Một số vấn đề về đường tron euler đường thẳng euler và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

NGUYỄN THỊ HẢI BÌNH

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐƯỜNG TRỊN EULER,
ĐƯỜNG THẲNG EULER VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

NGUYỄN THỊ HẢI BÌNH

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐƯỜNG TRỊN EULER,
ĐƯỜNG THẲNG EULER VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. Trần Việt Cường

THÁI NGUYÊN - 2019

i

Lời cảm ơn

Để hoàn thành được luận văn một cách hồn chỉnh, tơi ln nhận được sự
hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của PGS.TS. Trần Việt Cường. Tơi xin chân
thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy và xin gửi lời tri ân nhất của tôi
đối với những điều thầy đã dành cho tôi.
Tôi xin chân thành cảm ơn phịng Đào tạo, Khoa Tốn - Tin, q thầy cô giảng
dạy lớp Cao học K11 (2018 - 2020) Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái
Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo điều
kiện cho tơi hồn thành khóa học.
Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, những người đã
luôn động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho tơi trong suốt q trình học
tập và thực hiện luận văn.
Xin trân trọng cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 10 năm 2019.
Người viết Luận văn

Nguyễn Thị Hải Bình


ii

Danh mục ký hiệu
AB ∥ CD

Đường thẳng AB song song với đường thẳng CD

AH ⊥ BC

Đường thẳng AH vng góc với đường thẳng BC

AB

Cạnh có hướng từ A đến B

d(L; AB)

Khoảng cách từ điểm L tới đường thẳng AB

ABC ∼

DEF

(ABCD) = −1

Tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEF
A, B, C, D là hàng điểm điều hòa


iii

Danh sách hình vẽ
1.1

Z, Y, X thẳng hàng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2

Định lý Menelause . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3

Đường tròn Apollonnius. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.4

M P ∥ N Q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.5

Phép nghịch đảo tâm O, phương tích k. . . . . . . . . . . . . . .

5

1.6

Tứ giác AP BQ là tứ giác điều hòa. . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.7

Phép vị tự tâm I, tỉ số k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.8

AD, BE, CF đồng quy tại N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.9

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.10 Đường trịn Euler đi qua chín điểm D, E, F, M, N, P, S, R, Q. . .

10

1.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.12 Điểm O9 là trung điểm của HO. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.13 AO = LE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.14 H, G, O9 và O thẳng hàng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.15 ABC, ABH, BCH và ACH có chung nhau đường trịn Euler. .

15

1.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.1

O1 , K, H thẳng hàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.2

D nằm trên OH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.3

G nằm trên đường thẳng Euler của tam giác ABC, ADC, AP C

26


iv

2.4

J nằm trên đường thẳng Euler của tam giác AY Z . . . . . . . .

27

2.5

A nằm trên đường tròn (I, IO).

. . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.6

M, N, K thẳng hàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.7

Đường thẳng qua Na song song P A đi qua N . . . . . . . . . . .

30

2.8

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.9

R, S, T thẳng hàng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.10 KI đi qua J là tâm Euler của tam giác IBC. . . . . . . . . . .

34

2.11 HK đi qua trung điểm I của AG. . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.12 HK đi qua điểm cố định I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.13 Trung trực của AX, EY, CZ đồng quy tại trung điểm của OT . .

36

2.14 A, I, J thẳng hàng và KJ vuông góc với IJ. . . . . . . . . . . .

37

2.15 Các đường thẳng Euler của các tam giác ABC, AM N , BSR, CP Q
đồng quy tại L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.17 OH ∥ P M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.18 M N ∥ BC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

2.19 IJ ∥ OA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.20 EF vng góc với M O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

2.21 Đường tròn ngoại tiếp tam giác DM N luôn đi qua điểm cố định
J. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

2.22 Trung trực của P Q luôn đi qua một điểm cố định N . . . . . . .

47

2.23 Đường thẳng qua L, song song P K luôn đi qua điểm cố định J.

48

2.24 (P T S) đi qua một điểm cố định I. . . . . . . . . . . . . . . . .

