Nghiên cứu didactic về phép chứng minh phản chứng ở trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
−−oOo−−

BÙI THỊ BÍCH NGÂN

NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ
PHÉP CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG
Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
−−oOo−−

BÙI THỊ BÍCH NGÂN

NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ
PHÉP CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG
Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học mơn Tốn
Mã số: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. TRẦN LƯƠNG CƠNG KHANH

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


LỜI CẢM ƠN
Trước hết, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy giáo
TS. TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH. Thầy là người đã bỏ rất nhiều thời gian và
công sức hướng dẫn tơi một cách tận tình, kỹ lưỡng trong suốt quá trình thực hiện luận
văn.
Sự hiện diện các Thầy Cô giáo trong hội đồng bảo vệ luận văn thạc sỹ là niềm
vinh hạnh cho tôi. Tôi xin trân trọng cảm ơn những ý kiến đóng góp của các Thầy Cô
giáo trong hội đồng đối với luận văn của tôi.
Cho phép tôi gởi lời cảm ơn chân thành đến các Thầy, Cô giáo trong ngành Lý
luận và phương pháp dạy học Tốn cũng như các Thầy, Cơ giáo ở khoa Tốn Tin và
các bộ mơn khác đã tận tâm giảng dạy chúng tôi trong suốt ba năm qua.
Tôi xin cảm ơn Phòng Sau Đại Học và các phòng ban của trường Đại Học Sư
Phạm TP. Hồ Chí Minh đã giúp tơi hồn tất chương trình và thủ tục bảo vệ luận văn.
Tôi cũng xin cảm ơn tất cả các bạn lớp Lý luận và Phương pháp dạy học tốn
khóa 19 đã giúp đỡ tôi, cùng tôi chia sẻ những niềm vui cũng như những khó khăn
trong suốt ba năm học vừa qua.
Tôi xin chân thành cảm ơn tập thể giáo viên trường THPT Trà Ôn tỉnh Vĩnh
Long đã hỗ trợ tôi trong công tác giảng dạy suốt thời gian tơi đi học.
Cuối cùng, tơi muốn nói lời cảm ơn đến bạn bè và gia đình tơi, những người ln
ủng hộ, động viên và luôn tạo những điều kiện để tơi có thể hồn thành luận văn này
một cách tốt nhất.
Người thực hiện đề tài
Bùi Thị Bích Ngân

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

SBT : Sách bài tập
SGK : Sách giáo khoa
SGV : Sách giáo viên
NXB : Nhà xuất bản
THCS : Trung học cơ sở
THPT : Trung học phổ thông
CMPC: Chứng minh phản chứng


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .......................................................................................................................... 1
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát ......................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................................ 2
3. Phạm vi lý thuyết tham chiếu và phương pháp nghiên cứu ..................................... 2
4. Tổ chức của luận văn ................................................................................................ 4
CHƯƠNG I. CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA PHÉP CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG ........ 5
I.1. Phép chứng minh phản chứng ................................................................................ 5
I.1.1. Cơ sở lý thuyết ................................................................................................ 6
I.1.2. Cơ chế của phép chứng minh phản chứng ...................................................... 6
I.1.3. Các bước suy luận phản chứng........................................................................ 6
I.2. Chứng minh phản chứng và chứng minh mệnh đề phản đảo ................................. 8
I.3. Quan niệm của các nhà Toán học về phép chứng minh phản chứng ................... 10
I.3.1. “Phê phán” chứng minh phản chứng ............................................................. 10
I.3.2. Ưu điểm của chứng minh phản chứng .......................................................... 13
I.3.2.1. Sự rõ ràng của phép chứng minh phản chứng ........................................ 13
I.3.2.2. Tính tự nhiên của phép chứng minh phản chứng ................................... 14
I.3.2.3. Chứng minh phản chứng: phương pháp khám phá................................. 15
I.3.2.4. Phản chứng và phương pháp tách đôi ..................................................... 16

I.4. Kết luận ................................................................................................................ 17
CHƯƠNG II. MỘT NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ VỚI PHÉP CHỨNG MINH PHẢN
CHỨNG ......................................................................................................................... 18
II.1. Tóm lược chương trình và sách giáo khoa THCS .............................................. 18
II. 2. Phân tích chương trình và SGK THPT .............................................................. 20
II.2.1. Phân tích SGK Đại số 10 nâng cao .............................................................. 21
II.2.2. Phân tích SGK Hình học 11 nâng cao ......................................................... 23
II.2.3. Phân tích SGK Hình học 12 nâng cao ......................................................... 25


II.3. Kết luận chương 2 ............................................................................................... 27
CHƯƠNG III. NGHIÊN CỨU QUAN HỆ CÁ NHÂN VỚI PHÉP CMPC ................. 28
III.1. Thực nghiệm đối với giáo viên......................................................................... 28
III.1.2. Phân tích a priori ......................................................................................... 28
III.1.3. Phân tích a posteriori .................................................................................. 32
III.1.4. Kết luận ....................................................................................................... 35
III.2. Thực nghiệm đối với học sinh .......................................................................... 35
III.2.1. Phân tích a priori ......................................................................................... 35
III.2.2. Phân tích a posteriori .................................................................................. 36
III.2.3. Kết luận về thực nghiệm ............................................................................. 39
KẾT LUẬN .................................................................................................................... 40
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................................. 41
PHỤ LỤC ....................................................................................................................... 43


1

MỞ ĐẦU
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
“Ví dụ 1. Chứng minh rằng nếu A ⊂ B thì A \ B = ∅.

