Dap an va de thi khao sat mon toan 11 khoi A A1 lan11

<span class='text_page_counter'>(1)</span> SỞ GD & ĐT BẮC GIANG Trường THPT Lạng Giang số 1. ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH KHÁ GIỎI LẦN 1 NĂM HỌC 2012 – 2013 Môn: Toán khối A, A1 – Lớp 11. Thời gian làm bài: 150 phút. ĐỀ CHÍNH THỨC. ---------------------------***--------------------------A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm) Câu I:(2 điểm) Cho hàm số y = − x 2 − 2 x + 3 có đồ thị là (P) 1) Tìm tập xác định, xét sự biến thiên, lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị (P) của hàm số 2) Tìm m để đường thẳng (d) y = −mx + m + 1 cắt đồ thị (P) của hàm số tại 2 điểm A, B phân biệt có hoành độ x1 ,x2 thỏa mãn: x12 + x22 − 6 x1 x2 = 0. Câu II:(2 điểm) Giải phương trình, hệ phương trình 1) 2 cos x + 3 cos x − 2 cos 3 x = 4 sin x sin 2 x 2.  xy + x + y = x 2 − 2 y 2 2)  2 2 y − y x − 1 = 2 x − 2 y. (1) (2). Câu III:(1 điểm) Một cấp số cộng có công sai khác không và một cấp số nhân có số hạng thứ nhất bằng 5 ,số hạng thứ hai của cấp số cộng lớn hơn số hạng thứ hai của cấp số nhân là 10 ,còn các số hạng thứ 3 bằng nhau .Tìm các cấp số ấy .. Câu IV:(1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O và có AC = a, BD = b. Tam giác SBD là tam giác đều. Một mặt phẳng (α) di động song song với mặt phẳng (SBD) và đi qua điểm I trên đoạn OC. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi (α). Tính diện tích thiết diện theo a, b, và x = AI. 3 5. Câu V:(1 điểm) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: a + b + c = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=. 3. 1 1 1 +3 +3 2a + 3b 2b + 3c 2c + 3a. B. PHẦN DÀNH RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được chọn 1 trong 2 phần (phần 1 hoặc phần 2) 1. Theo chương trình chuẩn Câu VIa:(2 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ∆ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng d: x – 4y – 2 = 0, cạnh BC song song với d, phương trình đường cao BH: x + y + 3 = 0 và trung điểm của cạnh AC là M(1; 1). Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C. 2. Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra không có đủ cả 3 màu? n. 2   Câu VIIa:(1 điểm) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển sau:  x 2 − 2  , biết rằng n là số nguyên dương x  . thỏa mãn: 2Cn1 + Cn2 = n 2 − 20 2. Theo chương trình nâng cao Câu VIb:(2 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm P(−7;8) và hai đường thẳng d1 :2 x + 5 y + 3 = 0 ; d 2 :5 x − 2 y − 7 = 0 cắt nhau tại A . Viết phương trình đường thẳng d3 đi qua P tạo với d1 , d 2 thành tam giác cân 29 . 2 2. Hỏi từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau đôi một, sao cho trong các chữ số đó có mặt ít nhất một trong hai chữ số 0 và 1. tại A và có diện tích bằng. Câu VIIb:(1 điểm) Tính T = C02001 + 32 C22001 + 34 C42001 + ... + 32000 C2000 2001 Họ và tên thí sinh: ............................................................. Số báo danh:...................... ----------------------- HẾT ----------------------.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> CÂU. ĐIỂM. NỘI DUNG. A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm) + Tập xác định: D = R + a = -1 < 0. Hàm số đồng biến trên ( −∞; −1) .. I. 0.25. Hàm số nghịch biến trên ( −1; +∞ ). 1. 0.25 0.25. + Bảng biến thiên + Đồ thị: vẽ đúng dạng , đẹp + Xét phương trình hoành độ giao điểm − x 2 − 2 x + 3 = − mx + m + 1 ⇔ x 2 + ( 2 − m ) x + m − 2 = 0. 0,25. (1). + đường thẳng (d) cắt đồ thị (P) tại 2 điểm A, B phân biệt khi và chỉ khi phương trình 1 có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 ⇔∆>0. 0.25. ⇔ ( 2 − m) − 4 ( m − 2) > 0 2. m > 6 ⇔ m < 2. 2. (* )  x1 + x2 = m − 2  x1 x2 = m − 2. + Với (*) theo Viet, ta có . 0.25. + Khi đó x12 + x22 − 6 x1 x2 = 0 ⇔ ( x1 + x2 ) − 8 x1 x2 = 0 2. ⇔ ( m − 2) − 8( m − 2) = 0 2. ⇔ m 2 − 12m + 20 = 0 m = 2 ⇔  m = 10. 0.25. + Kết hợp với điều kiện (*) ta có m = 10 là giá trị cần tìm.. 0.25. 2 cos x + 3 cos x − 2 cos 3 x = 4 sin x sin 2 x. II. 2. ⇔ 2 cos 2 x + 3 cos x − 2 cos 3x = 2 ( cos x − cos3 x ) ⇔ 2 cos 2 x + cos x = 0. 1.  cos x = 0 ⇔  cos x = − 1  2. 0.5. π   x = 2 + kπ  2π ⇔ x = + k 2π  3   x = − 2π + k 2π  3. + Kết luận:... 2. 0.25. 0.25 x ≥ 1 y ≥ 0. + Điều kiện: . 0.25 .

<span class='text_page_counter'>(3)</span> x + y = 0 1 + 2 y − x = 0. + PT (1) ⇔ ( x + y )(1 + 2 y − x ) = 0 ⇔ . + Trường hợp 1: x + y = 0 loại so với điều kiện + Trường hợp 2: x = 2y + 1. Thay vào phương trình (2) ta được. ( y + 1) (. 0.25 0.25 0.25.  y = −1 2y − 2 = 0 ⇔  y = 2. ). So sánh điều kiện ta thấy y = 2 thỏa mãn. Khi đó, x = 5. Kết luận:.... III. + Gọi cấp số cộng thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 5, a, b. 0.25. Khi đó cấp số nhân là: 5, a – 10, c. Ta có: 5 + b = 2a  2 5b = ( a − 10 ). IV.  a = 25  b = 45 ⇔  a = 5   b = 5. 0.5. Do cấp số cộng có công sai khác không nên 3 số cần tìm là: 5; 25; 45. + Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi (α) Do (α) đi qua I và song song với (SBD) nên ta có cách dựng các đoạn giao tuyến Trong (ABCD) qua I kẻ đường thẳng song song với BD cắt BC, CD tại M, N Trong (SCD) qua N kẻ NP song song với SD cắt SC tại P. Khi đó thiết diện là ∆MNP * Tính diện tích thiết diện +Ta có ∆SBD ∼ ∆MNP nên ∆MNP là tam giác đều. 0.25. 0.5. BD2 3 b 2 3 = 4 4 a + Vì I ∈ OC ⇔ < x < a 2. + S∆SBD =. 2 2 S ( AC − AI ) = ( a − x ) =  2 ( a − x )   MN   CI  + MNP =  =      = 2 SSBD  BD   CO  a CO 2   a   2 2. 2. 2 b2 ( a − x ) b2 3 4 ( a − x )  MN  ⇒ S∆MNP = S∆SBD .  . =  = 4  BD  a2 a2 Theo bất đẳng thức Cô si, ta có: 2. V. 3. 2a + 3b = 3 ( 2a + 3b ) .1.1 ≤. ⇒. 3. 2. 3. 2. , vớ i. 2a + 3b + 1 + 1 2a + 3b + 2 = 3 3. 1 3 ≥ . Dấu " = " xảy ra ⇔ 2a + 3b = 1 . 2a + 3b 2a + 3b + 2. 0.5. a <x<a 2. 0.25 0,25. Tương tự ta có: 3. 1 3 ≥ . Dấu " = " xảy ra ⇔ 2b + 3c = 1 . 2b + 3c 2b + 3c + 2. 3. 1 3 ≥ . Dấu " = " xảy ra ⇔ 2c + 3a = 1 . 2c + 3a 2c + 3a + 2. . 0,25 0,25.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> + Với x, y,z > 0 ta có 1 1 1 1 1 1 9 + + ≥9⇒ + + ≥ x y z x y z x + y+z   Dấu " = " xảy ra ⇔ x = y = z. ( x + y + z). Do đó: 1 1 1   + + P ≥ 3   2a + 3b + 2 2b + 3c + 2 2c + 3a + 2  27 27 ≥ = =3 2a + 3b + 2 + 2b + 3c + 2 + 2c + 3a + 2 5a + 5b + 5c + 6 1 Vậy GTNN của P = 3 đạt được khi a = b = c = . 5. B. PHẦN RIÊNG (3 điểm) 1. Theo chương trình chuẩn Ta có AC vuông góc với BH và đi qua M(1; 1) nên có phương trình: y = x . VIa. 0.25.  2 x = − 3  2 2  x − 4 y − 2 = 0 Toạ độ đỉnh A là nghiệm của hệ :  ⇔ ⇒ A− ;−  y = x  3 3 y = − 2  3. 8 8 3 3. Vì M là trung điểm của AC nên C  ; . 1. 0.25. Vì BC đi qua C và song song với d nên BC có phương trình: y =. x +2 4. 0.25. x + y + 3 = 0   x = −4 BH ∩ BC = B :  ⇔ ⇒ B ( −4;1) x y = 1  y = 4 + 2. 4 C15. Số cách chọn 4 bi trong số 15 bi là: = 1365. Các trường hợp chọn 4 bi đủ cả 3 màu là: * 2 đỏ + 1 trắng + 1 vàng: có C24C15C16 = 180 2. VIIa. * 1 đỏ + 2 trắng + 1 vàng: có. C14C52C16. = 240. * 1 đỏ + 1 trắng + 2 vàng: có C14C15C62 = 300 Do đó số cách chọn 4 bi đủ cả 3 màu là: 180 + 240 + 300 = 720 Vậy số cách chọn để 4 bi lấy ra không đủ 3 màu là: 1365 – 720 = 645. Điều kiện: n ≥ 2, n ∈ N 2Cn1 + Cn2 = n 2 − 20 ⇔ 2n +. n ( n − 1). 2. n = 8 = n 2 − 20 ⇔ n 2 − 3n − 40 = 0 ⇔   n = −5. 0.25 0.25. 0.5. 0.25. 0.25. Với n = 8 ta có 8. ( ). 8  2 2  k k 2  x − 2  = ∑ ( −1) C8 x x  k =0 . 8− k. k. 8  2  k k k 16 − 4 k  2  = ∑ ( −1) C8 2 x x  k =0. Số hạng không chứa x ứng với 16 – 4k = 0 ⇔ k=4. Kết luận:.... 2. Theo chương trình nâng cao VIb Ta có A(1; −1) và d1 ⊥ d 2 . 1 . 0.25 0.25 0.25.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi d1 , d 2 là: ∆1: 7 x + 3 y − 4 = 0 và ∆2: 3 x − 7 y − 10 = 0. 0.25. d3 tạo với d1 , d 2 một tam giác vuông cân ⇒ d3 vuông góc với ∆1 hoặc ∆2.. ⇒ Phương trình của d3 có dạng: 7 x + 3 y + C = 0 hay 3 x − 7 y + C ′ = 0 Mặt khác, d3 qua P ( −7;8) nên C = 25 ; C′ = 77 Suy ra : d 3 : 7 x + 3 y + 25 = 0 hay d 3 :3 x − 7 y + 77 = 0. 29 Theo giả thiết tam giác vuông cân có diện tích bằng ⇒ cạnh huyền bằng 2 Suy ra độ dài đường cao A H =. 0.25 58. 58 = d ( A, d3 ) ( d ( A, d3 ) lµ kho¶ng c¸ch tõ A tíi d3 ) 2. 58 ( thích hợp) 2 87 • Với d 3 : 3 x − 7 y + 77 = 0 thì d ( A; d 3 ) = ( loại ) 58 KÕt luËn:… * Số các số có 6 chữ số khác nhau là:. 0.25. • Với d 3 : 7 x + 3 y + 25 = 0 thì d ( A; d 3 ) =. 6 5 A10 − A10 = 9.9.8.7.6.5 = 136080. 2. * Số các số có 6 chữ số khác nhau và đều khác 0 là: A69 = 9.8.7.6.5.4 = 60480 * Số các số có 6 chữ số khác nhau và đều khác 1 là: A69 − A59 = 8.8.7.6.5.4 = 53760. Vậy số các số có 6 chữ số khác nhau trong đó đều có mặt 0 và 1 là: 136080 – 60480 – 53760 = 21840 số.. VIIb. Ta có: (x + 1)2001 =. 0.25. 0.25 0.25 0.25 0.25. 2001. ∑ Ck2001.xk. k =0. (–x + 1)2001 =. 2001. ∑ Ck2001.(−x)k. 0.25. k =0. Cộng lại ta được: (x + 1)2001 + (–x + 1)2001 =. 2 4 2000 = 2 ( C02001 + x2C2001 + x4C2001 + ... + x2000C2001 ). 0.25. Cho x = 3 ta được:. 42001 – 22001 = 2 ( C02001 + 32 C22001 + 34 C42001 + ... + 32000 C2000 2001 ). 2000 ⇒ C02001 + 32 C22001 + 34 C42001 + ... + 32000 C2001 = 22000 (22001 − 1). Kết luận: .... . 0.5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>