Phuong trinh HPTdoc

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH I. Phương trình, hệ phương trình 1. Phương trình a) Phương pháp giải - Biến đổi đưa về phương trình đã biết cách giải - Đặt ẩn số phụ - Đánh giá hai vế: Áp dụng các bất đẳng thức hoặc phương pháp hàm số. b) Một số dạng phương trình thường gặp: Bậc nhất, bậc hai, chứa ẩn ở mẫu, chứa dấu giá trị tuyệt đối, vô tỷ (lưu ý về phương trình vô tỷ) c) Chú ý: Sử dụng kiến thức phù hợp khi đưa ra lời giải. 2. Hệ phương trình a) Phương pháp giải - Kết hợp các phương trình của hệ: Phương pháp thế hoặc cộng, trừ, nhân, … vế với vế các phương trình của hệ - Đặt ẩn số phụ - Đánh giá hai vế các phương trình của hệ: Áp dụng các bất đẳng thức hoặc phương pháp hàm số. b) Một số dạng hệ phương trình thường gặp: Hệ hai phương trình bậc nhất, bậc hai hai ẩn (lưu ý về hệ phương trình bậc hai) c) Chú ý - Cách biến đổi phương trình nhiều ẩn: Phân tích thành nhân tử, phương pháp hàm số, ... - Sử dụng kiến thức phù hợp khi đưa ra lời giải. II. Một số bài toán minh họa 1. Bài toán 1. Giải phương trình, hệ phương trình nhờ phương pháp đặt ẩn số phụ, phương pháp thế Ví dụ 1. Giải các hệ phương trình  x  1  y 8  x 3  4 x  1 y    a). 2x  y  xy 2 2xy  1  x   2  2 1  2   x  2y   1   12 xy   b) . Hướng dẫn. a) Từ hệ phương trình đã cho ta suy ra 2. x  1   x  1 8  x 3 . . . x  1  1  x  x  2    x 3  8  0.   Đáp số. b) Điều kiện: xy 0. Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với S   2; 1 .. 2xy  1  xy   2x  y . 1  xy 2  2x  y Vì xy 0 nên xy.  1.  2. Thay (2) vào phương trình thứ hai của hệ ta được x 2  2y 2 3  2x  y . 2.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Ví dụ 2. Giải các phương trình sau 2 2 a) 2x  1  x x  2   x  1 x  2x  3 0 2 b) 4x  13x  5  3x  1 0. 3. .  . 2x 2  1  1 x 1  3x  8 2x 2  1. c) Hướng dẫn.. . u  x 2  2x  3  2 1  x   u 2  v 2  1  v  x 2  2  2 2 a) Đặt thì. Do đó phương trình đã cho trở thành.  u  v   12  u  v  1 .v  12  u  v 1 .u 0 2  u  v    u  v   u  v    u  v  0 2. 2. 2. . 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. Cách khác. Phương trình đã cho tương đương với.  x 1 . x2  2x  3. 2.   x. x2  2. . 2. 0. 1 x  . 3 b) Điều kiện 3  3x  1 3  2y  y   2  thì ta có hệ phương trình  Đặt  2y  3 2 3x  1  2  2x  3 2y  x  1  x  y   2x  2y  5  0. Do đó. Đáp số.. 15  x. 97 8. 11  73 , x . 8. Nhận xét. Đặt 3x  1 ay  b, ta xác định a, b để hệ sau “gần đối xứng” 2.  3x  1 ay  b  ay  b  3x  1   2  2 4x  13x  5  ay  b 0  2x  3  ay  x  4  b Từ đó suy ra: a  2, b 3. 1 , 3 phương trình đã cho tương đương với Cách khác. Với  4 x 2  15x  8  2 x  3  3x  1 0 x . . . c) Phương trình đã cho tương đương với. . . 3 2 x 2  1 x  3 2 x 2 1  3 x 2  8 x 2 x 2  1 x 2 x  1 1 thì t = 1 – 3x, t = 3 2. Đặt t = Đáp số: x = 0. 2. Bài toán 2. Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất - Chỉ ra x 0 là một nghiệm của phương trình ( x 0 có giá trị đặc biệt, thường là các số nguyên).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> - Chứng minh x 0 là nghiệm duy nhất của phương trình: Áp dụng các bất đẳng thức (hoặc phương pháp hàm số) Ví dụ. Giải các phương trình sau a). x 2  15 3x  2  x 2  8 x  2 2x  1  3 x  6 4 .  b)  Hướng dẫn.. 2.  x  6   2x  1  3. 2. a) Ta thấy 3 x  2  x  15  x  8 > 0 nên Phương trình đã cho tương đương với. . 2 3.  . x 2  8  3  3  x  1 0. . 1. x 2  15  4  . x.  x  1   x 1 . x 2. . 