Tính cộng hưởng và không cộng hưởng của bài toán biên kỳ dị

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

NGUYỄN THỊ MAI LÊ

TÍNH CỘNG HƯỞNG VÀ KHÔNG CỘNG HƯỞNG
CỦA BÀI TOÁN CÓ GIÁ TRỊ BIÊN KÌ DỊ
Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. LÊ HOÀN HÓA

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - NĂM 2006


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến
PGS.TS. Lê Hoàn Hóa đã tận tình hướng dẫn tác giả hoàn
thành đề tài nghiên cứu.
Tác giả chân thành cảm ơn các thầy, cô khoa Toán và
phòng Khoa học công nghệ – Sau đại học trường Đại học sư
phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy và truyền
đạt nhiều kiến thức mới, giúp tác giả làm quen dần với việc
nghiên cứu khoa học.
Tác giả chân thành cảm ơn các thầy, cô phản biện đã nhận
xét và sửa chữa những thiếu sót để luận văn hoàn chỉnh hơn.
Tác giả chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu trường THPT
Chuyên Trần Hưng Đạo, thuộc tỉnh Bình Thuận, nơi tác giả

đang công tác.
Cuối cùng tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với gia
đình, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên tác giả hoàn thành luận
văn này.


1

MỞ ĐẦU
Cũng như các môn khoa học khác, phương trình vi phân xuất hiện trên cơ sở
phát triển của khoa học, kó thuật và những yêu cầu của đòi hỏi thực tế. Lí thuyết
phương trình vi phân đóng vai trò quan trọng trong ứng dụng thực tiễn của Toán
học. Hầu hết các quá trình tự nhiên đều tuân thủ theo một qui luật nào đó mà
phương trình vi phân có thể mô tả được. Bằng chứng là các ngành Toán học, Cơ
học, Vật lí, Hóa học, Sinh vật, Kinh tế, Sinh thái môi trường… và Xã hội học đều
liên quan đến phương trình vi phân.
Lí thuyết phương trình vi phân nói chung và lí thuyết các bài toán biên nói
riêng đã ảnh hưởng mạnh mẽ đến việc phát hiện ra một số lượng lớn các ứng
dụng, đặc biệt là trong khoa học.
Chẳng hạn như:

• Bài toán

2

y"+ y ' = f ( t,y ) ,0 < t < 1
t

y ' ( 0 ) = 0. ay ' (1) + y (1) = b, a > 0


có thể mô tả các quá trình sinh lí khác nhau. Ví dụ, khi f ( t,y ) =

αy
mô tả sự
y +κ

di truyền cấu trúc vững chắc của Oxygen tăng trong tế bào. Ở đây α ,a,κ là
những hằng số xác định liên quan đến tỉ lệ phản ứng, tính thấm và hằng số
Michaelis. Nghiệm y chính là sức căng của Oxygen và t = 1 tương ứng với biên
của màng tế bào. Khi f ( t,y ) = −κ exp ( − β y ) , κ , β > 0 mô tả sự dẫn nhiệt trong
não người. Ở đây f là tỉ lệ sản xuất nhiệt trên một đơn vị thể tích, y là nhiệt độ
tuyệt đối và t là độ dài bán kính tính từ tâm.


2

• Năm 1927, L.H Thomas và E.Fermi độc lập với nhau tìm ra bài toán biên
xác định thế năng tónh điện trong nguyên tử. Sự phân tích này đưa đến phương
trình cấp hai kì dị phi tuyến:
−

1
2

3
2

y"− t y = 0
Có ba điều kiện biên được quan tâm đó là:
i)

Nguyên tử trung hòa với bán kính Bohr, cho bởi:
y ( 0 ) = 1. by ' ( b ) − y ( b ) = 0

ii)

Nguyên tử ion hóa, cho bởi:
y ( 0 ) = 1. y ( b ) = 0

iii)

Nguyên tử trung hòa cô lập, cho bởi:
y ( 0 ) = 1, lim y ( t ) = 0
t →∞

• Bài toán biên kì dị sau đây thường được gọi là phương trình Emden-Fowler
có số mũ âm:
y"+ q ( t ) y −γ = 0, 0 < t < 1

2
2
−α y ( 0 ) + β y ' ( 0 ) = 0, α + β > 0

2
2
ay (1) + by (1) = 0, a + b > 0

α , β , a, b ≥ 0 với α + a > 0
xảy ra trong khi tìm ví dụ về dạng phi tuyến trong lí thuyết chất lỏng phi Niutơn,
cũng như việc vận chuyển bùn than đá xuống băng chuyền và lí thuyết lớp biên.

Ở đây γ > 0 .
Đặc biệt là lớp phương trình biên cho sự chảy ổn định của chất giả nhựa qua một
bản nửa vô hạn, được viết như sau:

 1n
y y"+ nt = 0,0 < t < 1,0 < n < 1

y ' ( 0 ) = y (1) = 0
Khi n=1, phương trình này được gọi là phương trình Blasius….


3

Chính sự ứng dụng rộng rãi đó đã hướng chúng tôi đến nghiên cứu sự tồn tại
nghiệm của bài toán “cộng hưởng” và “không cộng hưởng” có giá trị biên kỳ dị.
Đặc biệt chúng tôi nghiên cứu về phương trình vi phân bậc hai:
1
( py ') '+ µ qy = f ( t,y,y ') hầu khắp nơi trên [ 0,1]
p
Với:

λm −1 < µ < λm (trường hợp không cộng hưởng)
hoặc µ = λm (trường hợp cộng hưởng), m = 1,2,….

Ở đây λ0 = −∞ và λi , i = 1, 2,... là những giá trị riêng của một bài toán tuyến tính
xấp xỉ. Và y sẽ thỏa mãn một trong những điều kiện biên sau đây:
i) Sturm Liouville

−α y ( 0 ) + β lim+ p ( t ) y ' ( t ) = c0 ,α ≥ 0, β ≥ 0,α 2 + β 2 > 0
t →0



p ( t ) y ' ( t ) = c1 ,a ≥ 0, b ≥ 0,a2 + b2 > 0
 ay (1) + b lim
−
t →1

max {a,α } > 0

(SL)

ii) Neumann
 lim+ p ( t ) y ' ( t ) = c0
 t →0

p ( t ) y ' ( t ) = c1
lim
t →1−

(N)

iii) Tuần hoàn (Periodic)

y ( 0 ) = y (1)

p ( t ) y ' ( t ) = lim− p ( t ) y ' ( t )
 tlim
t →1
→ 0+

(P)

Chú ý: Nếu hàm u ∈ C ( 0,1) I C1 ( 0,1) với pu' ∈ C ( 0,1) thỏa điều kiện biên i) ta

viết u ∈ ( SL ) . Chú ý tương tự cho các điều kiện biên khác. Nếu u thỏa i) với

co = c1 = 0 ta viết u ∈ ( SL )0 …
Với vấn đề đặt ra như trên, chúng tôi đã nghiên cứu, giải quyết và trình bày trong
luận văn này với cấu trúc gồm hai chương có nội dung cụ thể như sau:


4
Chương 1: Trình bày các khái niệm cơ bản liên quan đến kiến thức trình bày

trong luận văn, các định lí cơ bản về điểm bất động của ánh xạ compact trong
không gian định chuẩn, trong đó quan trọng nhất là định lí Leray-Schauder dùng
để chứng minh sự tồn tại nghiệm. Áp dụng định lí Leray-Schauder vào chứng
minh sự tồn tại nghiệm của các phương trình:
1
( py ') '+ ry = f ( t,y,py ') , t ∈ [ 0,1]
p
1
( py ') '+ ry + κ ( t ) py ' = f ( t,y,py ') , t ∈ [ 0,1]
p
thỏa mãn các điều kiện biên (SL) hoặc (N) hoặc (P)
Chương 2: Là phần chính của luận văn. Khảo sát sự tồn tại nghiệm của các bài

toán “không cộng hưởng” có giá trị biên kì dị:
1
 p ( py ' ) '+ ry = f ( t,y, py ' ) , t ∈ [ 0,1]


y ∈ ( SL ) hoaë c ( N ) hoaë c ( P )

1
 p ( py ' ) '+ ry + κ ( t ) py ' = f ( t,y, py ' ) , t ∈ [ 0,1]

y ∈ ( SL ) hoaë c ( N ) hoặ c ( P )


Và bài toán “cộng hưởng” có giá trị biên kì dị:
1
 p ( py ' ) '+ λ m qy = f ( t,y, py ' ) , t ∈ [ 0,1]

y ∈ ( SL ) hoaëc ( N ) hoaëc ( P )
o
o


Với λ m là giá trị riêng thứ m của:
1

Lu = λu hkn trê n [ 0,1] , Lu = − pq ( pu' ) ',m = 1,2,3,...

 u ∈ ( SL ) hoaë c ( N ) hoaë c ( P )
o
o



5

Chương 1:
CÁC KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN
1.1.

Các khái niệm cơ bản:

Định nghóa 1.1

Cho X, Y là các không gian định chuẩn.
1) Ánh xạ liên tục F : X → Y được gọi là compact nếu F(X) chứa trong một
tập compact của Y.
2) Ánh xạ liên tục F : X → Y được gọi là hoàn toàn liên tục nếu ảnh của mỗi
tập bị chặn chứa trong một tập compact của Y.
3) Ánh xạ liên tục F : X → Y được gọi là compact hữu hạn chiều nếu F(X)
chứa trong không gian con tuyến tính hữu hạn chiều của Y.
Gọi A = {a1 ,a2 ,...,an } là một tập con của không gian tuyến tính định chuẩn E
với chuẩn . . Với ε > 0 cố định đặt:
n

Aε = U B ( ai , ε ), B ( ai , ε ) = {x ∈E : x − ai < ε }
i =1

µi : Aε → R sao cho µi = max {0, ε − x − ai

}

Gọi co(A) là tập lồi bé nhất chứa A. Ta định nghóa phép chiếu Schauder là ánh
xạ:
n

Pε : Aε → co ( A ) sao cho Pε ( x ) =

∑ µ (x) a
i =1
n

i

∑ µ (x)
i =1

Nhận xét:
Cách định nghóa Pε là hoàn toàn có nghóa vì, nếu:

i

i

,x ∈ Aε


6
n

x ∈ Aε , ∃i o : x ∈ B aio , ε ⇒ ε − x − ai > 0 ⇒ µ io = ε − x − ai ≠ 0 ⇒ ∑ µ i ( x ) ≠ 0

(

)

i =1

Chú ý:
Pε ( Aε ) ⊂ co ( A ) do mỗi Pε ( x ) là tổ hợp tuyến tính của a1, a2,…,an
Định nghóa 1.2

Cho B là một tập của không gian tuyến tính định chuẩn E, F : B → E . Với mỗi

ε > 0 , b là một điểm trong B sao cho b − F ( b ) < ε thì b được gọi là điểm

ε − cố định của F.
Định nghóa 1.3

Cho C là tập lồi trong E. (X,A) là một cặp trong C, nghóa là X là tập con tùy ý
trong C và A là tập đóng trong X.

• Hai ánh xạ liên tục f,g : X → E được gọi là đồng luân nếu có một ánh xạ
liên tục H : X × [ 0,1] → E với H ( x,0 ) = f ( x ) vaø H ( x,1) = g ( x ) ,

∀x ∈X

• Ánh xạ H được gọi là đồng luân liên tục và ta viết H : f ≅ g . Với mỗi
t ∈ [ 0,1] ánh xạ x → H ( x,t ) được viết là H t : X → E .

• Chúng ta dễ dàng kiểm tra được quan hệ đồng luân là một quan hệ tương
đương.

• Ánh xạ đồng luân liên tục H gọi là compact nếu nó là compact.
• Ánh xạ đồng luân liên tục H gọi là “fixed point free” trên A ⊆ X nếu với

mỗi t ∈ [ 0,1] ánh xạ liên tục H A × {t} : A → E không có điểm bất động.

• Gọi K A ( X,C ) là tập hợp tất cả các ánh xạ hoàn toàn liên tục F : X → C sao
cho thu heïp F A : A → C là “fixed point free” .

• Hai ánh xạ liên tục F,G ∈ K A ( X,C ) được gọi là đồng luân (ta viết F ≅ G )
trong

K A ( X,C )

nếu có một đồng luân liên tục

H : X × [ 0,1] → C


7

với H t ( u ) = H X × {t} : X → C, t ∈ [ 0,1]

“fixed

point

free”

trên

X

và

H 0 ( x ) = F ( x ) ,H1 ( x ) = G ( x ) .

• Ánh xạ F ∈ K A ( X,C ) được gọi là cốt yếu (essential) nếu tất cả các ánh
xạ G ∈ K A ( X,C ) sao cho F A = G A có điểm cố định.

• Ánh xạ F ∈ K A ( X,C ) được gọi là không cốt yếu (inessential) nếu tồn tại
ánh xạ G ∈ K A ( X,C ) sao cho F A = G A la ø“fixed point free”.
Định nghóa 1.4

Tập A ⊂ CK ( X ) được gọi là liên tục đồng bậc nếu
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀f ∈ A, ∀x,x ' ∈ X mà d ( x,x' ) < δ thì f ( x ) − f ( x ' ) < ε .

Định nghóa 1.5

Hàm số pf : [ 0,1] × R 2 → R được gọi là hàm L1 – Caratheodory neáu:

i) t → p ( t ) f ( t,y,q ) là đo được, ∀ ( y,q ) ∈ R 2
ii) ( y,q ) → p ( t ) f ( t,y,q ) liên tục hầu khắp nơi t ∈ [ 0,1]
iii) Với bất kỳ r>0, tồn tại h r ∈ L1 [ 0,1] sao cho p ( t ) f ( t,y,q ) ≤ h r ( t ) , hầu khắp nơi
t ∈ [ 0,1] và với mọi y ≤ r, q ≤ r
Định nghóa 1.6

Lnp [ a, b] ,n ∈ N* là không gian các hàm u thỏa:

∫

b

a

n

p u ( t ) dt < ∞

Định nghóa 1.7

Hàm f được gọi là liên tục tuyệt đối trên [a,b] ( f ∈ AC [ a, b]) nếu với mỗi
n

n

i=1

i=1

ε > 0, ∃δ > 0 sao cho ∑ bi − ai < δ thì ∑ f(bi ) − f(ai ) < ε , đúng cho mọi họ

{( a , b ) ;i = 1,n} các khoảng không giao nhau.
i

i


8
Định nghóa 1.8

Giả sử hệ hàm y1 ( x ) ,y 2 ( x ) ,...,y n ( x ) khả vi n -1 lần trên (a,b), khi đó định thức
Wronski được xác định như sau:

y1 ( x )
y1' ( x )
W ( y1 ,y 2 ,...,y n ) ≡ W ( x ) =
...
n −1)

y1(

(x)

y2 ( x )
y'2 ( x )
...
n −1)

y(2

(x)

...
...
...

yn ( x )
y'n ( x )
...
n −1)

... y(n

(x)

W ( x ) ≠ 0 tại một x ∈ ( a,b ) thì hệ hàm độc lập tuyến tính
W ( x ) = 0, ∀ x ∈ ( a, b ) thì hệ hàm phụ thuộc tuyến tính.
Định nghóa 1.9

Cho B, D là hai tập đóng rời nhau trong không gian tuyến tính định chuẩn E. Khi
đó tồn tại một hàm liên tục λ : E → [ 0,1] gọi là hàm liên tục Urysohn sao cho:

 d ( x,B) 
,1 ,x ∉ D
min 
0 ,x ∈ B
. Hay nói cách khác λ ( x ) = 
λ (x) = 
 d ( x,D ) 
1 ,x ∈ D

,x ∈ D
1
với d ( x,B) = min { x − y ,y ∈ B}

1.2.

Phương pháp điểm bất động trong bài toán biên kỳ dị
1.2.1. Các định lí cơ bản:
Định lí 1.1 (Brouwer)

En là không gian tuyến tính định chuẩn hữu hạn chiều. C là tập đóng, bị chặn
trong En thì tất cả các ánh xạ f : C → C liên tục đều có điểm bất động.

Định lí 1.2

Cho A ⊆ C ⊆ E với A= {a1 ,a2 ,...,an } ; C là tập lồi trong không gian tuyến tính
định chuẩn E. Nếu Pε ( x ) là phép chiếu Schauder thì:


9

1) Pε là ánh xạ hoàn toàn liên tục từ Aε vaøo co ( A ) ⊆ C
2) x − Pε < ε , ∀ x ∈Aε
Chứng minh:

1) Sự liên tục của Pε được thấy trực tiếp (vì là phép chiếu). Chúng ta chứng
tỏ tính compact của Pε
∞

Gọi {Pε ( x m )}1 là một dãy trong Pε ( Aε ) với:
n

n

i =1

i =1

µ ( x ) = ∑ µi ( x ) ⇒ Pε ( x m ) = ∑

µ i ( x m ) ai
µ (x)

 µ (x ) µ (x )
µ (x ) 
n
Chú ý với mỗi m:  1 m , 2 m ,..., n m  ∈ [ 0,1]
µ ( xm ) 
 µ ( xm ) µ ( xm )
n

Vì [ 0,1] là tập compact và co(A) là một tập đóng, nên ta suy ra tính compact
của ánh xạ Pε .
2) Chú ý
n
1
1 n
x − Pε ( x ) =
µ ( x ) x − ∑ µ i ( x ) ai ≤
∑ µ ( x ) x − ai
µ (x)
µ ( x ) i=1 i
i =1

1 n
<
∑ µ ( x )ε = ε
µ ( x ) i =1 i

bởi vì µi ( x ) ≠ 0 nếu x-ai < ε
Định lí 1.3 (xấp xỉ Schauder)

C là tập lồi trong không gian tuyến tính định chuẩn E. Ánh xạ F : E → C là hoàn

toàn liên tục thì với mỗi ε > 0 có một tập A= {a1 ,a2 ,...,an } ⊂ F ( E ) ⊆ C và một
ánh xạ liên tục hữu hạn chiều Fε : E → C sao cho:
1) Fε ( x ) − F ( x ) < ε , ∀ x ∈E
2) Fε ( E ) ⊆ co ( A ) ⊆ C


10
Chứng minh:

Do F hoàn toàn liên tục nên F(E) chứa trong một tập compact K của C. Mà K bị
chặn hoàn toàn nên tồn tại một tập A= {a1 ,a2 ,...,an } ⊆ F ( E ) với F ( E ) ⊆ Aε
Goïi Pε : Aε → co ( A ) là phép chiếu Schauder và định nghóa ánh xaï
Fε : E → C
Fε ( x ) = Pε ( F ( x ) ) ,x ∈E theo định lí 1.2 ta có kết quả.
Định lí 1.4

Cho B là tập con đóng của không gian tuyến tính định chuẩn E. F : B → E là ánh
xạ hoàn toàn liên tục. Khi đó F có điểm bất động nếu F có điểm ε − cố định với
mỗi ε > 0
Chứng minh:

Giả sử F có điểm ε − cố định với mỗi ε > 0 . Với mỗi n = 1,2,…đặt bn là điểm
1/n _ cố định của F. Ta coù b n − F ( b n ) <

1
(*)
n

Do F compact suy ra F(B) chứa trong một tập compact K trong E do đó có một
dãy con các số tự nhiên S và x thuộc K sao cho : F ( x n ) → x∈K khi n → ∞ trong

S. Vì vậy (*) suy ra b n → x khi n → ∞ trong S vaø do B là tập đóng cho nên
x ∈B . Do F liên tục trên B suy ra F ( bn ) → F ( x ) .

Vậy ta có x − F ( x ) = 0 hay F có điểm bất động.
Định lí 1.5 (Schauder)

Cho C là một tập con lồi của không gian tuyến tính định chuẩn E thì tất cả các
ánh xạ hoàn toàn liên tục F : C → C đều có ít nhất một điểm bất động.


11
Chứng minh:

Dùng định lí 1.4 với B = C = E chúng ta chứng minh F có ε − cố định với mỗi

ε > 0 . Cố định ε > 0 từ định lí 1.3 suy ra tồn tại một ánh xạ liên tục hữu hạn
chiều Fε : E → C với Fε ( x ) − F ( x ) < ε với x thuộc E và Fε ( C ) ⊆ co ( A ) ⊆ C ,
với A ⊆ C . Do co ( A ) đóng bị chặn và Fε ( co ( A ) ) ⊆ co ( A ) chúng ta có thể áp
dụng định lí 1.1 suy ra xε = Fε ( xε ) ,xε ∈ co ( A ) .
Vì vậy xε − F ( xε ) = Fε ( xε ) − F ( xε ) < ε
Định lí 1.6

Cho F,G ∈ K A ( X,C ) , giả sử với mỗi ( a,t ) ∈ X × [ 0,1] chúng ta coù:
tG ( a ) + (1 − t ) F ( a ) ≠ a thì F ≅ G trong K A ( X,C ) .
Chứng minh:

Đặt H ( x,t ) = tG ( x ) + (1 − t ) F ( x ) ; ( x,t ) ∈ X × [ 0,1] . H liên tục do F, G liên tục.
Trước hết ta chứng minh H : X × [ 0,1] → C là một ánh xạ compact.
Lấy một dãy bất kỳ ( x n ,t n ) ∈ X × [ 0,1] . Để không mất tính tổng quát ta có thể giả
sử t n → t ∈[ 0,1] khi n → ∞ . Do F và G compact nên có một dãy con S các số tự

nhiên và F(x), G(x) thuộc C sao cho: F ( x n ) → F ( x ) ,G ( x n ) → G ( x ) khi n → ∞
trong S, hơn nữa do C lồi nên ta coù H ( x n ,t n ) = t n G ( x n ) + (1 − t n ) F ( x n ) → H ( x,t )

khi n → ∞ trong S. Vaäy H(x,t) là một phép đồng luân liên tục, compact.
Do tG ( a ) + (1 − t ) F ( a ) ≠ a với mỗi ( a,t ) ∈ X × [ 0,1] nên Ht là “fixed point free”.
Cuối cùng do H 0 = F,H1 = G neân F ≅ G trong K A ( X,C )
Định lí 1.7

(

)

Cho U là một tập con mở của một tập lồi C ⊆ E , U, ∂U là một cặp trong C.

( )

(

Khi đó với bất kỳ u 0 ∈ U thì ánh xạ hằng F U = u 0 là cốt yeáu trong K ∂U U,C

)


12
Chứng minh:

Gọi G : U → C là một ánh xạ hoàn toàn liên tục với G ∂U = F ∂U = u0 . Chúng ta
chứng minh G có điểm bất động trên U. Định nghóa:
G ( x ) nế u x ∈ U
J(x) = 

 u 0 neá u x ∈ C\U
Dễ dàng chứng minh được J : C → C là một ánh xạ hoàn toàn liên tục. Từ định lí
1.5 suy ra J có điểm bất động u ∈ C . Kết hợp với J ( x ) = u 0 ∈ U với x ∈ C\U
chúng ta có u ∈ U , vì vậy u = J ( u ) = G ( u ) vaø do G ∂U = u 0 do u ∈ U suy ra G có
điểm bất động u. Vậy F là cốt yếu.
Định lí 1.8

Giả sử (X,A) là một cặp trong C ⊆ E . C là một tập lồi trong không gian tuyến
tính định chuẩn E. Ta có các tính chất của F sau đây là tương đương:
1) F là không cốt yếu
2) Có một ánh xạ “fixed point free”

G ∈ K A ( X,C ) sao cho

F ≅ G trong K A ( X,C )

Chứng minh:
•1) ⇒ 2)

Gọi G ∈ K A ( X,C ) sao cho F A = G A là “fixed point free” .
Ta

có

tG ( a ) + (1 − t ) F ( a ) ≠ a, ∀ ( a,t ) ∈ A × [ 0,1] .

Thaät

vaäy,

∃a ∈ A : tG ( a ) + (1 − t ) F ( a ) = a , do F A = G A ⇒ G ( a ) = a (mâu thuẫn).
Do định lí 1.6 ta suy ra F ≅ G trong K A ( X,C )
• 2) ⇒ 1)

giả

sử


13

Gọi H : X × [ 0,1] → C là một đồng luân hoàn toàn liên tục liên kết giữa G và F
sao cho H X × {t} là một “fixed point free” với mỗi t ∈ [ 0,1] .
Đặt B = {x : x = H ( x,t ) ,t ∈ [ 0,1]} .
Nếu B = ∅ thì với mỗi t ∈ [ 0,1] , Ht không có điểm bất động vì thế riêng F không
có điểm bất động suy ra F không cốt yếu.
Nếu B ≠ ∅ ta có A I B = ∅ .
B là tập đóng. Thật vậy, lấy x n ∈ B , tức là x n = H ( x n ,t n ) và x n → x ∈ X . Khi đó
tồn tại t ∈ [ 0,1] và một dãy con các số tự nhiên S sao cho t n → t khi n → ∞ trong
S. Do sự liên tục của H ta coù x=H(x,t) suy ra x ∈ B . Vậy tập B đóng.
Ta đã có A, B là hai tập đóng rời nhau.Gọi λ : X → [ 0,1] là hàm Urysohn liên tục
với λ ( A ) = 1, λ ( B) = 0.
Định nghóa hàm J t ( x ) = H ( x, λ ( x ) t ) ; ( x,t ) ∈ X × [ 0,1] , ta có Jt là một ánh xạ hoàn
toàn liên tục. Ta chứng minh Jt là “fixed point free” và J t

A

= H t A ø . Thật vậy ta

chú ý J t ( x ) = x nghóa là H ( x, λ ( x ) t ) = x , suy ra x thuộc B, vì vậy

λ ( x ) = 0 và H ( x,0 ) = x , suy ra mâu thuẫn vì H 0 = G là“fixed point free”. Do
đó Jt là “fixed point free”.
Ta có nếu x ∈ A thì λ ( x ) = 1 vaø J t ( x ) = H ( x, λ ( x ) t ) = H ( x,t ) = H t ( x )
Vì vậy J t

A

= Ht A .

Đặt t = 1 suy ra Jt là ánh xạ hoàn toàn liên tục và là“fixed point free”, suy ra
F = H1 trên A. Vậy F không cốt yếu.


14
Định lí 1.9

Giả sử (X,A) là một cặp trong C ⊆ E . C là tập lồi trong không gian tuyến tính
định chuẩn E. Giả sử F và G là hai ánh xạ trong K A ( X,C ) sao cho:
F ≅ G trong K A ( X,C ) thì F cốt yếu nếu G cốt yếu.
Chứng minh:

Giả sử F là không cốt yếu, theo định lí 1.8 thì tồn tại một ánh xạ “fixed point
free” T ∈ K A ( X,C ) sao cho F ≅ T trong K A ( X,C ) . Do đó G ≅ T trong
K A ( X,C ) . Cũng theo định lí 1.8 ta suy ra G là không cốt yếu (mâu thuẫn giả
thiết).
Định lí 1.10 (Leray – Schauder)

Giả sử C là tập lồi trong không gian tuyến tính định chuẩn E. U là một tập con mở
của C, p* ∈ U thì tất cả các ánh xạ hoàn toàn liên tục F : U → C đều có ít nhất

một trong hai tính chất sau:
1) F có điểm bất động.
2) ∃ x∈ ∂U sao cho x=λ F ( x ) + (1 − λ ) p* , λ ∈ ( 0,1)
Chứng minh:

Chúng ta có thể giả sử F ∂U là “fixed point free” trong trường hợp 1) không xảy
ra
Đặt G : U → C là ánh xạ hằng u → p* .
Xét phép đồng luân hoàn toàn liên tục H t : U → C liên kết giữa G và F laø

H ( x,t ) = tF ( x ) + (1 − t ) p* .
Xét hai trường hợp:
i)

H(x,t) là “fixed point free” trên ∂U

ii)

H(x,t) không là “fixed point free” treân ∂U


15

Nếu trường hợp i) xảy ra thì từ định lí 1.7 và 1.9 suy ra F phải có điểm cố định.
Ngược lại nếu trường hợp ii) xảy ra thì:
∃ x ∈ ∂U : x = λ F ( x ) + (1 − λ ) p* , với λ ∈ [ 0,1]

Ta có λ ≠ 0 vì p* ∉ ∂U và λ ≠ 1 vì F ∂U là “fixed point free”ø.
Định lý 1.11 (Ascoli – Arzela)

Cho X là không gian mêtric compact, ta kí hiệu CK ( X ) là tập hợp các hàm liên

{

}

tục f : X → K ( K = R,C ) với chuẩn y = sup f ( x ) ,x ∈ X .
Mệnh đề

Giả sử {fn } ⊂ CK ( X ) thoûa lim fn ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ X và {fn } là liên tục đồng bậc.
n →∞

Khi đó f ∈ CK ( X ) và lim fn − f = 0 .
n →∞

Chứng minh:

Cho ε > 0 . Do

{fn }

là liên tục đồng bậc nên ta chọn δ > 0 thỏa ∀n ∈ N ,

∀x,x ' ∈ X mà d ( x,x' ) < δ thì fn ( x ) − fn ( x ' ) <

f ( x ) − f ( x ') <

ε
3

ε
3

.

Cho

n→∞

. Suy ra f ∈ CK ( X ) .

Từ phủ {B ( x,δ ) : x ∈ X} lấy phủ hữu hạn {B ( x k ,δ ) , k = 1,2,...,m} .
Do lim fn ( x k ) = f ( x k ) , ∀k = 1,2,...,m neân:
n →∞

Tồn tại n1 sao cho với n > n1 thì fn ( x1 ) − f ( x1 ) <

ε

Toàn tại n2 sao cho với n > n 2 thì fn ( x 2 ) − f ( x 2 ) <

ε

3
3

…………………………
Tồn tại nm sao cho với n > n m thì fn ( x m ) − f ( x m ) <

ε
3

ta

được


16

Đặt n o = max {n1 ,n 2 ,...,n m } ta coù:
∀n ≥ n o suy ra fn ( x k ) − f ( x k ) <

Ta

coù

ε
3

, ∀k = 1,2,...,m

∀n ≥ n o , ∀x ∈ X suy ra tồn tại k=1,2,...,m sao cho d ( x,x k ) < δ

m


do
X=
B ( x k ,δ )  thì :

U

n=1



fn ( x ) − f ( x ) ≤ fn ( x ) − fn ( x k ) + fn ( x k ) − f ( x k ) + f ( x k ) − f ( x ) <

ε
3

+

ε
3

+

ε
3

=ε .

Định lý Ascoli – Arzela:

Tập A ⊂ CK ( X ) là compact tương đối khi và chỉ khi A bị chặn đều và A đẳng
liên tục.
Chứng minh:

Điều kiện cần: Cho ε > 0 . Do A là compact tương đối nên ta tìm được

n
 ε
f1 ,f2 ,...,fn ∈ CK ( X ) sao cho A ⊂ U B  fk ,  do {B ( f, ε )}f∈A ,A compact .
3
k =1 

(

)

ε


Đặt M = max  fk + : k = 1,n  ta coù f ≤ M, ∀f ∈ A
3



(

)

Do fk k = 1,n liên tục trên một tập compact nên liên tục đều. Nên có δ > 0 thỏa
∀k = 1,n, ∀x,x ' ∈ X sao cho d ( x,x ' ) < δ thì fk ( x ) − fk ( x ' ) <

ε
3

.

Với δ tìm được ta có: với mọi f ∈ A , ∀x,x ' ∈ X sao cho d ( x,x' ) < δ thì tồn taïi k,

( k = 1,n ) :

f − fk <

ε
3

. Suy ra:

f ( x ) − f ( x' ) ≤ f ( x ) − fk ( x ) + fk ( x ) − fk ( x ' ) + fk ( x ' ) − f ( x ' ) < ε .
Vậy A liên tục đồng bậc.
Điều kiện đủ:


17

Xét tùy ý dãy {fn } ⊂ A , ta chứng minh {fn } có dãy con hội tụ. Do X là tập
compact nên có dãy con {x n } ⊂ X trù mật trong X.
Dãy {fn ( x1 )}n bị chặn trong K nên có dãy con {fn1} của {fn } sao cho {fn1 ( x1 )} hội
tụ. Tương tự, ta có {fn2 } là dãy con của {fn1} sao cho {fn2 ( x1 )} , {fn2 ( x 2 )} hội tụ.
Tiếp tục quá trình này ta có các dãy {fnk } ( k ∈ N ) thỏa: {fnk +1} là dãy con của
n

{f } , {f ( x )}
k
n n

k

n

i

n

n

hội tụ, với i = 1, k .

Lập “dãy đường chéo” {fnn } ta có : {fnn } là dãy con của {fn } và {fnn ( x i )} hội tụ
n

∀i ∈ N ( do {fnn }

n≥i

n

n

là dãy con của {fni } ).
n

Ta chứng minh {fnn ( x )} hội tụ ∀x ∈ X :
n

Cho ε > 0 . Ta chọn δ > 0 (trong định nghóa liên tục đồng bậc); io ∈ N sao cho:

(

)

d x,x io < δ (do {x n } trù mật trong X).

Ta coù:

( )

( )

( )

( )

fnn ( x ) − fmm ( x ) ≤ fnn ( x ) − fnn x io + fnm x io − fmm x io + fmm x io − fmm ( x ) < 3ε
khi m, n đủ lớn.
Vậy {fnn ( x )} là dãy Cauchy trong K nên hội tụ.
Áp dụng mệnh đề ta có {fnn } hội tụ trong CK ( X ) .
n

Định lí 1.12 (Bất đẳng thức Holder)

Với p>1, q>1 thỏa

1 1
+ = 1 thì ta có bất đẳng thức Holder như sau:
p q
n

1

1

n
 n
p p 
q q
x
y
≤
x
y
∑
i i
∑ i  ∑ i 
i =1
 i =1
  i =1


Trong đó xi, yi có thể là số thực hoặc số phức.


18
Chứng minh:

tp 1
Xét hàm số ϕ ( t ) = + − t,t ≥ 0 . Ta coù ϕ ' ( t ) = t p−1 − 1 vaø ϕ ' ( t ) = 0 ⇔ t = 1
p q

Hàm ϕ đạt cực tiểu tại t =1; ϕ (1) = 0 suy ra ϕ ( t ) ≥ 0; ∀t ≥ 0
1

−
tp 1
up vq
Hay t ≤ + , ∀t ≥ 0. Thay t = uv p−1 với u ≥ 0;v ≥ 0 ta coù uv ≤
+
p p
p
q

1

1

 n
 n
p p
q q
Đặt x p =  ∑ x i  ; y q =  ∑ y i  . Giả sử x p > 0; y q > 0 .
 i =1

 i =1

xiyi
x
y
Với u = i ;v = i ;i = 1,n ta có
xp

yq
xp y
n

Lấy tổng hai vế ta coù

Suy ra

n

∑xy
i =1

i

∑xy
i

i =1

x

p

n

i

y
1

p

n

∑x

i

≤
q

n

i =1

∑y

i

p x

q

+

i =1

p

q y

1
q


p 
q
≤  ∑ xi   ∑ yi  = x
 i =1
  i =1


p

y

p

p xi

n

p

p

≤

xi

p
p

+

yi

q

q yi

q

;i = 1,n

q

q
i
q

=1

q

q

1.2.2. Ứng dụng:
Trong mục này chúng ta sẽ áp dụng lý thuyết về điểm bất động để chứng minh sự
tồn tại nghiệm của phương trình vi phân dạng:

1
(py ')'+ ry = f ( t,y, py ' ) ,t ∈ [ 0,1]
p
Thỏa mãn một trong các điều kiện biên sau đây:
i) (Sturm Liouville)

−α y ( 0 ) + β lim+ p ( t ) y ' ( t ) = c0 ,α ≥ 0, β ≥ 0,α 2 + β 2 > 0
t →0


p ( t ) y ' ( t ) = c1 ,a ≥ 0, b ≥ 0,a2 + b2 > 0
ay (1) + b lim
−
t →1

max {a,α } > 0
ii) (Neumann)

(SL)


19

 lim+ p ( t ) y' ( t ) = c0
 t →0

p ( t ) y' ( t ) = c1
lim
t →1−

(N)

iii) (Periodic)( Tuần hoàn)
y ( 0 ) = y (1)

p ( t ) y' ( t ) = lim− p ( t ) y' ( t )
 tlim
t →1
→ 0+

(P)

1.2.2.1. Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình:

1
 p ( py' ) '+ ry = f ( t,y, py' ) hkn treân [ 0,1]

y ∈ ( SL ) hoặc ( N )


(1.1)

Với pf : [ 0,1] × R 2 → R laø haøm L1 - Caratheodory
p ∈ C [ 0,1] I C1 ( 0,1)
p > 0 treân ( 0,1)
1

ds

∫ p (s) < ∞
0

r ∈ L1p [ 0,1]
Định lí 1.13

Giả sử các điều kiện (1.2) thỏa và
1
 p ( py ' ) '+ ry = 0 hkn treân [ 0,1]

y ∈ ( SL ) hoặc ( N )
0
0


có duy nhất nghiệm tầm thường.
Giả sử thêm tồn tại một hằng số M0, độc lập với λ sao cho:



y 1 = max sup y ( t ) ,sup p ( t ) y ' ( t )  ≤ M 0
[ 0,1]
 [0,1]

với y là nghiệm bất kỳ của phương trình:

(1.2)


20

1
 p ( py ' ) '+ ry = λ f ( t,y, py ' ) hkn treân [ 0,1]

y ∈ ( SL ) hoặc ( N )


(1.3)

với mỗi λ ∈ ( 0,1) . Khi đó (1.1) có ít nhất một nghiệm.
Chứng minh:

Lấy y1, y2 là hai nghiệm độc lập tuyến tính của ( py ' ) '+ rpy = 0 hkn trên [ 0,1] ,
với y1 ,y 2 ∈ C [ 0,1] vaø py1' , py'2 ∈ AC [ 0,1] .
Chú ý: Điều kiện biên (N) có thể được coi là điều kiện (SL) nếu cho

α = a = 0; β = b = 1.
Ta choïn y2 sao cho −α y 2 ( 0 ) + β lim+ p ( t ) y'2 ( t ) ≠ 0 . Thật vậy, nếu điều này không
t →0

thỏa thì −α y1 ( 0 ) + β lim+ p ( t ) y1' ( t ) = −α y 2 ( 0 ) + β lim+ p ( t ) y'2 ( t ) = 0 .
t →0

t →0

Đặt u ( x ) = ay 2 (1) + b lim− p ( t ) y'2 ( t )  y1 ( x ) − ay1 (1) + b lim− p ( t ) y1' ( t )  y 2 ( x )
t →1
t →1






Ta thấy u thỏa phương trình ( pu' ) '+ rpu = 0 hầu khắp nơi trên [ 0,1] với
−α u ( 0 ) + β lim+ p ( t ) u' ( t ) = 0 vaø au (1) + b lim− p ( t ) u' ( t ) = 0
t →0

t →1

Suy ra u ≡ 0 , điều này mâu thuẫn với tính độc lập của y1 và y2.
Giải bài toán (1.3) tương đương với việc tìm một hàm y ∈ C [ 0,1] với py' ∈ C [ 0,1]
thỏa mãn:
t  y1 ( s ) y 2 ( t ) − y1 ( t ) y 2 ( s ) 
 f s,y s ,py ' ds
y ( t ) = A λ y1 ( t ) + Bλ y 2 ( t ) + λ ∫ 
( () )
0
W (s)

Với W ( s ) là định thức Wronski của y1, y2 tại s vaø
Bλ =

c0 − A λ Q 3
c Q − c Q + λQ5
vaø A λ = 0 2 1 1
Q1
Q3Q 2 − Q 4Q1

Với Q1 = −α y 2 ( 0 ) + β lim+ p ( t ) y'2 ( t ) ;Q 2 = ay 2 (1) + b lim p ( t ) y'2 ( t )
t →0

t →1−

(1.4)


21
Q3 = −α y1 ( 0 ) + β lim+ p ( t ) y1' ( t ) ;Q 4 = ay1 (1) + b lim p ( t ) y1' ( t )
t →1−

t →0

1  y1 ( s ) y 2 (1) − y1 (1) y 2 ( s ) 
 f s,y s , p s y ' s ds
Q 5 = aQ1 ∫ 
( ( ) ( ) ( ))
0
W (s)

 y ( s ) lim p ( t ) y' ( t ) − y ( s ) lim p ( t ) y' ( t ) 
1
2
2
1
t →1−
t →1−
 f s,y s , py ' ds
+ bQ 2 ∫ 
( () )
0

W (s)
t

Ở đây Q3Q 2 − Q 4Q1 ≠ 0 . Thaät vaäy, ñaët u ( x ) = Q1y1 ( x ) − Q3 y 2 ( x ) , khi đó ta thấy
u(x) thoả phương trình ( pu' ) '+ rpu = 0 hkn trên [ 0,1] và −αu ( 0 ) + β lim p ( t ) u' ( t ) = 0 ,
t → 0+

Neáu

Q3Q 2 − Q 4Q1 = 0

là y1 ( x ) =

thì

au (1) + b lim− p ( t ) u' ( t ) = 0 .
t →1

Suy

ra u ≡ 0 ,

nghóa

Q3
y 2 ( x ) , điều này mâu thuẫn với tính độc lập của y1 và y2
Q1

Chúng ta có thể viết (1.4) lại như sau:


t  y1 ( s ) y 2 ( t ) − y1 ( t ) y 2 ( s ) 
 f s,y s , py ' ds 
y ( t ) = λ  Cy1 ( t ) + Dy 2 ( t ) + ∫ 
( () ) 
0

W (s)



+ (1 − λ )  Ey1 ( t ) + Fy 2 ( t ) 
Với F =

c0 − EQ3
c Q −c Q
Q +c Q −c Q
c − CQ3
; E = 0 2 1 1 ;C = 5 0 2 1 1 ; D = 0
Q1
Q3Q 2 − Q 4 Q1
Q3Q 2 − Q 4 Q1
Q1

Ta định nghóa toán tử N : K1B → K1B :
t  y1 ( s ) y 2 ( t ) − y1 ( t ) y 2 ( s ) 
 f s,y s , py ' ds (1.5)
Ny ( t ) = Cy1 ( t ) + Dy 2 ( t ) + ∫ 
( () )
0
W (s)

Với K1B = {u ∈ C [ 0,1] , pu' ∈ C [ 0,1] : u ∈ ( SL ) hoaëc ( N )

}

Khi đó (3) tương đương với bài toán điểm bất động:
y = λNy + (1 − λ ) p*

Với

(1.6)

p* = Ey1 ( t ) + Fy 2 ( t )

Ta có N : K1B → K1B liên tục. Thật vậy, lấy un → u trong K1B nghóa là un → u và
pu'n → pu' đều trên [ 0,1] . Do đó tồn tại r>0 sao cho:


22
un ( t ) ≤ r, p ( t ) u'n ( t ) ≤ r, u ( t ) ≤ r, p ( t ) u' ( t ) ≤ r , ∀t ∈ [ 0,1]

Do sự hôïi tụ đều trên nên ta có:
p ( t ) f ( t, un ( t ) , p ( t ) u'n ( t ) ) → p ( t ) f ( t, u ( t ) , p ( t ) u' ( t ) ) từng điểm hkn trên [ 0,1]

và tồn tại một hàm khả tích hr sao cho:
p ( t ) f ( t, un ( t ) , p ( t ) u'n ( t ) ) ≤ h r ( t ) hkn t ∈ [ 0,1]

(1.7)

t  y ( s ) y 2 ( t ) − y1 ( t ) y 2 ( s ) 

 f s, u s , pu' s ds
Ta coù Nun ( t ) = Cy1 ( t ) + Dy 2 ( t ) + ∫  1
( n ( ) n ( ))
0

W (s)

vaø p ( t )( Nun ) ' ( t ) = Cp ( t ) y1' ( t ) + Dp ( t ) y'2 ( t )

 y1 ( s ) p ( t ) y'2 ( t ) − p ( t ) y1' ( t ) y 2 ( s ) 
+∫
f ( s, un ( s ) , pu'n ( s ) ) ds
0
W (s)
t

Theo định lý hội tụ chặn Lebesgue thì Nun → Nu và p ( Nun ) ' → p ( Nu ) ' từng điểm
với mỗi t ∈ [ 0,1] . Do (1.6) và những lý luận trên thì sự hội tụ này là hội tụ đều.
Suy ra Nun → Nu trong K1B , do vậy N liên tục.
Chúng ta sẽ sử dụng định lý Arzela-Ascoli để chứng minh N hoàn toàn liên tục.
• Lấy Ω là một tập bị chặn trong K1B , nghóa là tồn tại hằng số M >0 sao cho
y 1 ≤ M với mỗi y ∈ Ω . Do đó cũng tồn tại các hằng số C* và D* (có thể phụ thuộc

vào M) sao cho C ≤ C* , D ≤ D* , ∀y ∈ Ω . Từ (5) suy ra NΩ bị chặn.
• NΩ liên tục đồng bậc

Với y ∈ Ω và t,z ∈ [ 0,1] thì:


23

Ny ( t ) − Ny ( z ) ≤ C* y1 ( t ) − y1 ( z ) + D* y 2 ( t ) − y 2 ( z )
+ y2 ( t )

∫

z

t

y1 ( s )
f ( s,y ( s ) ,py ' ) ds
W (s)

+ y2 ( t ) − y2 ( z )
+ y1 ( t )

∫

z

t

∫

z

0

y1 ( s )

f ( s,y ( s ) ,py ' ) ds
W (s)

y2 ( s )
f ( s,y ( s ) ,py ' ) ds
W (s)

+ y1 ( t ) − y1 ( z )

∫

z

0

y2 ( s)
f ( s,y ( s ) ,py' ) ds
W (s)

vaø
p ( t )( Ny ) ' ( t ) − p ( z )( Ny ) ' ( z ) ≤ C* p ( t ) y1' ( t ) − p ( z ) y1' ( z )
+ D* p ( t ) y'2 ( t ) − p ( z ) y'2 ( z )
+ p ( t ) y'2 ( t )

∫

z

t

y1 ( s )
f ( s,y ( s ) , py ' ) ds
W (s)

+ p ( t ) y'2 ( t ) − p ( z ) y'2 ( z )
+ p ( t ) y1' ( t )

∫

z

t

∫

z

0

y1 ( s )
f ( s,y ( s ) , py ' ) ds
W (s)

y2 ( s )
f ( s,y ( s ) ,py ' ) ds
W (s)

+ p ( t ) y1' ( t ) − p ( z ) y1' ( z )

∫

z

0

y2 ( s )
f ( s,y ( s ) , py ' ) ds
W (s)

Từ hai bất đẳng thức trên suy ra tính đẳng liên tục của NΩ .
Vậy N : K1B → K1B là hoàn toàn liên tục.
Đặt U = {u ∈ K1B : u 1 < M + 1} ,C = K1B ,E = K1 = {u ∈ C [ 0,1] sao cho pu' ∈ C [ 0,1]} .
Thì theo định lí 1.10 suy ra N có một điểm bất động nghóa là (1.1) có một
nghiệm y ∈ C [ 0,1] sao cho py' ∈ C [ 0,1] . Hơn nữa py' ∈ AC [ 0,1] do (4) với λ = 1 .