Nghiên cứu một đồ án dạy học bài toán dựng hình

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Lê Thị Hạnh Nguyên

NGHIÊN CỨU MỘT ĐỒ ÁN DẠY HỌC
BÀI TỐN DỰNG HÌNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Lê Thị Hạnh Nguyên

NGHIÊN CỨU MỘT ĐỒ ÁN DẠY HỌC
BÀI TỐN DỰNG HÌNH
Chun ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ mơn Tốn
Mã số: 60 14 01 11
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. VŨ NHƯ THƯ HƯƠNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014


MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Trang

LỜI CAM ĐOAN
LỜI CẢM ƠN
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 1
1.

Lý do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát .............................................................. 1

2.

Câu hỏi nghiên cứu: ........................................................................................... 3

3.

Khung lí thuyết tham chiếu và Phương pháp nghiên cứu .................................. 4

4.

Cấu trúc luận văn ............................................................................................... 4

Chương 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỐI TƯỢNG TRI THỨC
BÀI TỐN DỰNG HÌNH. ............................................................................................. 6
1.1 Về khái niệm dựng hình, bài tốn dựng hình ........................................................ 7
1.2 Các tiên đề hình học dựng hình ............................................................................. 8
1.3 Về dụng cụ dựng hình. .......................................................................................... 9
1.4 Về các phép dựng cơ bản và các bài tốn dựng hình đơn giản bằng thước và

compa......................................................................................................................... 11
1.5 Giải Bài tốn dựng hình ...................................................................................... 13
1.6 Các phương pháp giải tốn dựng hình và các bài tốn dựng hình khơng giải
được. .......................................................................................................................... 14
Kết luận chương I ...................................................................................................... 14
Chương 2. BÀI TỐN DỰNG HÌNH TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC TOÁN TRUNG
HỌC CƠ SỞ. ................................................................................................................. 16
2.1 Giai đoạn lớp 6 và lớp 7. ..................................................................................... 16
2.1.1 Dựng đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước............................................... 17
2.1.2 Dựng trung điểm của đoạn thẳng. ................................................................ 19
2.1.3 Dựng tam giác biết độ dài ba cạnh ............................................................... 22
2.1.4 Dựng tia phân giác của một góc ................................................................... 23
2.1.5 Dựng một góc bằng một góc cho trước ........................................................ 25
2.1.6 Dựng đường trung trực của đoạn thẳng. ....................................................... 26
2.1.7 Dựng đường thẳng đi qua một điểm và vng góc với đường thẳng cho
trước. ...................................................................................................................... 27
2.1.8 Dựng đường thẳng đi qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng cho trước
và song song với đường thẳng đó. ......................................................................... 29


2.1.9. Vẽ tam giác biết độ dài hai cạnh và góc xen giữa, một cạnh và hai góc kề.30
2.2 Giai đoạn lớp 8 ................................................................................................... 32
2.2.1 Tình huống đưa vào định nghĩa bài tốn dựng hình ..................................... 32
2.2.2 Các bài tốn dựng hình đã biết ..................................................................... 33
2.2.3 Bài tốn dựng hình thang ............................................................................. 35
2.2.4 Các kiểu nhiệm vụ có liên quan đến “ bài tốn dựng hình” trong chương
trình lớp 8 .............................................................................................................. 38
2.3 Giai đoạn lớp 9 .................................................................................................... 51
2.4 Kết luận chương 2 ............................................................................................... 53
Chương 3. NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM ............................................................... 55

3.1 Mục đích thực nghiệm ......................................................................................... 55
3.2. Đối tượng và hình thức thực nghiệm .................................................................. 55
3.3. Nội dung thực nghiệm ........................................................................................ 55
3.3.1 Giới thiệu tình huống thực nghiệm.............................................................. 55
3.3.2 Dàn dựng kịch bản........................................................................................ 56
3.4 Phân tích tiên nghiệm .......................................................................................... 62
3.4.1 Biến và các giá trị của biến........................................................................... 62
3.4.2 Các chiến lược, cái có thể quan sát được, sự lựa chọn của biến và ảnh hưởng
của biến lên chiến lược. ......................................................................................... 63
3.5 Phân tích hậu nghiệm .......................................................................................... 70
3.5.1 Pha 1. ............................................................................................................ 70
3.5.2

Pha 2b ........................................................................................................ 73

3.5.3

Pha 3 .......................................................................................................... 75

3.5.4

Pha 4 .......................................................................................................... 76

3.5.5

Pha 5 .......................................................................................................... 79

3.6

Kết luận chương 3 ............................................................................................ 80

KẾT LUẬN ................................................................................................................... 82
PHỤ LỤC
BIÊN BẢN THỰC NGHIỆM
TÀI LIỆU THAM KHẢO


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là một cơng trình nghiên cứu độc lập, những trích
dẫn nêu trong luận văn đều chính xác và trung thực.


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, tôi xin chân thành cảm ơn TS. Vũ Như Thư Hương, Người đã tận
tình hướng dẫn và giúp đỡ tơi trong suốt q trình làm luận văn. Cô luôn luôn động
viên, gợi mở cho tôi những hướng đi đúng đắn và bổ ích.
Qua đây, tơi cũng xin cảm ơn các Thầy Cô chuyên ngành Phương pháp Tốn
trường ĐHSP Tp.HCM đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ những tri thức quý báu cho
chúng tôi về didactic Tốn sinh động, cụ thể và đầy ý nghĩa.
Tơi xin chân thành cảm ơn Phịng Sau Đại học, Khoa Tốn – Tin trường Đại
học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo những điều kiện học tập tốt nhất
cho chúng tôi.
Tôi cũng gửi lời cảm ơn đến:
Các bạn và các anh chị cao học khóa 23 chuyên ngành Lý luận và Phương
pháp dạy học Tốn vì những động viên và góp ý chân tình.
Cuối cùng, tơi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình tơi vì những lời động viên, giúp
đỡ và tạo điều kiện cho tơi hồn thành tốt khóa học.


DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

HH

:

Hình học

HS

:

Học sinh

KNV

:

Kiểu nhiệm vụ

Nxb

:

Nhà xuất bản

SGK

:

Sách giáo khoa

SGV

:

Sách giáo viên

SBT

:

Sách bài tập

THCS

:

Trung học cơ sở

THPT

:

Trung học phổ thông

Tr

:

Trang

1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát
Ghi nhận 1:
Xuyên suốt quá trình phát triển của mạch kiến thức thì cấp Trung học cơ sở là cấp mà
tư duy hình học của học sinh được chuyển từ hình học ghi nhận sang hình học suy
diễn. Việc chuyển biến như thế đã góp phần giúp học sinh phát triển và rèn luyện khả
năng tư duy logic. Bài tốn dựng hình là một trong những kiến thức quan trọng thúc
đẩy quá trình phát triển và rèn luyện này.
Một bài tốn dựng hình thơng thường được trình bày với 4 bước:
Phân tích- dựng hình- chứng minh- biện luận.
Việc thực hiện đầy đủ các phần của bài tốn dựng hình sẽ giúp học sinh có thói quen
tư duy có hệ thống và nhìn nhận vấn đề một cách thấu đáo, tuy nhiên trong chương
trình Tốn ở nước ta hiện nay bài tốn dựng hình được đưa vào sách giáo khoa Tốn
lớp 8 với u cầu :
Khi trình bày “bài tốn dựng hình” cần nêu đủ 4 bước : “Phân tích, cách dựng, chứng
minh, biện luận”, điều này có tác dụng giáo dục cho học sinh một qui trình làm việc
cần thiết cho cuộc sống. Tuy nhiên, để phù hợp với khả năng học tập của đa số HS, chỉ
yêu cầu HS giải các bài tốn dựng hình với các yếu tố bằng số cho trước và trình bày
lời giải theo hai bước: cách dựng và chứng minh.

[Sgv 8, T1, Tr.6]
Hay trong phần Gợi ý dạy học của sách Giáo viên:
Chú ý: Trên bảng, GV chỉ ghi phần Cách dựng và Chứng minh. Lưu ý: Trong bài làm,
HS chỉ cần trình bày hai phần Cách dựng và Chứng minh.

[Sgv 8, T1, Tr.115]

2
Với các yêu cầu trên, rõ ràng là các tác giả muốn chú trọng vào hai bước cách dựng và
chứng minh, điều này khiến chúng tơi có một nghi vấn rằng: trong q trình dạy học
bài tốn dựng hình, hai bước phân tích và biện luận có được thực hiện hay khơng?
Ghi nhận 2:
Trong q trình nghiên cứu đề tài, chúng tơi tìm thấy hai luận văn nghiên cứu về đối
tượng tri thức bài tốn dựng hình:
-

Hồ Lộc Thuận (2006) Bài tốn dựng hình và thuật tốn ở trường THCS.

Trường hợp dựng tiếp tuyến với đường tròn. Luận văn thạc sĩ trường Đại học sư phạm
Tp. Hồ Chí Minh.
Trong luận văn này, tác giả đã nghiên cứu thể chế về đối tượng bài tốn dựng hình, cụ
thể ở trường hợp bài tốn dựng tiếp tuyến với đường trịn, tác giả đã đưa ra giả thuyết
nghiên cứu: “ Đối với học sinh THCS việc giải bài tốn dựng hình thực chất là
phải tạo được một hình “phù hợp” với yêu cầu của bài tốn”.
Sau đó, một thực nghiệm được tác giả xây dựng đã đi chứng minh giả thuyết
trên bởi hai quy tắc hành động của học sinh:
A1: Dựng tiếp tuyến của đường tròn qua một điểm là kẻ một đường thẳng đi qua
điểm đó, “chạm” đường trịn và vng góc với bán kính tại điểm “chạm”.
A2: Học sinh chỉ tạo đúng kích thước của đề bài khi các số đo có giá trị vừa phải
(<10) cịn đối với các số đo có giá trị lớn (>10) thì học sinh sẽ tạo hình minh họa mơ
tả “chính xác” các tính chất hình học của hình được cho.

-

Huỳnh Quốc Hào (2006), Bài tốn dựng hình trong chương trình hình học ở

trường THCS.Trường hợp Bài tốn dựng tam giác và hình thang, Luận văn thạc sĩ
trường Đại học sư phạm Tp. Hồ Chí Minh.
Bên cạnh nghiên cứu về đối tượng bài toán dựng hình trong thể chế dạy học tốn
THCS tương tự như luận văn của tác giả Hồ Lộc Thuận thì luận văn này cịn có thêm
phần nghiên cứu khoa học luận giới thiệu về nguồn gốc của khái niệm bài toán dựng
hình và các chiến lược dựng hình gắn với bộ cơng cụ Euclide.
Dựa vào các kết quả phân tích thể chế kết hợp thực nghiệm kiểm chứng, tác giả đã đưa
ra các qui tắc hợp đồng sau:


3
R1: Khi gặp kiểu nhiệm vụ dựng góc có số đo đặc biệt thì sử dụng bộ cơng cụ thước
thẳng và compa. Và khi kiểu nhiệm vụ này là một phần kỹ thuật của kiểu nhiệm vụ
khác thì có thể sử dụng thước đo độ.
R2: Học sinh không nhận biết được trách nhiệm phải tạo ra một hình hình học.
R3: Học sinh khơng có thói quen kiểm tra sự tồn tại nghiệm của bài tốn dựng
hình.

