳng () và a I () là góc giữa hai đường thẳng a và b. . 3. Dieän tích hình chieáu cuûa moät ña giaùc: Cho ña giaùc H naèm trong maët phaúng () coù dieän tích laø S vaø H’ laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa H treân mặt phẳng (), gọi  là góc giữa mp() và mp(). Khi đó diện tích S’ của H’ được tính theo công thức: S’ = Scos  Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng a (ABC) vaø SA = . 2 a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC). b) Tính dieän tích tam giaùc SBC. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... 283.

(284) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. II- HAI MAËT PHAÚNG VUOÂNG GOÙC: 1. Ñònh nghóa: Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa hai mặt phẳng đó là góc vuông. Nếu hai mặt phẳng () và () vuông góc với nhau ta kí hiệu ()  (). 2. Caùc ñònh lí: Định lí 1: Điều kiện cần và đủ để hai mặt ......................................................................................................................... phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng này chứa ......................................................................................................................... một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia..  Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng vuông góc: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... Hệ quả1: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.. . d. .......................................................................................................................... c. ......................................................................................................................... .......................................................................................................................... . Heä quaû 2: Cho hai maët phaúng () vaø () vuông góc với nhau. Nếu từ một điểm thuộc mặt phẳng () ta dựng một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng () thì đường thẳng này nằm trong mặt phaúng (). d. ......................................................................................................................... ..........................................................................................................................  .......................................................................................................................... . Ñònh lí 2: Neáu hai maët phaúng caét nhau vaø cùng vuông góc với một mặt phẳng thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng đó.. . . ......................................................................................................................... ......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .  Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Chứng minh rằng các mặt phẳng (ABC), (ACD), (ADB) cũng đôi một vuông góc với nhau.  Cho hình vuông ABCD. Dựng đoạn thẳng AS vuông góc với mặt phẳng chứa hình vuông ABCD. a) Hãy nêu tên các mặt phẳng lần lượt chứa các đường thẳng SB, SC, SD và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). b) Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SBD).. 284.

(285) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC vuông tại C, mặt bên (SAC) là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. a) Chứng minh rằng mp(SAC)  mp(SBC); b) Gọi I là trung điểm SC, chứng minh rằng mp(ABI)  mp(SBC). Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... III- HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG, HÌNH HỘP CHỮ NHẬT, HÌNH LẬP PHƯƠNG: 1. Ñònh nghóa: Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với các mặt đáy. Độ dài cạnh bên được gọi là chiều cao của hình lăng trụ đứng. Hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác,v.v… được gọi là hình lăng trụ đứng tam giác, hình lăng trụ đứng tứ giác, hình lăng trụ đứng ngũ giác,v.v… Hình lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều được gọi là hình lăng trụ đều. Ta có các loại lăng trụ đều như hình lăng trụ tam giác đều, hình lăng trụ tứ giác đều, hình lăng trụ ngũ giác đều… Hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp đứng. Hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật được gọi là hình hộp chữ nhật. Hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông và các mặt bên đều là hình vuông được gọi là hình lập phöông. 2. Nhận xét: Các mặt bên của hình lăng trụ đứng luôn luôn vuông góc với mặt phẳng đáy và là những hình chữ nhật.. Lăng trục đứng tam giác. Lăng trụ đứng ngũ giác. 285. Hình hộp chữ nhật. Hình laäp phöông.

(286) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. Ví duï: Cho hình laäp phöông ABCD.A’B’C’D’ coù caïnh baèng a. Tính dieän tích thieát dieän cuûa hình laäp phương bị cắt bởi mặt phẳng trung trực () của đoạn AC’. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... IV- HÌNH CHÓP ĐỀU VAØ HÌNH CHÓP CỤT ĐỀU: 1. Hình chóp đều: Cho hình chóp đỉnh S có đáy là đa giác A1 A2 ...An vaø H laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa S treân maët phaúng. S. đáy ( A1 A2 ...An ). Khi đó đoạn thẳng SH gọi là đường cao của hình chóp và H gọi là chân đường cao. Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu nó có đáy là một đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy.. C. B. A. D. H F. E.  Cách vẽ hình chóp đều: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................................................................................  Hai loại hình chóp đều thường gặp: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... 286.

(287) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. Nhaän xeùt: a) Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Các mặt bên tạo với mặt đáy các goùc baèng nhau. b) Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau. B'. 2. Hình chóp cụt đều: Phần của hình chóp đều nằm giữa đáy và một thiết diện song song với đáy cắt các cạnh bên của hình chóp đều được gọi là hình chóp cụt đều.. C' D'. A' F' E'. C. B. D. A F. E.  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... 287.

(288) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Trong mặt phẳng () cho tam giác ABC vuông ở B. Một đoạn thẳng AD vuông góc với () tại A. Chứng minh rằng: a) Góc ABD là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (DBC). b) Mặt phẳng (ABD) vuông góc với mặt phẳng (BCD). c) HK // BC với H, K lần lượt là giao điểm của DB, DC với mp(P) đi qua A và vuông góc với DB. Bài 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng: a) Mặt phẳng (AB’C’D) vuông góc với mặt phẳng (BCD’A’). b) Đường thẳng AC’ vuông góc với mặt phẳng (A’BD). Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và SA = SB = SC = a. Chứng minh: a) Mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng (SBD). b) Tam giaùc SBD laø tam giaùc vuoâng. Bài 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, CC’ = c. a) Chứng minh rằng mặt phẳng (ADC’B’) vuông góc với mặt phẳng (ABB’A’). b) Tính độ dài đường chéo AC’ theo a, b, c. Bài 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng a. Gọi O là tâm của hình vuoâng ABCD. a) Tính độ dài đoạn thẳng SO. b) Gọi M là trung điểm của đoạn SC. Chứng minh mp(MBD)  mp(SAC). c) Tính độ dài đoạn OM và tính góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD). Bài 6: Cho ba mặt phẳng (), (), () mệnh đề nào sao đây đúng? a) Neáu ()  () vaø () // () thì ()  (); b) Neáu ()  () vaø ()  () thì () // (). Bài 7: Tính độ dài đường chéo của một hình lập phương cạnh a. Bài 8: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có SH là đường cao. Chứng minh SA  BC và SB  AC. 2. Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Cho hai mặt phẳng () và () vuông góc với nhau. Người ta lấy trên giao tuyến  của hai mặt phẳng đó hai điểm A và B sao cho AB = 8 cm. Gọi C là một điểm trên () và D là một điểm trên () sao cho AC và BD cùng vuông góc với giao tuyến  và AC = 6 cm, BD = 24 cm. Tính độ dài đoạn CD. Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thoi tâm I cạnh a và có góc A bằng 600, cạnh SC a 6 = và SC vuông góc với mặt phẳng (ABCD). 2 a) Chứng minh mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (SAC). b) Trong tam giác SCA kẻ IK vuông góc với SA tại K. Hãy tính độ dài IK. c) Chứng minh góc BKD = 900 và từ đó suy ra mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SAD).. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 288.

(289) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. §5. KHOẢNG CÁCH I- KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG, ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG: 1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Cho điểm O và đường thẳng a. Trong mặt phẳng (O,a) gọi O H là hình chiếu vuông góc của O trên a. Khi đó khoảng cách giữa a hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến đường H  thaúng a, kí hieäu laø d(O,a). O 2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: Cho ñieåm O vaø maët phaúng (). Goïi H laø hình chieáu vuoâng góc của O lên mặt phẳng (). Khi đó khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng () và H  được kí hiệu là d(O, ()). II- KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VAØ MẶT PHẲNG SONG SONG, GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG: O 1. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: a Định nghĩa: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (). Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng () là khoảng H cách từ một điểm bất kì của a đến mặt phẳng (), kí hiệu là d(a,  ()). 2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song O là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt  phaúng kia. Ta kí hiệu khoảng cách giữa hai mặt phẳng () và () song H song với nhau là d((),()). Khi đó d((),()) = d(M, ()) với  M  (), và d((),()) = d(M’,()) với M’ (). III- ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG VAØ KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU:  Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh BC và AD. Chứng minh rằng: MN  BC và MN  AD.. 1. Ñònh nghóa: a) Đường thẳng  cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy được gọi là đường vuông goùc chung cuûa a vaø b. b) Nếu đường vuông góc chung  cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b lần lượt tại M, N thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b. 2. Cách tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Gọi () là mặt phẳng chứa b và song song với a, a’ là hình chiếu vuông góc của a treân maët phaúng (). Vì a // () nên a // a’. Do đó a’ và b’ cắt nhau tại một điểm. Gọi điểm này là N. Gọi () là mặt phẳng chứa a và a’.  là đường thẳng đi qua N và vuông góc với (). Khi đó () vuông góc với (). Như vậy  nằm trong () nên cắt đường thẳng a tại M và cắt đường thẳng b tại N, đồng thời  cùng vuông góc với cả a và b. Do đó   là đường vuông góc chung của a và b.. 289. M. a b. N. a. b.

(290) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. 3. Nhaän xeùt: a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng a M cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với  nó chứa đường thẳng còn lại. b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng N b  cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó. Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SC và BD. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ......................................................................................................................  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... 290.

(291) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H, K lần lượt là trực tâm của tam giaùc ABC vaø SBC. a) Chứng minh ba đường thẳng AH, SK, BC đồng quy. b) Chứng minh rằng SC vuông góc với mặt phẳng (BHK) và HK vuông góc với mặt phẳng (SBC). c) Xác định đường vuông góc chung của BC và SA. Bài 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, CC’ = c. a) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACC’A’). b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BB’ và AC’. Bài 3: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối diện của tứ diện đều đó. Bài 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. Tính khoảng cách từ S tới mặt đáy (ABC). Bài 5: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng? a) Đường thẳng  là đường vuông góc chung của hai đường thẳng a và b nếu  vuông góc với a và  vuông góc với b. b) Gọi (P) là mặt phẳng song song với cả hai đường thẳng a và b chéo nhau. Khi đó đường vuông góc chung  của a và b luôn luôn vuông góc với (P). c) Gọi  là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b thì  là giao tuyến là của hai maët phaúng (a, ) vaø (b, ). d) Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Đường thẳng nào đi qua một điểm M trên a đồng thời cắt b tại N và vuông góc với b thì đó là đường vuông góc chung của a và b. e) Đường vuông góc chung  của hai đường thẳng chéo nhau a và b nằm trong mặt phẳng chứa đường này và vuông góc với đường kia. 2. Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a. Chứng minh rằng các khoảng cách từ các điểm B, C, D, A’, B’, D’ đến đường chéo AC’ đều bằng nhau. Tính khoảng cách đó. Baøi 2: Cho hình laäp phöông ABCD.A’B’C’D’ a) Chứng minh rằng B’D vuông góc với mặt phẳng (BA’C’). b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (BA’C’) và (ACD’). c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’. Bài 3: Chứng minh rằng nếu đường thẳng nối trung điểm hai cạnh AB và CD của tứ diện ABCD là đường vuoâng goùc chung cuûa AB vaø CD thì AC = BD vaø AD = BC. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 291.

(292) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. * OÂN TAÄP CHÖÔNG III *. ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................ 292.

(293) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................ 293.

(294) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh SA bằng a và vuông góc với mặt phaúng (ABCD). a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông. b) Mặt phẳng () đi qua A và vuông góc với cạnh SC lần lượt cắt SB, SC, SD tại B’, C’, D’. Chứng minh B’D’ song song với BD và AB’ vuông góc với SB. Baøi 2: Cho hình laäp phöông ABCD.A’B’C’D’ caïnh a. a) Chứng minh BC’ vuông góc với mặt phẳng (A’B’CD). b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB’ và BC’. a 3 Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a có BAD = 600 và SA = SB = SD = . 2 a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) và độ dài cạnh SC. b) Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). c) Chứng minh SB vuông góc với BC. d) Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Tính tan  . Bài 4: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng? a) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì chúng song song. b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song. c) Mặt phẳng () vuông góc với đường thẳng b mà b vuông góc với đường thẳng a, thì a song song với (). d) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì chúng song song. e) Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song. Bài 5: Trong các điều khẳng định sau đây, điều nào là đúng? a) Khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn ngắn nhất trong các đoạn thẳng nối hai điểm bất kì nằm trên hai đường thẳng ấy và ngược lại. b) Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng khác. c) Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng khác. d) Đường thẳng nào vuông góc với cả hai đường thẳng chéo nhau cho trước là đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó. 2. Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a và có góc BAD = 600. Gọi O là giao là trung điểm của đoạn BC, F là trung điểm của đoạn BE. a) Chứng minh mặt phẳng (SOF) vuông góc với mặt phẳng (SBC). b) Tính các khoảng cách từ O và A đến mặt phẳng (SBC). Bài 2: Tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ADC nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tam giác ABC vuoâng taïi A coù AB = a, AC = b. Tam giaùc ADC vuoâng taïi D coù CD = a. a) Chứng minh các tam giác BAD và BDC là những tam giác vuông. b) Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh IK là đường vuông góc chung của hai đường thẳng AD và BC.. 294.

(295) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 11. * OÂN TAÄP CUOÁI NAÊM * Bài 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các điểm A(1 ; 1), B(0 ; 3), C(2 ; 4). Xác định ảnh của tam giác ABC qua caùc pheùp bieán hình sau: a) Pheùp tònh tieán theo vectô v = (2 ; 1). b) Phép đối xứng qua trục Ox. c) Phép đối xứng qua tâm I(2 ; 1). d) Pheùp qua taâm O goùc 900. e) Phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua trục Oy và phép vị tự tâm O tæ soá k = -2. Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi G và H tương ứng là trọng tâm và trực tâm của tam giác, các điểm A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. a) Tìm phép vị tự F biến A, B, C tương ứng thành A’, B’, C’. b) Chứng minh rằng O, G, H thẳng hàng. c) Tìm ảnh của O qua phép vị tự F. d) Gọi A”, B”, C” lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AH, BH, CH; A1, B1, C1 theo thứ tự là giao điểm thứ hai của các tia AH, BH, CH với đường tròn (O); A’1, B’1, C’1 tương ứng là chân các đường cao 1 đi qua A, B, C. Tìm ảnh của A, B, C, A1, B1, C1 qua phép vị tự tâm H tỉ số . 2 e) Chứng minh chín điểm A’, B’, C’, A”, B”, C”, A’1, B’1, C’1 cùng thuộc một đường tròn (đường tròn này gọi là đường tròn Ơ-le của tam giác ABC). Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB là đáy lớn. Gọi M là trung điểm của đoạn AB, E là giao điểm của hai cạnh bên của hình thang ABCD và G là trọng tâm của tam giác ECD. a) Chứng minh rằng bốn điểm S, E, M, G cùng thuộc một mặt phẳng   và mặt phẳng này cắt cả hai maët phaúng (SAC) vaø (SBD) theo cuøng moät giao tuyeán d. b) Xaùc ñònh giao tuyeán cuûa hai maët phaúng (SAD) vaø (SBC). c) Lấy một điểm K trên đoạn SE và gọi C’ = SC  KB, D’ = SD  KA. d) Chứng minh rằng giao điểm của AC’ và BD’ thuộc đường thẳng d nói trên. Bài 4: Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có E, F, M và N lần lượt là trung điểm của AC, BD, AC’ và BD’. Chứng minh MN = EF. Bài 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có E và F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và DD’. Hãy xác định các thiết diện của hình lập phương cắt bởi các mặt phẳng (EFB), (EFC), (EFC’), (EFK) với K là trung ñieåm cuûa caïnh B’C’. Baøi 6: Cho hình laäp phöông ABCD.A’B’C’D’ coù caïnh baèng a. a) Hãy xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau BD’ và B’C. b) Tính khoảng cách của hai đường thẳng BD’ và B’C. Bài 7: Cho hình thang ABCD vuông tại A và B, có AD = 2a, AB = BC = a. Trên tia Ax vuông góc với mặt phẳng (ABCD) lấy một điểm S. Gọi C’, D’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SC và SD. Chứng minh raèng: a) SBC = SCD = 900. b) AD’, AC’ vaø AB cuøng naèm treân moät maët phaúng. c) Chứng minh rằng đường thẳng C’D’ luôn luôn đi qua một điểm cố định khi S di động trên tia Ax.. 295.

(296) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HAØM ĐỂ KHẢO SÁT HAØM SỐ ----- oOo -----.  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: 1. Dấu nhị thức bậc nhất:  Dạng f(x) = ax + b (a  0). Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0.  Bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b (a  0): b + - x a ax + b trái dấu với a 0 cùng dấu với a 2. Dấu tam thức bậc hai:  Dạng f(x) = ax2 + bx + c (a  0). Nghiệm của tam thức là nghiệm phương trình ax2 + bx + c = 0.  Tính  = b2 - 4ac  Neáu  < 0 thì: phöông trình f(x) = 0 voâ nghieäm vaø x - + f(x) cùng dấu với a b  Neáu  = 0 thì: phöông trình f(x) = 0 coù nghieäm keùp x = - vaø 2a b - + x 2a f(x) cùng dấu với a 0 cùng dấu với a  Neáu  > 0 thì: phöông trình f(x) = 0 coù 2 nghieäm x1, x2 (x1 < x2) vaø x2 + x - x1 f(x) cùng dấu với a 0 trái dấu với a 0 cùng dấu với a * Chú ý: Có thể xét dấu tam thức bậc hai theo ' nếu hệ số b chẵn. 3. Xét dấu biểu thức và giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu, bất phương trình bậc hai và hệ bất phöông trình moät aån: Yêu cầu sử dụng thành thạo bảng xét dấu nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai. Giải được bất phương trình chứa ẩn ở mẫu, bất phương trình bậc hai và hệ bất phương trình một ẩn. Ví dụ1: Xét dấu các biểu thức sau: 1  2x 1 2 a) f(x) = (x - 1)(x2 - 2x - 3); b) f(x) = ; c) f(x) = ; d) f(x) = . 2 2 ( x  1) ( x  1) x2  x  5 Ví duï 2: Giaûi caùc baát phöông trình sau: a) x2 + 2x + 3 < 0;. b) (x - 1)(x + 1)2  0;. Ví duï 3: Giaûi caùc heä baát phöông trình sau:. c). 2 5  ; x  1 2x  1. 1 x  0  ; a)  2  x  3 x  4  0. x 2  3x  1  1. x 1  x 2  2 x  15  0 b)  2 .  6  8  0 x x  d). 4. Daáu caùc nghieäm phöông trình baäc hai: Cho phöông trình: ax2 + bx + c = 0 (*) ( = b2 - 4ac) Phöông trình (*) coù hai Phöông trình (*) coù hai nghieäm Phöông trình (*) coù hai nghieäm nghieäm traùi daáu (x1 < 0 < x2) aâm phaân bieät (x1 < x2 < 0) khi döông phaân bieät (0 < x1 < x2 ) khi c  a0  a0 khi vaø chæ khi: P = < 0.   0 a   c 0  c vaø chæ khi:  P   0 vaø chæ khi:  P   0 a a   S   b  0 S   b  0   a a. 296.

(297) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. 5. Điều kiện không đổi dấu của tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a  0). a  0 a) f(x)  0 x  R   ;   0. a  0 b) f(x)  0 x  R   .   0. 6. Chia đa thức:. r ( x) f ( x)  k ( x)  (với f(x) là đa thức có bậc lớn hoặc bằng bậc của g(x)), trong đó g ( x) g ( x) f ( x) k(x) laø thöông vaø r(x) laø dö trong pheùp chia . g ( x) r ( x) f ( x) Ví dụ 1: Biễu diễn các phân thức dạng thaønh daïng k ( x )  : g ( x) g ( x) x 2  2x  5 x 3  3x  1 x3 1 x2 a) ; b) ; c) ; d) 2 ; x 1 x 1 x2 x 1  x 2  2x  1 x 3  3x  2 x 3  5x 2  x  2 x 3  3x  1 e) ; f) ; g) ; h) . 1 x 2x  2 1  2x x2 1 Ví dụ 2: Phân tích các đa thức sau đây thành tích của nhị thức bậc nhất với một đa thức có bậc nhỏ hơn đa thức đã cho: a) -x3 + 3x2 - 3x + 1; b) x3 + x2 - 2x - 2; c) x3 + (m - 1)x2 - m. 7. Các khái niệm liên quan đến hàm số: Hàm số cho bởi biểu thức được kí hiệu y = f(x) với f(x) là một biểu thức chứa biến x.  Taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá: D = {x  R  f(x) coù nghóa}. y  Giaù trò cuûa haøm soá y = f(x) taïi x0 laø y0 = f(x0). Ví duï 1: Giaù trò cuûa haøm soá y = x2 + 1 taïi x0 = 2 laø 5 y = f(x) = x + 1 3  2x Ví duï 2: Cho haøm soá y = f(x) = (1) x7 a) Tính f(2), f(-1); 5 b) Tính giaù trò cuûa haøm soá taïi x = -2; c) Tìm tọa độ điểm M có hoành độ x = 0 trên đồ thị hàm soá (1); d) Tìm trên đồ thị hàm số (1) những điểm có tung độ bằng 0. Ví duï 3: Tìm taäp xaùc ñònh cuûa caùc haøm soá sau: 3x  1 a) y = x 4 – 2 x 2 + 3; b) y = ; x O 1 x 2 x2  x 1 2x c) y = ; d) y = 2 ; x 1 ( x  9) 2 x f) y = . e) y = x 2  x  20 ; 16  x 2 8. Tính giới hạn: Yêu cầu tính được các giới hạn dạng: lim f ( x) , lim f ( x ) , lim f ( x) . Yeâu caàu bieãu dieãn. 2. x  x0. Ví dụ: Tính các giới hạn sau: 3x  1 a) lim ; x 1 1  x. b) lim x 1. x  x0. 3x  1 ; 1 x. x  . 3x  1 ; x  1  x. c) lim. 297. 3x  1 ; x  1  x. d) lim.

(298) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. e) lim ( x 3  3x 2  x  1) ; x . i) lim. x . 2x  1 2. x  x  20. ;. f) lim ( x 3  3x 2  x  1) ; x . j) lim. x  . 2x  1 2. ;. x  x  20. 4 ; 1  x2 x2  4 k) lim ; x   x. g) lim. x . 4 ; 1  x2 x2  4 l) lim . x   x2. h) lim. x  . 9. Đạo hàm: a) Các phép toán: Giả sử u = u(x), v = v(x), w = w(x) là các hàm số có đạo hàm, khi đó: (u + u - w)' = u' + v' - w'; (uv)' = u'v + v'u; (k.u)' = k.u' ; u u' v  v'u 1 v' ( )'  ( )'   2 . v v2 v v b) Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản: Đạo hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm hàm số hợp (u = u(x)) (C)' = 0 (x)' = x-1(  R, x > 0) (u)' = u-1.u'(  R, u > 0) 1 u' ( x )'  ( u )'  (x > 0) (u > 0) 2 x 2 u 1 1 1 u' ( )'   2 (x  0) ( )'   2 (u  0) x u x u (sinu)' = cosu.u' (sinx)' = cosx (cosx)' = -sinx (cosu)' = -sinu.u' 1  u'  (tanu)' = (tanx)' = (x   k , k  Z) (u   k , k  Z) 2 2 cos x 2 2 cos u 1 u' (cotx)' = - 2 (x  k, k  Z). (cotu)' = - 2 (u  k, k  Z). sin x sin u c) Một số công thức tính đạo hàm đặc biệt: ax  b ad  bc ax 2  bx  c adx 2  2aex  be  dc )' = ( ( )'  cx  d dx  e (cx  d ) 2 (dx  e) 2 ax 2  bx  c (ae  bd ) x 2  2(af  dc ) x  bf  ec ( 2 )'  dx  ex  f (dx 2  ex  f ) 2 Ví dụ: Tính đạo hàm các hàm số sau đây: 1 x3 1 x 1 a) y = x3 + - x 2  1 ; b) y = ; c) y = ; d) y = . x x2 x2 x 1 d) Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M(x0; y0) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) là f'(x0) và phương trình tiếp tuyeán taïi M(x0; y0) coù daïng: y - y0 = f'(x0)(x - x0). Ví dụ: Cho hàm số y = x2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số đó, biết: a) Tieáp ñieåm laø ñieåm (1; 1); b) Tung độ của tiếp điểm bằng 4; c) Tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = -x + 2; 1 d) Tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y = x  1 . 2 10. Lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị hàm số y = ax + b & y = ax2 + bx + c (a ≠ 0):  Yêu cầu lập được bảng biến thiên và vẽ được đồ thị các hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai. Ví dụ:Vẽ đồ thị các hàm số sau: a) y = 2x - 1; b) y = 1 - x; c) y = 2; d) x = -3; e) y = x. 11. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường:  Yêu cầu tìm được tọa độ giao điểm của hai đường có phương trình cho trước.. 298.

(299) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. Ví dụ 1: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hai hàm số: a) (C): y = x2 - 2x + 2 vaø d: y = x; b) (C): y = x3 + 4x2 + 4x + 1 vaø d: y = x + 1; c) (C): y = x3 + 3x2 + 1 vaø d: y = 2x + 5; d) (C): y = x3 - 3x vaø d: y = x2 + x - 4. Ví dụ 2: Tìm tọa giao điểm của các đường sau đây với hai trục tọa độ: a) y = x + 1; b) y = x2 + 1; c) y = x2 - 5x + 6; d) y = x4 - 4x2 + 3.  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... 299.

(300) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. §1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HAØM SỐ I - TÍNH ÑÔN ÑIEÄU CUÛA HAØM SOÁ: 1) Ñònh nghóa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K (K = (a; b) hoặc K = [a; b) hoặc K = (a; b] hoặc K = [a; b]) Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu Haøm soá y = f(x) nghòch bieán (giaûm) treân K với mọi cặp x1, x2 thuộc K sao cho: nếu với mọi cặp x1, x2 thuộc K sao cho: x1 < x2  f(x1) < f(x2) x1 < x2  f(x1) > f(x2) y. y. Baûng bieán thieân: x. Baûng bieán thieân:. a. b. x. lim. a. b. lim. xb. xa. y. y. lim. lim. x a. x b. x. x O. a. O. b. Đồ thị hàm số đồng biến là đường đi lên từ trái sang phải. a. b. Đồ thị hàm số nghịch biến là đường đi xuống từ trái sang phải. 2) Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm:  Tính đạo hàm y', xét dấu y', quan sát đồ thị hàm số y = f(x) để hoàn thiện bảng biến thiên và rút ra nhaän xeùt: a) y = x2. y TXÑ: D = R y' = 2x y' = 0  2x = 0  x = 0  y = 0 Baûng bieán thieân: Đồ thị: X - 0 + 0 + y' + + y x O 0 1 b) y = . x TXÑ: D = .......... y. y' = .............................................................................................................. Baûng bieán thieân: X -. Đồ thị: 0. +. y' x O. y Nhaän xeùt: Neáu y' < 0 treân K thì haøm soá .................................... treân K. Neáu y' > 0 treân K thì haøm soá ................................... treân K.. 300.

(301) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. a) Nếu f'(x) > 0 x  K thì hàm số f(x) đồng biến trên K. b) Neáu f'(x) < 0 x  K thì haøm soá f(x) nghòch bieán treân K. * Hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến) trên K gọi chung là đơn điệu trên K, K gọi chung là khoảng đơn ñieäu cuûa haøm soá y = f(x). Ví dụ: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số a) y = 2x4 + 1; b) y = sinx trên khoảng (0; 2). Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... * Chú ý: Quan sát đồ thị hàm số y = x3 và trả lời câu hỏi: y Khẳng định sau đúng hay sai? vì sao? y=x "Nếu hàm số y = f(x) tăng trên R thì f'(x) > 0 với mọi x  R". 3. Trả lời: ....................................................................................................................... O. x. ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ............................................................................................................................................ Định lí mở rộng: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f'(x)  0 (f'(x)  0), x  K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x0 thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K.  Nếu f'(x) = 0 x  K thì f(x) không đổi trên K (hay hàm số y = f(x) là hàm hằng y = c trên K) II. QUY TAÉC XEÙT TÍNH ÑÔN ÑIEÄU CUÛA HAØM SOÁ: 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = f(x):  Trình baøy baøi giaûi:  Tìm taäp xaùc ñònh D cuûa haøm soá. (D = {x  R  f(x) coù nghóa})  Tính đạo hàm f'(x). Cho f'(x) = 0, tìm các điểm xi (i = 1, 2, ..., n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc khoâng xaùc ñònh.  Lập bảng biến thiên (lưu ý sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần trên bảng biến thiên).  Kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.. 301.

(302) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. Ví dụ 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x) =. 1 3 1 2 x  x  2x  2 3 2. Giaûi: .................................................................................................................... ...................................................................................................................... .................................................................................................................... ...................................................................................................................... .................................................................................................................... ...................................................................................................................... .................................................................................................................... ...................................................................................................................... .................................................................................................................... ...................................................................................................................... .................................................................................................................... ...................................................................................................................... .................................................................................................................... ...................................................................................................................... .................................................................................................................... ...................................................................................................................... .................................................................................................................... ...................................................................................................................... Ví dụ 2: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau: a) y = 2x3 + 6x2 + 6x - 7;. b) y = x4 - 2x2 - 3;. c) y = -. x4 2 3 -x + ; 2 2. d) y =. x 1 . x 1. Giaûi: .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... 302.

(303) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... 2. Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức: Ví dụ: Chứng minh rằng x > sinx trên khoảng (0;.  2. ).. Giaûi: .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... ....................................................................................................................  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... 303.

(304) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số: 1 a) y = x3 + 3x2 - 7x - 2; b) y = -x3 + x2 - 5; c) y = 3x3 - 8x2; 3 d) y = x3 - 6x2 + 9x; e) y = x3 - 3x2 - x + 3; f) y = 2x3 - 6x + 2. Bài 2: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: a) y = x4 - 2x2 + 3; b) y = x4 + 8x2 + 5; 16 3 4 c) y = 16x + 2x2 x -x; d) y = x 4 – 2 x 2 + 3. 3 Bài 3: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: 3x  1 3  2x x 1 a) y = ; b) y = ; c) y = . 1 x x7 x 1 Bài 4: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số: x2  x 1 x 2  2x x 2  2x  3 a) y = ; b) y = ; c) y = . x 1 1 x x 1 2. Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số: 2x a) y = 2 ; b) y = x 2  x  20 . x 9 x đồng biến trên khoảng (-1; 1) và nghịch biến trên các khoảng Bài 2: Chứng minh rằng hàm số y = 2 x 1 (-; -1) và (1; +). (HD: Chứng minh y' 0x (-1;1) và y' 0x (-;-1) (1; +)) Bài 3: Chứng minh hàm số y = 2 x  x 2 đồng biến trên (0; 1) và nghịch biến trên (1; 2). Bài 4: Chứng minh các bất đẳng thức sau: x3   a) tanx > x (0 < x < ); b) tanx > x + (0 < x < ). 3 2 2 CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. 304.

(305) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. §2. CỰC TRỊ CỦA HAØM SỐ I. KHÁI NIỆM CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU: Laäp baûng bieán thieân cuûa haøm soá sau: 1 3 5 y = x3  x2  x 6 2 2. Đồ thị hàm số y =. 1 3 3 2 5 x  x  x 6 2 2. y. ................................................................................................................. ................................................................................................................. .................................................................................................................. 6. .................................................................................................................. 25 6. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. .................................................................................................................. ( -6. .................................................................................................................. -5. )-4. -1. 64. -7 .................................................................................................................. x. O 5. 6. ................................................................................................................. .................................................................................................................. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (có thể a là -; b là +) và điểm x0  (a; b). a) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x0) với mọi x  (x0 - h; x0 + h) và x  x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x0. b) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x0) với mọi x  (x0 - h; x0 + h) và x  x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0. * Chuù yù: a) Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là fCĐ (fCT) hay yCĐ (yCT), còn điểm M(x0; f(x0)) gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số. b) Các điểm cực đại, điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số. c) Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b) và đạt cực trị tại x0 thì f'(x0) = 0. II. ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HAØM SỐ CÓ CỰC TRỊ: Định lí: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x0 - h; x0 + h) và có đạo hàm trên K hoặc treân K \{x0}, h > 0. a) Nếu f'(x) > 0 trên khoảng (x0 - h; x0) và f'(x) < 0 trên khoảng (x0; x0 + h) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x). b) Nếu f'(x) < 0 trên khoảng (x0 - h; x0) và f'(x) > 0 trên khoảng (x0; x0 + h) thì x0 là một điểm cực tieåu cuûa haøm soá f(x).. 305.

(306) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. III. QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ: 1. Quy tắc 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số y = f(x)  Tìm taäp xaùc ñònh.  Tính f'(x). Tìm các điểm x sao cho tại đó f'(x) bằng 0 hoặc f'(x) không xác định.  Laäp baûng bieán thieân.  Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị. x F'(x). x0 - h +. x0 0 yCÑ. x0 + h -. f(x). x f'(x). x0 - h -. x0 0. x0 + h +. f(x) yCT "Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương". "Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm" Ví dụ 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số y = x3 - x2 - x + 3. Giaûi: .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... Ví dụ 2: Tìm cực trị của hàm số y =. 3x  1 . x 1. Giaûi: .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... ....................................................................................................................  Áp dụng quy tắc I, hãy tìm cực trị của hàm số f(x) = x(x2 - 3) 2. Quy taéc 2: Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 2 trong khoảng (x0 - h; x0 + h), với h > 0. Khi đó:  f ' ( x0 )  0  f ' ( x0 )  0 a) Neáu  thì x0 là điểm cực tiểu. b) Neáu  thì x0 là điểm cực đại.  f ' ' ( x0 )  0  f ' ' ( x0 )  0 Quy taéc 2:  Tìm taäp xaùc ñònh.  Tính f'(x). Giaûi phöông trình f'(x) = 0 vaø kí hieäu xi (i = 1, 2, ...) laø caùc nghieäm cuûa noù.  Tính f''(x) vaø tính f''(xi).  Dựa vào dấu của f''(xi) để suy ra tính chất cực trị của điểm xi. Ví dụ: Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau: 1 a) f(x) = x4 - 2x2 + 6; b) f(x) = sin2x. 4. 306.

(307) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. Giaûi: .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... ....................................................................................................................  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... 307.

(308) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau: a) y = 2x3 + 3x2 - 36x - 10;. b) y = x4 + 2x2 - 3;. c) y = x +. 1 ; x. d) y = x3(1 - x)2; e) y = x 2  x  1 . Bài 2: Áp dụng quy tắc 2, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau: a) y = x4 - 2x2 + 1; b) y = sin2x - x; c) y = sinx + cosx; d) y = x5 - x3 - 2x + 1. Bài 3: Tính khoảng cách giữa điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + 2. x 2  mx  m  1 Bài 4: Tìm các giá trị của m để x = 1 là một điểm cực tiểu của hàm số y = . x 1 x 2  mx  1 Bài 5: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = đạt cực đại tại x = 2. xm Bài 6: Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số y = x3 - mx2 - 2x + 1 luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu. (HD: Chứng minh y' = 0 có hai nghiệm phân biệt) 2. Baøi taäp naâng cao: Baøi 1: Cho haøm soá y = x3 - 6x2 + 3(m + 1)x - m - 6. Xaùc ñònh m sao cho: a) Hàm số có cực trị; b) Hàm số có hai điểm cực trị cùng dấu. 5 5 Bài 2: Tìm a và b để các cực trị của hàm số y = a2x3 + 2ax2 - 9x + b đều là những số dương và x0 =  3 9 là điểm cực đại. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. 308.

(309) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. §3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VAØ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HAØM SỐ I. ÑÒNH NGHÓA: Cho haøm soá y = f(x) xaùc ñònh treân taäp D. a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x)  M với mọi x thuộc D và toàn taïi x0  D sao cho f(x0) = M. Kí hieäu M = max f(x). D. b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x)  m với mọi x thuộc D và toàn taïi x0  D sao cho f(x0) = m. Kí hieäu m = min f(x). D. II. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VAØ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HAØM SỐ TRÊN MỘT KHOẢNG:  Quan sát đồ thị các hàm số sau và trả lời các câu hỏi tương ứng: y. y. 1. 2. x. f(x) = x. O -1. 5+. 1 x. -2. 1. x. O -5 -3. f(x) = x2 + 4∙x. 5. Giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá f(x) = x - 5 +. 2. Giá trị lớn nhất của hàm số f(x)= -x + 4x - 5 treân (-; +) laø: ................... taïi x = ............................ 1 x. treân (0; +) laø: ..................... taïi x = ................................  Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b).  Ta lập bảng biến thiên của hàm số y = f(x) trên khoảng (a; b), từ đó suy ra kết luận. (Nếu bài toán không chỉ ra khoảng K thì ta tìm GTLN, GTNN trên tập xác định) x f'(x). a. x0 +. b. x f'(x). -. a. x0 -. b +. GTLN f(x). f(x) GTNN. Trong đó: f'(x) = 0 hoặc không xác định tại x0. Ví duï 1: Tìm GTNN vaø GTLN cuûa haøm soá y = x - 5 +. 1 trên khoảng (0; +). x. Giaûi: .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... 309.

(310) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: 1 1 a) f(x) = - 2 ; b) f(x) = treân (0; 1). x 1 x Giaûi: .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VAØ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HAØM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN: 1/ Định lí: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.  Quan sát đồ thị hàm số sau và trả lời các câu hỏi tương ứng: y. Giá trị lớn nhất của hàm số y = x3 - x2 - x + 2 trên 4. đoạn [0; 2] là: ............................ tại x = ................ 2. Giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá y = x3 - x2 - x + 2 treân. 1. O. [. ] 2. 1 f(x) = x 3. x2. x. đoạn [0; 2] là: ............................ tại x = ................. x+2. 2/ Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn:  Tìm các điểm x1, x2, ...., xn trên khoảng (a; b), tại đó f'(xi) = 0 hoặc không xác định (i = 1, 2,...n).  Tính f(a), f(x1), f(x2), ..., f(xn), f(b).  Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong {f(a), f(x1), f(x2), ..., f(xn), f(b)}. Ta có: max f(x) = M, min f(x) = m. a;b . a;b . 310.

(311) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. Ví duï 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2x3 - 3x2 - 12x + 10 trên [-3; 1]. Giaûi: .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sinx trên các đoạn [.  7 6. ;. 6. ] vaø [.  6. ;2 ].. Giaûi: .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... * Chuù yù:  Nếu hàm số y = f(x) đồng biến treân [a; b] thì: max y = f(b), min y = f(a) [ a ;b ]. y f(a). maxy [a;b]. maxy [a;b]. [ a ;b ].  Neáu haøm soá y = f(x) nghòch bieán treân [a; b] thì: max y = f(a), min y = f(b) [ a ;b ]. y f(b). miny. miny. [a;b]. [a;b]. f(a). f(b). x. x. [ a ;b ]. a. O. b. a. b. O. Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = -x3 + 1 trên [-1; 1]. Giaûi: .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... 311.

(312) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. IV. ỨNG DỤNG: Ví duï: Cho moät taám nhoâm hình vuoâng cạnh a. Người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuoâng baèng nhau, roài gaäp taám nhoâm laïi nhö hình vẽ để được một cái hộp không nắp. Tính caïnh cuûa caùc hình vuoâng bò caét sao cho thể tích của khối hộp là lớn nhất.. a. x. Giaûi: .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... ....................................................................................................................  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... 312.

(313) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: a) y = x3 - 3x2 - 9x + 35 treân [-4; 4] vaø [0; 5]; b) y = x4 - 3x2 + 2 treân [0; 3] vaø [2; 5]; 2 x c) y = treân [2; 4] vaø [-3; -2]; d) y = 5  4 x treân [-1; 1]. 1 x Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 4  x 2  x . Bài 3: Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số: 4 4 a) y = ; b) y = 4x3 - 3x4; c) y = x + (x > 0); 2 x 1 x x 1 d) y = x; e) y = ; f) y = . 4  x2 1 x4 Bài 4: Trong số các hình chữ nhật có cùng chu vi 16cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất. (HD: Gọi x là cạnh thứ nhất của hình chữ nhật, tìm cạnh thứ hai và chu vi của hình chữ nhật theo x.) Bài 5: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích 48cm2, hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất. (HD: Gọi x là cạnh thứ nhất của hình chữ nhật, tìm cạnh thứ hai và diện tích hình chữ nhật theo x.) 2. Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: x2  3 3 1 a) y = 2 ; b) f(x) = -3x2 + 4x - 8 treân [-2; ); c) y = x - treân (0; 2]. 2 x x  x2 2 Baøi 2: Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá f(x) = x + với x > 1. x 1 Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x2 - 3x + 2 trên đoạn [-10; 10]. Bài 4: Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số: b) y = cos22x - sinxcosx + 4. a) y = 2sin2x + 2sinx - 1; Bài 5: Cho số dương m. Hãy phân tích m thành tổng của hai số dương sao cho tích của chúng là lớn nhất. Baøi 6: Tìm hai soá bieát hieäu cuûa chuùng laø 13 sao cho tích cuûa chuùng laø beù nhaát. Bài 7: Hãy tìm tam giác vuông có diện tích lớn nhất nếu tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền baèng haèng soá a (a > 0). Bài 8: Cho hàm số y  2 x 4  3 x 2  2 x  1 . Tìm trên đồ thị hàm số điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng (d): y = 2x - 1 là nhỏ nhất. Bài 9: Tìm x để các hàm số sau đây đạt giá trị lớn nhất: 5 a) y = x(6 - x), x [0; 6]; b) y = (x + 3)(5 - 2x), x [- 3; ]. 2 CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 313.

(314) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. §4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN  Quan sát đồ thị hàm số y =. x 1 , trả lời các câu hỏi sau: x2. y.  Tính các giới hạn lim x 2.  Khoảng cách từ một điểm M(x; y) trên đồ thị hàm số đến đường thẳng y = 1 càng gần số nào khi x   ? và đồ thị hàm số như thế nào với đường thẳng y = 1 khi x  ?. 1 y=1. O. x 1 x 1 vaø lim . x   x2 x2. x. 2.  Khoảng cách từ một điểm M(x; y) trên đồ thị hàm số đến đường thẳng x = 2 càng gần số nào khi x  2+ và khi x 2- và đồ thị hàm số như thế nào với đường thẳng x = 2 khi x  2+ vaø khi x 2-?. x=2. I. ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG: Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng (a; +  ), (-  ; b) hoặc (-  ; +  )). Đường thẳng y = y0 là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim f(x) = y0 (hoặc lim f(x) = y0). x  . x  . * Chuù yù: Neáu lim f ( x)  lim f ( x)  l , ta vieát chung laø lim f ( x)  l . x  . x  . x  . II – ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG Định nghĩa: Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim f(x) = +  . x  x0. (hoặc lim f(x)= -  ; lim f(x) = -  ; lim f(x) = +  ) x  x0. x  x0. Ví dụ: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số: x 1 1 a) y = ; b) y = ; 2x  4 x Giaûi:. x  x0. x2  x  3 c) y = . x 1. .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... ............................................................................................................................... 314.

(315) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. .................................................................................................................... ......................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... ....................................................................................................................  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số: 3x  2 x5 x x7 a) y = ; b) y = ; c) y = ; d) y = ; 2x  1 2 x x 1 x3 7 4 2x  5 2 e) y = ; f) y = ; g) y =  1 ; h) y = . x 1 5x  2 x x Bài 2: Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số: x2  x 1 x 2  3x  2 2 x a) y = ; b) y = ; c) y = ; x 1 9  x2 3  2 x  5x 2 x3 x 1 x2  x 1 . d) y = 2 ; e) y = ; f) y = 2 x 4 x 4 x 1 2. Baøi taäp naâng cao: 2x  1 Baøi 1: Cho haøm soá y = có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của đồ thị (C), tìm điểm M x 1 thuoäc (C) sao cho IM nhoû nhaát. x2 Baøi 2: Cho haøm soá y = (1). Tìm điểm M trên đồ thị của hàm số (1) sao cho khoảng cách từ M đến x3 tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 315.

(316) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. §5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VAØ VẼ ĐỒ THỊ HAØM SỐ  Điểm uốn của đồ thị hàm số: y.  Điểm uốn của đồ thị hàm số là điểm I(x0; y0) với x0 là nghieäm phöông trình y'' = 0.  Nếu hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a  0) có hai cực trị thì điểm uốn là trung điểm hai điểm cực trị của đồ thị.. Loài x O. * Nhaän xeùt: Hàm bậc ba hoặc có một điểm uốn hoặc không có điểm uốn. Hàm bậc bốn trùng phương hoặc có hai điểm uốn hoặc khoâng coù ñieåm uoán. Phần đồ thị hai bên điểm uốn khác nhau về hình dáng: bên "loài" leân, beân "loõm" xuoáng.. Loõm Ñieå m uoá n. I- KHẢO SÁT VAØ VẼ ĐỒ THỊ HAØM SỐ 3 2 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = ax + bx + cx + d (a  0)  Taäp xaùc ñònh: D = R  y' = f'(x) y' = 0: giaûi phöông trình f'(x) = 0.  y'' = f''(x) y'' = 0. Keát luaän ñieåm uoán I.  Tính các giới hạn lim y = ..., x  . lim y = ... (chæ caàn keát quaû, khoâng caàn giaûi thích). x  .  Veõ baûng bieán thieân. + Kết luận các khoảng đơn điệu. + Kết luận cực trị của hàm số.  Ñieåm ñaëc bieät: Điểm cực trị (nếu có) Giao điểm với trục tung: x = 0 tìm y. Giao điểm với trục hoành: y = 0 giải phương trình f(x) = 0 tìm x.  Đồ thị: đồ thị hàm số nhận điểm uốn I làm tâm đối xứng.. Ví dụ: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số: a) y = x3 + 3x2 - 4;. b) y = -x3 + 3x2 - 4x + 2;. c) y =. x3 2 - x + x + 1. 3. Giaûi: .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... 316.

(317) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... ............................................................................................................................... .................................................................................................................... ......................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... ............................................................................................................................... .................................................................................................................... ......................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... ............................................................................................................................... .................................................................................................................... ......................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... ............................................................................................................................... .................................................................................................................... ......................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... 317.

(318) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12 4. 2. 2. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = ax + bx + c (a  0)  Taäp xaùc ñònh: D = R  y' = f'(x) y' = 0: giaûi phöông trình f'(x) = 0.  Tính các giới hạn lim y = ..., x  . lim y = ... (chæ caàn keát quaû, khoâng caàn giaûi thích). x  .  Veõ baûng bieán thieân. + Kết luận các khoảng đơn điệu. + Kết luận các điểm cực trị của đồ thị hàm số.  Ñieåm ñaëc bieät: Điểm cực trị; Giao điểm với trục tung: x = 0 tìm y; Giao điểm với trục hoành (nếu có): y = 0 giải phương trình f(x) = 0 tìm x.  Đồ thị: đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng.. Ví du: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số: 4. x4 2 3 b) y = - - x + . 2 2. 2. a) y = x - 2x - 3; Giaûi: .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... ............................................................................................................................... ................................................................................................................... ......................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... ............................................................................................................................... ................................................................................................................... ......................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... ............................................................................................................................... ................................................................................................................... ......................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... ............................................................................................................................... ................................................................................................................... ......................................................................................................... 318.

(319) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. .................................................................................................................... ............................................................................................................................... ................................................................................................................... ......................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... ............................................................................................................................... ................................................................................................................... ......................................................................................................... 3. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y =  Taäp xaùc ñònh: D = R\{ . ax  b (c  0, ad - bc  0) cx  d. d } c.  y' = f'(x)  Tính các giới hạn:. a a a , lim y =  Tieäm caän ngang y = x   c x c c lim y = ..., lim y  ...  Tiệm cận đứng x = x0 (chỉ cần kết quả, không cần giải thích). lim y =. xx0. x  x0.  Veõ baûng bieán thieân. Kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Hàm số không có cực trị  Điểm đặc biệt: Giao điểm với trục tung: x = 0 tìm y. Giao điểm với trục hoành: y = 0 giải phương trình f(x) = 0 tìm x.  Đồ thị: đồ thị hàm số nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.. Ví dụ: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số: x2 a) y = ; x 1 Giaûi:. b) y =. x2 . 2x  1. .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .......................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... 319.

(320) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .......................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .......................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... II – SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ 1/ Tọa độ giao điểm của hai đồ thị: Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm của hai đường: (C) y = x2 + 2x - 3 và d: y = 2x + 1. Giaûi: .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... 2/ Biện luận bằng đồ thị số nghiệm phương trình f(x) = g(x): x 1 Ví dụ 1: Chứng minh rằng đồ thị của hàm số y = luôn luôn cắt đường thẳng y = m - x với mọi giá trị x 1 cuûa m. Giaûi: .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... 320.

(321) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. Ví dụ 2: Cho hàm số y = x3 + 3x2 - 2 có đồ thị (C1). Dựa vào đồ thị (C1), biện luận theo m số nghiệm của phöông trình: x3 + 3x2 - 2 = m. Giaûi: .................................................................................................................... y. .................................................................................................................... (C1). ................................................................................................................... .................................................................................................................... m. d. .................................................................................................................... y=m .................................................................................................................... 2. ................................................................................................................... .................................................................................................................... O -1. x. ......................................................................................................................... .................................................................................................................. .................................................................................................................. ................................................................................................................... -2. .................................................................................................................. ...................................................................................................................  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... 321.

(322) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: a) y = 2 + 3x - x3; b) y = x3 + 4x2 + 4x; 3 d) y = -2x + 5; e) y = x3; Bài 2: Khảo sát sự biến tiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: a) y = -x4 + 8x2 - 1;. b) y = x4 - 2x2 + 2;. c) y = x3 + x2 + 9x; f) y = -2x3 + 3x2 + 2. 1 4 3 x + x2 - ; 2 2 4 2 f) y = x - 2x .. c) y =. d) y = -2x2 - x4 + 3; e) y = x4; Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: x3 1  2x x2 1 a) y = ; b) y = ; c) y = ; d) y = ; x 1 2x  4 2x  1 x 1 1 4x  1 x e) y = ; f) y = ; g) y = . x 2x  3 x 1 Baøi 4: Cho haøm soá y = x3 + 3x2 (1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) . b) Bieän luaän theo m soá nghieäm phöông trình x3 + 3x2 + m = 0. Baøi 5: Cho haøm soá y = -x3 + 3x + 1 (1). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). b) Dựa vào (C), biện luận về số nghiệm của phương trình x3 - 3x + m = 0 theo tham số m. Baøi 6: Cho haøm soá y = x4 - 2x2 + 1 (1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) . b) Với giá trị nào của m thì phương trình x4 - 2x2 + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt. c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M( 2 ; 1). Baøi 7: Baèng caùch khaûo saùt haøm soá, haõy tìm soá nghieäm cuûa caùc phöông trình sau: a) x3 - 2x2 + 5 = 0; b) -2x3 + 3x2 - 2 = 0; c) 2x2 - x4 = -1. mx  1 Baøi 8: Cho haøm soá y = . 2x  m. 322.

(323) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác ñònh cuûa noù. b) Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đi qua A(-1; 2 ). c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2. 1 1 Baøi 9: Cho haøm soá y = x4 + x2 + m. 4 2 a) Với giá trị nào của tham số m, đồ thị hàm số đi qua điểm (-1; 1)? b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1. 7 c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng . 4 3 2 Bài 10: Cho hàm số y = x + (m + 3)x + 1 - m (m là tham số) có đồ thị là (Cm). a) Xác định m để hàm số có điểm cực đại là x = -1. b) Xác định m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại x = -2. (m  1) x  2m  1 Baøi 11: Cho haøm soá y = (m là tham số) có đồ thị là (G). x 1 a) Xác định m để đồ thị (G) đi qua điểm (0; -1). b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m vừa tìm được. c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (G) tại giao điểm của nó với trục tung. 2. Baøi taäp naâng cao: 2 1 Bài 1: Cho hàm số y = x 3 - x2 + có đồ thị (C) 3 3 a) Dựa vào đồ thị (C), giải bất phương trình 2x3 - 3x2 + 1 < 0. b) Dựa vào đồ thị (C), tìm m để bất phương trình 2x3 - 3x2 + 1 - m > 0 có nghiệm x [0; 1]. Baøi 2: Cho haøm soá y = x4 - 2x2 + 1 (C1) a) Dựa vào đồ thị (C1), tìm m để phương trình x4 - 2x2 + 1 + m = 0 có 2 nghiệm thuộc (-1; 1]. 3 b) Dựa vào đồ thị (C1), tìm m để bất phương trình x4 - 2x2 + 1 - m  0 nghiệm đúng x  [0; ]. 2 CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 323.

(324) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. * OÂN TAÄP CHÖÔNG I * ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 324.

(325) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 325.

(326) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. II. CÁC DẠNG ĐỒ THỊ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 12 Haøm soá y = ax3 + bx2 + cx + d (a  0).  y '  0 coù 2 nghieäm  a0  (x1, x2 laø 2 nghieäm cuûa y'= 0).  y '  0 coù 2 nghieäm  a0  (x1, x2 laø 2 nghieäm cuûa y'= 0).  y '  0 coù1 nghieäm  a0  (x0 laø nghieäm cuûa y'= 0).  y '  0 coù 1 nghieäm  a0  (x0 laø nghieäm cuûa y'= 0). x y'. +. x2 0. -. + + +. y fCT. -. x y'. -. x1 0. -. +. +. x2 0. + -. fCÑ. y -. fCT. x y'. - +. x0 0. + + +. y -. x y'. - -. x0 0. + -. + y -. -. + + +. y -. x y'.  y '  0 voâ nghieäm  a0 . x1 0 fCÑ. x y'.  y '  0 voâ nghieäm  a0 . -. -. + -. + y -. 326.

(327) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. Haøm soá y = ax4 + bx2 + c (a  0)  y '  0 coù 3 nghieäm  a0 . x y'. (x1, x2, x3 laø 3 nghieäm cuûa y'= 0). y. -. x1 0. -. +. +. x2 0 yCÑ. x y'. - +. x3 0. + + +. yCT.  y '  0 coù 3 nghieäm  a0  (x1, x2, x3 laø 3 nghieäm cuûa y'= 0). yCT. x1 0. x2 0. -. +. yCÑ. x3 0 yCÑ. + -. y.  y '  0 coù1 nghieäm  a0  (x0 laø nghieäm cuûa y'= 0). x y'. -. yCT. -. -. x0 0. +. -. + +. + y yCT.  y '  0 coù 1 nghieäm  a0  (x0 laø nghieäm cuûa y'= 0). x y'. -. x0 0 yCÑ. -. + +. y -. -. Haøm soá y =. x. ad  cb  0. -. . -. y'. d c +. a c. +. a c. y. Hai đường tiệm cận. -. . -. y'. ad  cb  0. +. +. y. x. ax  b (ad - bc  0) cx  d. d c. +. -. -. a c. +. a c. -. 327. Hai đường tiệm cận.

(328) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12.  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Bài 1:Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau đây: a) y = x3 - 3x + 2;. b) y = x4 - 2x2;. c) y =. 2x  3 . 2x  1. Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số: a) y = x3 - 3x + 2 tại điểm trên (C) có hoành độ bằng 2; b) y = x4 - 2x2 tại điểm trên (C) có tung độ bằng 8; 2x  3 c) y = tại giao điểm của (C) với trục tung. 2x  1 Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số: a) y = x3 - 3x + 2 bieát tieáp tuyeán coù heä soá goùc baèng 9; b) y = x4 - 2x2 biết tiếp tuyến song song đường thẳng y = 24x; 2x  3 1 c) y = biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng y = x. 2x  1 2 3 2 Baøi 4: Cho haøm soá y = -x + 3x - 1 (1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1); b) Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình x3 - 3x2 + m = 0. Baøi 5: Cho haøm soá y = -x4 + 3x2 + 1 (1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1); b) Tìm m để phương trình x4 - 3x2 + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt. Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: 2x  1 a) y = x3 - 8x2 + 16x - 9 trên đoạn [1; 3]; b) y = trên đoạn [0; 2]; x3 8x  3 c) y  2 ; d) y = 2sin3x - 3sin2x - sinx. x  x 1 Baøi 7: Cho haøm soá y = f(x) = -x3 + 3x2 + 9x + 2.. 328.

(329) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Giaûi baát phöông trình f'(x - 1) > 0. c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0, biết rằng f''(x0) = -6. Bài 8: Cho hàm số y = x3 + 3x2 + 1 có đồ thị (C). a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. m b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm phương trình x3 + 3x2 + 1 = theo tham soá m. 2 c) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C). Baøi 9: Cho haøm soá y = f(x) = x3 - 3mx2 + 3(2m - 1)x + 1 (m laø tham soá) a) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định. b) Với giá trị nào của tham số m, hàm số có một cực đại và một cực tiểu? c) Xác định m để f''(x) > 6x. 1 3 Baøi 10: Cho haøm soá y = f(x) = x4 - 3x2 + . 2 2 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm phương trình f''(x) = 0. c) Bieän luaän theo tham soá m soá nghieäm cuûa phöông trình x4 - 6x2 + 3 = m. 2. Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Cho hàm số y = -x4 + 2mx2 - 2m + 1 (m là tham số) có đồ thị (Cm). a) Biện luận theo m số cực trị của hàm số. b) Với giá trị nào của m thì (Cm) cắt trục hoành? c) Xác định m để (Cm) có cực đại, cực tiểu. x3 Baøi 2: Cho haøm soá y = . x 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y = 2x + m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M vaø N. c) Xác định m sao cho độ dài đoạn MN ngắn nhất. d) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kì của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại P và Q. Chứng minh rằng S là trung ñieåm cuûa PQ. 1 1 Baøi 3: Cho haøm soá f(x) = x3 - x2 - 4x + 6. 3 2 a) Giaûi phöông trình f'(sinx) = 0; b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình f''(x) = 0. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 329.

(330) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. CHƯƠNG II. HAØM SỐ LŨY THỪA ----- oOo -----.  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: 1) Lũy thừa của một số hữu tỷ:  Lũy thừa đối với số mũ nguyên dương: a, b  Q, m, n  Z+, ta có: a0 = 1 a1 = a am.an = am + n am = am – n (am)n = am.n (ab)n = anbn an a an ( ) n  n (b ≠ 0) Neáu am = an thì m = n (a ≠ 1, a ≠ 0). b b 1  Lũy thừa đối với số mũ nguyên dương: x ≠ 0, n  Z+, ta có: x  n  n x 2) Caên baäc hai: A A A2  A  (A0, B>0) AB  A. B (A0, B0) B B. A 2 B  A B (B0) A B. . A B (B>0) B. C A B  Ghi chuù:. . A B A 1  B B. A 2 B (A0, B0) AB (AB0, B≠0). C( A  B (A0, B0, A≠B) AB. A B   A 2 B (A<0, B0). C AB. . C ( A  B) (A0, A≠B2) A  B2. 0A<B. A B. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... 330.

(331) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. §1. LŨY THỪA I - KHÁI NIỆM LŨY THỪA: 1/ Lũy thừa với số mũ nguyeân: Cho n nguyeân döông  Với a là một số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a (a lũy thừa n) là tích của n thừa số a. soá muõ cô soá a. Ví duï: 23 = ................................................. n. a .a....... a =  a n thừa số a.  Với a  0. Ví duï: (1,2)0 = ................................................. 0. a =1 a n . 1 an. 2-3 = ...................................................... 1  .................................................... 2 4. * Chuù yù: 00 vaø 0-n khoâng coù nghóa. 1 1 Ví dụ 1: Không dùng máy tính, tính giá trị biểu thức A = ( ) 10 .27 3  (0, 2) 4 .252  1281.( ) 9 3 2 Giaûi: ...................................................................................................................................................................................................................... ..............................................................................................................................................................................................................................................  a 2 2 2  a 3  Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức B =  (a  0, a  1) . 2 1 a 1  1  a 2  (1  a ) Giaûi: ......................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................. 2/ Phöông trình xn = b (*)  Trường hợp n lẻ (n = 1, 3, 5,...): Với mọi số thực b, phương trình có nghiệm duy nhất.  Trường hợp n chẵn (n = 2, 4, ...) Với b < 0 phương trình (*) vô nghiệm.. Ví duï: x3 = -8  ................................ Ví duï: x2 = -2  ................................. Với b = 0 phương trình (*) có một nghiệm x = 0.. x2 = 0  ................................. Với b > 0 phương trình (*) có hai nghiệm đối nhau.. x2 = 4  ................................. 331.

(332) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. 3/ Caên baäc n a) Khaùi nieäm: Cho sốâ thực b và số nguyên dương n (n  2). Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu an = b. Ví duï: Soá -2 laø caên baäc 3 cuûa -8 vì (-2)3 = -8 Soá 3 vaø -3 laø caên baäc 2 cuûa 9 vì (3)2 = 9 vaø (-3)2 = 9. Ta coù:  Với n lẻ và b  R: Ví duï: n Coù duy nhaát moät caên baäc n cuûa b, kí hieäu laø b . Soá -2 coù moät caên baäc 5: 5 (2)  Với n chẵn: Với b < 0: Không tồn tại căn bậc n của b. Với b = 0: Có một căn bậc n của b là số 0. Với b > 0: Có hai căn trái dấu, giaù trò döông kí hieäu laø n b giaù trò aâm kí hieäu laø - n b b) Tính chaát: Ví duï:. Ví duï: Soá -8 khoâng toàn taïi caên baäc 2 0 =0 Soá 8 coù hai caên baäc hai laø: 8= 2 2  8  2 2. n. a .n b  n a.b. 3. 2.3 4  .................................................................. n. a n a  b b. 3. 16. 3. 2.  a, khi n leû an    a , khi n chaün. 3. (2) 3  .................................................. n. n. . ..................................................................... (2) 2  .................................................. (n a ) m  n a m. (4 3 2 ) 2  .................................................................... n k. 3. a  nk a. ( 3 ) 5 3  .................................................................. 4/ Lũy thừa với số mũ hữu tỉ: Cho số thực a dương và số hữu tỷ r =. m , trong đó m  Z, n  N, n  2. Lũy thừa của a với số mũ r là n. số ar xác định bởi: Ví duï: ar  a. m n. =. n. am. (3 a 2  ................................................................. 1 n. Ñaëc bieät: a  n a (a > 0, n  2). a  ...................................................................... 5/ Lũy thừa với số mũ vô tỉ: Ta gọi giới hạn của dãy số ( a rn ) là lũy thừa của a với số mũ , kí hiệu là a. a = lim arn với  = lim rn n. n. . Chuù yù: 1 = 1 (  R). 332.

(333) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. II- TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC Cho a, b  R* vaø ,   R. Ta coù: a) Các tính chất biểu thị bằng hằng đẳng thức: . Ví duï: 4 5. +. . 6 5. a .a = a. 3 .3  ................................................................ a = a –   a. 27  ............................................................... 24. (a) = a.. (2 2 ) 2 = ................................................................. (ab) = ab. (2. 3 )2 = .............................................................. a a ( )   b b. (. 1. b) Các tính chất biểu thị bằng bất đẳng thức:. 2 2 )  ................................................................ 2. Ví duï: So saùnh caùc soá sau: 1. 1. i) Neáu a > 1 thì a > a   > . 2 2 ................. 2 3. ii) Neáu a < 1 thì a > a   < .. 1 1 ( ) 3 .......... ( )  2 2 2. ** Các dạng toán thường gặp: 1) Rút gọn biểu thức: Ví dụ: Rút gọn các biểu thức: a) A =. a (a. 7 1. .a. 2 2. ). 2 7 2 2. (a > 0);. b) B =. a. 1 3. b b 6. 6. 1 3. a b. a. (a > 0).. Giaûi: .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... 2) So sánh hai lũy thừa cùng cơ số: Ví duï 1: Khoâng duøng maùy tính, haõy so saùnh caùc soá 5 2 Giaûi:. 3. vaø 53 2 .. .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... 333.

(334) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. 1 Ví dụ 2: Chứng minh rằng ( ) 2 3 Giaûi:. 5. 1  ( )3 2 . 3. .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... 3) Viết một biểu thức dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ: Ví dụ: Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ: 1. b) E = 3 a a3 a a .. a) D = a 3 . a ; Giaûi: .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... ....................................................................................................................  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... 334.

(335) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Baøi 1: Khoâng duøng maùy tính, tính: 2 5. 2 5. 1 2. 1 3 6. 3 4. 2. 5. 3 4.   1 a) 9 .27 ; b) 144 : 9 ; c) ( ) 0,75  (0,25) 2 ; d) (0,04) 1, 5  (0,125) 3 . 16 Bài 2: Cho a, b là những số thực dương. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ: 4 3. a) b .b . b ; b) a : a ; Bài 3: Cho a, b là những số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau: 4. a). a 3 (a 1 4. . 1 3. 3 4. 2.  a3 ) . 1 4. a (a  a ) Baøi 4: So saùnh caùc caëp soá:. 1. b). b 5 (5 b 4  5 b 1 ) 2 3 3. 3. b3 b2 6. b. với b = 1,3;. ;. c). a 3b. 2. b ( b b ). . 1 1 a) ( ) 3 vaø ( ) 2 ; 3 3 3 6 7 .. b) ( ) 2. Bài 5: Chứng minh rằng: 7 6 3 2. Baøi taäp naâng cao: Baøi 1: So saùnh caùc caëp soá: a) 3 10 vaø 5 20 ; b) 4 5 vaø 6 7 ; Bài 2: Không dùng máy tính, tính giá trị các biểu thức sau: a) 3 a .6 a với a = 0,09; c). 3. 1. ;. 1 6. c) b : b .. 3. 5 2. 3. . 1 3. . 1. 1.  a 3b 3. a2  3 b2. . vaø ( ) 5. 10 3. .. .. c) 23000 vaø 32000. b) b : 6 b với b = 27;. d) 3 a .4 a .12 a 5 với a = 2,7.. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 335.

(336) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. §2. HAØM SỐ LŨY THỪA I- KHAÙI NIEÄM: Hàm số y = x, với   R, được gọi là hàm số lũy thừa Tập xác định của hàm số lũy thừa:  Với  nguyên dương, tập xác định D = R;. Ví duï: y = x2, TXÑ: D = .............................  Với  nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là D = R\{0};. y = x-1, TXÑ: D = .............................  Với  không nguyên, tập xác định D = (0; +).. y=. II- ĐẠO HAØM CỦA HAØM SỐ LŨY THỪA: Hàm số y = x (  R) có đạo hàm với mọi x > 0: (x)' = x - 1 Đối với hàm số hợp y = u (với u = u(x)). x , TXÑ: D = ............................ Ví duï: ( x 2 )' = ................................................................ 3. (u)' = u - 1.u'. [( ( x 2  1) 2 ]' = ................................................... = .................................................... . III- KHẢO SÁT HAØM SỐ LŨY THỪA y = x Các tính chất của hàm số lũy thừa y = x trên khoảng (0; +) >0 <0 -1 -1 Đạo hàm y' = x y' = x Chieàu bieán thieân Haøm soá luoân taêng Haøm soá luoân giaûm Tieäm caän ngang: Ox Tieäm caän Khoâng coù Tiệm cận đứng: Oy Đồ thị Đồ thị luôn đi qua điểm (1; 1) * Chú ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó.  Ghi chuù:. y α>1. α=1. 0<α<1. α=0. 1. α<0. O. 1. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... 336. x.

(337) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Baøi 1: Tìm taäp xaùc ñònh cuûa caùc haøm soá: . 1 3. 3 2 5. c) y = ( x 2  1) 2 ;. a) y = (1  x ) ; b) y = (2  x ) ; Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số: 1. 1. d) y = ( x 2  x  2). 2. .. . a) y = (2 x 2  x  1) 3 ; b) y = (4  x  x 2 ) 4 ; c) y = (3 x  1) 2 ; d) y = (5  x ) 3 . Bài 3: Hãy so sánh các số sau với số 1: a) (4,1)2,7; b) (0,2)0,3; c) (0,7)3,2; d) ( 3 ) 0, 4 . Baøi 4: Haõy so saùnh caùc caëp soá sau: 10 12 a) (3,1)7,2 vaø (4,3)7,2; b) ( ) 2,3 vaø ( ) 2,3 ; c) (0,3)0,3 vaø (0,2)0,3. 11 11 2. Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Hãy viết các số sau theo thứ tự tăng dần: 2 1  0,5 a) (0,3) , (0,3) , (0,3) 3 , (0,3)3,1415; b) 2  , (1,9), ( )  , ; 2 2 2 2 1 2     1 c) 5-2, 5-0,7, 5 3 , ( ) 2,1 ; d) (0,5) 3 , (1,3) 3 ,  3 , ( 2 ) 3 . 5 2. 1 2. Bài 2: Vẽ đồ thị các hàm số y = x và y = x trên cùng một hệ trục tọa độ. Hãy so sánh giá trị của các 3 hàm số đó khi x = 0; 0,5; 11; ; 2; 3; 4. 2 CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 337.

(338) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. §3. LOÂGARIT I- KHAÙI NIEÄM LOÂGARIT: 1) Định nghĩa: Cho hai số dương a, b với a  1. Số  thỏa mãn đẳng thức a = b được gọi là lôgarit cơ số a cuûa b vaø kí hieäu laø logab. logab =   a = b. Ví duï: a) log28 = ............................ b) log 1 9 = ............................ 3. * Chuù yù: Khoâng coù loâgarit cuûa soá aâm vaø soá 0. 2) Tính chaát: Cho a, b > 0, a  1. Ta coù: Ví duï: loga1 = 0, logaa = 1, log10001 = .........., log. a loga b  b. 2 log 2 3  ............................... loga(a) = . log2(25) = ......................... 3. 3 = ............... II- QUY TAÉC TÍNH LOÂGARIT: 1) Loâgarit cuûa moät tích: Ñònh lí: Cho 3 soá döông a, b1, b2 , a  1, ta coù: loga(b1.b2) = logab1 + logab2 Ví duï:. log42 + log48 = .............................................. * Mở rộng: cho n số dương b1, b2, ....,bn và a  1, ta có: loga(b1.b2...bn) = logab1 + logab2+...+logabn 2) Loâgarit cuûa moät thöông: b Ñònh lí: Cho 3 soá döông a, b1, b2 , a  1, ta coù: log a 1  log a b1  log a b2 b2 Ví duï:. log7343 - log749 = .................................. 3) Lôgarit của một lũy thừa: Định lí: Cho 2 số dương a, b, a  1. Với mọi  ta có: logab = logab log235 = ............................... Ví duï: n * Ñaêïc bieät: log a b . 1 log a b n. Ví duï: log 2 2 = ............................................................... III- CÔNG THỨC ĐỔI CƠ SỐ: Ñònh lí: Cho 3 soá döông a, b, c, a  1, c  1, ta coù: log a b . log c b  logca.logab = logcb log c a. log 3 18 = ....................................... log 3 6. Ví duï:. 338.

(339) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. * Ñaëc bieät:. log a b . Ví duï:. 1 (b  1)  logab.logba = 1 log b a. log a b . 1. . log a b (  0). log36.log89.log62 = ........................................................ log. 3. 3 = ............................................................................. IV- MOÄT SOÁ DAÏNG BAØI TAÄP AÙP DUÏNG: 1) Tính giá trị biểu thức, rút gọn biểu thức: Ví duï 1: Tính A = log24 + log22 + log28 Giaûi: .................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................. Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức B = log 1 7  2 log 9 49  log 3. 3. 1 + log5 3 25 7. Giaûi: .................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................. 2) Tính giá trị biểu thức theo giá trị của một lôgrit cho trước: Ví duï: Cho log220 = m. Tính log205 theo m. Giaûi: .................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................. 3) So saùnh hai soá: Ví duï: So saùnh hai soá log23 vaø log65. Giaûi: .................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................. 339.

(340) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. V- LÔGARIT THẬP PHÂN. LÔGARIT TỰ NHIÊN: 1) Lôgarit thập phân: Lôgarít thập phân là lôgarít cơ số 10, log10b kí hiệu lgb hoặc logb. log 10 b  log b  lg b 1 2) Lôgarit tự nhiên: Lôgarít tự nhiên là lôgarít cơ số e với e = lim (1  ) n , logeb kí hiệu lnb. n   n log e b  ln b.  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Không sử dụng máy tính, hãy tính: 1 a) log 2 ; b) log 1 2 ; 8 4 9 log 1 2. Bài 2: Chứng tỏ rằng:. a) 2. 27. . c) log 3 4 3 ;. 1 ; 8. d)log0,50,125. b) log36.log89.log62 =. 1. Bài 3: Đơn giản các biểu thức:. 1 log 3 4 a) ( ) 2 ; 9. b) 4. Baøi 4: Tính:. 340. log 2 log. 2. 4. .. 2 . 3.

(341) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. a) 4 log2 3 ; b) 27 log9 2 ; c) 9 2 4 Bài 5: Rút gọn biểu thức A = logab + log a2 b . Baøi 6: So saùnh caùc caëp soá sau: a) log 1 9 vaø log 1 10 ; 3. log. 3. 2. d) 4 log8 27 .. ;. b) log35 vaø log74;. b) log0,32 vaø log53;. c) log210 vaø log530.. 3. Baøi 7: a) Cho a = log303, b = log305. Haõy tính log308 vaø log301350 theo a, b. b) Cho c = log153. Haõy tính log12515 theo c. c) Cho a = log315, b = log310. Haõy tính log 3 50 theo a vaø b. 2. Baøi taäp naâng cao: Baøi 1: Cho log25 = a. Haõy tính log41250 theo a. Baøi 2: Cho logax = p, logbx = q, logabcx = r. Haõy tính logcx theo p, q, r. Bài 3: Cho log1218 = a, log2454 = b. Chứng minh rằng ab + 5(a - b) = 1. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 341.

(342) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. §4. HAØM SOÁ MUÕ. HAØM SOÁ LOÂGARIT I- HAØM SOÁ MUÕ: 1) Định nghĩa: Cho số thực dương a  1. Hàm số y = ax được gọi là hàm số mũ cơ số a. 2) Đạo hàm của hàm số mũ: Định lí 1: Hàm số y = ex có đạo hàm tại mọi x và (ex)' = ex * Chú ý: Đối với hàm số hợp y = eu(x). Ví duï: 2 u u (e )' = e .u' ( e x  2 x 1 )' = .......................................................................................... Định lí 2: Hàm số y = ax (a > 0, a  1) có đạo hàm tại mọi x và (ax)' = axlna * Chú ý: Đối với hàm số hợp y = au(x). (au)' = au.lna.u'. Ví duï: (2 x. 2. 1. ) ' = .................................................................................................... 3) Khaûo saùt haøm soá muõ y = ax (a > 0, a  1): y. y. a 1. 1 a. x O. 1. O. a>1. 1. 0<a<1 Toùm taét caùc tính chaát cuûa haøm soá muõ y = a (a > 0, a  1) Taäp xaùc ñònh D = (-; +). Đạo hàm y' = axlna. a > 1: hàm số luôn đồng biến; Chieàu bieán thieân 0 < a < 1: haøm soá luoân nghòch bieán. Tieäm caän truïc Ox laø tieäm caän ngang. Đồ thị đi qua các điểm (0; 1) và (1; a), nằm phía trên trục hoành (y = ax > 0, x  R) II- HAØM SOÁ LOÂGARIT: 1) Định nghĩa: Cho số thực dương a khác 1. Hàm số y = logax được gọi là hàm số lôgarit cơ số a. 2) Đạo hàm của hàm số lôgarit: 1 Định lí 3: Hàm số y = logax (a > 0, a  1) có đạo hàm tại mọi x > 0 và (log a x )'  x ln a 1 u' * Chú ý: Đặc biệt (ln x )'  . Đối với hàm số hợp y = ln[u(x)] thì (ln u)'  x u Đối với hàm số hợp y = logau(x), ta có: Ví duï: u' (log a u )'  [log 2 ( x 2  1)]' = ................................................................. u ln a 3) Khaûo saùt haøm soá loâgarit y = logax (a > 0, a  1) x. 342. x.

(343) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. y. y. 1 1. x O. 1. a O. a. 1. x. 0<a<1 a>1 x Toùm taét caùc tính chaát cuûa haøm soá muõ y = a (a > 0, a  1) Taäp xaùc ñònh D = (0; +). 1 . y' = Đạo hàm x ln a a > 1: hàm số luôn đồng biến; Chieàu bieán thieân 0 < a < 1: haøm soá luoân nghòch bieán. Tieäm caän trục Oy là tiệm cận đứng. Đồ thị ñi qua caùc ñieåm (1; 0) vaø (a; 1), naèm phía beân phaûi truïc tung. * Nhận xét: Đồ thị hàm số y = ax và y = logax (a > 0, a  1) đối xứng nhau qua đường thẳng y = x. Ví dụ: Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một hệ trục tọa độ: 1 a) y = 4x vaø y = log4x; b) y = ( ) x vaø y = log 1 x . 4 4 Giaûi: .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... Bảng đạo hàm của các hàm số lũy thừa, mũ và lôgarit Haøm soá sô caáp Hàm hợp (u = u(x)) Haøm soá sô caáp Hàm hợp (u = u(x)) x x (e )' = e (eu)' = eu.u' (x)' = x - 1 (u)' = u - 1.u' (ax)' = axlna (au)' = aulna.u' 1 1 1 u' ( )'   2 ( )'   2 1 u' x u (ln x )'  (ln u )'  x u x u 1 u' ( x )'  ( u )'  1 u' (log a x )'  (log a u )'  2 x 2 u x ln a u ln a  Ghi chuù:. 343.

(344) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:. x 1 . 3x. a) y = 5x2 - 2xcosx;. b) y =. c) y = log 1 ( x 2  4 x  3) ;. d) y = log 0, 4. Baøi 2: Tìm taäp xaùc ñònh cuûa caùc haøm soá sau: a) y = log2(5 - 2x);. b) y = log3(x2 - 2x);. 5. 3x  2 . 1 x. Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y = 3x2 - lnx + 4sinx;. b) y = log(x2 + x + 1);. c) y =. log 3 x . x. 2. Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Sử dụng tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm số mũ, hãy so sánh mỗi cặp số sau: b) (0,3)2 vaø 1; c) (3,2)1,5 vaø (3,2)1,6; a) (1,7)3 vaø 1; 1 1 d) (0,2)-3 vaø (0,2)-2; e) ( ) 2 vaø ( )1, 4 ; d) 6 vaø 63,14. 5 5 Bài 2: Hãy so sánh x với số 1, biết rằng: a) log3x = -0,3; b) log 1 x  1,7 ; c) log2x = 1,3; d) log 1 x = -1,1. 3. 4. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 344.

(345) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. §5. PHÖÔNG TRÌNH MUÕ VAØ PHÖÔNG TRÌNH LOÂGARIT I- PHÖÔNG TRÌNH MUÕ: 1) Phöông trình muõ cô baûn: Daïng: ax = b (a > 0, a  1)  Với b > 0 ta có: ax = b  x = logab .. Ví duï: 2x = 3  .................................................  Với b  0 ta có: ax = b  x  . 2) Caùch giaûi moät soá phöông trình muõ ñôn giaûn: a/ Ñöa veà cuøng cô soá: aA(x) = aB(x)  A(x) = B(x) 2 Ví duï: Giaûi phöông trình (1,5)5x - 7 = ( )x + 1. 3 Giaûi:. 2x = -3  ................................................ .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... b/ Ñaët aån phuï: Ví duï: Giaûi caùc phöông trình sau: a) 9x - 4.3x - 45 = 0; Giaûi:. b) 6.9x – 13.6x + 6.4x = 0.. .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... c/ Loâgarit hoùa: 2 Ví duï: Giaûi phöông trình 3x. 2 x = 1. Giaûi: .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... 345.

(346) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. II- PHÖÔNG TRÌNH LOÂGARIT: 1) Phöông trình loâgarit cô baûn: Ví duï: Daïng: logax = b (a > 0, a  1) b Với mọi b ta có: logax = b  x = a log2x = -3  ..................................................................... 2) Caùch giaûi moät soá phöông trình loâgarit ñôn giaûn: a/ Đưa về cùng một cơ số: Với điều kiện 0 < a ≠ 1, A(x) > 0, B(x) > 0 ta có loga[A(x)] = loga[B(x)]  [A(x)] = [B(x)] Ví duï: Giaûi phöông trình log3x + log9x + log27x = 11. Giaûi: .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... b/ Ñaët aån phuï: Ví duï: Giaûi phöông trình. 1 2   1. 5  log x 1  log x. Giaûi: .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... c/ Muõ hoùa: Ví duï: Giaûi phöông trình log2(5 - 2x) = 2 - x. Giaûi: .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... 346.

(347) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... ....................................................................................................................  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... 347.

(348) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Baøi 1: Giaûi caùc phöông trình muõ: a) (0,3)3x - 2 = 1;. 1 b) ( ) x  25 ; 5. c) 2 x. 2. 3 x  2.  4;. x. 1 2 d) ( ) x  2 x3  7 x 1 ; e) 2 x  3 2  1 ; f) (0,5)x + 7.(0,5)1 - 2x = 2. 7 Baøi 2: Giaûi caùc phöông trình muõ: a) 32x - 1 = 108; b) 2x + 1 + 2x - 1 + 2x = 28; c) 64x - 8x - 56 = 0; d) 2.16x - 17.4x + 8 = 0; e) -lg3x + 2lg2x = 2 - lgx; f) 3.4x - 2.6x = 9x. Baøi 3: Giaûi caùc phöông trình loâgirt: a) log3(5x + 3) = log3(7x + 5); b) log(x - 1) - log(2x - 11) = log2; c) log2(x - 5) + log2(x + 2) = 3; c) log(x2 - 6x + 7) = log(x - 3). 2. Baøi taäp naâng cao: Baøi 1: Giaûi caùc phöông trình sau: x. b) 8 x 2  36.32 x ; d) (5  24 ) x  (5  24 ) x  10 .. a) 5 x  51 x  4 ; c) 52x – 1 + 5x + 1 = 250; Baøi 2: Giaûi caùc phöông trình sau: 1 1 a) log(x2 + x - 5) = log5x + log ; 2 5x c) log 2 x + 4log4x + log8x = 13;. 1 b) log( x 2  4 x  1) = log8x - log4x; 2 d) log 2 ( x  2)  log 4 ( x  5) 2  log 1 8  0 . 2. Bài 3: Giải các phương trình sau bằng phương pháp đồ thị: a) 4x + 5x = 9x; Baøi 4: Giaûi caùc phöông trình: Baøi 5: Giaûi caùc phöông trình sau: a) 9x + 2(x - 2).3x + 2x - 5 = 0;. 1 1 a) ( ) x  x  ; 2 2 x x b) 5 + 12 = 13x.. 1 3 b) ( ) x   . 3 x. b) x.2x = x(3 - x) + 2(2x - 1).. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 348.

(349) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. §6. BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ VAØ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH LOÂGARIT I - BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ: 1) Bất phương trình mũ cơ bản: Bất phương trình mũ cơ bản có dạng ax > b (hoặc ax  b, ax < b, ax  b) với a > 0, a  1.  Nếu b  0 thì ta có ax > 0  b đúng với mọi x  R nên tập nghiệm bất phương trình là T = R. Ví duï:  Neáu b > 0 ta coù ax > b  ax > a log a b * Khi a > 1 thì ax > a log a b  x > logab. 3x > 2  ............................................................................ * Khi 0 < a < 1 thì ax > a log a b  x < logab. 1 1 ( )x >  ................................................................. 2 32. 2) Baát phöông trình muõ ñôn giaûn: Ví duï: Giaûi caùc baát phöông trình sau: 2 a) 3 x  x < 9; Giaûi:. b) 4x - 2.52x < 10x.. .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... II- BAÁT PHÖÔNG TRÌNH LOÂGARIT: 1) Bất phương trình lôgarit cơ bản: Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng logax > b (hoặc logax  b, logax < b, logax  b) với a > 0, a  1. Ví duï: b  Khi a > 1 ta coù logax > b  x > a log2x > 7  .......................................................................  Khi 0 < a < 1 ta coù logax > b  0 < x < ab. log 1 x  3  ..................................................................... 2. 2) Baát phöông trình loâgarit ñôn giaûn: Ví duï: Giaûi caùc baát phöông trình sau: a) log0,5(5x + 10) < log0,5(x2 + 6x + 8); Giaûi:. b) log2(x - 3) + log2(x - 2)  1.. .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... 349.

(350) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... ....................................................................................................................  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... 350.

(351) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Baøi 1: Giaûi caùc baát phöông trình muõ: a) 2  x. 2. 3 x. 7 2 9 b) ( ) 2 x 3 x  ; 9 7 x x e) 4 - 3.2 + 2 > 0;. < 4;. 2. d) 2 x 3 x 4  4 x 1 ; Baøi 2: Giaûi caùc baát phöông trình loâgarit: a) log8(4 - 2x)  2; b) log 1 (3 x  5)  log 1 ( x  1) ; 5 2 3. d) log x  5 log 3 x  6  0;. c) 3 x 2  3 x 1  28; f) 9x - 5.3x + 6 < 0. c) log 0,5 (4 x  11)  log 0, 5 ( x 2  6 x  8) ;. 5. e) log 0, 2 x  log 5 ( x  2)  log 0, 2 3 ;. f) log 2 ( x  2)  2  6 log 1 3 x  5 . 8. 2. Baøi taäp naâng cao: Baøi 1: Giaûi caùc baát phöông trình sau: 4x 2 2  4. a) ( ) 2 x  ( ) x ; b) (0,4)x - (2,5)x + 1> 1,5; c) x 5 5 4  3x Bài 2: Giải các bất phương trình sau bằng phương pháp đồ thị: 1 a) ( ) x  x  4 ; b) log3x > 4 - x. 3 CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 351.

(352) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. * OÂÂN TAÄP CHÖÔNG II * I. LÍ THUYEÁT: 1) Nêu các tính chất của căn thức? n n. a.n b  ........................................... n.  .......... .......... .......... khi n leû an   .......... .......... ..... khi n chaün 2) Nêu các tính chất của luỹ thừa? n. a b. n k.  .................................... (n a) m  ................................................ a  ................................. Cho a, b  R* vaø ,   R. Ta coù: a) Các tính chất biểu thị bằng hằng đẳng thức:. a = ........................... a a ( )  ........................ (ab) = ..................... b b) Các tính chất biểu thị bằng bất đẳng thức: a.a = ....................... i) Neáu a > 1 thì a > a  ..................... (a) = .............................. ii) Neáu a < 1 thì a > a  ..................... 3) Nêu định nghĩa lôgarit, tính chất và các phép toán của lôgarit?  Ñònh nghóa loâgarit: logab =   ................................  Tính chaát: Cho a, b > 0, a  1. Ta coù: loga1 = ............... a log a b  ..................... logaa = ............... loga(a) = ......................  Các phép toán: Cho 3 số dương a, b1, b2, c, a  1, c  1,  ta có: b log a 1  ................................................... loga(b1.b2) = ............................................. b2 logab = ....................................................... log a n b  ................................................... log a b  ...................... (  0). log c b = ..................  logca.logab =..................... log c a. 1  .......... ......... (b  1)  logab.logba = ............ log b a 1 4) Vẽ đồ thị hàm số y = 2x, y = ( ) x , y = log2x và y = log 1 x và nêu các tính chất của chúng? 2 2 ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... 352.

(353) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... 5) Nêu đạo hàm của các hàm số lũy thừa, mũ và lôgarit? Haøm soá sô caáp Hàm hợp (u = u(x)) Haøm soá sô caáp. Hàm hợp (u = u(x)). (x)' = .................. (u)' = .................. (ex)' = ............... (eu)' = ................... 1 ( )'  ................... x. 1 ( )'  .................... u. (ax)' = .............. (au)' = ................... ( x )'  .......... ....... (ln x )'  ................. (ln u )'  ..................... ( u )'  ................. (log a x )'  ............. (log a u )'  ................ II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP: 1) Tính giá trị (rút gọn) biểu thức: log 1 2. Ví duï 1: Tính 3 27 = ............................................................................................................................................................. Ví duï 2: a) logab = 3, logac = -2. Tính loga(a3b2 c ) = .................................................................................................... ..................................................................................................... b) Cho 4x + 4-x = 23. Tính 2x + 2-x. ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... 2) So saùnh hai loâgarit: Ví duï: So saùnh caùc soá sau: a) log35 vaø log74; Giaûi:. b) log0,32 vaø log53.. .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... 353.

(354) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. 3) Tìm taäp xaùc ñònh: Ví duï: Tìm taäp xaùc ñònh cuûa caùc haøm soá sau: 1 x 1 a) y = x ; b) y = log ; c) y = log x 2  x  12 ; 2x  3 3 3 Giaûi:. d) y =. 25 x  5 x .. .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... 4) Đạo hàm của hàm số mũ và lôgarit: Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) (2xex + 3sin2x)' = ................................................................................................................................................................ b) (5x2 - lnx + 8cosx)' = ........................................................................................................................................................ 5) Giaûi phöông trình muõ vaø loâgarit: Ví duï: Giaûi caùc phöông trình sau: 2 a) 2 2 x  7 x 5  1 ; c) 4.9x + 12x - 3.16x = 0;. b) 25x - 6.5x + 5 = 0. d) 3x + 4 + 3.5x + 3 = 5x + 4 + 3x + 3; 1 2   1. f) 4  lg x 2  lg x. e) log7(x - 1)log7x = log7x ; Giaûi: .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... 354.

(355) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... 355.

(356) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. 6) Giaûi baát phöông trình muõ vaø loâgarit: Ví duï: Giaûi caùc baát phöông trình sau: a) 22x - 1 + 22x - 2 + 22x - 3  448; c) log 3 [log 1 ( x 2  1)]  1 ;. b) (0,4)x - (2,5)x + 1 > 1,5; d) log 20,2 x  5 log 0, 2 x  6 .. 2. Giaûi: .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... 356.

(357) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12.  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 357.

(358) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. CHƯƠNG III. NGUYÊN HAØM - TÍCH PHÂN VAØ ỨNG DỤNG ----- oOo -----.  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: 1) Đạo hàm của các hàm số sơ cấp: Đạo hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm hàm số hợp (u = u(x)) (C)' = 0 (x)' = x-1(  R, x > 0) (u)' = u-1.u'(  R, u > 0) 1 u' ( x )'  ( u )'  (x > 0) (u > 0) 2 x 2 u 1 1 1 u' ( )'   2 (x  0) ( )'   2 (u  0) x u x u (sinx)' = cosx (sinu)' = cosu.u' (cosx)' = -sinx (cosu)' = -sinu.u' 1  u'  (tanx)' = (x   k , k  Z) (tanu)' = (u   k , k  Z) 2 2 cos x 2 2 cos u 1 u' (cotx)' = - 2 (x  k, k  Z). (cotu)' = - 2 (u  k, k  Z). sin x sin u x x u (e )' = e (e )' = u'.eu (ax)' = ax.lna (au)' = u'.au u' 1 (ln u )'  (u ≠ 0) (ln x )'  (x ≠ 0) x u 1 u' (log a x )' = (log a u )' = (x ≠ 0) (u ≠ 0) x ln a u ln a 2) Vi phân: Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; b) và có đạo hàm tại x  (a; b). dy = f'(x)dx 3) Một số công thức lượng giác thường sử dụng:  tanx =. sin x cos x.  sin2a = 2sinacosa. cos x sin x 1  cos 2a  cos 2 a  2 1  2  1  cot 2 x sin x.  cotx =. 1  1  tan 2 x 2 cos x 1  sinasinb = - [cos(a + b) - cos(a - b)] 2  Ghi chuù:. .  tanx.cotx = 1 1  cos 2a 2 1  cosacosb = [cos(a + b) + cos(a - b)] 2 1  sinacosb = [sin(a + b) + sin(a - b)] 2.  sin 2 a . ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... 358.

(359) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. §1. NGUYEÂN HAØM. I- NGUYEÂN HAØM VAØ TÍNH CHAÁT 1. Nguyeân haøm: Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của R. Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x  K. * Chuù yù: 1) Neáu F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân K thì F(x) + C, C  R laø hoï taát caû caùc nguyeân haøm cuûa f(x) treân K. Kí hieäu  f ( x )dx = F(x) + C. 2) Trong kí hieäu. 1.  f ( x )dx thì "d..." gắn với biến tương ứng của hàm f. Ví dụ:  s ds ,  cos tdt ,.... 3) Biểu thức f(x)dx chính là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x), vì dF(x) = F'(x)dx = f(x). 2. Caùc tính chaát cuûa nguyeân haøm: Tính chaát 1:  f ' ( x )dx  f ( x )  C 1.  x dx   (ln x )' dx = lnx.. Ví dụ: Với x  (0; +), Tính chaát 2:.  kf ( x )dx  k  f ( x )dx (k laø haèng soá khaùc 0). Tính chaát 3:.  [ f ( x )  g( x )]dx   f ( x )dx   g( x )dx. Ví duï: Tìm nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = cosx +. 2 trên khoảng (0; +). x.  f ( x )dx  .................................................................................................................................................................................................... 3. Sự tồn tại nguyên hàm: Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 2. 2. Ví duï: Haøm soá f(x) = x 3 coù nguyeân haøm treân (0; +) vaø 4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp: x x  0dx  C  e dx  e  C.  dx  x  C. x  a dx . ax  C(0  a  1) ln a. 5.  x 3 dx . 3 3 x + C. 5.  cos xdx  sin x  C  sin xdx   cos x  C dx  cos x  tgx  C. x  1 2  x dx    1  C(  1) dx dx  sin 2 x   cot gx  C  x  ln x  C(x  0) Ví duï 1: x3  2x  1 dx = ................................................................................................................................................................ a)  x2 . b)  (2 s  3 s )2 ds = ........................................................................................................................................................................ 359.

(360) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. c)  tan 2 tdt = .................................................................................................................................................................................. Ví duï 2: Tìm moät nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá y = f(x) = x2 + 2x - 1, bieát raèng F(1) = 0. Giaûi: .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... II- PHÖÔNG PHAÙP TÍNH NGUYEÂN HAØM 1. Phương pháp đổi biến số: Định lí: Nếu  f (u)du  F (u)  C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì.  f [u( x )]u' ( x )dx  F[u( x )]  C Ví duï 1: Tìm. . ln x dx x. Giaûi: .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... Ví duï 2: Tìm  sin 2 x. cos xdx Giaûi: .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... Ví duï 3: Tìm. . x 3. x2 1. dx. Giaûi: .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... 360.

(361) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. Ví duï 4: Tìm. x. dx 4. 2. Giaûi: .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... Heä quaû: Neáu. 1.  f ( x )dx  F( x )  C thì  f (ax  b)dx  a F (ax  b)  C. x3 1 (2 x  1)3 2  C neân  (2 x  1) dx  Ví duï 1: Ta coù  x dx  +C 3 2 3 Ví duï 2: Tìm hoï caùc nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: 2.  cos(2 x  1)dx. = ................................................................  sin(1  4 x)dx = ................................................................ 1  3x  1 dx = ......................................................................... Ví duï 3: Tính. x. 2. e. x. . 1  x dx = ..................................................................... 2. dx = ........................................................................... 1 x 2. dx = ......................................................................... x 1 dx  5x  6. Giaûi: .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... 2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần: Định lí: Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì  u( x)v' ( x)dx  u( x).v( x)   u' ( x)v( x)dx * Chuù yù: Ta coù v'(x)dx = dv, u'(x)dx = du neân Phöông phaùp: Tính  u ( x )v' ( x)dx.  udv  uv   vdu. Lấy vi phân: lấy đạo hàm rồi nhân thêm d... của biến tương ứng. vi phaân hai veá. Ñaët. u  ...  du  ...dx . Khi đó ta có  u ( x )v' ( x)dx = uv   vdu . dv  ...dx  v  ... nguyeân haøm hai veá. 361.

(362) Hồ Xuân Trọng. Ví duï: Tính a)  xe x dx ;. Giaûi tích 12. b)  x cos xdx ;. c)  ln xdx .. Giaûi: .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... ....................................................................................................................  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Baøi 1: Tìm caùc nguyeân haøm sau: x a)  sin 2 dx ; b)  (1  2 x ) 3 dx ; 2. c) . 1 dx ; 3x  1. 362. x3 dx . d)  x2.

(363) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. Baøi 2: Tìm nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: 2x  1 x  x 1 ; b) f(x) = a) f(x) = ; 3 ex x. 1 ; sin x. cos 2 x 1 f) f(x) = . (1  x )(1  2 x). c) f(x) =. e) f(x) = tan2x;. d) f(x) = sin5x.cos3x;. 2. Bài 3: Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính: 3 2 2. a)  (1  x ) dx (ñaët t = 1 - x);. b)  x(1  x ) dx (ñaët t = 1 + x2);. c)  cos3 x sin xdx (ñaët t = cosx);. d) . 9. dx (ñaët t = ex + 1). x e e 2 x. Baøi 4: Tìm: x 1 dx . x  2x  2 Bài 5: Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính: a)  (1  x) cos xdx ; b)  x sin 2 xdx ; c)  x ln(1  x )dx ; d)  ( x 2  2 x  1)e x dx ;. a)  (e 2 x  5) 3 e 2 x dx ;. e)  x sin( 2 x  1)dx ;. b)  sin 2 x cos xdx ;. g)  (1  x )e 3 x dx ;. c) . h)  x ln(1  2 x )dx .. Baøi 6: Tìm nguyeân haøm F(x) cuûa caùc haøm soá sau: 1 a) f(x) = 3 x 2   4.e x bieát raèng F(0) = 1; x 2. Baøi taäp naâng cao: Baøi 1: Tìm nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: x a) y = (2tanx + cotx)2; b) y = cos 2 ; 2 Baøi 2: Tìm: a)  2 x x 2  1dx ;. e tan x dx ; cos2 x Baøi 3: Tìm: a)  x 2 e x dx ; e) . 2. b) f(x) = sin2x.cos3x + 3tan2x bieát raèng F() = 0.. c) y = sinx 2 cos x  1 .. b)  3x 2 x 3 1dx ;. c) . x dx ; (3 x  9) 4. d) . e x dx ; 1  e x. g) . 1 dx ; x ln x. h)  2 xe x. f) . d)  x 2 cos(3x )dx ; Baøi 5: Tìm haøm soá y = f(x), bieát raèng 1 a) f'(x) = x - + 2 vaø f(1) = 2; x. 2. 2x  4 dx ; x  4x  5 2. 2. 4. dx .. b)  3x 2 cos(2 x)dx ;. c)  x 3 ln( 2 x )dx ;. e)  x ln xdx ;. f)  x sin. x dx . 3. b) f'(x) = 3(x + 2)2 vaø f(0) = 8. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 363.

(364) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. §2. TÍCH PHAÂN I- KHAÙI NIEÄM TÍCH PHAÂN: 1. Dieän tích hình thang cong: Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn [a; b]. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được gọi là hình thang cong. Với hình phẳng D giới hạn bởi một đường y cong kín bất kì ta có thể chia nhỏ thành những B hình thang cong bằng cách kẻ những đường y = f(x) song song với các trục tọa độ. A. x O. a. b. Dieän tích hình thang cong aABb: S = F(b) - F(a), trong đó F(x) là một nguyên hàm của hàm số y = f(x). 2. Ñònh nghóa tích phaân: Cho y = f(x) là một hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b]. Hiệu số F(b) - F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b]) của b. haøm soá f(x), kí hieäu laø.  f ( x )dx . Duøng kí hieäu F( x ). b a. để chỉ hiệu số F(b) - F(a), ta có:. a. b.  f ( x)dx  F ( x). b a.  F (b)  F (a ) (NewTon - Lebniz). a. Ví duï: Tính caùc tích phaân sau: 1. a)  x 2 dx  .................................................................................................................................................................................... 0. e. b).  1. dx = .................................................................................................................................................................................... x a. b. * Chú ý: i) Ta quy ước  f ( x)dx  0 (a = b), a. . a. f ( x)dx    f ( x )dx (a > b).. a. b. ii) Tích phân của hàm số f từ a đến b không phụ thuộc vào biến số, chỉ phụ thuộc vào hàm b. soá vaø caùc caän a, b neân ta coù theå kí hieäu. . b. f ( x )dx hoặc. a.  f (t)dt . a. iii) Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b. b], thì tích phaân.  f ( x )dx. là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x), trục Ox và hai. a. b. đường thẳng x = a, x = b. Vậy S =.  f ( x )dx . a. II- TÍNH CHAÁT CUÛA TÍCH PHAÂN:. 364.

(365) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12 b. * Tính chaát 1:. b.  kf ( x)dx  k  f ( x)dx (k laø haèng soá) a. a. b. * Tính chaát 2:. b. b.   f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx. a. a. a. Ví duï: Tính tích phaân sau: 2.  (x. 2.  3 x )dx = ................................................................................................................................................................................................. 0. ............................................................................................................................................................................................... b. * Tính chaát 3:. c. y. b.  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx (a < c < b) a. a. + + + + + O. c. Ví duï: Tính caùc tích phaân sau: 2. 2. a) I =  x  1dx ;. b) J =. . 1  cos 2 x dx .. 0. 2. sinx. x. x. -. Giaûi: .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... III- PHÖÔNG PHAÙP TÍNH TÍCH PHAÂN: 1. Phương pháp đổi biến số: Định lí: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn a; b . Giả sử hàm số x =  (t ) có đạo hàm liên tục trên b. . đoạn  ;   sao cho  (  )  a, () = b và a   (t )  b , t   ;   ta có:  f ( x )dx   f ( (t )) ' (t )dt. a b. a) Đổi biến số dạng 1: Tính I =  f ( x )dx bằng cách đặt x =  (t ) a 1. Ví duï: Tính tích phaân. 1. 1 x. 2. dx. 0. 365. .

(366) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. Giaûi: .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... ................................................................................................................... .................................................................................................................... b. b) Đổi biến số dạng 2: Tính I =  f ( x )dx bằng cách đặt t = (x) a. Ñaët t = (x)  dt = '(x)dx Đổi cận: x = a  t1 = (a) x = b  t2 = (b) Biến đổi f(x)dx = C.f[(x)].'(x)dx (với C là hằng số) t2. b. Khi đó ta có: I =.  a. t2. f ( x )dx   C. f [ ( x )]. ' ( x )dx   C. f (t )dt t1. t1. Ví duï: Tính caùc tích phaân sau:  2. a)  sin x cos xdx ; 0. 1. 0. 2. 2. b)  x x  1dx ; 1. c)  x (x  1)2010 dx. 0. Giaûi: .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... 2. Phương pháp tính tích phân từng phần: Định lí: Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn a; b thì :. 366.

(367) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12 b. b. b. b. b b.  u ( x)v' ( x)dx  (u ( x)v( x)) a   u' ( x)v( x)dx hay  udv  uv a   vdu. a. a. a. a. vi phaân hai veá b. u  ...  du  ...dx b b * Chuù yù: Tính I =  u ( x)v ' ( x )dx . Ñaët , khi đó: I = (uv)   vdu . dv  ...dx  v  ... a a a nguyeân haøm hai veá. Ví duï 1: Tính caùc tích phaân: .  2. a) I =  1. ln x dx ; x5. 1. 2. c) K =  xe x dx ;. b) J =  x cos xdx ; 0. 0. 2. d) L =  e x sin xdx . 0. Giaûi: .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... 367.

(368) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... 1. Ví dụ 2: Tính tích phân I =  x (1  x ) 5 dx bằng hai phương pháp đổi biến và tích phân từng phần. 0. Giaûi: .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... ....................................................................................................................  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Baøi 1: Tính caùc tích phaân sau: 2 2 x  2x a)  dx ; x3 1. . 1 2. b)  x ( x  1) dx ; 0. 3. 2. (1  x ) dx ;. 1  2. x3 1 dx ; e)  2 x 1 0. 1. 2. g) . h) . 2 dx ; (  2 )(  3 ) x x 1. 1 2. 1 dx ; x ( x  1). Baøi 2: Tính caùc tích phaân sau:. 368. 3 2. c)  (1  3 x ) dx ; 0. 1 2. 1 2. d). 2. ln 2. f).  0. e 2 x 1  1 dx ; ex. 0. dx . x  3x  2 1. i) . 2.

(369) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. . . . 2. 2. 2. a)  sin(. . 0. 4. b)  sin 3 x cos 5 xdx ;.  x )dx ;. .  2. d)  sin 2 xdx .. c)  sin 2 x. sin 7 xdx ;. . . 2. . 0. 2. Baøi 3: Tính caùc tích phaân sau: 2. 2. a)  1  x dx ;. d)  x 2  3 x  2 dx .. 2. b)  x  2 x  1dx ;. 0. 3. 3. 2. c)  x  x  2 dx ;. 1. 0. 0. Bài 4: Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính: 1. 2. 3. e) . x. 0. 0. 1. x. e (1  x ) dx ; x xe 1  0. dx ;. d)  sin 2 x cos 2 xdx ;. 0. 1. 2 3 2. 2. 0. 1. . 1. c)  e x 2 xdx ;. b)  x 3 1  x dx ;. a)  x  2dx ;. g)  1  x 2 dx .. f) . 0 (1  x ) Bài 5: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, hãy tính:.  e. 2. 1. 2. a)  ( x  1) sin xdx ;. b)  x ln xdx ;. 0. d)  ( x 2  2 x  1)e  x dx .. c)  ln(1  x )dx ; 0. 1. 2. Baøi taäp naâng cao: Baøi 1: Tính caùc tích phaân sau: 4 x2 2 a)  ( ) dx ; x3 2. 1. 0. 6. 9. b)  ( x  3  x  4 )dx ;. c)  x 3 1  x dx ;. 4. 1.  1. 2x  1. d) . 2. 2. e) . f) . cos x dx ; 1  4 sin x 0. dx ;. x2  x  1 Baøi 2: Tính caùc tích phaân sau: 1. 1. a)  0. 3. dx 4 x. 2. ;. b). x 3. 1. a 2. 0. dx ; x  2x  2 1. dx ; 3. c) . 2. d) . 2. 0. x9 dx . x10  4 x 5  4. 1 2. a  x2. dx(a  0) .. Baøi 3: Tính caùc tích phaân sau:  e. 2 2. a)  ( x  2 x  3) sin xdx ; 0. 1. 2. 2. b)  x ln xdx ;. 0 2. 2x. c)  ( x  1)e dx ; 0. 1. d)  x cos xdx . 1. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 369.

(370) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. §3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I- TÍNH DIEÄN TÍCH HÌNH PHAÚNG: 1. Hình phẳng giới hạn giới hạn bởi một đường cong và trục hoành: y Diện tích hình phẳng giới hạn bởi: đồ thị của hàm số f(x) liên tục, trục hoành (y = 0) và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức: b. S   f ( x ) dx a. Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = x3, trục hoành và hai đường thaúng x = -1, x = 2. Giaûi:. x O. a. b. Dieän tích hình phaúng caàn tìm laø: ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. .................................................................................................................. 2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong: Cho hai haøm soá y = f1(x) vaø y = f2(x) lieân tuïc trên đoạn [a; b]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số đó và các đường thẳng x = a, x = b. Khi đó diện tích hình phẳng D là:. y. y  f1 ( x ). y  f2 ( x ). b. O. S   f1 ( x )  f 2 ( x ) dx. a. a. x b. * Chú ý: Nếu phương trình hoành độ giao điểm f1(x) = f2(x) có đúng hai nghiệm x1, x2  (a; b) với (x1 x1. < x2) thì.  a. x1. f1 ( x )  f 2 ( x ) dx   [ f1 ( x )  f2 ( x )]dx . Khi đó: a. b. x1. x2. b. S   f1 ( x )  f2 ( x ) dx   [ f1 ( x )  f 2 ( x )]dx   [ f1 ( x )  f2 ( x )]dx   [ f1 ( x )  f2 ( x )]dx a. a. x1. x2. 2. Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = x - 3x + 4 và y = x + 1. Giaûi:. y f (x) = x2. 3∙x + 4. g(x) = x + 1. .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... ................................................................................................................... x O. 370.

(371) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = x3 - x, y = x - x2, x = -1, x = 2. Giaûi: .................................................................................................................... ................................................................................................................... y. .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... ................................................................................................................... 2. .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... f(x) = x3. O. x. x. g(x) = x. x. Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = sinx, y = cosx, x = 0, x = . Giaûi: .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... ................................................................................................................... y. .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... y = sin(x) .................................................................................................................... .................................................................................................................... x  ................................................................................................................... O  4 .................................................................................................................... .................................................................................................................... y = cos(x) .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... II- TÍNH THEÅ TÍCH: 1. Theå tích cuûa vaät theå: Cắt vật thể (T) bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc trục Ox lần lượt tại x = a, x = b. Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox taïi x  [a; b] caét (T) theo thieát dieän coù diện tích là S(x). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó thể tích vật thể (T) là: b. V =  S( x )dx a. 2. Theå tích khoái choùp cuït: Cho khối chóp cụt tạo bởi khối chóp đỉnh S có diện tích hai đáy lần lượt là B, B' và có chiều cao bằng h h. Khi đó thể tích khối chóp cụt là V = ( B  BB'  B' ) . 3. 371.

(372) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. III- THEÅ TÍCH KHOÁI TROØN XOAY: Hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) quay xung quanh truïc Ox taïo thaønh khoái troøn xoay. Theå tích khoái troøn xoay laø: b. V    [ f ( x )]2 dx a. Ví dụ 1: Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = cosx, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = . Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình này xung quanh trục Ox. Giaûi: .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... x .................................................................................................................... y. y = cos(x). . O .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... Ví dụ 2: Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = -x2 - 2x + 3, y = 0 quay quanh truïc Ox. Giaûi: .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... y .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... ................................................................................................................... x. .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... O. 2. ................................................................................................................... ....................................................................................................................  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... 372.

(373) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = 2 - x2, y = 0 và đường thẳng y = -x. Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: a) x = -1, x = 3, y = 0, y = x4 + 2x2 + 3; b) y = x2 - 2, y = -3x + 2; c) y = x2 - 12x + 36, y = 6x - x2. Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: a) y = x2, y = x + 2; b) y = lnx, y = 1; c) y = (x - 6)2, y = 6x - x2. Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x2 + 1, tiếp tuyến với đường này tại điểm M(2; 5) vaø truïc Oy. Bài 5: Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và parabol y = x(4 - x) quay quanh trục hoành. Bài 6: Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quay quanh trục Ox: x  a) y = -x2 + 1, y = 0; b) y = sin , y = 0, x = 0, x = ; c) y = lnx, y = 0, x = e. 2 4 Bài 7: Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox: a) y = 1 - x2, y = 0;. b) y = cosx, y = 0, x = 0, x =.  4. ;. c) y = tanx, y = 0, x = 0, x =.  4. .. 2. Baøi taäp naâng cao:. x2 Baøi 1: Parapol y = chia hình tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính 2 2 thành hai phần. Tìm tỉ số diện 2 tích cuûa chuùng. Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = x2, x - y + 2 = 0, y = 0. Bài 3: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng xác định bởi y = 2x - x2, y = x, quanh trục Ox. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 373.

(374) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. * OÂÂN TAÄP CHÖÔNG III * ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 374.

(375) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Baøi 1: Tìm nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: a) f(x) = (x - 1)(1 - 2x)(1 - 3x); 1 c) f(x) = ; 1 x2 Baøi 2: Tính a)  (2  x ) sin xdx ;. 1 dx ; (sin x  cos x ) 2 Baøi 3: Tính: 3 x a)  dx ; 1 x 0. x. 64. 1. 1 x 3. x. e 3x  1 dx ; ex 1 1 dx . f)  (1  x )(2  x ). dx ;. 1. e) . b) . d) f(x) = (ex - 1)3.. ( x  1) 2. b) . d) . b) f(x) = sin4xcos22x;. 1 x  x. c) . dx ; 2. . c)  x 2 e 3 x dx ;. dx ;. d)  1  sin 2 x dx . 0. 0. Baøi 4: Tính:  1. 2 2. a)  cos 2 x sin xdx ; 0. 2 x. b)  2  2. x. dx ;. 1. ( x  1)( x  2)( x  3) dx ; x2 1. c) .  2. 1 d)  2 dx ;  2  3 x x 0. . 2. e)  (sin x  cos x ) 2 dx ; 0. f)  ( x  sin x ) 2 dx . 0. 2. Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Xét hình phẳng D giới hạn bởi y = 2 1  x 2 và y = 2(1 - x). a) Tính dieän tích hình D; b) Quay hình D xung quanh trục Ox. Tính thể tích khối tròn xoay được tại thành. Bài 2: Tính thể tích các hình tròn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các đường (C): y = x2 + 1, trục tung vaø tieáp tuyeán cuûa (C) taïi ñieåm (1; 2) khi quay quanh truïc Ox. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 375.

(376) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. CHƯƠNG IV. SỐ PHỨC ----- oOo -----. §1. SỐ PHỨC 1. Soá i: Phương trình x2 + 1 = 0 có một nghiệm là một số được kí hiệu là "i" với i2 = -1 2. Định nghĩa số phức:  Mỗi biểu thức dạng a + bi, trong đó a, b  R, i 2 = -1 được gọi là một số phức.  Đối với số phức z = a + bi, ta nói a là phần thực, b là phần ảo của z.  Tập hợp các số phức kí hiệu là C (Complex). * Chuù yù: z = a + bi  Số thực a = a + 0i. Mỗi số thực a cũng là một số phức và R  C.  Soá thuaàn aûo: bi = 0 + bi  i = 0 + 1i (số i được gọi là đơn vị ảo)  Số phức 1 + (-3)i có thể viết 1 - 3i, số phức 1 + 3 i còn có thể viết 1 + i 3 . 3. Số phức bằng nhau: Hai số phức là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau. a + bi = c + di  a = c vaø b = d Ví dụ: Tìm x, y để hai số phức z = (2x+1) + (3y-2)i, z’ = (x – 2) +(4y -3)i bằng nhau. Giaûi: .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... 4. Biểu diễn hình học số phức: Điểm M(a; b) trong một hệ tọa độ vuông góc của mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn số phức z = a + bi. Ví dụ 1: Biểu diễn hình học của các số phức: 3 + 2i, 2 - i, -2 - 3i, 3i, 4. Giaûi: ....................................................................................................................... y 6 5 4. ..................................................................................................................................... 3 ..................................................................................................................................... 2. .................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... 1 -5. -4. -3. -2. -1. O -1. Ví dụ 2: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện phần ảo bằng -5 và phần thực thuộc khoảng (-4; 4).. -2 -3 -4 -5. Giaûi: ...................................................................................................................... .................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... 376. -6. 1. 2. 3. 4. 5. x.

(377) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. 5. Môđun của số phức: Giả sử số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng tọa độ. Độ dài của vectơ OM được gọi là môđun của số phức z và kí hiệu là z .Vậy: z  a  bi  OM =. y M. b. a 2  b2. x O. 6. Số phức liên hợp: Cho số phức z = a + bi. Ta gọi a - bi là số phức liên hợp của z vaø kí hieäu laø z = a - bi. Ví duï: Số phức liên hợp của z = -3 + 2i là: ....................................................... a. y z = a + bi M. b. x. Số phức liên hợp của z = 4 - 3i là: ....................................................... * Chú ý: Trên mặt phẳng tọa độ, các điểm biểu diễn z và z đối xứng nhau qua trục Ox, và z  z, z  z .. O. -b. a. M' z = a - bi.  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... 377.

(378) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Tìm phần thực và phần ảo của số phức z, biết: a) z = 1 - i; b) z = 2 - i; c) z = Bài 2: Tìm các số thực x và y, biết: a) (3x - 2) + (2y + 1)i = (x + 1) - (y - 5)i; c) (2x + y) + (2y - x)i = (x - 2y + 3) + (y + 2x + 1)i. Bài 3: Tính z với: a) z = -2 + i 3 ; b) z = 2 - 3i; Baøi 4: Tìm z , bieát: a) z = 1 - i 2 ; b) z = - 2 + i 3 ;. 2 2; b) (1 - 2x) - i 3 =. d) z = -7i. 5 + (1 - 3y)i;. c) z = -5;. d) z = i 3 .. c) z = 5;. d) z = 7i.. Bài 5: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: a) Phần thực của z bằng -2; b) Phaàn aûo cuûa z baèng 3; c) Phần thực của z thuộc khoảng (-1; 2); d) Phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3]; e) Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn [-2; 2]. 2. Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: a) z = 1; b) z  1; c) 1 < z  2; d) z = 1 vaø phaàn aûo cuûa z baèng 1. Bài 2: Trên mặt phẳng Oxy, hãy tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn đẳng thức z  3 . Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa z  i  2 . CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 378.

(379) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. §2. CỘNG, TRỪ VAØ NHÂN SỐ PHỨC 1. Phép cộng và phép trừ hai số phức: Phép cộng và phép trừ số phức được thực hiện theo quy tắc cộng, trừ đa thức. (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i; (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i. Ví dụ: Cho 2 số phức z1 = 2 + 5i; z2 = -2i. Tính z1 + z2, z1- z2. Giaûi: .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... 2. Phép nhân hai số phức: Phép nhân hai số phức được thực hiện theo quy tắc nhân đa thức rồi thay i2 = -1 trong kết quả nhận được. (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad +bc)i. * Chú ý: Phép cộng và phép nhân các số phức có tất cả các tính chất của phép cộng và phép nhân các số thực. Ví dụ: Cho các số phức z = 1 - 2i, z1 = -2 + 3i. Thực hiện các phép tính: a) z.z1; b) z2; c) z3 - 3z1. Giaûi: .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... ....................................................................................................................  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... 379.

(380) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Thực hiện các phép tính sau: a) (2 - 3i) + (-4 + i); b) 4i - (-7 + 3i); c) (2 - 3i)(5 + 7i); d) (3 - 5i) + (2 + 4i); e) (-2 - 3i) + (-1 - 7i); f) (4 + 3i) - (5 - 7i). Bài 2: Tính  + ,  -  với: a)  = 3,  = 2i; b)  = 5i,  = -7i; c)  = 1- 2i,  = 6i; d)  = 15,  = 4 - 2i. Bài 3: Thực hiện các phép tính sau: a) (3 - 2i)(2 - 3i); b) (-1 + i)(3 + 7i); c) 5(4 + 3i); d) (-2 - 5i).4i. Baøi 4: Tính: a) (2 + 3i)2; b) (2 + 3i)3; c) (1 - 3i)3. Bài 5: Tính i3, i4, i5. Nêu cách tính in với n là một số tự nhiên tùy ý. 2. Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Tính giá trị của biểu thức Q = (2 + 5 i)2 + (2 - 5 i)2. Bài 2: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau: a) z = i + (2 – 4i) – (3 – 2i); b) z = i(2 – i)(3 + i); c) z = (5 + 2i) + (3 – i) + (1 + 2i); 2 2 12 13 e) z = 2i  i ; f) z = (2 + i)3 – (3 – i)3. d) z = (1 + i) – (1 – i) ;. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 380.

(381) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. §3. PHÉP CHIA SỐ PHỨC 1. Tổng và tích của hai số phức liên hợp: 2 Cho số phức z = a + bi thì z  z = 2a và z.z = a 2  b 2  z .  Tổng của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng hai lần phần thực của số phức đó.  Tích của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng bình phương môđun của số phức đó. 2. Phép chia hai số phức: a  bi ac  bd ad  bc   i. Cho số phức c + di và a + bi. Ta có z  c  di c 2  d 2 c 2  d 2 c  di * Chú ý: Để tính , ta nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của mẫu (a + bi). a  bi Ví dụ 1: Thực hiện các phép chia sau: 1 i 6  3i a) ; b) . 2  3i 5i Giaûi: .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... Ví duï 2: Giaûi phöông trình (1 + 3i)z - (2 + 5i) = (2 + i)z. Giaûi: .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... ....................................................................................................................  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... 381.

(382) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Thực hiện các phép chia: 1 i 2 2i ; a) ; b) 3  2i 2i 3 1 Bài 2: Tìm nghịch đảo của số phức z, biết: z a) z = 1 + 2i; b) z = 2 - 3i; Bài 3: Thực hiện các phép tính sau:. c). 5i ; 2  3i. d). 5  2i . i. d) z = 5 + i 3 .. c) z = i;. (1  i )2 (2i )3 b) ; 2i 5  4i d) 4 - 3i + . 3  6i. a) 2i(3 + i)(2 + 4i); c) 3 + 2i + (6 + i)(5 + i); Baøi 4: Giaûi caùc phöông trình sau: a) (3 - 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i;. b). z  (2  3i)  5  2i . 4  3i. 2. Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau : 4  2i a) z  3  i  ; b) z = 7 - 2i - (3 - 2i)2; i 3 i 2 i 7  3i  1  5i  ; e) ; d) z =  1 i 3  2i i 1i Bài 2: Cho z  2  3i . Tìm phần thực, phần ảo và modun của số phức Baøi 3: Giaûi phöông trình. c) z =. 7i + 5 - 4i; 2i. z  7i . z5. 2i  1  3i z . 1i 2i. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 382.

(383) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. §4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC 1. Căn bậc hai của số thực âm: Số thực a (a < 0) có hai căn bậc hai là  i a . Ví duï: soá -2 coù hai caên baäc hai laø  i 2 2. Phương trình bậc hai với hệ số thực: Giaûi phöông trình baäc hai: ax2 + bx + c = 0 (*) (a, b, c  R, a  0) Tính:  = b2 - 4ac (' = b'2 - ac) b  Nếu  > 0 thì (*) có 2 nghiệm thực x1,2 = . 2a b Nếu  = 0 thì (*) có 1 nghiệm thực x =  . 2a Nếu  < 0 thì (*) có 2 nghiệm phức x1,2 =. bi . . 2a * Chú ý: Mọi phương trình bậc n (n  1) đều có n nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt). Ví dụ 1: Giải phương trình x2 - x + 5 = 0 trên tập số phức. Giaûi: .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... Ví dụ 2: Giải phương trình z4 + z2 - 6 = 0 trên tập số phức. Giaûi: .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... 3. Định lí Viète đối phương trình bậc hai nghiệm phức: a) Cho z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình az2 + bz + c = 0 (a, b, c  R, a  0). Hãy tính z1 + z2 và z1.z2 theo a, b, c. b) Cho z = a + bi là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z và z làm nghieäm. c) Cho hai số phức z1, z2. Biết rằng z1 + z2 và z1.z2 là hai số thực. Chứng tỏ rằng z1, z2 là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực. Giaûi: .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... 383.

(384) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... ....................................................................................................................  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Tìm các căn bậc hai phức của các số sau: -7; -8; -12; -20; -121. Bài 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) -3z2 + 2z - 1 = 0; b) 7z2 + 3z + 2 = 0; c) 5z2 - 7z + 11 = 0. Bài 3: Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) x2 + x + 1 = 0; b) 3x2 - x + 2 = 0; c) 3 x 2 2  2 x 3  2  0 . Bài 4: Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) z4 + z2 - 6 = 0; b) z4 + 7z2 + 10 = 0. Bài 5: Cho phương trình: x2 - 3x + 5 = 0. Gọi z và z' là nghiệm của phương trình đã cho. Hãy tính giá trị của các biểu thức sau: a) z + z'; b) z2z' + zz'2. 2. Baøi taäp naâng cao: Baøi 1: Giaûi caùc phöông trình sau treân C: a) x 2  3.x  1  0 ; b) 3 2 .x 2  2 3.x  2  0 ; c) 3 x 2 2  2 x 3  2  0 . Bài 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) z 3  8  0 ; b) x 3  8  0 ; c) z3 – 1 = 0; d) z 3  2 z 2  10 z  0 .. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 384.

(385) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. * OÂÂN TAÄP CHÖÔNG IV * ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 385.

(386) Hồ Xuân Trọng. Giaûi tích 12. 1. Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Số phức thỏa mãn điều kiện nào thì có điểm biểu diễn ở phần gạch chéo trong các hình sau đây? y. y. y. 2 0. 1. 0. x. x -2. -1. 0. 1. x 2. -1. a). b). c). Bài 2: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: a) Phần thực của z bằng 1; b) Phaàn aûo cuûa z baèng -2; c) Phần thực của z thuộc [-1; 2], phần ảo thuộc [0; 1]; d) z  2. Bài 3: Tìm các số thực x, y sao cho: a) 3x + yi = 2y + 1 + (2 - x)i; b) 2x + y - 1 = (x + 2y - 5)i. Bài 4: Thực hiện các phép tính sau: 1 i a) (3 + 2i)[(2 - i) + (3 - 2i)]; b) (4 - 3i) + ; 2i 3  i 4  3i  c) (1 + i)2 - (1 - i)2; d) . 2i 2i Bài 5: Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) (3 + 4i)z + (1 - 3i) = 2 + 5i; b) (4 + 7i)z - (5 - 2i) = 6iz. Bài 6: Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) 3z2 + 7z + 8 = 0; b) z4 - 8 = 0; c) z4 - 1 = 0. Bài 7: Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3 và tích của chúng bằng 4. 2. Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Tìm các số thực a, b để z  1  3i là một nghiệm của phương trình z4 + bz2 + c = 0. Bài 2: Tìm các số phức z sao cho tích z(2 - 3i)(2 + i)(3 - 2i) là một số thực. Bài 3: Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = (1 - i)2009. Baøi 4: Cho f(z) = z3 - 2z2 - 7z - 3. Tính f(1 - 3i). Bài 5: Cho f(z) = z3 - 2z2 - 7z - 3. Chứng minh rằng f(1 + i) + f(1 - i)  R. Baøi 6: Tính z6 bieát 3z - z = -4 + 8i. 1 3 Bài 7: Chứng minh rằng z    i laø moät nghieäm cuûa phöông trình z3 = 1. 2 2 Bài 8: Tìm các nghiệm phức của phương trình 9z4 - 24z3 - 2z2 - 24z + 9 = 0. Bài 9: a) Tìm các số thực a, b để có phân tích 2z3 - 9z2 + 14z - 5 = (2z - 1)(z2 + az + b) rồi giải phương trình 2z3 - 9z2 + 14z - 5 = 0 treân C. b) Tìm các số thực a, b để có phân tích z4 - 4z2 - 16z - 16 = (z2 - 2z - 4)(z2 + az + b) rồi giải phương trình z4 - 4z2 - 16z - 16 = 0 treân C. Baøi 10: Giaûi caùc heä phöông trình sau:  z z  4i  z z  5  5i 2 z  (2  i ) z 2  4  6i a)  21 22 ; b)  2 1 2 2 ; c)  1 . z1  z2  5  2i z1  z2  5  2i  4 z1  2iz 2  16  4i. 386.

(387) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12. CHÖÔNG I. KHOÁI ÑA DIEÄN ----- oOo -----.  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: I- MỘT SỐ CÔNG THỨC HÌNH HỌC PHẲNG THƯỜNG SỬ DỤNG: A. A. b. c. G. H. a. hc. R. r C. a. B. I. O. C. M. b. c. hb B. A. ha. b. c. A. C. B. C B a Troïng taâm G cuûa tam giaùc laø Trực tâm H của tam giao điểm ba đường trung Tâm O đường tròn ngoại Tâm I của đường tròn nội giaùc ABC laø giao ñieåm 2 tieáp tam giaùc laø giao ñieåm tieáp tam giaùc laø giao ñieåm tuyeán, vaø AG  AM . ba đường cao. ba đường trung trực. ba đường phân giác trong. 3. 1. Tam giaùc vuoâng ABC vuoâng taïi A:  Hệ thức lượng:. A. A. B. . C. AC AB sin = cos = BC BC AC AB tan = cot = AB AC 2 2  Ñònh lí Pitago: BC = AB + AC2 1  Dieän tích: S = AB.AC 2 2. Các công thức đặc biệt:. B. H. C. M.  Nghịch đảo đường cao bình phương:  Độ dài đường trung tuyến AM =  Công thức khác: AB.AC = AH.BC. 1 1 1   2 2 AH AB AC 2. 1 BC 2. BA2 = BH.BC. CA2 = CH.CB. 3 3  Chiều cao tam giác đều: h = cạnh  4 2  Độ dài đường chéo hình vuông: l = cạnh  2 3. Hệ thức lượng trong tam giác:  Ñònh lí Coâsin: a2 = b2 + c2 - 2bccosA b2 = a2 + c2 - 2accosB c2 = a2 + b2 - 2abcosC a b c    2R  Ñònh lí sin: sin A sin B sin C 4. Các công thức tính diện tích tam giác ABC: Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh tương ứng là a, b, c; chiều cao tương ứng với các góc A, B, C là ha, hb, hc; r, R lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp ABC; Gọi S là diện tích ABC: 1 1 1 1 1 1  S = aha  bhb  chc  S = bc sin A  ac sin B  ab sin C 2 2 2 2 2 2 abc abc S=  S = pr  S = p( p  a)( p  b)( p  c) (với p = ) 4R 2 5. Dieän tích caùc hình ñaëc bieät khaùc: 1  Hình vuoâng: S = caïnh  caïnh  Hình thoi: S = (cheùp daøi  cheùo ngaén) 2 1  Hình chữ nhật: S = dài  rộng  Hình thang: S = (đáy lớn + đáy bé)  chiều cao 2 2  Hình troøn: S = R  Hình bình hành: S = đáy  chiều cao  Diện tích tam giác đều: S = (cạnh)2 . 387.

(388) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12. 6. Hai tam giác đồng dạng và định lí Talet: B. A. N. A. C. M. M. N. P C. B.  ABC ∽MNP nếu chúng có hai góc tương ứng bằng nhau. AB MN   Neáu ABC ∽MNPthì AC MP. AM AN MN   AB AC BC. II- MỘT SỐ HÌNH HÌNH HỌC KHÔNG GIAN THƯỜNG SỬ DỤNG: Hình choùp coù mp(SAB)  (ABC). Hình chóp tứ giác đều S. Hình chóp tam giác đều S. S. A. B. H. C. A B. C. G. I. C. A. D. B. Hình choùp S.ABC coù caïnh beân vuông góc mặt đáy.. Hình choùp S.ABC coù ba caïnh beân taïo với đáy một góc .. Lăng trụ thường A'. C'. S. S. B'. C. A. . A. . A. C. C. I  B. B. B. Lăng trụ đứng A'. Hình hộp chữ nhật. Hình hộp thường. C'. B'. B'. C'. C'. B'. D'. A'. D'. A'. B. C. C. A. C. B. A. B. * Chú ý: Lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.. A. D. 388. D. * Chuù yù: Hình laäp phöông laø hình hoäp coù 6 maët laø hình vuoâng..

(389) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12. III- MỘT SỐ KIẾN THỨC THƯỜNG SỬ DỤNG: 1. Một số phương pháp chứng minh trong hình học không gian:  Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Phöông phaùp: Trình baøy baøi giaûi: Để chứng minh đường thẳng  vuông góc mp(P) ta chứng minh  vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau nằm trong mp(P).   a  ( P ) Ta coù:    b  ( P )    (P) a A. b. P.  Chứng minh hai đường thẳng vuông góc: Phöông phaùp: Trình baøy baøi giaûi: Để chứng minh đường thẳng  vuông góc với đường thẳng d ta chứng minh  vuông góc với mp(P) chứa d. Ta coù:   (P)  d  d. d. P.  Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc: Phöông phaùp: Trình baøy baøi giaûi: Để chứng minh mp(Q)  mp(P) ta chứng minh mp(Q) chứa một đường thẳng  vuông góc mp(P).    ( P) Ta coù:  Q   (Q )   (Q)  (P). P. 2. Hai ñònh lí veà quan heä vuoâng goùc:  Ñònh lí 1: Neáu mp(P) vaø mp(Q) cuøng vuoâng goùc  Ñònh lí 2: Cho mp(P) vuoâng goùc mp(Q). Moät với mp() thì giao tuyến (nếu có) của chúng đường thẳng d nằm trong mp(P) vuông góc vuoâng goùc mp(). với giao tuyến  của (P) và (Q) thì d vuông goùc mp(Q). P. . Q. P. d. . Q. 389.

(390) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12. 3. Goùc: Góc giữa hai mặt phẳng: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Góc giữa đường thẳng  và mp() là góc Góc giữa hai mặt phẳng () và () là góc giữa giữa  và hình chiếu ' của nó trên mp(). hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng (), () và cùng vuông góc với giao tuyến. Q. d'. I. . ' H.   Trình baøy baøi giaûi:  Ta coù ' laø hình chieáu cuûa  treân mp()  Suy ra: (,()) = (,') = . P. d. . .  Trình baøy baøi giaûi: ( P)  (Q )     Ta coù  ( P )  d    (Q )  d '     Suy ra: ((P),(Q)) = (d,d') = . 4. Khoảng cách: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: phaúng song song: Khoảng cách giữa hai đường thẳng  và ' chéo nhau là Khoảng cách giữa đường thẳng  và độ dài đoạn vuông góc chung của  và ' và bằng với mp() song song với nó là khoảng cách khoảng cách giữa  và mp() chứa ' và song song với . M  A từ một điểm M trên  đến mp(). M. . H. H. . . N. '.  Trình baøy baøi giaûi:  Trình baøy baøi giaûi: d(,()) = d(M,()) = MH d(,') = d(,()) = d(A,()) = AH 5. Định lí ba đường vuông góc, công thức diện tích hình chiếu: d. A. S d'. C. H . A'. S'. . . Goïi d' laø hình chieáu cuûa d treân (). Ta coù:   d'    d  Ghi chuù:. . B. S' = Scos. .................................................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................................................... 390.

(391) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12. §1. KHAÙI NIEÄM VEÀ KHOÁI ÑA DIEÄN I - KHOÁI LAÊNG TRUÏ VAØ KHOÁI CHOÙP:  Khối lăng trụ (chóp) là phần không gian được giới hạn bởi một hình lăng trụ (chóp) kể cả hình lăng trụ (chóp) ấy. Khối chóp cụt là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp cụt kể cả hình chóp cụt ấy.  Điểm không thuộc khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) được gọi là điểm ngoài của khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt). Điểm thuộc khối lăng trụ nhưng không thuộc hình lăng trụ ứng với khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) đó được gọi là điểm trong của khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt)ï. B'. ... hai ñieåm M, N khoâng phaûi laø ñieåm trong cuûa khoái choùp.. S. C' D'. A'. F'. E'. ... hình laø phaàn voû bọc bên ngoài. Khối goàm phaàn voû beân ngoài và phần ruột ñaëc beân trong.. N. A B. B. C D. M. A F. E. D. C. II- KHAÙI NIEÄM VEÀ HÌNH ÑA DIEÄN VAØ KHOÁI ÑA DIEÄN: 1. Khaùi nieäm veà hình ña dieän:  Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chaát: a) Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chæ coù moät caïnh chung. b) Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.  Mỗi đa giác gọi là một mặt của hình đa diện. Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo thứ tự được gọi laø caùc ñænh, caïnh cuûa hình ña dieän. Ñænh. Caïnh. Maët 2. Khaùi nieäm veà khoái ña dieän:  Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.  Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện. Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện đó được gọi là điểm trong của khối đa diện. Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong, tập hợp những điểm ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện.  Moãi hình ña dieän chia caùc ñieåm coøn laïi cuûa khoâng gian thaønh hai mieàn khoâng giao nhau laø mieàn trong và miền ngoài của hình đa diện, trong đó chỉ có miền ngoài là chứa hoàn toàn một đường thẳng nào đấy.. 391.

(392) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12. d Miền ngoài Ñieåm trong N Điểm ngoài M. III- HAI ÑA DIEÄN BAÈNG NHAU: 1. Phép dời hình trong không gian: Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M' xác định duy nhất được gọi là một pheùp bieán hình trong khoâng gian. Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai ñieåm tuøy yù. * Một số phép dời hình trong không gian:  a) Pheùp tònh tieán theo vectô v : M'. Laø pheùp bieán hình bieán moãi ñieåm M thaønh M' sao cho  MM '  v .. v. M. b) Phép đối xứng qua mặt phẳng (P): Laø pheùp bieán hình bieán moãi ñieåm thuoäc (P) thaønh chính noù, bieán moãi ñieåm M khoâng thuoäc (P) thaønh điểm M' sao cho (P) là mặt phẳng trung trực của MM'. Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình (H) thành chính nó thì (P) được gọi là mặt phẳng đối xứng của (H). M. I P. M'. c) Phép đối xứng qua tâm O: Laø pheùp bieán hình bieán ñieåm O thaønh chính noù, bieán moãi ñieåm M khaùc O thaønh ñieåm M' sao cho O laø trung ñieåm MM'. Nếu phép đối xứng tâm O biến hình (H) thành chính nó thì O được gọi là tâm đối xứng của (H) d) Phép đối xứng qua đường thẳng  (phép đối xứng trục ): Là phép biến hình biến mọi điểm thuộc đường thaúng  thaønh chính noù, bieán moãi ñieåm M khoâng thuộc  thành điểm M' sao cho  là đường trung trực cuûa MM'. Nếu phép đối xứng trục  biến hình (H) thành chính nó thì  được gọi là trục đối xứng của (H). 392. M' O M. I M. M'.

(393) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12. * Nhaän xeùt:  Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.  Phép dời hình biến đa diện (H) thành đa diện (H'), biến đỉnh, cạnh, mặt của (H) thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của (H'). 2. Hai hình baèng nhau: Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.  Ví dụ: Thực hiện liên tiếp hai phép dời hình: phép tịnh tiến theo vectơ v và phép đối xứng tâm O hình (H) bieán thaønh hình (H''). Ta coù: hình (H) baèng hình (H''). D'. v D. C''. A' B'. B. A. C. C'. O A''. B''. (H') (H''). (H). IV- PHAÂN CHIA VAØ LAÉP GHEÙP CAÙC KHOÁI ÑA DIEÄN: Nếu khối đa diện (H) là hợp của hai khối đa diện (H1), (H2) sao cho (H1) vaø (H2) khoâng coù chung ñieåm trong nào thì ta nói có thể chia được khối đa diện (H) thaønh hai khoái ña dieän (H1) vaø (H2), hay coù theå laép ghép hai khối đa diện (H1) và (H2) với nhau để được khoái ña dieän (H). Ví dụ: Ta có thể chia khối hộp chữ nhật thành hai khối lăng trục đứng.. D''. (H 1). (H) (H 2).  Ghi chuù: .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Phân chia khối chóp tứ giác thành hai khối chóp tam giác. Bài 2: Phân chia khối lập phương thành năm khối tứ diện. Bài 3: Phân chia khối lập phương thành sáu khối tứ diện bằng nhau. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 393.

(394) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12. §2. KHỐI ĐA DIỆN LỒI VAØ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU I- KHOÁI ÑA DIEÄN LOÀI: Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H) luôn thuộc (H). Khi đó đa diện xác định (H) được gọi là đa diện lồi. * Chú ý: Một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và chỉ khi miền trong của nó luôn nằm về một phía đối với mỗi mặt phẳng chứa một mặt của nó.. . II- KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU: Định nghĩa: Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có tính chất sau đây: a) Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh. b) Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt. Khối đa diện đều như vậy được gọi là khối đa diện đều loại {p; q}. Định lí: Chỉ có năm loại khối đa diện đều. Đó là: Loại Teân goïi Soá ñænh Soá caïnh Soá maët {3; 3} Tứ diện đều 4 6 4 {4; 3} Laäp phöông 8 12 6 {3; 4} Bát diện đều 6 12 8 {5; 3} Mười hai mặt đều 20 30 12 {3; 5} Hai mươi mặt đều 12 30 20.  Ghi chuù: .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................................................... 394.

(395) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12. .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Chứng minh rằng tâm của các mặt của hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều. Bài 2: Cho hình bát diện đều ABCDEF. Chứng minh rằng: a) Các đoạn thẳng AF, BD và CE đôi một vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. b) ABFD, AEFC và BCDE là những hình vuông.. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. 395.

(396) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12. §3. KHAÙI NIEÄM VEÀ THEÅ TÍCH CUÛA KHOÁI ÑA DIEÄN I- KHAÙI NIEÄM VEÀ THEÅ TÍCH KHOÁI ÑA DIEÄN: Có thể đặt tương ứng cho mỗi khối đa diện (H) một số dương duy nhất V(H) thỏa mãn tính chất sau: a) Neáu (H) laø khoái laäp phöông coù caïnh baèng 1 thì V(H) = 1. b) Neáu hai khoái ña dieän (H1) vaø (H2) baèng nhau thì V( H1 )  V( H 2 ) . c) Nếu khối đa diện (H) được phân chia thành hai khối đa diện (H1) và (H2) thì V( H )  V( H1 )  V( H 2 ) . Số dương V(H) nói trên được gọi là thể tích khối đa diện (H) hay thể tích của hình đa diện giới hạn khối đa dieän (H). Khối lập phương có cạnh bằng 1 được gọi là khối lập phương đơn vị. II- THỂ TÍCH KHỐI HỘP CHỮ NHẬT VAØ LĂNG TRỤ: 1. Thể tích khối hộp chữ nhật: Thể tích khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước của nó. c Hình hộp chữ nhật có ba kích thước là a, b, c thì theå tích cuûa noù laø: b. V = abc a. 2. Theå tích khoái laêng truï: A'. Theå tích khoái laêng truï coù dieän tích ña giác đáy Sđ và chiều cao h là:. B'. C'. D'. h. A. V = Sñ x h. B'. A'. C' h. SABC. B. A. H C VABC.A'B'C' = SABC x h. D. B. SABCD. VABCD.A'B'C'D' = SABCD x h. III- THEÅ TÍCH KHOÁI CHOÙP: S. Thể tích khối chóp có diện tích đáy Sđ vaø chieàu cao h laø: h. V=. 1 Sñ x h 3. A. B. SABCD D. C 1 VS.ABCD = SABCD x h 3.  Trình bày bài giải bài toán tính thể tích:  Veõ hình, xaùc ñònh caùc giaû thieát;  Xác định, chứng minh đường cao và tính chiều cao tương ứng;  Xác định và tính diện tích mặt đáy;  Áp dụng công thức thể tích, tính thể tích khối đa diện tương ứng.. 396. C.

(397) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12. Ví dụ 1: Cho hình chóp đều S.ABCD có mặt đáy là hình vuông cạnh a. Góc giữa mặt bên và mặt đáy là 60 . Tính theå tích khoái choùp S.ABCD. Giaûi: 0. ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... Ví dụ 2: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, hình chiếu của đỉnh A' lên mặt đáy (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC và góc giữa A'A với mp(ABC) bằng 600. Tính thể tích khối laêng truï.. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... 397.

(398) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12. Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có mặt đáy là tam giác ABC vuông tại B, cạnh BC = a, SA = a 2 và vuông góc mặt đáy. Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là 450. a) Tính theå tích khoái choùp S.ABC. b) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC). Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... IV- CÔNG THỨC TỈ SỐ THỂ TÍCH ĐỐI VỚI HÌNH CHÓP TAM GIÁC: Cho hình chóp S.ABC. Trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A', B', C' khác với S. Ta có tỉ số thể tích:. S. C'. VS.A' B'C' SA' SB' SC '  . . VS.ABC SA SB SC * Ñaëc bieät: Neáu A'  A ta coù:. A'. VS.A' B'C' SB' SC '  . VS.ABC SB SC. B' C. A. B. 398.

(399) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12. Ví dụ: Cho hình chóp đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy là 60 . Đường thẳng qua trọng tâm G tam giác ABC và song song cạnh BC cắt hai cạnh AB, AC lần lượt tại M, N. Tính tỉ số thể tích của hai khối tứ diện SAMN và SABC; từ đó suy ra thể tích khối chóp S.MNCB. Giaûi: 0. ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... 399.

(400) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12.  Ghi chuù: .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc SAC bằng 450. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Bài 2: Cho khối hộp MNPQ.M'N'P'Q' có thể tích V. Tính thể tích của khối tứ diện P'MNP theo V. 1 Bài 3: Trên cạnh PQ của tứ diện MNPQ lấy điểm I sao cho PI  PQ . Cho biết tỉ số thể tích của hai khối tứ 3 dieän MNIQ vaø MNIP. Bài 4: Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a. Bài 5: Tính thể tích khối bát diện đều cạnh a.. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. 400.

(401) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12. * OÂN TAÄP CHÖÔNG I * ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN. 401.

(402) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12. Bài 1: Cho hình lăng trụ và hình chóp có diện tích đáy và chiều cao bằng nhau. Tính tỉ số thể tích của chúng. Bài 2: Cho hình tứ diện OABC có OA, OB, OC vuông góc với nhau từng đôi một và OA = OB = OC = a. Tính thể tích khối tứ diện OABC. Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc mặt đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ A đến mp(SBC) trong các trường hợp sau: a) Tam giaùc ABC vuoâng taïi B vaø AC = 5a, BC = 3a vaø SA = a. b) Tam giác ABC đều cạnh a và góc giữa mp(SBC) và mp(ABC) là 600. c) Tam giác ABC vuông tại C, AB = 5a, BC = 3a và góc giữa cạnh SC và mp(ABC) là 450. Bài 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy 2a. Tính thể tích khối chóp S.ABC và tính khoảng cách từ A đến mp(SBC) trong các trường hợp sau: a) Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600. b) Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600. c) Goùc ASB = 600. Baøi 5: Cho khoái choùp S.ABC coù hai maët phaúng (SAB)  (ABC), goïi H laø trung ñieåm AB. Tính theå tích khoái chóp S.ABC và khoảng cách từ H đến mp(SAC) trong các trường hợp sau: a) Tam giác ABC và SAB là hai tam giác đều cạnh a 3 . b) Tam giaùc ABC vuoâng taïi C coù AC = a 2 , BC = a vaø SAB vuoâng caân taïi S. c) Tam giác SAB đều cạnh 3a, tam giác ABC cân tại C và góc giữa cạnh SC với mặt đáy là 450. Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC vuông cân tại A, mặt bên BB'C'C là hình vuông có diện tích baèng 2a2. Tính theå tích cuûa khoái laêng truï. Bài 7: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên bằng a 3 và hình chiếu vuông góc với A' lên (ABC) trùng với trung điểm cạnh BC. Tính thể tích khối lăng trụ. Bài 8: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các cạnh bên tạo với đáy một góc 600. Đỉnh A' cách đều các đỉnh ABCD. Tính thể tích khối hộp. Bài 9: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh 2a, cạnh bên bằng a 3 và hình chiếu vuông góc của A' lên (ABC) trùng với trung điểm AG với G là trọng tâm tam giác ABC. Tính thể tích khối lăng trụ. Bài 10: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính tỉ số thể tích giữa các khối tứ diện AMND và ABCD, từ đó suy ra thể tích hai khối đa diện AMND, DMNCB trong các trường hợp sau: a) M, N lần lượt là trung điểm BC, BD. b) M là trung điểm AB, N nằm giữa A và C sao cho NA = 2NC. Bài 11: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi G là trọng tâm tam giaùc ABC vaø H laø trung ñieåm caïnh AB. a) Tính thể tích khối chóp S.ABC và thể tích khối tứ diện SAGB. b) Tính khoảng cách từ C và G đến mp(SAB). c) Tính tæ soá theå tích cuûa hai khoái ña dieän SAHC vaø SHCB. Bài 12: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy một góc 600. Tính thể tích của khối chóp đó. Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy và AB = a, AD = b, SA = c. Lấy các điểm B', D' theo thứ tự thuộc SB, SD sao cho AB' vuông góc với SB, AD' vuông góc với SD. Maët phaúng (AB'D') caét SC taïi C'. Tính theå tích khoái choùp S.AB'C'D'. Bài 14: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một góc 600. Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F. Tính thể tích khoái choùp S.AEMF. Bài 15: Cho hình lăng trụ tam giác đứng ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh đều bằng a. a) Tính thể tích khối tứ diện A'BB'C.. 402.

(403) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12. b) Mặt phẳng đi qua A'B' và trọng tâm tam giác ABC, cắt AC và BC lần lượt tại E và F. Tính thể tích hình choùp C.A'B'FE. Bài 16: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BB' và DD'. Mặt phẳng (CEF) chia khối hộp trên làm hai khối đa diện. Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện đó. Baøi 17: Cho hình laäp phöông ABCD.A'B'C'D' caïnh a. Goïi M laø trung ñieåm cuûa A'B', N laø trung ñieåm cuûa BC. a) Tính thể tích khối tứ diện ADMN. b) Mặt phẳng (DMN) chia khối lập phương đã cho thành hai khối đa diện. Gọi (H) là khối đa diện chứa đỉnh A, (H') là khối đa diện còn lại. Tính tỉ số giữa V(H) và V(H').. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 403.

(404) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12. CHÖÔNG II. MAËT NOÙN, MAËT TRUÏ, MAËT CAÀU ----- oOo -----.  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: 1. Đường tròn: A.  Tất cả các điểm A nhìn đoạn thẳng BC dưới một góc vuông đều nằm trên đường tròn đường kính BC. B.  Đường tròn (C) bán kính r có: Chu vi: C = 2r. Dieän tích: S = r2.. C. O. 3. Dieän tích xung quanh vaø theå 4. Dieän tích xung quanh vaø theå 5. Dieän tích maët caàu vaø theå tích tích cuûa hình truï: tích hình noùn: hình caàu: r M. h. h. l. r O. r. r. Hình nón có bán kính đường Hình trụ có bán kính đường Maët caàu baùn kính r coù dieän tròn đáy r và chiều cao h có diện tròn đáy r, độ dài đường sinh l và tích vaø theå tích hình caàu töông tích và thể tích được tính theo chiều cao h có diện tích và thể ứng được tính theo công thức: tích được tính theo công thức: công thức: S = 4r2 Sxq = rl Sxq = 2rh 4 1 V = r3 V = r2h V = r 2 h 3 3 6. Diện tích toàn phần:  Diện tích toàn phần của một hình đa diện là tổng diện tích của tất cả các mặt đa diện đó.  Diện tích toàn phần của hình trụ là tổng diện tích xung quanh và diện tích hai đáy.  Diện tích toàn phần của hình nón là tổng diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy.  Ghi chuù: .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... 404.

(405) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12. §1. KHAÙI NIEÄM VEÀ MAËT TROØN XOAY I- SỰ TẠO THAØNH MẶT TRÒN XOAY: Trong không gian cho mp(P) chứa đường thẳng  và đường cong l. Khi quay mp(P) quanh  moät goùc 3600 thì mỗi điểm M trên l vạch ra một đường troøn coù taâm thuoäc  vaø naèm treân maët phẳng vuông góc với . Như vậy khi quay mặt phẳng (P) quanh đường thẳng  thì đường l sẽ tạo nên một hình được goïi laø maët troøn xoay..  Đường l được gọi là đường sinh cuûa maët troøn xoay.  Đường thẳng  được gọi là trục cuûa maët troøn xoay.. II- MAËT NOÙN TROØN XOAY: 1. Ñònh nghóa: Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng d và  cắt nhau và tạo thành một góc  với 00 <  < 900. Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh  thì đường thẳng d sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt nón tròn xoay ñænh O, goïi taét laø maët noùn.  Đường thẳng  gọi là trục.. O. .  Đường thẳng d gọi là đường sinh.  Góc 2 gọi là góc ở đỉnh của mặt nón. d. 2. Hình noùn troøn xoay vaø khoái noùn troøn xoay: a) Cho tam giác OIM vuông tại I. Khi quay tam giác đó xung quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình được gọi là hình nón tròn xoay, gọi tắt là hình nón.  Hình tròn tâm I sinh bởi các điểm thuộc cạnh IM khi IM quay quanh trục OI được gọi là mặt đáy cuûa hình noùn.  Ñieåm O goïi laø ñænh cuûa hình noùn.  Độ dài đoạn OI gọi là chiều cao của hình nón (OI = khoảng cách từ O đến mặt đáy).  Độ dài đoạn OM gọi là độ dài đường sinh của hình nón.  Phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm trên cạnh OM khi quay quanh trục OI gọi là mặt xung quanh của hình nón đó.. 405.

(406) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12. b) Khối nón tròn xoay hay khối nón là phần không gian được giới hạn bởi một hình nón tròn xoay kể cả hình nón đó. Những điểm không thuộc khối nón gọi là những điểm ngoài của khối nón. Những điểm thuộc khối nón nhưng không thuộc hình nón tương ứng gọi là những điểm trong của khối nón. Đỉnh, mặt đáy, đường sinh của một hình nón cũng là đỉnh, mặt đáy, đường sinh của khối nón tương ứng. c) Dieän tích xung quanh cuûa hình noùn vaø theå tích khoái noùn: Goïi Sñ, Sxq, V lần lượt là diện tích hình tròn đáy, diện tích xung quanh và thể tích của hình noùn coù:  Chieàu cao: h  Bán kính hình tròn đáy: r  Độ dài đường sinh: l. O. h l. Sxq = rl 1 1 V = Sñ x h = r 2 h 3 3. I r M. Ví duï: Trong khoâng gian cho tam giaùc vuoâng OIM vuoâng taïi I, goùc IOM baèng 300 vaø caïnh IM = a. Khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình nón tròn xoay. a) Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay đó. b) Tính thể tích khối nón tròn xoay được tạo bởi hình nón tròn xoay nói trên. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... III- MAËT TRUÏ TROØN XOAY: 1. Ñònh nghóa: Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng  và l song song với nhau, cách nhau một khoảng bằng r. Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh  thì đường thẳng l sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ troøn xoay, goïi taét laø maët truï.. r. l.  Đường thẳng  gọi là trục.  Đường thẳng l là đường sinh.. r.  r là bán kính của mặt trụ đó. . 406.

(407) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12. 2. Hình truï troøn xoay vaø khoái truï troøn xoay: a) Ta xét hình chữ nhật ABCD. Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa một cạnh nào đó, chẳng hạn cạnh AB thì đường gấp khúc ADCB sẽ tạo thành một hình gọi là hình trụ tròn xoay, hay goïi taét laø hình truï.  Khi quay quanh AB, hai cạnh AD và BC sẽ vạch ra hai hình tròn bằng nhau gọi là hai đáy của hình truï, baùn kính cuûa chuùng goïi laø baùn kính cuûa hình truï.  Độ dài đoạn CD gọi là độ dài đường sinh của hình trụ.  Phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm trên cạnh CD khi quay xung quanh AB gọi là mặt xung quanh cuûa hình truï.  Khoảng cách AB giữa hai mặt phẳng song song chứa hai đáy là chiều cao của hình trụ. b) Khối trụ tròn xoay hay khối trụ là phần không gian được giới hạn bởi một hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ tròn xoay đó. Những điểm không thuộc khối trụ gọi là những điểm ngoài của khối trụ. Những điểm A thuộc khối trụ nhưng không thuộc hình trụ tương ứng gọi là những điểm r D trong của khối trụ. Mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính của một hình trụ cũng là mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính của khối trụ tương ứng. h c) Dieän tích xung quanh cuûa hình truï vaø theå tích cuûa khoái truï: Goïi Sñ, l Sxq, V lần lượt là diện tích hình tròn đáy, diện tích xung quanh và thể tích cuûa hình truï coù:  Chieàu cao: h  Baùn kính: r  Độ dài đường sinh: l. Sxq = 2rl V = Sñ x h = r2h. B. r C. . Ví dụ: Trong không gian, cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi I và H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Khi quay hình vuông đó xung quanh trục IH ta được một hình trụ tròn xoay. a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay đó. b) Tính thể tích của khối trụ tròn xoay được giới hạn bởi hình trụ nói trên. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ......................................................................................................................  Ghi chuù:. 407.

(408) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12. .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Trong mỗi trường hợp sau đây, hãy gọi tên các hình tròn xoay hoặc khối tròn xoay sinh ra bởi: a) Ba cạnh của hình chữ nhật khi quay quanh đường thẳng chứa cạnh thứ tư. b) Ba cạnh của một tam giác cân khi quanh quanh trục đối xứng của nó. c) Một tam giác vuông kể cả các điểm trong của tam giác vuông đó khi quay quanh đường thẳng chứa một caïnh goùc vuoâng. d) Một hình chữ nhật kể cả các điểm trong của hình chữ nhật đó khi quay quanh đường thẳng chứa một caïnh. Bài 2: Cho một hình nón có đường cao bằng 12cm, bán kính đáy bằng 16cm. Tính diện tích xung quanh của hình nón đó. Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc SAB bằng 600. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD. Bài 4: Một mặt phẳng đi qua trục của một khối trụ cắt khối trụ đó theo một hình vuông cạnh a. Tính theo a diện tích xung quanh và thể tích của khối trụ đó. Bài 5: Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác đều cạnh 2a. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón đó. Bài 6: Một khối trụ có chiều cao bằng 12 và bán kính đáy bằng 5. Một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng là 3 cắt khối trụ theo thiết diện là hình gì? Cho biết diện tích của thiết diện đó. Bài 7: Cho khối nón có chiều cao là 12, bán kính đáy là 5. Một mặt phẳng đi qua đỉnh của khối nón và hai đường sinh cắt đáy theo dây cung có độ dài là 13 2 . Cho biết độ dài các cạnh và diện tích thiết diện tạo thaønh. Bài 8: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và có khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm. a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ được tạo nên. b) Cắt khối trụ bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục 3cm. Hãy tính diện tích của thiết diện được taïo neân. Baøi 9: Moät hình truï coù baùn kính r vaø chieàu cao h = r 3 . a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.. 408.

(409) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12. b) Tính thể tích khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho. c) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng 300. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ. Bài 10: Cho hình nón tròn xoay có đường cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm. a) Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho. b) Tính thể tích của khối nón được tạo thành bởi hình nón đó. c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12cm. Tính diện tích của thiết diện đó. Bài 11: Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O; r) và (O'; r). Khoảng cách giữa hai đáy là OO' = r 3 . Một hình nón đỉnh là O' và có đáy là hình tròn (O; r). a) Goïi S1 laø dieän tích xung quanh cuûa hình truï vaø S2 laø dieän tích xung quanh cuûa hình noùn, haõy tính tæ soá giữa S1 và S2. b) Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành hai phần, hãy tính tỉ số thể tích hai phần đó. Bài 12: Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a 2. a) Tính diện tích xung quanh, diện tích đáy và thể tích của khối nón tương ứng. b) Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy moät goùc 600. Tính dieän tích tam giaùc SBC. Baøi 13: Moät hình truï coù baùn kính r vaø coù chieàu cao cuõng baèng r. Moät hình vuoâng ABCD coù hai caïnh AB vaø CD lần lượt là các dây cung của hai đường tròn đáy, còn cạnh BC và AD không phải là đường sinh của hình trụ. Tính diện tích của hình vuông đó và côsin của góc giữa mặt phẳng chứa hình vuông và mặt phẳng đáy. Bài 14: Cho một mặt phẳng (P) và đường thẳng d đi qua một điểm cố định và tạo với (P) một góc  không đổi (với 00 <  < 900). Chứng minh rằng d luôn thuộc mặt nón cố định. Bài 15: Cho mặt phẳng (P) và một đường tròn tâm O trên đó. Điểm M di động trên (O). Đường thẳng d đi qua M và vuông góc với mp(P). Chứng minh rằng đường thẳng d luôn thuộc một mặt trụ cố định. Bài 16: Trong không gian cho hai điểm A, B cố định và có độ dài AB = 20cm. Gọi d là một đường thẳng thay đổi luôn luôn đi qua A và cách B một khoảng bằng 10cm. Chứng tỏ rằng đường thẳng d luôn luôn nằm trên một mặt nón, hãy xác định trục và góc ở đỉnh của mặt nón đó. Bài 17: Cho đường tròn tâm O bán kính r nằm trên mp(P). Từ những điểm M thuộc đường tròn này ta kẻ những đường thẳng vuông góc với (P). Chứng minh rằng những đường thẳng như vậy nằm trên một mặt trụ tròn xoay. Hãy xác định trục và bán kính của mặt trụ đó. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. 409.

(410) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12. §2. MAËT CAÀU I- MẶT CẦU VAØ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN ĐẾN MẶT CẦU: 1. Maët caàu: Tập hợp những điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng không đổi bằng r (r > 0) được gọi là mặt cầu tâm O bán kính r.  Mặt cầu tâm O, bán kính r được kí hiệu: S(O; r) hay vieát taét laø (S).  Ta coù:. M. r O. S(O; r) = {M  OM = r} Hình bieåu dieãn cuûa maët caàu daây cung.  Neáu hai ñieåm CD naèm treân maët caàu S(O; r) thì đoạn thẳng CD được gọi là dây cung của mặt cầu đó.. C.  Dây cung AB đi qua tâm O được gọi là một đường kính của mặt cầu. Khi đó độ dài đường kính baèng 2r.. r. D B. O. A. đườ ng kính. 2. Điểm nằm trong và nằm ngoài mặt cầu: Cho maët caàu S(O; r) vaø moät ñieåm A baát kì trong khoâng gian.. điểm nằm ngoài ñieåm naèm trong.  Neáu OA = r thì ta noùi ñieåm A naèm treân maët caàu S(O; r)  Neáu OA < r thì ta noùi ñieåm A naèm trong maët caàu S(O; r)  Nếu OA > r thì ta nói điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; r). B. C. O A. Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O; r) cùng với các điểm nằm trong mặt cầu đó được gọi là khối cầu hoặc hình cầu tâm O bán kính r. ñieåm naèm treân. 3. Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu: vó tuyeán. Ta coù theå xem maët caàu laø moät maët troøn xoay taïo nên bởi nửa đường tròn quay quanh trục chứa đường kính của nửa đường tròn đó.  Giao tuyến của mặt cầu với nửa mặt phẳng có bờ là trục của mặt cầu được gọi là kinh tuyến.  Giao tuyến (nếu có) của mặt cầu với các mặt phẳng vuông góc với trục được gọi là vĩ tuyến của maët caàu.  Hai giao điểm của mặt cầu với trục được gọi là hai cực của mặt cầu. 410. A. O. kinh tuyeán. B.

(411) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12. II – GIAO CUÛA MAËT CAÀU VAØ MAËT PHAÚNG: Cho maët caàu (S) taâm O, baùn kính r vaø maët phaúng (P). Ta coù: Maët caàu (S) vaø mp(P) khoâng coù ñieåm chung Maët caàu (S) vaø mp(P) coù 1 ñieåm chung (mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S)). O O. r. r. H P. H P. (P)S(O; r) =   d(O, (P)) > r Maët phaúng (P) caét maët caàu (S) theo giao tuyeán laø đường tròn (C) tâm H, bán kính r'. (P) S(O; r) = {H}  d(O, (P)) = r Khi đó: (P) gọi là tiếp diện của mặt cầu (S), H gọi tieáp ñieåm Maët phaúng (P) ñi qua taâm O cuûa maët caàu đường tròn lớn. O. O r. r. C(O; r). P M. r'. H. P. (P) S(O; r) = C(H, r')  d(O, (P)) < r  Taâm H laø hình chieáu cuûa O treân mp(P)  Baùn kính r' =. Khi đó giao tuyến của mp(P) và S(O; r) là đường tròn C(O; r) gọi là đường tròn lớn.. r 2  [d (O, ( P))]2. III – GIAO CỦA MẶT CẦU VỚI ĐƯỜNG THẲNG, TIẾP TUYẾN CỦA MẶT CẦU: Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính r và đường thẳng . Ta có: Đường thẳng  cắt mặt cầu (S) tại 2 điểm Đường thẳng  không cắt mặt cầu (S). . O. O. r. . H. P. H. N. M. P.   S(O; r) =   d(O, )) > r.   S(O; r) = {M; N}  d(O, )) < r Đường thẳng  tiếp xúc mặt cầu (S) tại H. O r H.  P. Khi đó:  gọi là tiếp tuyến của mặt cầu (S), H gọi là tiếp điểm.. 411.

(412) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12. * Nhaän xeùt: A. A. O. O. Qua moät ñieåm A naèm treân maët caàu S(O; r) coù voâ Qua một điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; r) có số tiếp tuyến của mặt cầu. Tất cả các tiếp tuyến vô số tiếp tuyến với mặt cầu. Các tiếp tuyến này này đều vuông góc với bán kính OA của mặt cầu tạo thành mặt nón đỉnh A. Khi đó độ dài các đoạn tại A và đều nằm trên tiếp diện của mặt cầu tại A. thẳng kẻ từ A đến các tiếp điểm đều bằng nhau. * Mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình đa diện: Maët caàu noäi tieáp hình ña dieän neáu maët Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu tất cả các đỉnh của cầu đó tiếp xúc với tất cả các mặt của hình đa diện đều nằm trên mặt cầu. Còn nói hình đa diện hình đa diện. Còn nói hình đa diện ngoại nội tiếp mặt cầu. S tieáp maët caàu.. O. A. B D. C. Mặt cầu tâm O bán kính r ngoại tiếp hình chóp S.ABCD khi vaø chæ khi OA = OB = OC = OD = OS = r Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA vuông góc mặt đáy. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC biết AB = BC = a và SA = a 2 . Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... 412.

(413) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12. Ví dụ 2: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc SAC bằng 600. Xác định tâm và tính bán kính maët caàu ñi qua caùc ñænh cuûa hình choùp. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... Ví dụ 3: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC vuông góc nhau từng đôi một, OA = OB = OC = a. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... 413.

(414) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12. IV- CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH MẶT CẦU VAØ THỂ TÍCH KHỐI CẦU: Cho maët caàu (S) coù baùn kính r, ta coù:  Dieän tích maët caàu: S = 4r2 4  Theå tích khoái caàu: V = r3 3 * Chuù yù:  Diện tích S của mặt cầu bán kính r bằng bốn lần diện tích hình tròn lớn của mặt cầu đó.  Thể tích V của khối cầu bán kính r bằng thể tích khối chóp có diện tích đáy bằng diện tích mặt cầu và có chiều cao bằng bán kính của khối cầu đó.  Ghi chuù: .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... 414.

(415) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Cho hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính diện tích của mặt cầu đi qua 6 đỉnh cuûa hình laêng truï. Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó. Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có bốn đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó. Baøi 4: Cho hình choùp tam giaùc S.ABC coù SA  (ABC), tam giaùc ABC vuoâng taïi B, caïnh AC = 5a, AB = 3a vaø SA = a. a) Tính thể tích khối chóp, từ đó suy ra khoảng cách từ A đến mp(SBC). b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Bài 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AA' = a, BB' = b, CC' = c. a) Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp đó. b) Tính bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng (ABCD) với mặt cầu trên. Bài 6: Từ một điểm M nằm ngoài mặt cầu S(O; r) kẻ hai đường thẳng cắt mặt cầu lần lượt tại A, B và C, D. a) Chứng minh rằng MA.MB = MC.MD. b) Goïi MO = d. Tính MA.MB theo r vaø d. Bài 7: Cho mặt cầu S(O; r) tiếp xúc với mp(P) tại I. Gọi M là một điểm nằm trên mặt cầu nhưng không phải là điểm đối xứng với I qua tâm O. Từ M ta kẻ hai tiếp tuyến của mặt cầu cắt (P) tại A và B. Chứng minh rằng goùc AMB baèng goùc AIB. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. 415.

(416) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12. * OÂN TAÄP CHÖÔNG II * ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... 416.

(417) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và cạnh BD vuông góc với cạnh BC. Biết AB = AD = a, tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón được tạo thành khi quay đường gấp khuùc BDA quanh caïnh AB. Bài 2: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh A xuống mặt phẳng (BCD). a) Chứng minh H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Tính độ dài đoạn AH. b) Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối trụ có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác BCD và chiều cao AH. Bài 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Từ tâm O của hình vuông dựng đường thẳng  vuông góc với mặt a phẳng (ABCD). Trên  lấy điểm S sao cho OS = . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 2 S.ABCD. Tính diện tích của mặt cầu và thể tích của khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó. Bài 4: Cho hình trụ có bán kính đáy r, trục OO' = 2r và mặt cầu đường kính OO'. a) Hãy so sánh diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ đó. b) Hãy so sánh thể tích khối trụ và thể tích khối cầu được tạo nên bởi hình trụ và mặt cầu đã cho. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. 417.

(418) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12. CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ----- oOo -----.  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: 1. Ñieàu kieän hai vectô cuøng phöông:     Hai vectơ u , v cùng phương với nhau khi và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho u  kv . 2. Ba vectơ đồng phẳng:.  Định nghĩa: Trong không gian ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với mặt phẳng.    Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Trong không gian cho hai vectơ a , b không cùng phương và        vectơ c . Khi đó ba vectơ a, b , c đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n sao cho c  ma  nb . Ngoài ra cặp soá m, n laø caëp duy nhaát. 3. Tích vô hướng của hai vectơ:     Trong không gian, cho hai vectơ u và v đều khác vectơ - không. Tích vô hướng của hai vectơ u và v là       một số, kí hiệu là u .v , được xác định bởi công thức: u .v  u . v . cos(u , v )    * Chuù yù: u  v  u .v . 4. Vectơ chỉ phương của đường thẳng:  Vectơ a khác vectơ - không được gọi là vectơ chỉ phương của đường  thẳng d nếu giá của vectơ a song song hoặc trùng với đường thẳng d. d * Nhaän xeùt:   a  Nếu a là một vectơ chỉ phương của d thì vectơ ka với k ≠ 0 cũng laø vectô chæ phöông cuûa d.  Một đường thẳng d trong không gian hoàn toàn được xác định  neáu bieát moät ñieåm A thuoäc d vaø moät vectô chæ phöông a cuûa noù.  Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi chúng là hai đường thẳng phân biệt và có hai vectơ chỉ phương cùng phương.  Ghi chuù: .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................................................... 418.

(419) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12. §1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1- TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VAØ CỦA VECTƠ: 1. Hệ tọa độ: Trong khoâng gian, cho ba truïc x'Ox, y'Oy, z'Oz    vuông góc nhau từng đôi một. Gọi i , j , k có    i 2  j 2  k 2  1 lần lượt là các vectơ đơn vị trên caùc truïc x'Ox, y'Oy, z'Oz. Heä ba truïc nhö vaäy goïi là hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxyz hay đơn giản là hệ tọa độ Oxyz. Trong đó:  Điểm O gọi là gốc tọa độ.  Caùc maët phaúng: (Oxy), (Oyz), (Oxz) ñoâi một vuông góc nhau gọi là các mặt phẳng tọa độ.       i . j  j .k  k .i  0. z. j. y. i O. k. x. 2. Tọa độ của một điểm và tọa độ của một vectơ: z.  Trong heä truïc Oxyz, cho ñieåm M.    OM  x i  yj  xk. z. Bộ ba số (x; y; z) được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ trục Oxyz. Kí hiệu: M(x; y; z) hoặc M = (x; y; z). M(x; y; z). k. O. y. j. y. i.   Trong heä truï Oxyz, cho a .     a  a1i  a2 j  a3 k. Bộ ba số (a1; a2; a3) được gọi là tọa độ của  vectơ a đối với hệ trục Oxyz.   Kí hiệu: a = (x; y; z) hoặc a (x; y; z). x M' x. II- BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ: Ñònh lí:   Trong khoâng gian Oxyz cho hai vectô a  (a1 ; a2 ; a3 ) , b  (b1; b2 ; b3 ) . Ta coù:    a  b  (a1  b1 ; a2  b2 ; a3  b3 ) ,    a  b  (a1  b1; a2  b2 ; a3  b3 ) ,   ka  (ka1 ; ka2 ; ka3 ) , k  R.        Ví dụ: Cho a  (1;3;2) , b  (0;1;3) , c  (1;2;2) . Tính tọa độ của vectơ d  a  2b  c . Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... 419.

(420) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12. Heä quaû:  a1  b1      a) Cho hai vectô a  (a1 ; a2 ; a3 ) , b  (b1 ; b2 ; b3 ) . Ta coù: a  b  a2  b2 . a  b 3  3  b) Vectô 0  (0;0;0) , O(0; 0; 0).     c) Với b  0 thì hai vectơ a, b cùng phương  k  R sao cho a1 = kb1, a2 = kb2, a3 = kb3. d) Trong khoâng gian Oxyz, neáu cho hai ñieåm A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB) thì:  AB  ( x B  x A ; y B  y A ; zB  z A ) . x  x B y A  y B z A  zB ; ;  Tọa độ trung điểm M của AB là M( A ). 2 2 2 Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, ba điểm M(1; 1; 1), N(-4; 3; 1), P(-9; 5; 1). Chứng minh ba điểm M, N, P thaúng haøng. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... Ví duï 2: Trong khoâng gian Oxyz, cho ba ñieåm A(3; 4; -1), B(2; 0; 3), C(-3; 5; 4). a) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. b) Tìm ñieåm D sao cho ABCD laø hình bình haønh. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ......................................................................................................................    Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ a  (2; 3; 4) , b  (5; 7; 0) , c  (3;  2; 4) không đồng phẳng.  Haõy phaân tích d  (4; 12;  3) theo 3 vectô treân. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... 420.

(421) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12. III- TÍCH VÔ HƯỚNG: 1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng:.   Định lí: Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ a  (a1 ; a2 ; a3 ) và b  (b1; b2 ; b3 ) được xác  định bởi công thức a.b  a1 .b1  a2 .b2  a3 .b3 .   Ví dụ: Tính tích vô hướng của hai vectơ a = (1; -5; 2), b = (4; 3; -5). Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... 2. Ứng dụng:.   a) Độ dài vectơ: Trong không gian Oxyz, cho vectơ a  (a1 ; a2 ; a3 ) ta có: a  a12  a22  a32 . b) Khoảng cách giữa hai điểm: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB) AB = AB  ( x B  x A )2  ( yB  y A )2  ( zB  x A )2   c) Góc giữa hai vectơ: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a  (a1 ; a2 ; a3 ) , b  (b1 ; b2 ; b3 ) . Gọi  là   a1 b1  a2 b2  a3 b3   góc giữa hai vectơ a, b . Ta có: cos = cos( a, b )  . 2 a1  a22  a32 . b12  b22  b32    * Chuù yù: a  b  a.b  0  a1b1  a2 b2  a3b3  0 Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A(3; 4; -1), B(2; 0; 3), C(-3; 5; 4). a) Tìm độ dài các cạnh của ABC. b) Tính cosin cuûa goùc BAC trong ABC. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... IV- PHÖÔNG TRÌNH MAËT CAÀU: Ñònh lí: Trong khoâng gian Oxyz, maët caàu (S) taâm I(a; b; c) baùn kính r coù phöông trình laø: (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = r2 * Nhaän xeùt: Phöông trình daïng x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 laø phöông trình maët caàu khi thoûa A2 + B2 + C2 - D > 0, lúc đó mặt cầu có tâm I(-A; -B; -C) và bán kính r =. 421. A2  B2  C 2  D ..

(422) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12. Ví duï 1: Phöông trình x2 + y2 + z2 + 4x - 2y + 6z + 5 = 0 coù phaûi laø phöông trình cuûa moät maët caàu khoâng? Tìm tâm và bán kính mặt cầu đó nếu phải. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... Ví dụ 2: Lập phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau: a) Taâm I(2; 1; 3) vaø baùn kính r = 5. b) Qua A(1; 2; 4) vaø coù taâm laø B(1; 3; 1). c) Có đường kính AB với A(1; 2; -1), B(3; 2; 1). c) Qua 4 ñieåm A(3; 2; 6), B(3; 1; 0), C(0; 7; 3), D(2; 1; -1). D. B B. B. I. r A. Maët caàu qua A coù taâm B. A. A. Mặt cầu có đường kính AB. Maët caàu qua 4 ñieåm A, B, C, D. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... 422.

(423) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12. ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ......................................................................................................................  Ghi chuù: .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn:    Baøi 1: Trong khoâng gian Oxyz, cho ba vectô a  (1;2;4), b  (5;2;1), c  (1;1;2)       a) Tính tọa độ của vectơ d  2a  3b  c . b) Tìm x sao cho u =(x; -1; 2) vuoâng goùc a .    Baøi 2: Cho ba vectô a  (2;5;3) , b  (0;2;1) , c  (1;7;2) .    1      a) Tính tọa độ của vectơ d  4a  b  3c . b) Tìm tọa độ e sao cho e  4b  2c  a . 3 Baøi 3: Cho ba ñieåm A(1; -1;  1), B(0; 1; 2), C(1; 0; 1). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.  Baøi 4: Cho a = (3; 0; -6), b = (2; -4; 0). 423.

(424) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12.     a) Tính a.b . b) Chứng minh rằng a  c với c = (6; 1; 3). Bài 5: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' biết A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5). Tính tọa độ các ñænh coøn laïi cuûa hình hoäp. Baøi 6: Tìm taâm vaø baùn kính cuûa caùc maët caàu coù phöông trình sau ñaây: a x2 + y2 + z2 - 8x + 2y + 1 = ; b x2 + y2 + z2 + 4x + 8y - 2z - 4 = ; c) x2 + y2 + z2 - 2z - 8 = 0; d) 3x2 + 3y2 + 3z2 - 6x + 8y + 15z - 3 = 0. Bài 7: Viết phương trình mặt cầu (S) trong mỗi trường hợp sau: a) Taâm I(5; -3; 7) vaø coù baùn kính r = 2. b) Có đường kính AB với A(4; -3; 7), B(2; 1; 3). c) Ñi qua ñieåm A(5; -2; 1) vaø coù taâm C(3; -3; 1). d Ñi qua boán ñieåm O, A(2; 2; 3, B(1; 2; -4, C(1; -3; -1. 2. Baøi taäp naâng cao:  Baøi 1: Trong khoâng gian Oxyz, cho ba ñieåm P(1; -2; 3), Q(2; 0; 1), R(-1; 1; -2). Tìm moät vectô n vuoâng goùc  với PQ và n vuông góc PR .  Baøi 2: Trong khoâng gian Oxyz, cho vectô a = (1; -3; 4).   a) Tìm y0 và z0 để cho vectơ b = (2; y0; z0) cùng phương với a .      b) Tìm tọa độ của vectơ c biết rằng a và c ngược hướng và c = 2 a .             Bài 3: Trong không gian cho ba vectơ tùy ý a , b , c . Gọi u = a - 2 b , v = b - c , w  2c  3a . Chứng tỏ    rằng 3 vectơ u , v , w đồng phẳng.    Baøi 4: Trong khoâng gian Oxyz, cho ba veùctô a  (2; 3; 4) , b  (5; 7; 0) , c  (3;  2; 4) . a) Chứng tỏ 3 vectơ trên không đồng phẳng.   b) Cho d  (4; 12;  3) . Haõy phaân tích d  (4; 12;  3) theo 3 veùctô treân. Bài 5: Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(2; 3; 1), B(1; 1; -2), C(2; 1; 0), D(0; -1; 1). Chứng minh rằng A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện. Bài 6: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 0; 2), B(-2; 1; 3), C(1; 4; 0). a) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngọai tiếp I của tam giác ABC. b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. Chứng minh rằng H, G, I thẳng hàng. Baøi 7: Trong khoâng gian Oxyz, cho 2 ñieåm A(2; 2; 4), B(4; 5; 7). a) Tìm tọa độ M trên trục Ox biết tam giác ABM vuông tại M. b) Tìm tọa độ K trên trục Oz biết tam giác KAB cân tại K. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 424.

(425) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12. §2. PHÖÔNG TRÌNH MAËT PHAÚNG I- VECTÔ PHAÙP TUYEÁN CUÛA MAËT PHAÚNG:   Ñònh nghóa: Cho maët phaúng (). Neáu vectô n khaùc 0 vaø coù giaù vuoâng  góc với mặt phẳng () thì n được gọi là vectơ pháp tuyến của mp().    * Chuù yù: Neáu n laø moät vectô phaùp tuyeán cuûa mp() thì n1  kn, (k  0) cuõng laø moät vectô phaùp tuyeán cuûa mp().   Ví duï: n  (6;9;0) laø vectô phaùp tuyeán cuûa mp() thì n1 = (2; 3; 0)  1 cuõng laø moät vectô phaùp tuyeán cuûa mp() vì n1  n . 3 * Vectơ vuông góc với cả hai vectơ không cùng phương cho trước: Trong khoâng gian Oxyz, cho mp() vaø hai vectô khoâng cuøng   phương a  (a1 ; a2 ; a3 ), b  (b1 ; b2 ; b3 ) có giá song song hoặc nằm. n. . n b. trong mp().. a.   a2 a3 a3 a1 a1 a2  ; ; Khi đó:  Vectơ n =  b b b b b1 b2  2 3 3 1  a' = (a2b3 - b2a3; a3b1 - b3a1; a1b2 - b1a2) a b'      α là một vectơ vuông góc với cả hai vectơ a và b . Kí hiệu n  a  b      hoặc n  [a , b ] gọi là tích có hướng của hai vectơ a, b .     Vectô coù hướ n g n  a  b vuoâng goùc  Vectô n xaùc ñònh nhö treân laø moät vectô phaùp tuyeán   với cả hai vectơ a và b . cuûa mp(). II- PHÖÔNG TRÌNH TOÅNG QUAÙT CUÛA MAËT PHAÚNG: 1. Định nghĩa: Phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng. * Nhaän xeùt:.  Neáu maët phaúng () coù phöông trình toång quaùt laø Ax + By + Cz + D = 0 thì noù coù moät vectô phaùp  tuyeán laø n  ( A; B; C ) .  ñi qua ñieåm M 0 ( x 0 ; y0 ; z0 )  Mp():  coù phöông trình A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0  vectô phaùp tuyeán n  ( A; B; C ). Ví dụ 1: Lập phương trình mặt phẳng () trong các trường hợp sau:  a) () ñi qua M(1; -2; 2) vaø nhaän n  (2;3;1) laøm vectô phaùp tuyeán.   b) () đi qua điểm A(1; 0; 0) và song song với giá của hai vectơ a = (0; 1; 1), b = (-1; 0; 2). c) () đi qua A(2; -1; 4) vuông góc BC với B(3; 2; -1), C(0; -2; -1). d) () chứa đường thẳng AB với A(2; 1; 4), B(3; 2; 1) và vuông góc với mp(P): x + 2y + 3z - 3 = 0. e) () đi qua A(1; 0; 5) và song song với mp(Q): 2x - y + z - 17 = 0. n. C b. a. a'. . b' .   Mp() song song với giá của hai vectơ a , b. 425. B. Mp() vuông góc đường thẳng BC.

(426) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12 P. nQ nP. Q. B. . A.  nP. Mp() song song mp(Q). Mp() chứ AB và vuông góc mp(P) Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... 426.

(427) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12. ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... Ví duï 2: Trong khoâng gian Oxyz, cho ba ñieåm A(2; -1; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3). Laäp phöông trình maët phaúng (ABC). Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... 2. Các trường hợp riêng: a) Mặt phẳng qua gốc tọa độ có dạng: Ax + By + Cz = 0. b) Mặt phẳng song song hoặc chứa Ox có dạng: By + Cz + D = 0. Mặt phẳng song song hoặc chứa Oy có dạng: Ax + Cz + D = 0. Mặt phẳng song song hoặc chứa Oz có dạng: Ax + By + D = 0. c) Mặt phẳng song song hoặc trùng với mp(Oxy) có dạng: Cz + D = 0. Mặt phẳng song song hoặc trùng với mp(Oxz) có dạng: By + D = 0. Mặt phẳng song song hoặc trùng với mp(Oyz) có dạng: Ax + D = 0. d) Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: Cho ba ñieåm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) naèm treân các trục tọa độ. x y z Phöông trình maët phaúng (ABC) laø:    1 a b c Ví duï: Trong khoâng gian Oxyz cho ba ñieåm P(0; 1; 0), Q( 2; 0; 0), R(0; 0; 3). Haõy vieát phöông trình mp(PQR). Giaûi:. z. C(0; 0; c). y. O. ....................................................................................................... ....................................................................................................... A(a; 0; 0). ....................................................................................................... ........................................................................................................ x. III- ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI MẶT PHẲNG SONG SONG, VUÔNG GÓC: Trong khoâng gian Oxyz cho hai maët phaúng. 427. B(0; b; 0).

(428) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12.  (1): A1x + B1y + C1x + D1 = 0 coù vectô phaùp tuyeán n1  ( A1; B1; C1 ) ;  (2): A2x + B2y + C2x + D2 = 0 coù vectô phaùp tuyeán n2  ( A2 ; B2 ; C2 ) .. 1. Điều kiện để hai mặt phẳng song song:.    n1  kn2 ( A1; B1; C1 )  k( A2 ; B2 ; C2 ) (1 ) //( 2 )    D1  kD2  D1  kD2    n1  kn2 ( A1 ; B1; C1 )  k ( A2 ; B2 ; C2 ) (1 )  ( 2 )    D1  kD2  D1  kD2   (1) caét (2)  n1  kn2  (A1; B1; C1)  k(A2; B2; C2). n1. 1. n2. 2. Ví dụ: Xác định các giá trị của A, B để hai mặt phẳng sau đây song song với nhau: (): Ax - y + 3z + 2 = 0, (): 2x + By + 6z + 7 = 0. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... 2. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc:   (1 )  ( 2 )  n1 .n2  0  A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0 Ví duï: Laäp phöông trình cuûa maët phaúng () ñi qua ñieåm M(3; -1; -5) đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng (): 3x - 2y + 2z + 7 = 0 và (): 5x - 4y + 3z + 1 = 0.. α2. . n2. . n n. n. n1 α1 . Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... 428.

(429) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12. ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... IV- KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG: Ñònh lí: Trong khoâng gian Oxyz, cho maët phaúng () coù phöông trình Ax + By + Cz + D = 0 vaø ñieåm M0(x0; y0; z0). Khoảng cách từ điểm M0 đến mp(), kí hiệu là d(M0; ()) được tính theo công thức: Ax 0  By0  Cz0  D d ( M 0 ; ( ))  A2  B2  C 2 Ví dụ1: Tính khoảng cách từ gốc tọa độ và từ điểm M(1; -2; 13) đến mặt phẳng (): 2x - 2y - z + 3 = 0. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... Ví dụ 2: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song () và () cho bởi các phương trình sau đây: (): x + 2y + 2z + 11 = 0, (): x + 2y + 2z + 2 = 0 Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ......................................................................................................................  Ghi chuù: .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... 429.

(430) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12. .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Baøi 1: Vieát phöông trình cuûa maët phaúng:  a) Ñi qua M(1; -2; 4) vaø nhaän n  (2;3;5) laøm vectô phaùp tuyeán.   b) Đi qua điểm A(0; -1; 2) và song song với giá của hai vectơ u = (3; 2; 1), v = (-3; 0; 1). c) Ñi qua ba ñieåm A(-3; 0; 0), B(0; -2; 0), C(0; 0; -1). d) Ñi qua ba ñieåm M(-1; 2; 3), N(2; -4; 3), C(4; 5; 6). Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(2; 3; 7), B(4; 1; 3). Bài 3: Lập phương trình của các mặt phẳng đi qua điểm M(2; 6; -3) và lần lượt song song với các mặt phẳng tọa độ. Baøi 4: Laäp phöông trình cuûa maët phaúng: a) Chứa trục Ox và điểm P(4; -1; 2); b) Chứa trục Oy và điểm Q(1; 4; -3); c) Chứa trục Oz và điểm R(3; -4; 7); Bài 5: Cho tứ diện có các đỉnh là A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6). a) Haõy vieát phöông trình cuûa caùc maët phaúng (ACD) vaø (BCD); b) Hãy viết phương trình của mặt phẳng () đi qua cạnh AB và song song với cạnh CD. Bài 6: Lập phương trình mặt phẳng () đi qua hai điểm A(1; 0; 1), B(5; 2; 3) và vuông góc với mặt phẳng (): 2x - y + z - 7 = 0. Bài 7: Xác định các giá trị của m và n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây là cặp mặt phẳng song song: a) 2x + my + 3z - 5 = 0 vaø nx - 8y - 6z + 2 = 0; b) 3x - 5y + mz - 3 = 0 vaø 2x + ny - 3z + 1 = 0. Bài 8: Tính khoảng cách từ điểm A(2; 4; -3) lần lượt đến các mặt phẳng sau: a) 2x - y + 2z - 9 = 0; b) 12x - 5z + 5 = 0; c) x = 0. Bài 9: Giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ: Cho hình laäp phöông ABCD.A'B'C'D' caïnh baèng 1.. 430.

(431) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12. a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (AB'D') và (BC'D) song song với nhau. b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên. 2. Baøi taäp naâng cao: Baøi 1: Trong khoâng gian Oxyz, cho A(-1; -2; 4), B(-4; -2; 0), C(3; -2; 1), D(1; 1; 1). a) Laäp phöông trình maët phaúng (ABC). b) Chứng tỏ ABCD là tứ diện và tính độ dài đường cao hạ từ D. Baøi 2: Trong khoâng gian Oxyz, cho ñieåm A(2; 3; 4). Haõy vieát phöông trình cuûa maët phaúng () ñi qua caùc hình chiếu của điểm A trên các trục tọa độ. Bài 3: Viết phương trình của mặt phẳng () đi qua điểm M(2; -1; 2) song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng (): 2x - y + 3z + 4 = 0. Bài 4: Cho A(2; 3; 0). Viết phương trình mp(P) qua A song song với Oy và đồng thời vuông góc với mp(Q): 3x - 4y - 1 = 0. Baøi 5: Trong khoâng gian Oxyz, cho A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4) a) Lập phương trình mặt phẳng (ABC). Tính khoảng cách từ O đến (ABC) b) Viết phương trình mặt phẳng qua A, C và vuông góc với mp (): x - 2y + 3z - 2 = 0. c) Viết phương trình mặt phẳng qua giao tuyến hai mp() và (ABC) đồng thời qua điểm I(-1; 2; 3). Baøi 6: Trong khoâng gian Oxyz, cho maët phaúng (): x + y - z + 5 = 0 vaø ñieåm M(1; 0; 5). Laäp phöông trình mp(P) đối xứng với () qua M. Bài 7: Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng (): 3x - y + 4z + 2 = 0, (): 3x - y + 4z + 8 = 0. Bài 8: Lập phương trình của mặt phẳng () đi qua điểm M(1; 2; 3) và cắt 3 tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 431.

(432) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12. §3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN I- PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG: z. Định lí: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng   ñi qua ñieåm M0 (x0;y0;z0) vaø nhaän a = (a1;a2;a3) laøm vectơ chỉ phương. Điều kiện cần và đủ để điểm M(x;y;z) nằm trên  là có một số thực t sao cho:  x  x0  ta1   y  y0  ta2  z  z  ta 0 3 . Vectô chæ phöông cuûa .  v u = (a; b; c) y M(x0; y0; z0). O. x.  Định nghĩa: Phương trình tham số của đường thẳng  đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và có vectơ chỉ phương a =  x  x0  ta1  (a1;a2;a3) laø phöông trình coù daïng:  y  y0  ta2 (t  R).  z  z  ta 0 3 . * Chú ý: Nếu a1, a2, a3 đều khác 0 thì phương trình  có thể viết dưới dạng chính tắc: x  x 0 y  y 0 z  z0   a1 a2 a3 Ví dụ 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng  đi qua điểm M0(1; 0; -2) và có vectơ chỉ phương là  a  (1;3;0) . Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... Ví dụ 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng  đi qua hai điểm A, B với A(1; -2; 2), B(3; 4; 2). Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... Ví dụ 3: Hãy tìm tọa độ vectơ chỉ phương và các điểm M, N, P nằm trên đường thẳng  có phương trình  x  1  2 t  tham soá :  y  3  3t (t  R).  z  5  4t  Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... 432.

(433) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12. II– ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, CẮT NHAU, CHÉO NHAU:  x  x0'  t ' a1  x  x0  ta1   Cho hai đường thẳng d:  y  y0  ta2 và d':  y  y0'  t ' a2  y  z'  t'a  y  z  ta 0 3 0 3   1. Điều kiện để hai đường thẳng song song:  Đường thẳng d đi qua M và có vectơ chỉ phương a , đường thẳng d'  coù vectô chæ phöông a'   M a  ka '  d song song d' khi vaø chæ khi  M  d '   a  ka ' * Ñaëc bieät: d truøng d' khi vaø chæ khi  M  d '. a. d d'. a'. 2. Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau:  x0  ta1  x'0  t ' a'1  Hai đường thẳng d và d' cắt nhau khi và chỉ khi hệ phương trình ẩn t, t':  y0  ta2  y '0  t ' a'2 có đúng  z  ta  z ' t ' a ' 3 0 3  0. moät nghieäm. 3. Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau: Hai đường thẳng d và d' chéo nhau khi và chỉ   khi a vaø a ' khoâng cuøng phöông vaø heä phöông trình  x0  ta1  x'0  t ' a'1  aån t, t' :  y0  ta2  y '0  t ' a'2 voâ nghieäm.  z  ta  z ' t ' a ' 3 0 3  0. d. a. a' d'. .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... 433.

(434) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12. Ví dụ: Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau đây: x  1  t  x  2  2t '  x  3t  x  2  3t '     a) d:  y  2t vaø d':  y  3  4t' ; b) d:  y  4  t vaø d':  y  5  3t ' ; z  3  t  z  5  2t ' z  5  2 t  z  3  6 t'      x 1 t  x  2  2t '   c) d: y  2  3t vaø d': y  2  t' ;  z  3t  z  1  3t '  .  x  1  2t  x  1  3t '   d) d: y  1  3t vaø d': y  2  2t ' .  z  5 t  z  1  2t '  . Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... 434.

(435) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12.   * Ñaëc bieät: d  d'  a  a '. d. Ví dụ: Chứng minh hai đường thẳng sau đây vuông góc:  x  5t  x  9  2t '   d: y  3  2t vaø d': y  13  3t '  z  4t  z  1  t'  . a. a'. d'. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... * Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng:  x  x0  ta  Cho đường thẳng d:  y  y0  ta và mp(): Ax + By + Cz + D = 0  y  z  ta 0  Xeùt: A(x0 + ta) + B(y0 + ta) + C(z0 + ta) + D = 0 (1)  d caét ()  (1) coù nghieäm duy nhaát.  d // ()  (1) voâ nghieäm  d  ()  (1) coù voâ soá nghieäm. Ví dụ: Tìm số giao điểm của mp(): x + y + z - 3 = 0 với đường thẳng d trong các trường hợp sau: x  2  t  x  1  2t  x  1  5t    a) d:  y  3  t ; b) d:  y  1  t ; c) d: y  1  4t .  z 1  z 1 t  z  1  3t    Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... 435.

(436) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12.  * Đặc biệt: d  () khi và chỉ khi vectơ chỉ phương ud của đường  thẳng d cùng phương với vectơ pháp tuyến n( ) của mp().. ud n ( ).  x  1 t  Ví dụ: Chứng minh đường thẳng d: y  2  2t vuông góc với mặt  z  3  3t . . phaúng (): 2x + 4y + 6z + 9 = 0.. d. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... * Một số bài toán cơ bản khác: ª Hình chieáu cuûa ñieåm M treân mp(): M. * Bước 1: Viết phương trình đường thẳng  đi qua M và vuoâng goùc mp(). * Bước 2: Xác định giao điểm M' của  với mp(). M' laø hình chieáu caàn tìm M'. α. Ví dụ: Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M(1; -1; 2) trên mặt phẳng () có phöông trình: 2x - y + 2z + 11 = 0. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ª Giao tuyeán cuûa maët phaúng (P) vaø maët caàu (S): * Bước 1: Tìm hình chiếu của O trên mp(P). * Bước 2: Tính OH là khoảng cách từ O đến mp(P). * Bước 3: Giao tuyến cần tìm là đường tròn (C) tâm H vaø baùn kính r' =. I r. r 2  OH 2 . M P. 436. r'. H.

(437) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12. Ví duï: Cho maët caàu (S) coù phöông trình: (x - 3)2 + (y + 2)2 + (z - 1)2 = 100 vaø maët phaúng () coù phương trình: 2x - 2y - z + 9 = 0. Mặt phẳng () cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C). Hãy xác định tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn (C). Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ª Tìm điểm M' đối xứng với điểm M qua mp(): M. * Bước 1: Tìm hình chiếu I của điểm M trên mp(). * Bước 2: Tìm điểm M' sao cho I là trung điểm M và M'. Đó là điểm đối xứng cần tìm.. I. α. M'. Ví dụ: Cho điểm M(2; 1; 0) và mặt phẳng (): x + 3y - z - 27 = 0. Tìm tọa độ điểm M' đối xứng với M qua mp(). Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... 437.

(438) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12. ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ª Tìm điểm M' đối xứng với điểm M qua đường thẳng : * Bước 1: Viết phương trình mp() đi qua M và vuông góc với đường thẳng . * Bước 2: Xác định giao điểm I của () và  (I là hình chieáu cuûa M treân ). * Bước 3: Tìm điểm M' sao cho I là trung điểm M và M'. Đó là điểm đối xứng cần tìm.. M. u I. M'. α.  x  1  2t  Ví dụ: Cho điểm A(1; -2; -5) và đường thẳng :  y  1  t .  z  2t . a) Tìm hình chieáu cuûa A treân . b) Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với A qua . c) Tính khoảng cách từ A đến . Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ª Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau  và ':. 438.

(439) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12 . * Bước 1: Viết phương trình mp() chứa ' và song song đường thẳng . * Bước 2: Tìm điểm A trên . * Bước 3: Tính khoảng cách từ A đến ().. M. A. H. . N. '.  x  1 t' x 1 y  2 z   và ':  y  3  2t ' . Tính khoảng cách giữa hai đường  Ví dụ: Cho hai đường thẳng : 2 3 1  z 1  thaúng  vaø '. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ª Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đường thẳng đến mặt phẳng. x 3 z2  y 1  Ví dụ: Cho mp(): 3x - 2y - z + 5 = 0 và đường thẳng : . 2 4 a) Hãy chứng tỏ  song song mp(). b) Tính khoảng cách giữa  và (). Giaûi:. 439.

(440) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12. ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ª Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Ví dụ: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (): x + 2y + 2z + 11 = 0 và () cho bởi phöông trình: x + 2y + 2z + 2 = 0. Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ª Phương trình đường cao tam giác trong không gian:. Đường cao AH của ABC đi qua A vuông góc  với giá của hai vectơ n  [ AB, AC ] và CB .. A C H. B. Ví dụ: Viết phương trình đường cao AH của tam giác ABC biết A(1; 0; 6), B(0; 2; -1), C(1; 4; 0). Giaûi: ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ...................................................................................................................... ......................................................................................................................  Ghi chuù: ................................................................................................................................................................................................................................................................... 440.

(441) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................... 441.

(442) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Bài 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:  a) d ñi qua ñieåm M(5; 4; 1) vaø coù vectô chæ phöông a  (2;3;1) . b) d đi qua điểm A(2; -1; 3) và vuông góc với mặt phẳng () có phương trình x + y - z + 5 = 0.  x  1  2t  c) d đi qua điểm B(2; 0; -3) và song song với đường thẳng :  y  3  3t .  z  4t  d) d ñi qua hai ñieåm P(1; 2; 3) vaø Q(5; 4; 4). x 1 y 1 z   . e) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(3; 2; -1) và song song đường thẳng 2 3 4 Bài 2: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d' cho bởi phương trình sau:  x   3  2t  x  5  t'  x  1 t  x  1  2t '     a) d:  y  2  3t vaø d':  y  1  4t ' . b) d:  y  2  t vaø d':  y  1  2t ' .  z  6  4t  z  20  t ' z  3t  z  2  2t '      x  1 t  x  1 t'  x  7t x  4 y 1 z  2      c) d:  y  2  2t vaø d':  y  3  2t ' . d) d: vaø d':  y  6  4t . 2 3 5  z  3t  z 1  z  3  5t    Bài 3: Tìm số giao điểm của đường thẳng d với mp() trong các trường hợp sau:  x  12  4t  x  1 t   a) d:  y  9  3t vaø (): 3x + 5y - z - 2 = 0; b) d:  y  2  t vaø (): x + 3y + z + 1 = 0;  z  1 t  z  1  2t    x  1 t  b) d:  y  1  2t vaø (): x + y + z - 4 = 0.  z  2  3t   x  3  2t  Bài 4: Tính khoảng cách giữa đường thẳng :  y  1  3t và mp(): 2x - 2y + z + 3 = 0.  z  1  2t   x  1  at  x  1 t'   Bài 5: Tìm a để hai đường thẳng sau đây cắt nhau d:  y  t vaø d':  y  2  2t ' .  z  1  2t  z  3  t'    x  2t  Bài 6: Cho đường thẳng d:  y  3  2t . Viết phương trình tham số của các đường thẳng lần lượt là hình  z  1  3t  chiếu vuông góc của d trên các mặt phẳng tọa độ.  x  2t  Bài 7: Cho điểm A(1; 0; 0) và đường thẳng :  y  1  2t  z t  a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng . b) Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với A qua đường thẳng . Baøi 8: Cho ñieåm M(1; 4; 2) vaø maët phaúng (): x + y + z - 1 = 0.. 442.

(443) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12. a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mp(). b) Tìm tọa độ điểm M' đối xứng với M qua mp(). c) Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(). 2. Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến các mp(A'BD) vaø mp(B'D'C). Baøi 2: Cho hai mp(P): 2x - y - 11 = 0 vaø mp(Q): x - y - z + 5 = 0. a) Chứng minh rằng mp(P) cắt mp(Q); b) Tìm phương trình đường thẳng giao tuyến của hai mp(P) và mp(Q). x2 y3 z 4 x 1 y  4 z  4   , d2 :   Bài 3: Cho hai đường thẳng d1 : . 2 3 5 3 1 2 a) Chứng tỏ hai đường thẳng trên chéo nhau. b) Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng trên. c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng đó. CAÂU HOÛI CHUAÅN BÒ BAØI ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 443.

(444) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12. * OÂÂN TAÄP CHÖÔNG III * ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 444.

(445) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... 445.

(446) Hồ Xuân Trọng. Hình hoïc 12. BAØI TAÄP REØN LUYEÄN 1. Baøi taäp cô baûn: Baøi 1: Cho boán ñieåm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1). a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện. b) Tìm góc giữa hai đường thẳng AB và CD. c) Tính độ dài đường cao của hình chóp A.BCD. Bài 2: Cho mặt cầu (S) có đường kính là AB biết rằng A(6; 2; -5), B(-4; 0; 7). a) Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính r của mặt cầu (S). b) Laäp phöông trình cuûa maët caàu (S). c) Lập phương trình của mặt phẳng () tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm A. Baøi 3: Cho boán ñieåm A(-2; 6; 3), B(1; 0; 6), C(0; 2; -1), D(1; 4; 0). a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện. b) Tính chiều cao AH của tứ diện ABCD. c) Viết phương trình mp() chứa AB và song song với CD. Bài 4: Lập phương trình tham số của đường thẳng: a) Ñi qua hai ñieåm A(1; 0; -3), B(3; -1; 0).  x  2  2t  b) Đi qua điểm M(2; 3; -5) và song song với đường thẳng :  y  3  4t .  z  5t   x  12  4t  Bài 5: Cho mặt phẳng () có phương trình 3x + 5y - z - 2 = 0 và đường thẳng d:  y  9  3t .  z  1 t  a) Tìm giao điểm M của đường thẳng d và mp(). b) Viết phương trình mp() chứa điểm M và vuông góc với đường thẳng d.  x  1  3t   Bài 6: Cho điểm A(-1; 2; -3), vectơ a  (6;2;3) và đường thẳng d có phương trình  y  1  2t .  z  3  5t   a) Viết phương trình mặt phẳng () chứa điểm A và vuông góc với giá của a . b) Tìm giao ñieåm cuûa d vaø ().  c) Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A, vuông góc với giá của a và cắt đường thẳng d. 2. Baøi taäp naâng cao: Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng () tiếp xúc với mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 10x + 2y + 26z + 170 = 0 và  x  5  2t  x  7  3t '   song song với hai đường thẳng d:  y  1  3t ; d':  y  1  2t ' .  z  13  2t  z 8    x t  x  1  2t '   Bài 2: Cho hai đường thẳng d:  y  4  t và d':  y  3  t ' . Viết phương trình đường thẳng  vuông góc  z  3t  z  4  5t '   với mặt phẳng tọa độ (Oxz) và cắt cả hai đường thẳng d, d'.. 446.

(447)

Tang em gai tai lieu tu hoc Toan 101112

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về