Phương pháp chia miền đối với phương trình song điều hòa

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC






ĐỖ DIỆP ANH






PHƯƠNG PHÁP CHIA MIỀN ĐỐI VỚI
PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA








LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN – 2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC






ĐỖ DIỆP ANH







PHƯƠNG PHÁP CHIA MIỀN ĐỐI VỚI
PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60. 46. 36



LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC




Người hướng dẫn khoa học:
TS VŨ VINH QUANG






THÁI NGUYÊN - 2009
▼ô❝ ❧ô❝
▼ë ➤➬✉ ✷
❈❤➢➡♥❣ ✶✳ ❈➳❝ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥ ✻
✶✳✶✳ ❈➳❝ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥ ✈Ò ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❤➭♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻
✶✳✷✳ ▲ý t❤✉②Õt ✈Ò ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹
✶✳✸✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❧➷♣ ✈➭ ❝➳❝ s➡ ➤å ❧➷♣ ❝➡ ❜➯♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✶
❈❤➢➡♥❣ ✷✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐❛ ♠✐Ò♥ ❣✐➯✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ ❝✃♣ ✷ ✷✽
✷✳✶✳ ●✐í✐ t❤✐Ö✉ ✈Ò ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐❛ ♠✐Ò♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✽
✷✳✷✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐❛ ♠✐Ò♥ ❙❛✐t♦✲❋✉❥✐t❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✸
✷✳✸✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐❛ ♠✐Ò♥ ❉❛♥❣ ◗✉❛♥❣ ❆✲❱✉ ❱✐♥❤ ◗✉❛♥❣ ✳ ✳ ✳ ✸✾

✷✳✹✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐❛ ♠✐Ò♥ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✐➟♥ ❤ç♥ ❤î♣ ♠➵♥❤ ✳ ✳ ✳ ✹✼
❈❤➢➡♥❣ ✸✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐❛ ♠✐Ò♥ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ s♦♥❣ ➤✐Ò✉ ❤ß❛ ✺✺
✸✳✶✳ ●✐í✐ t❤✐Ö✉ ✈Ò ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ s♦♥❣ ➤✐Ò✉ ❤ß❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✺
✸✳✷✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ s♦♥❣ ➤✐Ò✉ ❤ß❛ ❜➺♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣
♣❤➞♥ r➲ ✈Ò ❞➲② ❤❛✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❡❧❧✐♣t✐❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✻
✸✳✸✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐❛ ♠✐Ò♥ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ s♦♥❣ ➤✐Ò✉ ❤ß❛ ✈í✐ ➤✐Ò✉
❦✐Ö♥ ❜✐➟♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✽
✸✳✹✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐❛ ♠✐Ò♥ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ s♦♥❣ ➤✐Ò✉ ❤ß❛ ✈í✐ ➤✐Ò✉
❦✐Ö♥ ❜✐➟♥ ❤ç♥ ❤î♣ ♠➵♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✹
❑Õt ❧✉❐♥ ✽✶
❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✽✸
✶
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ở
r tự tế ề t tr ọ ỹ tt t q ì
ó t ọ ợ ế ệ t ố ớ trì
r r ó rt ít t trờ ợ ề
ì ọ ề ệ số ủ trì ệ số ó tể
tì ợ ệ tờ tí ò số
trờ ợ tì ệ tờ ó rt ứ t
ữ ột số t tr tự tế ỉ tì ệ ủ t t
ột số ể rờ r ó ó ú t ộ sử ụ
ú ủ ế số s
tử ữ rờ r ó t
ết ề ề ệ ệ trì số tế tí ỡ ớ
ế t trể ữ ệ ể ệ trì
ớ ề ì ọ ề ứ t ữ ệ ệ số
ủ trì tì ệ ụ ột ó
ề sẽ rt ề ó ì tr ề q ờ t
t trể ớ ụ í í t

tr ề ì ọ ứ t ề ột t tr ề
ì ọ ể ó tể sử ụ tt t ữ ệ ợ t
trể ề tr ó t ọ
ề st ts tở í
ủ ề tì ị trị tr
ờ t q ột ể ể ệ
t tr ề ứ t ề ệ t tr ề
từ ó t ợ ệ ủ t ố
r ề q ý tết ề ề
ợ tụ t trể t tờ ợ ét ế t

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
❜✐➟♥ ❡❧❧✐♣t✐❝ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❞➵♥❣ Lu = f, x ∈ Ω✱ tr♦♥❣ ➤ã L ❧➭ t♦➳♥ tö ❡❧❧✐♣t✐❝✱ Ω
❧➭ ♠✐Ò♥ d ❝❤✐Ò✉ (d = 2, 3) ✈í✐ ❜✐➟♥ ▲✐♣s❝❤✐t③ ∂Ω✱ f ❧➭ ❤➭♠ t❤✉é❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥
L
2
(Ω)✳ ●✐➯ sö ♠✐Ò♥ Ω ➤➢î❝ ❝❤✐❛ t❤➭♥❤ ❤❛✐ ♠✐Ò♥ ❝♦♥ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♦ ♥❤❛✉ Ω
1
, Ω
2
✳
❚❛ ❦Ý ❤✐Ö✉ Γ = Ω
1
∩Ω
2
✱ ❣✐➯ sö Γ ❧➭ ❜✐➟♥ ▲✐♣s❝❤✐t③ (d − 1) ❝❤✐Ò✉✳ ❳✉✃t ♣❤➳t tõ
❝➠♥❣ t❤ø❝ ➤❛ ♠✐Ò♥ ✈➭ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❙t❡❦❧♦✈✲P♦✐♥❝❛r❡✱ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐❛
♠✐Ò♥ ➤➢î❝ ♣❤➳t tr✐Ó♥ tõ ❝➳❝ s➡ ➤å ❧➷♣ ❝➡ ❜➯♥ s❛✉✿
✶✳ ❙➡ ➤å ❉✐r✐❝❤❧❡t✲◆❡✉♠❛♥♥✿ ❳✉✃t ♣❤➳t tõ λ ❧➭ ❣✐➳ trÞ ❤➭♠ ❝❤➢❛ ❜✐Õt tr➟♥
❜✐➟♥ ♣❤➞♥ ❝❤✐❛✱ t✐Õ♥ ❤➭♥❤ ❣✐➯✐ ❧➬♥ ❧➢ît ❤❛✐ ❜➭✐ t♦➳♥ tr♦♥❣ ❤❛✐ ♠✐Ò♥✿ ❇➭✐ t♦➳♥