Từ các kết quả trên, chúng tơi cho rằng trong q trình dạy học, học sinh chỉ chú trọng
đến việc tạo ra hình “phù hợp” với đề bài, các bước phân tích và biện luận đã khơng
được chú trọng trong q trình giải.
Ghi nhận 3:
Như chúng ta đã biết, từ xa xưa, bài toán dựng hình đã tỏ ra khá hữu dụng trong việc
giải quyết các bài toán liên quan đến thực tế, và cho đến nay bài tốn dựng hình vẫn
khơng ngừng phát huy vai trị của nó trong cuộc sống. Ở đâu đó trong cuộc sống,
chúng ta vẫn gặp những vấn đề mà khi mơ hình hóa bằng bài tốn dựng hình thì việc
giải quyết khơng cịn khó khăn gì.
Bài tốn dựng hình được đưa vào chương trình Tốn ở Việt Nam từ lớp 8, nhưng việc
sử dụng bài tốn dựng hình như một cơng cụ trong giải quyết các bài tốn thực tế có

được chương trình đề cập đến chưa? Và học sinh đã vận dụng bài tốn dựng hình
trong việc giải những bài tốn có liên quan đến thực tế như thế nào?
2. Câu hỏi nghiên cứu:
Dựa vào những ghi nhận ban đầu, chúng tôi đặt ra câu hỏi nghiên cứu như sau:
Q1: Ở cấp độ tri thức bác học, đối tượng tri thức bài tốn dựng hình được đề cập như
thế nào? Các khái niệm cơ bản đã được trình bày như thế nào?
Q2: Mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức bài tốn dựng hình được xây dựng và
tiến triển ra sao ở cấp Trung học cơ sở ? Việc sử dụng bài tốn dựng hình như một
cơng cụ để giải quyết các bài tốn thực tế có được chương trình đề cập đến chưa?
Q3: Cần xây dựng một đồ án didactic như thế nào để học sinh có thể nhận thức được
tầm quan trọng của các bước phân tích và biện luận trong việc giải bài tốn dựng hình?


4
3. Khung lí thuyết tham chiếu và Phương pháp nghiên cứu
Nhằm có sự giải thích hợp lý cho những vấn đề được nêu ra ở trên, trước hết chúng tôi
cần tìm kiếm một cơng cụ lý thuyết để làm cơ sở cho việc đưa ra các câu trả lời của
những câu hỏi đó. Cụ thể chúng tơi chọn lý thuyết nhân chủng học để làm rõ mối quan
hệ thể chế đối với đối tượng tri thức bài tốn dựng hình; Và đồ án didactic để xây
dựng thực nghiệm liên quan đến đối tượng này.
Để nghiên cứu thể chế chúng tôi dựa vào thuyết nhân học.Với lý thuyết này, chúng tôi
sẽ tìm hiểu sự xuất hiện và phát triển đối tượng tri thức Bài tốn dựng hình trong thể
chế dạy học tốn Trung học cơ sở. Đồng thời, việc phân tích các tổ chức tốn học có
liên quan, chúng tơi muốn làm rõ mối quan hệ thể chế đối với đối tượng tri thức này…
Vấn đề mà chúng tôi quan tâm đến trong luận văn này là bài tốn dựng hình ở cấp
Trung học cơ sở nên chúng tôi sẽ tập trung nghiên cứu chương trình và sách giáo khoa
Tốn Trung học cơ sở hiện hành (từ lớp 6 đến lớp 9). Cụ thể, nghiên cứu này sẽ tìm
hiểu quá trình đưa bài tốn dựng hình vào chương trình Tốn THCS xảy ra như thế
nào? Bài tốn dựng hình chính thức xuất hiện khi nào và được trình bày ra sao? Có các
kiểu nhiệm vụ nào liên quan đến đối tượng bài tốn dựng hình? Sau đó tổng hợp kết

quả để thiết kế một đồ án dạy học bài toán dựng hình.
Tuy nhiên, để có một cái nhìn bao qt về đối tượng bài tốn dựng hình, chúng
tơi cũng sẽ thực hiện một tìm hiểu sơ lược về khoa học luận của khái niệm Bài tốn
dựng hình. Tìm hiểu này sẽ được trình bày trong chương 1, như là một cơ sở lý thuyết
cho các phần sau.
4. Cấu trúc luận văn
Luận văn có phần mở đầu, phần kết luận và 2 chương.
Phần mở đầu gồm: Lý do chọn đề tài; Câu hỏi nghiên cứu; Khung lý thuyết
tham chiếu và phương pháp nghiên cứu; Cấu trúc của luận văn.
Chương 1: Các khái niệm cơ bản liên quan đến đối tượng tri thức bài tốn
dựng hình.
Chương 2: Bài tốn dựng hình trong thể chế dạy học toán trung học cơ sở.
Chương 3: Thực ngiệm.


5
Kết luận: Tóm tắt các kết quả đạt được trong ba chương và đề cập hướng
nghiên cứu mới mở ra từ luận văn này.


6

Chương 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỐI
TƯỢNG TRI THỨC BÀI TỐN DỰNG HÌNH.
Mục tiêu của chương này là nhằm làm rõ các đặc trưng của đối tượng tri thức bài
tốn dựng hình. Cụ thể hơn qua việc phân tích giáo trình Hình học sơ cấp (HHSC) tập
2 (1977) -do B.I Acgunop, M.B. Ban soạn thảo, được dịch bởi hai tác giả Nguyễn Văn
Bằng và Lê Đình Phi, xuất bản tại Nxb Giáo dục - chúng tôi cố gắng làm rõ các khái
nệm có liên quan đến đối tượng tri thức bài tốn dựng hình để có một cơ sở lí thuyết
cho phần nghiên cứu trong chương 2. Từ đó chúng tơi có thể trả lời cho câu hỏi Q1: Ở

cấp độ tri thức bác học, đối tượng tri thức bài tốn dựng hình được đề cập như thế
nào? Các khái niệm cơ bản đã được trình bày như thế nào?
Chúng tôi chọn tài liệu HHSC để phân tích vì tài liệu này trình bày khá là chi tiết
và cụ thể về đối tượng tri thức bài tốn dựng hình.
Trong tài liệu HHSC có 5 chương:
Chương I: Các hình hình học.
Chương II: Đa giác, góc đa diện, hình đa diện.
Chương III: Các đại lượng hình học.
Chương IV: Các phép biến hình.
Chương V: Dựng hình.
Việc tác giả dành hẳn một chương để nói về đối tượng tri thức dựng hình,( một số giáo
trình Hình học sơ cấp cũng trình bày như vậy) đủ để chúng tơi hiểu rằng: dựng hình là
một đối tượng nghiên cứu có vai trị quan trọng trong hình học.
Chúng tơi quan tâm đến chương V vì đối tượng tri thức bài tốn dựng hình được trình
bày ở chương này.
Trong chương này, gồm các bài sau:
§54. Các tiên đề chung của hình học dựng hình. Các dụng cụ dựng hình.
§55. Tốn dựng hình.
§56. Phương pháp giải bài tốn dựng hình.
§57. Giải tốn dựng hình dùng phương pháp tương giao các hình.


7
§58. Phương pháp biến hình.
§59. Về phép dựng đoạn thẳng cho bởi các cơng thức.
§60. Giải tốn dựng hình bằng phương pháp đại số.
§61. Dấu hiệu về khả năng dựng đoạn thẳng xác định bởi một hàm cho biết đối với các
đoạn thẳng đã cho bằng thước và compa.
§62. Về các bài tốn khơng giải được bằng thước và compa.
§63. Dựng các hình đa giác đều.

§64. Dựng chỉ bằng compa.
§65. Dựng chỉ bằng thước.
§66. Về các phép dựng hình bằng những dụng cụ khác.
§67. Dựng với các điểm khơng tới được.
§68. Dựng hình trong khơng gian
§69. Về các phép dựng hình trên các mặt.

Chúng tơi sẽ khơng đi phân tích lần lượt từng nội dung theo thứ tự trên, mà chúng tơi
sẽ tìm hiểu các khái niệm chúng tơi quan tâm đã được trình bày như thế nào trong giáo
trình, đó là:
- Thế nào là dựng hình, khái niệm về bài tốn dựng hình?
- Có những qui định nào về dụng cụ dựng hình?
- Có những tiên đề nào, phép dựng cơ bản nào, bài tốn dựng hình đơn giản nào?
- Sơ đồ của một bài tốn dựng hình cần có những gì?
1.1 Về khái niệm dựng hình, bài tốn dựng hình
Muốn hiểu rõ về bài tốn dựng hình thì đầu tiên phải tìm hiểu về khái niệm dựng hình.
Trong phần đầu chương, các tác giả có viết:
Phần hình học trong đó nghiên cứu các phép dựng hình được gọi là hình học
dựng hình.
…
Khái niệm dựng hình hình học là khái niệm cơ sở của hình học dựng hình. Ta
thừa nhận khái niệm đó mà khơng định nghĩa.


8
Ta đã biết rõ ý nghĩa cụ thể của nó trong thực tiến, ở đây dựng có nghĩa như là
“vẽ”, “vạch” (đường), “định” (điểm), v.v…
[HHSC, Tr.55]
Như vậy, khái niệm dựng hình là một khái niệm cơ sở, khơng được định nghĩa, ta chỉ
có thể hiểu nơm na: dựng tức là vẽ ra, vạch ra hoặc xác định một đối tượng hình hình

học; Các tác giả có nhắc đến thuật ngữ:“phép dựng hình” tức là tạo ra hình vẽ tuân
theo một số qui tắc nào đó.
Về khái niệm bài tốn dựng hình.
Vấn đề đặt ra đối với bài tốn dựng hình là hãy dựng một hình nào đó với
những dụng cụ đã được qui định trước, khi đã cho một hình khác nào đó và đã
định rõ một số hệ thức giữa các phần tử của hình muốn dựng với các phần tử
của hình đã cho.
[HHSC, Tr.60]

Như vậy, theo giáo trình HHSC thì u cầu cơ bản của bài tốn dựng hình là xác định
cách tạo ra hình vẽ nhưng phải tuân theo qui định về dụng cụ tạo hình (chứ không phải
muốn sử dụng dụng cụ nào cũng được) và thỏa mãn một số hệ thức liên hệ giữa các
đối tượng đã cho và đối tượng cần dựng, bên cạnh bài tốn dựng hình bằng thước và
compa, ta cịn có những bài tốn dựng hình với những dụng cụ khác (dụng cụ nào thì
chúng tơi sẽ nói rõ hơn trong phần nghiên cứu về dụng cụ dựng hình).
1.2 Các tiên đề hình học dựng hình
Trong tài liệu này, dựng hình được trình bày theo phương pháp tiên đề, nghĩa là các
phép dựng của một bài tốn dựng hình đều được dựa trên hệ tiên đề này, các tiên đề sẽ
là cơ sở logic của hình học dựng hình. Hệ tiên đề được chia làm hai phần, phần thứ
nhất bao gồm các tiên đề chung, phần thứ hai là các tiên đề về dụng cụ dựng hình, ở
đây chúng tơi sẽ xét đến các tiên đề chung trước:
A)Các tiên đề chung
I. Mọi hình đã cho là hình đã dựng được.
II. Nếu đã cho hai hay nhiều hình thì hợp của các hình đó là đã dựng.
III. Nếu hai hình đã dựng thì ta có thể xác lập rằng hiệu của chúng có là tập hợp rỗng
hay khơng.
IV. Nếu hiệu của hai hình đã dựng là tập hợp khơng rỗng thì hiệu đó là đã dựng.


9

V. Nếu hai hình đã dựng thì có thể xác lập rằng giao của chúng có là tập hợp rỗng
hay khơng.
VI. Nếu giao của hai hình đã dựng là khơng rỗng thì giao đó là đã dựng.
VII. Có thể dựng được điểm, cho biết là thuộc một hình đã dựng.
VIII. Có thể dựng được điểm, cho biết là khơng thuộc một hình đã dựng (Nếu hình đã
dựng khơng phải là toàn bộ mặt phẳng.

[HHSC, Tr. 55]
Các tác giả đã xây dựng nên hệ tiên đề dựng hình với 8 tiên đề.
Nhờ các tiên đề này, ta có thể biết đối tượng nào dựng được, đối tượng nào chưa dựng
được. Các tiên đề chính là yếu tố lý thuyết để giải thích vì sao có thể đưa ra được các
phép dựng.
1.3 Về dụng cụ dựng hình.
Như đã nói ở phần khái niệm bài tốn dựng hình, vấn đề của bài tốn dựng hình là xác
định cách tạo ra hình vẽ nhưng phải tuân theo qui định về dụng cụ, mỗi bài tốn dựng
hình có một u cầu khác nhau về dụng cụ vì vậy cần phải có thêm hệ tiên đề về dụng
cụ dựng hình để làm cơ sở lí thuyết cho các phép dựng. Các tiên đề về dụng cụ dựng
hình được trình bày như sau:
B) Các tiên đề về dụng cụ dựng hình
A-Tiên đề của thước: Thước cho phép ta thực hiện các phép dựng hình sau đây:

a) dựng đoạn thẳng nối liền hai điểm đã dựng;
b)dựng đường thẳng đi qua hai điểm đã dựng;
c)dựng tia xuất phát từ một điểm đã dựng và đi qua một điểm khác đã dựng.
B-Tiên đề của compa: Compa cho phép ta thực hiện các phép dựng hình sau
đây:
a)dựng đường trịn nếu tâm đường trịn và đoạn thẳng bằng bán kính đường
(hay các điểm mút của đoạn thẳng đó) đã dựng;
b)dựng được bất kì cung nào trong hai cung bù nhau của một đường tròn khi
tâm đường tròn và các điểm mút của các cung đó đã dựng.

C-Tiên đề của thước hai biên. Thước hai biên cho phép:
a) Thực hiện bất kì phép dựng nào đã được kể ra trong tiên đề A;
b) Trong mỗi nửa mặt phẳng xác định bởi một đường thẳng đã dựng, thực hiện


10
phép dựng một đường thẳng song song với đường thẳng đóvà cách nó một
khoảng h, với h là một đoạn thẳng cố định đối với thước hai biên đã cho (chiều
rộng của thước)
c)nếu hai điểm A và B đã dựng thì xác
lập được AB có lớn hơn một đoạn
thẳng h xác định nào đó khơng (chiều
rộng của thước)và nếu AB>h thì dựng
được hai cặp đường thẳng song song
lần lượt đi qua các điểm A và B,
đường này cách đường kia một khoảng
h.
D-Tiên đề của góc vng. Góc vng cho phép ta:
a)thực hiện các phép dựng đã được nêu lên trong tiên đề của thước;
b)qua một điểm đã cho của mặt phẳng, dựng được đường thẳng vng góc với
một đường thẳng đã dựng nào đó;
c)nếu đoạn thẳng AB và một hình Ф nào đó đã dựng thì xác lập được rằng hình
có chứa hay khơng chưa điểm mà từ đó ta nhìn đoạn thẳng này csi một góc
vng và nếu tồn tại một điểm như thế thì dựng được điểm đó.
[HHSC,TR.58]

Chúng ta thấy tác giả đưa ra hệ tiên đề ứng với 4 dụng cụ khác nhau: Thước, compa,
thước hai lề và góc vng. Các tác giả cịn nói thêm:
Để thực hiện các phép dựng hình thì ngồi các dụng cụ nói trên, ta cịn có thể sử dụng
các dụng cụ khác: góc tùy ý, ê ke, thước có mốc, hai góc vng, những dụng cụ để vẽ

các đường cong đặc biệt và các dụng cụ khác... Ở đây nên lưu ý rằng mỗi lần thực
hiện các phép dựng hình cần nêu trước các dụng cụ xác định được sử dụng, trong đó
mỗi bộ dụng cụ được đặc trưng bởi một hệ tiên đề.

[HHSC,Tr. 59]
Như vậy, phổ biến nhất là bài tốn dựng hình bằng thước và compa, bên cạnh đó cũng
có những bài tốn dựng hình với những dụng cụ khác và muốn giải những bài tốn đó
thì đều cần phải được xây dựng dựa trên hệ tiên đề đặc trưng cho dụng cụ tương ứng
cho mỗi bài.


11
Phần sau, các tác giả có trình bày thêm về dựng hình chỉ bằng thước, chỉ bằng compa
hay chỉ bằng những dụng cụ khác. Tuy nhiên, để giải các bài tốn đó thì cần phải kết
hợp giả thiết của bài toán và tiên đề cần thiết về dụng cụ cũng như các tiên đề chung
một cách hợp lí thì mới có thể có kết quả cho bài tốn (ở đây, chúng tơi khơng nói là
có nghiệm hình, vì cũng có thể có những dụng cụ khơng đủ đáp ứng điều kiện của bài
toán).
1.4 Về các phép dựng cơ bản và các bài tốn dựng hình đơn giản bằng thước và
compa
Từ hệ tiên đề chung và hệ tiên đề về dụng cụ, các tác giả đã đưa ra các phép dựng cơ
bản đối với bộ dụng cụ thước và compa
Đặc biệt compa và thước cho phép ta thực hiện các phép dựng cơ bản sau đây:
1)Dựng đoạn thẳng nối liền hai điểm đã dựng (tiên đề A,a).
2)Dựng đường thẳng đi qua hai điểm đã dựng (tiên đề A, a).
3)Dựng tia xuất phát từ một điểm đã dựng và đi qua một điểm khác đã dựng (tiên đề
A,c)
4)Dựng đường tròn nếu tâm đường trịn và đoạn thẳng bằng bán kính đường trịn (hay
các điểm mút của đoạn thẳng đó) đã dựng (tiên đề B,a).
5)Dựng bất kỳ cung nào trong hai cung bù nhau của một đường tròn nếu tâm đường

tròn và các điểm mút của cung đó đã dựng (tiên đề B,b)
6)Dựng bất kỳ một số hữu hạn điểm chung của hai hình đã dựng nếu các điểm đó tồn
tại (tiên đề VI- VII).
7)Dựng điểm thuộc một hình đã dựng nào đó (tiên đề VII).
8)Dựng điểm, cho biết là không thuộc một hình đã dựng (tiên đề VIII)

[HHSC, Tr.59]
Bằng việc kết hợp giữa hệ tiên đề chung và tiên đề về mỗi dụng cụ thì chúng ta cũng
sẽ có những phép dựng cơ bản tương ứng với dụng cụ đó. Việc thừa nhận bảng kê các
phép dựng cơ bản này sẽ làm cho q trình giải một bài tốn dựng hình trở nên thuận
lợi hơn.
Bên cạnh các phép dựng cơ bản, các tác giả cũng đưa ra bảng kê các bài toán dựng
hình đơn giản thường gặp để giúp cấu thành lời giải cho các bài tốn dựng hình phức
tạp hơn.


12
1) Chia đôi một đoạn thẳng đã cho.
2) Chia đôi một góc đã cho.
3) Dựng trên một đường thẳng đã cho một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng khác đã
cho.
4) Dựng góc bằng một góc đã cho.
5) Dựng đường thẳng đi qua một điểm đã cho và song song với đường thẳng đã cho.
6) Dựng đường thẳng đi qua một điểm đã cho và vng góc với đường thẳng đã cho.
7) Chia đoạn thẳng theo một tỉ số đã cho.
8) Dựng tam giác cho biết ba cạnh của nó.
9) Dựng tam giác cho biết một cạnh và hai góc kề cạnh đó.
10) Dựng tam giác cho biết hai cạnh và góc xen giữa chúng.
11) Dựng tam giác vng góc cho biết cạnh huyền và một cạnh góc vng.
[HHSC, Tr.66]

Rõ ràng các bài tốn dựng hình đơn giản này được xây dựng dựa trên các phép dựng
cơ bản, điều đó được thể hiện trong bài toán dựng trung điểm của đoạn thẳng AB, biết
hai đầu mút A và B của chúng. (Bài tốn này chính là bài tốn chia đơi một đoạn thẳng
ở trên).
1_ Với thước và compa
Ta lần lượt dựng:
1) Đường thẳng AB (phép dựng cơ bản 2);
2) Đường tròn ω1(A, AB) (phép dựng cơ bản 4);
3) Đường tròn ω2(B,BA);
4) Các điểm chung M và N của các đường tròn ω1 và
ω2 (phép dựng cơ bản 6);
5) Đường thẳng MN (phép dựng cơ bản 2);
6) Điểm chung O của các đường thẳng AB và MN (phép dựng cơ bản 6).
Dễ dàng chứng minh được rằng AO=BO, nghĩa là O là điểm muốn dựng
[HHSC, Tr. 61]

Với cách trình bày như trên, chúng ta dễ dàng hiểu rằng từ các tiên đề, chúng ta sẽ xây
dựng nên các phép dựng cơ bản rồi dẫn dắt đến các bài tốn dựng hình đơn giản để cấu
thành các bước dựng cho một bài toán dựng hình phức tạp hơn.


13
1.5 Giải Bài tốn dựng hình
Ta hiểu nơm na rằng giải bài tốn dựng hình là tìm hình thỏa mãn điều kiện của bài
tốn. Mỗi hình thỏa mãn các điều kiện của bài toán gọi là một nghiệm của bài tốn đó.
Để tìm nghiệm của một bài tốn dựng hình ta cần qui nó về số hữu hạn các phép dựng
cơ bản, tức là chỉ ra một dãy hữu hạn các phép dựng cơ bản sao cho sau khi thực hiện
các phép dựng đó thì hình phải dựng xem là đã dựng được, căn cứ vào các tiên đề đã
được thừa nhận của hình học dựng hình.

Xét về mặt tốn học, để giải một bài tốn dựng hình, ta cần:
1) Xác lập một số hữu hạn trường hợp bao hàm tất cả những khả năng có thể xảy ra đối
với việc lựa chọn những dữ kiện.
2) Đối với mỗi trường hợp, trả lời câu hỏi: bài tốn có nghiệm hay khơng và nếu có thì
bao nhiêu nghiệm;
3) Đối với mỗi trường hợp mà bài tốn có nghiệm, nêu ra phương pháp dựng từng
nghiệm có thể có được (bằng những dụng cụ đã cho) hay xác lập rằng bài tốn khơng
thể dựng được với những dụng cụ đó.

Nhưng các tác giả lại cũng trình bày phương pháp giải bài tốn dựng hình theo sơ đồ 4
bước: Phân tích, dựng hình, chứng minh, biện luận; vì tính quen thuộc và đã được ứng
dụng rộng rãi trong nhà trường của sơ đồ, khi giải một bài toán sẽ dễ dàng hơn nếu
theo một dàn ý lập luận xác định.
Các tác giả đã giải thích rất rõ ràng về ý nghĩa của từng bước, hướng dẫn cách làm cho
mỗi bước và có cả ví dụ kèm theo để minh họa:
Bước phân tích: là sự tìm kiếm phương pháp giải tốn dựng hình.
Dựng hình: chỉ ra một dãy các phép dựng cơ bản (hay các bài toán đã giải trước đây)
đủ để sau khi thực hiện, hình muốn tìm đã được dựng.
Chứng minh: phần này nhằm mục đích xác lập rằng hình đã dựng thực sự thỏa mãn tất
cả các giả thiết đã nêu trong bài tốn.
Biện luận: có mục đích xác lập điều kiện giải được của bài toán và xác định số nghiệm
của nó.


14
Đặc biệt, chúng tơi nhận thấy trong phần trình bày nội dung chi tiết của các bước thì
bước phân tích và biện luận được chú ý hơn cả, ngoài việc cắt nghĩa cho ý nghĩa của
mỗi bước, tác giả còn chú ý việc vạch ra chiến lược cho bước phân tích và bước biện
luận để người học có thể áp dụng vào giải bài tốn dựng hình một cách dễ dàng hơn.
1.6 Các phương pháp giải tốn dựng hình và các bài tốn dựng hình khơng giải

được.
Một số bài tốn dựng hình khơng thể giải được:
Bài tốn cầu phương hình trịn: Dựng bằng thước và compa một hình vng có diện
tích bằng diện tích của một hình trịn đã cho.
Bài tốn gấp đơi hình lập phương: Dựng một hình lập phương có thể tích gấp đơi một
hình lập phương đã cho.
Bài tốn chia ba một góc: Dựng một góc bằng một phần ba góc ban đầu.
Ba bài tốn trên đã được chứng minh rằng hình thỏa mãn tất cả các giả thiết là tồn tại
nhưng lại không thể dựng được với các dụng cụ được lựa chọn.
Kết luận chương I
Với các nội dung mà chúng tơi đã phân tích ở trên, chúng tơi có một vài nhận xét sau:
Có thể phân biệt vẽ hình và dựng hình: đó là cùng tạo nên hình vẽ, tuy nhiên dựng
hình thì cần phải tuân thủ quy tắc về bộ dụng cụ dựng hình và thực hiện theo trình tự,
cịn vẽ hình thì có thể sử dụng bất kì dụng cụ nào miễn có thể tạo ra hình vẽ.
Bài tốn dựng hình có thể thực hiện với nhiều bộ dụng cụ khác nhau, không nhất thiết
là chỉ dựng với compa và thước mà có thể thực hiện với các bộ dụng cụ khác (như êke,
thước hai lề, góc vng…) nhưng đều phải được xây dựng với những tiên đề riêng
phù hợp với bộ dụng cụ và từ đó cũng có những phép dựng cơ bản tương ứng.
Việc giải bài tốn dựng hình ln bao gồm bốn bước, và vai trò của các bước là như
nhau, có thể những bài đơn giản thì việc phân tích khơng q phức tạp nhưng cũng
khơng thể bỏ qua, còn bước biện luận cũng cần được chú trọng để đánh giá nghiệm
của bài toán.


15
Giáo trình HHSC trình bày dựng hình theo phương pháp tiên đề, nghĩa là trước khi đi
vào nội dung giải bài tốn dựng hình, các tác giả đã đưa vào đầy đủ từ hệ tiên đề
chung, tiên đề dụng cụ, phép dựng cơ bản, các bài tốn dựng hình cơ bản, cách giải
các phần của một bài tốn dựng hình…

16

Chương 2. BÀI TỐN DỰNG HÌNH TRONG THỂ CHẾ DẠY
HỌC TOÁN TRUNG HỌC CƠ SỞ.
Mục tiêu của chương này là tìm câu trả lời cho câu hỏi Q1: Mối quan hệ thể chế với
đối tượng tri thức bài toán dựng hình được xây dựng và tiến triển ra sao ở cấp Trung
học cơ sở ? Vai trò của các bước phân tích và biện luận có được thực hiện trong q
trình dạy học? Việc sử dụng bài tốn dựng hình như một cơng cụ để giải quyết các bài
tốn thực tế có được chương trình đề cập đến chưa?
Và vì bài tốn dựng hình bằng thước và compa chính thức được đưa vào giảng dạy
trong chương trình Tốn ở lớp 8 trong bài Dựng hình bằng thước và compa- Dựng
hình thang [Toán 8, T1, Tr.81], đồng thời phần đầu của bài này các tác giả đã viết :
“Ở hình học lớp 6 và hình học lớp 7, với thước và compa, ta đã biết cách giải các bài tốn
dựng hình sau:
a, Dựng một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước
b, Dựng một góc bằng một góc cho trước
c, Dựng đường trung trực của một đoạn thẳng cho trước, dựng trung điểm của một
đoạn thẳng cho trước.
d, Dựng tia phân giác của một góc cho trước.
e, Qua một điểm cho trước, dựng đường thẳng vng góc với một đường thẳng cho
trước.
g, Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng cho trước, dựng đường thẳng song song
với một đường thẳng cho trước.
h, Dựng tam giác biết ba cạnh, hoặc biết hai cạnh và góc xen giữa, hoặc biết một
cạnh và hai góc kề (dựa vào các bài toán a, và b,).

Nên để đạt được mục tiêu ở trên, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích sách giáo khoa, sách
giáo viên và sách bài tập hiện hành ở các lớp 6,7,8,9.
2.1 Giai đoạn lớp 6 và lớp 7.

Giai đoạn lớp 6


17
2.1.1 Dựng đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước.
Đầu tiên, chúng tơi xem xét hai ví dụ có liên quan đến bài toán Dựng đoạn
thẳng bằng đoạn thẳng cho trước, hai ví dụ này được trình bày ở sách Tốn 6, tập 1
trong bài “Vẽ đoạn thẳng cho biết độ dài”, cụ thể như sau:
1. Vẽ đoạn thẳng trên tia
Ví dụ 1: Trên tia Ox, hãy vẽ đoạn thẳng OM có độ dài bằng 2cm.
Cách vẽ: Mút O đã biết. Ta vẽ mút M như sau:
-

Đặt cạnh của thước nằm trên tia Ox sao cho vạch số 0 của thước trùng với gốc O của
tia (h.54)

-

Vạch số 2(cm) của thước sẽ cho ta điểm M. Đoạn thẳng OM là đoạn thẳng phải vẽ.
Nhận xét: Trên tia Ox bao giờ cũng vẽ được một và chỉ một điểm M sao cho OM=a
(đơn vị dài).
Ví dụ 2: Cho đoạn thẳng AB. Hãy vẽ đoạn thẳng CD sao cho CD= AB.
Cách vẽ: Vẽ một tia Cy bất kì ( h.56). Khi đó, ta đã biết mút C của đoạn thẳng CD.
Ta vẽ mút D như sau:
- Đặt compa sao cho một mũi nhọn trùng với mút A, mũi kia trùng với mút B của đoạn

thẳng AB cho trước (h.57)
- Giữ độ mở của compa không đổi, đặt compa sao cho một mũi nhọn trùng với gốc C
của tia Cy, mũi kia nằm trên tia sẽ cho ta mút D (h.58) và CD là đoạn thẳng phải vẽ.

[Toán 6, T1,Tr.122]


18
Ở trên, các tác giả đã đưa ra hai ví dụ để chỉ ra cách vẽ một đoạn thẳng trên tia,
trong đó: Ví dụ 1 là cách vẽ đoạn thẳng có độ dài bằng 2cm với cơng cụ là thước khắc
vạch, ví dụ 2 là cách vẽ một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước mà không biết độ
dài và dụng cụ là compa. Trong cả hai ví dụ trên, cách vẽ được trình bày rất rõ ràng,
học sinh chỉ cần đọc và làm theo đúng trình tự mơ tả là được, chúng tơi cho rằng các
mơ tả này chính là sự nối kết với cấp tiểu học, khi mà hình học vẫn cịn ở mức độ ghi
nhận chứ chưa phải là hình học suy diễn.
Cũng vì mang nặng tính mơ tả, thiên về thực hành nên có thể thấy rằng bất kì ai
khi đọc ví dụ 2 và làm theo thì đều có thể làm được mà khơng cần hiểu bản chất vì sao
có thể làm như vậy. Việc mô tả:
-

Đặt compa sao cho một mũi nhọn trùng với mút A, mũi kia trùng với mút B của

đoạn thẳng AB cho trước (h.57)
-

Giữ độ mở của compa không đổi, đặt compa sao cho một mũi nhọn trùng với

gốc C của tia Cy, mũi kia nằm trên tia sẽ cho ta mút D (h.58) và CD là đoạn thẳng phải
vẽ.

hoàn tồn có thể thay thế bằng : Dựng cung trịn tâm C bán kính là AB, tuy nhiên các
tác giả lại không làm như vậy, bởi cho đến lúc này học sinh vẫn chưa được học về
đường tròn và các tính chất của đường trịn mà phải đợi sang học kì sau mới xuất hiện
các kiến thức lí giải cho kĩ thuật này.

Chúng tơi khá chú ý đến ví dụ 2: ví dụ này được đưa ra nhằm giới thiệu cho học
sinh biết thêm cách khác để vẽ một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước mà khơng
có số đo đi kèm hoặc số đo có đơn vị và dụng cụ chỉ là thước thẳng khơng vạch và
compa.Từ ví dụ này, học sinh biết được cách sử dụng compa để vẽ một đoạn thẳng có
độ dài bằng đoạn thẳng cho trước bên cạnh việc dùng thước kẻ vạch để vẽ đoạn thẳng
có độ dài cho trước. Dù trong ví dụ này không hề xuất hiện thuật ngữ “ dựng” nhưng
ta có thể khẳng định ngay rằng các thao tác được mô tả rõ ràng là các thao tác của
bước Cách dựng trong bài tốn dựng hình: dựng đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho
trước.
Trong một bài tập, chúng tôi thấy các thao tác với compa trong ví dụ 2 được các
tác giả nói gọn lại bằng thuật ngữ “chuyển độ dài”: