Hạng của đường cong elliptic trên trường hữu tỉ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Ngọc Phúc

HẠNG CỦA ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC TRÊN
TRƯỜNG HỮU TỈ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Ngọc Phúc

HẠNG CỦA ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC TRÊN
TRƯỜNG HỮU TỈ

Chun ngành : Hình học và tơpơ
Mã số

: 60 46 01 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. PHAN DÂN

Thành phố Hồ Chí Minh - 2016


i
LỜI CÁM ƠN
Trước hết, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành đến thầy TS. Phan Dân,
người đã đưa ra ý tưởng của đề tài và trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ tôi với những
chỉ dẫn khoa học quý giá trong suốt q trình thực hiện và hồn thành luận văn.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn đến các thầy trong Khoa Toán – Tin của
trường đại học Sư phạm TPHCM, đặc biệt là các thầy trong Bộ môn Hình học
đã trực tiếp giảng dạy và truyền đạt những kiến thức, kinh nghiệm khoa học về
chuyên ngành cho tôi trong suốt thời gian học ở trường.
Đồng thời cũng xin gửi lời cám ơn đến BGH trường Đại Học Sư Phạm,
phòng Đào tạo sau đại học và các phòng ban chức năng của trường Đại Học Sư
Phạm đã tạo điều kiện cho tơi hồn thành luận văn này.
Cuối cùng, tơi xin cám ơn các anh chị, các bạn trong lớp chun ngành
Hình học và tơpơ khóa 24 đã ln giúp đỡ tơi trong q trình học tập và hồn
thành luận văn.
Một lần nữa tơi xin chân thành cám ơn.
Hồ Chí Minh, ngày 22 tháng 04 năm 2016

Nguyễn Ngọc Phúc


ii
MỤC LỤC
TRANG PHỤ BÌA
LỜI CÁM ƠN ........................................................................................................ i 
MỤC LỤC ............................................................................................................. ii 
DANH MỤC KÝ HIỆU ........................................................................................ v 

MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 1 
Chương 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN ....................................................................... 6 
1.1. Các định nghĩa và định lí cơ bản ................................................................ 6 
1.1.1. Định nghĩa nhóm aben hữu hạn sinh .................................................. 6 
1.1.2. Định nghĩa nhóm con xoắn ................................................................. 6 
1.1.3. Định nghĩa tổng trực tiếp trong ........................................................... 6 
1.1.4. Định lí .................................................................................................. 6 
1.1.5. Định nghĩa nhóm Aben tự do .............................................................. 7 
1.1.6. Định lí .................................................................................................. 8 
1.1.7. Định lí .................................................................................................. 8 
1.1.8. Định lí .................................................................................................. 8 
1.1.9. Định lí ................................................................................................ 10 
1.2. Một số kết quả trong Đại số và Lí thuyết số ............................................ 10 
1.2.1. Định nghĩa ......................................................................................... 10 
1.2.2. Định nghĩa ......................................................................................... 11 
1.2.3. Bổ đề ................................................................................................. 11 
1.2.4. Định lí ................................................................................................ 12 
1.2.5. Định lí Bezout ................................................................................... 13 
1.2.6. Định lí ................................................................................................ 13 
1.2.7. Định nghĩa mở rộng trường............................................................... 14 
1.2.8. Định nghĩa mở rộng trường bậc hữu hạn .......................................... 14 
1.2.9. Định nghĩa nhóm Galois ................................................................... 14 
1.2.10. Định nghĩa mở rộng Galois ............................................................. 14 


iii
1.2.11. Kí hiệu Legrendre .......................................................................... 14 
1.2.12. Định nghĩa và tính chất của chuẩn ................................................. 15 
1.3. Các đa tạp xạ ảnh và đa tạp affine............................................................ 16 
1.3.1. Định nghĩa về đa tạp affine ............................................................... 16 

1.3.2. Định nghĩa về đa tạp xạ ảnh .............................................................. 18 
1.4. Tổng quan về đường cong elliptic trên trường K . .................................. 19 
1.4.1. Các khái niệm và định nghĩa về đường cong elliptic ........................ 19 
1.4.2. Một số định lí cơ bản........................................................................ 26 
Chương 2. CÁC ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC DẠNG WEIERSTRASS
TRÊN  ............................................................................................................. 37 
2.1. Tổng quan về đường cong elliptic dạng Weierstrass trên  ................... 37 
2.1.1. Định nghĩa về đường cong elliptic trên trường hữu tỉ ...................... 37 
2.1.2. Một số hình ảnh ví dụ về đường cong elliptic .................................. 37 
2.1.3. Các j – bất biến .................................................................................. 39 
2.1.4. Định lí tương đương của các đường cong elliptic............................. 42 
2.2. Các điểm đặc biệt và hạng của đường cong elliptic trên  . .................. 42 
2.2.1. Các điểm hữu tỉ của đường cong elliptic trên  .............................. 42 
2.2.2. Các điểm xoắn của đường cong elliptic trên  ................................ 44 
2.2.3. Định nghĩa hạng của đường cong elliptic ......................................... 44 
2.2.4. Luật cộng trên nhóm E    đối với đường cong elliptic dạng

y 2  x 3  px với p là số nguyên tố. ........................................................... 44 
2.2.5. Luật cộng trên nhóm E    đối với đường cong elliptic dạng
y 2  x  x  p  x  2  với p là số nguyên tố. ............................................. 45 