❉✐r✐❝❤❧❡t tr♦♥❣ ♠✐Ò♥ Ω
1
✈➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ◆❡✉♠❛♥♥ tr♦♥❣ ♠✐Ò♥ Ω
2
✳ ❚õ ➤ã✱ ♥❣➢ê✐
t❛ ①➞② ❞ù♥❣ s➡ ➤å ❧➷♣ ➤Ó ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❣✐➳ trÞ ❤➭♠ tr➟♥ ❜✐➟♥ ♣❤➞♥ ❝❤✐❛✳ P❤➢➡♥❣
♣❤➳♣ ♥➭② ➤➲ ➤➢î❝ ①Ðt ➤Õ♥ ❜ë✐ ❝➳❝ t➳❝ ❣✐➯ ❇❥♦rst❛❞ ✈➭ ❲✐♥❞❧✉♥❞ ✭✶✾✽✻✮✱
❇r❛♠❜❧❡✱ ✳✳✳ ✭✶✾✽✻✮✱ ❋✉♥❛r♦✱ ✳✳✳ ✭✶✾✽✽✮✱ ▼❛r✐♥✐ ✈➭ ◗✉❛rt❡r♦♥✐ ✭✶✾✽✽✱ ✶✾✽✾✮✳
✷✳ ❙➡ ➤å ◆❡✉♠❛♥♥✲◆❡✉♠❛♥♥✿ ❳✉✃t ♣❤➳t tõ λ ❧➭ ❣✐➳ trÞ ❤➭♠ ❝❤➢❛ ❜✐Õt tr➟♥
❜✐➟♥ ♣❤➞♥ ❝❤✐❛✱ t✐Õ♥ ❤➭♥❤ ❣✐➯✐ ❧➬♥ ❧➢ît ❤❛✐ ❜➭✐ t♦➳♥ tr♦♥❣ ❤❛✐ ♠✐Ò♥✿ ❇➭✐ t♦➳♥
❉✐r✐❝❤❧❡t tr♦♥❣ ♠✐Ò♥ Ω
1
✈➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t tr♦♥❣ ♠✐Ò♥ Ω
2
✳ ❱✐Ö❝ ①➞② ❞ù♥❣
s➡ ➤å ❧➷♣ ➤Ó ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❣✐➳ trÞ ❤➭♠ tr➟♥ ❜✐➟♥ ♣❤➞♥ ❝❤✐❛ ♣❤➯✐ ❞ù❛ ✈➭♦ ❦Õt
q✉➯ ❝ñ❛ ❤❛✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❞➵♥❣ ◆❡✉♠❛♥♥ tr♦♥❣ ❤❛✐ ♠✐Ò♥✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥➭② ➤➢î❝
♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❜ë✐ ❝➳❝ t➳❝ ❣✐➯ ❆❣♦s❤❦♦✈✱ ▲❡❜❡❞❡✈ ✭✶✾✽✺✮✱ ❇♦✉r❣❛t✱ ✳✳✳ ✭✶✾✽✾✮✳
✸✳ ❙➡ ➤å ❘♦❜✐♥✿ ❳✉✃t ♣❤➳t tõ u
(0)
2
tr♦♥❣ ♠✐Ò♥ Ω
2
✱ t✐Õ♥ ❤➭♥❤ ❣✐➯✐ ❧➬♥ ❧➢ît
❤❛✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❘♦❜✐♥ tr♦♥❣ ❤❛✐ ♠✐Ò♥ Ω
1
, Ω
2
✳ ❱✐Ö❝ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❣✐➳ trÞ ❤➭♠ tr➟♥
❜✐➟♥ ♣❤➞♥ ❝❤✐❛ ➤➢î❝ t❤ù❝ ❤✐Ö♥ t❤➠♥❣ q✉❛ s➡ ➤å ❧➷♣ ❦❤✐ ❣✐➯✐ ❧➬♥ ❧➢ît ❤❛✐ ❜➭✐

t♦➳♥ ➤ã✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥➭② ➤➢î❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❜ë✐ t➳❝ ❣✐➯ ❆❣♦s❤❦♦✈ ✭✶✾✽✽✮✱
▲✐♦♥ ✭✶✾✾✵✮✳
❚❛ t❤✃② r➺♥❣✱ ❝➡ së ❝ñ❛ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ tr➟♥ ➤Ò✉ ①✉✃t ♣❤➳t tõ ✈✐Ö❝ ①➳❝
➤Þ♥❤ ❣✐➳ trÞ ❤➭♠ tr➟♥ ❜✐➟♥ ♣❤➞♥ ❝❤✐❛✱ tõ ➤ã ①➞② ❞ù♥❣ ❝➳❝ s➡ ➤å ❧➷♣ ❞➵♥❣ ❤❛✐ ❧í♣
➤è✐ ✈í✐ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tö✳ ❱✐Ö❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ tÝ♥❤ ❤é✐ tô ❝ñ❛ ❝➳❝ s➡ ➤å
❧➷♣ sö ❞ô♥❣ ❦Õt q✉➯ ❝ñ❛ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈ ✈➭ t♦➳♥ tö ❙t❡❦❧♦✈✲P♦✐♥❝❛r❡✳
P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵♦ ❤➭♠ r✐➟♥❣ ❝✃♣ ❝❛♦ ♠➭ t✐➟✉ ❜✐Ó✉ ❧➭ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ s♦♥❣
➤✐Ò✉ ❤ß❛ ❧➭ ❧í♣ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈➱♥ ❝ß♥ ➤❛♥❣ t❤✉ ❤ót sù q✉❛♥ t➞♠ r✃t ❧í♥ ❝ñ❛
✸
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
rt ề ọ ỹ s t ọ r ò t
q ề ớ ữ ệ trì tr ợ
ứ t trể ù ớ sự t trể ẽ ủ tí ệ tử
số trở t ụ ự ể qết t ỹ
tt t ó ít t sử ụ ú
tí ì ự tể ệ
ể ớ trì s ề ò ệ ứ tt t
ề trì s ề ò ột ĩ ự ứ
ộ í ủ trì ết q ề ý tết tự
ệ tí t ố ớ ề t
trì t t s ề ò ớ ề ệ
rt ề ệ ỗ ợ ớ t tở ệ ỉ trị
tr ộ ồ ó
rì ột số ế tứ ề
trì t ý tết ề trì t
tử ữ ế tứ q trọ ề t ết q sẽ trì
tr tế t ủ
rì ề P t
t
ề t ỗ ợ tr sở ủ ề

tổ qt r ó tt t t từ t tở ệ
ỉ tr t q tr sở s ồ
rt ò
t t từ ệ ệ ỉ trị tr
tế ợt t tr ề t tr
ề
1
t rt tr ề
2