49

2.25 XY đi qua P và điểm cố định M . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

2.26 S, M, P thẳng hàng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

2.27 X thuộc P LE, (P KF ) và (P ZY ). . . . . . . . . . . . . . . . .

51

2.28 O1 H1 và O2 H2 cắt nhau tại M . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

2.29 (BPa C), (CPb A), (APc B) đồng quy tại Q. . . . . . . . . . . . .

53

2.30 Đường tròn Euler của các tam giác AP Q, BP Q, CP Q tiếp xúc
với nhau tại Q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

2.31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55


v

2.32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

2.33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

2.34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

2.35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

2.36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

2.37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

vi

Mục lục
Danh mục ký hiệu

ii

Danh sách hình vẽ

iii

Mở đầu

1

Chương 1. Một số vấn đề về đường tròn Euler, đường thẳng Euler

2

1.1

Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2

Đường tròn và đường thẳng Euler . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.1

Đường tròn và đường thẳng Euler . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.2

Một số tính chất của đường tròn và đường thẳng Euler .

12

Chương 2. Một số ứng dụng của đường tròn Euler, đường thẳng
Euler

23

2.1

Các bài toán về quan hệ thẳng hàng và đồng quy . . . . . . . .

23

2.2

Các bài toán về quan hệ song song và vng góc . . . . . . . . .

40

2.3

Các bài toán về quan hệ điểm và đường cố định . . . . . . . . .

45

2.4

Các bài toán khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

Kết luận

64

Tài liệu tham khảo

65


1

Mở đầu
Đường tròn Euler, đường thẳng Euler là trong những vấn đề thú vị của hình
học phẳng. Các bài tốn liên quan đến đường tròn Euler, đường thẳng Euler
là những bài tốn hay và khó. Để giải quyết được những bài tốn đó trước tiên
là phải hiểu về đường trịn Euler, đường thẳng Euler. Tiếp đó, chúng tơi tìm

hiểu việc vận dụng các tính chất của đường trịn Euler, đường thẳng Euler vào
việc giải một số dạng toán cụ thể trong hình học phẳng.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về vấn đề đường thẳng và đường trịn Euler
tơi lựa chọn đề tài "Một số vấn đề về đường tròn Euler, đường thẳng Euler và
ứng dụng" dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Trần Việt Cường.
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương.
Chương 1. Một số vấn đề về đường tròn Euler, đường thẳng Euler.
Trong chương này, ngồi trình bày một số kiến thức chuẩn bị có liên quan đến
đề tài, chúng tơi trình bày về định lý đường trịn Euler, đường thẳng Euler
và các tính chất của đường trịn Euler, đường thẳng Euler. Các nội dung của
chương được tổng hợp từ các tài liệu [1, 2, 3, 4, 5, 7, 10, 15].
Chương 2. Một số ứng dụng của đường tròn Euler, đường thẳng
Euler.
Trong chương này, chúng tơi áp dụng các tính chất của đường tròn Euler,
đường thẳng Euler vào giải một số dạng tốn trong hình học phẳng như: chứng
minh thẳng hàng, chứng minh đồng quy, chứng minh song song, chứng minh
vuông góc, chứng minh đường thẳng đi qua điểm cố định, chứng minh các
đẳng thức hình học... Các nội dung của chương sẽ tham khảo từ các tài liệu
[2, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 13, 14].


2

Chương 1
Một số vấn đề về đường tròn Euler,
đường thẳng Euler
1.1

Một số kiến thức chuẩn bị

Định nghĩa 1.1.1 ([10]). Trung điểm các đoạn thẳng thuộc các đường cao kẻ
từ đỉnh đến trực tâm của tam giác gọi là các điểm Euler.
Định lý 1.1.2 (Định lí Thales, [4]). Nhiều đường thẳng song song cắt hai cát
tuyến(đường thẳng) d, d thì tạo trên d, d các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
Định lý 1.1.3 (Định lí Pascal, [5]). Cho sáu điểm bất kì A, B, C, A , B , C
cùng thuộc một đường trịn. Khi đó giao điểm của các cặp đường (AB , BA ),
(AC , CA ), (BC , CB ) thẳng hàng.

Hình 1.1: Z, Y, X thẳng hàng.