2.3. Hạng của đường cong elliptic y 2  x 3  px với p là số nguyên tố thuộc
một lớp xác định. ............................................................................................. 46 
2.3.1. Nhận xét sơ bộ về hạng của đường cong elliptic E : y 2  x3  px với

p là số nguyên tố thuộc một lớp xác định. ................................................ 46 


iv
2.3.2. Cơ sở lí thuyết của việc tìm hạng của đường cong elliptic

y 2  x3  px với p là một số nguyên tố. .................................................... 46 
2.3.3. Chứng minh hạng của đường cong elliptic y 2  x 3  px với p là số
nguyên tố thuộc một lớp xác định. .............................................................. 52 
2.4. Hạng của đường cong elliptic dạng y 2  x  x  p  x  2  với p là một số
nguyên tố. ........................................................................................................ 60 
2.4.1. Loại 1: Khi p  7(mod8) thì ta có E      2   2 và do đó

rank  E   0 ................................................................................................ 60 
2.4.2. Loại 2: Khi p  5  mod 8  thì ta có E      2   2 hoặc
E        2   2 nên ta nhận được rank  E   1 ......................... 66 
KẾT LUẬN ......................................................................................................... 76 
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 77 


v
DANH MỤC KÝ HIỆU

T G 

:

Nhóm con xoắn của nhóm aben G

L/K

:

L là trường mở rộng của trường K

L : K 

:

Bậc của mở rộng trường của trường L trên trường K

GL / K 

:

Nhóm Galois của trường L trên trường K

 : E1  E2

:

Ánh xạ isogeny từ đường cong elliptic E1 vào đường
cong elliptic E 2

jE

:

j – bất biến của một đường cong elliptic E

ˆ : E2  E1

:

Ánh xạ dual isogeny của ánh xạ isogeny 

h : E    :

Độ cao trên E   



:

Phép tốn của nhóm trên đường cong elliptic

E 

:

Nhóm các điểm hữu tỉ trên đường cong elliptic E

Etors   

:

Nhóm con các điểm hữu tỉ xoắn trên đường cong
elliptic E

Etors     m

:

Nhóm con các điểm hữu tỉ m - xoắn trên đường cong
elliptic E

f

:

Biệt thức của đa thức f

K  x

:

Trường các đa thức biến x trên K

a
 p ; a p 
 

:

Kí hiệu Legrendre

vp  x

:

Chuẩn p - adic của x

An  K 

:

Không gian affine n - chiều trên trường K

hˆ : E       :

Độ cao chính tắc trên E   


vi

*

:

Nhóm nhân các phần tử hữu tỉ đơn vị

 

:

Nhóm con của * bao gồm các phần tử bình phương

P *Q

:

Giao điểm của đường thẳng  qua hai điểm P, Q và

* 2

đường cong elliptic E

O

:

Điểm vô cùng của đường cong elliptic E

T   0;0 

:

Điểm gốc của đường cong elliptic E

 A : B

:

Chỉ số của hai nhóm Aben A và B

K

:

Trường đóng đại số cố định của K

deg  

:

Cấp của ánh xạ 

gcd  a, b 

:

Ước chung nhỏ nhất của a, b


1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Trong lịch sử phát triển của Tốn học có rất nhiều giả thuyết và nhiều bài
toán mở mà sự tồn tại suốt một thời gian dài đã từng làm cho nhiều thế hệ các
nhà Tốn học dồn nhiều cơng sức, niềm say mê nghiên cứu và đặc biệt hơn là
hầu hết những bài toán đó đều có cách đặt vấn đề và mơ tả rất đơn giản – chẳng
hạn như bài toán chia ba một góc bằng thước và compa, bài tốn tơ màu bản đồ,
các bài toán của Hilbert, bài toán chứng minh Định lý lớn Fermat, …Riêng bài
toán chứng minh Định lý lớn Fermat (cịn được gọi là Định lí Fermat-Wiles) là
một trong những vấn đề thời sự của Toán học trong suốt ba thế kỷ qua và mới
được giải quyết trọn vẹn vào năm 1994 bởi Wiles và Taylor có lẽ là vấn đề
thuộc loại thú vị và được các nhà khoa học quan tâm nhiều nhất. Đây là một Bài
toán thuộc về lĩnh vực Lý thuyết số nhưng đã thu hút được sự quan tâm nghiên
cứu của rất nhiều nhà khoa học. Điều đặc biệt là trong quá trình tìm kiếm lời giải
cho giả thuyết Fermat, người ta đã phải sử dụng tới rất nhiều kiến thức và kỹ
thuật cũng như phương pháp nghiên cứu của rất nhiều ngành khoa học khác
nhau như Lý thuyết số, Đại số giao hoán, Giải tích, Giải tích phức, Hình học,
Hình học Đại số, Lý thuyết Galois,…, và trong số đó có sự đóng góp rất quan
trọng của ngành Hình học Đại số. Lý thuyết về các đa tạp, các đường cong đại
số và các điểm hữu tỷ trên chúng, các hàm elliptic, các dạng modular,… là các

