(Sáng kiến kinh nghiệm) rèn luyện kỹ năng giải một số bài toán xác suất cho học sinh lớp 11

PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài:
Học sinh yếu, kém trong bộ mơn tốn là những học sinh có
kết quả về mơn tốn thường xun dưới mức trung bình. Do đó
việc lĩnh hội tri thức, rèn luyện kỹ năng cần thiết đối với những
học sinh này tất yếu địi hỏi tốn nhiều cơng sức và thời gian
hơn so với những học sinh khác.
Lý thuyết xác suất nghiên cứu quy luật của các hiện tượng
ngẫu nhiên. Do đặc thù của chun ngành nên các bài tốn về
xác suất có nhiều điểm khác biệt so với các bài toán đại số, giải
tích, hình học. Chính vì vậy, đứng trước một bài tốn xác suất
học sinh thường lúng túng, khơng biết cách giải quyết như thế
nào, thậm chí có nhiều em đã làm xong cũng khơng dám chắc
mình đã làm đúng hay chưa?
Đối với trung tâm GDNN – GDTX đa số các em học sinh có
học lực trung bình yếu và là con em nơng thơn, điều kiện kinh
tế cịn khó khăn nên việc đầu tư về vật chất cũng như thời gian
cho con cái học tập chưa cao, ngoài giờ đến lớp các em còn
phải giúp đỡ bố mẹ các cơng việc gia đình, khơng có thời gian
để tự học. Sự quan tâm kèm cặp con cái của phụ huynh còn
hạn chế . Ý thức học tập của một số em chưa cao, phương
pháp học tập chưa phù hợp, dẫn đến chất lượng học tập của
học sinh cịn yếu vì thế hầu hết các em sợ học mơn tốn. Là
một giáo viên đã có mười năm gắn bó với nghề. Tơi rất hiểu và
thơng cảm trước những khó khăn của các em. Bởi vậy trong
q trình giảng dạy tơi ln học hỏi đồng nghiệp và tìm tịi
những phương pháp thích hợp để giúp các em học sinh yếu,
kém dần yêu thích và chú ý học mơn tốn hơn.Từ đó từng bước
nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn ở Trung tâm GDNN –
GDTX Thọ Xuân cao dần lên . Qua thực tế dạy học tơi đã tìm,
áp dụng một số phương pháp và cũng đã có những thành cơng

nhất định, vì vậy tơi đã ghi chép lại vừa là để thực hiện sau này,
vừa là để phần nào các đồng nghiệp vận dụng vàoVì thế tơi
chọn ạy với tên đề tài là: “Rèn luyện kỹ năng giải một số
bài toán xác suất cho học sinh lớp 11”.
1.2 Mục đích của đề tài:
Sở dĩ tơi chọn đề tài này là vì mong muốn tìm được một
phương pháp tối ưu nhất để trong quỹ thời gian cho phép hoàn
thành được một hệ thống chương

1


trình qui định, nhằm lấp đầy các chỗ hổng kiến thức và từng
bước nâng cao thêm về mặt kỹ năng trong việc giải các bài tập
Toán cho học sinh. Từ đó phát huy, khơi dậy khả năng sử dụng
hiệu quả kiến thức vốn có của học sinh, đồng thời thu hút, lơi
cuốn các em ham thích học mơn tốn, đáp ứng những yêu cầu
về đổi mới phương pháp và nâng cao chất lượng dạy học hiện
nay.
Thực trạng hiện nay cho thấy vấn đề học sinh yếu kém ở các
bộ môn rất trầm trọng. Trong đó mơn tốn khơng phải là ngoại
lệ. Với vai trị quan trọng của bộ mơn có tính quyết định đến
chất lượng học tập các bộ mơn khác. Hơn nữa chương trình
tốn là những viên gạch đặt nền móng đầu tiên cho cả q
trình học tập sau này. Xuất phát từ lòng thương yêu học sinh
như con em của mình và lương tâm của một người thầy giáo.
Tơi thực sự băn khoăn, trăn trở trước những khó khăn chán nản
của học sinh khi học mơn tốn. Với sự trao đổi, góp ý của đồng
nghiệp, tơi đã thử nghiệm trên đối tượng học sinh khối lớp 11 ở
trung tâm GDNN – GDTX về phương pháp giúp đỡ học sinh

