Phép lặp các ánh xạ chỉnh hình trên không gian xạ ảnh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Mạnh Linh

PHÉP LẶP CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH
TRÊN KHƠNG GIAN XẠ ẢNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Mạnh Linh

PHÉP LẶP CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH
TRÊN KHƠNG GIAN XẠ ẢNH
Chun ngành : Tốn giải tích
Mã số

: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN VĂN ĐÔNG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2016

 
 

LỜI CAM ĐOAN
Tơi cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả
nghiên cứu của đề tài là trung thực và chưa từng cơng bố trong bất kì cơng trình nào
khác.
Tác giả
Nguyễn Mạnh Linh


 
 

LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian dài học tập, nghiên cứu đề tài luận văn “Phép lặp các ánh xạ
chỉnh hình trên khơng gian xạ ảnh” của tác giả được hồn thành. Tác giả xin bày tỏ
lịng cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến:
 TS Nguyễn Văn Đông đã hết lòng giúp đỡ, động viên, hướng dẫn tận tình để tác
giả có thể hồn thành luận văn thạc sĩ của mình.
 Q thầy cơ phụ trách các mơn học của khoa Toán và các trường đại học khác
đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
 Ban giám hiệu nhà trường, phịng khoa học cơng nghệ và sau đại học đã tạo mọi
điều kiện thuận lợi cho tác giả học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
 Gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn
tốt nghiệp này.
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9/2016
Tác giả luận văn

Nguyễn Mạnh Linh


 
 

MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục
Danh mục ký hiệu 
MỞ ĐẦU ......................................................................................................................1
Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .........................................................3
1.1. Một số kết quả trong giải tích phức nhiều biến.....................................................3
1.2. Hàm đa điều hòa dưới, hàm đa điều hịa ...............................................................4
1.3. Khơng gian phức, đa tạp phức ..............................................................................5
1.3.1. Khái niệm........................................................................................................5
1.3.2. Bản đồ phức và atlas phức, xây dựng không gian phức bằng phương
pháp dán. ........................................................................................................6
1.3.3. Thiết diện và hàm trên khơng gian phức ........................................................8
1.4. Tính hyperbolic của khơng gian phức...................................................................8
1.5. Không gian phức xạ ảnh  n và các tự đồng cấu trên  n ...................................10
1.5.1. Một cách nhìn khác về đa tạp phức .............................................................10
1.5.2. Ánh xạ chỉnh hình trên đa tạp .......................................................................11
1.5.3. Tính chuẩn tắc của họ các ánh xạ .................................................................12
1.6. Tập Fatou trong không gian xạ ảnh ....................................................................14
1.7. Không gian phủ ...................................................................................................15
1.8. Khái niệm phân thớ (bundle) ..............................................................................16
Chương 2. QUỸ ĐẠO TỚI HẠN CỦA CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH TRÊN

KHƠNG GIAN XẠ ẢNH ........................................................................18
2.1. Một số kiến thức chuẩn bị ..................................................................................18
2.1.1. Tập giải tích ..................................................................................................18
2.1.2. Phủ giải tích ..................................................................................................19
2.1.3. Điểm rẽ nhánh bị chặn ..................................................................................20


 
 

2.2. Họ chuẩn tắc các ánh xạ nâng .............................................................................20
2.3. Miền Siegel .........................................................................................................25
2.4. Mối liên hệ của biên miền Siegel và tập giới hạn của các điểm tới hạn .............29
2.5. Mối liên hệ của giữa điểm giới hạn Fatou và tập giới hạn của các điểm
tới hạn .................................................................................................................33
Chương 3. ÁNH XẠ FATOU TRONG ĐỘNG LỰC PHỨC XẠ ẢNH..................37
3.1. Một số kiến thức chuẩn bị ...................................................................................38
3.1.1. Hàm Green ....................................................................................................38
3.1.2. Phép nâng của một ánh xạ trên không gian phức .........................................38
3.1.3. Ánh xạ đẩy và ánh xạ kéo .............................................................................39
3.2. Ánh xạ Fatou .......................................................................................................40
3.3. Một vài ứng dụng của ánh xạ Fatou ....................................................................48
3.3.1. Ánh xạ Fatou và tính nhúng hyperbolic .......................................................48
3.3.2. Tính căng của thành phần Fatou ...................................................................51
KẾT LUẬN ..................................................................................................................54
TÀI LIỆU THAM KHẢO...........................................................................................55
PHỤ LỤC


 

 

DANH MỤC KÍ HIỆU
n      

Khơng gian Ơclit thực n chiều.

n

Không gian Ơclit phức n chiều.

     

Không gian Ơclit phức n chiều bỏ đi phần tử (0;0;…;0).

  D

Vành các hàm chỉnh hình trên tập mở D   n .

D

Bó các mầm hàm chỉnh hình trên D.

Hol  X , Y 

Tập hợp các ánh xạ chỉnh hình từ X vào Y với X, Y là không gian phức.

Ck  D

Tập hợp các hàm lấy giá trị phức có đạo hàm cấp k liên tục trên D   . 

CX

Bó các mầm hàm liên tục trên X, với X là không gian topo.

D

Biên của tập D.



Đĩa đơn vị trong  .

A

Bao đóng của tập A.

n *

o

A

Phần trong của tập A.


1

MỞ ĐẦU
Động lực phức là một trong những lĩnh nghiên cứu non trẻ. Nó chỉ mới bắt đầu vào

cuối thế kỉ 19 nhưng đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học
trên thế giới như Pierre Fatou, Gaston Julia, S.Lattes, J.F. Ritt, J.Milnor, L. Carleson,
T.W Gamelin…. Lý thuyết về phép lặp của các ánh xạ chỉnh hình trên khơng gian xạ
ảnh phức 1 chiều mà đặc biệt là tập Julia và tập Fatou được các tác giả trên nghiên cứu
khá nhiều và đạt được nhiều kết quả quan trọng ứng dụng trong cuộc sống.
Động lực phức xạ ảnh nhiều biến xuất hiện còn chậm hơn nữa, vào khoảng cuối
thế kỷ 20. Với ý tưởng là sự mở rộng của lớp các bài tốn trong khơng gian xạ ảnh
phức 1

chiều lên không gian xạ ảnh phức nhiều chiều thì nhiều nhà tốn học như

Ueda T. , Fornaess J. E. , Sibony .., Dinh T.C… đã liên tục cho ra nhiều kết quả mới.
Đặc biệt là một số kết quả liên quan đến lý thuyết về phép lặp của các ánh xạ chỉnh
hình.
Luận văn trình bày một số kết quả về động lực của các ánh xạ chỉnh hình lặp từ
khơng gian xạ ảnh phức n chiều lên chính nó.
Nội dung của luận văn được tham khảo trong các tài liệu chính [3], [9], [10].
Luận văn gồm 3 chương:
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị.

Chương này trình bày một vài kiến thức chuẩn bị về không gian phức, đa tạp phức,
không gian phức xạ ảnh, động lực phức xạ ảnh và một số kiến thức khác cần thiết cho
các chương sau.
Chương 2: Quỹ đạo tới hạn của các ánh xạ chỉnh hình trên khơng gian xạ
ảnh.

Chương này trình bày các kết quả về động lực của các ánh xạ chỉnh hình lặp từ
khơng gian xạ ảnh phức n chiều lên chính nó và mối liên hệ giữa tập Fatou với quỹ
đạo của các điểm tới hạn.
Chương 3: Ánh xạ Fatou trong động lực phức xạ ảnh.

Chương này trình bày khái niệm ánh xạ Fatou, các tính chất cơ bản nhất của khái
niệm này và một số ứng dụng của nó trong nghiên cứu động lực phức xạ ảnh.


2

Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong việc tìm hiểu và soạn thảo luận văn, nhưng
những sai sót là điều không thể tránh khỏi, nên tôi mong nhận được những ý kiến đóng
góp từ q thầy cơ và tồn thể bạn đọc để luận văn được tốt hơn.


3

 

Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này trình bày một số kiến thức căn bản nhằm chuẩn bị cho các chương sau.
Mục 1.1 trình bày một số kết quả trong giải tích phức nhiều biến. Mục 1.2 dành
giới thiệu về hàm đa điều hòa và đa điều hòa dưới. Không gian phức, đa tạp phức được
giới thiệu ở mục 1.3. Mục 1.4 đề cập tới tính hyperbolic của không gian phức. Không
gian xạ ảnh phức n-chiều là một đa tạp đặc biệt và tự đồng cấu trên nó được nhắc lại
trong mục 1.5. Mục 1.6 dành nhắc lại định nghĩa tập Fatou trên không gian xạ ảnh
phức n-chiều và một vài tính chất liên quan đến tập này. Mục 1.7 trình bày khái niệm
khơng gian phủ. Cuối cùng khái niệm phân thớ được trình bày ở mục 1.8. Các kết quả
của chương này dựa chủ yếu vào [1], [2], [4], [5], [8].
1.1. Một số kết quả trong giải tích phức nhiều biến [1].
Định nghĩa 1.1.1. f là một hàm lấy giá trị phức xác định trên tập mở D   n

gọi là chỉnh hình trên D nếu với mọi điểm a  D   có một lân cận U và chuỗi

 C  z  a 



  n




  

1; 2 ... n  0

C1 ,... n  z1  a1 

1

 z 2  a2 

2

...  zn  an 

mà hội tụ tới f  z 

n

 

 

với z   z1 , z2 ...zn  U .
Định nghĩa 1.1.2. f xác định trên tập mở D   n được gọi là song chỉnh hình

nếu nó song ánh, chỉnh hình trên D và ánh xạ ngược g  f 1 chỉnh hình trên
G  f (D) .

Định nghĩa 1.1.3. Ánh xạ f   f1 ,..., f m  : D  m chỉnh hình trên tập mở
D   n nếu f1 , f 2 ..., f m chỉnh hình D.

Định lý 1.1.4. (Định lý ánh xạ mở). Cho D là một tập mở liên thơng trong n

và f là hàm chỉnh hình và khác hằng trên D. Khi đó f là mở từ D vào .
Định lý 1.1.5. (Nguyên lí đồng nhất) Nếu f và g là các hàm chỉnh hình trên

một tập mở liên thông D   n và f  g   trên một tập con mở khác trống của D thì
f  g trên D.


4

Định lý 1.1.6. (Định lý Weierstrass) Cho D là tập mở trong n và dãy

 fv 

gồm các hàm chỉnh hình trên D mà hội tụ về hàm f   trên mọi tập con compact của D
thì f là hàm chỉnh hình trên D.
Mệnh đề 1.1.7. Cho dãy các ánh xạ mở  f v  , chỉnh hình trên D   n vào n

. Giả sử dãy hội tụ đều về ánh xạ  trên các tập con compact của D . Điểm a là một
điểm cô lập của  1  (a)  . Khi đó mọi lân cận U của a thì  (a)  f v (U ) khi v đủ
lớn.
1.2. Hàm đa điều hòa dưới, hàm đa điều hòa [2].
Định nghĩa 1.2.1. Cho tập mở D   . Một hàm h : D   gọi là điều hòa

nếu h  C 2  D  và h  0 trên D.
Định nghĩa 1.2.2. Cho tập mở D   . Một ánh xạ u : D     gọi là

điều hịa dưới nếu nó là hàm nửa liên tục trên và thỏa bất đẳng thức trung bình dưới
địa

phương,

u  z 

1
2

tức

là

với

mọi

zD,

tồn

tại

 0

sao

cho

2

 u  z  re  dt  0  r    .
it

0

Định lý 1.2.3. (Nguyên lý cực đại). Cho u là hàm điều hòa dưới trên một miền

D   . Khi đó
1. Nếu u đạt giá trị cực đại tồn cục trên D  thì u là hàm hằng.
2. Nếu lim sup u  z   0 với mọi   D thì u  0 trên D .
z 

Định nghĩa 1.2.4. Một hàm giá trị thực trên một tập mở D  n là một hàm

đa điều hịa nếu nó liên tục trên D và hạn chế của nó lên bất kỳ đường thẳng phức nào
qua bất cứ điểm nào trong D là hàm điều hịa trên đường thẳng đó trong D .
Định lý 1.2.5. Các hàm đa điều hòa trên một miền đơn liên D   n chính là

các phần thực của các hàm chỉnh hình trên D .

Định nghĩa 1.2.6. Một ánh xạ u : D   ,   xác định trên một tập mở
D   n là hàm đa điều hòa dưới nếu u nửa liên tục trên trên D và hạn chế của nó lên


5

bất kỳ đường thẳng phức nào qua bất cứ điểm nào trong D   là hàm điều hòa dưới trên
đường thẳng đó trong D .
Định lý 1.2.7. Giới hạn của một dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới là hàm đa

điều hịa dưới.
Định lý 1.2.8.

1. Tính đa điều hịa dưới là tính địa phương. Nghĩa là một hàm u đa điều hòa
dưới trên một tập mở D  n nếu và chỉ nếu nó đa điều hịa dưới trong một lân cận
của mỗi điểm trong D.
2. Nếu ánh xạ u là đa điều hịa thì nó cũng là đa điều hòa dưới trên D. Và nếu cả

u và u  đều là đa điều hịa dưới trên D thì u là đa điều hòa trên D.
3. f là hàm lấy giá trị trên  m , chỉnh hình trên D  n và khác 0. Khi đó hàm
g ( z )  log f ( z ) là đa điều hòa trên D \  z f ( z )  0 và đa điều hịa dưới trên D.

1.3. Khơng gian phức, đa tạp phức [2].
1.3.1. Khái niệm

Các khái niệm và tính chất liên quan đến bó vành, bó đại số, tiền bó, cấu xạ,
khơng gian vành, khơng gian mơ hình phức…(xem [2] hoặc trong phần phụ lục của
luận văn).
Cho  X ,X  là một không gian  - vành với X là một không gian Hausdorff. Ta
gọi X là một không gian phức nếu tại mọi điểm của X đều có một lân cận mở U sao

cho khơng gian con  - vành mở

U ,U 

của  X ,X  đẳng cấu với một khơng gian

mơ hình phức. Nói cách khác, một khơng gian phức là một khơng gian vành Hausdorff
mà về địa phương có thể được xem là (như một không gian  - vành) tập các khơng
điểm chung của hữu hạn hàm chỉnh hình trên một miền của một khơng gian số phức.
Ví dụ mọi khơng gian mơ hình phức, đặc biệt là các khơng gian (D, D ) , (p, p )
là các không gian phức.
Các đồng cấu giữa các không gian phức được gọi là ánh xạ chỉnh hình; các đẳng
cấu giữa các khơng gian phức được gọi là ánh xạ song chỉnh hình.


6

x  X được gọi là một điểm trơn của không gian phức X = (X,  ) nếu tồn tại

một lân cận mở của x mà đẳng cấu với miền (D, D ). Nếu mọi điểm của X là điểm trơn
thì khơng gian phức được gọi là đa tạp phức.
Không gian X được gọi là bất khả qui (irreducible) tại x nếu thớ (stalk) x là một
miền nguyên, ngược lại X gọi là khả qui được tại x. Không gian X được gọi là khả qui
địa phương nếu mọi điểm của X đều bất khả qui. Đa tạp phức là khả qui địa phương.

Không gian X được gọi là đã rút gọn (reduced) tại x nếu thớ x không chứa phần
tử lũy linh khác 0. X gọi là một không gian rút gọn nếu X rút gọn được tại mọi điểm
của nó.
 trong M ,
Một điểm x  X được gọi là điểm chuẩn tắc nếu thớ x trùng với 

x
x
 là tập hợp tất cả các mầm hàm phân hình
ở đây M x là thớ mầm hàm phân hình, 
x

hx  M x thỏa mãn phương trình hxn  a1x hxn1  ..  anx  0 , n  1 , akx  x .
Một không gian phức chỉ bao gồm các điểm chuẩn tắc được gọi là không gian
chuẩn tắc.

Mọi điểm trơn của X là điểm chuẩn tắc của X. Do đó đa tạp phức là không gian
chuẩn tắc.
Trong luận văn này, ta chỉ xét đến các không gian phức đã rút gọn.
1.3.2. Bản đồ phức và atlas phức, xây dựng không gian phức bằng phương
pháp dán.

Cho X là không gian tô pô. Mọi không gian phức (D, U ) trong đó U là tập mở
trong X được gọi là một bản đồ phức trên X. Một họ ( U i , U i , ij , i, j  I ) bao gồm các

bản đồ phức trên X và các đẳng cấu   đại số ij :  j

U i U j

 i U U được gọi là một
i

atlas phức trên X nếu U i , i  I  là một phủ mở của X và

ij   jk  ik trên U i  U j  U k với mọi i, j , k  I .
(Các ij là các đẳng cấu dán của atlas).

j


7

Bổ đề dán Cho ( U i , U i , ij , i, j  I ) là một atlas phức trên một không gian tô pô

Hausdorff X. Khi đó tồn tại duy nhất, sai khác một đẳng cấu, một không gian phức
(X,  ) và các đẳng cấu   đại số fi :  U  i , i  I sao cho
i

ij  fi  fj1 trên U i  U j với mọi i, j  I .
Ví dụ: Ta có thể xây dựng khơng gian phức xạ ảnh  n  bằng phép dán.
Một cách hình học ta có thể nghĩ về  n   như là họ các đường thẳng phức đi qua
điểm gốc trong  n 1 . Một đường thẳng như thế xác định bởi một điểm tùy
ý w   w0 , w1 ,.., wn   0 , tương đương, ta có thể sử dụng điểm khác tùy ý

w    w0 ,..,  wn   0 , λ∈  ,   0 .
Các phần tử của  n  là các lớp tương đương [w] của các điểm trong n1  0 :
w '  w nếu w '   w với λ ∈  − {0} nào đó. Nói cách khác ta có một ánh xạ thương

chính tắc  : n1 \ 0   n , z   z  . Ta trang bị cho  n tô pô thương và  n trở
thành
một không gian Hausdorff.
Ký hiệu z0 , z1 ,.., zn là các tọa độ phức trong  n1 và trong  n 1  xét các siêu phẳng
H i   z   n 1 : zi  1 0  i  n.

Ta có Hi là khơng gian con phức đóng của  n 1 . Ánh xạ H i   n , có cơng
thức z   z0 ,..zi 1 , zi ,.., zn1 

là ánh xạ song chỉnh hình và ánh xạ hạn chế



Hi

: Hi  n

là ánh xạ mở. Đặt U i :  ( H i ) ta có U 0 ,U1 ,..,U n  là phủ mở của  n . Các ánh xạ cảm
sinh  i : H i  U i là các đồng phơi nên nó chuyển cấu trúc của Hi đến U i qua  i và ta
nhận được các đa tạp phức n chiều ( U i

, i ),

0  i  n . Các ánh xạ


8

     : H  H
1

Hj

Hi

i

đẳng cấu bó i , j :  j

U i U j

j

 H i  H j là các ánh xạ chỉnh hình nên chúng cảm sinh
 i U U ,0  i, j  n .
i

j

Hệ ( U i , i , ij ), là atlas phức trên  n . Do đó theo bổ đề dán  n là một đa tạp
phức n chiều.
Nhận xét rằng  n  là tập compact với mọi n. Thật vậy, công thức

 ( z )   ( z0 , z1 ,.., zn ) = [ ( z0 , z1 ,.., zn ) ], z  1
xác định một ánh xạ liên tục từ mặt cầu đơn vị S trong  n1 lên  n ; Ảnh của một tập
compact qua một ánh xạ liên tục là một tập compact. Ta có thể xem  n   là một
compact hóa của n .

1.3.3. Thiết diện và hàm trên không gian phức
Mọi thiết diện f  CX (U ) (t.ư. D (U ) ) có thể được đồng nhất với một hàm giá
trị phức. Nếu A là một bó tùy ý các   đại số địa phương trên X ta có thể gán mỗi
thiết diện s  A(Y ), Y  X với một hàm nhận giá tri trong  : với mọi y  Y mầm
s y  Ay    m( Ay ) nên có thể viết duy nhất dưới dạng
s y  c y  t y với c y  , t y  m( Ay )
Ta gọi c y là giá trị phức của s tại y và định nghĩa hàm  s  : Y   , y  c y . Ta
gọi  s  là hàm cảm sinh bởi thiết diện s, với nhận xét rằng  s  ( y )  0 nếu và chỉ nếu
s y  m( Ay ) .

Ánh xạ s   s  là một đồng cấu   đại số từ A(Y ) vào   đại số các hàm

nhận giá trị trong  trên Y.
Nếu (X,  ) là khơng gian phức thì mọi thiết diện cảm sinh một hàm liên tục

 s   C (Y ) .
1.4. Tính hyperbolic của khơng gian phức [8].
Định nghĩa 1.4.1. (Metric hyperbolic). Ký hiệu  là đĩa đơn vị. Với z   và
ta kí hiệu Tz là không gian tiếp xúc tại z (xem thêm phần phụ lục), v  Tz là một


9

vector tiếp xúc tại z (trong trường hợp này có thể đồng nhất với một số phức), ta định
nghĩa chuẩn hyperbolic
v hyp , z 

v euc
1 z

2

 

với v euc là chuẩn Euclide trên  . Metric sinh bởi   gọi là metric hyperbolic
của đĩa đơn vị.

Định nghĩa 1.4.2. (Khoảng cách Kobayashi) Cho X là một không gian phức
liên thông. Cố định x, y  X , Ta gọi một xích trên X từ x tới y là tập hợp  gồm m
ánh xạ chỉnh hình

fi :   X

i  1,, m

và m cặp điểm pi , qi  sao cho

f1  p1   x, f m  qm   y và fi  qi   fi 1  pi 1 
Ta định nghĩa khoảng cách Kobayashi giữa hai điểm x và y là
m

d X  x, y   inf  d hyp  pi , qi 


i 1

trong đó infimum lấy trên tất cả các xích    f i , pi , qi i 1 .
m

m

Ta gọi

 d  p , q  là tổng Kobayashi.
i 1

Nếu X

hyp

i

i

 

khơng liên thơng thì với x, y thuộc hai thành phần khác nhau,

d X  x, y   

Một vài tính chất của khoảng cách Kobayashi.

Định lý 1.4.3. Trên mọi đa tạp X thì khoảng cách Kobayashi là nửa metric.
Mệnh đề 1.4.4. (Tính co) Cho f : X  Y là ánh xạ chỉnh hình giữa hai khơng
gian phức. Khi đó, f là ánh xạ co với khoảng cách Kobayashi, tức là

x, x  X , dY  f  x  , f  x    d X  x, x  .
Mệnh đề 1.4.5. Nếu M và N là hai đa tạp phức và
thì d M  x, y   d N  x, y  .

M N


10

Định nghĩa 1.4.6. (Tính Kobayashi hyperbolic) Cho X là một đa tạp phức.
Ta nói X là có tính chất Kobayashi hyperbolic (hay gọn hơn X Kobayashi hyperbolic)
nếu khoảng cách Kobayashi d X là một metric, tức là x  y kéo theo d X  x, y   0 .
Một vài tính chất của tính Kobayashi hyperbolic.

Mệnh đề 1.4.7. Tính Kobayashi hyperbolic là bất biến qua ánh xạ song chỉnh
hình.

Mệnh đề 1.4.8. Mọi đa tạp phức con của một đa tạp phức Kobayashi
hyperbolic đều là Kobayashi hyperbolic. Nếu f : X  Y đơn ánh chỉnh hình và Y
Kobayashi hyperbolic thì X Kobayashi hyperbolic.
Ví dụ: Đa đĩa và mọi tập bị chặn trong n  đều là Kobayashi hyperbolic.
Định lý 1.4.9. (Barth). Cho X là một đa tạp phức liên thơng Kobayashi
hyperbolic. Khi đó d X xác định topo trên X.

1.5. Không gian phức xạ ảnh  n và các tự đồng cấu trên  n [4].
1.5.1. Một cách nhìn khác về đa tạp phức
Định nghĩa 1.5.1.1. Cho (M,T) là một khơng gian tơpơ Hausdorff, có một cơ sở
đếm được. M được gọi là một đa tạp tô-pô nếu tồn tại một số tự nhiên n và với mỗi
điểm p  M có một lân cận mở U của p, một ánh xạ  : U   n mà là đồng phơi lên
ảnh  U  của nó. Cặp U ,   được gọi là một bản đồ địa phương (mảnh tọa độ) trên
 

M, số tự nhiên n được gọi là chiều của M.
Theo định nghĩa trên một đa tạp tô-pô đồng phôi địa phương với  m với một m
nào đó.

Định nghĩa 1.5.1.2. Cho M là một đa tạp tô-pô. Một atlas lớp C k đối với M là
họ các bản đồ A  U  ,   I thỏa mãn:

i. U  là tập con mở khác rỗng của M với mọi   I .
ii. I U  M .
iii.  : U  V là đồng phôi từ U  lên một tập mở V trong  n với mọi

 I .
iv. Với mọi  ,   I phép biến đổi tọa độ

11

      1 :  U   U      U  U  
là ánh xạ khả vi liên tục lớp C k .
Một bản đồ U , x  trên M được gọi là tương thích với C k - atlas A trên M nếu

A  U , x  là một C k - atlas. Một C k - atlas A được gọi là cực đại nếu nó chứa mọi

A trên M còn được gọi là một C k - cấu
bản đồ tương thích với nó. Một atlas cực đại 
trúc trên M.



 

Cặp M , 
A được gọi là một đa tạp khả vi thuộc lớp C k nếu M là đa tạp tô-pô

A là một C k - cấu trúc trên M. Một đa tạp khả vi được gọi là trơn nếu các phép biến
và 
đổi tọa độ của nó thuộc lớp C  .

Định nghĩa 1.5.1.3. Cho n   . Một đa tạp phức n chiều (phức) X là một
khơng gian tơpơ Hausdorff , có cơ sở đếm được cùng với một atlas phức
A  U  ,   I thỏa mãn:

i. U  là tập con mở khác rỗng của X với mọi   I .
ii.  : U    n là đồng phôi từ U  lên một tập mở trong n với mọi   I .

iii. I U  X .
iv.    1 :  U  U      U   U   là ánh xạ chỉnh hình với mọi

,  I .
Tập hợp A  được gọi là cấu trúc phức của X.
Ví dụ: Khơng gian tơ-pơ n , khơng gian xạ ảnh phức  n , là các đa tạp phức n
chiều.

Định lý 1.5.1.4. Mọi đa tạp phức là đa tạp khả vi thực có định hướng.
1.5.2. Ánh xạ chỉnh hình trên đa tạp
Định nghĩa 1.5.2.1. Cho hai đa tạp phức X , Y và tập mở   X . Khi đó ánh xạ
f :   Y được gọi là chỉnh hình nếu với mỗi cặp bản đồ địa phương U ,   trên X

và V ,  trên Y sao cho f U   V thì ánh xạ   f   1 :  U    V  là chỉnh
hình.


12

Ánh xạ f được gọi là chỉnh hình trên X nếu nó chỉnh hình tại mỗi điểm thuộc X.

Mệnh đề 1.5.2.2. Cho các đa tạp phức X , Y , Z và ánh xạ f : X  Y , g : Y  Z là
các ánh xạ chỉnh hình thì g  f : X  Z cũng là ánh xạ chỉnh hình.
Ta cũng chuyển một cách tương tự các khái niệm ánh xạ song chỉnh hình và tương
đương bảo giác cho các đa tạp phức.

Định nghĩa 1.5.2.3. Cho X là một đa tạp phức, D là một miền trong X. Một hàm
f : D   được gọi là hàm chỉnh hình nếu với một phủ nào đó của D bởi các hệ tọa

độ U ,   của atlas phức, các hàm

f   1 :   D  U  → 
là các hàm chỉnh hình thơng thường trên các miền trong một khơng gian n .
Tính chỉnh hình của f tại a ∈ X không phụ thuộc vào hệ tọa độ được sử dụng
quanh a
Nhiều kết quả trên các hàm chỉnh hình thơng thường được chuyển đến trường hợp
các hàm chỉnh hình trên đa tạp phức, chẳng hạn định lý duy nhất và định lý ánh xạ mở.
Như vậy nếu X liên thông và compact, một hàm chỉnh hình khắp nơi trên X phải là
hàm hằng.

1.5.3. Tính chuẩn tắc của họ các ánh xạ
Định nghĩa 1.5.3.1. Cho X, Y là các đa tạp phức. Một dãy

 f  các ánh xạ chỉnh
j

hình được gọi là phân kỳ compact nếu với mỗi cặp các tập compact H  X và K  Y
đều có số tự nhiên k0 để
k  k0 , f k  H   K  .

Định nghĩa 1.5.3.2. Họ   Hol  X , Y  được gọi là họ chuẩn tắc nếu mỗi dãy

f  
j

chứa một dãy con

 f  hội tụ đều về
jv

f   trên mọi tập compact của X,

hoặc chứa một dãy con phân kỳ compact.

Nhận xét: Nếu Y là đa tạp compact thì định nghĩa trên khơng xét tới tính phân kỳ
compact.


13

Mệnh đề 1.5.3.3.   Hol  X , Y  , trong đó Y là đa tạp compact, giả sử U  A là



họ các tập mở phủ X thỏa  U  f


U



: f    Hol (U , Y ) là họ chuẩn tắc với

mọi   A , khi đó  là chuẩn tắc (tính chuẩn tắc là tính địa phương).
Cho X là đa tạp phức. Một họ   Hol  X ,  n  được gọi là bị chặn đều nếu và
chỉ nếu có hằng số C thỏa mãn sup f ( x)  C với mọi f   . Ở đây

là chuẩn

xX

Ơclit trên n .

1.5.3.4. (Định lý Montel) Một họ các ánh xạ chỉnh hình từ đa tạp X vào n bị
chặn đều là họ chuẩn tắc.

1.5.4. Ánh xạ chỉnh hình trên  n
Mục này trình bày một số tính chất quan trọng của các tự đồng cấu của  n . Những
tính chất này được sẽ sử dụng trong nghiên cứu động lực phức của các tự đồng cấu
trên  n .

Bổ đề 1.5.4.1. Cho f là một tự đồng cấu trên  n . Khi đó, tồn tại
F   F0 , , Fn  :   n1     n1 




với F j là các đa thức thuần nhất đồng bậc sao cho   F  f   , nói cách khác là sơ
đồ sau giao hoán.

 

n 1 

 

F

n 1 





n

n
f

F được gọi là gọi là phép nâng của f lên n1 .





Bổ đề 1.5.4.2. Nếu h là một tự đồng cấu trên  n   và H1 :   n 1     n1  ,


H 2 :   n1     n1 




là các phép nâng của h thỏa



H1   z    d1 H1  z  ,

H 2   z    d2 H 2  z  với mọi      thì d1  d2 và tồn tại hằng số     sao cho

 

H 2   H1 .


14

Định lý 1.5.4.3. Cho tự đồng cấu f của  n . Khi đó, tồn tại F   F0 ,, Fn  , trong
đó Fi là các đa thức thuần nhất bậc d, là phép nâng của f lên  n1  . Hơn nữa F là


duy nhất sai khác một nhân tử phức hằng khác không.
Ta gọi d như trên là bậc đại số của f . Một đa thức thuần nhất F :  n 1   n 1
thỏa F 1  0,,0    0, ,0  được gọi là không-suy biến.
Định lý trên tạo ra một hình ảnh rõ ràng về các tự đồng cấu chỉnh hình của  n  
thơng qua các đa thức thuần nhất trong  n1 . Từ đó ta có thể thay việc khảo sát các các
tự đồng cấu này bằng việc khảo sát các đa thức thuần nhất trong  n 1 , vốn đơn giản
hơn rất nhiều.

1.6. Tập Fatou trong không gian xạ ảnh [4].
Cho tự đồng cấu f của không gian xạ ảnh phức  n có bậc d  2 , phép lặp j lần

f

của

được

kí

hiệu

f 0  id , f 1  f , f 2  f  f ,..., f j  f  f

là
j 1

f j 

được

định

nghĩa

bởi

... . Tập hợp  z , f ( z ), f 2 ( z ),..., f j ( z )... gọi

là quĩ đạo của f .

f 



Định nghĩa 1.6.1. Tập   p   n tồn tại lân cận mở V của p để họ
chuẩn tắc

  gọi là tập Fatou của ánh xạ

j

V

j

f.

Một vài tính chất:
1. Tập Fatou là hồn tồn bất biến qua các phép lặp f j , j  1, 2...;
2. Một điểm p0   n   thuộc về tập    nếu và chỉ nếu có một lân cận V của p0 và
một ánh xạ chỉnh hình s : V  C n 1 thỏa  o s  id  và s V   A  h1 (0);
3.  là tập Fatou của tự đồng cấu f :  n   n , nếu có một dãy con

 f  hội tụ
jv

trên một tập mở V thì V   .

Định nghĩa 1.6.2.  là tập Fatou của tự đồng cấu f , ta gọi mỗi thành phần liên
thông của  là một thành phần Fatou.
Như vậy do tập Fatou là hoàn toàn bất biến qua f nên ảnh của các thành phần
Fatou là các thành phần Fatou.


15

Định lí 1.6.3. Mỗi thành phần Fatou là Kobayashi Hyperbolic dẫn tới tập Fatou 
là Kobayashi Hyperbolic.
Tiếp theo ta trình bày khái niệm không gian phủ.

1.7. Không gian phủ [1].
Cho X là một không gian tôpô. Không gian phủ của X là khơng gian T cùng với
một tồn ánh liên tục
p :T  X

sao cho với mọi x  X có một lân cận mở U của x thỏa p 1 (U ) là hợp các tập mở phân
biệt trong T, mà mỗi tập mở này được ánh xạ đồng phôi vào U bởi p.
Ánh xạ p được gọi là ánh xạ phủ, không gian X được gọi là không gian cơ sở và T
được gọi là khơng gian tồn thể của phủ. Mọi phủ p : T  X là một đồng phôi địa
phương, nghĩa là với mọi c  T , tồn tại một lân cận U  T của c và một lận cận

V  X của p (c ) sao cho hạn chế của p lên U là một đồng phôi từ U lên V. Điều này
dẫn đến T và X có cùng các tính chất địa phương. Hơn nữa nếu X đơn liên và T là liên
thơng thì chúng có cùng các tính chất tồn cục và phủ p là một đồng phôi.
Với x bất kỳ trong không gian cơ sở, tập các tạo ảnh của x trong T là một không
gian rời rạc và được gọi là thớ của x. Trên mọi thành phần liên thông của X, các thớ
đồng phôi với nhau. Nếu X liên thơng thì có một khơng gian rời rạc F sao cho với mọi

x trong X, thớ của x đồng phôi với F và hơn nữa, mọi x trong X có một lân cận U của x
sao cho tạo ảnh p 1 U  đồng phôi với U  F . Đặc biệt, số phần tử của thớ của x bằng
với số phần tử của F và nó được gọi là bậc của phủ p : T  X . Như vậy, nếu mọi thớ
có n phần tử thì ta nói phủ p là phủ n - tờ. (Trường hợp n  1 , phủ là phủ tầm thường).
Ví dụ
1. Xét đường tròn đơn vị S 1 trong  2 . Khi đó ánh xạ p :   S 1 với
p  t    cos t , sin t 

là một phủ với mỗi điểm của S 1 được phủ vô hạn lần.
2. Xét mặt phẳng phức bỏ điểm gốc, ký hiệu *   \ 0 và n là số nguyên khác
0. Khi đó qn : *  * xác định bởi qn  z   z n là một phủ. Ở đây mỗi thớ gồm n

16

phần tử.
Một ánh xạ được gọi là một phủ phân nhánh nếu nó là một ánh xạ phủ mọi nơi trừ
ra một tập không đâu trù mật, gọi là tập nhánh. Ngược lại ta gọi là phủ không phân

nhánh.
Một không gian phủ được gọi là không gian phủ phổ dụng nếu nó đơn liên. Ánh xạ
phủ tương ứng gọi là phủ phổ dụng.

Định lý 1.7.1. (Sự tồn tại của không gian phủ phổ dụng). Cho X là một không
gian phức liên thơng. Khi đó tồn tại một khơng gian phức liên thông, đơn liên X và
phủ phổ dụng p : X  X .

Định lý 1.7.2. (Mối quan hệ giữa các khoảng cách Kobayashi trên không gian
phủ và không gian cơ sở).
Cho X là một không gian phức, p : Xˆ  X là một không gian phủ của X. Khi đó
nếu x, y  X và xˆ , yˆ  Xˆ với p  xˆ   x , p  yˆ   y thì

d X  x, y   inf d X  xˆ , yˆ  .
yˆ

Ở đây infimum được lấy khi yˆ quét hết Xˆ sao cho p  yˆ   y .
1.8. Khái niệm phân thớ (bundle) [1].

Cho K là một trong các trường  hoặc .
Định nghĩa 1.8.1. Một K - phân thớ vec tơ (tô pô) hạng k trên một không gian tô

pô M là một không gian tô - pô E cùng với ánh xạ liên tục π : E → M , sao cho hai
điều kiện sau thỏa mãn:

i. Với mỗi điểm p ∈ M, thớ E p   1 ( p) là một K - không gian vec tơ chiều k.
 

ii. Với mọi p ∈ M, có một lân cận mở U và một đồng phơi  :  1 (U )  U  K k
biến E p thành

 p  K k sao cho hợp thành

E p   p  K k  K k là một đẳng cấu

giữa các K  không gian vec tơ.
Cặp  1 (U ),  được gọi là một bản đồ phân thớ. Cặp U ,  được gọi là một

tầm thường hóa địa phương của phân thớ vec tơ. E được gọi là khơng gian tồn bộ, M
được gọi là không gian cơ sở.


17
Với hai tầm thường hóa địa phương U  ,   , U  ,   hợp thành

   1 U U K : U   U    K k  (U   U  )  K k


k

có dạng (id , g , ) trong đó g , là ánh xạ liên tục

g , : U  U   U  ,  Glk ( K ) .
(Nhóm Glk ( K )  có một cấu trúc đa tạp tự nhiên, là một tập con mở của khơng gian các
k×k-ma trận trên K).
Các ánh xạ này được gọi là hàm chuyển vị thỏa các điều kiện tương thích sau
g , g  , g ,  id trên U   U   U  , g ,  id trên U  , g ,  g 1, .

Với mỗi số ngun dương n và đa tạp tơ-pơ M có một phân thớ vec tơ

M  K

n

, M , 

trong

đó

 :M Kn  M

là phép chiếu xác

định bởi

 : ( x, v )  x .Ánh xạ đồng nhất  : M  K n  M   n là một bản đồ toàn cục nên
phân thớ vec tơ  M  K n , M ,   là tầm thường.
 

Khi M là một đa tạp phức, ta nói rằng  - phân thớ vec tơ là phân thớ vec tơ chỉnh

hình nếu hàm chuyển vị g , là các ánh xạ chỉnh hình. Trong trường hợp này E là một
đa tạp phức, ánh xạ π : E → M cũng như các tầm thường hóa địa phương là các ánh
xạ chỉnh hình.
Định nghĩa 1.8.2. Một thiết diện của một phân thớ  : E  M trên một tập mở
U  M là một ánh xạ liên tục s : U  E với tính chất   s  id .


18

Chương 2. QUỸ ĐẠO TỚI HẠN CỦA CÁC ÁNH XẠ
CHỈNH HÌNH TRÊN KHƠNG GIAN XẠ ẢNH
Chương này trình bày về động lực phức của tự ánh xạ chỉnh hình f trên không
gian xạ ảnh phức  n . Nội dung chính của chương nói về mối liên hệ giữa tập Fatou
và quỹ đạo của các điểm tới hạn của f .
Để tìm hiểu kết quả này trước tiên ta tìm điều kiện cho tính chuẩn tắc của họ các
phép lặp của một tự ánh xạ chỉnh hình trên khơng gian xạ ảnh phức (định lý 2.2.1)
trong mục 2.2. Mục 2.3 dành giới thiệu về miền Siegel. Mục 2.4 trình bày kết quả về
mối liên hệ giữa quỹ đạo tới hạn và biên của miền Siegel mà trọng tâm của mục là
định lý 2.4.1. Định lý này chỉ ra rằng biên của miền Siegel nằm trong tập giới hạn của
các điểm tới hạn của f . Mục 2.5 trình bày mối liên hệ của giữa điểm giới hạn Fatou
và tập giới hạn của các điểm tới hạn với nội dung chính là định lý 2.5.2. Riêng mục
2.1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị phục vụ cho các mục sau của chương.
Trong luận văn này đơi khi ta cịn gọi ánh xạ tự chỉnh hình f :  n   n là tự
đồng cấu trên  n .
2.1. Một số kiến thức chuẩn bị

Các phát biểu và chứng minh trong mục này có thể tham khảo trong [10].
2.1.1. Tập giải tích

Cho khơng gian phức X, A  X gọi là một tập giải tích nếu với mọi điểm a  X

có một lân cận U của a và hữu hạn các ánh xạ chỉnh hình f1 ,... f k  trên U thỏa
A  U  N (U , f1 ,.., f k )   z  U f1 ( z )  f 2 ( z )  ...  f k ( z )  0 .

Nhận xét

1. A là tập đóng trong X.
2. Nếu A là tập giải tích trong  n , D   n là tập mở thì A  D là tập giải tích trong

D.
Vài ví dụ về tập giải tích trong X:
+ X;  ;