khái niệm rất quan trọng và các kết quả nghiên cứu có liên quan là những tiệm
cận theo nhiều hướng khác nhau của lời giải bài toán Fermat.
Đề tài này thuộc lĩnh vực Hình học Đại số với ý tưởng tìm hiểu và giới
thiệu một số các kiến thức cơ bản về “Lý thuyết về các đường cong Elliptic”
cùng với việc mô tả sự phân bố của nhóm các điểm hữu tỷ trên chúng.


2
Trong phạm vi đề tài, tôi chỉ nghiên cứu các đường cong Elliptic trên
trường các số hữu tỷ được mô tả dưới dạng Weierstrass.
Vì vậy đề tài được mang tên:

“Hạng của đường cong Elliptic trên trường hữu tỷ”
2. Lịch sử của vấn đề
Cơ sở lý thuyết và công cụ nghiên cứu vấn đề “Nhóm các điểm hữu tỷ của
đường cong Elliptic trên trường hữu tỷ ” , cũng như phương pháp giải quyết
vấn đề nêu ra trong Luận văn dựa trên một số kết quả sau đây:
a) Một là: Các kết quả mô tả tập các điểm hữu tỷ của đường cong
Elliptic trên Q , nhờ vào:
-

Định lí Mordell-Weil khẳng định rằng tập các điểm hữu tỷ trên một

đường cong elliptic trên  là một nhóm aben hữu hạn sinh.
-

Định lí Mazur mơ tả cấu trúc của nhóm các điểm có cấp hữu hạn

(nhóm con xoắn) trong tập các điểm hữu tỷ.
-

Định lý Nagell-Lutz mơ tả đặc trưng của nhóm các điểm xoắn hữu tỷ

của họ các đường cong Elliptic dạng Weierstrass: y 2  x3  ax  b với a, b .
Từ kết quả này ta nhận được một thuật toán xác định các điểm xoắn hữu tỷ.
b) Hai là: Các kết quả và phương pháp mô tả luật nhóm của nhóm các
điểm hữu tỷ trên các đường cong Elliptic.
c) Ba là: Xuất phát từ một kết quả rất thú vị về tính chất tách trực tiếp một
nhóm aben hữu hạn sinh bất kỳ (nghĩa là các  -mơđun hữu hạn sinh) thành
phần xoắn và khơng có xoắn của nó, và mỗi một phần đó là tổng trực tiếp của
các nhóm aben cyclic khơng thể tách được (Định lí cơ bản của Đại số).
Về mặt lý thuyết, việc tiếp cận và nghiên cứu các điểm hữu tỷ trên các
đường cong như vậy được tách thành hai phần . Một là lớp bài toán nghiên cứu
về cấu trúc của các phần tử xoắn . Hai là lớp các bài tốn nghiên cứu về các
phần tử khơng xoắn - và gắn với vấn đề này chính là bài tốn xét hạng của


3
đường cong Elliptic. Trong đề tài này chúng tôi tập trung mô tả các khái niệm,
một số kết quả nghiên cứu về nhóm các điểm hữu tỷ và cho một số mơ tả các kết
quả thuộc lớp bài tốn thứ hai- nghĩa là trình bày các vấn đề liên quan tới hạng
của đường cong elliptic trên .
Một số kết quả nghiên cứu thuộc hướng này đã và đang tiếp tục được phát
triển trong thời gian gần đây bởi nhiều tác giả trong và ngoài nước.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu mơ tả cấu trúc của nhóm các điểm hữu tỷ trên một số họ
đường cong Elliptic dưới dạng Weierstrass trên trường  (Định lý MordellWeil).
Mặc dù khơng có thuật tốn chung để xác định hạng của đường cong đối
với trường hợp tổng quát, trong phạm vi luận văn này sẽ xét các bài toán cụ thể

sau:
- Xét một số họ các đường cong có phương trình dạng: y 2  x 3  px , với p
là số nguyên tố thuộc một lớp xác định, nhằm mục đích là xác định hạng của các
đường cong này.
- Xét các đường cong dạng y 2  x  x  p  x  2  với p là số nguyên tố
thuộc một lớp xác định và giải quyết bài tốn mơ tả hạng của đường cong này.

4. Mục đích nghiên cứu
- Mơ tả cấu trúc nhóm của tập các điểm hữu tỷ E    của đường cong
Elliptic E trên  .
- Mơ tả nhóm con khơng có xoắn của E    đối với một số lớp đường cong
Elliptic (bài tốn tìm hạng của đường cong).
- Sử dụng các j-bất biến để phân lớp các họ đường cong mơ tả theo dạng
phương trình Weierstrass, liên quan tới khái niệm hạng của đường cong.


4
Xác định các mối liên hệ, các kết quả trong phần này với những vấn đề
tổng quát hơn được xét đối với các lớp đường cong Elliptic trên .

5. Phương pháp nghiên cứu
Cơ sở xuất phát là dựa trên sự kết hợp hai kết quả cơ bản (đã trình bày ở
trên) về :
- Cấu trúc của các nhóm aben hữu hạn sinh.
- Cấu trúc của nhóm các điểm hữu tỷ (Định lý Mordell-Weil) và sử dụng

các công cụ nghiên cứu cơ bản của Đại số - Lý thuyết số và Hình học để nghiên
cứu, phân loại các đối tượng đang xét.
Kết hợp các kết quả này với Định lí Nagell-Lutz và Định lí Mazur để xác
định các điểm xoắn trên một số họ đường cong được xét. Tiếp theo đó là việc đề

cập đến các j-bất biến trên các họ đường cong. Đây là một số hướng nghiên cứu
và các phương pháp được dùng khá phổ biến trong việc nghiên cứu các đường
cong Elliptic. Các hướng nghiên cứu này đã và đang được sử dụng và phát triển
bởi nhiều tác giả trong nhiều năm gần đây. Các phương pháp nghiên cứu và các
kỹ thuật cũng như các thuật toán được dùng trong Luận văn này dựa trên những
công cụ nghiên cứu đã được sử dụng trong [1], [2], [5], [6].
Dựa trên các cách tiếp cận khác nhau của Định lí Nagell-Lutz về mơ tả
nhóm các điểm xoắn hữu tỷ để lựa chọn phương pháp giải quyết các bài toán cụ
thể được xét.

6. Cấu trúc luận văn
Luận văn bao gồm 2 chương:
Chương 1: Kiến thức cơ bản.
Chương này trình bày một số khái niệm và các kết quả nghiên cứu đã
được công bố trong nhiều tài liệu về các chuyên ngành Tốn:
- Các định lí cơ bản mơ tả sự tách trực tiếp các nhóm aben hữu hạn sinh.
- Một số kết quả quen biết về lĩnh vực Lý thuyết số và Đại số có liên quan
tới nội dung của Luận văn.


5
- Các đa tạp xạ ảnh, afin.
- Một số kiến thức cơ bản và kỹ thuật tính tốn, một số thuật tốn liên
quan thuộc về Hình học Đại số, trích dẫn từ [2], [5], [6].
- Các khái niệm, các kết quả nghiên cứu cơ bản về đường cong elliptic
trên trường số hữu . Các Định lí cơ bản mơ tả về cấu trúc của nhóm các điểm
hữu tỷ, các điểm xoắn hữu tỷ của các đường cong Elliptic trên  : Định lý
Mordell-Weil, Định lý Nagell-Lutz và Định lý Mazur.
Chương 2: Các đường cong Elliptic dạng Weierstrass trên 
- Tổng quan về các đường cong dạng Weierstrass trên . Các j-bất biến

và sự tương đương xạ ảnh.
- Các điểm hữu tỷ, hữu tỷ không xoắn của đường cong Elliptic trên .
Định nghĩa hạng của đường cong trên  .
- Mô tả chung về luật nhóm, các j-bất biến của các họ y 2  x 3  px ,
y 2  x  x  p  x  2  với p là số nguyên tố thuộc một lớp xác định.

- Xác định hạng của đường cong thuộc họ

y 2  x 3  px hoặc

y 2  x  x  p  x  2  với p là số nguyên tố thuộc một lớp xác định.


6

Chương 1
KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.1. Các định nghĩa và định lí cơ bản
1.1.1. Định nghĩa nhóm aben hữu hạn sinh
Một nhóm G được gọi là nhóm Aben hữu hạn sinh nếu G là nhóm Aben và
tập sinh của nó có hữu hạn phần tử. Có nghĩa là trong nhóm Aben G tồn tại hữu
hạn các phần tử a1 , a2 ,..., an sao cho với bất kì x  G tồn tại các số nguyên
n

k1 , k2 ,..., kn sao cho x   ki ai .
i 1

1.1.2. Định nghĩa nhóm con xoắn
Cho G là một nhóm Aben, khi đó T  G  được gọi là nhóm con xoắn của G

với
T  G    x  G / n   : nx  0

Một nhóm Aben G được gọi là nhóm khơng có xoắn nếu T  G   0 .

Chú ý: Cho G là một nhóm Aben thì G T  G  là khơng có xoắn.
1.1.3. Định nghĩa tổng trực tiếp trong
Cho A là một nhóm Aben và B, C là các nhóm con của A khi đó ta nói
rằng A là tổng trực tiếp trong của B, C kí hiệu là A  B  C nếu A  B  C và
B  C   trong đó B  C  b  c : b  B , c  C .

1.1.4. Định lí
Cho A là một nhóm Aben hữu hạn sinh, khi đó tồn tại phép đẳng cấu:
A  T  A  A T  A

Chứng

minh:

A T  A  a1 , a2 ,..., an

Giả

sử

A  a1 , a2 ,..., an

khi

đó

nhóm

thương


7
Mặt khác, A là một nhóm hữu hạn sinh nên A T  A là hữu hạn sinh . Do
đó, ta có thể chọn x1 , x2 ,..., xm

là một tập hợp tối tiểu các phần tử sinh cho
m

A T  A  hay với mọi a  A T  A  thì a   ki xi với ki   .
i 1

Mà a  A T  A  thì a  a  T  G  nên ta nhận được

m

k x
i 1

m

m

i 1

i 1

Suy ra a   ki xi  b  T  A  hay a  b   ki xi

i

i

 a  T G 

 b  T  A 

Do đó A  x1 , x2 ,..., xm  T  A 
Hơn nữa A T  A  là khơng có xoắn nên x1 , x2 ,..., xm  T  A   0
Do đó A  x1 , x2 ,..., xm  T  A  hay A  T  A   A T  A  .

Chú ý:
1. Nếu  : A  A T  A là đồng cấu thương và  : A T  A  A được cho

 

bởi  xi  xi khi đó    là đồng cấu đồng nhất của A T  A và  là một đơn
cấu.
2. Nếu A là nhóm Aben hữu hạn sinh thì T  A  là nhóm hữu hạn sinh.

1.1.5. Định nghĩa nhóm Aben tự do
Một nhóm Aben F được gọi là nhóm Aben tự do nếu F là tổng trực tiếp
của các nhóm xyclic có cấp vơ hạn. Nói rõ hơn, tồn tại một tập hợp X  F gồm
các phần tử có cấp vơ hạn (gọi là cơ sở của F ) sao cho F   x nghĩa là
xX

F   .
Nếu X là cơ sở của nhóm Aben tự do F thì với mỗi u  F , tồn tại duy
nhất một dạng biễu diễn u 



mx x với x  X , mx   .

huu han

Ví dụ 1: n      ...   ( n lần) là nhóm Abel tự do.


8

1.1.6. Định lí
Mọi nhóm Aben hữu hạn sinh khơng có xoắn đều là nhóm Aben tự do.

Nhận xét: Theo định lí trên nếu A là nhóm aben hữu hạn sinh thì ta có

A T  A là nhóm aben tự do.
1.1.7. Định lí
Mỗi nhóm aben hữu hạn sinh là tổng trực tiếp của một nhóm hữu hạn và
một nhóm aben tự do hạng n ( n là một số nguyên dương).

Chứng minh: Ta có A  T  A   A T  A  mà trong đó T  A  là nhóm hữu
hạn và A T  A là nhóm aben tự do hạng n . Định lí đã được chứng minh.

1.1.8. Định lí
Cho A là nhóm aben hữu hạn với cấp

p1 , p2 ,..., pk

là

các

số

nguyên

A  A  p1   A  p2   ...  A  pk 

tố

đôi

với

A  p1r1 . p2r2 ... pkrk trong đó

một

khác

nhau.

Khi

A  pi   piri  i  1,2,..., k 

đó:
và

A  p    x  A : x  p m  trong đó p là số nguyên tố.

Chứng minh: Giả sử A là nhóm aben hữu hạn với cấp n . Khi đó A  n

và nA  0 . Nếu n là số nguyên tố thì A  A  n  nên định lí là hiển nhiên.
Do đó giả sử n  m.m ' trong đó  m, m '  1 và m, m '  1.
Ta chứng minh rằng A  B  C trong đó B, C là nhóm con của A có cấp
lần lượt là m, m ' .
Vì  m, m '  1 nên tồn tại r, s  sao cho mr  sm '  1.
Khi đó A  mrA  sm ' A  mA  m ' A  A hay A  mA  m ' A
Lấy x  mA  m ' A thì x  mA nên x  my, y  A .
Do đó m ' x  m '  my    m ' m  y  ny  0 .
Tương tự, ta chứng minh được mx  0 .

1


9
Suy ra: x   rm  sm '  x  rmx  sm ' x  0
Từ (1) và (2) ta được A  mA  m ' A

 2

 3

Đặt Am   x  A : m ' x  0 với m.m '  n  A

Ta chứng minh Am  mA

x  A
 x  rmx  sm ' x
Với mọi x  Am thì 
hay 
m ' x  0
m ' x  0
 x  rmx  m  rx   mA . Vậy Am  mA

 4

Với mọi x  mA thì x  my, y  A hay m ' x  m '  my    m ' m  y  ny  0
Do đó x  Am hay mA  Am

 5

Từ (4) và (5) ta có Am  mA . Tương tự, ta có Am '  m ' A

Vậy ta nhận được A  Am  Am ' .
Bây giờ ta cần chứng minh Am  m và Am '  m '
Giả sử n được phân tích thành thừa số nguyên tố như sau n  p1r1 . p2r2 ... pkrk
Do  m, m '  1 và n  m.m ' nên ta hồn tồn có thể giả sử m  p1r1 . p2r2 ... piri
và m '  piri 11 . piri 22 ... pkrk
Khi đó, tồn tại pi (với i nào đó) mà Am chia hết cho pi . Giả sử S là
pi - nhóm con Sylow của A ta có S  0 và  m, p   1 nên mS  0 .
Mặt khác, mS  mAm  0 (vơ lí).
Do đó  Am , m '    Am ' , m   1 và m Am ' , m ' Am .
Suy ra: Am  m và Am '  m ' .
Do A  pi  là pi - nhóm A  A  p1  . A  p2  ... A  pk  và do tính duy nhất

của sự phân tích A thành thừa số nguyên tố nên ta có A  pi   piri .


10
Vì

vậy

theo

quy

nạp

ta

chứng

minh

được

A  A  p1   A  p2   ...  A  pk  .
1.1.9. Định lí

Cho A là nhóm aben cấp A  p1. p2 ... pk trong đó p1 , p2 ,..., pk là các số
ngun tố đơi một khác nhau. Khi đó A   p1 . p2 ,... pk   p1  p2 ... pk .
Chứng minh: Áp dụng định lí trên ta có A  A  p1   A  p2   ...  A  pk 

trong đó A  pi   piri nên A  pi  là nhóm cyclic cấp p1. p2 ... pk .

Mà hai nhóm cyclic cùng cấp thì ln ln đẳng cấu nhau nên
A   p1 . p2 ,... pk   p1  p2 ... pk .

1.2. Một số kết quả trong Đại số và Lí thuyết số
1.2.1. Định nghĩa

Cho đa thức f  x   a0  a1 x1  ...  am x m và g  x   b0  b1 x1  ...  bn x n trên
trường K  x  ta kí hiệu R  f , g  là định thức của ma trận cấp  m  n    m  n 
như sau:
 a0
0



0
 b0

0


0

a1 ... am1

am

0

0

...

a0 ... am2

am1

am

0

...

...

a0

b1

bn1

bn

b0

bn2

bn1 bn ...

...

b0

b1

...
0

...

...

0
0 
 

am 
0

0
 

bn 

Từ đây, ta cũng có định nghĩa như sau:
Cho đa thức f  x   an x n  ....  a1 x1  a0  K  x  khi đó ta có định nghĩa
biệt thức của đa thức f  x  như sau:


11

 f   1

n n 1
2

.an1.R  f , f '

với R  f , f ' được định nghĩa là định thức như trên với f ' là đạo hàm của f .

Ví dụ 2: Cho hai đa thức f  x   x 2  1 và g  x   x3  x  1 . Khi đó, ta có:
1
0

0
1

1
0

0 0
1 0

R f , g  0 0 1 0 1  5
1 1 0 1 0
0 1 1 0 1

1.2.2. Định nghĩa
Cho f  x   x3  ax 2  bx  c với a, b, c  K thì khi đó biệt thức của f  x 
được cho bởi:

c
0

a
b

1
a

0
1

 f  b 2a 3
0 b 2a

0
3

0
0

0

b
c

0

b

2a 3

 4a3c  a 2b 2  18abc  4b3  27c 2
  e1  e2  . e1  e3  . e2  e3  

2

với e1 , e2 , e3 là các nghiệm của f  x   0 .

1.2.3. Bổ đề
Cho f , g  K  x  là hai đa thức có cấp lần lượt là m, n . Thì f và g có một
nhân tử chung khác hằng nếu và chỉ nếu tồn tại các đa thức khác không

 ,  K  x  sao cho deg   m, deg  n và  g   f .
Chứng minh: Giả sử f và g có một nhân tử chung khác hằng là h thì

f   h và g   h . Do đó  g    h     h    h    h    f .


12
Chứng minh ngược lại, giả sử rằng  g   f (ở đây ta không xét trường
hợp   x     x  vì trường hợp này là hiển nhiên f  x   g  x  là nhân tử
chung) thì khi đó nhân tử của g chỉ có thể là ước  hoặc f .
Nếu nhân tử của g là ước của f thì định lí hiển nhiên đúng.
Giả sử nhân tử của g là ước của  thì ta có g   .h với h là ước của  .
Giả sử   .h ' (hai đa thức h, h ' khơng có nhân tử chung).
Từ  g   f   h   h ' f   h  h ' f . Điều này suy ra h là nhân tử
của f .
Định lí đã được chứng minh.

1.2.4. Định lí
Cho f , g  K  x  là hai đa thức có cấp lần lượt là m, n . Với
m

m

i 0

i 0

f  x    ai xi và g  x    b j x j
thì f , g có một nhân tử chung khác hằng khi và chỉ khi R  f , g   0 .
Ta có thể mở rộng định lí trên cho các đa thức đồng nhất sau:
Giả sử F , G  K  X , Y , Z  là hai đa thức đồng nhất có cấp lần lượt là m, n
tương ứng:
F  X , Y , Z   A0 Z m  A1Z m1  ...  Am
G  X , Y , Z   B0 Z m  B1Z m1  ...  Bm

với Ai , B j  K  X , Y  là các đa thức đồng nhất có cấp tương ứng là i, j .
Nếu F  0,0,1 .G  0,0,1  0 thì ta có RF ,G  X ,Y  của F và G ứng với Z là
0 hoặc đa thức đồng nhất có cấp mn (tương tự cho RF ,G  X , Z  và RF ,G Y , Z  )

thì khi đó F , G có một nhân tử chung khi và chỉ khi có ít nhất một trong ba đa
thức RF ,G  X , Y  , RF ,G  X , Z  và RF ,G Y , Z  bằng 0 .


13

1.2.5. Định lí Bezout
1.2.5.1. Định lí Bezout yếu:

Cho K là trường vô hạn. Giả sử F , G  K  X , Y , Z  là hai đa thức thuần
nhất cấp m và n khơng có nhân tử chung và

CF  K    x : y : z   P 2  K  : F  x, y, z   0 và
CG  K    x : y : z   P 2  K  : G  x, y, z   0
thì tập hợp CF  K   CG  K  là hữu hạn và chứa nhiều nhất mn điểm.

1.2.5.2. Định lí Bezout mạnh:
Cho K là trường đại số đóng. Giả sử F , G  K  X , Y , Z  là hai đa thức
thuần nhất cấp m và n khơng có nhân tử chung và

CF  K    x : y : z   P 2  K  : F  x, y, z   0 và
CG  K    x : y : z   P 2  K  : G  x, y, z   0
thì tập hợp CF  K   CG  K  là hữu hạn và ta có:

 I  P; C

PCF CG

F

; CG   mn

trong đó I  P; C F ; CG  là kí hiệu bội của P  CF  K   CG  K  tương ứng
với một nhân tử trong RF ,G  X , Y  .
Hệ quả định lí Bezout: Giả sử K là trường đại số đóng và F  K  X , Y , Z 

là một đa thức thuần nhất cấp d . Giả sử C : F  X , Y , Z   0 là đường cong xạ
ảnh cấp d và L là đường thẳng không chứa trong C thì L  C có chính xác d
điểm đếm được với bội.

1.2.6. Định lí

Cho f là một đa thức cấp n trong K  X  với hệ số cao nhất là an và ta có
n

thể viết f  x   an   x  ei  với ei  K , khi đó  f  an2 n2
i 1

 e  e 

1i  j  n

i

j

2

.


14
1.2.7. Định nghĩa mở rộng trường

Nếu K là một trường con của trường L thì L được gọi là một mở rộng
trường của trường K và kí hiệu là L K .

1.2.8. Định nghĩa mở rộng trường bậc hữu hạn

Cho L là một mở rộng của trường K , khi đó L được xem như khơng gian

vecto trên K . Nếu L là không gian vecto hữu hạn chiều trên K thì L được gọi
là một mở rộng bậc hữu hạn của K . Số chiều của không gian vecto L trên K
được gọi là bậc mở rộng của L trên K , kí hiệu là  L : K  .
1.2.9. Định nghĩa nhóm Galois

Cho L là một mở rộng của trường K , đẳng cấu  : L  L được gọi là K tự đẳng cấu nếu với mọi a  K thì   a   a . Tập hợp tất cả các K - tự đẳng

cấu của L lập thành một nhóm với phép nhân ánh xạ được gọi là nhóm Galois
của L trên K , kí hiệu là G  L K  .
Ví dụ 3: Cho L  

 2  ta có G    2    1 


 :

2





, trong đó:

 2    2 

a b 2  a b 2

1.2.10. Định nghĩa mở rộng Galois
Cho L là một mở rộng của trường K , L là một mở rộng Galois của K nếu

L là một mở rộng bậc hữu hạn của K và bậc của mở rộng L trên K bằng cấp
của nhóm Galois G  L K  .

1.2.11. Kí hiệu Legrendre
Kí hiệu Legrendre là một hàm số được định nghĩa là:
0 khi p / a

a
2
    a p   1 khi a  k  mod p 
 p

2
 1 khi a  k  mod p 


15
với k là một số ngun bất kì.
Ta có một số tính chất sau:
1.

 ab   a   b 
 p    p  . p   
    

2.

 p 1
 1 
 p    1 2  

 

3.

 p 1
2
 p    1 8  
 

4.

 3  1 khi p  1  mod 6 
 
 p 
1
khi
p
5
mod
6




  

5.

 5  1 khi p  1,9  mod 10 
 

 p


1
khi
p
3,7
mod
10


  

6.

 p 1 q 1
 q  p
 p    q   1 4
   

7.


a
 a
 p

2

p 1

2

 mod p 

khi p, q là các số nguyên lẻ.

với p là số nguyên lẻ.

1.2.12. Định nghĩa và tính chất của chuẩn
Cho p là số nguyên tố và x * thì chúng ta có thể viết được x  p e

a
b

Với a, b , p / ab và  a, b   1 , chúng ta có v p  x   ord p  x   e
Khi đó:

 v p  x   0 nếu và chỉ nếu p chỉ là ước của tử số của x khi đó ta gọi

x là p - nguyên.
 v p  x   0 nếu và chỉ nếu p chỉ là ước của tử số hoặc mẫu số của x
khi đó ta gọi x là p - đơn vị.


16

 v p  x   0 nếu và chỉ nếu p chỉ là ước của mẫu số của x .
Ta định nghĩa ánh xạ sau:

v p :     

0
x  vp  x, x  0
với p là số nguyên tố. Ta gọi ánh xạ được định nghĩa như trên là một
chuẩn p  adic .

Tính chất: Cho p là số ngun tố thì ta có
 v p  xy   v p  x   v p  y 





 v p  x  y   min v p  x  , v p  y  dấu bằng xảy ra khi v p  x   v p  y 
1.3. Các đa tạp xạ ảnh và đa tạp affine
K là một trường hồn hảo có nghĩa là mỗi mở rộng đại số của K là tách được.

K là trường đóng đại số cố định của K .
GK K là nhóm Galoa của K K .
1.3.1. Định nghĩa về đa tạp affine
1.3.1.1. Không gian affine

Không gian affine n- chiều n ( hoặc  n  K  ) trên trường K là tập hợp
các n – bộ của các phần tử của K .

  

n  n K  P   x1 ,..., xn  : xi  K



Một phần tử p   p1 , p2 ,..., pn    n được gọi là một điểm, các pi là các

tọa độ affine của p .
Ta kí hiệu K  x1 , x2 ,..., xn  là vành đa thức trên K với n biến trong đó các
phần tử của K  x1 , x2 ,..., xn  là các hàm K n  K .
Tương tự, ta có tập hợp tất cả các điểm K - hữu tỉ của  n là tập hợp


17

 n  K   P   x1 ,..., xn  : xi  K 
Ta có nhóm Galoa GK

K

tác động trên  n thì với   GK

K

và P   n thì ta

có P   x1 ,..., xn  .



Khi đó  n  K  có đặc trưng là  n  K   P   n : P  P,   GK

K

.

Cho K  x   K  x1;; xn  là một vành đa thức n biến và một ideal

I  K  x  . Khi đó, mỗi ideal I như vậy liên kết với một tập con của không gian
afin An
VI  P  An / f  P   0, f  I 
1.3.1.2. Đa tạp affine

Một tập đại số (afin) là tập có dạng VI nói trên. Nếu V là một tập đại số thì
ideal của V có dạng:

I V    f  K  x  / f  P   0, P V 
Một tập đại số afin V được gọi là một đa tạp afin nếu I V  là ideal
nguyên tố của K  x  .
1.3.1.3. Định nghĩa đa tạp bất khả quy

Một đa tạp X   n là bất khả quy nếu nó không là hợp hữu hạn của các đa
tạp con thực sự, nghĩa là đối với các đa tạp X 1 , X 2   n sao cho X  X 1  X 2
dẫn đến X  X 1 và X  X 2 .
1.3.1.4. Mệnh đề

Bất kì một đa tạp X nào cũng có thể phân tích thành hợp hữu hạn của các
đa tạp con bất khả quy X  X 1  X 2  ...  X m với X i  X j với mọi i  j .
Phép phân tích trên là duy nhất sai khác một phép hốn vị.
Ví dụ 1: Giả sử X , Y   n với X  Z  f1 , f 2 ,..., f k  và Y  Z  g1 , g 2 ,..., gl 

thì khi đó