ớ tệ tổ q ề trì s ề ò trì
ết q ủ ề ố ớ t s ề ò
tr sở r t s ề ò ề t t ù

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
ết q ề ề t t
trì ề t s ề ò ớ ề
ệ rt r ột số ết q tự ệ tí t ể ể
tr sự ộ tụ ủ tế s
ồ ề s s tố ộ ộ tụ ủ ồ tờ ũ
trì ề t s ề ò ớ ề ệ
ỗ ợ
ết q tự ệ tí t tr sử ụ t ệ
trì tr sở tt t t ọ ố ợ tí t ủ
rs ợ trì tr trờ t tr
tí P
ù rt ố s tr ỏ ữ tế sót
rt ợ sự ỉ ó ó ý ế ủ t
ồ ệ ỉ
t

ọ
ỗ ệ

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

ế tứ
r ú t trì ữ ết q ý tết q trọ
ề trì t ớ ệ ệ ế
ị ý tồ t t ệ t tứ Pr ý tết ề
trì t tử ữ ế tứ sở ết
q ợ t từ t ệ
ế tứ ề
C
k
(

)
sử ột ề ị tr n ề R
n



ó ủ ý ệ C
k
(

)(k = 0, 1, 2, ...) t ó
ế k ể k tr tụ tr

C

k
(

)
u
C
k
(

)
=

||=k
max
x


|D

u(x)|,

tr ó = (
1
, . . . ,
n
) ợ ọ ỉ số t ớ tọ ộ
|| =
1
+ ã ã ã +
n

,
D

u =


1
+ããã+
n
u
x
1

1
...x
n

n
ự ộ tụ t sự ộ tụ ề tr

ủ tt
ủ ú ế k ể k õ r t C
k
(

) ớ (1.1)
ột

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
✶✳✶✳✷✳ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ L

P
(Ω)
●✐➯ sö Ω ❧➭ ♠ét ♠✐Ò♥ tr♦♥❣ R
n
✈➭ p ❧➭ ♠ét sè t❤ù❝ ❞➢➡♥❣✳ ❚❛ ❦ý ❤✐Ö✉
L
P
(Ω) ❧➭ ❧í♣ ❝➳❝ ❤➭♠ ➤♦ ➤➢î❝ f ①➳❝ ➤Þ♥❤ tr➟♥ Ω s❛♦ ❝❤♦

Ω
|f(x)|
p
dx < ∞
✭✶✳✷✮
❚r♦♥❣ L
P
(Ω) t❛ ➤å♥❣ ♥❤✃t ❝➳❝ ❤➭♠ ❜➺♥❣ ♥❤❛✉ ❤➬✉ ❦❤➽♣ tr➟♥ Ω✳ ◆❤➢ ✈❐②
❝➳❝ ♣❤➬♥ tö ❝ñ❛ L
P
(Ω) ❧➭ ❝➳❝ ❧í♣ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ❝➳❝ ❤➭♠ ➤♦ ➤➢î❝ t❤á❛ ♠➲♥
✭✶✳✷✮ ✈➭ ❤❛✐ ❤➭♠ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ♥Õ✉ ❝❤ó♥❣ ❜➺♥❣ ♥❤❛✉ ❤➬✉ ❦❤➽♣ tr➟♥ Ω✳ ❱×
|f(x) + g(x)|
p
 (|f(x)| + |g(x)|)
p
 2
p
(|f(x)|
p
+ |g(x)|

p
)
♥➟♥ râ r➭♥❣ L
P
(Ω) ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈Ð❝ t➡✳
❚❛ ➤➢❛ ✈➭♦ L
P
(Ω) ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ||.||
p
➤➢î❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐
||u||
p
=




Ω
|u(x)|
p
dx



1/p
✭✶✳✸✮
➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✶ ✭❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❍♦❞❡r✮✳ ◆Õ✉ 1 < p < ∞ ✈➭ u ∈ L
P
(Ω), v ∈
L

P
(Ω) t❤× uv ∈ L
P
(Ω) ✈➭

Ω
|u(x)v(x)|dx  ||u||
p
||v||
p
,
✭✶✳✹✮
tr♦♥❣ ➤ã p
,
= p/(p − 1)✱ tø❝ ❧➭
1
p
+
1
p
,
= 1✱ p
,
➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ sè ♠ò ❧✐➟♥ ❤î♣
➤è✐ ✈í✐ p✳
➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✷ ✭❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ▼✐♥❦♦✇s❦✐✮✳ ◆Õ✉ 1 < p < ∞ t❤×
||f + g||
p
 ||f||
p

+ ||g||
p
✭✶✳✺✮
➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✸ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ L
P
(Ω) ✈í✐ 1  p  ∞ ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳
✼
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
W
1,p
()
ị ĩ ề tr R
n
u(x) ợ ọ tí ị
tr ế u(x) ột tr ớ ỗ x
0
ề
tồ t ột ủ x
0
ể u(x) tí tr
ị ĩ ề tr R
n
sử u(x), v(x)
tí ị tr s t ó ệ tứ


u

k

x
1
k
1
...x
n
k
n
dx = (1)
k


vdx
ố ớ ọ (x) C
k
0
(), k = k
1
+ ... + k
n
, k
i
0 (i = 1, 2, ..., n)
ó v(x) ợ ọ s rộ k ủ u(x)
í ệ
v(x) =

k
u
x

1
k
1
...x
n
k
n
.
ị ĩ sử p ột số tự 1 p < ề tr R
n

W
1,p
() ợ ị ĩ s
W
1,p
() =

u | u L
p
(),
u
x
i
L
p
(), i = 1, 2, ..., n

,
tr ó tr s rộ

ớ p = 2 t í ệ W
1,2
() = H
1
() ĩ
H
1
() =

u | u L
2
(),
u
x
i
L
2
(), i = 1, 2, ..., n

.
ổ ề
W
1,p
() ớ
u
W
1,p
()
= u
L

p
()
+
n

i=1




u
x
i




L
p
()
.
H
1
() rt ớ tí ớ
(u, v)
H
1
()
= (u, v)
L

2
()
+
n

i=1

u
x
i
,
v
x
i

L
2
()
, u, v H
1
().

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
ệ tụ st ị ý ú
ị ĩ ề ợ ọ ó tụ st ế ó ớ
ộ tồ t số , ột số ữ m ệ tọ ộ
ị x
(r)
1
, x

(r)
2
, ..., x
(r)
n
m a
r
(x
(r)
1
, x
(r)
2
, ..., x
(r)
n1
) r = 1, 2, ..., m
tụ tr ố (n 1) ề K
(r)
|x
(r)
i
| < , i = 1, 2, ..., n 1
s
ỗ ể x ủ ó tể ể ễ tr ít t ột ệ tọ ộ
x = (x
(r)
1
, x
(r)

2
, ..., x
(r)
n1
, a
r
(x
(r)
1
, x
(r)
2
, ..., x
(r)
n1
)).
ể x = (x
(r)
1
, x
(r)
2
, ..., x
(r)
n1
, x
(r)
n
) tỏ
|x

(r)
i
| < , i = 1, 2, ..., n 1

a
r
(x
(r)
1
, x
(r)
2
, ..., x
(r)
n1
) < x
(r)
n
< a
r
(x
(r)
1
, x
(r)
2
, ..., x
(r)
n1
) +

a
r
(x
(r)
1
, x
(r)
2
, ..., x
(r)
n1
) < x
(r)
n
< a
r
(x
(r)
1
, x
(r)
2
, ..., x
(r)
n1
)
tr
ỗ a
r

(x
(r)
1
, x
(r)
2
, ..., x
(r)
n1
) r = 1, 2, ..., m tỏ ề ệ s
t tr ố K
(r)
tứ ớ ọ (x
(r)
1
, x
(r)
2
, ..., x
(r)
n1
), (y
(r)
1
, y
(r)
2
, ..., y
(r)
n1

)
K
(r)
tồ t số L s
|a
r
(x
(r)
1
, x
(r)
2
, ..., x
(r)
n1
) a
r
(y
(r)
1
, y
(r)
2
, ..., y
(r)
n1
)|
L[(x
(r)
1

y
(r)
1
)
2
+ ... + (x
(r)
n1
y
(r)
n1
)
2
]
1/2
.
ị í sử tụ st ó
ế 1 p < n tì W
1,p
() L
q
()
ú t ố ớ q [1, p

) tr ó
1
p

=
1

p

1
n


S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
✲ ◆❤ó♥❣ ❧✐➟♥ tô❝ ✈í✐ q = p
∗
✳
✐✐✮ ◆Õ✉ p = n t❤× W
1,n
(Ω) ⊂ L
q
(Ω) ❧➭ ♥❤ó♥❣ ❝♦♠♣❛❝t ♥Õ✉ q ∈ [1, +∞)✳
✐✐✐✮ ◆Õ✉ p > n t❤× W
1,p
(Ω) ⊂ C
0
(Ω) ❧➭ ♥❤ó♥❣ ❝♦♠♣❛❝t✳
✶✳✶✳✺✳ ❑❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✈Õt ❝ñ❛ ❤➭♠
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✺ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈ W
1,p
0
(Ω) ➤➢î❝ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ♥❤➢ ❝➳❝ ❜❛♦
➤ã♥❣ ❝ñ❛ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝➳❝ ❤➭♠ ❦❤➯ ✈✐ ✈➠ ❤➵♥ ❝ã ❣✐➳ ❝♦♠♣❛❝t tr♦♥❣ Ω t➢➡♥❣
ø♥❣ ✈í✐ ❝❤✉➮♥ ❝ñ❛ W
1,p
(Ω)✳
❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ H

1
0
(Ω) ➤➢î❝ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❜ë✐
H
1
0
(Ω) = W
1,2
0
(Ω).
➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✺ ●✐➯ sö ❜✐➟♥ ∂Ω ❧➭ ❧✐➟♥ tô❝ ▲✐♣s❝❤✐t③✳ ❑❤✐ ➤ã✿
✐✮ ◆Õ✉ 1 ≤ p < n t❤× W
1,p
0
(Ω) ⊂ L
q
(Ω) ❧➭✿
✲ ◆❤ó♥❣ ❝♦♠♣❛❝t ➤è✐ ✈í✐ q ∈ [1, p
∗
)✱ tr♦♥❣ ➤ã
1
p
∗
=
1
p
−
1
n
✳

✲ ◆❤ó♥❣ ❧✐➟♥ tô❝ ✈í✐ q = p
∗
✳
✐✐✮ ◆Õ✉ p = n t❤× W
1,n
0
(Ω) ⊂ L
q
(Ω) ❧➭ ♥❤ó♥❣ ❝♦♠♣❛❝t ♥Õ✉ q ∈ [1, +∞)✳
✐✐✐✮ ◆Õ✉ p > n t❤× W
1,p
0
(Ω) ⊂ C
0
(Ω) ❧➭ ♥❤ó♥❣ ❝♦♠♣❛❝t✳
➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✻ ✭➤Þ♥❤ ❧ý ✈Õt✮
●✐➯ sö Ω ❧➭ t❐♣ ♠ë tr♦♥❣ R
n
✈í✐ ❜✐➟♥ ∂Ω ❧➭ ❧✐➟♥ tô❝ ▲✐♣s❝❤✐t③✳ ❑❤✐ ➤ã✱
tå♥ t➵✐ ❞✉② ♥❤✃t ♠ét ➳♥❤ ①➵ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❧✐➟♥ tô❝
γ : H
1
(Ω) −→ L
2
(∂Ω)
s❛♦ ❝❤♦ ✈í✐ ❜✃t ❦ú u ∈ H
1
(Ω) ∩ C
0
(Ω) t❛ ❝ã γ(u) = u|

∂Ω
✳ ❍➭♠ γ(u) ➤➢î❝
❣ä✐ ❧➭ ✈Õt ❝ñ❛ u tr➟♥ ∂Ω✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✻ ●✐➯ sö ❜✐➟♥ ∂Ω ❧➭ ❧✐➟♥ tô❝ ▲✐♣s❝❤✐t③✳ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ H
1/2
(∂Ω)
➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠✐Ò♥ ❣✐➳ trÞ ❝ñ❛ ➳♥❤ ①➵ ✈Õt γ✱ tø❝ ❧➭
H
1/2
(∂Ω) = γ(H
1
(Ω)).
✶✵
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ị í
H
1/2
() rt ớ
u
2
H
1/2
()
=


|u(x)|
2
dS
x

+




|u(x) u(y)|
2
|x y|
n+1
dS
x
dS
y
.
ồ t ột số C

() s
(u)
H
1/2
()
C

()u
H
1
()
, u H
1
().

ó C

() ợ ọ số ết
ổ ề sử tụ st H
1/2
() ó
tí t s
{u|

, u C

(R
n
)} trù t tr H
1/2
()
ú H
1/2
() L
2
() t
ồ t tế tí tụ
g H
1/2
() u
g
H
1
()
ớ (u

g
) = g tồ t số C
1
() ỉ ụ tộ ề s
u
g

H
1
()
C
1
()g
H
1/2
()
, g H
1/2
().
ổ ề sử tụ st ó
H
1
0
() = {u | u H
1
(), (u) = 0}.
ị í t tứ Pr
ồ t số C

s

u
L
2
()
C

u
L
2
()
, u H
1
0
().
ứ
sử I ột tr R
n
ứ u H
1
0
() í ệu ở
rộ ở 0 ủ u I óu H
1
0
(I)
u
L
2
()
= u

L
2
(I)
; u
L
2
()
= u
L
2
(I)
.


