Nghiên cứu didactique về dạy học căn bậc hai ở lớp 9

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
----  ----

NGHIÊN CỨU DIDACTIQUE VỀ DẠY HỌC
CĂN BẬC HAI Ở LỚP 9

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Chuyên ngành : DIDACTIQUE TOÁN
Người hướng dẫn : TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU

TP. Hồ Chí Minh 2004


LỜI CẢM ƠN

Trước hết cho tôi bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Cô Lê Thị Hoài Châu, người đã tận tâm
hướng dẫn và giúp đỡ tôi rất nhiều trong suốt quá trình thực hiện luận văn.
Tôi xin chân thành cám ơn Bà Claude Comiti, Bà Annie Bessot, Ông Alain Birebent, Thầy Lê
Văn Tiến, Thầy Đoàn Hữu Hải đã hết lòng giảng dạy chúng tôi trong suốt những năm học vừa qua.
Tôi cũng xin cảm ơn Cô Nguyễn Xuân Tú Huyên, người đã nhiệt tình giúp tôi dịch luận văn này
sang tiếng Pháp.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu trường PTTH Ngô Quyền cùng các bạn bè, đồng
nghiệp đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình tôi đi học.
Lời cuối cùng cho tôi gởi lời cảm ơn đến những người thân trong gia đình đã quan tâm lo lắng
cũng như giúp đỡ động viên tôi rất nhiều trong suốt ba năm vừa qua.
Nguyễn Phương Thủy.


Chương 1

NHỮNG VẤN ĐỀ ĐƯC ĐẶT RA

I. Lý do chọn đề tài - mục đích nghiên cứu
 Xây dựng các tập hợp số là một trong những nội dung quan trọng nhất của chương trình
môn toán bậc trung học cơ sở (THCS). Chương trình số học lớp 6 hệ thống hóa các kiến thức đã
học ở tiểu học về các số tự nhiên N. Đồng thời, những kiến thức về phân số, các phép toán trên
phân số đã từng được đề cập ở lớp 5 giờ đây được nâng cao, hoàn thiện. Đại số 7 tiếp tục mở rộng
khái niệm số thành số hữu tỉ. Đại số 9, bằng việc đưa vào khái niệm số vô tỉ, mở rộng khái niệm số
thành số thực. Ngoài các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa với số mũ tự nhiên (được định
nghóa qua phép nhân), đã trình bày ở lớp dưới, lúc này người ta đưa vào phép tính khai căn. Đó
cũng là giai đoạn phát triển cuối cùng, kết thúc quá trình mở rộng khái niệm số ở bậc THCS.
Quá trình mở rộng khái niệm số, từ số tự nhiên, đến số nguyên, rồi số hữu tỉ, luôn dựa trên
nhu cầu thực hiện một phép toán mà trước đó không thể thực hiện được trên tập hợp số cũ. Ví dụ:
nói về nhu cầu phải có các số nguyên, sách giáo khoa Đại số 7, 2000, trang 3 đã viết như sau:
“Tổng và tích hai số tự nhiên là một số tự nhiên, nhưng phép trừ các số tự nhiên không phải luôn
luôn thực hiện được. Ta đặt vấn đề: Bổ sung vào tập hợp N các số tự nhiên những số mới để được
tập hợp số trong đó phép trừ luôn thực hiện được.” Cũng như thế, để đặt vấn đề cho sự cần thiết
phải có số hữu tỉ thì sách giáo khoa Đại số 7, 2000, trang 25 viết: “Trong Z các phép toán cộng, trừ,
nhân luôn thực hiện được. Ta thấy trong Z phép chia cho một số a khác 0 không luôn luôn thực hiện
được. Ta đặt vấn đề: mở rộng Z thành tập hợp số mới trong đó phép chia cho một số khác 0 luôn
thực hiện được.” Nhưng làm thế nào để nói đến sự cần thiết phải mở rộng tập số hữu tỉ Q ? Với bốn
phép toán cộng, trừ, nhân, chia ta không thể làm điều đó.
Có nhiều phương pháp khác nhau để xây dựng trường số thực : phương pháp Dedekind
(phương pháp lát cắt), phương pháp dãy cơ bản, … Tuy nhiên không thể giới thiệu một trong các
phương pháp này cho học sinh vì chúng đòi hỏi những kiến thức vượt khỏi khuôn khổ chương trình


phổ thông. Việc đưa tập hợp số thực sao cho phù hợp với học sinh phổ thông là điều không đơn
giản.

Về mặt toán học, khái niệm số vô tỉ nảy sinh từ nhu cầu của phép khai căn. Liệu việc dạy học
toán có thể đi theo con đường của lịch sử, lấy khái niệm căn bậc hai làm cơ sở cho việc xây dựng
tập số thực ?
Đó là một trong những lý do khiến chúng tôi quan tâm đến khái niệm căn bậc hai của một số.
Khái niệm này chiếm vị trí quan trọng trong tập hợp số thực. Ngoài ra, sự xuất hiện của nó đã cho
phép giải quyết một số bài toán hình học (như tìm cạnh huyền của một tam giác vuông khi biết
được độ dài hai cạnh góc vuông), cũng như đại số (giải phương trình bậc hai), và sự khái quát hóa
của nó dẫn đến khái niệm căn bậc n sau này. Đúng như Assude đã nói : "cũng như nhiều khái niệm
toán học khác, nó là chỗ giao nhau của nhiều lónh vực : đại số, hình học, giải tích. Chính nó đã gây
nên cuộc khủng khoảng lớn đầu tiên trong toán học, ít ra cũng ở phương tây : cuộc khủng khoảng
về số vô tỉ của người Hy lạp. Nó là trung tâm của việc đặt vấn đề cho sự xuất hiện số thực"
(Assude, 1989, tr. 34).

 Một khía cạnh khác liên quan đến khái niệm căn bậc hai cũng làm chúng tôi quan tâm :
khía cạnh tính toán gần đúng các căn bậc hai. Không phải căn bậc hai nào cũng cho giá trị là một
số hữu tỉ (số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn), có những số mà căn bậc hai của nó là số
vô tỉ (số thập phân vô hạn tuần hoàn). Trong trường hợp sau, không thể tìm giá trị đúng căn bậc hai
của số đang xét đó được, chỉ có thể lấy giá trị gần đúng của nó.
Có nhiều phương pháp để tìm giá trị gần đúng của một căn bậc hai, chẳng hạn như dùng các
công thức xấp xỉ, các thuật toán khai phương, hay bảng tính sẵn giá trị của các căn bậc hai, … Ngoài
ra, với sự phát triển của khoa học kỹ thuật ngày nay, những chiếc máy tính bỏ túi gọn nhẹ đã giúp
con người rất nhiều trong việc tính toán. Chúng có thể thay thế các bảng tính sẵn hoặc các thuật
toán để tìm căn bậc hai của một số không âm một cách nhanh chóng. Đó là một công cụ cần được
quan tâm trong dạy-học toán nói chung, dạy - học căn bậc hai nói riêng.


Với luận văn này, chúng tôi muốn tìm hiểu xem :

- Khái niệm căn bậc hai được đưa vào chương trình môn toán bậïc trung học như thế nào?
Nhằm giải quyết những bài toán gì ?

- Việc đưa vào khái niệm số vô tỉ có quan hệ như thế nào với căn bậc hai trong dạy - học
toán ở bậc học này ?
- Máy tính bỏ túi được khai thác sao trong dạy học căn bậc hai ?