yếu, kém học tốt mơn tốn và thực tế đem lại kết quả khả
quan. Sự tiến bộ rõ rệt của học sinh là động lực thúc đẩy tơi
hồn thành bản sáng kiến kinh nghiệm này.
1.3 Đối tượng nghiên cứu:
Kiến thức mơn tốn như đã trình bày đóng vai trị nền tảng.
Vì thế khắc phục tình trạng yếu kém mơn tốn là vấn đề không
chỉ của riêng một cá nhân giáo viên dạy toán nào. Tuy nhiên,
để đạt hiệu quả rõ ràng trong việc nghiên cứu và thể nghiệm
trong đề tài này tôi chủ yếu tập trung đi sâu vào các phương
pháp dạy học toán rèn kỹ năng giải toán cho học sinh yếu, kém
thuộc lớp 11 vào các giờ học luyện tập. Các bài toán được đề
cập đến trong đề tài thuộc phạm vi sách giáo khoa, sách bài
tập đảm bảo tính vừa sức đối với các em.
1.4 Phương pháp nghiên cứu:
- Nghiên cứu về phương pháp bồi dưỡng học sinh yếu kém trong
các năm giảng dạy .
- Đề tài này được hoàn thành trên phương pháp thống kê, tổng
hợp, trao đổi và tổng kết các năm học, quan sát, phân tích
nguyên nhân và phương pháp thực nghiệm sư phạm. Kinh
nghiệm của các đồng chí giáo viên và bản than qua nhiều năm
dạy học.

2


PHẦN 2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận
Xuất phát từ việc giải tốn đi kèm với tư duy, tính tốn. Mặt
khác Tốn học là một mơn khoa học u cầu phải chính xác do
đó học sinh dễ nhàm chán, cảm thấy khó khăn khi tiếp thu.

Việc học tập mơn Tốn có tính kế thừa, các tiết sau vận dụng
các tiết trước cũng như các kiến thức khác đã học qua ở trước
đó do đó nếu học sinh lơ là không chú ý ở một tiết, một nội
dung nào đó thì sẽ rất khó khăn khi học, tiếp thu kiến thức ở
các tiết sau.
2.2. Thực trạng của vấn đề :
Môn Toán là môn học có khả năng to lớn phát triển trí tuệ
học sinh thông qua việc rèn luyện các thao tác tư duy phân
tích, tổng hợp, khái quát hoá, trừu tượng hoá và cụ thể hoá.
Hiện nay tỉ lệ học sinh trong trung tâm nói chung và học
sinh khối 11 nói riêng học kém mơn Tốn rất nhiều, các em
chưa chú ý hay hứng thú với bài học do tiếp thu khó khăn.
Nhiều em cịn lúng túng khi làm bài.
Khối 11 ở trung tâm mà tôi đang giảng dạy. Với 102 học
sinh, kết quả khảo sát đầu năm cho thấy đa số học sinh có học
lực yếu kém cụ thể như sau.
Loại
Loại
Loại
Loại
Loại
Tổn
giỏi
khá
TB
yếu
kém
Tỉ
Tỉ
Tỉ

Tỉ
Lớp g số
S
S
Tỉ
lệ SL lệ SL lệ SL lệ
HS
L
L lệ%
%
%
%
%
11
52
0
0
0
0
14 26, 22 42, 16 30,8
A1
11

50

A2
Tổng :

9
24

0

0

0

0

12

20

3
40

0

0

0

0

26 25, 42

41,

18

36

3

33,

102
5
2
4
3
2.3. Một số phương pháp , kỹ năng giải một số bài toán
xác suất cho học sinh lớp 11:
*Dạng 1: Các bài toán sử sụng quy tắc cộng, quy tắc
nhân

3


Bài tốn 1.
Gieo đồng thời hai con súc sắc. Tính xác suất sao cho:
a) Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn.
b) Tích số chấm trên 2 con súc sắc là số chẵn.
Phân tích:
a) Đối với bài tốn này phần lớn học sinh đều giải bằng cách
đếm số phần tử của biến cố. học sinh trung bình thường liệt kê
phần tử và đếm trực tiếp. Tất nhiên là cách giải này rất dài và
có thể làm sót phần tử dẫn tới giải sai. Học sinh khá hơn thì sử
dụng tính tốn để đếm số phần tử như sau:
Ta có n ( Ω ) =36

Chọn A là biến cố “Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn”
Do đó A={(i , j)∨i , j ∈ { 2,4,6 } }
Có 3 cách chọn i ∈ { 2,4,6 }, với mỗi cách chọn i ta có 3 cách chọn j.
Do đó có 9 cách chọn ( i , j ) ∈ A⇒ n ( A )=9
P ( A )=

n ( A) 9 1
= = =0,25
n ( Ω ) 36 4

Tôi thấy rằng đây là một lời giải hợp lý, tuy nhiên bài tốn
này có thể được giải quyết một cách đơn giản hơn khi ta sử
dụng quy tắc xác suất. Cho nên giáo viên có thể gợi mở, dẫn
dắt học sinh để đi tới giải bài toán theo định hướng này như
sau:
Gọi A là biến cố “Con súc sắc thứ nhất xuất hiện mặt
chẵn”
B là biến cố “Con súc sắc thứ hai xuất hiện mặt
chẵn”
X là biến cố “Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt
chẵn”
3 1
Thấy rằng A và B là hai biến cố độc lập và P ( A )=P ( B )=¿ 6 = 2
(Trong 6 mặt thì có 3 mặt chẵn)

Do vậy ta có:

1 1 1
P ( X )= P ( AB )=P ( A ) . P ( B )= . =
2 2 4

4


a) Gọi Y là biến cố “Tích số chấm trên 2 con súc sắc là số
chẵn”
Có 3 khả năng xảy ra để tích số chấm trên con súc sắc là số
chẵn:
- Con súc sắc thứ nhất xuất hiện mặt chẵn, con súc sắc thứ
hai xuất hiện mặt lẻ.
- Con súc sắc thứ nhất xuất hiện mặt lẻ, con súc sắc thứ hai
xuất hiện mặt chẵn.
- Cả hai con súc sắc cùng xuất hiện mặt chẵn.
Và ta có Y´ : “Tích số chấm trên 2 con súc sắc là số lẻ” chỉ có
1 khả năng là cả hai con súc sắc đều xuất hiện mặt lẻ.
Như vậy một lần nữa ta lại thấy ưu thế của biến cố đối.
Ta có Y´ = A´ B´ và ´A, B´ độc lập nên ta có:
´ ). P ( B
´ ) =[ 1−P ( A ) ][ 1− P ( B ) ]= 1− 1 1− 1 = 1
P ( Y´ ) =P ( A
2
2 4

( )( )

Và do đó :

1 3
P (Y )=1−P ( Y´ )=1− =
4 4

Bài toán trên ta đã sử dụng quy tắc nhân xác suất. Muốn sử
dụng được quy tắc nhân phải khẳng định được hai biến cố là
độc lập. Vậy hai biến cố thường độc lập trong các phép thử
nào? Tất nhiên ở đây tôi không thể nêu tất cả mà chỉ đưa ra
một số trường hợp quen thuộc
- Gieo hai đồng tiền hoặc gieo đồng tiền hai lần thì biến cố
xảy ra trong lần gieo này độc lập với biến cố xảy ra trong lần
gieo kia. Tương tự đối với con súc sắc.
- Hai xạ thủ bắn sung thì sự bắn trúng hay trượt của người
này khơng ảnh hưởng tới người kia. Do đó các biến cố liên quan
đến người này độc lập với biến cố liên quan đến người kia.
Tương tự đối với một người bắn hai phát sung
- Có hai cái hịm đựng bóng. Lấy từ mỗi hịm ra một quả
bóng thì biến cố lấy ra bóng của hịm này sẽ độc lập với biến cố

5


lấy ra bóng ở hịm kia. Tương tự đối với bài toán lấy bi, lấy
cầu...
Chú ý rằng: Nếu A và B độc lập thì ´A và B´ ; ´A và B; A và B´ cũng
độc lập
Cũng giống như quy tắc cộng và quy tắc nhân trong toán tổ
hợp, đối với biến cố xảy ra khả năng này hoặc khả năng kia thì
ta sử dụng quy tắc cộng xác suất. Cịn với biến cố thực hiện
lien tiếp hai hành động thì ta dùng quy tắc nhân
Bài tốn 2.
Trong hịm có 10 chi tiết, trong đó có 2 chi tiết hỏng. Tìm
xác suất để khi lấy ngẫu nhiên 6 chi tiết thì có khơng q 1

chi tiết hỏng.
Phân tích: Trong 6 chi tiết thì có khơng q 1 chi tiết hỏng
nghĩa là khơng có chi tiết nào hỏng hoặc có một chi tiết hỏng.
Bài tốn này khơng thể giải theo dạng 1 mà phải sử dụng phép
tính xác suất. Đây là bài toán dùng quy tắc cộng xác suất
Lời giải
Gọi A1 là biến cố “Trong 6 chi tiết lấy ra khơng có chi tiết
nào hỏng”
A2 là biến cố “Trong 6 chi tiết lấy ra có 1 chi tiết hỏng”
A là biến cố “Trong 6 chi tiết lấy ra có khơng q 1 chi
tiết hỏng”
Khi đó A=A1 ∪ A2. Do A1 và A2 xung khắc nhau nên
P ( A )=P ( A1 ) + P ( A2 )
Số cách lấy ra 6 chi tiết từ 10 chi tiết là C 610 ⇒ n ( Ω )=C 610=210
Có 8 chi tiết khơng bị hỏng nên : n ( A1 )=C 68=28
Số cách lấy 5 chi tiết từ 8 chi tiết bị hỏng là C 58
Số cách lấy 1 chi tiết từ 2 chi tiết hỏng là C 12
Theo quy tắc nhân ta có : n ( A2 )=C 58 . C 12=112
n ( A1 ) 28
2
P ( A1 )=
=
=
Do vậy ta có:
( ) 210 15
n Ω