S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
➤Ó ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤Þ♥❤ ❧ý ➤ó♥❣ ✈í✐ Ω ❧➭ ❦❤♦➯♥❣ ❜✃t ❦ú tr♦♥❣ R
n
✱ ❦❤➠♥❣ ♠✃t
tÝ♥❤ tæ♥❣ q✉➳t t❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤Þ♥❤ ❧ý ➤ó♥❣ ✈í✐ Ω = (0, a)
n
✳
❱í✐ ∀u ∈ C
∞
0
(Ω) t❛ ❝ã
u(x) = u(x

, x
n
) =


x
n
0
∂u
∂x
n
(x

, t)dt.
❚❛ ❧➵✐ ❝ã
|u(x)|
2
=





x
n
0
∂u
∂x
n
(x

, t).1dt





2
≤
≤x
n

x
n
0




∂u
∂x
n
(x

, t)




2
dt ≤
≤a

a
0





∂u
∂x
n
(x

, t)




2
dt.
▲✃② tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❤❛✐ ✈Õ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr➟♥ Ω t❛ ➤➢î❝✿

Ω
u
2
dx ≤ a
2

Ω




∂u

∂x
n




2
dx ≤ a
2

Ω
|∇u|
2
dx,
tø❝ ❧➭
u
L
2
(Ω)
≤ a∇u
L
2
(Ω)
, ∀u ∈ C
∞
0
(Ω).
❉♦ ➤ã ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr➟♥ ➤ó♥❣ ✈í✐ ∀u ∈ H
1
0

(Ω)✳
◆Õ✉ Ω ❧➭ ♠ét t❐♣ ♠ë ❣✐í✐ ♥é✐ ❜✃t ❦ú✱ ❧✉➠♥ tå♥ t➵✐ ❦❤♦➯♥❣ I ✈í✐ ❝➳❝ ❝➵♥❤
♣❤ô t❤✉é❝ ✈➭♦ ➤➢ê♥❣ ❦Ý♥❤ ❝ñ❛ Ω t❤á❛ ♠➲♥ Ω ⊂ I✳
❚❤❡♦ tr➟♥✱ ➤Þ♥❤ ❧ý ➤ó♥❣ ✈í✐ ❦❤♦➯♥❣ I✱ ❦Õt ❤î♣ ✈í✐ ✭✶✳✻✮ t❛ s✉② r❛ ➤Þ♥❤ ❧ý
➤ó♥❣ ✈í✐ Ω✳ 
◆❤❐♥ ①Ðt ✶✳✶ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ P♦✐♥❝❛r❡ ❝ã ý ♥❣❤Ü❛ r➺♥❣✿ u = ∇u
L
2
(Ω)
❧➭
♠ét ❝❤✉➮♥ tr➟♥ H
1
0
(Ω)✱ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ ❝❤✉➮♥ ❝ñ❛ H
1
(Ω) ➤➢î❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐
u
2
H
1
(Ω)
= u
2
L
2
(Ω)
+ ∇u
2
L
2

(Ω)
.
✶✷
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✾ ✭❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ P♦✐♥❝❛r❡ ♠ë ré♥❣✮
●✐➯ sö ❜✐➟♥ ∂Ω ❧✐➟♥ tô❝ ▲✐♣s❝❤✐t③✱ ∂Ω = Γ
1
∪ Γ
2
✱ tr♦♥❣ ➤ã Γ
1
, Γ
2
❧➭ ❝➳❝
t❐♣ ➤ã♥❣✱ rê✐ ♥❤❛✉✱ Γ
1
❝ã ➤é ➤♦ ❞➢➡♥❣✳ ❑❤✐ ➤ã✱ tå♥ t➵✐ ❤➺♥❣ sè C
Ω
s❛♦ ❝❤♦
u
L
2
(Ω)
≤ C
Ω
∇u
L
2
(Ω)
∀u ∈ H

1
(Ω), γ(u) = 0 tr➟♥ Γ
1
✳
✶✳✶✳✻✳ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈ ✈í✐ ❝❤Ø sè ➞♠ H
−1
(Ω) ✈➭ H
−1/2
(∂Ω)
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✼ ❑Ý ❤✐Ö✉ H
−1
(Ω) ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ➤➢î❝ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❜ë✐
H
−1
(Ω) = (H
1
0
(Ω))

,
tø❝ ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❝ñ❛ H
1
0
(Ω)✳ ❈❤✉➮♥ ❝ñ❛ ♣❤➬♥ tö F ∈ H
−1
(Ω)
➤➢î❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ♥❤➢ s❛✉
F 
H
−1

(Ω)
= sup
H
1
0
(Ω)\{0}


F, u
H
−1
(Ω),H
1
0
(Ω)


 u 
H
1
0
(Ω)
,
tr♦♥❣ ➤ã
F, u
H
−1
(Ω),H
1
0

(Ω)
=

Ω
F udx.
❇æ ➤Ò ✶✳✹ ❈❤♦ F ∈ H
−1
(Ω)✳ ❑❤✐ ➤ã tå♥ t➵✐ n + 1 ❤➭♠ f
0
, f
1
, ..., f
n
tr♦♥❣
L
2
(Ω) s❛♦ ❝❤♦
F = f
0
+
n

i=1
∂f
i
∂x
i
.
✭✶✳✼✮
❍➡♥ ♥÷❛

 F 
2
H
−1
(Ω)
= inf
n

i=1
 f
i

2
L
2
(Ω)
,
tr♦♥❣ ➤ã ✐♥❢✐♠✉♠ ❧✃② tr➟♥ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ✈❡❝t➡ (f
0
, f
1
, ..., f
n
) tr♦♥❣ [L
2
(Ω)]
n+1
t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ✭✶✳✼✮✳
✶✸
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✽ ●✐➯ sö ❜✐➟♥ ∂Ω ❧➭ ❧✐➟♥ tô❝ ▲✐♣s❝❤✐t③✳ ❑Ý ❤✐Ö✉ H
−1/2
(∂Ω) ❧➭
❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ➤➢î❝ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❜ë✐
H
−1/2
(∂Ω) = (H
1/2
(∂Ω))

,
tø❝ ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❝ñ❛ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ H
1/2
(∂Ω)✳ ❈❤✉➮♥ ❝ñ❛ ♣❤➬♥ tö
F ∈ H
−1/2
(∂Ω) ➤➢î❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ♥❤➢ s❛✉
F 
H
−1/2
(∂Ω)
= sup
H
1/2
(∂Ω)\{0}


F, u
H
−1/2

(∂Ω),H
1/2
(∂Ω)


 u 
H
1/2
(∂Ω)
,
tr♦♥❣ ➤ã
F, u
H
−1/2
(∂Ω),H
1/2
(∂Ω)
=

∂Ω
F udS.
❇æ ➤Ò ✶✳✺ ●✐➯ sö ❜✐➟♥ ∂Ω ❧➭ ❧✐➟♥ tô❝ ▲✐♣s❝❤✐t③✳ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ H
−1/2
(∂Ω) ❝ã
❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t s❛✉✿
✐✮ ◆❤ó♥❣ L
2
(∂Ω) ⊂ H
−1/2
(∂Ω) ❧➭ ❝♦♠♣❛❝t✳

✐✐✮ ❚å♥ t➵✐ ➳♥❤ ①➵ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❧✐➟♥ tô❝
v ∈ H(Ω, div) −→ v.n ∈ H
−1/2
(∂Ω),
✈í✐ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ H(Ω, div) =

v | v ∈ L
2
(Ω), divv ∈ L
2
(Ω)

.
❍➡♥ ♥÷❛✱ ♥Õ✉ v ∈ H(Ω, div) ✈➭ w ∈ H
1
(Ω) t❤×✿
−

Ω
(divv)wdx =

Ω
v∇wdx + v.n, w
H
−1/2
(∂Ω),H
1/2
(∂Ω)
✶✳✷✳ ▲ý t❤✉②Õt ✈Ò ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝
✶✳✷✳✶✳ ❑❤➳✐ ♥✐Ö♠ ♥❣❤✐Ö♠ ②Õ✉ ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤

❳Ðt ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤
−u = f.
✭✶✳✽✮
●✐➯ sö u ∈ C
2
(Ω), f ∈ C(Ω) ✈➭ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✭✶✳✽✮ t❤á❛ ♠➲♥ tr♦♥❣ ♠✐Ò♥
Ω✳ ❑❤✐ ➤ã✱ u(x) ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝æ ➤✐Ó♥ ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✭✶✳✽✮✳
✶✹
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
t ỳ tộ D() = C

0
() ớ ế ủ rồ
tí t ợ



udx =


fdx.

ụ tứ r ết ợ ớ ề ệ |

= 0 t
ó


n

i=1

x
i
u
x
i
dx =


fdx,




udx =


fdx.
ế u ệ ổ ể ủ trì tì ó
ế fC() tì trì ó ệ ổ ể
t ở rộ ệ ệ f L
2
()
ị ĩ sử u H
1
(), f L
2
() u ợ ọ ệ ế
ủ trì ế ợ tỏ

ệ ề ế u ệ ế ủ trì u C
2
(), f
C() tì u ệ ổ ể tứ u = f
ứ
sử u ệ ế ủ trì tứ u H
1
() t ó
ớ ọ D() ết ợ ớ ề ệ u C
2
() t s r


(u + f)dx = 0, u D().
ì D() trù t tr L
2
() u + f trự ớ ọ D()
u + f = 0 tr L
2
() ì u tụ u + f 0 tr
C() u ệ ổ ể ủ trì

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
✶✳✷✳✷✳ P❤➳t ❜✐Ó✉ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✐➟♥
• ❇➭✐ t♦➳♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t
❳Ðt ❜➭✐ t♦➳♥



−u ❂ f, x ∈ Ω,

u ❂ ϕ, x ∈ ∂Ω,
✭✶✳✶✶✮
tr♦♥❣ ➤ã f ∈ L
2
(Ω)✳
❍➭♠ u ∈ H
1
(Ω) ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ②Õ✉ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✶✳✶✶✮ ♥Õ✉
u − w ∈ H
1
0
(Ω),
✭✶✳✶✷✮
tr♦♥❣ ➤ã w ❧➭ ❤➭♠ t❤✉é❝ H
1
(Ω)✱ ❝ã ✈Õt ❜➺♥❣ ϕ ✈➭

Ω
∇u∇vdx =

Ω
fvdx, ∀v ∈ H
1
0
(Ω).
✭✶✳✶✸✮
◆❤❐♥ ①Ðt ✶✳✷ ✲ ◆❣❤✐Ö♠ ②Õ✉ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✶✳✶✶✮ ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ②Õ✉ ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣
tr×♥❤ −u = f ✈× t❛ ➤➲ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ♥❣❤✐Ö♠ ②Õ✉ ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ♥➭② ❧➭ ❤➭♠
u ∈ H
1

(Ω) t❤á❛ ♠➲♥ ✭✶✳✶✸✮ ✈í✐ ♠ä✐ v ∈ C
∞
0
(Ω) ⊂ H
1
0
(Ω)✳
✲ ◆Õ✉ u ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ②Õ✉ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✶✳✶✶✮ ✈➭ u, f, ϕ ➤ñ tr➡♥ t❤× u ❧➭
♥❣❤✐Ö♠ t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛ ❝æ ➤✐Ó♥✳
• ❇➭✐ t♦➳♥ ◆❡✉♠❛♥♥
❳Ðt ❜➭✐ t♦➳♥





−u ❂ f, x ∈ Ω,
∂u
∂ν
❂ h, x ∈ ∂Ω,
✭✶✳✶✹✮
tr♦♥❣ ➤ã h ∈ C(∂Ω), f ∈ C(Ω), u ∈ C
2
(Ω) ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝æ ➤✐Ó♥✳
◆❤➞♥ ❤❛✐ ✈Õ ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ −u = f ✈í✐ v ∈ H
1
(Ω) rå✐ ❧✃② tÝ❝❤ ♣❤➞♥
t❛ ➤➢î❝
−


Ω
vudx =

Ω
vfdx.
✭✶✳✶✺✮
✶✻
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ụ tứ r t ó



v
u

dS +


uvdx =


vfdx,
ết ợ ớ t s r


uvdx =


fvdx +

hvdS, v H
1
().

ị ĩ ế h L
2
(), f L
2
() tì ệ ế ủ t
u H
1
() tỏ
ét ớ ỉ ét ữ trờ ợ tr ỉ ột
ề ệ r tự tế ó tể t ỗ ợ
ì











u f, x ,
u , x
1

,
u

h, x
2
.
r trờ ợ t
V = {v H
1
(), v|

1
= 0}.
sử w H
1
() : w|

1
= ó ệ ế ủ trì
u = f ớ ề ệ tr u H
1
() s u w V



uvdx =


vfdx +

vhdS, v V.

