Luật mạnh số lớn trong đại số von Neumann

Mục lục
Lời mở đầu 1
1 Kiến thức chuẩn bị 4
1.1 Đại số von Neumann và vết . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Đại số Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Phép tính liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Đại số von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.4 Phiếm hàm tuyến tính dương và biểu diễn . . . . 6
1.2 Toán tử đo được theo một vết . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Các tính chất cơ bản của phổ . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Khái niệm về toán tử không bị chặn . . . . . . . 9
1.2.3 Mở đầu về phép chiếu . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.4 Lý thuyết về toán tử τ− đo được . . . . . . . . . 12
1.3 Không gian L
p
theo một vết . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.1 Hội tụ hầu đều trong đại số von Neumann . . . . 24
1.3.2 Các kiểu hội tụ

hầu chắc chắn

trong đại số von
Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.3 Dạng không giao hoán của định lý Egoroff . . . . 28
1.3.4 Khái niệm về luật số lớn . . . . . . . . . . . . . . 29
2 Luật mạnh số lớn trong đại số von Neumann 31
2.1 Tính độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2 Hội tụ hầu đầy đủ trong đại số von Neumann . . . . . . 32
2.3 Định lý giới hạn mạnh cho dãy trực giao . . . . . . . . . 34
2.4 Mở rộng không giao hoán của định lý Glivenko-Cantelli . 41
2.5 Bất đẳng thức Kolmogorov đối với vết và một số hệ quả 44

2.6 Luật mạnh số lớn đối với vết . . . . . . . . . . . . . . . . 47
i
MỤC LỤC 1
2.7 Tốc độ hội tụ trong luật mạnh số lớn . . . . . . . . . . . 62
2.8 Chú ý và chú thích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Kết luận 70
Tài liệu tham khảo 72
Lời nói đầu
Các tài liệu khoa học hiện tại đưa ra nhiều bằng chứng rằng các
phương pháp đại số vốn đã cách mạng hóa toán học thuần thúy thì nay
lại đang gây ảnh hưởng tương tự đối với khoa học vật lý. Tiếp cận đại
số đối với cơ học thống kê và lý thuyết trường lượng tử là một ví dụ
cho định hướng mới này.
Gần đây nhiều tác giả đã mở rộng các định lý hội tụ điểm cơ bản
trong lý thuyết xác suất và lý thuyết ergodic sang (ngữ cảnh) đại số
von Neumann.Họ đã cung cấp một số công cụ mới cho vật lý toán và
đồng thời tạo ra nhiều kĩ thuật hấp dẫn cho lý thuyết đại số toán tử.
Mục đích chính của đề tài là trình bày bản chất của một số ý tưởng
và kết quả từ lĩnh vực nói trên,chuyển các kết quả cổ điển đã biết trong
lý thuyết xác suất đến các phiên bản không giao hoán của chúng, đưa
vào các ứng dụng trong lý thuyết trường lượng tử.
Đại số von Neumann là một sự tổng quát hóa không giao hoán rất
tự nhiên của đại số L
∞
và những cấu trúc tốt của nó đem lại khả năng
thu được các phiên bản

hầu chắc chắn

của các định lý giới hạn

.Trong đại số von Neumann, ta có thể đưa ra khái niệm hội tụ

hầu
đều

tương đương với khái niệm hội tụ hầu chắc chắn trong đại số
L
∞
.Kiểu hội tụ này sẽ là nền tảng cho toàn bộ đề tài.
Nội dung của đề tài gồm hai chương :
Chương 1 Trình bày một số kiến thức chuẩn bị cho việc nghiên
cứu chương 2 bao gồm các kiến thức nền tảng về giải tích và xác
suất.Một số tính chất của hội tụ

hầu đều

trong đại số von Neumann.
Chương 2 Nội dung chính của đề tài:

Luật mạnh số lớn trong
đại số von Neumann

Trình bày các kết quả của Batty ,cùng một số kết quả khác. Nếu như
trong xác suất cổ điển các dạng hội tụ theo xác suất ,hội tụ hầu chắc
chắn và hội tụ trung bình của dãy biến nhiên đóng vai trò then chốt
2
Lời nói đầu 3
trong Luật số lớn thì ở đây chúng ta được tiếp cận với 1 kiểu hội tụ
hoàn toàn mới


hội tụ hầu đều

.Các định lý được chứng minh đối với
trạng thái , đối với vết. Vì một trạng thái thì không cộng tính dưới trên
dàn các phép chiếu nên các qui tắc và các kĩ thuật đối với trạng thái
không vết khác nhiều và khó khăn hơn nhiều so với các qui tắc đối với
vết. Đáng chú ý ở đây là các lập luận cần dùng đối với vết thường rất
giống trường hợp cổ điển. Nhưng trong một số thường hợp thì chúng ta
cần hướng tiệm cận mới .
Hầu hết các kết quả được trình bày trong đề tài là kết quả mới.
Một số nội dung của đề tài là một trong số các bài giảng tại Đại
Học Tenessee ở Knoxville và tại Trung Tâm Quá Trình Ngẫu Nhiên
(Centerfor Stochastic Processes) tại đại học North Carolina ở Chapel
Hill (bởi R.Jajte)
Nội dung của đề tài vẫn đang là hướng quan tâm của nhiều nhà
toán học và vật lý học trong các lĩnh vực đại số toán tử và các ứng
dụng của chúng như Lance 1976-1978 ; Goldstein 1981; Watanabe 1979;
Yeadon 1975-1980; Kiinrinerre 1978;.......
Trong quá trình tìm hiểu , nghiên cứu nội dung các công trình của
người khác chúng tôi đã hệ thống , giới thiệu nhằm phác họa triển vọng
ứng dụng các kết quả nghiên cứu của mình trong tương lai.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thầy, người hướng
dẫn khoa học của mình là PGS. TS. Phan Viết Thư, người đã đưa ra
đề tài và hướng dẫn tận tình trong suốt quá trình nghiên cứu bản luận
này. Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa
Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc
gia Hà Nội, và các thầy cô giáo ở Viện Toán học -Viện KHCNVN đã
tận tình giảng dạy ,tạo điều kiện thuận lợi trong suốt thời gian Tác giả
học tập và nghiên cứu.
Hà Nội, năm 2009