6

P ( A2 ) =

n ( A2 )
n (Ω )

=

112 8
=
210 15

⇒ P ( A )= P ( A1 ) + P ( A2 )=

2 8 2
+ =
15 15 3

Bài tốn 3
Có hai hộp cùng chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất có 7 quả cầu
đỏ, 5 quả cầu xanh. Hộp thứ hai có 6 quả cầu đỏ, 4 quả cầu
xanh. Từ mỗi hộp lấy ra ngẫu nhiên 1 quả cầu.
a) Tính xác suất để 2 quả cầu lấy ra cùng màu đỏ.
b) Tính xác suất để 2 quả cầu lấy ra cùng màu.
Phân tích: Bài tốn này vẫn có thể giải theo dạng 1, tuy nhiên
việc giải rất dài dòng và phức tạp. Nếu sử dụng phối hợp quy
tắc cộng và quy tắc nhân thì việc giải quyết bài toán trở nên
đơn giản hơn rất nhiều.
Lời giải
a) Gọi: A là biến cố “Quả cầu lấy ra từ hộp thứ nhất màu đỏ”
B là biến cố “Quả cầu lấy ra từ hộp thứ hai màu đỏ”

X là biến cố “Hai quả cầu lấy ra cùng màu đỏ”
7

6

3

Ta có X =AB , P ( A )=¿ 12 , P ( B )=¿ 10 = 5
Mặt khác A và B độc lập nên

P ( X )= P ( A ) ( B ) =

7 3 7
. =
12 5 20

b) Gọi: Y là biến cố “Hai quả cầu lấy ra cùng màu xanh”
Z là biến cố “Hai quả cầu lấy ra cùng màu”
Ta có Y = A´ B´
Mặt khác ´A và B´ độc lập nên

(

´ ). P (B
´ )= [1−P ( A ) ][ 1− P ( B ) ] = 1−
P (Y )= P ( A

7
3 1
1− =

12
5 6

)( )

Thấy rằng Z = X ∪Y , X ⋂Y =∅ nên
P ( Z )=P ( X ) + P ( Y ) =

7 1 31
+ =
20 6 60

Những bài toán sử dụng quy tắc cộng xác suất và quy tắc nhân
xác suất là các bài tốn ln tính được xác suất của biến cố cơ

7


sở (các biến cố cần tính xác suất biểu diễn qua các biến cố
này). Chúng ta để ý các xác suất sau:
- Khi gieo một đồng tiền xu cân đối, đồng chất thì:
1

+ Xác suất xuất hiện mặt sấp là 2
1

+ Xác suất xuất hiện mặt ngửa là 2
- Khi gieo một con súc sắc cân đối đồng chất thì:
1

+ Xác suất xuất hiện từng mặt là 6
1

+ Xác suất xuất hiện mặt có số chấm là chẵn: 2
1

+ Xác suất xuất hiện mặt số chấm là lẻ: 2
+ Xác suất xuất hiện mặt số chấm là số chia hết
1

cho 3: 2
Đối với các phép thử khác thì tuỳ theo từng bài tốn ta sẽ
tính được xác suất này. Và cũng có nhiều bài tốn cho trực
tiếp xác st. Bài tốn sau là một ví dụ
Bài tốn 4
Có 2 lơ hàng. Người ta lấy ngẫu nhiên từ mỗi lô hàng một sản
phẩm. Xác suất để được sản phẩm chất lượng tốt ở từng lô
hàng lần lượt là 0,7 ; 0,8. Hãy tính xác suất để:
a) Trong 2 sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm có chất
lượng tốt.
b) Trong 2 sản phẩm lấy ra có đúng 1 sản phẩm có chất
lượng tốt.
Phân tích: Đây là bài tốn cho trước xác suất nên chắc chắn ta
phải sử dụng phép tốn tính xác suất để giải quyết. Biến cố cơ
sở sẽ là “Lấy được sản phẩm tốt từ lô hàng thứ nhất” và “Lấy
được sản phẩm tốt từ lô hàng thứ hai”
Lời giải:
Gọi A: “Lấy được sản phẩm tốt từ lô hàng thứ nhất”

8

B : “Lấy được sản phẩm tốt từ lô hàng thứ hai”
Khi đó ta có:
P ( A )=0,7 ⇒ P ( ´A) =1−0,7=0,3
´ ) =1−0,7=0,2
P ( B )=0,8⇒ P ( B

a) Gọi X là biến cố “Trong 2 sản phẩm lấy ra có ít nhất một
sản phẩm có chất lượng tốt”. Suy ra X´ = A´ B´
Do ba biến cố ´A , B´ là độc lập nên ta có: P ( X´ ) =P ( A´ ) P ( B´ ) =0,06
⇒ P ( X ) =1−P ( X´ )=0,94
b) Gọi Y là biến cố “Trong 2 sản phẩm lấy ra có đúng một
sản phẩm có chất lượng tốt”. Suy ra Y´ = A´ B ∪ A B´
Do ´A B , A B´ xung khắc và biến cố ´A và B; A và B´ độc lập nên ta có
´ ) =P ( A
´ B ) + P ( A B´ )
P (Y )= P ( ´A B ∪ A B
´ ) P ( B ) + P ( A) P ( B
´ )=0,7.0,2+ 0,8.0,3=0,38
¿ P (A
*Dạng 2: Biến cố độc lập
Bài toán 5.
Xếp ngẫu nhiên ba bạn nam và ba bạn nữ ngồi vào sáu ghế
kê theo hàng ngang. Tìm xác suất sao cho.
a) Nam nữ ngồi xen kẽ nhau.
b) Ba bạn nam ngồi cạnh nhau.
Phân tích:
Đây tuy là một bài tốn xác suất nhưng thực chất nó lại là
một bài tốn đếm trong tổ hợp. Đó là tập hợp của các bài tốn

tổ hợp nhỏ quen thuộc như sau:
(1)
Có bao nhiêu cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ vào 6
ghế kê theo hàng ngang ( Đáp số: 6 !=720 cách).
(2)
Có bao nhiêu cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ và 6
ghế kê theo hàng ngang, biết rằng nam nữ ngồi cạnh
nhau,
( Đáp số: 3 ! .3 !+ 3! .3! =72 cách).
(3)
Có bao nhiêu cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ và 6
ghế kê theo hàng ngang, biết rằng ba bạn nam ngồi cạnh
nhau.
( Đáp số: 4.3 ! .3 !=144 cách)

9


Như vậy bài toán trên được giải như sau
Lời giải:
Gọi A là biến cố “Xếp 3 học sinh nam và 3 học sinh nữ vào 6
ghế kê theo hàng ngang mà nam và nữ xen kẽ nhau”
Và B là biến cố “Xếp 3 học sinh nam và 3 học sinh nữ vào 6
ghế kê theo hàng ngang mà 3 bạn nam ngồi cạnh nhau”
Ta có: n ( Ω ) =720, n ( A )=72, n ( B )=144
Suy ra :

P ( A )=

n ( A ) 72

1
=
=
n ( Ω ) 720 10

; P ( B )=

n ( B ) 144 1
=
=
n ( Ω ) 720 5

Như vậy phần lớn các bài tốn dạng 1 là các bài tốn sử
dụng cơng thức và kĩ thuật của toán tổ hợp. Đối với các bài
tốn như vậy thì học sinh chỉ cần phải nắm vững công thức về
tổ hợp và định nghĩa xác suất.
Bên cạnh đó, có những bài tốn chỉ cần dùng phương pháp
liệt kê.
Bài toán 6.
Gieo một con súc xắc, cân đối và đồng nhất. Giả sử con
súc xắc suất hiện mặt b chấm. Xét phương trình x 2 + bx+ 2=0
Tính xác suất sao cho phương trình có nghiệm.
Lời giải:
Ký hiệu “con súc xắc suất hiện mặt b chấm” là b:
Không gian mẫu:Ω= {1,2,3,4,5,6 } ⇒n ( Ω )=6
Gọi A l à biến cố: “Phương trình có nghiệm”
Ta đã biết phương trình x 2 + bx+ 2=0có nghiệm khi ∆=b2 −8≥ 0
Do đó A={ b ∈ Ω∨b 2−8 ≥ 0 }={ 3,4,5,6 } ⇒ n ( A )=4
P ( A )=

n ( A) 4 2
= =
n ( Ω) 6 3

Tuy nhiên, phương pháp liệt kê chỉ có hiệu quả khi số phần tử
của biến cố là nhỏ. Nếu số phần tử lớn thì việc liệt kê trở nên
khó khăn và dễ xét thiếu phần tử
Bài toán 7..