1.     3 0 x 2  8  3   (1). . 2  x  15  4   x  1 0   1 1   x  1     3 (2) 2 2  x  15  4 x  8  3    . . 2. 2. Ta có: x  15  4  x  8  3 nên phương trình (2) không có nghiệm với Đáp số. x = 1. b) Với. x. x. 2 3. 1 2 , phương trình đã cho tương đương với. . x 6  x 2. . . 2x  1  3 4. Ta chỉ cần xét phương trình trong trường hợp:. . (1) 2x  1  3 0  x 5. . . f(x)  x  6  x  2 2x  1  3 5;   Chứng minh hàm số đồng biến trên  Dễ thấy f(7) = 4, ta chứng minh x = 7 là nghiệm duy nhất của phương trình. 3. Bài toán 3. Giải phương trình, hệ phương trình nhờ phương pháp hàm số - Xây dựng hàm số một biến. + Dạng 1. f  x  g  x  , trong đó f  đồng biến, g  nghịch biến (hoặc ngược lại) f u f v.   , trong đó f  đồng biến (hoặc nghịch biến) + Dạng 2.   - Áp dụng các tính chất của hàm số (tính đơn điệu). Ví dụ 1. Giải các phương trình sau a).  5x  6 . 2. . 1 x 2  5x  7. 1 x1. x 3  2x  7  3x  5  3x. b) Hướng dẫn. a) Với. x. 7 5 phương trình đã cho tương đương với 1 1 2 x 2   5x  6   x1  5x  6   1.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 3 x . 2 Đáp số. 5 x 3 phương trình đã cho tương đương với b) Với. x 3  2x  5  3x  5  3x  2 5  3x. Sử dụng tính chất đồng biến của hàm số x. f  t  t 3  2t.. 29  3 2. Đáp số. Ví dụ 2. Giải các hệ phương trình sau  x 3  4y 2  1  2  x 2  1 x 6   2 2 2  x y 2  2 4y  1 x  x  1 b) .  4x 2  1 x   y  3 5  2y 0  2 4x  y 2  2 3  4y 0   a)  x 3  4x 2  5x  6 y  2 3 7x  9x  4 y c) . . . Hướng dẫn. a) Với. y. 3 4 phương trình thứ nhất của hệ tương đương với 2   2x  2  1  2x   5  2y  1 5  2y     f  t   t 2  1 t.. . . Sử dụng tính chất đồng biến của hàm số.  1   S  ; 2   .  2   Đáp số. b) Điều kiện: x 0. Ta thấy x 0 không thỏa mãn phương trình thứ hai của hệ nên phương trình này. tương đương với  1 1 2y 1  4y 2  1   1  1  2 x x . . . Sử dụng tính chất đồng biến của hàm số c) Từ hệ phương trình đã cho ta suy ra.  x  1. 3. . . f  t  t 1  t 2  1 ..   x  1 y3  y. 3 Sử dụng tính chất đồng biến của hàm số f  t  t  t..    1  5 1  5   S  5; 6  ,  ;  . 2 2      Đáp số.. 4. Bài toán 4. Giải phương trình, hệ phương trình bằng cách áp dụng các bất đẳng thức Ví dụ. Giải các hệ phương trình sau.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> x 1  2  y  3    a)  y  1  2  x  3.  2x  1. 4 4y  3 x 2  2y  1. 4 4x  3 y 2 b) .  x 3  3y 2  6y  4 0  2 2 c)  x  x y  2y 0. Hướng dẫn. a) Điều kiện x  3 , y  3 . Ta chứng minh x = y, thật vậy - Nếu x < y thì x + 1 < y + 1, do đó 2 y 3  2  x 3  y < x (vô lý). - Nếu y < x thì Đáp số. x = y = 1. b) Với x. . 3 3  4 , y 4 từ hệ đã cho ta suy ra 2 x  1. 4 4 x  3 2 y  1. 4 4 y  3 x 2 y 2. . . . Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta chứng minh được 4 0 < 2 x  1 x , 0  4 x  3 x Đáp số. x = y = 1. c) Hệ phương trình đã cho tương đương với  x 3  1 3  y  1 2   2 2y x  2 y 1 . 5. Bài toán 5. Ứng dụng hệ phương trình vào giải các bài toán min, max 2 2 Ví dụ. Cho x, y là các số thực sao cho x  y  xy 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biẻu thức A 2x  y. Hướng dẫn. Để tìm max, min của biểu thức A, ta đi tìm tất cả các giá trị có thể của A, đó là tập các giá trị của A sao cho hệ phương trình sau đây có nghiệm:  x 2  y 2  xy 1   2x  y A III. Bài tập Bài 1. Giải các phương trình sau 2 a) 3x  1  6  x  3x  14x  8 0 2 2 4 6 b) 1  x  x  x  1  1  x 1 Hướng dẫn.. a) Với. . 