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
ự tồ t t ệ ế
ị í r
sử H rt ớ tí ớ (v, u) B(v, u)
s tế tí ố ứ tụ ị tr H tứ tồ t
k > 0 s
|B(v, u)| kvu, u, v H
tồ t > 0 s
B(v, v) v
2
, v H.
ó ỗ ế tế tí F ớ ộ tr H ó tể ể ễ tr

F (v) = B(v, z), v H,
tr ó z H t ợ ị ở F
z
1

F .
ó ớ ọ v H t ế B(v, z) = F (v) ó
t ệ z H tỏ z
1

F
t rt t t
ét t

u f, x ,
u 0, x ,

tr ó f L
2
() t ó ệ ế u H
1
0
() tỏ

B(u, v) = F (v), v H
1
0
(),

tr ó
B(u, v) =


uvdx, F (v) =


fvdx.

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
❑✐Ó♠ tr❛ ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝ñ❛ ➤Þ♥❤ ❧ý ▲❛①✲▼✐❧❣r❛♠✿ ❚❛ t❤✃②✱ B(u, v) ❧➭ ❞➵♥❣
s♦♥❣ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ➤è✐ ①ø♥❣✱ ❧✐➟♥ tô❝✳ ❚õ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❋r✐❞r✐❝❤
C


Ω
|∇v|
2
dx ≥

Ω
|v|
2
dx
s✉② r❛
(1 + C)

Ω
|∇v|
2
dx ≥ v
2
H
1
(Ω)
.
❉♦ ➤ã
B(v, v) =

Ω
|∇v|
2
dx ≥
1

1 + C
v
2
H
1
(Ω)
.
◆❤➢ ✈❐② B(u, v) ❧➭ ❞➵♥❣ s♦♥❣ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ➤è✐ ①ø♥❣✱ ❧✐➟♥ tô❝✱ ①➳❝ ➤Þ♥❤
❞➢➡♥❣ tr➟♥ H✳
❚❤❡♦ ➤Þ♥❤ ❧ý ▲❛①✲▼✐❧❣r❛♠✱ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✶✳✶✽✮ ❝ã ♥❣❤✐Ö♠ ❞✉② ♥❤✃t u ∈
H
1
0
(Ω) t❤á❛ ♠➲♥
u
H
1
(Ω)
≤ (1 + C)F .
❱× v
L
2
(Ω)
≤ v
H
1
0
(Ω)
♥➟♥
F  = sup

v=0
|F (v)|
v
H
1
0
(Ω)
≤ sup
v=0
f
L
2
(Ω)
v
L
2
(Ω)
v
H
1
0
(Ω)
≤ f
L
2
(Ω)
.
❉♦ ➤ã
u
H

1
(Ω)
≤ (1 + C)f
L
2
(Ω)
.
• ❇➭✐ t♦➳♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t ❦❤➠♥❣ t❤✉➬♥ ♥❤✃t
❳Ðt ❜➭✐ t♦➳♥



−u ❂ f, x ∈ Ω,
u ❂ ϕ, x ∈ ∂Ω,
✭✶✳✶✾✮
tr♦♥❣ ➤ã ϕ ∈ H
1/2
(∂Ω), f ∈ L
2
(Ω)✳
❱× ϕ ∈ H
1/2
(∂Ω) ♥➟♥ tå♥ t➵✐ w ∈ H
1
(Ω) s❛♦ ❝❤♦ w|
∂Ω
= ϕ✳
❑❤✐ ➤ã✱ ♥❣❤✐Ö♠ ②Õ✉ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✶✳✶✾✮ ❧➭ ❤➭♠ u ∈ H
1
(Ω) t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ò✉

❦✐Ö♥ u − w ∈ H
1
0
(Ω) ✈➭
B(u, v) = (f, v)
L
2
(Ω)
, ∀v ∈ H
1
0
(Ω),
✶✾
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
tr♦♥❣ ➤ã
B(u, v) =

Ω
∇u∇vdx.
❚❤❡♦ ➤Þ♥❤ ❧ý ▲❛①✲▼✐❧❣r❛♠✱ tå♥ t➵✐ ❞✉② ♥❤✃t z ∈ H
1
0
(Ω) s❛♦ ❝❤♦
B(z, v) = (f, v)
L
2
(Ω)
− B(w, v).
✭✶✳✷✵✮
❑❤✐ ➤ã✱ ❤➭♠ u = w + z ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ②Õ✉ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✶✳✶✾✮✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ t❛

❝ã u − w ∈ H
1
0
(Ω) ✈➭
B(u, v) =B(w + z, v) = B(w, v) + B(z, v) =
=B(w, v) + (f, v)
L
2
(Ω)
− B(w, v) = (f, v)
L
2
(Ω)
,
tø❝ ❧➭ tå♥ t➵✐ ❞✉② ♥❤✃t ♥❣❤✐Ö♠ ②Õ✉ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✶✳✶✾✮✳
❚❛ ➤✐ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ♥❣❤✐Ö♠✿ ❚❤❡♦ ➤Þ♥❤ ❧ý ▲❛①✲▼✐❧❣r❛♠✱ tõ ✭✶✳✷✵✮ t❛ ❝ã
z
H
1
0
(Ω)
≤
1
α

sup
v=0
|(f, v)
L
2

(Ω)
|
v
H
1
0
(Ω)
+ sup
v=0
B(w, v)
v
H
1
0
(Ω)

.
❚❛ t❤✃②
|(f, v)
L
2
(Ω)
|
v
H
1
0
(Ω)
≤ f
L

2
(Ω)
,
B(w, v)
v
H
1
0
(Ω)
≤ k
w
H
1
0
(Ω)
v
H
1
0
(Ω)
v
H
1
0
(Ω)
= kw
H
1
0
(Ω)

.
❚õ ➤ã s✉② r❛
z
H
1
0
(Ω)
≤
1
α

f
L
2
(Ω)
+ kw
H
1
0
(Ω)

.
❉♦ ➤ã
u
H
1
0
(Ω)
≤z
H

1
0
(Ω)
+ w
H
1
0
(Ω)
≤
≤
1
α
f
L
2
(Ω)
+

1 +
k
α

w
H
1
0
(Ω)
.
❉♦ ➳♥❤ ①➵ ✈Õt ❧✐➟♥ tô❝ ♥➟♥ tå♥ t➵✐ ❤➺♥❣ sè C s❛♦ ❝❤♦
w

H
1
0
(Ω)
≤ Cϕ
H
1/2
(∂Ω)
.
❑Õt ❤î♣ ❝➳❝ ➤✐Ò✉ tr➟♥ t❛ s✉② r❛
u
H
1
0
(Ω)
≤ C
1
f
L
2
(Ω)
+ C
2
ϕ
H
1/2
(∂Ω)
.
✷✵
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

P s ồ
ợ
sử H rt tự ớ tí ớ (, ) .
A t tử ố ứ ị tr H tứ ề ị D(A)
trù t tr H
(Au, v) = (u, Av), u, v D(A)
tồ t số s
(Au, u) u
2
, u D(A).
r ề ị D(A) ét ế s tế tí (Au, v)
t í ệ (Au, v) = [u, v]
t ế [u, v] tr D(A) tỏ ọ t ề ủ tí
ớ tr rt trừ tợ ó t t ó
[u, v] = (Au, v) = (u, Av) = (Av, u) = [v, u],
[
1
u
1
+
2
u
2
, v] =(A(
1
u
1
+
2
u

2
), v) =
=
1
(Au
1
, v) +
2
(Au
2
, v) =
=
1
[u
1
, v] +
2
[u
2
, v],
[u, u] = (Au, u) 0, [u, u] = (Au, u) = 0 ỉ u = 0.
ó ợ

[u, u] tỏ tí t ủ ột í
ệ ó |.|
|u|
2
= [u, u] = (Au, u).