10


Trên một cái vịng hình trịn dùng để quay sổ số có gắn 36
con số từ 01 đến 36. Xác suất để bánh xe sau khi quay dừng ở
mỗi số đều như nhau. Tính xác suất để khi quay hai lần liên
tiếp bánh xe dừng lại ở giữa số 1 và số 6 ( kể cả 1 và 6) trong
lần quay đầu và dừng lại ở giữa số 13 và 36 ( kể cả 13 và 36)
trong lần quay thứ 2.
Phân tích: Rõ ràng là trong bài tốn này ta khơng thể sử dụng
phương pháp liệt kê vì số phần tử của biến cố là tương đối lớn.
Ở đây ta sẽ biểu diễn tập hợp dưới dạng tính chất đặc trưng để
tính tốn.
Gọi A là biến cố cần tính xác suất
Ω={(i , j)∨i , j ∈ { 1, 2,… , 36 } }⇒ n ( Ω ) =36.36=1296
A={(i , j)∨i ∈ { 1, 2, … , 6 } , j ∈ {13, 14,… , 36 } }

Có 6 cách chọn i, ứng với mỗi cách chọn i có 25 cách chọn j
( từ13 đến36 có 25 số) do đó theo quy tắc nhânn ( A )=6.24=144
P ( A )=

n ( A ) 144 1
=
=
n ( Ω ) 1296 9

Ta cùng xét một bài toán khá thú vị sau:
Bài toán 8.
Gieo một đồng tiền cân đối đồng chất liên tiếp cho đến khi lần
đầu tiên xuất hiện mặt ngửa hoặc cả 6 lần xuất hiện mặt sấp
thì dừng lại.
a) Mơ tả khơng gian mẫu.
b) Tính xác suất:
A: “Số lần gieo khơng vượt quá ba”
B: “Số lần gieo là năm”
C: “Số lần gieo là sáu”
Phân tích: Đối với bài tốn này rất nhiều học sinh lúng túng
không biết cách xác định không gian mẫu vì học sinh vốn quen
với các bài tốn cho trước số lần gieo. Bài toán này trước hết

11


phải xác định được số lần gieo. Giáo viên có thể gợi ý cho học
sinh bằng các câu hỏi như:
- Nếu khơng có giả thiết “cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì
dừng lại” thì ta phải gieo đồng tiền bao nhiêu lần?
- Nếu kết hợp với giả thiết “cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì
dừng lại” thì ta phải gieo đồng tiền tối đa bao nhiêu lần?
Tất nhiên với câu hỏi đầu tiên học sinh không thể đưa ra một
con số cụ thể vì nếu gieo 100 lần vẫn có thể là cả 100 lần đều

xuất hiện mặt sấp do đó vẫn chưa thể dừng lại nhưng học sinh
đã hình dung ra dạng các phần tử đầu tiên. Với câu hỏi thứ hai
học sinh có thể trả lời được số lần gieo tối đa là 6. Từ đó học
sinh có thể xác định được khơng gian mẫu
Lời giải
a) Không gian mẫu Ω= { N , SN , SSN , SSSN , SSSSN , SSSSN , SSSSS }
b) Ta có:

A={ N , SN , SSN } , n ( A ) =3⇒ P ( A) =

B={ SSSSN } , n ( B ) =1⇒ P ( B ) =

3
7

1
7
C= { SSSSSN , SSSSSS } , n ( C )=2 ⇒ P ( C )=

2
7

Sau đây tơi xin trình bày phương pháp giải một số bài toán
bằng cách sử dụng các quy tắc tính xác suất đã học.
* Dạng 3: Biến cố đối
Trong tốn học, có những bài tốn khi tính tốn trực tiếp rất
dài dịng và phức tạp. Khi đó phương pháp gián tiếp lại rất hiệu
quả và cho ta cách làm ngắn gọn. Phương pháp sử dụng biến
cố đối là một phương pháp như vậy
Bài toán 9

Gieo đồng tiền xu cân đối đồng chất 3 lần. Tính xác suất
của các biến cố:
a) Biến cố A: “Trong 3 lần gieo có ít nhất một lần xuất
hiện mặt ngửa”.
b) Biến cố B: “Trong 3 lần gieo có cả hai mặt sấp, ngửa”.

12


Phân tích:
Học sinh có thể giải quyết bài tốn theo định hướng là: ít
nhất 1 lần xuất hiện mặt ngửa thì có 3 khả năng có thể xảy ra
là: 1 lần xuất hiện mặt ngửa, hai lần xuất hiện mặt ngửa, ba lần
xuất hiện mặt ngửa.
Do vậy học sinh sẽ giải bài toán như sau:
Ω={ NNN , NNS , NSS , SSS , SNN , SNS , SSN , SNS }
A={ NSS , SNS , SSN , SNN , NNS , NSN , NNN }

Suy ra:
P ( A )=

n ( A) 7
=
n (Ω ) 8

Tuy nhiên làm như vậy dài và rất dễ bỏ quên trường hợp.
Tuy nhiên nếu để ý rằng biến cố đối của biến cố A là biến cố ´A:
“Khơng có lần nào xuất hiện mặt ngửa”. Do đó bài tốn này sẽ
được giải như sau:
Lời giải:

Khơng gian mẫu n ( Ω )=2.2 .2=8
a) Ta có biến cố đối của biến cố A là biến cố:
´A: “Không cố lần nào xuất hiện mặt ngửa”
1
1 7
Và ta có ´A={ SSS } ⇒ n ( ´A) =1⇒ P ( A´ )= 8 ⇒ P ( A )=1− 8 = 8

b) Tương tự ta có:
´ { SSS , NNN } ⇒ n ( B
´ ) =2 ⇒ P ( B
´ )= 1 ⇒ P ( B ) = 3
B=
4
4

Bài toán 10
Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần.
Tính xác suất của các biến cố sau:
a) Biến cố A: “Trong hai lần gieo ít nhất một lần xuất hiện
mặt một chấm”
b) Biến cố B: “Trong hai lần gieo tổng số chấm trong hai
lần gieo là một số nhỏ hơn 11”
Phân tích: Đối với bài tốn này dùng phương pháp sử dụng
biến cố đối là phương pháp tối ưu bởi lẽ nếu tính trực tiếp ta
phải xét rất nhiều trường hợp

13


+ Đối với biến cố A

- Mặt một chấm xuất hiện lần thứ nhất
- Mặt một chấm xuất hiện lần thứ hai
- Hai lần gieo đều xuất hiện mặt một chấm
+ Đối với biến cố B. Tổng số trong hai lần gieo là một số nhỏ
hơn 11 tức là có 10 khả năng xảy ra: 1,2,…,10
Lời giải:
Không gian mẫu Ω={(i , j)∨i , j ∈ { 1, 2,… , 6 } }⇒ n ( Ω ) =6.6=36
a) Ta có biến cố đối ´A={{ ( i , j )|i , j ∈ { 2, … , 6 } } ⇒ n ( A´ )=25
´
´ )= n ( A ) = 25 ⇒ p ( A )=1−P ( A
´ ) = 11
P (A
n( Ω )

36

36

b) Ta có:
(´)
´ { ( i , j )|i , j ∈ {1, 2, … ,6 } , i+ j ≥ 11 } ⇒ B
´ = {( 5,6 ) ; ( 6,5 ) , ( 6,6 ) } ⇒ n ( B
´ )=3 ⇒ P ( B
´ )= n B = 3 = 1
B=
n ( Ω ) 36 12
1 11
⇒ P ( B )=1− =
12 12

Phương pháp sử dụng biến cố đối là một phương pháp
hay, tuy nhiên để vận dụng được phương pháp này học
sinh cần nắm được hai yếu tố:
- Nhận dạng loại toán: Các bài tốn có cụm từ “có ít nhất”,
“tối thiểu”, “tất cả”…hoặc tính chẵn, lẻ, vơ nghiệm, có nghiệm,
…nếu tính kiểu bù gọn hơn thì ta dùng biến cố đối
- Xác định tốt mệnh đề phủ định và phép toán lấy phần bù của
một tập hợp để tránh xác định sai biến cố đối.
2.4) Hiệu quả đạt được sau khi áp dụng sáng kiến kinh
nghiệm:
Trong năm học 2017 – 2018 bản thân tơi được giao nhiệm vụ
giảng dạy mơn Tốn 11 cùng với những thuận lợi và những khó
khăn gặp phải trong q trình giảng dạy như tơi đã trình bầy,
tơi đã trăn trở suy nghĩ tìm các biện pháp với mục đích khơng
phải cái gì khác mà chỉ muốn làm cho chất lượng dạy học của
mơn mình được phân cơng được phát triển tốt, các em có ý

14


thức học tập mơn Tốn và đạt kết quả tốt hơn do đó tơi đã thực
hiện một số biện pháp như trên.
Kết quả thi chất lượng học kỳ I cho thấy chất lượng giảng
dạy đã có thay đổi, tỉ lệ học sinh trung bình tăng, tỉ lệ học sinh
yếu , kém đã được giảm bớt.
Cụ thể như sau:
Kiểm tra chất lượng học kỳ I mơn tốn 11:
Loại
Tổn
Lớp

g số
HS

11
A1
11

52
50

A2
Tổng :
102

giỏi
Tỉ
S
lệ
L
%
0
0

Loại
khá
Tỉ

0

3

kém
lệ%

5

9,6

12

9
24

9

18

2,9 58 56, 27

26,

1

13,

5

4

7

2

0

yếu
Tỉ

L

%
3,8

1

Loại
Tỉ

lệ

0

TB
Tỉ

Loại
S

SL

0

Loại

2

SL

lệ

30

%
57,

28

7
56

9

SL

lệ

15

%

28,

PHẦN 3. KẾT LUẬN- KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận:
Như vậy việc giúp đỡ học sinh yếu , kém học tốt mơn tốn là
việc làm rất khó khăn lâu dài địi hỏi giáo viên phải có tình
thương, một chút hy sinh và tinh thần trách nhiệm.
Việc sắp xếp thời gian thích hợp ngoài giờ lên lớp để bổ trợ
kiến thức bị hổng cho học sinh yếu, kém đó là một khó khăn
khơng phải ai cũng làm được. Mà phải có sự tận tâm hy sinh
cao cả của người thầy tất cả vì tương lai các em. Do vậy rất cần
đến sự chia sẻ từ phía lãnh đạo và các cấp ngành giáo dục.
Mỗi người thầy có một cách làm riêng, song với cách làm
nêu trên với thành công ban đầu thiết nghĩ đó là kết quả đáng
phấn khởi đối với người thầy dạy tốn. Việc làm này khơng dễ
thành cơng trong ngày một ngày hai mà phải là sự cố gắng bền
bỉ và tận tuỵ thì mới mong mang lại kết quả tốt.

15


Với vốn kiến thức của mình cịn hạn hẹp, bề dày kinh
nghiệm cịn khiêm tốn, nên khơng tránh khỏi những hạn chế
khiếm khuyết. Vậy rất mong hội đồng xét duyệt góp ý, bổ sung
để kinh nghiệm giảng dạy của tơi ngày càng phong phú và hữu
hiệu hơn.
3.2.Kiến nghị đề xuất:
- Để đề tài được thực hiện và đạt được hiệu quả như mong
muốn tôi nghĩ không phải chỉ mỗi một mình giáo viên bộ mơn
là thực hiện tốt mà cần phải có sự vào cuộc của mọi lực lượng,

sự hỗ trợ đóng góp ý kiến của giáo viên bộ mơn khác, của Ban
giám hiệu, sự quan tâm giúp đỡ và tạo điều kiện để học sinh
học tập của phụ huynh học sinh, của các ban ngành đoàn thể
trong xã.
3.2.1. Với giáo viên:
- Trong từng tiết dạy cần kế thừa và phát triển những phương
pháp tích cực, nên áp dụng rộng rãi dạy học các phương pháp
tìm tịi, đặt – giải quyết vấn đề, chú ý phương pháp tự học của
học sinh.
3.2.2 Với ban giám hiệu:
- Là những người chịu trách nhiệm việc đổi mới phương
pháp dạy học trong trung tâm, nên cần có những biện pháp tổ
chức quản lí phù hợp để khuyến khích, tạo điệu kiện cho giáo
viên áp dụng các phương pháp tích cực ngày càng rộng rãi,
thường xuyên và có hiệu quả hơn.
3.2.3 Với lãnh đạo:
- Chương trình SGK đổi mới đã mang lại sự chyển biến mạnh
mẽ trong q trình dạy và học, trong đó người học đóng vai trị
chủ thể của nhận thức. Nên tơi mạnh dạn dạn đề xuất cần bổ
xung thêm nhiều tại liệu thiết thực và hiệu quả vào thư viện
nhà trường giúp học sinh tự tìm tịi nghiên cứu trong q trình
học tập.
Trên đây là một sáng kiến nho nhỏ để áp dụng vào thực tế
dạy học của tôi trong quá trình giảng dạy mơn tốn khối 11, rất
mong được sự đóng góp ý kiến của các bạn bè đồng nghiệp và
của cấp trên để cho sáng kiến của tôi ngày một hồn thiện hơn
và có thể áp dụng một cách rộng rãi trong quá trình dạy – học
của giáo viên và học sinh để từng bước đưa chất lượng giảng
dạy ngày một phát triển theo đúng mục tiêu của giáo dục Việt
Nam đã đề ra.

16


Quá trình thực hiện nêu trên đối với học sinh khối lớp 11 ở
trung tâm mà tôi đang giảng dạy đã đạt kết quả đáng lưu tâm.
Những năm trước đây khi chưa sử dụng phương pháp mới mỗi
lớp có tới 55 → 65% học sinh yếu, kém. Nhưng với cách làm
này năm học vừa qua chỉ còn 25 → 30% học sinh học yếu,
kém. Hơn thế nữa qua cách làm này, các em rất hứng thú và
u thích mơn tốn hơn, tự tin hơn trong học tập.
Thanh Hóa, ngày 25 tháng 05
XÁC NHẬN

năm 2018

CỦA THỦ TRƯỞNG

NGƯỜI VIẾT

ĐƠN VỊ

(Tôi xin cam đoan đây là SKKN
của mình viết, khơng sao chép
nội dung của người khác)

17