Giải. Giả sử A \ B ≠ ∅. Khi đó, tồn tại x ∈ A \ B, nghĩa là x ∈ A và x ∉ B.
Ta suy ra A ⊄ B (trái với giả thiết). Vậy A \ B = ∅.”
Ví dụ 2. Cho a, b, c là ba số thực thoả a 2009 ( a + b + c ) < 0 . Chứng minh rằng

b 2 − 4ac > 0 .
Giải.

Từ

a 2009 ( a + b + c ) < 0

ta

suy

ra

a ≠ 0 (vì

nếu

a = 0 thì

a 2009 ( a + b + c ) =
0 trái với giả thiết). Chia hai vế của (1) cho a 2008 > 0 , ta được

a ( a + b + c ) < 0 . Đặt f ( x ) = ax 2 + bx + c thì f(x) là một tam thức bậc hai có
af (1=
) a ( a + b + c ) < 0 nên tam thức có hai nghiệm phân biệt, nghĩa là

=
Δ b 2 – 4ac > 0 .”
Để giải quyết hai bài toán trên ta đã sử dụng phép chứng minh phản chứng nhưng
ở hai mức độ khác nhau. Trong ví dụ 1, phép chứng minh phản chứng là phương pháp
tổng qt để giải quyết bài tốn, cịn trong ví dụ hai phép chứng minh phản chứng chỉ
hỗ trợ như một kỹ thuật trong lòng một phương pháp khác.
Trong chương trình tốn phổ thơng, có thể tìm thấy sự xuất hiện rất sớm của
chứng minh phản chứng trong hình học lớp 7 với định lý: “Hai đường thẳng (phân biệt)
cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.” và giải một số bài tập
về hai đường thẳng song song. Trong sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao, phép chứng
minh phản chứng được giới thiệu một cách tường minh hơn để giải quyết các bài toán
về suy luận logic.
Từ những ghi nhận trên. Chúng tôi đặt ra những câu hỏi xuất phát sau:


2
- Cách tiếp cận phép chứng minh phản chứng (CMPC) ở bậc trung học phổ thơng
(THPT) có gì khác so với bậc trung học cơ sở (THCS)?
- Cơ sở toán học của phép chứng minh phản chứng là gì?
- Phép chứng minh phản chứng được đưa vào chương trình và sách giáo khoa (SGK)
như thế nào, xuất hiện trong những kiểu bài tập nào?
- Giáo viên và học sinh đã vận dụng phương pháp chứng minh này như thế nào trong
thực hành giải tốn?
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của chúng tơi là đi tìm câu trả lời cho những câu hỏi nêu trên, cụ
thể là những mục đích sau:
- Làm rõ các cơ sở Tốn học của phép chứng minh phản chứng.
- Thực hiện một điều tra đối với một số giáo viên đã và đang trực tiếp dạy học
những nội dung có liên quan đến phép chứng minh phản chứng để làm rõ thực tế cách
tiếp cận cũng như vận dụng phương pháp chứng minh này.

- Tiến hành một thực nghiệm đối với học sinh để tìm hiểu nhận thức của học sinh
khi tiếp cận phương pháp chứng minh phản chứng và việc vận dụng chúng như thế
nào?
3. Phạm vi lý thuyết tham chiếu và phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lịch sử hình thành phép chứng minh phản chứng cho phép làm rõ đối
tượng xuất hiện trong tình huống nào, có những đặc trưng gì, và có mối quan hệ với
các đối tượng khác ra sao,… Ngồi ra, chúng tơi sẽ sử dụng các khái niệm của Lý
thuyết nhân chủng học (như: tổ chức toán học, quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân đối
với một tri thức để phân tích mối quan hệ thể chế với đối tượng phép chứng minh phản
chứng) và khái niệm hợp đồng didactic để phục vụ cho nghiên cứu của mình.
Trong phạm vi lý thuyết này và từ các câu hỏi khởi đầu nêu trên, chúng tơi trình
bày lại hệ thống câu hỏi nghiên cứu của luận văn như sau:


3
Q 1 : Cơ sở Toán học của phép chứng minh phản chứng là gì? Sự tiến triển của nó
trong lịch sử hình thành và những đặc trưng của nó?
Q 2 : Mối quan hệ thể chế với đối tượng phép chứng minh phản chứng đã được hình
thành và tiến triển như thế nào trong hai cấp học: trung học cơ sở đến trung học phổ
thơng? Có những ràng buộc nào của thể chế trên đối tượng này?
Q 3 : Mối quan hệ thể chế nêu trên ảnh hưởng thế nào đến quá trình dạy học của giáo
viên?
Q 4 : Sự ảnh hưởng của quan hệ cá nhân lên việc huy động phép chứng minh phản
chứng?
Để đạt được mục đích đề ra cũng có nghĩa là trả lời được các câu hỏi nêu trên,
chúng tôi xác định phương pháp nghiên cứu như sau:
- Phân tích, tổng hợp một số cơng trình đã có về nghiên cứu khoa học luận về
phép chứng minh phản chứng để làm rõ các đặc trưng khoa học luận của các đối tượng
này cũng như sự tiến triển của nó qua các giai đoạn khác nhau của lịch sử.
- Phân tích chương trình và sách giáo khoa toán của Việt Nam để làm rõ mối quan

hệ của thể chế dạy học Việt Nam đối với đối tượng này trong hai cấp học: trung học cơ
sở và trung học phổ thông.
- Xây dựng một hệ thống câu hỏi về phép chứng minh phản chứng để tiến hành
thu thập ý kiến của một số giáo viên đã và đang dạy đối tượng này, nhằm tìm hiểu
những thuận lợi và khó khăn của họ khi giảng dạy đối tượng đó, cũng như một số đánh
giá của giáo viên về cách tiếp cận phép chứng minh phản chứng của chương trình trung
học cơ sở và chương trình trung học phổ thông hiện hành (cụ thể như về việc xây dựng
phương pháp, xây dựng hệ thống bài tập,…). Sau đó phân tích các dữ kiện thu được và
đưa ra một số kết luận.
- Xây dựng và tiến hành một thực nghiệm đối với học sinh để làm rõ cách tiếp cận và
việc vận dụng đối tượng này.


4

4. Tổ chức của luận văn
Luận văn gồm có phần mở đầu, phần kết luận và 3 chương sau:
Chương I: Nghiên cứu cơ sở toán học của phép chứng minh phản chứng. Từ đó
nêu lên sự khác biệt giữa CMPC và chứng minh mệnh đề phản đảo. Đồng thời chúng
tôi cũng tìm hiểu các quan niệm khác nhau của các nhà Toán học về phép CMPC.
Chương II: Một nghiên cứu thể chế với phép chứng minh phản chứng nhằm thấy
được phép CMPC đã được hình thành và tiến triển ra sao qua hai bậc học: THCS và
THPT.
Chương III. Nghiên cứu quan hệ cá nhân với phép CMPC nhằm kiểm chứng
những giả thuyết mà chúng tôi đã đưa ra. Thực nghiệm được thực hiện trên hai đối
tượng: giáo viên và học sinh.
Trong phần kết luận chung, chúng tơi tóm tắt các kết quả đạt được ở chương I, II,
III và nêu một số hướng nghiên cứu mở ra từ luận văn.
Tài liệu tham khảo
Phụ lục

5

CHƯƠNG I. CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA
PHÉP CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG
Chương này trình bày tóm tắt cơ sở tốn học của phép chứng minh phản chứng. Nói
theo ngơn ngữ của praxéologie, nội dung chính của chương này là những yếu tố công
nghệ - lý thuyết của phép chứng minh phản chứng. Để thực hiện chương này, chúng tôi
tham khảo (các) tài liệu:
[1]. Cambrésy-Tant, Cambrésy và Carpentier, Autour du raisonnement par l'absurde.
[2]. Nguyễn Văn Mậu (2007), Toán rời rạc và một số vấn đề liên quan.
[3]. Hoàng Chúng (1974), Những yếu tố logic trong mơn Tốn ở trường phổ thơng
cấp II, NXB Giáo dục.
[4]. Nguyễn Hữu Điển (2001), Những phương pháp điển hình trong giải tốn phổ
thơng, NXB Giáo dục.
[5]. Polya G. (1997), Tốn học và những suy luận có lý, NXB Giáo dục.
[6]. Hồng Xn Sính (chủ biên, 1999), Tập hợp và lôgic, NXB Giáo dục.
I.1. Phép chứng minh phản chứng
Các nhà Toán học Hy Lạp đầu tiên đã sử dụng trong các chứng minh của họ
những qui luật và qui tắc hợp lí mà khơng cần giải thích. Ví dụ điển hình là chứng
minh của Euclid về định lí: “Tồn tại vô số số nguyên tố.”
Giả sử tập hợp số nguyên tố là hữu hạn, chỉ có các số p1 , p2 ,..., pn .
Đặt m p1 . p2 .... pn + 1 . Khi đó m là một số ngun và m > 1 nên m có ít nhất một
=
ước số nguyên tố p. Ta thấy (m, pi ) = 1 với mọi i = 1, 2,..., n . Do đó p ≠ pi với
mọi i. Điều này trái với giả thiết đã lập. Vậy tập hợp các số nguyên tố là vô hạn.
Tại thời điểm của Zeno Elea, phép chứng minh này đã được giới thiệu và trong
một số trường hợp nó đã được sử dụng thành thạo. Sau đó Aristotle có lẽ là người đầu
tiên nghiên cứu qui tắc logic của chứng minh. Ông thật sự là người đầu tiên làm nổi

bậc hình dạng của chứng minh, từ đó logic hình thức ra đời. Nhưng Aristole chủ yếu


6
chỉ giới hạn ở tam đoạn luận. Sau đó các nhà Stoics đã đi xa hơn nội dung để khởi đầu
cho logic mệnh đề. Và bảng chân trị đầu tiên xuất hiện, các chữ cái được dùng làm kí
hiệu để thay thế cho nội dung của mệnh đề, điều này cho phép chúng ta chỉ cần làm
việc trên các chữ cái khi ta đã nắm được chân trị của các mệnh đề đó.
Như vậy, lĩnh vực logic đã phát triển mạnh mẽ trong giai đoạn đầu này. Trong
những thế kỉ sau, chủ yếu là sự phát triển của logic cổ điển, đặc biệt là trong thế kỉ 19.
I.1.1. Cơ sở lý thuyết
Cơ sở lý thuyết của phép chứng minh này là hai định luật cơ bản của lơgic hình
thức và một số đẳng thức lôgic dưới đây:
Định luật bài trung: một mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai.
Định luật phi mâu thuẫn: một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.
Các đẳng thức lôgic cơ bản:

P ⇒Q =Q ⇒ P
P∧Q ⇒ R = P∧ R ⇒ Q
(P ⇒ (Q ∧ Q )) ⇒ P = 1
( ( P ⇒ 0) ⇒ P) = 1
I.1.2. Cơ chế của phép chứng minh phản chứng
Để chứng minh mệnh đề P ⇒ Q là đúng, ta giả sử rằng P đúng và phủ định của
Q. Từ đó lập luận đưa ra mệnh đề R và phủ định của R (R ở đây cũng có thể là P hoặc
cũng có thể là Q). Điều này trái với luật bài trung và luật loại trừ. Như vậy điều giả sử
của ta là sai hay mệnh đề P ⇒ Q là đúng.
I.1.3. Các bước suy luận phản chứng
Ta cần chứng minh mệnh đề P ⇒ Q
Bước 1. Giả sử Q là sai (hay Q là đúng).
Bước 2. Từ điều giả sử ta suy ra một số tính chất hoặc quan hệ mới, mà những tính

chất mới này dẫn đến điều vơ lí, chứng tỏ điều ta giả sử là sai hay Q đúng.


7
Điều vơ lí ở đây có thể thuộc một trong các dạng sau:
- Điều trái với giả thuyết.
- Điều trái với một kiến thức đã biết.
- Điều trái với giả sử phản chứng.
Khi xác định phủ định của mệnh đề cần chứng minh Q , ta cần lưu ý:
i) Luật phủ định của phủ định P = P
ii) Qui tắc De Morgan P ∧ Q = P ∨ Q , P ∨ Q = P ∧ Q
iii) Luật giao hoán P ∧ Q = Q ∧ P , P ∨ Q = Q ∨ P
iv) Luật kết hợp P ∧ (Q ∧ R) = ( P ∧ Q) ∧ R , P ∨ (Q ∨ R) = ( P ∨ Q) ∨ R
v) Luật phân bố P ∧ (Q ∨ R) = ( P ∧ Q) ∨ ( P ∧ R) , P ∨ (Q ∧ R) = ( P ∨ Q) ∧ ( P ∨ R)
vi) Luật lũy đẳng P ∧ P =
P, P∨P =
P
vii) Luật về phần tử bù P ∧ P =
0, P∨ P =
1
viii) Luật trung hòa P ∧ 1 =
P
P, P ∨0 =
ix) Luật thống trị P ∧ 0 =
0, P∨1=
1
x) Luật hấp thụ P ∧ ( P ∨ Q) =
P
P , P ∨ (P ∧ Q) =
xi) Luật chứng minh phản chứng thứ nhất P ⇒ Q = Q ⇒ P

xii) Luật phản chứng thứ hai P ⇒ Q = P ∧ Q .
Định lý: Nếu P(x) là hàm mệnh đề xác định trên tập A thì ta có:

i) ∀x ∈ A, P( x ) =∃x ∈ A, P( x )
ii) ∃x ∈ A, P( x ) =∀x ∈ A, P( x )
Ví dụ
Chứng minh rằng: “Nếu hai đường thẳng cùng vng góc với đường thẳng thứ ba
thì song song nhau”.
Mệnh đề phải chứng ming có dạng P ∧ Q ⇒ R : (a ⊥ c) ∧ (b ⊥ c) ⇒ (a // b) .


8

Để chứng minh gián tiếp ta phủ định mệnh đề P ∧ Q ⇒ R có dạng P ∧ Q ∧ R :

(a ⊥ c) ∧ (b ⊥ c) ∧ (a khơng song song b) .
Ta có



b⊥c
 ⇒ qua I có hai đường thẳng a, b cùng vng góc với c (vơ lí).
a ∩b =
I 
a⊥c

Vậy

mệnh

đề

(a ⊥ c) ∧ (b ⊥ c) ∧ (a không song song b)

là

sai

nên

(a ⊥ c) ∧ (b ⊥ c) ⇒ (a // b) là đúng (đpcm).
I.2. Chứng minh phản chứng và chứng minh mệnh đề phản đảo
Chứng minh bằng phản chứng hay chứng minh mệnh đề phản đảo đều là phương
pháp chứng minh gián tiếp mệnh đề cần chứng minh. Giữa hai phương pháp này có gì
giống và khác nhau?
Theo Hồng Chúng viết trong “Những yếu tố logic trong mơn Tốn ở trường Phổ
Thơng cấp II” thì ơng xem chứng minh mệnh đề phản đảo cũng là phép chứng minh
phản chứng:
Nhiều khi, để chứng minh mệnh đề P ⇒ Q bằng phản chứng, ta phủ định kết luận
( Q ) và từ đó rút ra kết luận logic là phủ định của giả thiết ( P ). Trong trường
hợp này là chứng minh mệnh đề phản đảo của mệnh đề đã cho.
Bên cạnh đó, một số nhà nghiên cứu phân biệt phép chứng minh phản chứng với
chứng minh mệnh đề phản đảo. Để minh họa, chúng tơi giới thiệu ví dụ của CambrésyTant, Cambrésy và Carpentier về chứng minh mệnh đề 6 trong tập Cơ bản của Euclide
và định lí hình học khơng gian.
Ví dụ 1. Cho DABC có Bˆ = Cˆ . Chứng minh rằng AB = AC .
Chứng minh phản chứng (của Euclide):
Giả sử AB ≠ AC . Khơng mất tính tổng qt, có thể giả sử AB > AC .
Trên cạnh AB, tồn tại một điểm D (không trùng với A) sao cho DB = AC .

9

Xét DABC và DDCB, ta có: AC = DB
∧

∧

ACB = D BC (gt)
BC chung
Suy ra DABC =
DDCB (c.g.c).
Điều này vô lý vì D là một điểm thuộc cạnh AB và không trùng với A.
Vậy AB = AC .
Chứng minh mệnh đề phản đảo:
Nếu AB ≠ AC , ta có thể giả sử AB > AC .
Trên cạnh AB, tồn tại một điểm D (không trùng với A) sao cho DB = AC .
Hai tam giác ABC và DCB không bằng nhau vì chúng khơng thể chồng khít lên
nhau.
∧

∧

Suy ra A C B ≠ D B C , nghĩa là Cˆ ≠ Bˆ .
Ta gọi mệnh đề P: “ Tam giác ABC có Bˆ = Cˆ ”. Mệnh đề Q: “AB = AC”
Mệnh đề cần chứng minh: P ⇒ Q
Thoạt nhìn hai chứng minh trên dường như là giống nhau, giống từ điểm xuất
phát, con đường đi,… Tuy nhiên, bản chất của nó là khác nhau. Để chứng minh mệnh
đề P ⇒ Q Euclide đã chứng minh theo cấu trúc logic P ∧ Q ⇒ R ∧ R , trong đó R: hai
tam giác bằng nhau. Còn cấu trúc logic của chứng minh mệnh đề phản đảo là đi chứng
minh mệnh đề Q ⇒ P .

Ví dụ 2. Nếu một đường thẳng song song với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng
thì nó song song với mặt phẳng đó.
Chứng minh bằng phản chứng
Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng δ ⊂ ( P ) , một đường thẳng d ⊄ ( P ) và d � d .
Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và δ .
Giả sử d ∩ ( P ) =
O . Khi đó O ∈ ( P ) ∩ (Q)


10
Mà =
δ (P ) ∩ (Q) nên O ∈ δ .
Suy ra O= d ∩ d (mâu thuẫn với giả thiết).
Vậy d � ( P ) .
Chứng minh bằng mệnh đề phản đảo
Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d cắt (P) tại điểm O.
Đường thẳng δ ⊂ ( P ) ( δ bất kì).
Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và δ .
Khi đó =
δ (P ) ∩ (Q) mà O ∈ (P ) ∩ (Q) (do O ∈ d ) nên O ∈ δ
Suy ra O= d ∩ d hay d và δ khơng song song.
Ở ví dụ này phép chứng minh phản chứng theo cấu trúc P ∧ Q ⇒ P .
Trong hai ví dụ đã nêu ở trên, chứng minh phản chứng đơn giản hơn nhiều so
với chứng minh mệnh đề phản đảo bởi vì chứng minh mệnh đề phản đảo phức tạp hơn,
đòi hỏi kiến thức toán học tinh vi hơn.
I.3. Quan niệm của các nhà Toán học về phép chứng minh phản chứng
I.3.1. “Phê phán” chứng minh phản chứng
Arnauld viết trong quyển Các yếu tố mới của hình học của ơng rằng: Một
chứng minh khơng chỉ địi hỏi phải có sự gắn kết chặt chẽ của các lập luận để thuyết
phục được tính chất đó là đúng mà cịn phải giải thích ngun nhân vì sao nó đúng.

Theo quan niệm này thì ơng khơng chấp nhận lập luận của phép chứng minh phản
chứng.
Vào cuối thế kỉ 19, đầu thế kỉ 20 đã xảy ra cuộc tranh cãi ngay sau khi phát hiện
ra mâu thuẫn trong lý thuyết tập hợp. Các nghịch lí nảy sinh từ lý thuyết Cantor mà
tiểu biểu là nghịch lí của Russell. Russell đã xét tập hợp S = { X | X không phải là
phần tử của X}. Vấn đề ông đặt ra là S có phải là phần tử của chính nó khơng ? Có hai
khả năng xảy ra:


11
i) Nếu S là phần tử của chính nó, theo cách cho tập hợp S thì S khơng phải là
phần tử của S.
ii) Nếu S không là phần tử của chính nó thì nó là tập hợp thỏa mãn cách cho tập
hợp S nên S là phần tử của chính nó.
Rõ ràng đây là một nghịch lí. Trước đó cũng đã có các nghịch lí tương tự nhưng
khơng được phát biểu bằng ngơn ngữ hình thức của tốn học nên chúng bị bỏ qua. Ví
dụ như nghịch lí chàng nói dối: “Cái tơi đang nói là sai”, hay nghịch lí chàng cắt tóc:
“Trong một làng nọ, có một chàng cắt tóc cắt tóc cho tất cả những ai trong làng khơng
tự cắt tóc lấy”.
Các kiểu nghịch lí như trên đã khuấy động một cuộc tranh cãi về nền tảng của
Toán học. Nếu có một nghịch lí khơng giải quyết được trong bất kì ngành học nào thì
nền tảng logic của ngành đó sẽ sụp đỗ hồn tồn. Các nhà Tốn học hoặc là ủng hộ
Cantor, hoặc là chống đối hoàn tồn lý thuyết tập hợp này. David Hilbert nói: “khơng
ai có thể đuổi chúng ta ra khỏi thiên đàng mà Cantor đã tạo cho chúng ta”. Henri
Poincaré bảo: “các thế hệ sau sẽ xem lý thuyết tập hợp như một thứ bệnh”.
Các nhà Tốn học và logic học thời đó đã đưa ra một vài phương pháp để giải
quyết các nghịch lí này:
i) Trường phái logic đề nghị dùng logic hình thức để làm tốn, với hy vọng là
logic hình thức sẽ xóa bỏ được sự mù mờ của ngơn ngữ phổ thơng.
Lí thuyết của chủ nghĩa logic nằm ở chỗ tìm ra cách trình bày lại lí thuyết của

tập hợp mà việc trình bày này tránh được nghịch lí của Russell và có thể cho phép đặt
lại nền tảng của Toán học dựa trên logic. Các nhà toán học theo trường phái này:
Frege, Russell, Whitehead,...
Quan điểm của Russell là, logic và tốn học về cơ bản có cùng bản chất, sự
nghịch lí mà chúng ta vừa phát hiện ra cùng với các nghịch lí cổ điển khác có thể được
xem là động lực phát triển của logic. Russell nhận xét rằng nguồn gốc của những
nghịch lí này là một vịng lẩn quẩn, cái người ta nói lại trở thành chính nó, và do đó


12
khơng có gì đúng cũng khơng có gì sai mà nó là vơ nghĩa. Nếu muốn tránh vịng lẩn
quẩn đó thì mỗi lần ta nói đến tổng thể để định nghĩa sự vật gì đó thì nó cần phải khơng
thuộc vào tổng thể đó. Vì thế lí thuyết về các kiểu phân nhánh được tạo ra. Trong lí
thuyết này, một lớp nào đó chứa bản thân nó thì trở thành vơ lí, bởi vì một lớp nhất
thiết phải bao hàm những phần tử bên trong nó. Thành tựu lớn nhất của lí thuyết này là
cứu vãn được những mâu thuẫn một cách rất hiệu quả. Nhưng việc phân cấp bậc lại
làm nảy sinh vấn đề là đã bỏ đi tính toán học một cách đáng kể, do một số chứng minh
tốn học khơng tn thủ tính phân cấp. Như vậy, việc thực thi lí thuyết này giữ một vai
trị chủ yếu trong việc phát triển logic. Nhưng nó lại thất bại so với mục tiêu ban đầu: lí
thuyết tập hợp trở thành một cơng trình phức tạp, khó xác định.
ii) Trường phái trực quan được khởi xướng khoảng năm 1908 bởi nhà toán học
Hà Lan Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966) cũng không chấp nhận lý luận của
phương pháp chứng minh phản chứng. Một trong những luận điểm cơ bản nhất của
trường phái trực quan về toán học là: ta phải làm tốn mang tính xây dựng. Các khái
niệm như các số tự nhiên 1, 2, 3 có thể "xây dựng" được từ trực quan con người. Khi
định nghĩa một khái niệm mới, nó phải được xây dựng được bằng một số hữu hạn các
bước. Đó cũng chính là lí do phương pháp chứng minh phản chứng không được chấp
nhận trong trường phái này. Nhưng có một điều thú vị là một định lý cực kỳ nổi tiếng
của Brouwer trong hình học tô-pô (định lý điểm bất động) lại được chứng minh bằng
phản chứng.

iii) Trường phái hình thức do Hilbert khởi xướng. Trước hết, Hilbert đã đặt ra
một cách chính xác những qui tắc cú pháp và các qui tắc suy diễn bằng cách: sao cho
mọi chứng minh đúng của mỗi định lí cổ điển có thể được trình bày bằng chứng minh
hình thức xuất phát từ tiên đề. Về căn bản, Hilbert tin rằng các nhánh của tốn học có
thể được mô tả bằng một hệ thống tiên đề và một ngơn ngữ hình thức bậc nhất với cú
pháp cụ thể. Ngơn ngữ này có thể được nghiên cứu như một đối tượng tốn học, và nhờ
đó ta có thể trả lời chắc chắn các câu hỏi kiểu như: "có thể nào nhánh tốn học này có


13
nghịch lý khơng?" (Dĩ nhiên nghịch lý đó phải được phát biểu bằng ngơn ngữ hình
thức ấy.) Hilbert đề nghị là hình thức hóa tất cả các nhánh của tốn học, sau đó chứng
minh rằng tất cả các nhánh này đều khơng có nghịch lý.
Vào cuối thế kỉ 20, người ta nhận ra rằng chủ nghĩa hình thức đã chiến thắng
trong toán học. Những nhà Toán học theo trường phái Hilbert khơng những thành cơng
trên lĩnh vực Tốn học mà cịn trên các lĩnh vực khác. Chủ nghĩa hình thức đã thật sự
tạo ra tư duy khoa học. Chúng ta có thể xem xét ví dụ về logic:
Logic đã trở thành một hệ thống được hình thức hóa và cấu trúc hoàn chỉnh:
bằng những bước liên tục theo một phương thức giống nhau, người ta đã vượt qua
được logic của mệnh đề (logic đơn giản nhất và cơ bản nhất) để đến những logic ngày
càng phức tạp, mà những logic phức tạp này bắt nguồn từ những logic hàm số cho đến
logic thông dụng và như thế tất cả diễn tả cấu trúc của tư duy logic cổ điển (logic cổ
điển được xây dựng giống như logic truyền thống dựa trên hai giá trị đúng và sai).
I.3.2. Ưu điểm của chứng minh phản chứng
Bên cạnh những quan niệm “phê phán”, một số nhà toán học khác đánh giá cao
phép phản chứng.
I.3.2.1. Sự rõ ràng của phép chứng minh phản chứng
Ví dụ 3. Cho ∆ABC và hai điểm D, E lần lượt thuộc cạnh AB và AC. Nếu

AD AE

thì các đường thẳng DE và BC song song nhau.
=
AB AC
Chứng minh phản chứng. Giả sử DE và BC khơng song song.
Khi đó qua D ta kẻ đường thẳng song song BC cắt AC tại F ( F ≠ E ) .
Áp dụng định lí Thalet trong ∆ABC , ta có đẳng thức:

AD AF
=
AB AC


14

Mà ta có

AD AE
AF AE
=
=
nên
AB AC
AB AC

Từ đó suy ra AF = AE hay F ≡ E (điều này mâu thuẫn với cách xác định điểm
F)
Vậy các đường thẳng DE và BC song song nhau.
Chứng minh trực tiếp. Lấy điểm F thuộc cạnh AC sao cho DF song song BC.
Theo định lí Thalet, ta có:

Mà ta có

AD AF
=
AB AC

AD AE
AF AE
nên
=
=
AB AC
AB AC

Từ đó suy ra AF = AE hay F ≡ E
Do đó DE và BC song song.
Ta thấy, chúng ta có thể dễ dàng chuyển đổi từ chứng minh phản chứng sang
chứng minh trực tiếp. Tuy nhiên chứng minh trực tiếp sử dụng lý luận dường như là từ
chứng minh phản chứng. Cách chứng minh trực tiếp cũng giải quyết thành cơng bài
tốn nhưng cách lập luận “Lấy điểm F thuộc cạnh AC sao cho DF song song BC” làm
cho người đọc băn khoăn “tại sao lại bắt đầu như vậy?” . Trong khi đó phép chứng
minh phản chứng giải thích rõ ràng giúp người đọc dễ hiểu hơn.
I.3.2.2. Tính tự nhiên của phép chứng minh phản chứng
Theo nghiên cứu của Cambrésy-Tant, Cambrésy và Carpentier đối với học sinh
lớp 10 ở Pháp. Khi đưa ra hai bài toán:


15
Bài tốn 1. “Một người bạn của tơi tên là Pierre nói với tơi rằng: Tơi có thể sẽ đến nhà
bạn vào chiều thứ 2. Nếu bạn khơng có ở nhà, tôi sẽ để lại trong hộp thư của bạn một là

thư. Nhưng tơi lại khơng có ở nhà vào chiều thứ 2 và cũng khơng có lá thư nào trong
hộp thư khi tơi về. Pierre có đến tìm tơi khơng?”
Bài tốn 2. “Chứng minh với mọi số thực x ≠ −2 , ta có

x +1
≠ 1.
x+2

Hai bài tốn trên được đưa ra cho hai nhóm học sinh. Đối với bài tốn 1, dường
như ngay lập tức học sinh nhóm 2 có ngay câu trả lời: “Pierre đã khơng đến”. Học sinh
nhóm 1 thì có vẻ gặp chút khó khăn trong việc đưa ra lập luận để giải thích cho vấn đề
mà họ nghĩ là hiển nhiên. Đối với bài tốn 2 thì học sinh nhóm 2 gặp chút khó khăn
cịn nhóm 1 thì đưa ra lời giải một cách nhanh chóng.
Ta thấy ở bài tốn 1, học sinh đã dễ dàng đưa ra câu trả lời bằng cách sử dụng
phép CMPC, kết quả cũng tương tự khi đưa bài toán này cho mọi người. Rõ ráng phép
CMPC là rất tự nhiên ngay cả đối với những người khơng có bất kì kiến thức cụ thể
nào của logic.
Kết quả của nghiên cứu cho thấy, đối với một vấn đề trong cuộc sống hằng ngày
thì CMPC khơng có khó khăn nhưng đối với một bài tốn thuần tốn học thì chỉ có
những học sinh giỏi mới có thể giải quyết được bài toán.
I.3.2.3. Chứng minh phản chứng: phương pháp khám phá
Phép CMPC được xem như một phương pháp tự nhiên trong nghiên cứu. Người
ta sử dụng phép CMPC để định hướng, hạn chế những trường hợp nghiên cứu. Chẳng
hạn, xét bài toán: “Cho các số tự nhiên từ 0 đến 9. Ta tạo ra các số từ 10 số trên bằng
cách sử dụng mỗi số một lần, ví dụ: 19; 28; 4; 30; 756. Hãy tạo ra các số như trên sao
cho tổng của chúng bằng 100.”
Điều đầu tiên ta nhận thấy để có tổng là 100 thì các số ta cần chỉ có 1 hoặc 2
chữ số. Vì vậy những số từ 0 đến 9 chỉ có thể là hàng chục hoặc hàng đơn vị. Mà

16
0 + 1 + 2 + .... + 9 =
45 . Lúc đó ta có 10 x + (45 − x ) =
100 , với x là số hàng chục. Rõ

ràng phương trình này khơng có nghiệm ngun nên chúng ta khơng thể tìm được
những số có tổng là 100 như đề bài u cầu.
Hoặc khi xét bài tốn: “Tìm m để phương trình mx 2 + (2 m − 1) x − (m + 1) =
0 có
hai nghiệm phân biệt.” Rõ ràng để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì ta loại
ngay trường hợp m = 0 .
Ở đây phép CMPC đã giúp chúng ta loại bỏ những trường hợp khơng thỏa u
cầu bài tốn nhằm hạn chế phạm vi, giúp ta giải quyết bài toán ngắn gọn hơn, ít tốn
cơng sức hơn.
I.3.2.4. Phản chứng và phương pháp tách đôi
Phương pháp cổ điển của việc nghiên cứu và chứng minh là phương pháp tách
đơi, khơng khác gì phương pháp chứng minh phản chứng. Phương pháp này xuất hiện
thường xuyên nhất là đối với những vấn đề liên quan đến tính chặt chẽ. Vì thế để
chứng minh định lí Bolzano – Weierstrass: “Bất kì tập con vơ hạn của tập compact

 a; b  chứa ít nhất một điểm tụ trong  a; b  .”, người ta chia tập  a; b  thành hai đoạn,
một trong hai đoạn đó sẽ có chứa một tập con vơ hạn (nếu khơng thì  a; b  là tập hữu
hạn). Tiếp tục lặp lại q trình đó ta xây dựng được chuỗi giảm dần các đoạn (theo
quan hệ bao hàm) mà nó ln chứa các tập con vơ hạn.
Một ví dụ khác, để chứng minh sự phân kì của một chuỗi, ta thường sử dụng
phép CMPC. Bởi vì có rất ít định lí về chuỗi phân kì nên những phương pháp chứng
minh trực tiếp là rất hiếm. Chính vì thế, người ta giả sử chuỗi hội tụ để có thể sử dụng
các định lí về chuỗi hội tụ, để đưa đến mâu thuẫn.
Ngồi phương pháp tách đơi có liên quan đến CMPC, cịn có phương pháp vắt
kiệt, phương pháp loại suy, phương pháp về dựng hình,...

17

I.4. Kết luận
Phép chứng minh phản chứng đã xuất hiện từ rất lâu, nó như là một phương
pháp nghiên cứu, tìm tịi hướng để giải quyết bài tốn. Qua các ví dụ đã cho ta thấy sử
dụng phép chứng minh phản chứng đã rút ngắn, làm đơn giản hóa và rõ ràng hơn trong
các chứng minh. Tuy vậy phương pháp này có thật sự được sử dụng nhiều trong việc
giải quyết các bài tốn như những ưu điểm mà nó có? Để tìm hiểu điều này, chúng tơi
tiến hành nghiên cứu mối quan hệ thể chế của phép chứng minh phản chứng trong
chương trình phổ thơng hiện nay.


18

CHƯƠNG II. MỘT NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ
VỚI PHÉP CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG
Như chúng tôi đã nêu trong chương I, phép chứng minh phản chứng là một
phương pháp chứng minh đã xuất hiện từ rất sớm. Tuy có nhiều sự tranh cãi xung
quanh phương pháp này nhưng chúng ta cũng không thể phủ nhận những ưu điểm của
nó. Với những ưu điểm đó thì phép chứng minh phản chứng đã được đưa vào chương
trình Tốn phổ thơng như thế nào? Mối quan hệ thể chế về phép chứng minh phản
chứng đã được hình thành và tiến triển ra sao trong hai cấp học: trung học cơ sở đến
trung học phổ thông? Chương này sẽ giúp chúng ta trả lời những câu hỏi đó, đồng thời
cũng tìm hiểu xem những điều kiện và ràng buộc nào của thể chế trên đối tượng này?
Để nghiên cứu chúng tơi chọn chương trình và SGK bậc THCS và THPT hiện
hành.
II.1. Tóm lược chương trình và sách giáo khoa THCS
Trong chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn, khái niệm định lí và chứng

minh định lí được đưa vào từ lớp 7. Tuy nhiên cũng chỉ dừng lại ở mức độ “Biết thế
nào là một định lí và chứng minh một định lí”. Trên tinh thần đó, SGV cũng đã nêu rõ
trong yêu cầu của từng chương “Hầu hết các định lí […] được chứng minh […] Tuy
nhiên rất hạn chế sử dụng phép chứng minh phản chứng vì phép chứng minh này học
sinh khó tiếp thu.” (Sách giáo viên (SGV) Toán 7 tập 1, trang 7). Chính vì vậy mà dù
SGK có đưa vào phép chứng minh phản chứng cũng là ở dạng ngầm ẩn. Cụ thể, để
chứng minh định lý “Hai đường thẳng (phân biệt) cùng song song với đường thẳng thứ
ba thì song song với nhau.”, SGK đã đưa ra bài tập 45 trang 98 dưới hình thức yêu cầu
trả lời câu hỏi:
“a) Vẽ d ' // d và d '' // d ( d '' và d ' phân biệt).
b) Suy ra d ' // d '' bằng cách trả lời các câu hỏi sau:


19

 Nếu d ' cắt d '' tại điểm M thì M có thể nằm trên đường thẳng d được khơng ? Vì
sao ?

 Qua điểm M nằm ngồi d, vừa có d ' // d, vừa có d '' // d thì có trái với tiên đề Ơclit khơng ? Vì sao ?

 Nếu d ' và d '' khơng thể cắt nhau (vì trái tiên đề Ơ-clit) thì chúng phải thế nào?”
Hướng dẫn giải bài tập của SGV Toán 7 tập một:
“Đây là cách chứng minh phản chứng của định lí: Nếu d ' // d và d '' // d thì d ' // d ''
a) Học sinh tự vẽ hình.
b)  Nếu d ' cắt d '' tại điểm M thì M khơng thể nằm trên đường thẳng d được vì M
thuộc d ' và d ' // d (hoặc vì M thuộc d '' và d '' // d).

 Khi đó qua điểm M nằm ngồi d, vừa có d ' // d, vừa có d '' // d (d và d '' phân
biệt) thì trái với tiên đề Ơ-clit.

 Để không mâu thuẫn với tiên đề Ơ-clit thì d ' và d '' khơng thể cắt nhau.
Vậy chúng song song với nhau.”
Với việc trả lời các câu hỏi, học sinh đã từng bước chứng minh được định lí bằng
phương pháp phản chứng.
SGV cũng ghi rất rõ ràng “Với học sinh đại trà, không yêu cầu luyện tập phép chứng
minh phản chứng” (SGV Toán 7 tập 1, trang 100).
Ở giai đoạn này thể chế chỉ yêu cầu ở học sinh tập làm quen với suy diễn và lập
luận logic nhằm tạo nền tảng cho việc chứng minh sau này được tiếp xúc nhiều ở bậc
học cao hơn. Cũng chính vì thế các bài tập cũng khơng địi hỏi q cao, chỉ có một số ít
bài dành cho học sinh khá giỏi. Cụ thể là chỉ có 6 bài tập trong SBT Tốn 7 tập một.
Các bài tập này chủ yếu tập trung ở chương đường thẳng vng góc – đường thẳng
song song của phần hình học nhằm giải quyết các vấn đề liên quan đến vị trí tương đối
của hai đường thẳng.