ờ t ự ột tế tí ị h

A
s
tử ủ h
A
trù ớ tử ủ D(A) é t ộ
tử ột số ớ ột tử tr h
A
ợ ị ĩ trù ớ

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
é t tr H
ủ tử tr h
A
ợ ị ĩ ở
h
A
ợ ị ĩ ó tể ột
ủ r trờ ợ t ủ h
A
ổ
s tr ể ợ ủ H
A
H
A

ợ ọ ợ ủ t tử A
H
A
ồ ữ tử ũ tộ D(A) ữ tử t
ợ s é ổ s ủ u H

A
ợ ị ở
u
2
A
= lim
n
|u
n
|
2
,
tr ó {u
n
} t tr |.| tr h
A
tử tộ
D(A) ị u
í ớ ủ tử u, v H
A
ợ ị ở
[u, v]
A
= lim
n
[u
n
, v
n
],

tr ó {u
n
}, {v
n
} tử tộ D(A) ị u, v
H
A
ớ tí ớ tr rt
tờ ó ọ ợ H
A
rt
t ợ ổ s t D(A) t ủ t tí
ớ (Au, v)
P trì t tử
ợ ồ ớ
ét t
Au = f,

tr ó A : H H t tử tế tí tr rt tự
N ề H ớ tí ớ (, ) y =

(y, y)
sử A t tử ố ứ ị f H t tù ý
r ỗ t t từ y
0
t ỳ tộ H ờ t r

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
❝➳❝❤ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ♥❣❤✐Ö♠ ①✃♣ ①Ø y
1

, y
2
, ..., y
k
, ... ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✭✶✳✷✷✮✳ ❈➳❝
①✃♣ ①Ø ♥❤➢ ✈❐② ➤➢î❝ ❜✐Õt ♥❤➢ ❧➭ ❝➳❝ ❣✐➳ trÞ ❧➷♣ ✈í✐ ❝❤Ø sè ❧➷♣ k = 1, 2, ... ❇➯♥
❝❤✃t ❝ñ❛ ♥❤÷♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥➭② ❧➭ ❣✐➳ trÞ y
k+1
❝ã t❤Ó ➤➢î❝ tÝ♥❤ t❤➠♥❣ q✉❛
❝➳❝ ❣✐➳ trÞ ❧➷♣ tr➢í❝✿ y
k
, y
k−1
, ...✳
P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❧➷♣ ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❧➷♣ ♠ét ❜➢í❝ ❤♦➷❝ ❤❛✐ ❜➢í❝
♥Õ✉ ①✃♣ ①Ø y
k+1
❝ã t❤Ó tÝ♥❤ ➤➢î❝ t❤➠♥❣ q✉❛ ♠ét ❤♦➷❝ ❤❛✐ ❣✐➳ trÞ ❧➷♣ tr➢í❝ ➤ã✳
❉➵♥❣ ❝❤Ý♥❤ t➽❝ ❝ñ❛ ❧➢î❝ ➤å ❧➷♣ ❤❛✐ ❧í♣ ❧➭
B
k
y
k+1
− y
k
θ
k+1
+ Ay
k
= f, k = 0, 1, 2, ...

✭✶✳✷✸✮
tr♦♥❣ ➤ã θ
k+1
❧➭ ❝➳❝ t❤❛♠ sè ❧➷♣✳
●✐➯ t❤✐Õt B
k
❧➭ t♦➳♥ tö t✉②Õ♥ tÝ♥❤ tõ H ✈➭♦ H✱ tå♥ t➵✐ t♦➳♥ tö ♥❣➢î❝ B
−1
k
✳
❉♦ ➤ã tõ ✭✶✳✷✸✮ t❛ ❝ã
y
k+1
= y
k
− θ
k+1
B
−1
k
(Ay
k
− f)
✭✶✳✷✹✮
❤♦➷❝ ❞➵♥❣ t➢➡♥❣ tù
y
k+1
= y
k
− θ

k+1
B
−1
k
r
k
= y
k
− θ
k+1
w
k
,
tr♦♥❣ ➤ã r
k
= Ay
k
− f ❧➭ ➤é ❦❤➠♥❣ ❦❤í♣ ✈➭ w
k
= B
−1
k
r
k
❧➭ ♣❤➬♥ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤✳
❱í✐ y
k
➤➲ ❜✐Õt✱ ❣✐➳ trÞ ❝ñ❛ y
k+1
❝ã t❤Ó tÝ♥❤ ➤➢î❝ tõ ✭✶✳✷✹✮✳ ❇✐Õt y

0
t❛ ①➳❝
➤Þ♥❤ ➤➢î❝ y
1
, y
2
, ... ❚✃t ♥❤✐➟♥✱ ♥ã ❝❤Ø ❝ã ♥❣❤Ü❛ ❦❤✐ ♣❤Ð♣ ❧➷♣ ❤é✐ tô✱ tø❝ ❧➭
y
k
− u −→ 0, k −→ ∞.
❚❤➠♥❣ t❤➢ê♥❣✱ ♥❣❤✐Ö♠ ➤➢î❝ t×♠ ✈í✐ ➤é ❝❤Ý♥❤ ①➳❝ ε ✭❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ ➤é
❝❤Ý♥❤ ①➳❝
y
k
− u
y
0
− u
)✱ ❝ã ♥❣❤Ü❛ ❧➭ sù tÝ♥❤ t♦➳♥ ➤➢î❝ ❞õ♥❣ ❦❤✐
y
k
− u ≤ εy
0
− u.
✭✶✳✷✺✮
❱× u ❝❤➢❛ ❜✐Õt ♥➟♥ t❛ t❤❛② ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ✭✶✳✷✺✮ ❜➺♥❣ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❝❤♦ ➤é
❦❤➠♥❣ ❦❤í♣
Ay
k
− f ≤ εAy

0
− f.
✭✶✳✷✻✮
✷✸
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên