Bài giảng hệ quy chiếu quán tính

Chuyển động trong hệ qui chiếu khơng qn tính. Lực
qn tính
Các định luật Newton chỉ đúng trong những hệ qui chiếu quán tính.
Nhưng trên thực tế ta lại thường gặp cả những hệ qui chiếu khơng qn tính.
Những hệ qui chiếu chuyển động không thẳng và không đều so với hệ qui chiếu
qn tính là những hệ qui chiếu khơng quán tính. Hệ qui chiếu gắn liền với Trái
Đất thực chất là hệ qui chiếu khơng qn tính, bởi vì Trái Đất tự quay xung
quanh trục của nó đồng thời quay xung quanh Mặt Trời. Trong đời sống hàng
ngày ta thường xét chuyển động của các vật so với hệ qui chiếu khơng qn tính
gắn liền với Trái Đất. Vì vậy ta cần tìm phương trình chuyển động của chất điểm
đối với hệ qui chiếu khơng qn tính và xác định lực tác dụng lên nó. Để làm
việc đó, trước hết ta hãy tìm mối liên hệ giữa vận tốc và gia tốc của chất điểm
trong hệ và hệ qui chiếu khơng qn tính.
I. Hệ qui chiếu qn tính.
Hệ qui chiếu qn tính là hệ qui chiếu mà trong đó chất điểm cô lập
hoặc đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều từ một vị trí ban đầu với
một hướng bất kì của véc tơ vận tốc.
Mọi hệ qui chiếu chuyển động thẳng đều đối với hệ qui chiếu quán tính
đều là hệ qui chiếu quán tính
Trong hệ qui chiếu quán tính chất điểm cơ lập giữ ngun trạng thái
đứng n hoặc chuyển động thẳng đều.
Trong hệ qui chiếu quán tính không gian là đồng nhất và đẳng hướng,
thời gian là đồng nhất.
Những phường trình mơ tả những định luật của tự nhiên được biểu diễn
qua tọa độ và thời gian trong các hệ qui chiếu khác nhau có dạng giống
hệt nhau.
II. Hệ qui chiếu khơng qn tính
Những hệ qui chiếu chuyển động không thẳng và không đều so với hệ
qui chiếu qn tính là những hệ qui chiếu khơng qn tính.
1

I. Vận tốc và gia tốc của chuyển động tương đối. Định lí cộng vận tốc và gia
tốc.
Giả sử có một chất điểm M chuyển động trên một vật thể A và vật A
chuyển động so với hệ qui chiếu

z

Z

quán tính K (hệ O1XYZ) được qui
ước đứng yên. Để xác định chuyển


rM

động của chất điểm M trên vật A,

K

 x
r0

người ta gắn một hệ K0 (hệ Oxyz)
với vật A. Nếu vật A chuyển động
khơng thẳng và khơng đều thì hệ qui


k

M


r

KO


O j
i

O1

y

Y

X

chiếu K0 gắn liền với nó là hệ qui

     
rM  O1M, r  OM, r0  O1O

chiếu khơng qn tính. Ví dụ: một

Hình 1

người đi trên con tàu, con tàu lại
chuyển động có gia tốc so với vật làm mốc K qui ước đứng yên. Trong ví dụ

này, con người là chất điểm, con tàu là là hệ qui chiếu K0.
Chuyển động của chất điểm M đối với hệ qui chiếu khơng qn tính K0
gọi là chuyển động tương đối. Chuyển động của chất điểm M đối với hệ qui
chiếu quán tính K gọi là chuyển động tuyệt đối. Khi chất điểm M đứng yên đối
với hệ K0 nhưng cùng với hệ K0 chuyển động so với hệ K thì chuyển động của
chất điểm M đối với hệ K gọi là chuyển động kéo theo.

Gọi rM là bán kính véc tơ xác định vị trí của chất điểm M đối với hệ qui

chiếu quán tính K, r là bán kính véc tơ xác định vị trí của chất điểm M đối với

hệ qui chiếu khơng qn tính K0, r0 là bán kính véc tơ xác định vị trí gốc O của
hệ K0 đối với hệ K (hình 1), ta có
  
   
rM  r0  r  r0  xi  yj+zk ,
(1)

trong đó x, y, z là ba hình chiếu của véc tơ r trên các trục x, y, z của hệ K0 và
  
i , j, k là ba véc tơ đơn vị trên các trục x, y, z. Vì hệ K0 chuyển động bất kì đối
  
với hệ K nên trong trường hợp tổng quát, các véc tơ i , j, k có chiều thay đổi
theo thời gian.

2


Khi chất điểm M chuyển động, một người quan sát đứng yên đối với hệ
K0 sẽ thấy các vị trí của chất điểm M luôn thay đổi theo thời gian, nghĩa là x, y,

  
z thay đổi theo thời gian t, nhưng các véc tơ i , j, k vẫn còn đứng yên đối với


người quan sát này. Vận tốc v t và gia tốc a t của chất điểm M đối với hệ qui
chiếu khơng qn tính K0 gọi là vận tốc tương đối và gia tốc tương đối:
 dx  dy  dz 
vt 
i
j k,
dt
dt
dt

(2)

 d 2 x  d 2 y  d 2z 
at  2 i  2 j  2 k .
(3)
dt
dt
dt


Vận tốc v và gia tốc a của chất điểm M đối với hệ qui chiếu quán tính K

gọi là vận tốc và gia tốc tuyệt đối:

 drM 
d   

v
 v0 
x i  yj+zk
(4)
dt
dt


 d 2 rM dv 
d2   
a 2 
 a 0  2 x i  yj+zk
(5)
dt
dt
dt


 dv 0

dr0
trong đó v0 
và a 0 
là vận tốc và gia tốc của gốc O của hệ K0 đối với
dt
dt









hệ K.




Ta hãy tìm mối liên hệ giữa v và v t , giữa a và a t . Khi hệ K0 chuyển
  
động thẳng (chuyển động tịnh tiến) thì các véc tơ đơn vị i , j, k ln ln song


di
dj
song với chính nó, nghĩa là khơng thay đổi theo thời gian thì
 0,
 0,
dt
dt

dk
 0 . Khi đó theo (4) và (5) ta có
dt

 drM  dx  dy  dz   
v
 v0 

i
j  k  v0  v t ,
(6)
dt
dt
dt
dt

 dv  d 2 x  d 2 y  d 2 z   
a
 a0  2 i  2 j  2 k  a0  a t ,
(7)
dt
dt
dt
dt

Cơng thức (6) cho ta định lí cộng vận tốc và cơng thức (7) cho ta định lí
cộng gia tốc khi hệ K0 chuyển động tịnh tiến đối với hệ K với vận tốc và gia tốc
 
tương ứng là v 0 , a 0 .
3


Khi gốc O trùng với gốc O1 và hệ K0 quay xung quanh một trục Δ nào đó



đi qua O với vận tốc góc  thì v0  0 , a 0  0 và theo (4) , (5) ta có




 d   
dx  dy  dz 
di
dj
dk
v
xi  yj+zk 
i
j  k  x  y  z , (8)
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt




 dv d 2 x  d 2 y  d 2 z 
d2 i
d2 j
d 2k
a
 2 i  2 j 2 kx 2 y 2 z 2
dt dt
dt

dt
dt
dt
dt



(9)
 dx di dy dj dz dk 
 2


.
 dt dt dt dt dt dt 
  
Các véc tơ i , j, k có độ lớn khơng thay đổi bằng đơn vị, có chiều ln

di
thay đổi. Để tính đạo hàm
, ta hãy theo dõi dịch chuyển của đầu mút N của
dt


véc tơ i . Khi hệ K0 quay xung quanh một trục Δ cố định với vận tốc góc  thì

đầu mút N của véc tơ đơn vị i vạch một đường tròn tâm I nằm trên trục quay,
 

có bán kính R  IN (hình 2). Trong chuyển động tròn, vận tốc dài v N của điểm


N liên hệ với vận tốc góc  bằng hệ thức đơn giản:



ds d i  
vN 

  R .
dt dt

 

Vì  và OI cùng phương nên   OI  0 và do đó ta có:
 
  
 
  R    i  OI    i .











di  
Vậy v N 

 i .
dt


dj
dk
Các đạo hàm
và
được tính tương
dt
dt

tự. Vậy khi K0 quay xung quanh một trục Δ đi

qua O với vận tốc góc  , ta có:



d i   dj   dk  
  i ,
  j,
   k . (10)
dt
dt
dt
Đạo hàm theo thời gian hai vế của (10) cho
ta:

4




Δ


vN
I


 dφ
ds

d
i
R


N

i  di
i
O

Hình 2




 

d 2 i    di   



i






i




i ,
dt 2
dt


 
d 2 j    dj   
(11)



j







j




j ,
dt 2
dt


 
d 2 k    dk   



k






k





k ,
dt 2
dt

 d
trong đó  
là gia tốc góc. Đặt (10) và (11) vào (8) và (9) với sự chú ý biểu
dt


thức v t và a t ta tìm được:
   
(12)
v  vt    r ,
      
 
a  a t    r      r   2  v t .
(13)













Cơng thức (12) biểu diễn định lí cộng vận tốc và cơng thức (13) biểu diễn
định lí cộng gia tốc trong chuyển động quay.
Chuyển động bất kì của hệ K0 đối với hệ K được khảo sát như chuyển
động tịnh tiến cùng với gốc O và chuyển động quay xung quanh một trục Δ nào

đó đi qua O với vận tốc góc  . Vì vậy, trong trường hợp tổng qt ta có định lí
cộng vận tốc và gia tốc như sau:
  
v  vt  vk ,
   
a  at  ak  ac .

(14)
(15)

trong đó
 


vk  v0    r ,
    
 
a k  a0    r      r  ,

 
a c  2  v t .

(16)

Các thành phần:

vk gọi là vận tốc kéo theo.


a k gọi là gia tốc kéo theo, a c gọi là gia tốc Coriolis. Rõ ràng là khi chất

 

 
điểm M đứng yên đối với K0 thì a t  0 , và v t  0 khi đó v  v k , và a  a k .
II. Phương trình chuyển động của chất điểm đối với hệ qui chiếu khơng
qn tính. Các lực quán tính.
5


II.1. Phương trình chuyển động của chất điểm đối với hệ qui chiếu khơng
qn tính.
Chúng ta đã biết phương trình chuyển động của chất điểm M đối với hệ
qui chiếu qn tính K có dạng:



F  ma ,


trong đó m là khối lượng của chất điểm, F là hợp lực do các vật thể khác tác
dụng lên chất điểm. Như vậy, đối với hệ qui chiếu quán tính K, nguyên nhân


duy nhất để chất điểm thu được gia tốc a là do các vật thể khác tác dụng lên nó
những lực nào đó. Khác với hệ K, trong hệ qui chiếu khơng qn tính K0, chất
điểm có thể thu được gia tốc mà không chỉ ra được vật nào khác đã tác dụng lên
nó.
Ví dụ: một ơ tơ đang chuyển động thẳng đều bỗng nhiên dừng lại thì mọi
người trên ô tô khi đó có một gia tốc hướng về phía trước. Rõ ràng là khơng có
một vật thể nào khác tác dụng lên người mà chỉ do ô tô chuyển động chậm dần
trong khoảng thời gian bắt đầu hãm phanh cho đến khi dừng lại gây nên. Trong
khoảng thời gian này, ơ tơ chuyển động có gia tốc và do đó hệ qui chiếu gắn liền
với ơ tơ là hệ qui chiếu khơng qn tính. Như vậy, gia tốc mà vật thể nhận được
trong hệ qui chiếu không quán tính khi chúng khơng bị tác động bởi một vật thể
nào khác chỉ được xác định bởi chính tính chất khơng qn tính của hệ qui chiếu
(tính chất khơng thẳng và không đều của hệ qui chiếu). Gia tốc này ứng với một

lực đặc biệt gọi là lực quán tính Fq do tính chất khơng qn tính của hệ qui
chiếu gây nên.
Như vậy, đối với hệ qui chiếu không quán tính K0, lực tác dụng lên chất


điểm là tổng hợp của lực quán tính Fq và lực F do các vật thể khác tác dụng lên
nó. Phương trình chuyển động của chất điểm đối với hệ qui chiếu khơng qn
tính K0 có dạng:

 

Fq  F  ma t ,

(17)



trong đó m là khối lượng của chất điểm và a t là gia tốc tương đối của nó.


Thay F  ma và dùng định lí cộng gia tốc (15) ta viết được:

 

  
Fq  m  a t  a   ma k  ma c  Fk  Fc ,
(18)
6


trong đó


   
 
Fk  ma k  m  a 0    r       r   ,


 
Fc   ma c  2m    v t  .

(19)
(20)


Lực Fk gọi là lực quán tính kéo theo, một phần lực quán tính kéo theo




 
Flt  m       r   gọi là lực quán tính ly tâm và lực Fc gọi là lực quán tính
Coriolis.

Ta hãy xét các trường hợp riêng của lực quán tính Fq :

Trường hợp 1: Khi hệ qui chiếu K0 chuyển động thẳng với gia tốc a 0 thì


  0 và   0 . Lực quán tính trong trường hợp này là lực quán tính tịnh tiến:
 

Fq  Ft  ma 0 .
(21)

Trường hợp 2: Khi hệ K0 quay xung quanh một trục Δ nào đó đi qua gốc


O với vận tốc góc  thì a 0  0 và khi đó biểu thức của lực qn tính có dạng:

 
  
 
(22)
Fq  m    r   m     r    2m    v t  .
Từ biểu thức (22) ta thấy rằng nguyên nhân duy nhất làm xuất hiện lực

quán tính Fq tác dụng lên chất điểm trong hệ qui chiếu K0 là do hệ K0 quay xung



quanh trục Δ với vận tốc góc  . Khi   0 , nghĩa là hệ K0 khơng quay thì lực


Fq cũng biến mất ( Fq  0 ).

II.2. Các loại lực quán tính.



II.2.1. Lực quán tính tịnh tiến Fqt  -ma 0
Đặc điểm chung của lực quán tính là tỉ lệ với khối lượng m của chất điểm.
Lực quán tính tịnh tiến cũng vậy, tỉ lệ với khối lượng m của chất điểm và ngược

chiều với gia tốc a 0 của hệ K0. Do mọi điểm thuộc hệ qui chiếu không quán tính

đều có cùng một gia tốc a 0 nên ta khơng quan tâm đến chất điểm có mặt tại
điểm nào trong hệ qui chiếu này.
Ví dụ: một toa tàu đang chuyển động thẳng giảm tốc, nghĩa là toa thu

được một gia tốc a 0 hướng về phía sau thì người trên toa tàu chịu một lực quán
tính tịnh tiến tác dụng hướng về phia trước. Trong trường hợp ngược lại, khi toa
7


tàu tăng tốc thì người chịu một lực qn tính tịnh tiến tác dụng hướng về phía
sau.
Lực quán tính là lực có tác dụng thực sự trong hệ qui chiếu khơng qn
tính. Chúng truyền gia tốc cho vật mà chúng tác dụng, sinh công và đo được

bằng lực kế. Chúng tác dụng hàng ngày trong đời sống. Chúng chỉ khác lực
thơng thường là chúng khơng có phản lực, nghĩa là ta không chỉ ra được cụ thể
chúng từ vật thứ hai nào tác dụng đến. Do vậy, định luật III Newton khơng áp



dụng được cho lực qn tính. Trong trường hợp đặc biệt khi a  0 thì a t  a 0 ,
nghĩa là trong hệ quán tính K chất điểm đứng yên hay chuyển động thẳng đều

thì trong hệ K0 chất điểm thu được gia tốc bằng a 0 . Như vậy cả định luật III và
định luật I Newton không áp dụng được cho hệ qui chiếu khơng qn tính K 0.
Định luật II Newton có thể áp dụng được cho hệ qui chiếu khơng qn tính K0

nhưng khi đó lực tác dụng lên vật phải bao gồm lực F do các vật thể khác tác

dụng lên (lực tuân theo định luật III Newton) và lực quán tính Fq do tính chất
khơng qn tính của hệ K0 gây ra.
 
II.2.2. Lực quán tính m    r 

Lực quán tính này xuất hiện do sự quay khơng đều của hệ qui chiếu khơng
qn tính K0. Nếu hệ qui chiếu K0 quay xung quanh một trục Δ khơng cố định đi

qua gốc O thì chiều của véc tơ  thay đổi theo thời gian và do đó véc tơ gia tốc


 
góc  khơng đồng phương với  . Lực quán tính m    r  luôn ngược chiều
 
với thành phần gia tốc quay    r  và vng góc với mặt phẳng tạo thành bởi



các véc tơ  và r .

Nếu chất điểm đứng yên đối với hệ K0 (tức v t  0 ) và hệ K0 quay xung


quanh trục Δ cố định đi qua gốc O thì các véc tơ  và  là đồng phương và véc
 
tơ    r  chính là gia tốc tiếp tuyến của chất điểm. Trong trường hợp này lực
 
quán tính m    r  ngược chiều với gia tốc tiếp tuyến của chất điểm.


 
II.2.3. Lực quán tính li tâm: Fl  m       r  
8


Lực này ngược chiều với gia tốc hướng trục
  
    r   nên gọi là lực qn tính li tâm hay cịn gọi

tắt là lực li tâm. Nếu phân tích véc tơ r thành hai thành




phần: r// song song với  và r vng góc với  (hình
 

3) và đặt r   , ta có:
  
 
 
  r     r//  r      .

 
r M
I 

r//


Fl


r
φ

O

Khi đó lực qn tính li tâm được viết lại như sau:


 

Fl  m          m2 .

Hình 3
(23)

Lực qn tính li tâm tỉ lệ với bình phương vận tốc góc ω, với khoảng cách
ρ từ chất điểm đến trục quay và hướng từ phía trục quay ra ngồi (do đó có tên
là li tâm).



Lực Fl trực đối với lực hướng tâm Fn và có giá trị bằng:
Fl  m2  m2 r cos  .

(24)

Như vậy, khác với lực quán tính tịnh tiến, lực quán tính li tâm phụ thuộc
vào vị trí của chất điểm trong hệ qui chiếu khơng qn tính K0.
II.2.4. Lực Coriolis

 
Lực Fc  2m    v t  gọi là lực quán tính Coriolis hay gọi tắt là lực

Coriolis. Đặc điểm của lực này là phụ thuộc vào vận tốc tương đối v t của chất


điểm. Bởi vì lực Fc vng góc với v t nên nó khơng sinh cơng. Nói cách khác,
nó chỉ làm lệch quĩ đạo mà thơi, chứ không làm thay đổi độ lớn của vận tốc của


chuyển động. Khi v t đổi chiều thì Fc cũng đổi chiều. Nếu chất điểm đứng yên

đối vợi hệ qui chiếu K0 hay chuyển động cùng phương của  thì lực Coriolis
không xuất hiện.

II.3. Sự cân bằng tương đối
II.3.1. Sự cân bằng của một vật trong hệ qui chiếu không quán tính được gọi là
sự cần bằng tương đối của vật đó.
II.3.2. Điều kiện cân bằng tương đối của một vật khơng có chuyển động quay
 
(coi như một chất điểm) là: F  Fq  0 .

9


II.4. Lực qn tính và các định luật bảo tồn
II.4.1. Các định luật bảo tồn khơng áp dụng được cho hệ qui chiếu khơng qn
tính vì lực qn tính là ngoại lực đối với hệ vật. Trong trường hợp này ta áp
dụng được các định lí biến thiên động lượng hoặc động năng.
II.4.2. Riêng định luật bảo toàn cơ năng thì có thể áp dụng được với các điều
kiện sau:
+ Lực qn tính có tính chất của lực thế .
+ Thêm thế năng của lực quán tính vào biểu thức thế năng của hệ.
II.5. Phương pháp động lực học đối với hệ qui chiếu khơng qn tính.
II.5.1. Phương pháp chung
Phương pháp động lực học đối với hệ qui chiếu không quán tính là
phương pháp gồm các nội dung chính sau:
Bước 1: Muốn áp dụng phương trình chuyển động của vật đối với hệ qui
chiếu khơng qn tính ta phải áp dụng nó cho vật nào.
Bước 2: Chọn hệ qui chiếu khơng qn tính gắn với vật nào (thơng
thường thì qui luật chuyển động của vật được gắn với hệ qui chiếu khơng qn
tính đối với một hệ qui chiếu qn tình nào đó được xem là cố định là đã biết. Ví
dụ như qui luật chuyển động của K0 đối với K là đã biết).
Bước 3: Phân tích các lực tác dụng lên vật mà chúng ta cần xét. Chú ý, vì
chúng ta xét trong hệ qui chiếu khơng qn tính nên tác dụng lên vật gồm hai

loại lực:
+ Các lực thông thường do các vật khác tác dụng lên, các lực này tuân

theo định luật III Newton, ta gọi hợp lực của các lực này là F .

+ Lực qn tính do tính chất khơng qn tính của hệ qui chiếu gây nên Fq .
Bước 4: Áp dụng phương trình chuyển động của chất điểm trong hệ qui
chiếu khơng quán tính
 


F  Fq  ma t  ma .

(25)

Bước 5: Chuyển phương trình (25) về các phương trình đại số tương
đương. Giải hệ phương trình thu được và biện luận kết quả thu được.
10


Chú ý: Mọi quan sát và thí nghiệm cho thấy, những hệ qui chiếu gắn với
mặt đất hoặc chuyển động thẳng đều so với mặt đất có thể coi là những hệ qui
chiếu quán tính nếu ta xét hiện tượng cơ học diễn ra trong một vùng không gian
hẹp hay diễn ra trong khoảng thời gian ngắn.
II.5.2. Một số ví dụ áp dụng
Ví dụ 1. Cho hai điểm A và B, A ở độ cao H so với điểm C, còn B ở cùng độ
cao với C và cách C một khoảng L (hình 4). Từ A thả rơi tự do một vật, đồng

thời từ B ném một vật khác với vận tốc v 0 và nghiêng một góc α. Tính α và v0
để hai vật gặp nhau.

A

Giải:
+ Xét trong hệ qui chiếu quán tính K gắn với mặt

đất, vật A rơi tự do với véc tơ gia tốc g , nên thời gian để


v0
B

2H
vật A rơi tới C là t 0 
.
g

Hα

H
L

C

Hình 4

+ Xét vật B chuyển động trong hệ qui chiếu khơng qn tính KA gắn với
vật A. Vì vật A chỉ có chuyển rơi tự do trong hệ K nên tác dụng lên vật B trong
hệ qui chiếu khơng qn tính KA gồm hai lực:



- Trọng lực của vật B: p B  m Bg .


- Lực quán tính tịnh tiến: Fqt   m Bg ,





nên hợp lực tác dụng lên B trong hệ KA: p B  Fqt  m Bg    m Bg   0 . Vậy trong

hệ qui chiếu không quán tính KA vật B chuyển động thẳng đều với vận tốc v 0
đến gặp A (hình 4).
Từ hình 4 ta thu được: tan  

H
và AB  L2  H 2
L

Điều kiện để hai vật gặp nhau: t 

AB
 t0
v0

nên
g  L2  H 2 
L2  H 2
2H


 v0 
.
v0
L
2H
11


Ví dụ 2. Một cái đĩa nằm ngang, nhẵn, quay xung quanh một trục thẳng đứng O
(hình 8) với vận tốc góc khơng đổi
ω. Trên đĩa có một thanh mảnh,
đồng chất AB có độ dài l, đầu A có
thể tự do quay quanh một trục

O

thẳng đứng, nhẵn, gắn vào đĩa và

A
O’

B

x

cách trục O một khoảng a. Xét
trong hệ qui chiếu gắn với đĩa:

Hình 8

a. Xác định độ lớn của lực
quán tính li tâm tổng hợp tác dụng lên thanh AB khi nó cân bằng.
b. Xác định điểm đặt của lực quán tính li tâm tổng hợp tác dụng lên thanh
AB khi nó cân bằng.
c. Kéo thanh AB lệch khỏi vị trí cân bằng một góc nhỏ, rồi bng nhẹ.
Chứng minh rằng thanh AB dao động điều hồ. Tìm tần số dao động của thanh.
Giải :
a. + Xét trong hệ qui chiếu gắn với đĩa quay đều với vận tốc góc ω, nên là
hệ qui chiếu khơng qn tính, vậy các phần trên thanh mảnh AB chịu tác dụng
của lực quán tính li tâm.
+ Chia thanh thành các yếu tố vi phân khối lượng dm 

m
dx có toạ độ x
l

trong hệ toạ độ O’x, khi đó lực qn tính li tâm tác dụng lên phần này có độ lớn
dFlt 

m2
a  x dx .
l

+ Vì các lực này cùng phương cùng chiều nên độ lớn của lực quán tính
tổng hợp tác dụng lên thanh AB:
Flt   dFlt 

m2
l

m2 l  2a 


a

x
dx

0
l

2

b. Kí hiệu G là điểm đặt của lực qn tính li tâm tổng hợp
và có toạ độ xG:
l

xG 

0 xdFlt
Flt



l3a  2l 
3l  2a 
12

A

φ
G

 B
Flt
Hình 9


c. + Khi thanh AB lệch khỏi vị trí cân bằng một góc nhỏ: có thể xem độ
lớn, phương chiều và điểm đặt của lực quán tính ly tâm tác dụng lên thanh thay
đổi so với vị trí cân bằng khơng đáng kể. Do đó chỉ có lực li tâm tác dụng lên
thanh khi nó lệch khỏi vị trí cân bằng một góc nhỏ như hình 9.
+ Áp dụng phương trình quay của vật rắn ta có:

 Flt .x G sin   I

1
trong đó I  ml 2 và góc φ nhỏ nên sin    thay vào phương
3

trình trên ta được
 


2 3a  2l 
0
2l

vậy thanh dao động điều hồ với tần số góc

o 

2 3a  2l 
3a
.
  1
2l
2l

III. Phương trình chuyển động của chất điểm đối với Trái Đất. Trọng lực
và trọng lượng.
III.1. Phương trình chuyển động của chất điểm đới với Trái Đất.


+ Trái Đất quay xung quanh trục của nó với vận tốc góc  hầu như khơng đổi
2
 7,3.105 s 1 ) và tâm của Trái Đất chuyển
24.3600

động xung quanh Mặt Trời với gia tốc a0 . Ta gắn một hệ qui chiếu K với Trái

(độ lớn của vận tốc góc  

Đất có gốc O là tâm của Trái Đất, hệ qui chiếu K là hệ qui chiếu không qn
tính (có thể quan sát về sự xói mịn của bờ phải các dòng song ở bắc bán cầu và
bờ trái của dịng sơng ở nam bán cầu là do lực qn tính cơ ri ơ lít gây ra).
+ Nếu bỏ qua sự tương tác của các hành tinh thuộc hệ Mặt Trời thì ta có thể xem
hệ qui chiếu gắn với Mặt Trời có gốc O1 ở tâm Mặt Trời là hệ qui chiếu quán
tính K0


+ Gọi Mt và Md tương ứng là khối lượng của Mặt Trời và Trái Đất. Gọi rO O là
1


bán kính véc tơ kẻ từ tâm O1 của Mặt Trời đến tâm O của Trái Đất, f là lực hút
13


của Mặt Trời lên Trái Đất, khi đó ta thu được gia tốc của Trái Đất trong chuyển
động quanh Mặt Trời có biểu thức


M t rO1O

f
ao 
 G 3
Md
rO1O

(26)

Phương trình chuyển động của chất điểm đối với hệ qui chiếu khơng qn tính K
gắn liền với Trái Đất có dạng

  
ma  F  Fkt  FC

(27)



Vì véc tơ vận tốc góc  trong chuyển động tự quay của trái đất hầu như khơng
đổi do đó gia tốc góc trong chuyển động này coi như bằng 0, khi đó lực qn
tính kéo theo có biểu thức

 
 
Fk  m  a 0       r   (28)


Gọi F là véc tơ hợp lực của các lực tác dụng lên chất điểm m. Hợp lực này gồm




các lực thành phần: lực hút từ phía Trái Đất Fd , lực hút từ phía Mặt Trời Ft và


lực do các vật khác tác dụng lên chất điểm m  (các lực này tuân theo định luật
III Niu Tơn).




Gọi r là bán kính véc tơ kẻ từ tâm O của Trái Đất đến chất điểm, R là bán kính
véc tơ kẻ từ tâm O1 của Mặt Trời đến chất điểm. Khi đó, lực hấp dẫn do Mặt
Trời và Trái Đất tác dụng lên chất điểm có biểu thức tương ứng là

mM 

Ft  G 3 t R (29)
R

mM 
Fd  G 3 d r
r

Phương trình chuyển động của chất điểm đối với hệ qui chiếu không quán tính K
gắn liền với Trái Đất là

 
 
   

ma    Ft  Fd  mao  m     r    2m   v  (30)



trong đó, v là véc tơ vận tốc của chất điểm m đo trong hệ qui chiếu K.
Đối với hầu hết các chuyển động của các chất điểm, thường diễn ra ở gần bề mặt
Trái Đất, do đó trong phần tiếp theo chúng ta xét chuyển động của chất điểm m












sao cho r  rO O , khi đó ta coi R  rO O và R  rO O . Trong trường hợp này ta thu
1

1

được mối quan hệ sau
14

1



GmM 
GmM t  
ma0   3 t rO1O  
R  Ft (31)
rO1O
R3

Từ các phương trình (29), (30) và (31), chúng ta thu được phương trình chuyển
động của chất điểm m ở gần bề mặt Trái Đất trong hệ qui chiếu khơng qn tính
K gắn liền với Trái Đất.

 
 
  
ma    Fd  m     r    2m   v  (32)

+ Để đánh giá ảnh hưởng của các lực quán tính lên chuyển động của chất điểm,
chúng ta sử dụng các số liệu sau
 Coi Trái Đất gần đúng là hình cấu có bán kính: Rd  6, 4.106 m .
 Khối lượng của Trái Đất: M d  6.1024 kg .
 Hằng số hấp dẫn: G  6,7.1011 m3kg 1s 2
So sánh độ lớn của gia tốc li tâm, gia tốc cơ ri ơ lít với gia tốc hấp dẫn trên bề
mặt Trái Đất. Về độ lớn của gia tốc hấp dẫn ở bề mặt Trái Đất có giá trị:
Fd
m

G
r  Rd

Md
 9,8m / s 2  g 0 (33)
R2

Các tỷ số giữa giá trị cực đại của gia tốc li tâm và gia tốc cơ ri ơ lít với gia tốc
hấp dẫn bằng
2R
G.

Md
R2

 0, 003;

2 v
 1,5.105 v (34).

M
G. 2d
R

Từ biểu thức (34), ta thấy rằng ảnh hưởng của lực cơ ri ơ lít so với lực quán tính
li tâm là rất nhỏ, nếu như v 

R
2

 2,3.102 m / s  837,8km / h .Trong khi đó, lực

qn tính li tâm lại rất nhỏ so với lực vạn vật hấp dẫn.
III. 2. Trọng lực và gia tốc trọng trường.






* Trọng lực: Lực P  Fd  Flt được gọi là trọng lực đặt lên chất điểm.
* Gia tốc trọng trường: Gia tốc trọng trường được tính theo biểu thức


 
 P
GM 
g    3 d r      r  (35)
m
r

15




Đường tác dụng của trọng lực nghĩa là đường thẳng chứa véc tơ trọng lực P gọi


là đường thẳng đứng. Độ lớn của trọng lực P ở độ cao h và ở vĩ độ địa tâm 
được xác định theo biểu thức
P



F

d


 Flt



2

 Fd2  Flt2  2 Fd Flt cos   mg

Khi thay các biểu thức Fd  G

mM d

 Rd  h 

2

và Flt  m 2  Rd  h  cos  vào biểu thức

trên, ta thu được biểu thức tường minh sự phụ thuộc của gia tốc trọng trường
theo độ cao h và vĩ độ 
g

G 2 M d2

 Rd  h 

  4  Rd  h  cos 2   2
2

4

GM d 2
 cos 2  (36)
Rd  h

Vì tốc độ góc trong chuyển động tự quay của Trái Đất là   7,3.105 s 1 nên
 4   2 , do đó trong cơng thức (36), ta bỏ qua số hạng có chứa  4 , đồng thời

xét vị trí của chất điểm rất gần ở bề mặt Trái Đất, nghĩa là h  Rd , trong trường
hợp này công thức (36) trở thành


G 2 M d2
GM d 2
G 2 M d2 
 2 Rd3
2
g
2
 cos  
cos 2  
1  2
4
4
Rd
Rd
Rd 
GM d

GM d
 2 Rd3

1

2
cos 2 
2
Rd
GM d

(37)

Để khai triển gần đúng biểu thức trong căn của công thức (37), chúng ta sử dụng
các giá trị đã biết về hằng số hấp dẫn, khối lượng Trái Đất và bán kính của nó,
thu được kết quả
 2 Rd3
GM d

 0,32.102  2

 2 Rd3
GM d

cos 2   1

Trong gần đúng cấp 1, ta có
  GM d   2 Rd3

GM d  1   2 Rd3
2
2
g
1

2
cos


1

cos


(38)






Rd2  2  GM d
Rd2  GM d



Ta lại thay các giá trị của các hằng số vào biểu thức (38), thu được gia tốc trọng
trường ở gần mặt Trái Đất và ở vĩ độ 
g  9,8144  0, 034cos 2  (39)

Từ biểu thức (39), chúng ta thấy
16


+ Khi vị trí ta xét ở gần xích đạo   0 , trong trường hợp này, giá trị của gia tốc
trọng trường là nhỏ nhất g min  9,8144  0,034  9,7804m / s 2 .
+ Khi vị trí ta xét ở gần các cực    / 2 , trong trường hợp này, giá trị của gia
tốc trọng trường là lớn nhất g max  9,8144m / s 2 .
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của gia tốc trọng trường ở gần mặt Trái Đất chênh
nhau khơng đáng kể, do đó ta có thể coi, ở gần mặt Trái Đất, trọng lực tác dụng
lên chất điểm là lực không đổi.
III. 3. Trọng lượng của một vật


Trong trường hợp chất điểm đứng yên so với Trái Đất, nghĩa là v  0 và

a  0 , khi đó chất điểm phải chịu tác dụng của phản lực do giá đỡ hoặc dây treo


gây ra, ta gọi là  . Điều kiện cân bằng của chất điểm đối với hệ qui chiếu khơng
qn tính gắn với Trái Đất là:
 
P    0 (39)

Như vậy, do lực vạn vật hấp dẫn và lực quán tính kéo theo tác dụng lên vật đứng


yên mà vật này ép lên giá đỡ hoặc kéo căng dây treo một lực T nào đó. Lực này
gọi là trọng lượng của vật đối với hệ qui chiếu mà trong đó vật đứng yên.
 Trọng lượng của một vật là lực mà vật đứng yên tác dụng lên giá đỡ hay
dây treo do kết quả tác dụng nó bởi lực vạn vật hấp dẫn và lực quá tính
kéo theo.


Rõ ràng: Trọng lượng T của vật đối với hệ qui chiếu gắn liền với Trái Đất là








lực trực đối với lực  , nghĩa là T    P .


Chú ý: Khi T  0 , ta nói rằng vật ở trạng thái mất trong lượng.

17