II. Phạm vi lý thuyết tham chiếu
Để tìm những yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi trên, về cơ sở lý luận, chúng tôi dựa vào lý
thuyết chuyển đổi didactic, hợp đồng didatic và lý thuyết nhân chủng học. Dưới đây chúng tôi trình
bày ngắn gọn một vài điểm chủ yếu của phạm vi lý thuyết tham chiếu đã được lựa chọn. Chúng tôi
sẽ chỉ tập trung trên những khía cạnh lý thuyết cần thiết cho mục đích nghiên cứu của mình.
II.1. Chuyển đổi didactic
Trong nhà trường phổ thông, đối với mỗi môn học, người ta chỉ có thể chọn ra một số tri thức
trong kho tàng mà loài người đã tích luỹ được để dạy cho học sinh. Những tri thức này cần phải
được sắp xếp và tái cấu trúc lại thành một hệ thống liên kết logic, phục vụ cho một mục tiêu dạy
học nhất định. Hơn nữa, để trở nên có thể dạy được, chúng phải chịu một số ràng buộc nào đó, phải
được trình bày sao cho phù hợp với trình độ học sinh. Tất cả những điều đó làm cho chúng bị biến
đổi, không còn giữ nguyên dạng như vốn tồn tại trong cộng đồng các nhà bác học.
Chuyển đổi didactic, nói một cách đơn giản, là quá trình biến đổi một đối tượng tri thức thành
đối tượng dạy học. Việc quy định các đối tượng cần dạy được thể hiện thông qua chương trình, sách
giáo khoa, các đề thi, các văn bản của nhà quản lý giáo dục, ... Theo Bessot và Comiti, tri thức cần
dạy có những đặc trưng chính sau :


- Đối tượng tri thức được rút ra từ phạm vi những vấn đề và những kỹ thuật có liên kết với tri
thức. Những điều trước đây ở "xung quanh" đối tượng nay được thay bằng cái "có trước" và
"có sau".
-

Ý muốn sắp xếp dạng văn bản của tri thức thành một trình tự logic sao cho có thể dạy

được theo một mục tiêu dạy-học xác định đôi khi dẫn đến chỗ làm thay đổi định nghóa tri thức

và làm thay đổi logic hình thành tri thức trong lịch sử.
-

Tri thức được dạy trở thành tri thức cần phải biết và là chuẩn mực hợp pháp của kiến

thức, được quy định cho mọi học sinh ở một lứa tuổi nào đó. Do đó, có thể kiểm tra việc dạyhọc tri thức này một cách hợp pháp trên phạm vi toàn xã hội.
Những tri thức đã được thiết lập này chiếm một vị trí nhất định trong một xã hội xác định và
tồn tại một dự án xã hội nhằm truyền đạt các tri thức đó bằng hình thức dạy - học. Didactic toán
quan tâm dến việc dạy và học các tri thức này.
II.2. Lý thuyết nhân chủng học

Trong những khái niệm cơ bản của lý thuyết này ta phải kể đến quan hệ thể chế, quan hệ cá
nhân và tổ chức toán học.
II.2.1. Tổ chức toán học
Hoạt động toán học là một bộ phận của các hoạt động trong một xã hội, thực tế toán học cũng
là một kiểu thực tế xã hội nên cần thiết xây dựng một mô hình cho phép mô tả và nghiên cứu thực
tế đó. Chính trên quan điểm này mà Chevallard (1998) đã đưa vào khái niệm praxéologie.
Theo Chevallard, mỗi praxéologique là một bộ gồm 4 thành phần :

- Các kiểu nhiệm vụ T – hiện diện trong thể chế.
- Kỹ thuật  – cho phép thực hiện các nhiệm vụ t của cùng một kiểu nhiệm vụ T. Công nghệ
 – văn bản lý giải cho kỹ thuật .

- Lý thuyết  – là công nghệ của công nghệ  .


Trong trường hợp các thành tố T, ,  ,  của một praxéologie mang bản chất toán học, người
ta nói đến một praxéologie toán học hay một tổ chức toán học. Khái niệm này sẽ cho phép mô hình
hóa thực tiễn xã hội nói chung và hoạt động toán học nói riêng (Bosch và Chevallard, 1999).

II.2.2. Quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân
Theo Chevallard, quan hệ của thể chế I với tri thức O, R(I, O), là tập hợp các tác động qua lại
mà thể chế I có với tri thức O. Nó cho biết O xuất hiện ở đâu, như thế nào, tồn tại ra sao, có vai trò
gì, ... trong O.
Quan hệ cá nhân X với tri thức O, R(X, O), là tập hợp các tác động qua lại mà cá nhân X có
với tri thức O. Nó cho biết X nghó gì, hiểu như thế nào về O, có thể thao tác O ra sao.
Trong một thể chế, một cá nhân chỉ phô bày công khai cái nó làm với O, cái mà nó đánh giá
là phù hợp với mối quan hệ thể chế với đối tượng này.
Sự xuất hiện của một tổ chức toán học sẽ cho phép thiết lập mối liên hệ với khái niệm quan
hệ thể chế. Cụ thể, cách tiếp cận chương trình và sách giáo khoa theo quan điểm các tổ chức toán
học sẽ giúp ta làm rõ quan hệ của thể chế I đối với tri thức O mà ta đang xem. Nó còn cho phép
giải thích mối liên hệ giữa phần lý thuyết với phần bài tập, bởi vì khi phân tích các tổ chức toán
học, chúng ta sẽ phải trả lời những câu hỏi sau:
Về nhiệm vụ T : T có được nêu lên một cách rõ ràng không? Ở đâu? Các lý do đưa T vào có
được làm rõ không? Hay là T xuất hiện một cách ngẫu nhiên, thiếu gợi động cơ ? T có mối liên hệ
nào với các phần toán học khác không?
Về kỹ thuật

:  có được nêu lên một cách rõ ràng không hay chỉ mới được phát thảo?  có dễ

sử dụng không? Phạm vi sử dụng của  như thế nào? (phạm vi kiểu nào, loại bài toán nào?) Tương
lai của  ra sao?
Về yếu tố công nghệ – lý thuyết : Việc mô tả, giải thích cho kỹ thuật  có được đặt ra không?
Hay kỹ thuật  được xem như tự nó đã rõ ràng, tự nhiên? Hình thức giải thích có gần với hình thức
chuẩn của toán học không?


II.3. Hợp dồng didactic
Hợp đồng didactic là một sự mô hình hóa quyền lợi và nghóa vụ ngầm ẩn của giáo viên và học
sinh đối với các đối tượng tri thức toán học đem giảng dạy. Đó là tập hợp các quy tắc quy định

những ứng xử (chuyên biệt cho một tri thức xác định) của thầy giáo được học sinh trông đợi và
những ứng xử của học sinh mà thầy giáo trông đợi. Nói cách khác, Hợp đồng didactic là tập hợp
những quy tắc phân chia và hạn chế trách nhiệm của mỗi bên, học sinh và giáo viên, đối với một
tri thức toán được đưa ra giảng dạy.
Những quy tắc của hợp đồng didactic không thể được phát biểu hoàn toàn tường minh (nếu
như các quy tắc hành động càng tường minh thì người ta lại càng ứng xử cho phù hợp với quy tắc
hơn là cho phù hợp với mục đích nhắm đến). Chính vì các quy tắc thường bị che dấu nên người ta
chỉ thấy nó thông qua hiệu ứng của nó.

 Hiệu ứng về phía học sinh: học sinh đọc tình huống do thầy giáo nêu ra như là một phương
tiện mà thầy giáo sử dụng để làm cho nó học một cái gì đó.
 Hiệu ứng về phía giáo viên: mong muốn học sinh thể hiện ra ngoài điều nó đã học được (vì
nhiệm vụ của giáo viên là dạy).
Khái niệm hợp đồng didactic cho phép ta "giải mã" các ứng xử của giáo viên và học sinh, tìm
ra ý nghóa của những hoạt động mà họ tiến hành, từ đó có thể giải thích một cách rõ ràng và chính
xác những sự kiện quan sát được trong lớp học.
Theo A. Bessot và C. Comiti (2000), để thấy được hiệu ứng của các hợp đồng didactic, ngườ i ta có thể tiến hành như sau :

 Tạo ra một sự biến loạn trong hệ thống giảng dạy, sao cho có thể đặït những thành viên chủ
chốt (giáo viên, học sinh) trong một tình huống khác lạ - được gọi là tình huống phá vỡ hợp đồng.
 Phân tích các thành phần của hệ thống giảng dạy đang tồn tại, bằng cách
- Nghiên cứu câu trả lời của học sinh trong khi học.
- Phân tích các đánh giá học sinh trong việc sử dụng tri thức.
- Phân tích những bài tập được giải hoặc được ưu tiên hơn trong các sách giáo khoa.
Tổ chức toán học với hợp đồng didactic


Để nghiên cứu những quy tắc của hợp đồng didactic chi phối hoạt động của các cá thể (giáo
viên và học sinh) trong một thể chế dạy học xác định, ta có thể phân tích các tổ chức toán học tồn
tại trong thể chế. Nói cách khác, việc vạch ra các tổ chức toán học không chỉ giúp hiểu rõ hơn quan

hệ do thể chế I duy trì đối với tri thức O, mà nó còn cho phép ta xác định được những quy tắc ngầm
ẩn của hợp đồng didactic liên quan đến việc dạy học tri thức này.

III. Trình bày lại hệ câu hỏi nghiên cứu
Trong khung lý thuyết tham chiếu trên, chúng tôi trình bày lại các câu hỏi của mình như sau:
 Có thể nói gì về "cuộc sống" của khái niệm căn bậc hai trong thể chế dạy học toán lớp 9 ?
Cụ thể hơn, khái niệm này được đưa vào thời điểm nào của chương trình? nó có vai trò gì đối với
việc trình bày các nội dung về số vô tỉ hay không? nó tồn tại ra sao trong thể chế? Các kiểu bài tập
nào liên quan đến căn bậc hai? Kỹ thuật giải các bài tập này được trình bày ra sao?
 Có những quy tắc nào của hợp đồng didactic? Chúng tác động lên việc dạy và học căn bậc
hai như thế nào?
 Có những quy tắc nào liên quan đến máy tính bỏ túi ? Máy tính bỏ túi có vai trò gì trong
việc dạy và học căn bậc hai?

IV. Phương pháp và tổ chức nghiên cứu
Trong khung lý thuyết tham chiếu đã lựa chọn, để trả lời cho các câu hỏi đã đề ra chúng tôi sẽ
tiến hành những nghiên cứu sau:
 Nghiên cứu chương trình và sách giáo khoa
Nghiên cứu chương trình và sách giáo khoa cần phải cho phép chỉ rõ "cuộc sống" của khái
niệm căn bậc hai và một khái niệm có liên quan mật thiết với nó là số vô tỉ. Cụ thể, nghiên cứu
này phải vạch rõ : căn bậc hai xuất hiện vào lúc nào? có vai trò gì? Những kiến thức gần gũi với nó
được đưa vào ở thời điểm nào trong chương trình và được trình bày ra sao trong sách giáo khoa ?
Vì căn bậc hai được đưa vào tường minh ở lớp 9, chúng tôi sẽ phân tích sách giáo khoa Đại số
9 chương trình hiện hành, trước hết để tìm hiểu sách giáo khoa đã trình bày các kiến thức về căn
bậc hai như thế nào? Sự sắp xếp các kiến thức như vậy nhằm mục đích gì?


Sau đó chúng tôi sẽ dùng khái niệm “Tổ chức toán học” để phân tích hệ thống bài tập liên
quan đến căn bậc hai được sách giáo khoa đề nghị cho học sinh. Phân tích này không chỉ cho phép
làm rõ quan hệ của thể chế đối với căn bậc hai mà còn giúp chỉ ra những quy tắc của hợp đồng

didactic trong việc dạy và học đối tượng này.
Nghiên cứu chương trình và sách giáo khoa sẽ được trình bày trong chương 3 của luận văn.
 Nghiên cứu lịch sử
Để phân tích sự chuyển đổi didactic đã được thực hiện cho các khái niệm số vô tỉ và căn bậc
hai trong sách giáo khoa, cần thiết phải nghiên cứu quá trình hình thành chúng trong lịch sử, đặc
biệt là mối quan hệ giữa chúng. Vì thế, trước chương 3, chúng tôi dành chương 2 cho sự trình bày
tóm lược một số yếu tố lịch sử liên quan đến vấn đề này. Đây chưa phải là một nghiên cứu khoa
học luận lịch sử theo nghóa đầy đủ của từ này. Trong thời gian có hạn, với những tài liệu có trong
tay, chúng tôi chỉ có thể cố gắng chỉ ra những quan niệm từng có trong lịch sử về căn bậc hai và vai
trò của nó đối với việc hình thành khái niệm số vô tỉ.
 Nghiên cứu thực nghiệm
Như chúng tôi nói ở trên, nghiên cứu trình bày ở chương 3 cần phải vạch rõ sự chuyển đổi
didactic đã được thực hiện và quan hệ thể chế đối với đối tượng căn bậc hai. Nó cũng phải cho
phép chúng tôi hình thành nên được giả thuyết về những quy tắc của hợp đồng didactic liên quan
đến việc dạy-học đối tượng này. Ở đây, chúng tôi chỉ quan tâm đến những quy tắc liên quan đến
máy tính bỏ túi với việc dạy - học căn bậc hai.
Để kiểm chứng tính hợp thức của giả thuyết đó, cần phải có một nghiên cứu tập trung vào
thực tế dạy học. Chúng tôi sẽ triển khai một thực nghiệm gồm có hai phần : một phần dành cho
giáo viên và một phần dành cho học sinh. Nghiên cứu thực nghiệm này được trình bày ở chương 4,
chương cuối của luận văn.


Chương 2

CĂN BẬC HAI TRONG LỊCH SỬ

Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày tóm lược lịch sử ra đời của khái niệm căn bậc hai và
cố gắng chỉ ra mối liên hệ của nó với sự hình thành nên khái niệm số vô tỉ.
I. Các quan niệm về căn bậc hai trong lịch sử
Để trình bày các quan niệm đã từng tồn tại trong lịch sử về căn bậc hai, chúng tôi sử dụng lại

nghiên cứu của Broner (1992) trên "Kiến thức về căn bậc hai của học sinh Ma li ". Tác giả này đã
chỉ ra 5 quan niệm về căn bậc hai đã xuất hiện trong lịch sử toán học.
 Quan niệm "căn bậc hai hoàn hảo" (conception "carré parfait")
Vào thời Hy lạp cổ và nhất là thời Pythagore, "căn bậc hai của một số dương phải được tìm
trong N và một số nguyên có căn bậc hai nếu và chỉ nếu nó là số chính phương".
 Quan niệm "hình thức" (conception "formelle")
Trong một thời gian rất dài của lịch sử toán học, các nhà bác học giải các phương trình bằng
những tính toán hình thức mà không bận tâm gì về bản chất của các biểu thức được biến đổi cũng
như tính hợp thức của các quy trình được sử dụng. Hệ thống số, cũng như thời Hy lạp cổ, là Z, tập
hợp các số thập phân và Q. Cách viết

a được xem như một biểu thức hình thức mà người ta sử

dụng trong các tính toán đại số. Cách viết đó đem lại nghiệm hình thức của các phương trình kiểu
x2 = a. Nhưng,

a ,với a không nguyên có cơ chế của một số.

 Quan niệm xấp xỉ (conception "approximation")
Các nhà toán học quan tâm khá sớm đến vấn đề xấp xỉ một số cũng như vấn đề số đo của một
số đại lượng, nhưng lại không bận tâm về cơ chế của chúng. Hệ thống số vẫn luôn luôn là Z, tập
hợp các số thập phân và Q, nhưng ở đây căn bậc hai được quan niệm như một phép toán, đó là
phép toán :

a chỉ một kết quả, kết quảû đó không phải là một số mới mà là số phải tìm trong các

hệ thống số quen thuộc (Z, tập hợp các số thập phân và Q).


 Quan niệm "số " và quan niệm "số hợp nhất" (conception "nombre" và "nombre

unifié")
Các

a , với a hữu tỉ dương bắt đầu có cơ chế của các số, chúng được dùng để đo các đại lượng

mới, là nghiệm của các phương trình bậc hai. Broner phân biệt hai trường hợp :
- Quan niệm "số" : các căn bậc hai không chỉ thuộc các hệ thống số quen thuộc. Người ta
phân biệt các số hữu tỉ với

a trong đó a là hữu tỉ dương, không chính phương.

- Quan niệm "số hợp nhất" : tất cả những số đã được sử dụng được hợp nhất lại trong một hệ
thống số mà trong đó ta có mọi phép toán. Đặc biệt, hệ thống số đó chứa cả Q và các

a.

 Quan niệm "số thực" (conception "réel")
Người ta thấy xuất hiện cấu trúc trường (corps) số thực và có một hệ thống số R mà Q là
trường con của nó (R est surcorps de Q). Trường R này có tất cả các tính chất đại số và tôpô, đồng
thời mọi số dương thuộc nó đều có một căn bậc hai.
II. Định lý Pythagore
Pythagore được xem là người mang lại nhiều biến đổi sâu sắc cho hình học ở chỗ dường như
ông là người đầu tiên xây dựng hình học như một khoa học suy diễn. Cụ thể, để nghiên cứu hình
học ông xuất phát từ một số cơ sở đầu tiên của nó, và cố gắng chứng minh các định lý bằng suy
luận logic, chứ không phải bằng cách dựa vào trực giác. Ông và các môn sinh đã có nhiều phát
minh quan trọng trong hình học. Đặc biệt, phát minh ra định lý Pythagore và các đoạn thẳng vô ước
đóng vai trò quan trọng trong lịch sử hình thành khái niệm số vô tỉ.
Thực ra thì người Babilone, không rõ bằng cách nào, đã có những bảng bộ ba số Pythagore,
như 60 ; 45 ; 75 (tức 15.4 ; 15.3 ; 15.5), 72 ; 65 ; 97 (652 + 722 = 972), 3456 ; 3367 ; 4825 (34562 +
33672 = 48252), … Nhưng họ chưa có được định lý tổng quát như Pythagore đã phát biểu cho các tam

giác vuông. Hơn thế, theo tài liệu mà chúng tôi có trong tay thì bảng này chỉ gồm những bộ mà số
thứ ba là số chính phương, như các ví dụ vừa nêu trên.
Như chúng ta biết, định lý này được phát biểu như sau: Bình phương cạnh huyền của một tam
giác vuông thì bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông. Kể từ thời Pythagore đã có nhiều cách
chứng minh khác nhau về định lý trên. Trong lần xuất bản thứ hai cuốn sách của mình, Mệnh đề


Pythagore, E.S.Loomis đã thu thập và phân loại 370 cách chứng minh định lý nổi tiếng đó.Trong
Giới thiệu lịch sử toán, Howard Eves (1993) khẳng định rằng phép chứng minh sau là của
Pythagore1.

b

a

a

b

a
a
b

b

a

c
c

b

c

c

b

a
b

b

a

a

Hình 1
Gọi a, b lần lượt là các cạnh góc vuông và c là cạnh huyền của một tam giác vuông. Xét hai
hình vuông trong hình 1, mỗi cạnh là a + b. Hình vuông thứ nhất được tách thành sáu phần gồm hai
hình vuông có cạnh là a, b và bốn hình tam giác bằng với tam giác vuông cho trên. Hình vuông thứ
hai được tách thành năm phần gồm một hình vuông có cạnh bằng cạnh huyền và bốn tam giác
vuông bằng tam giác vuông cho trên. Bỏ đi lần lượt bốn tam giác vuông bằng nhau ở hai hình
vuông trên, ta được diện tích còn lại ở hình vuông thứ nhất là a2 + b2 và diện tích còn lại ở hình
vuông thứ hai là c2. Vì hai diêïn tích của hai phần còn lại bằng nhau nên a2 + b2 = c2. Vậy bình
phương cạnh huyền của một tam giác vuông bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.
Điều đáng nói ở phép chứng minh này là cho đến lúc đó khái niệm số vô tỉ chưa xuất hiện, do
đó, a, b, c mặc nhiên được hiểu là các số hữu tỉ.
Có liên hệ mật thiết với định lý Pythagore là bài toán tìm các số nguyên a, b, c để chúng có
thể lần lượt là hai cạnh góc vuông và cạnh huyền của một tam giác vuông. Bộ ba số các loại số

này được biết là bộ ba Pythagore và như đã nói trên, không rõ bằng cách nào mà người Babilone
cổ đại đã đã tìm bảng gồm một số bộ ba số Pythagore. Còn các môn sinh Pythagore thì đã đưa ra
1

Thực ra thì vào khoảng năm 530 trước công nguyên Pythagore tới sinh sống ở miền Nam nước Ý và lập ra một hội mang tên
ông. Hoạt động của hội theo đuổi những mục tiêu về chính trị, tôn giáo lẫn toán học. Hội hoạt động rất bí mật và tất cả những
phát minh toán học của hội đều được gán teân Pythagore.


2

2

 m2 1
 m 2 1
 , với m là số lẻ bất kỳ thì ba số hạng của công thức trên sẽ
  
công thức : m  
 2 
 2 
2

cho một bộ ba Pythagore. Họ còn đưa ra một công thức khác để tìm bộ ba soá Pythagore,

2m 2  m 2  12  m 2  12 , trong đó m có thể chẵn hoặc lẻ. Rõ ràng là các số trong những bộ số
này đều là số nguyên. Không có công thức nào trong hai công thức trên cho tất cả các bộ ba
Pythagore.
III.

2 và khám phá ra các số vô tỉ

(Theo Giới thiệu lịch sử toán của Howard Eves, 1993, trang 69 )
Các số nguyên đã được trừu tượng hóa từ quá trình đếm các tập hữu hạn đồ vật. Nhưng nhu

cầu hằng ngày đòi hỏi chúng ta ngoài việc đếm các vật riêng lẻ còn phải đo lường các đại lượng
khác nhau như chiều dài, trọng lượng và thời gian. Để thỏa mãn những nhu cầu đo lường đơn giản
này cần đến các phân số. Chẳng hạn, khi đo chiều dài, hiếm khi người ta gặp trường hợp độ dài
cần đo chứa đúng một số nguyên các đơn vị tuyến tính. Như vậy nếu ta định nghóa một số hữu tỉ là
thương của hai số nguyên p/q, q  0 thì hệ thống các số hữu tỉ này vì chứa đựng toàn bộ các số
nguyên và phân số nên đủ dùng cho những mục đích đo lường thực tiễn.
Từ thời cổ Hy lạp người ta đã biết dùng hình học để biểu diễn các số hữu tỉ. Cụ thể, người ta
lấy hai điểm khác nhau O và I trên một đường thẳng nằm ngang, I ở bên phải O, và xem đoạn OI là
1 đơn vị chiều dài. Nếu cho O và I tương ứng biểu thị cho các số 0 và 1 thì các số nguyên dương và
âm có thể biểu thị được bằng một tập hợp điểm trên đường thẳng đó với những khoảng cách từng
đơn vị một, các số nguyên dương biểu diễn bởi các điểm nằm bên phải của O và các số nguyên âm
ở bên trái. Các phân số có mẫu số là q có thể biểu thị được bởi các điểm chia mỗi khoảng cách đơn
vị thành q phần bằng nhau. Như vậy, mỗi một số hữu tỉ có một điểm trên đường thẳng.
Đối với các nhà toán học cổ xưa, dường như làm như vậy thì tất cả các điểm trên đường
thẳng đó đã được sử dụng hết. Các nhà toán học cổ thấy lạ lẫm khi nhận ra rằng có những điểm
trên đường thẳng đó không ứng với bất kỳ một số hữu tỉ nào. Khám phá này là một trong những
thành tựu to lớn nhất của các môn sinh Pythagore. Đặc biệt, họ đã cho biết rằng không có một số


hữu tỉ nào ứng với điểm P trên đường thẳng mà khoảng cách OP bằng đường chéo của hình vuông
có cạnh bằng đơn vị (xem hình 2).

O

I

P

Hình 2
 Để chứng minh rằng chiều dài của đường chéo của một hình vuông có cạnh bằng đơn vị
không thể biểu thị được bằng một số hữu tỉ thì cần chứng minh

2 không phải là một số hữu tỉ.

Trước hết người ta nhận xét là với một số nguyên dương s thì s2 là chẵn khi và chỉ khi s là chẵn.
Dựa vào nhận xét đó, người ta lập luận như sau :
Giả sử

2 là hữu tỉ tức là 2 = a/b trong đó a và b là các số nguyên tố cùng nhau. Khi đó a =

b 2 hoặc a2 = 2b2.
Vì a2 bằng hai lần một số nguyên nên ta thấy a2, do đó cả a nữa, phải là một số chẵn. Đặt a =
2c. Phương trình cuối cùng sẽ thành : 4c2 = 2b2 hoặc 2c2 = b2. Từ đó ta kết luận b2, và do đó cả b,
phải là số chẵn. Điều này không thể được vì a và b được giả định là các số nguyên tố cùng nhau.
Như vậy

2 không thể là số hữu tỉ.

 Cách chứng minh với các kỹ thuật đại số như trên là cách chứng minh truyền thống và
thuộc về Aristotle (384-322 trước công nguyên).
Bây giờ ta phác thảo một phép chứng minh nữa theo hình học về tính vô tỉ của

2 bằng cách

chỉ ra rằng cạnh và đường chéo của một hình vuông là hai đoạn thẳng vô ước.
Giả sử điều ngược lại. Như vậy có một đoạn AP (xem hình 3) để cả đường chéo AC và cạnh
AB của hình vuông ABCD là các bội nguyên của AP. Do đó AC và AB là khả ước theo AP. Trên

AC đặt CB1 = AB và vẽ B1C1 thẳng góc với CA. Dễ dàng chứng minh được rằng C1B = C1B1 = AB1.
Như vậy AC1 = AB – AB1 và AB1 là khả ước theo AP. Nhưng AC1 và AB1 là đường chéo và cạnh
của một hình vuông có kích thước nhỏ hơn một nửa số đường chéo và cạnh của hình vuông lúc đầu.
Lặp lại quá trình này thì cuối cùng ta sẽ được một hình vuông có đường chéo ACn và cạnh ABn là
khả ước theo AP, và ACn < AP. Điều vô lý này chứng minh định lý.


D

A
P

B1

C1

C

B

Hình 3
Nói cách khác, không có một số hữu tỉ nào ứng với điểm P trên đường thẳng mà khoảng cách
OP bằng đường chéo của hình vuông có cạnh bằng đơn vị . Suy ra, các điểm như vậy phải ứng với
những số mới, và vì chúng không thể là các số hữu tỉ nên được gọi là các số vô tỉ. Khám phá này
đánh dấu một mốc lớn trong lịch sử toán học.
 Việc khám phá ra tính vô tỉ của

2 đã gây kinh hoàng trong hàng ngũ các môn sinh

Pythagore. Không những nó chỉ đảo lộn giả định gốc cho rằng mọi thứ đều phụ thuộc vào các số

nguyên mà còn (bởi vì định nghóa Pythagore về tỉ lệ được cho theo giả định là bất kỳ hai đại lượng
giống nhau nào đều khả ước nên mọi mệnh đề trong lý thuyết Pythagore về tỷ lệ phải giới hạn ở
các đại lượng khả ước) làm cho lý thuyết tổng quát của họ về các hình đồng dạng trở nên vô giá trị.
Vụ “scandal logic” này thật quá lớn tới mức người ta đã phải cố giữ kín nó, và có lưu truyền rằng
một môn sinh Pythagore tên là Hipassus (hoặc một người nào khác) vì nghịch đạo đã để điều bí
mật đó lộ ra ngoài nên đã bị bỏ mạng ngoài biển, hoặc (theo một dị bản khác) đã bị đuổi ra khỏi
cộng đồng Pythagore và một ngôi mộ đã được dựng lên cho ông dù ông chưa qua đời.
Việc phát hiện ra sự tồn tại của các số vô tỉ đã làm kinh ngạc và gây bối rối cho các môn sinh
Pythagore. Trước hết nó thổi một luồng tử khí vào nền triết học Pythagore vì triết học này cho rằng
mọi thứ đều phụ thuộc vào số nguyên. Sau đó nó có vẻ trái với suy nghó thông thường là theo trực
giác thì bất kỳ một đại lượng nào cũng có thể biểu thị được bằng một số hữu tỉ nào đó.
Việc đối chứng với hình học cũng gây nên một kinh ngạc khác thường bởi vì cho đến lúc đó
người ta vẫn tin rằng với hai đoạn thẳng cho trước luôn tìm được một đoạn thẳng thứ ba, có thể là
rất rất nhỏ, dùng để chia hai đoạn thẳng đó thành một số nguyên lần. Bây giờ, giả sử hai đoạn


thẳng đó là một cạnh s và một đường chéo d của một hình vuông. Khi đó, nếu có một đoạn thẳng
thứ ba t có thể chia s và d thành một số nguyên lần thì s = bt và d = at trong đó a, b là các số
nguyên dương. Nhưng vì d = s 2 nên at = bt 2 . Như vậy a = b 2 , hoặc

2 = a/b, một số hữu tỉ.

Như vậy, trái ngược với trực giác, có những đoạn thẳng vô ước, tức là những đoạn thẳng không có
đơn vị đo lường chung.
 Đã có lúc

2 được coi là số vô tỉ duy nhất. Về sau này theo Plate thì Thedorus ở Cyrene

(khoảng 425 trước công nguyên) đã chỉ ra rằng

14 ,

3,

5,

6,

7,

8,

10 ,

11 ,

12 ,

13 ,

15 , 17 cũng đều là số vô tỉ. Sau đó khoảng năm 370 trước công nguyên vụ “scandal” đã

được giải quyết bởi một người xuất sắc tên là Eudoxus, một môn sinh của Plato và của một môn đồ
Pythagore là Archytas, khi ông đưa ra một định nghóa mới về tỉ lệ. Việc giải quyết bậc thầy về các
số vô ước của Eudoxus thấy trong cuốn thứ năm của Nguyên lý của Euclid và chủ yếu trùng với
cách diễn tả ngày nay về các số vô tỉ mà Richard Dedekind đã đưa ra vào năm 1872.
Nghiên cứu lịch sử trên cho thấy vai trò quan trọng của căn bậc hai trong việc phát minh ra số
vô tỉ. Nó cũng chỉ ra cho ta thấy chính là từ một tình huống hình học mà khái niệm này được hình
thành.

Chương 3

MỘT NGHIÊN CỨU THỂ THẾ
VỀ CĂN BẬC HAI

Đối tượng nghiên cứu chính của chương này là chương trình và sách giáo khoa Đại số 9 hiện
hành. Tuy nhiên, chúng tôi cũng sẽ xem xét quá trình xây dựng khái niệm số ở các lớp dưới, đặc
biệt phân tích quan hệ giữa việc trình bày căn bậc hai với việc đưa vào khái niệm số vô tỉ. Sở dó
chúng tôi quan tâm đến vấn đề này là vì, như đã nói trong chương đầu tiên của luận văn, căn bậc
hai đóng vai trò trung tâm trong lịch sử hình thành khái niệm số vô tỉ, mà vấn đề xây dựng các tập
hợp số lại là một nội dung quan trọng của dạy-học toán ở trường phổ thông, và nội dung này kéo
dài suốt 9 năm ở hai bậc học cơ sở.

I. Quá trình hình thành khái niệm số trong chương trình toán ở trường phổ thông
 Một trong những nội dung quan trọng của chương trình toán lớp 6 (lớp đầu cấp trung học cơ
sở), là bổ sung, hệ thống hoá những kiến thức đã được nghiên cứu ở bậc tiểu học về số tự nhiên
với bốn phép toán cộng, trừ, nhân , chia.
 Đến lớp 7, việc mở rộng khái niệm số được tiếp tục phát triển. Trước hết, chương trình đề
cập đến tập hợp số nguyên, các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên luỹ thừa và tính chất của
chúng. Các kiến thức số học về tập hợp Z đã được xây dựng tương đối hoàn chỉnh.
Sau đó, chương trình đưa vào khái niệm số hữu tỉ. Loại số này xuất hiện do nhu cầu thực hiện
phép chia trong Z và được định nghóa qua phân số, phân số bằng nhau. Đây là những khái niệm đã
được nghiên cứu ở bậc tiểu học và lớp 6. Sau khi đưa vào khái niệm số hữu tỉ, người ta xét vấn đề
biểu diễn chúng trên trục số, các phép toán và tính chất của chúng. Đặc biệt, người ta giới thiệu
biểu diễn thập phân của số hữu tỉ: mỗi số hữu tỉ có thể viết dưới dạng một phân số, bằng cách chia
số ở tử cho số ở mẫu ta thu được biểu diễn thập phân của số hữu tỉ, đó là các số thập phân hữu hạn
hoặc vô hạn tuần hoàn. Những vấn đề liên quan như cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên luỹ thừa (số
mũ tự nhiên) và so sánh số hữu tỉ đều đã được xem xét. Việc xây dựng tập hợp Q và các phép toán
đại số trên nó xem như đã được hoàn thiện ở thời điểm này.

 Ở lớp 8, vấn đề mở rộng tập hợp số không thuộc phạm vi chương trình. Trên tập hợp số hữu
tỉ, chương trình đưa vào các kiến thức về đa thức và phân thức đại số, giải phương trình và bất
phương trình bậc nhất một ẩn.
 Số thực được giảng dạy ở chương đầu tiên (có tên là Số thực - Căn bậc hai) của Đại số 9.
Chính là trong chương này mà người ta đưa vào khái niệm căn bậc hai của một số không âm. Nội
dung về căn bậc hai là trọng tâm của chương : chỉ có một bài học được đưa ra nhằm giới thiệu khái
niệm số vô tỉ, số thực, so sánh các số thực. Bảy bài còn lại dành cho việc nghiên cứu căn bậc hai.
Theo cách xây dựng của chương trình, để đưa vào khái niệm số vô tỉ người ta không bắt đầu từ căn
bậc hai.
Yêu cầu cần đạt được khi học xong chương Số thực - Căn bậc hai là :

" - Thông qua dạng biểu diễn thập phân, học sinh nắm được khái niệm số vô tỉ, số thực, các
phép toán, thứ tự cũng như tính chất liên hệ giữa các phép toán và thứ tự, nắm được hệ thống
số đã học, từ số tự nhiên đến số nguyên, số hữu tỉ, số thực.
- Nắm vững định nghóa căn bậc hai số học và căn bậc hai, cách kí hiệu, điều kiện tồn tại căn
bậc hai, các tính chất, quy tắc tính và biến đổi trên các căn bậc hai.
- Tính toán nhanh, đúng các phép tính trên các căn bậc hai, các phép biến đổi đơn giản, rút
gọn các biểu thức có chứa căn, sử dụng thành thạo bảng căn bậc hai."

(Sách giáo viên Đại số 9, 2001, trang 21).
Theo quy định của chương trình thì khai phương bằng máy tính bỏ túi không phải là một yêu
cầu bắt buộc :

“Phần khai phương bằng máy tính bỏ túi có thể giới thiệu hay không tùy theo từng vùng. Vùng
thành thị, nông thôn gần thành thị, vùng công nghiệp … cần giới thiệu quy trình thao tác cho


học sinh đáp ứng được yêu cầu thực tế; vùng xa, vùng sâu không có máy thì không yêu cầu

dạy.”

(Sách giáo viên Đại số 9, 2001, trang 27)

II. Phân tích sách giáo khoa Đại số 9 hiện hành
II.1. Phần lý thuyết
II.1.1. Về số vô tỉ
Như chúng tôi đã nói, chương đầu tiên của đại số lớp 9 có tên là Số thực - Căn bậc hai.
Trước khi trình bày về căn bậc hai, sách giáo khoa đã trình bày về tập hợp số thực. Bài "Số vô
tỉ. Số thực" được dạy trong 2 tiết bao gồm các nội dung sau:
 Định nghóa số vô tỉ và số thực
Để đưa vào khái niệm số vô tỉ, đầu tiên sách giáo khoa nhắc lại kiến thức sau về số hữu tỉ:
“Mỗi số hữu tỉ đều biểu diễn được dưới dạng thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn. Ngược lại
mỗi dạng thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn đều biểu diễn một số hữu tỉ nào đó.” Sau đó
sách giáo khoa đưa ra hai ví dụ về số thập phân vô hạn không tuần hoàn, đó là số
96,13113111311113… và 0,101001000100001… Số đầu tiên, sau dấu phẩy là một số 1 và một số 3,
sau đó là hai số 1 và một số 3, rồi ba số 1 và một số 3, ..., cứ thế số số 1 tăng lên vô hạn. Cách lấy
như vậïy cho thấy rõ ràng số này là số vô hạn không tuần hoàn, Số thứ hai cũng được thiết lập
nhằm đi đến kết luận về sự tồn tại của những số thập phân vô hạn không tuần hoàn như vậy. Từ
khẳng định rằng những số như thế không phải là biểu diễn thập phân của số hữu tỉ, sách giáo khoa
đưa vào loại số mới, số vô tỉ :
“Số vô tỉ là số có biểu diễn thập phân là vô hạn không tuần hoàn. Số hữu tỉ và số vô tỉ được gọi
chung là số thực. Tập hợp các số thực được kí hiệu là R.” (Sách giáo khoa Đại số 9, 2001, trang 4).
Như vậy sách giáo khoa đã chọn cách dùng biểu diễn thập phân để giới thiệu khái niệm số vô
tỉ và số thực. Theo sự lý giải của sách giáo viên thì cách trình bày này tránh được cho học sinh một
quan niệm sai lầm, cho rằng số vô tỉ chỉ là những số có dạng 2 , 3 , 5 ....
 So sánh số thực và các phép toán
Cũng trong bài đầu tiên của chương, sách giáo khoa nói đến vấn đề so sánh các số thực, các
phép toán trên R và tính chất của chúng. Những vấn đề này đều dựa trên dạng biểu diễn thập phân
của số thực. Người ta nói rõ : "Trong thực hành tính toán trên số thực, thông thường ta chỉ thực hiện

trên các giá triï gần đúng của chúng với độ chính xác tùy theo yêu cầu quy định, tức là thực hiện tính
toán trên các số hữu tỉ biểu thị giá trị gần dúng của chúng".
 Ý nghóa của các số vô tæ


Để nói về ý nghóa của số vô tỉ, sách giáo khoa khẳng định các số hữu tỉ không đủ đáp ứng
được mọi nhu cầu của phép đo đạc hoặc tính toán. Nhằm mục đích minh họa cho khẳng định đó,
sách giáo khoa đưa ra ví dụ về bài toán “tính độ dài đường chéo d của hình vuông với cạnh bằng
1”. Theo định lý Pythagore ta có d2 = 12 + 12 = 2, nên độ dài đường chéo hình vuông là một số d > 0
thoả mãn đẳng thức d2 = 2. Ngay sau đó, sách giáo khoa chứng minh rằng không có số hữu tỉ nào có
bình phương bằng 2. Từ kết quả này, sách giáo khoa kết luận : "số đo độ dài đường chéo d của hình
vuông với cạnh bằng 1 là số vô tỉ". Hơn thế nữa, sách còn nói “rất nhiều kết quả đo đạc tính toán
khác, chẳng hạn số đo độ dài đường tròn đường kính bằng 11, số mà bình phương bằng 3, 5, 6, 7, 8…,
tất cả các số đó đều có biểu diễn thập phân là vô hạn không tuần hoàn, và như đã nêu trên, là
những số vô tỉ.” (Sách giáo khoa Đại số 9, 2001, trang 6,7)
Về mặt toán học, rõ ràng là chưa đủ cơ sở để đưa ra kết luận "số đo độ dài đường chéo d của
hình vuông với cạnh bằng 1 là số vô tỉ" nếu người ta chưa chứng minh được rằng 2 là một số thập
phân vô hạn không tuần hoàn. Như thế, từ quan điểm toán học mà nói, sự chuyển đổi didactic được
lựa chọn đặt ra cho ta một câu hỏi về việc trình bày khái niệm số vô tỉ ở đây.
 Trục số thực
Trước hết, người ta khẳng định rằng các điểm hữu tỉ không lấp đầy trục số. Để minh họa,
người ta dùng hình vẽ để chứng tỏ rằng những điểm trên trục số biểu diễn cho các số có bình
phương bằng 2, bằng 3 không ứng với một số hữu tỉ nào. Sau đó kết luận sau được nêu ra : “Người
ta chứng minh được rằng các điểm hữu tỉ và vô tỉ lấp đầy trục số, nói chính xác hơn, mỗi số thực ứng
với một điểm trên trục số và ngược lại mỗi điểm trên trục số có một số thực ứng với nó. Do đó trục
số còn gọi là trục số thực.” Điều này như một khẳng định số thực là giai đoạn phát triển cuối cùng,
kết thúc quá trình mở rộng tập hợp số.
Tóm lại, phân tích trên cho chúng tôi thấy số vô tỉ được định nghóa như một số thập phân vô
hạn không tuần hoàn và những số có bình phương bằng 2, hoặc 3, 5, 6, 7, 8, ... , số  được xem như
ví dụ về các số vô tỉ (nhưng không có phép chứng minh nào cho phép khẳng định điều đó). Như

chúng tôi sẽ phân tích ở dưới, cho đến thời điểm này ký hiệu
chưa xuất hiện.
Việc so sánh và tính toán trên các số vô tỉ được nói là tương tự như trong Q. Chúng tôi tự hỏi :
tương tự nghóa là thế nào ? Thực ra, như đã nói trên, để so sánh hay tính toán trên các số vô tỉ sách
giáo khoa đã nói rằng phải chuyển về làm việc trên những giá trị gần đúng hữu tỉ của chúng.
II.1.2. Về khái niệm căn bậc hai
a) Sự tồn tại ngầm ẩn của khái niệm
Nghóa của khái niệm không chỉ được hình thành qua định nghóa của nó mà còn qua cả những
tình huống trong đó nó xuất hiện với tư cách một công cụ. Một khái niệm có thể tồn tại ngay từ khi
người ta chưa đưa lại cho nó một định nghóa tường minh. Chẳng hạn, với khái niệm căn bậc hai,
theo Comiti (2000) khi bàn về trường quan niệm của khái niệm này thì có nhiều lớp bài toán khác
nhau mà trong đó nghóa của nó được hình thành. Chẳng hạn như :

1

Chính là số




1- Trong một hệ thống số, a là số đã cho, tìm b sao cho b2 = a
2- Tìm nghiệm của phương trình x 2 = a
3- Tìm độ dài một cạnh của tam giác vuông theo hai cạnh kia.
4- Dựng một hình vuông có diện tích cho trước
5- Tìm tạo ảnh của a trong ánh xạ x ----> x 2
6- Xác định bằng đồ thị các tạo ảnh của a trong ánh xạ bình phương.
Chính vì thế, chúng tôi không chỉ xem xét cách định nghóa khái niệm căn bậc hai được trình
bày ở lớp 9 mà còn tìm hiểu xem trước đó nó đã từng xuất hiện dưới dạng ngầm ẩn ở đâu, như thế
nào.
Trong 6 tình huống trên, chúng tôi chỉ bắt gặp 4 tình huống đầu trong các sách giáo khoa từ

lớp 1 đến lớp 9. Chúng tôi sẽ lần lượt phân tích các tình huống đó.
ª Trong phạm vi đại số
Bài toán tìm b sao cho b2 = a đã xuất hiện ở đại số lớp 7, khi nghiên cứu luỹ thừa của một số
hữu tỉ. Cụ thể, ở đó sách giáo khoa đã đưa ra bài tập sau:
Tìm x, biết x2 = 4.
Để giải bài tập này, học sinh lớp 7 chỉ có một kỹ thuật duy nhất là thử xem số nào có bình
phương bằng 4.
Nhưng đối với học sinh lớp 8 thì sẽ tồn tại một kỹ thuật khác. Sau khi học xong bài phương
trình bậc nhất một ẩn, chương trình đề cập đến những phương trình dạng f(x) = 0 trong đó f(x) có
thể đưa được về tích của các đa thức bậc nhất. Như thế, học sinh lớp 8 có thể giải bài toán trên như
sau :
 (x - 2)(x + 2) = 0
x2 = 4
 x – 2 = 0 hoaëc x + 2 = 0


x = 2 hoaëc x = -2

ª Trong phạm vi hình học : Định lý Pythagore và vài hệ thức lượng trong tam giác vuông
Định lý Pythagore được đưa vào chương trình hình học lớp 8. Vào thời điểm đó, khái niệm số
chỉ mới được mở rộng đến số hữu tỉ. Người ta trình bày định lý dưới dạng tổng quát, nhưng trong ví
dụ và bài tập, các cạnh góc vuông a, b đã được lựa chọn sao cho a2 + b2 là một số chính phương.
Cách lựa chọn này cho phép tính độ dài c của cạnh huyền mà không cần biết định nghóa về căn bậc
hai.
Cùng với định lý Pythagore người ta còn đưa vào vài hệ thức lượng trong tam giác vuông.
1
1
1
Chẳng hạn : Nếu tam giác ABC vuông tại A , thì: 2  2  2 (với b, c là độ dài của các cạnh góc
h

b
c
vuông còn h là độ dài đường cao AH)


Không có sự thay đổi quan điểm lựa chọn các số đo độ dài trong những ví dụ, bài tập vận
dụng các hệ thức này. Vả lại, cũng không có sự lựa chọn nào khác khi chưa có một định nghóa
tường minh về căn bậc hai.
b) Căn bậc hai trong sách Đại số 9
Trong chương 1 của sách giáo khoa Đại số 9 mà chúng tôi xem xét, sau bài học về số thực là
các bài học về căn bậc hai của một số. Có tất cả 7 bài, dạy trong 15 tiết về căn bậc hai.
Phần lý thuyết trong sách giáo khoa được chia theo ba nội dung chính:

– Định nghóa căn bậc hai, ký hiệu và điều kiện để tồn tại căn bậc hai.
– Các cách tính và biến đổi căn bậc hai của một số, của một biểu thức.
– Các phép tính trên các căn bậc hai và trên các căn thức bậc hai.
 Định nghóa căn bậc hai:
Để đưa khái niệm căn bậc hai của một số, đầu tiên sách giáo khoa xét hai bài toán với các
cách giải sau:

– “ Bài toán 1: Tìm cạnh hình vuông có diện tích là 64.
Gọi cạnh hình vuông phải tìm là x (x > 0).
Theo đầu bài có x2 = 64. Suy ra x1 = 8, x2 = –8 vì 82 = (–8)2 = 64.
Vậy cạnh hình vuông là x = 8.

– Bài toán 2 : Cho số thực a. Hãy tìm số thực x sao cho x2 = a. Ta thấy :
 Nếu a < 0 thì không tồn tại số thực nào thỏa mãn x2 = a.
 a = 0 thì rõ ràng chỉ có một số duy nhất là 0 thỏa mãn.
 a > 0 thì như bài toán 1 cho thấy có hai số thực x mà x2 = a, một số thực dương x1 > 0 mà
x12 = a và một số thực âm x2 < 0 mà x22 = a, hơn nữa hai số đó là hai số đối nhau.

Người ta chứng minh được rằng với mọi số thực a  0 luôn luôn tồn tại số thực duy nhất x  0
mà x2 = a. Ta kí hiệu x = a và gọi là căn bậc hai số học (CBHSH) của a”.

Sau đó định nghóa căn bậc hai số học của một số được trình bày như sau:


“Căn bậc hai số học (CBHSH) của một số a  0 là số không âm x = a  0 có bình phương
bằng a.
x  0
x a
x 2  a

 

2

a

”

Để minh họa cho định nghóa này sách giáo khoa đã đưa ra 4 ví dụ về căn bậc hai số học:
CBHSH của 4 là

4 = 2 vì 2 > 0 và 22 = 4

CBHSH của 1,21 là 1,21 = 1,1 vì 1,1 > 0 và 1,12 = 1,21
CBHSH của 225 là

225 = 15 vì 15 > 0 và 152 = 225

CBHSH của 0 là 0
Sách giáo khoa định nghóa căn bậc hai số học của một số a không âm bất kỳ, nhưng, có lẽ vì
cách tìm căn bậc hai của một số chưa được xem xét nên trong 4 ví dụ cho ở phần này thì a đều là
bình phương của một số hữu tỉ, không có trường hợp nào cho thấy không phải bao giờ cũng tính
được giá trị đúng của a .

 Các phương pháp tìm căn bậc hai của một số:
Nghiên cứu sách giáo khoa cho phép chúng tôi phân các phương pháp tìm căn bậc hai của một
số không âm thành hai loại :

 Phương pháp 1: Sử dụng các công thức đại số


A2  A

(1)

 Công thức khai phương một tích
AB  A . B (với A  0, B  0)

(2)

 Công thức khai phương một thương
A

B

A
B

(với A  0, B  0)

(3)


Để minh họa cho công thức (1) sách giáo khoa đã có các ví dụ sau:
Ví dụ 1:

 52

 5  5

Ví dụ 2:





Ví dụ 3:

1  3 

2

2 1

2



2 1  2 1

 1 3  3 1

Như thế, nếu trong căn bậc hai là một biểu thức có dạng bình phương của một số hoặc của
một biểu thức thì sử dụng công thức này để bỏ dấu căn, sau đó xem xét trong trị tuyệt đối là số âm
hay số dương để bỏ dấu giá trị tuyệt đối. Trong các ví dụ này các số dưới dấu căn đều là bình
phương của một biểu thức, hoặc là bình phương của một số nhỏ hơn 20.
Để thuận tiện trong cách viết, chúng tôi sẽ dùng ký hiệu N20 để chỉ các số nhỏ hơn 20. Các số
nằm dưới dấu căn thức được chúng tôi phân thành 3 loại :
- Loại 1 : gồm những số có dạng A2 , A2.B2, A2/B2, với A, B thuộc N20 hay là các biểu thức;
- Loại 2 : gồm những số có thể phân tích thành tích hoặc thương của những số thuộc N20 với các số
chính phương;
- Loại 3 : gồm những số không thuộc hai loại trên.
Theo cách giải của các ví dụ này, nếu các số trong căn là bình phương của một biểu thức A thì
chỉ dừng lại ở chỗ xem A âm hay dương để bỏ giá trị tuyệt đối, kết quả cuối cùng ( 3  1 và 2  1)
có thể còn dấu căn, không cần tính giá trị gần đúng của nó.
Các ví dụ sau được đưa ra để minh họa cho công thức (2) :
Ví dụ 1:

9 . 25 . 0,36  9 . 25 . 0,36 = 3 . 5 . 0,6 = 9

Ví dụ 2:

810 . 40  81. 4 . 100  81 . 4 . 100 = 9 . 2 . 10 = 180

Minh hoạ cho công thức (3) là các ví dụ :
Ví dụ 1:

25

25
5


121
121 11

Ví dụ 2:

9 25
9
25
9
25 3 5 9
:
:
:


 : 
16 36
16
36
16
36 4 6 16