1 x 6 3 phương trình đã cho tương đương với 3x  1  4  1  6  x  3x 2  14x  5 0. .  . . 3 1    3x  1 0 6  x 1  3x  1  1  . .  x  5 . Đáp số. x = 5. 2 4 2 6 b) Đặt a = 1  x , b = x  x  1 , c = 1  x thì.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> a, b, c 0  a  b  c 1 a 2  b 4  c 6 1   Từ hệ trên ta có 0 a, b, c  1. Do đó 1 = a2 + b4 + c6  a + b + c = 1. Đáp số. x = 1. Bài 2. Giải các phương trình sau 2 3 a) 1  x 4x  3x 2x 35 2x  2  x 1 6 b) Hướng dẫn. 2 a) Đặt 1  x  y với y 0, ta được: y2 = 1–x2 3 3  4 x  3x  y 4 x 3 x  y   2  2 2 2 y  1  x  x  y 1 Như vậy ta được hệ :  4 x 3 (3x  y )( x 2  y 2 )  x3  x 2 y  3xy 2  y 3 0 (1)   2   2 2 2 (2)  x  y 1  x  y 1 Ta thấy y 0 vậy phương trình (1) tương đương với : 3 2  x  x  x       3    1 0  y  y  y  t  1   t 1  2 x t  t 1  2 Đặt y , ta được phương trình : t3 – t2 – 3t – 1 = 0    x  y  2 x  y 2 1 + Với t  1 thì x  y , kết hợp với (2) ta được hệ  , kết hợp với y 0 ta 1 1 x  ; y 2 2 được các nghiệm : + Với t 1 . 2 hoặc t 1  2 , giải tương tự như trên.. y. 1 x , ta được phương. b) Ta thấy x 0 không là nghiệm của phương trình đã cho, đặt trình: 2 2 35    12 1  y 2  12y 35y 1  y 2 2 y 6 1 y.  2 1  y 2 a 12a  12b 35ab   2 a  b 2 1 y  b   Đặt , ta được hệ phương trình  Giải hệ (đối xứng kiểu 1) này ta được a, b, từ đó được nghiệm của phương trình đã cho 35 35 35 35 x  x x  x 21 ; 21 ; 28 ; 28 là: Bài 3. Giải các hệ phương trình sau.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>  x 2  2x  y 2 3  x  y  1 2y  1  2y  2  x  y b)  8  2  3x  y3   x3  2  6  y.  x  y  2y  1  2x  1  2 a)  x y  2xy  y  2 0 x y   x 1  x  2  y 1  y  2   y  x  2  x  1  y  1 0 c) . d). Hướng dẫn. a) Với. x . 1 1 , y  2 2 ta có 2y  1  2x  1 0. 1 1 , y  . 2 2 Dấu “=” xảy ra 1 1 1 x 2 y  2xy  y  2     2 0 8 2 2 Khi đó (không thỏa mãn).  x . Do đó phương trình thứ nhất của hệ tương đương với 2y  1  2x  1 2y  1  2x  1. x y . .  x  y   1 .   x  y 0.  2  0 2y  1  2x  1 . Thay y x vào phương trình thứ hai của hệ ta được Nhận xét - Bài tập tương tự. Giải hệ phương trình 2x  y  2y  1  4x  1  2 3x  2xy  3y  7 0. - Tổng quát. Giải hệ phương trình ax  by  bmy  d  amx  d  2 3x  2xy  3y  7 0.  m  0. 1 y  , x  y 0 2 b) Với phương trình thứ hai của hệ tương đương với .  x  y  2y  1   x  y   2y  1. . . xy . 2y  1  2y  1 x  y . . 2y  1. xy . .  . 2y  1 . xy. xy . . 2y  1 0.  x  y   2y  1 1 0. Do đó 2y  1 x  y  y x  1 Thay y x  1 vào phương trình thứ nhất của hệ ta được Nhận xét - Bài tập tương tự. Giải hệ phương trình.

<span class='text_page_counter'>(8)</span>  x 2  y 2 17   2x  y  1 y  2  y  3 2x  y. - Tổng quát. Giải hệ phương trình  x 2  y 2 m   ax  by  1 cy  d  cy  d  1 ax  by. c) Từ phương trình thứ nhất của hệ chứng minh x = y. d) Từ hệ phương trình đã ta suy ra 3.  2 2 x  3x    3. y  y 3. 2 x . y Biến đổi tương đương, từ đó suy ra. Bài 4. Giải các phương trình sau a) x  4  x  1  x 3 b). x  2  x 2 x 2 . 1 x2. 4 c) x  8  x  4  2x  3  3x Hướng dẫn.. a) Chứng minh . x  1 x. . 2. 1 . x  1  x 1. Đáp số. x = 0 b) Chứng minh VT 2 VP Đáp số. x = 1 c) Với x  0 phương trình đã cho tương đương với 4 x  8  3x  2 x  3  x  4 (1) 4 2 - Nếu x  8  3 x thì 9 x  x  8  0  0  x  1 (2) Trong trường hợp này từ phương trình (1) ta có 2x  3  x  4  x > 1 (3) Trường hợp này không xảy ra. 4 - Nếu x  8  3 x thì …  4 x  8  3 x  Do đó  2 x  3  x  4  x = 1.

<span class='text_page_counter'>(9)</span>