Học viên
Vũ Thị Hương
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, trình bày một số kiến thức cho việc nghiên cứu ở
chương 2. Các khái niệm ,định nghĩa đưa ra để hiểu rõ các từ khóa của
đề tài. Một vài khái niệm được trình bày theo nghĩa cổ điển ( và theo
nghĩa mở rộng ). Nội dung bao gồm hai phần chính: Phần 1: Nghiên cứu
về tính đo được theo một vết τ trên một đại số von Neumann (sự trình
bày được chỉnh sửa từ tài liệu của E.Nelson [ 6 ] ). Phần 2: Trình bày
lý thuyết về không gian L
p
kết hợp với đại số von Neumann . Cụ thể là
xây dựng không gian L
p
theo một vết , cốt yếu của việc xây dựng các
không gian L
p
là lý thuyết toán tử đo được theo một vết trên đại số von
Neumann ( lý thuyết này được phát triển bởi Haagerup ); Các khái niệm
về hội tụ điểm...Tất cả các kiến thức trong chương này đều đã có, không
thuộc phần sáng tạo của đề tài. Các khái niệm ,thuật ngữ , kết quả được
dùng đều có thể tra cứu trong các tài liệu tham khảo kèm theo.
1.1 Đại số von Neumann và vết
1.1.1 Đại số Banach
Kí hiệu C là trường số phức và xét các không gian tuyến tính trên trường
phức.
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử A là không gian tuyến tính (phức) và trong
4
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5

A có phép nhân:
A × A −→ A
(x, y) −→ xy
thỏa mãn các tính chất sau :
1. x(yz) = (xy)z;
2. (x + y)z = xz + yz; x(y + z) = xy + xz;
3. α(xy) = (αx)y = x(αy), ∀x, y, z ∈ A, α ∈ C
Khi đó , A được gọi là một đại số phức. Hơn nữa , nếu A là một
không gian Banach (với chuẩn ||.||) thỏa mãn các tính chất sau :
4. ||xy|| ≤ ||x||.||y||; (x ∈ A, y ∈ B)
5. A chứa phần tử đơn vị e sao cho xe = ex = x (x ∈ A);
6. ||e|| = 1;
thì A được gọi là một đại số Banach.
Nếu phép nhân giao hoán thì gọi là đại số (đại số Banach) giao
hoán .
1.1.2 Phép tính liên hợp
Định nghĩa 1.1.2. Giả sử A là một đại số phức , ánh xạ x ∈ A → x
∗
gọi là phép liên hợp nếu thỏa mãn các điều kiện sau :
(i) (x + y)
∗
= x
∗
+ y
∗
(ii) (λx)
∗
=
¯
λx

∗
(iii) (xy)
∗
= y
∗
x
∗
(iv) (x
∗
)
∗
= x
Đại số phức A đóng đối với phép liên hợp gọi là ∗− đại số . Nếu A
là đại số Banach đóng đối với phép liên hợp thì gọi là một ∗− đại số
Banach .
Nếu A là một ∗− đại số Banach thỏa mãn điều kiện ||x|| = ||x
∗
|| thì A
gọi là đại số Banach liên hợp. Nếu ∗− đại số Banach thỏa mãn điều
kiện ||xx
∗
|| = ||x||
2
, ∀x ∈ A thì gọi là một C
∗
− đại số
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 6
Phần tử x ∈ A (A là ∗− đại số ) gọi là chuẩn tắc nếu xx
∗
= x

∗
x.
Gọi là Hermit nếu x
∗
= x, unitar nếu x
∗
x = xx
∗
= e, (e là đơn vị của
A). Nếu A là C
∗
− đại số thì ||x|| = ||x
∗
||, ∀x ∈ A. Vậy mọi C
∗
− đại số
đều là đại số Banach liên hợp.
1.1.3 Đại số von Neumann
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử H là không gian Hilbert, B(H) là đại số các
toán tử bị chặn. A ∈ B(H) là một đại số con.
Đại số A ∈ B(H) gọi là đại số von Neumann nếu:
(i) A là kín đối với phép lấy liên hợp;
(ii) I ∈ A
(iii) A đóng đối với topo hội tụ yếu, tức là
A
n
w
−→ A nếu :< A
n
x, y >→< Ax, y > với mọi x, y ∈ H

Như vậy đại số von Neumann là một C
∗
− đại số.
1.1.4 Phiếm hàm tuyến tính dương và biểu diễn
Định nghĩa 1.1.4. (*) Giả sử A là đại số von Neumann. Phiếm hàm
tuyến tính :
Φ : A −→ C
gọi là dương nếu:
Φ(xx
∗
) ≥ 0, ∀x ∈ A
(*) Φ gọi là phiếm hàm dương chính xác (đúng) nếu:
Φ(xx
∗
) ≥ 0
và từ Φ(xx
∗
) = 0 suy ra x = 0
Đặc biệt : ||Φ|| = Φ(I)
(*) Nếu Φ(I) = 1 thì Φ gọi là trạng thái
Định nghĩa 1.1.5. Kí hiệu : A
+
= {x ∈ A : x ≥ 0} . Ánh xạ τ : A
+
→
[0, ∞] thỏa mãn tính chất :
(i) τ(x + y) = τ(x) + τ(y), x, y ∈ A
+
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 7
(ii) τ(λx) = λτ(x), λ ≥ 0; x ∈ A

+
(quy ước 0.∞ = 0)
(iii) Nếu U là unitar thì : τ(UxU
−1
) = τ(x), ∀x ∈ A
+
Khi đó τ gọi là vết của đại số A .
Nếu :
τ(x) < ∞, ∀x ∈ A
+
thì τ gọi là vết hữu hạn.
Nếu :
τ(x) = sup{τ (y)|y ≤ x; τ(y) < ∞}
thì τ gọi là vết nửa hữu hạn .
Nếu : τ(x) = 0, x ≥ 0 mà suy ra x = 0 thì τ gọi là vết chính xác (hay
vết đúng)
Vết τ gọi là chuẩn tắc (Normal) nếu:
τ(T ) = sup
α
τ(T
α
)
trong đó T
α
là dãy các toán tử tăng tới T.
Đại số von Neumann gọi là hữu hạn (hay nửa hữu hạn) nếu với mọi
x ∈ A, x = 0 tồn tại vết chuẩn tắc hữu hạn sao cho τ(x) = 0. Trên đại
số von Neumann nửa hữu hạn luôn tồn tại một vết chuẩn tắc , chính
xác nửa hữu hạn.
1.2 Toán tử đo được theo một vết

Phần này ta sẽ định nghĩa khái niệm về tính đo được theo một vết τ
trên một đại số von Neumann A và chỉ ra rằng tập
˜
A các toán tử τ đo
được là một ∗− đại số topo đầy đủ.
Giả sử A là một đại số von Neumann nửa hữu hạn hoạt động trên
không gian Hilber H và τ là trạng thái nửa hữu hạn chuẩn đúng trên A.
1.2.1 Các tính chất cơ bản của phổ
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử A là đại số Banach . G = G(A)− là tập hợp
tất cả các phần tử khả nghịch của đại số A . Khi đó G lập thành một
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 8
nhóm . Phổ σ(x) của x ∈ A là tập hợp tất cả các số phức λ sao cho
λe− x không có khả nghịch . C/σ(x)− được gọi là tập hợp chính quy của
phần tử x.
C/σ(x) = {λ : (λe − x)
−1
∃}
Số
ρ(x) = sup{|λ| : λ ∈ σ(x)}
được gọi là bán kính phổ của phần tử x.
Ta luôn chứng minh được rằng σ(x) = ∅, ∀x ∈ A.
Định nghĩa 1.2.2. Giả sử a là toán tử tuyến tính với miền xác định
D(a) . Kí hiệu
D(a
∗
) = {g : ∃ ! g
∗
, < g|af >=< g
∗
|f > ∀f ∈ D(a)}

với giả thiết
D(a) = H. Khi đó D(a
∗
) là không gian con và toán tử
a
∗
g = g
∗
, g ∈ D(a
∗
), g
∗
là phần tử duy nhất để
< g|af >=< g
∗
|f >
là một toán tử tuyến tính. a
∗
gọi là liên hợp của toán tử a.
Nếu a ⊂ a
∗
thì a gọi là toán tử đối xứng . Nếu a = a
∗
thì a gọi là
tự liên hợp.
Khi a là toán tử đóng và D(a) = H thì khi đó D(a
∗
) = H và a
∗∗
= a.

Chú ý. Đại số con A của đại số B(H) gọi là chuẩn tắc nếu nó giao
hoán và nếu T ∈ A thì T
∗
∈ A.
Định nghĩa 1.2.3. Toán tử P được gọi là toán tử chiếu nếu D(P ) =
H; P
∗
= P = P
2
Như vậy , toán tử chiếu P là bị chặn và có sự tương ứng một - một
giữa các toán tử chiếu và các không gian con đóng trong không gian
Hilbert.
Định nghĩa 1.2.4. Xét H là không gian Hilbert . (Ω, Σ) là một không
gian đo, Σ là σ− trường. P là tập hợp các toán tử chiếu trong không
gian Hilbert H. Ánh xạ E : Σ → P được gọi là một khai triển đơn vị
trên (Ω, Σ) nếu các điều kiện sau được thỏa mãn :
1. E(∅) = 0, E(Ω) = I
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 9
2. E(AB) = E(A)E(B)
3. E(A ∪ B) = E(A) + E(B) nếu AB = ∅
4. ∀x, y ∈ H hàm tập hợp E
x,y
xác định bởi công thức
E
x,y
(A) =< E(A)x, y >
là một độ đo phức trên Ω
Định lý 1.2.5. (Về biểu diễn Phổ) Nếu T ∈ B(H) và T là toán tử
chuẩn tắc thì tồn tại đúng một khai triển đơn vị trên các tập con Borel
của phổ σ(T ) của toán tử T sao cho

T =

σ(T )
λdE(λ)
Nếu T là tự liên hợp thì σ(T ) ⊂ R. Khi đó
T =
b

a
λdE
λ
Nếu T là toán tử unitar T T
∗
= T
∗
T = I . Khi đó σ(T ) nằm trong vòng
tròn đơn vị . Khi đó
T =
2π

0
e
iφ
dE(φ)
1.2.2 Khái niệm về toán tử không bị chặn
Với các toán tử (tuyến tính) a, b trên H ta có thể định nghĩa tổng a + b
và tích ab là các toán tử trên H với miền xác định :
D(a + b) = D(a) ∩ D(b)
D(ab) = {ξ ∈ D(b)




bξ ∈ D(a)}
Các phép toán này có tính chất kết hợp, vì thế a+b+c và abc là các toán
tử được định nghĩa tốt. Hơn nữa ,với mọi a, b, c ta có : (a + b)c = ac + bc
và c(a + b) ⊇ ca + cb
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 10
Định nghĩa 1.2.6. Một toán tử a trên H là đóng nếu đồ thị G(a) của
nó đóng trong H ⊕ H ;
a là trước đóng nếu bao đóng
G(a) của đồ thị của nó là đồ thị của một
toán tử đóng nào đó ( gọi là bao đóng của a , kí hiệu là [a]) ;
a là xác định trù mật nếu D(a) trù mật trong H.
Nếu a, b và ab xác định trù mật thì :
(ab)
∗
⊇ b
∗
a
∗
đẳng thức xảy ra nếu a bị chặn và xác định khắp nơi.
Toán tử đóng , xác định trù mật a có biểu diễn cực:
a = u|a|
ở đây |a| là toán tử tự liên hợp dương , và u là một đẳng cự riêng với
supp(a) là phép chiếu đầu của nó và r(a) , phép chiếu lên bao đóng của
miền giá trị của a , là phép chiếu cuối của nó.
Định nghĩa 1.2.7. Nếu tổng a + b của hai toán tử xác định trù mật a
và b là trước đóng và xác định trù mật , thì bao đóng [a + b] được gọi là
tổng mạnh của a và b. Tương tự , tích mạnh là bao đóng [ab] nếu ab là
trước đóng và xác định trù mật.

Ta viết
||a|| = sup{||aξ||



||ξ|| ≤ 1}
với mọi toán tử xác định khắp nơi a trên H, bị chặn hoặc không. Khi
đó ước lượng sau đây đúng :
||a + b|| ≤ ||a|| + ||b||; ||ab|| ≤ ||a||.||b||
Kí hiệu A

là hoán tập của A (hoán tập A

của đại số von Neumann A
là tập tất cả các b trong B(H) giao hoán với a trong A). Định lý hoán
tập 2 lần von Neumann khẳng định A

= A.
Định nghĩa 1.2.8. Toán tử tuyến tính a trên H được gọi là kết hợp
với A (và ta viết aηA) nếu:
∀y ∈ A

: ya ⊆ ay
Ta kí hiệu
A là tập tất cả các toán tử đóng , xác định trù mật
kết hợp với A
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 11
1.2.3 Mở đầu về phép chiếu
Kí hiệu A
proj

là dàn các phép chiếu ( trực giao ) trong A . Đối với
họ (p
i
)
i∈I
các phép chiếu trực giao trong A, kí hiệu :

i∈I
p
i
; (

i∈I
p
i
)
là phép chiếu lên

i∈I
p
i
H; (

i∈I
p
i
H)
Ta có :
(


i∈I
p
i
)
⊥
=

i∈I
p
⊥
i
; (

i∈I
p
i
)
⊥
=

i∈I
p
⊥
i
ở đây p
⊥
= 1 − p là phép chiếu trực giao với p. Hai phép chiếu p và q
là tương đương nếu p = u
∗
u và q = uu

∗
với u ∈ A nào đó. Ta kí hiệu
sự tương đương là ∼ . Các phép chiếu tương đương có cùng vết.
Mệnh đề 1.2.9. Giả sử a là toán tử đóng, xác định trù mật kết hợp với
A. Khi đó:
supp(a) ∼ r(a)
ở đây r(a) kí hiệu phép chiếu lên bao đóng miền giá trị của a.
Với các phép chiếu p, q ∈ A ta có:
(p ∨ q) − p ∼ q − (p ∧ q)
kéo theo :
τ(p ∨ q) ≤ τ(p) + τ(q)
Tổng quát hơn :
τ(

i∈I
p
i
) ≤

i∈I
τ(p
i
)
đối với họ tùy ý (p
i
)
i∈I
các phép chiếu trong A ( nếu I hữu hạn thì điều
này kéo theo bằng qui nạp; đối với trường hợp tổng quát , sử dụng tính
chuẩn tắc của τ ).

Nhận xét 1.2.10.
p, q ∈ A
proj
: p ∧ q = 0 =⇒ p  1 − q
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 12
( ở đây  có nghĩa

tương đương với một phép chiếu con của

).
Thật vậy :
p = 1 − q
⊥
= (p ∧ q)
⊥
− p
⊥
= (p
⊥
∨ q
⊥
) − p
⊥
∼ q
⊥
− (p
⊥
∧ q
⊥
)  q

⊥
= 1 − q
1.2.4 Lý thuyết về toán tử τ− đo được
Định nghĩa 1.2.11. Giả sử ε, δ ∈ R
+
. Khi đó ta kí hiệu D(ε, δ) là tập
tất cả các toán tử aηA sao cho tồn tại phép chiếu p ∈ A thỏa mãn :
(i) pH ⊆ D(a) và ||ap|| ≤ ε
(ii) τ(1 − p) ≤ δ
Khi pH ⊆ D(a) thì toán tử ap xác định khắp nơi , đòi hỏi ||ap|| ≤ ε kéo
theo ap bị chặn .
Mệnh đề 1.2.12. Cho ε
1
, ε
2
, δ
1
, δ
2
∈ R
+
. Khi đó:
(i) D(ε
1
, δ
1
) + D(ε
2
, δ
2

) ⊆ D(ε
1
+ ε
2
, δ
1
+ δ
2
)
(ii) D(ε
1
, δ
1
).D(ε
2
, δ
2
) ⊆ D(ε
1
ε
2
, δ
1
, δ
2
)
Mệnh đề 1.2.13. Giả sử ε, δ ∈ R
+
:
(i) Nếu a là toán tử trước đóng , thì:

a ∈ D(ε, δ) ⇒ [a] ∈ D(ε, δ).
(ii) Nếu a là toán tử đóng , xác định trù mật với biểu diễn cực a = u|a|
thì:
a ∈ D(ε, δ) ⇔ u ∈ A, |a| ∈ D(ε, δ)
Bổ đề 1.2.14. Cho a ∈ A và ε, δ ∈ R
+
. Khi đó :
a ∈ D(ε, δ) ⇔ τ(χ
]ε,∞[
(|a|)) ≤ δ
( ở đây
χ
]ε,∞[
(|a|)
kí hiệu phép chiếu phổ của |a| tương ứng với khoảng ]ε, ∞[ ).
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 13
Chứng minh.

⇐

Đặt :
p = χ
[0,∞]
(|a|)
. Khi đó: pH ⊆ D(|a|) và
|| |a|p|| ≤ ε

⇒

Với p ∈ A

proj
nào đó ta có :
|| |a|p|| ≤ ε
và τ(1 − p) ≤ δ
Giả sử:
|a| =
∞

0
λde
λ
là phân tích phổ của |a| . Bây giờ: ∀ξ ∈ pH ta có:
|| |a|ξ||
2
≤ ε
2
||ξ||
2
và :
∀ξ ∈ (1 − e
ε
)H{0}
ta có:
|| |a|ξ||
2
> ε
2
||ξ||
2
Vì:

|| |a|ξ||
2
=
∞

0
λ
2
d(e
λ
ξ|ξ) =

]ε,∞[
λ
2
d(e
λ
ξ|ξ)
nên:
(1 − e
ε
)H ∩ pH
phải là {0} ,tức là (1 − e
ε
) ∧ p = 0
Vậy 1 − e
ε
 1 − p, do đó
τ(1 − e
ε

) ≤ δ
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 14
Mệnh đề 1.2.15. Cho a ∈
¯
A và ε, δ ∈ R
+
. Khi đó:
a ∈ D(ε, δ) ⇔ a
∗
∈ D(ε, δ)
Chứng minh. Giả sử a = u|a| là biểu diễn cực của a. Khi đó u là một
đẳng cự của
χ
]0,∞[
(|a|) = supp(a)
lên
χ
]0,∞[
(|a
∗
|) = supp(a
∗
) = r(a)
Do tính duy nhất của phân tích phổ suy ra với mỗi λ ∈ R
+
, u là một
đẳng cự của
χ
]λ,∞[
(|a|)

lên χ
]λ,∞[
(|a
∗
|). Áp dụng bổ đề trên có điều phải chứng minh.
Định nghĩa 1.2.16. Một không gian con E của H được gọi là τ− trù
mật nếu ∀δ ∈ R+ , tồn tại phép chiếu p ∈ A sao cho pE ⊆ E và
τ(1 − p) ≤ δ.
Mệnh đề 1.2.17. Giả sử E là không gian con τ− trù mật của H . Khi
đó tồn tại một dãy tăng (p
n
)
n∈N
các phép chiếu trong A với
p
n
↑ 1, τ(1 − p
n
) → 0,
∞

n=1
p
n
H ⊆ E
.
Chứng minh. Lấy các phép chiếu q
k
∈ A, k ∈ N sao cho :
q

k
H ⊆ E
và τ(1 − q
k
) ≤ 2
−k
. Với mỗi n ∈ N , đặt :
p
n
=
∞

k=n+1
q
k
Khi đó
p
n
H =
∞

k=n+1
q
k
H ⊆ E
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 15
và
τ(1 − p
n
) = τ


∞

k=n+1
(1 − q
k
)

≤
∞

k=n+1
τ(1 − q
k
) ≤
∞

k=n+1
2
−k
= 2
−n
. Kéo theo: p
n
↑ 1.
Thật vậy, kí hiệu p là supremum của dãy tăng p
n
, ta có
∀n ∈ N : τ(1 − p) ≤ τ (1 − p
n

) ≤ 2
−n
do đó τ(1 − p) = 0 và p = 1. Hơn nữa
∞

n=1
p
n
H ⊆ E
Vậy nếu E là không gian con τ− trù mật của H thì E trù mật trong
H.
Bổ đề 1.2.18. (i) Cho p
0
∈ A
proj
.Giả sử rằng :
∀δ ∈ R
+
, ∃p ∈ A
proj
: p
0
∧ p = 0
và τ(1 − p) ≤ δ. Khi đó : p
0
= 0.
(ii) Cho p
1
, p
2

∈ A
proj
. Giả sử rằng
∀δ ∈ R
+
, ∃p ∈ A
proj
: p
1
∧ p = p
2
∧ p
và τ(1 − p) ≤ δ. Khi đó: p
1
= p
2
.
Mệnh đề 1.2.19. Cho a, b ∈
¯
A và E là không gian con τ− trù mật của
H chứa trong D(a) ∩ D(b). Giả sử a|
E
= b|
E
. Khi đó a = b
Chứng minh. Xét trong không gian Hilbert H
2
= H ⊕ H đại số von
Neumann A
2

=


A A
A A


được trang bị vết nửa hữu hạn chuẩn đúng τ
2
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 16
xác định bởi τ
2


x
11
x
12
x
21
x
22


= τ(x
11
) + τ(x
22
). Kí hiệu p
a

và p
b
là các
phép chiếu lên đồ thị G(a) và G(b) của a và b .Vì a và b kết hợp với A
nên G(a) và G(b) bất biến dưới tất cả các phần tử của
A

2
= {


y 0
0 y


|y ∈ A

}
và do đó p
a
, p
b
∈ A
2
. Giả sử δ ∈ R
+
khi đó tồn tại một phép chiếu p ∈ A
với pH ⊆ E và τ(1 − p) ≤ δ/2. Đặt p
2
=



p 0
0 p


Khi đó: τ
2
(1 − p
2
) ≤ δ. Hơn nữa
p
a
∧ p
2
= p
b
∧ p
2
Vì a và b thống nhất trên pH ⊆ E nên
G(a) ∩ (pH ⊕ pH) = {(ξ, aξ)|ξ ∈ pH, aξ ∈ pH}
= {(ξ, bξ)|ξ ∈ pH, bξ ∈ pH} = G(b) ∩ (pH ⊕ pH)
Theo bổ đề trên , ta suy ra p
a
= p
b
, do đó a = b.
Định nghĩa 1.2.20. Một toán tử đóng , xác định trù mật kết hợp với A
được gọi là τ− đo được nếu với mọi δ ∈ R
+

, tồn tại một phép chiếu
p ∈ A sao cho pH ⊆ D(a) và τ(1 − p) ≤ δ.
Kí hiệu
˜
A là tập tất cả các toán tử đóng , τ − đo được ,xác định
trù mật
Nhận xét 1.2.21. 1. Nếu a, b ∈
˜
A và a ⊆ b thì a = b.
2. Nếu a ∈
˜
A, và a là đối xứng thì a tự liên hợp .
3. Nếu a đóng và p ∈ A
proj
thỏa mãn pH ⊆ D(a) thì toán tử , xác định
khắp nơi ap cũng đóng và bị chặn.
Định nghĩa 1.2.22. Toán tử aηA được gọi τ− tiền đo được nếu với
mọi δ ∈ R
+
tồn tại phép chiếu p ∈ A sao cho
pH ⊆ D(a), ||a|| < ∞
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 17
và τ (1 − p) ≤ δ.
Hay tương đương
Giả sử aηA . Khi đó a là τ− tiền đo được khi và chỉ khi
∀δ ∈ R
+
, ∃ε ∈ R
+
: a ∈ D(ε, δ)

Mệnh đề 1.2.23. (i) Ta có A ⊆
˜
A.
(ii) Với a ∈
˜
A thì a
∗
∈
˜
A.
(iii) Cho a, b ∈
˜
A khi đó a + b và ab xác định trù mật và tiền đóng , và
[a + b] ∈
˜
A, [ab] ∈
˜
A.
(iv)
˜
A là một ∗− đại số đối với tổng mạnh và tích mạnh.
Từ đây ta sẽ bỏ qua kí hiệu [ ] trong kí hiệu tổng mạnh và tích
mạnh.
Định nghĩa 1.2.24. Với mọi ε, δ ∈ R
+
, ta đặt
N(ε, δ) =
˜
A ∩ D(ε, δ)
tức là , N(ε, δ) là tập các a ∈

¯
A, τ − đo được sao cho tồn tại phép chiếu
p ∈ A thỏa mãn ||ap|| ≤ ε và τ (1 − p) ≤ δ.
Định lý 1.2.25. (i) N(ε, δ), với ε, δ ∈ R
+
tạo thành cơ sở cho các
lân cận của 0 đối với topo trên
˜
A biến
˜
A thành không gian véc tơ
topo.
(ii)
˜
A là ∗− đại số topo Hausdorff đầy đủ và A là một tập con trù mật
của
˜
A
Chứng minh. Điều kiện (i) là hiển nhiên . Ta chứng minh (ii) :
(1) . Để
˜
A là Hausdorff , ta sẽ chứng minh rằng

ε,δ∈R
+
N(ε, δ) = {0}
Lấy
a ∈

ε,δ∈R

+
N(ε, δ)
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 18
Khi đó :
∀δ ∈ R
+
, ∀ε ∈ R
+
: τ(χ
]ε,∞[
(|a|)) ≤ δ
Vì τ là đúng (faithful) , điều này kéo theo
χ
]ε,∞[
(|a|) = 0
, do đó a = 0.
(2). Tiếp theo ta sẽ chứng minh
˜
A là ∗− đại số topo.
Theo kết quả trên phép toán liên hợp là liên tục. Lấy a
0
, b
0
∈
˜
A và
ε, δ ∈ R
+
. Chọn µ, λ ∈ R
+

sao cho
a
0
∈ N(µ, δ), b
0
∈ N(λ, δ)
Khi đó với mọi a, b ∈
˜
A thỏa mãn a − a
0
∈ N(ε, δ) và b − b
0
∈ N(ε, δ) ,
ta có
ab − a
0
b
0
= (a − a
0
)(b − b
0
) + a
0
(b − b
0
) + (a − a
0
)b
0

∈ N(ε, δ)N(ε, δ) + N(µ, δ)N(ε, δ) + N(ε, δ)N(λ, δ)
⊆ N(ε
2
, 2δ) + N(µε, 2δ) + N(λε, 2δ)
⊆ N(ε(ε + λ + µ), 6δ)
Do đó (a, b) → ab là liên tục.
(3).A là trù mật trong
˜
A.
Thật vậy , giả sử a ∈
˜
A , lấy các phép chiếu p
n
∈ A sao cho
p
n
 1, τ(1 − p
n
) → 0,

n∈N
p
n
H ⊆ D(a)
Khi đó ap
n
∈ A và ap
n
→ a trong
˜

A vì
||(ap
n
− a)p
m
|| = 0
với mọi m ≤ n và τ(1 − p
m
) → 0 khi n → ∞
(4). Cuối cùng ta sẽ chứng minh rằng không gian véc tơ topo
˜
A là đầy
đủ.
Vì
˜
A có một cơ sở đếm được cho các lân cận của 0 ( chẳng hạn sử dụng
N(1/n, 1/m), n, m ∈ N
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 19
) ta chỉ cần chứng minh rằng mọi dãy Cauchy (a
n
)
n∈N
trong
˜
A hội tụ .
Vì vậy giả sử (a
n
)
n∈N
là một dãy Cauchy trong

˜
A và
∀n ∈ N : a
n+1
− a
n
∈ N(2
−(n+1)
, 2
−n
)
Lấy phép chiếu p
n
∈ A sao cho
||(a
n+1
− a
n
)p
n
|| ≤ 2
−(n+1)
và τ(1 − p
n
) ≤ 2
−n
. Với mỗi n ∈ N ,đặt:
q
p
=

∞

k=n+1
p
k
Vì
τ(1 − q
n
) = τ(
∞

k=n+1
(1 − p
k
)) ≤
∞

k=n+1
τ(1 − p
k
) ≤
∞

k=n+1
2
−k
= 2
−n
và
∀m ≥ n + 1, ∀l ∈ N : ||(a

m+l
− a
m
)q
n
|| ≤ 2
−m
Vì q
n
≤ p
k
với mọi k ≥ m ≥ n + 1 và do đó
||(a
m+l
− a
m
)q
n
|| ≤
m+l−1

k=m
||(a
k+1
− a
k
)q
n
||
≤

m+l−1

k=m
||(a
k+1
− a
k
)p
k
|| ≤
m+l−1

k=m
2
−(k+1)
≤ 2
−m
Lấy
ξ ∈

n∈N
q
n
H
.Khi đó ξ ∈ q
n
H với n ∈ N nào đó,và do đó dãy
(a
m
ξ)

m∈N
là dãy Cauchy. Đặt
aξ = lim
m→∞
a
m
ξ
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 20
Như vậy ta đã định nghĩa một toán tử a với
D(a) =

n∈N
q
n
H
(chú ý rằng D(a) là không gian tuyến tính con vì (q
n
)
n∈N
là một dãy
tăng các phép chiếu). Theo các xây dựng , a là τ− tiền đo được . Với
mọi n ∈ N ta có
q
n
H ⊆ D(a)
và τ (1 − q
n
) ≤ 2
−n
. Ta khẳng định rằng a cũng tiền đóng. Để thấy điều

này , áp dụng lập luận ở trên cho (a
∗
n
)
n∈N
. Do đó tồn tại một toán tử
τ− tiền đo được b sao cho
b
n
= lim
m→∞
a
∗
n
η, η ∈ D(b)
Khi đó
∀ξ ∈ D(a), ∀η ∈ D(b) : (aξ|η) = lim(a
m
ξ|η) = lim(ξ|a
∗
m
η) = (ξ|bη)
nên a ⊆ b
∗
. Như vậy a tiền đóng . Vậy [a] ∈
˜
A. Đặt: a
0
= [a], cuối cùng
ta chứng minh a

n
→ a
0
trong
˜
A. Giả sử ε, δ ∈ N
0
. Lấy n
0
∈ N sao cho
2
−(n
0
+1)
≤ ε
và 2
−n
0
≤ δ. Khi đó với mọi m ≥ n
0
+ 1 ta có
||(a
0
− a
m
)q
n
0
|| ≤ 2
−(n

0
+1)
≤ ε
và
τ(1 − q
n
0
) ≤ 2
−n
0
≤ δ
vì
∀ξ ∈ H : (a
0
− a
m
)q
n
0
ξ = lim
l→∞
(a
m+l
− a
m
)q
n
0
ξ
và

||(a
m+l
− a
m
)q
n
0
|| ≤ 2
−m
≤ 2
−(n
0
+1)
≤ ε
do đó
∀b ≥ n
0
+ 1 : a
0
− a
m
∈ N(ε, δ)
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 21
1.3 Không gian L
p
theo một vết
Trong phần này chúng ta sẽ định nghĩa không gian L
p
, L
p

= L
p
(A, τ)
với 1 ≤ p ≤ ∞ và xây dựng các tính chất cơ bản của chúng. Segal đã
làm với p = 1, 2, ∞ ( không gian L
∞
chính là A ) , và Kunze đã nghiên
cứu trong trường hợp tổng quát. Cách tiếp cận của chúng tôi dựa trên
khái niệm hội tụ theo độ đo đã trình bày trong phần trên sẽ đơn giản
hơn.
Cho trước một vết nửa hữu hạn chuẩn đúng τ trên đại số von Neumann
A trên không gian Hilbert. Giả sử
L
2
= {a ∈ A : τ(a
∗
a) < ∞}
Cho a trong L
2
và b trong A . Khi đó
(ba)
∗
ba ≤ ||b||a
∗
a
nên ba cũng trong L
2
. Vì a và b đều trong L
2
nên a + b cũng trong L

2
vì
(a + b)
∗
(a + b) ≤ 2(a
∗
a + b
∗
b)
Do đó L
2
là một idean trái . Vậy nó là tự liên hợp và do đó là idean hai
phía (sau này ta sẽ đồng nhất L
2
với L
2
∩ L
∞
) . Đặt L = L
2
2
. Khi đó L
cũng là một idean hai phía (sau này ta sẽ đồng nhất nó với L
1
∩ L
∞
).
Nếu a trong A
+
và τ(a) < ∞ thì a

1/2
trong L
2
, nên a trong L. Ngược
lại, giả sử c ≥ 0 với c trong L. Khi đó c là tổng hữu hạn c =

b
i
a
i
với
b
i
, a
i
trong L
2
. Vì c ≤
1
2

(b
i
b
∗
i
+ a
∗
i
a

i
) nên ta có τ(c) < ∞. Do đó L
chứa tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn các phần tử a trong A
+
với
τ(a) < ∞, và các phần tử này tạo thành L ∩ A
+
. Như vậy τ mở rộng
duy nhất thành một phiếm hàm tuyến tính (vẫn kí hiệu là τ ) trên L.
Theo biểu diễn cực thì τ (b
∗
a) = τ(ab
∗
), và do đó τ (ba) = τ(ab) với mọi
a, b trong L. Vì vậy ,nếu a ≥ 0 và a trong L thì
τ(ab) = τ(a
1/2
ba
1/2
)
nên
0 ≤ τ(ba) ≤ ||b||τ(a)
với mọi b ≥ 0 trong Lvà do đó, theo tính chuẩn tắc và nửa hữu hạn của
τ ,với mọi b trong A
+
. Kết quả là |τ(ba)| ≤ ||b||τ(a) với mọi b trong A.
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 22
Ta cũng sẽ sử dụng kí hiệu ||b||
∞
cho chuẩn toán tử của phần tử b trong

A, và ta đặt ||a||
1
= τ(|a|) với a trong L. Vì a = u|a| với ||u||
∞
= 1 nên
ta có
|τ(ba)| ≤ ||b||
∞
||a||
1
; b ∈ A, a ∈ L (1.1)
với 1 ≤ p < ∞ và a trong L , đặt ||a||
p
= τ(|a|
p
)
1/p
.Ta khẳng định rằng
bất đẳng thức Holder:
|τ(ba)| ≤ ||b||
q
||a||
p
(1.2)
đúng , với a, b trong L và (
1
p
) + (
1
q

) = 1. Để thấy điều này , giả sử u và
v trong A với ||u||
∞
≤ 1, ||v||
∞
≤ 1 và giả sử c ≥ 0, d ≥ 0, c ∈ L, d ∈ L
thỏa mãn c và d bị chặn cách xa 0 trên bổ sung đủ trực giao của các
không gian trống của chúng. Do tính liên tục nên sự giới hạn này về sau
sẽ bỏ qua, và ta không nhắc đến nữa . Khi đó s −→ τ(ud
s
vc
1−s
) liên tục
và bị chặn trên 0 ≤ Res ≤ 1 và chỉnh hình ở phần trong. Theo ví dụ
về nguyên lý Phragmén-Lindelof được biết đến như là định lý 3 đường
thẳng ,ta có :
|τ(ud
k
vc
1−p
)| ≤ sup
Res=1
|τ(ud
s
vc
1−s
)|
k
sup
Res=0

|τ(ud
s
vc
1−s
)|
1−k
với 0 ≤ k ≤ 1, và theo (1.1) vế phải ≤ ||d||
k
1
||c||
1−k
1
. Áp dụng điều này
với
c = |a|
1/k
, d = |b|
1/(1−k)
ở đây a = u|a|, b = v|b|, k = 1/q, và 1 − k = 1/q , điều này kéo theo
(1.2).
Với a = u|a| trong L, đặt
b =
|a|
p−1
u
∗
||a||
p/q
p
ở đây 1/p + 1/q = 1 . Khi đó dễ thấy ||b||

q
= 1 và τ (ba) = ||a||
p
. Tức là
||a||
p
= sup
||b||
q
=1
|τ(ba)| (1.3)
và supremum là đạt được. Từ đây ta dễ dàng thu được bất đẳng thức
Minkowski
||a + b||
p
≤ ||a||
p
+ ||b||
p
(1.4)
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 23
với a, b trong L. Vì vế trái là τ (c(a + b)) với c thỏa mãn ||c||
q
= 1 ,nhưng
nó bằng τ(ca)+τ(cb), do đó nhỏ hơn vế phải theo bất đẳng thức Holder.
Cuối cùng ,chú ý rằng ||a||
p
= 0 kéo theo a = 0 do tính đúng của τ. Do
vậy L là không gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn ||.||
p

. Gọi L
p
là
không gian Banach tương ứng với L sau bổ sung cho đầy đủ.
Nếu a ≥ 0 trong L với biểu diễn phổ
a =
∞

0
λde
λ
thì
||a||
p
p
= τ(a
p
) =
∞

0
λ
p
dτ(e
λ
)
nên
||a||
p
p

≥ λ
p
τ(e
λ
) (1.5)
với mọi λ ≥ 0. Vậy , nếu a
n
trong L là dãy Cauchy trong L
p
thì nó là
dãy Cauchy theo độ đo. Do đó tồn tại một ánh xạ tuyến tính tự nhiên
liên tục của L
p
vào
˜
A. Ta chứng minh được rằng ánh xạ tự nhiên này là
đơn ánh.
Định nghĩa 1.3.1. Đối với toán tử dương tự liên hợp a kết hợp với A
bất kì , ta đặt
τ(a) = sup
n∈N
τ(
n

0
λde
λ
)
ở đây
a =

∞

0
λde
λ
là biểu diễn phổ của a . Khi đó với mỗi p ∈]1, ∞[ ta có thể định nghĩa
L
p
(A, τ) = {a ∈
¯
A



τ(|a|
p
) < ∞}
và
||a||
p
= τ(|a|
p
)
1/p
< ∞, a ∈ L
p
(A, τ)
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 24
.(L
p

(A, ), ||.||
p
) là các không gian Banach trong đó
I = {x ∈ A



τ(|x|) < ∞}
là trù mật , và tất cả chúng được chứa trong ( hoặc thậm chí là nhúng
liên tục trong )
˜
A
Lời bình Khái niệm về toán tử đo được được đưa ra bởi I.E.Segal
[17] và tạo thành cơ sở cho việc nghiên cứu lý thuyết tích phân không
giao hoán , tức là lý thuyết

tích phân

. Ở đó L
∞
(X, µ) ( tương ứng với
không gian đo (X, µ) ) được thay thế bởi đại số von Neumann tổng quát
hơn. Lý thuyết này đóng vai trò chính trong việc xây dựng các không
gian L
p
kết hợp với các đại số von Neumann nửa hữu hạn là không gian
cụ thể của các toán tử đóng xác định trù mật .Trong [18] , E.Nelson đã
đưa ra một hướng tiếp cận mới đòi hỏi ít kiến thức về kĩ thuật đại số
von Neumann − cho lý thuyết này , dựa trên khái niệm về tính đo được
theo một vết (bắt nguồn từ khái niệm hội tụ theo độ đo được giới thiệu

bởi W.F.Stinespring trong [16] ).Toán tử đo được bất kì cũng đo dược
theo nghĩa Segal ( trong khi điều ngược lại nói chung không đúng ). Tuy
nhiên ,tập hợp các toán tử τ− đo được đủ lớn để chứa các không gian
L
p
theo τ.
1.3.1 Hội tụ hầu đều trong đại số von Neumann
Lý thuyết xác suất không giao hoán là nền tảng toán học của cơ học
lượng tử, nó có thể coi là mở rộng tự nhiên của lý thuyết xác suất cổ
điển. Trong cơ học cổ điển, với mỗi hệ hạt điểm vật lý có một đa tạp
khả vi U tương ứng .Các trạng thái của hệ được biểu diễn bởi các điểm
của U, và các lượng vật lý (các quan sát được ) sẽ được mô tả bởi các
hàm (đo được) trên đa tạp U. Trong cơ học lượng tử, với mỗi hệ vật
lý có một không gian Hilbert H tương ứng. Với hệ có số bậc tự do hữu
hạn , các trạng thái hỗn hợp được cho bởi các toán tử lớp vết dương (
toán tử trù mật ) .Các quan sát được sẽ được biểu diễn bởi các toán tử
tự liên hợp hoạt động trên H. Đối với hệ hạt có số bậc tự do vô hạn ,
người ta đồng nhất trạng thái của hệ với trạng thái ( toán học ) trên
một đại số toán tử A thích hợp . Trong hầu hết trường hợp ta có thể lấy
A là đại số toán tử von Neumann hoạt động trên một không gian phức