3

Định lý 1.1.4 (Định lí Menelause, [4]). Cho tam giác ABC và ba điểm D, E, F
lần lượt nằm trên các đường thẳng chứa các cạnh BC, CA, AB. Khi đó, D, E, F
thẳng hàng khi và chỉ khi
F A DB EC
.
.
= 1.
F B DC EA

Hình 1.2: Định lý Menelause

Định lý 1.1.5 (Đường tròn Apollonnius, [5]). Cho hai điểm A, B. Tập hợp các
PA
điểm P sao cho tỉ số
= k khơng đổi (k > 0) là một đường trịn, được gọi
PB
là đường tròn Apollonius của đoạn thẳng AB ứng với tỉ số k.

Hình 1.3: Đường trịn Apollonnius.


4

Chứng minh. Gọi C, D là hai điểm nằm trong và ngồi đoạn thẳng AB sao
CA
DA
PA
CA
DA
cho
=
= k. Khi đó
=
=
nên C, D lần lượt là chân
CB
DB
PB
CB
DB
đường phân giác trong và ngoài của AP B. Suy ra CP D = 90◦ . Vậy P nằm
trên đường trịn đường kính CD.
Ngược lại, giả sử P là điểm bất kỳ nằm trên đường tròn đường kính CD. Khi
đó CP D = 90◦ . Mà (ABCD) = −1 nên suy ra C, D lần lượt là chân đường
PA
= k.
phân giác trong và ngoài của AP B. Từ đó

PB
Như vậy, tập hợp các điểm P là đường trịn đường kính CD.
Định lý 1.1.6 (Định lý Reim, [3]). Cho hai đường tròn (O1 ), (O2 ) cắt nhau tại
A, B. Một đường thẳng qua A cắt (O1 ), (O2 ) tại M, N ; một đường thẳng qua
B cắt (O1 ), (O2 ) tại P, Q. Khi đó M P ∥ N Q.
Chứng minh.

Hình 1.4: M P ∥ N Q.

Ta có: (M P, M N ) ≡ (M P, M A) ≡ (BP, BA) ≡ (N Q, N A) ≡ (N Q, N M )(modπ).
Suy ra, ta có M P ∥ N Q.
Định nghĩa 1.1.7 (Phép nghịch đảo). Cho trước một điểm O và một số thực
k = 0. Phép biến hình biến mỗi điểm M khác O thành một điểm M thuộc đường
thẳng OM và OM .OM = k, được gọi là phép nghịch đảo tâm O, phương tích
k.


5

Hình 1.5: Phép nghịch đảo tâm O, phương tích k.

Kí hiệu phép nghịch đảo tâm O, phương tích k là NOk .
Vậy


M ∈ OM
k
NO (M ) = M ⇔
OM .OM = k.
Định nghĩa 1.1.8 (Tứ giác điều hòa, [7]). Tứ giác ABCD nội tiếp và thỏa

AB
CB
mãn
=
được gọi là tứ giác điều hòa.
AD
CD
Định lý 1.1.9 ([7]). Cho đường tròn (O), điểm M nằm ngồi đường trịn. M A
và M B là tiếp tuyến vẽ từ M đến (O). Một cát tuyến qua M cắt (O) tại P và
Q. Khi đó AP BQ là tứ giác điều hịa.

Hình 1.6: Tứ giác AP BQ là tứ giác điều hòa.

Chứng minh. Do ∆M AQ
Do ∆M BQ

∆M P A (g-g) nên

∆M P B (g-g) nên

BQ M Q
=
.
BP
MP

AQ M Q
=
.
AP

MP


6

AQ BQ
=
.
AP
BP
Vậy AP BQ là tứ giác điều hịa.

Do đó

Tứ giác điều hịa có một số tính chất như sau:
1. ABCD là tứ giác điều hịa thì AC · BD = 2AB · CD = 2BC · AD.
2. Cho tứ giác điều hòa ABCD nội tiếp (O), tiếp tuyến tại B và D cắt nhau
tại M, I là giao điểm của AC và BD. Khi đó, (M IAC) = −1.
3. Cho tứ giác điều hòa ABCD nội tiếp O, gọi M là giao của hai tiếp tuyến
của (O) tại B và D. Gọi I là giao điểm của OM và BD. Khi đó, IB là
phân giác của góc AIC.
Định nghĩa 1.1.10 (Phép vị tự,[7]). Cho điểm I và số thực k = 0. Phép biến
−−→
−−→
hình biến mỗi điểm M thành điểm M sao cho IM = k IM được gọi là phép
vị tự tâm I, tỉ số k. Phép vị tự tâm I, tỉ số k thường được kí hiệu là V(I,k) .

Hình 1.7: Phép vị tự tâm I, tỉ số k.

Định lý 1.1.11 (Định lý Ceva, [1]). Cho tam giác ABC và ba đường thẳng

AA , BB , CC xuất phát từ các đỉnh của tam giác và cắt đường thẳng chứa
cạnh đối diện tại A , B , C sao cho: hoặc cả ba điểm A , B , C đều nằm trên ba
cạnh của tam giác hoặc một trong ba điểm đó nằm trên một cạnh của tam giác
còn hai điểm kia nằm trên phần kéo dài của hai cạnh còn lại. Điều kiện cần và
đủ để AA , BB , CC đồng quy hoặc song song với nhau là ta có hệ thức:
AB CA BC
·
·
= 1.
BC AB CA


7

Người ta thường gọi ba đường thẳng AA , BB , CC xuất phát từ các đỉnh của
tam giác ABC và đồng quy tại một điểm là ba đường thẳng Ceva; Các đoạn
thẳng AA , BB , CC gọi là các đoạn thẳng Ceva; Giao điểm của các đường
thẳng Ceva gọi là điểm Ceva. Từ định lý Ceva, có thể suy ra rằng: Trong một
tam giác ABC:
1. Ba đường trung tuyến đồng quy (tại trọng tâm của tam giác).
2. Ba đường phân giác đồng quy (tại tâm đường tròn nội tiếp tam giác).
3. Ba đường cao đồng quy (tại trực tâm của tam giác).
4. Ba đường trung trực đồng quy (tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác).
Dạng lượng giác của định lý Ceva như sau:
sin ∠ABB sin ∠BCC sin ∠CAA
·
·
= 1.
sin ∠CBB sin ∠ACC sin ∠BAA
hoặc

sin ∠ABB · sin ∠BCC · sin ∠CAA = sin ∠CBB · sin ∠ACC · sin ∠BAA .
Định nghĩa 1.1.12 (Điểm Nagel, [3]). Cho tam giác ABC. Đường trịn bàng
tiếp góc A, B, C tiếp xúc với BC, CA, AB theo thứ tự ở D, E, F . Khi đó AD,
BE, CF đồng quy tại một điểm, điểm đó được gọi là điểm Nagel.
Chứng minh. Gọi H, K theo thứ tự là tiếp điểm của đường trịn bàng tiếp trong
góc A với AB, AC. Gọi p là nửa chu vi của tam giác ABC, BC = a, CA = b,
AB = c. Ta có
AH + AK = AB + BK + AC + CK = AB + AC + BC = 2p
suy ra AH = AK = p.
Do đó DB = BH = p − c, DC = CK = p − b.
Chứng minh tương tự ta được
EC = p − a, EA = p − c, F A = p − b, F B = p − a.
Suy ra
DB EC F A
p−c p−a p−b
·
·
=
·
·
=1
DC EA F B
p−b
pc
p−a


8

Hình 1.8: AD, BE, CF đồng quy tại N.

Do đó AD, BE, CF đồng quy (theo định lý Ceva).
Giao điểm N của ba đoạn AD, BE, CF được gọi là điểm Nagel.
Định nghĩa 1.1.13 (Trục đẳng phương, [7]). Cho hai đường trịn khơng đồng
tâm (O1 , r1 ) và (O2 , r2 ). Quỹ tích tất cả các điểm P sao cho phương tích của P
đến hai đường trịn (O1 ) và (O2 ) bằng nhau là một đường thẳng. Đường thẳng
này được gọi là trục đẳng phương của hai đường trịn (O1 ) và (O2 ). Trục đẳng
phương vng góc với đường thẳng nối tâm O1 O2 của hai đường tròn.
Định nghĩa 1.1.14 (Hàng điểm điều hòa, [7]). Bốn điểm A, B, C, D đc gọi là
CA
DA
=−
. Kí hiệu là (ABCD) = −1.
hàng điểm điều hoà khi và chỉ khi
CB
DB
Lưu ý: Bốn điểm được gọi là hàng điểm điều hoà khi và chỉ khi 1 trong các hệ
thức sau được thoả mãn:
2
1
1
1)
=
+
(hệ thức Descarter)
AB
CA DA
2
2) IA = IC.ID (với I là trung điểm AB) (hệ thức Newton)
3) Gọi J là trung điểm CD, ta có AC.AD = AB.AJ (hệ thức Maclaurin)

9

Định lý 1.1.15 (Định lý Simson,[10]). Chân các đường thẳng góc hạ từ một
điểm bất kỳ nằm trên một đường tròn xuống các đường thẳng chứa các cạnh
của một tam giác nội tiếp nằm trên một đường thẳng. Đường thẳng đó gọi là
đường thẳng Simson.
Chứng minh. Gọi A , B , C lần lượt là hình chiếu của điểm M nằm trên đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC lên các đường thẳng chứa các cạnh BC, CA và
AB.

Hình 1.9:

Do tứ giác M BAC nội tiếp nên ta có: M BC = M CB .
Suy ra, các tam giác vuông M C B và M B C đồng dạng.
Do đó, ta có
BC
MB
=
.
BC
MC

(1.1)

Ta có M BA = M AB vì cùng chắn cung M C.
Suy ra AB M và A BM là các tam giác đồng dạng.
Do đó, ta có
MA

AB
=
.
AB
MB

(1.2)


10

Tương tự, ta có M CB = M AB vì cùng chắn cung M B.
Suy ra M A C và M C A là các tam giác đồng dạng.
Do đó, ta có
MC
CA
=
.
CA
MA

(1.3)

Từ (1.1), (1.2) và (1.3), ta có
BC AB CA
MB MA MC
·
·
=
·

·
= 1.
BC AB CA
MC MB MA
Theo định lý Menelaus, ta có A , B và C là ba điểm thẳng hàng. Đường thẳng
đi qua A , B , C được gọi là đường thẳng Simson.

1.2

Đường tròn và đường thẳng Euler

1.2.1

Đường tròn và đường thẳng Euler

Định lý 1.2.1 (Định lý đường tròn Euler, [2]). Trong một tam giác, chân các
trung tuyến, chân các đường cao và các điểm Euler nằm trên một đường tròn,
gọi là đường tròn 9 điểm hay đường trịn Euler.

Hình 1.10: Đường trịn Euler đi qua chín điểm D, E, F, M, N, P, S, R, Q.


11

Chứng minh. Gọi D, E, I lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB,
các đường cao AM, CN và H là trực tâm ∆ABC suy ra IE ∥ BC, DI ∥ AC,
AM ⊥ BC.
1
1
Suy ra M E = AC, DI = AC. Suy ra M E = DI.

2
2
Suy ra IEDM là hình thang cân
Suy ra I, E, D, M thuộc một đường trịn, đó là đường trịn ngoại tiếp ∆DEI.
Gọi K là trung điểm CH suy ra KE là đường trung bình của ∆ACH
Suy ra EK ∥ AH suy ra IE ⊥ EK, KD ∥ HB suy ra KD ⊥ ID.
Suy ra I, E, K, D, M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ∆DEI, tương
tự chứng minh cho các điểm còn lại.
Nhận xét. Đường thẳng IK là đường kính của đường trịn chín điểm, O0 là
trung điểm của IK suy ra O0 là tâm đường trịn đó.

Hình 1.11:

Gọi O là tâm đường trịn ngoại tiếp ∆ABC.
Suy ra OD ⊥ BC suy ra OD ∥ AH.
Nối D với O0 cắt AH tại J suy ra JA = JH.
Suy ra ∆O0 OD, ∆O0 HJ bằng nhau (g-c-g)
Suy ra OD = JH = AJ suy ra AJDO là hình bình hành.


12

1
Suy ra OA = DJ suy ra O0 J = R (R là bán kính đường trịn ngoại tiếp).
2
AG
AH
Gọi giao điểm AD với OH tại G, theo định lý Thales ta có
=
=2

GD
OD
Suy ra G là trọng tâm ∆ABC
Suy ra O, G, O0 , H nằm trên một đường thẳng và HG = 2GO, O0 H = O0 O.
Đường thẳng đi qua trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác có tên là
đường thẳng Euler.
1.2.2

Một số tính chất của đường tròn và đường thẳng Euler

Định lý 1.2.2 ([10]). Tâm của đường tròn Euler của một tam giác cho trước
là trung điểm của đoạn thẳng nối trực tâm với tâm đường trịn ngoại tiếp tam
giác đó.

Hình 1.12: Điểm O9 là trung điểm của HO.

Chứng minh. Cho tam giác ABC có các đường cao là AK, BM . Gọi H, O, O9
lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn Euler của
tam giác ABC. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC, AC.
Ta có, tâm O9 của đường tròn Euler nằm tại giao điểm các đường thẳng góc
dựng từ trung điểm các đoạn thẳng KE và M F .
Vì các đường thẳng góc vừa dựng là các đường trung bình của hình thang
vng M HOF và KHOE nên tâm O9 của đường tròn cần tìm nằm tại trung
điểm cạnh OH.


13

Định lý 1.2.3 ([10]). Bán kính của đường trịn Euler của một tam giác cho
trước bằng một nửa đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó.

Hình 1.13: AO = LE.

Chứng minh. Cho tam giác ABC có các đường cao là AK, BM . Gọi H, O, O9
lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn Euler của
tam giác ABC. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC, AC.
Đường thẳng EO9 cắt đường cao AK tại điểm L. Khi đó, ta có LE là đường
kính đường trịn Euler.
Do ∆O9 EO = ∆O9 LH nên ta có OE = LH và vì LH = AL nên OE = AL.
Mặt khác ta có AL⊥BC, OE⊥BC nên AL ∥ OE.
Do đó, tứ giác ALEO là hình bình hành và AO = LE, trong đó LE là đường
kính của đường trịn Euler và AO là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC.
Hệ quả 1.2.4 ([10]). Khoảng cách từ một đỉnh của tam giác đến trực tâm gấp
đơi khoảng cách từ tâm vịng trịn ngoại tiếp đến cạnh đối diện.
Theo định lí 1.2.3, ta có OE = AL = HL nên suy ra 2OE = AH.
Định lý 1.2.5 ([10]). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và H, G, O9
lần lượt là trực tâm, trọng tâm, tâm đường trịn Euler của tam giác ABC thì
ta có H, G, O9 và O là bốn điểm cùng thuộc một đường thẳng.


14

Hình 1.14: H, G, O9 và O thẳng hàng.

Chứng minh. Gọi A , B và C lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA và
AB của tam giác ABC. Gọi G là giao điểm của HO và AA .
Theo định lí 1.2.3, ta có HA = 2OA và AH ∥ OA .
HA
GA

=
= 2 hay G là trọng tâm của tam
Vì ∆GAH ∼ ∆GA O nên ta có
GA
OA
giác ABC.
Suy ra H, G, O là 3 điểm thẳng hàng.

(1.4)

Ta có, O là trực tâm của tam giác A B C (vì OA ⊥ B C và OB ⊥ A C ), O9
là tâm đường tròn Euler của tam giác ABC nên là O9 tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác A B C .
Theo chứng minh trên ta có O, G và O9 là ba điểm thẳng hàng (G là tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác A B C ).

(1.5)

Từ (1.4) và (1.5), ta có H, G, O9 và O là bốn điểm thẳng hàng.
Định lý 1.2.6 (Định lí Hamitơn, [10]). Các tam giác ABC, ABH, BCH và
ACH với H là trực tâm tam giác ABC có chung nhau một đường tròn Euler.
Chứng minh. Gọi D, E và F lần lượt là chân các đường cao hạ từ đỉnh A,
đỉnh B, và đỉnh C xuống BC, CA và AB của tam giác ABC. Khi đó ta có các
tam giác ABC, ABH, BCH và ACH đều có chung các chân các đường cao là
D, E và F . Vậy các tam giác ABC, ABH, BCH và ACH có chung đường trịn


15

Hình 1.15: ABC, ABH, BCH và ACH có chung nhau đường tròn Euler.

Euler.
Định lý 1.2.7 ([10]). Tổng độ dài đại số các đường thẳng góc hạ từ các đỉnh
và trực tâm của một tam giác đến một đường thẳng bất kì đi qua tâm đường
trịn Euler bằng 0.

Hình 1.16:

Chứng minh. Gọi D là trung điểm của cạnh BC của tam giác ABC. Gọi O9
là tâm của đường tròn Euler của tam giác ABC và E là trung điểm của đoạn
thẳng AH.
Gọi L, P, M, N, K, F lần lượt là hình chiếu của các điểm A, B, C, H, E, D lên


16

đường thẳng d với d là đường thẳng bất kì đi qua điểm O9 .
Do DF là đường trung bình của hình thang vng BP M C nên ta có
DF =

BP + CM
.
2

(1.6)

Do EK là đường trung bình của hình thang vng ALN H nên ta có
EK =

AL + HN

.
2

(1.7)

Do ED là đường kính của đường trịn Euler của tam giác ABC nên ta có
∆EKO9 = ∆DF O9 , hay ta có
EK = −DF .

(1.8)

Từ (1.6), (1.7), (1.8) ta có
BP + AL + CM + HN = 2

AL + HN
CM + BP
+2
= 2 EK + DF = 0.
2
2

Định lý 1.2.8 ([10]). Tổng độ dài đại số các khoảng cách từ các đỉnh của tam
giác và trực tâm đến một đường thẳng bất kì bằng bốn lần độ dài đại số khoảng
cách từ tâm đường trịn Euler đến đường thẳng đó.

Hình 1.17:


17

Chứng minh. Gọi H và O9 lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn Euler
của tam giác ABC. Gọi A , B , C , H , O lần lượt là hình chiếu của các điểm
A, B, C, H, O9 lên đường thẳng d bất kì. Qua O9 dựng đường thẳng d ∥ d. Gọi
N.P, M, N lần lượt là hình chiếu của các điểm A, B, C, H lên đường thẳng d .
Khi đó, ta có
BP + AL + CM + HN = 0;
LA = P B = M C = N H = O9 O .
Mặt khác, ta có
AA = AL + LA ; BB = BP + P B
CC = CM + M C ; HH = HN + N H
Từ đó, ta có
AA + BB + CC + HH = AL + LA + BP + P B + CM + M C + HN + N H
= AL + BP + CM + HN + LA + P B + M C + N H
= LA + P B + M C + N H = 4O9 O

Định lý 1.2.9 ([15]). Cho ∆ABC có đường tròn ngoại tiếp là (C). Giả sử
đường tròn nội tiếp của tam giác tiếp xúc với các cạnh BC, AC và AB lần
lượt tại D, E và F . Trên đường thẳng AI, BI và CI gọi các tâm đường tròn
bàng tiếp tam giác ABC lần lượt là Ia , Ib , Ic . Ta có đường trịn ngoại tiếp của
∆ABC chính là đường trịn chín điểm của ∆Ia Ib Ic .
Chứng minh. Ta có đường trịn ngoại tiếp của ∆ABC chính là đường trịn chín
điểm của ∆Ia Ib Ic bởi vì A, B, C là chân của các đường cao. Do đó, I là trực
tâm của ∆Ia Ib Ic , và O là tâm của đường trịn chín điểm trong ∆Ia Ib Ic . Vì vậy,
OI chính là đường thẳng Euler của ∆Ia Ib Ic . Chú ý rằng ∆DEF và ∆Ia Ib Ic có
các cạnh song song với nhau. Cho nên đường thẳng Euler của chúng phải song
song với nhau. Nhưng tâm đường tròn ngoại tiếp ∆DEF là điểm I. Điều này
có nghĩa rằng đường thẳng Euler của ∆DEF đi qua điểm I và song song với
OI.