De SDBG 20112012

<span class='text_page_counter'>(1)</span>kú thi chän häc sinh giái gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh cÇm tay n¨m häc 2011 - 2012 M«n : To¸n líp 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngµy thi: 27 th¸ng 11 n¨m 2011. phòng Gd & đt Sơn động. C¸c Gi¸m kh¶o (Hä, tªn vµ ch÷ kÝ). §iÓm cña toµn bµi thi B»ng sè. Sè ph¸ch (Do Chñ tÞch Hội đồng thi ghi). B»ng ch÷. Chó ý: - §Ò thi nµy cã 5 trang với 10 bµi, mçi bµi 5 ®iÓm; - Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi này, những phần không yêu cầu tr×nh bµy lêi gi¶i th× ®iÒn kÕt qu¶ vµo « trèng t¬ng øng. - Nếu không có yêu cầu gì thêm, hãy tính chính xác đến 5 chữ số thập phân. - Các đoạn thẳng đợc đo theo cùng một đơn vị dài. Bài 1: (5 điểm) Tính giá trị của các biểu thức sau và điền kết quả vào ô vuông: 2  4 4   0,8 :  .1, 25   1, 08  : 4 25  7 5     1, 2.0,5  : 1 1 2 5  5 0, 64  6  3  .2  25 4  17  9 a) A = 3. b) B =. 6. 847 3  6 27. B=. 847 27 1. 2 . 12. 2 . 4 . c). C=. 9. 1 . d). KQ:. 1. C  64 . D = 60. A=. 1 4 D=. 9,81 2. 0. 4π .0,87.cos52 17. /. e) Biết: cosA = 0,8516 ; tgB = 3,1725 ; sinC = 0,4351. Tính : E = cotg(A + B – C). E=.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Bài 2: (5 điểm) Tìm giá trị của x, y dưới dạng phân số (hoặc hỗn số) từ các phương trình sau rồi điền kết quả vào ô vuông : x 1. a). 1 1 5 3. x.  4. 5. 1. x=. 1 2 3.   1 3  1    0,3   .1   y  4 2  : 0, 003 1 20  2       : 62  17,81: 0, 0137 1301  20   3 1  2, 65  .4 : 1  1,88  2 3  . 1   5     20  25  8    b) y=. Bài 3: (5 điểm) 199  2005 10  a=. 1 1 1. 13 . b=. 3. 1 a. a) Tìm các số tự nhiên a và b biết rằng. 1 b. b) Tìm số tự nhiên lớn nhất, nhỏ nhất (tơng ứng đặt là a, b) có dạng 1x 2 y3z chia hÕt cho 7 C¸ch gi¶i KÕt qu¶ a=. b=. Bµi 4:(5®iÓm) a) Một ngời gửi a đồng vào ngân hàng với lãi suất tiết kiệm là r%/tháng. Biết rằng hàng tháng ngời đó không rút lãi suất ra. Hãy lập công thức tính số tiền cả gốc và lãi của ngời đó sau 1 tháng, 2 tháng , 3 tháng , 1 năm theo a và r? áp dụng với a = 1 triệu đồng và r = 0,4 Lêi Gi¶i: ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………….

<span class='text_page_counter'>(3)</span> ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………........................................................................................................................... ............................................... ……………………………………………………………………….. áp dụng với a= 1 triệu đồng, r =0,4. Tổng số tiền cả gốc và lãi của ngời đó sau 1 th¸ng, 2 th¸ng , 3 th¸ng , 1 n¨m lµ: Sau 1 th¸ng Sau 2 th¸ng Sau 3 th¸ng Sau 1 n¨m Tæng sè tiÒn b) Nếu cứ mỗi tháng ngời đó gửi vào ngân hàng 1 triệu đồng và lãi xuất vẫn là 0,4% (các tháng cũng không rút lãi suất ra) thì sau một năm ngời đó có đợc bao nhiªu tiÒn ? Sè tiÒn sau 1 n¨m lµ: Bài 5: (5 điểm ) Cho U0 = 2; U1 = 3; Un + 1 = 3Un - 2Un - 1 ( n  N* ) a) ViÕt quy tr×nh bÊm phÝm liªn tôc tÝnh Un ( n ≥ 3 ). ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………….... Sö dông quy tr×nh hoµn thµnh b¶ng sau: n Un. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. b) Chøng minh U2n + Un + 1 -1 lµ sè chÝnh ph¬ng. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Bài 6: (5 điểm) Cho f(x) = x3+bx2+cx+d a. BiÕt f(1) = 3; f(2) = 8; f(3) = 15. TÝnh f(2009) vµ f(2010) (Tr×nh bµy lêi gi¶i vµ viÕt kÕt qu¶) b. Biết f(x) Chia cho (x+3) d 1; chia cho (x-4) d 8, chia cho (x+3)(x-4) đợc thơng là x-3 và còn d. Hãy xác định b,c,d (Trình bày lời giải và viết kết quả)..

<span class='text_page_counter'>(4)</span> a) Lêi gi¶i: ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………............................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ f(2009)=. f(2010)=. b) Lêi gi¶i: ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………............................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ b=. d=. c=. Bµi 7: (5 ®iÓm) Trên măt phẳng toạ độ vuông góc Oxy Cho các điểm A(1,8; 4,2) B(-2,1; -1,2); C(3,9; -4,1) a) TÝnh chu vi tam gi¸c ABC. Chu vi . b) TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC. SABC . c) TÝnh c¸c gãc cña tam gi¸c ABC. A . B .   C. Bài 8: (5 điểm) 0  Cho tam giác ABC có A 120 ; AB = 4cm ; AC = 6cm và trung tuyến AM. Từ B, kẻ BH vuông góc với AC tại H và từ M, kẻ MK vuông góc với AC tại K (H, K  AC). Tính độ dài đường trung tuyến AM. Cách giải:. .................................................. .................................................. .................................................. .................................................. ................................................... H A.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> K. B M. C. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. ............................................................................................... Bài 9: (5 điểm) 0  Cho tam giác ABC có AB = 8,91cm ; AC = 10,32cm và BAC 72 . Tính: a) Độ dài đường cao BH. b) Diện tích tam giác ABC. c) Độ dài cạnh BC. Cách giải: .................................................. .................................................. .................................................. .................................................. .................................................. ………………………………………………………………………………………… .................................................. ………………………………………………………………………………………… .................................................. ………………………………………………………………………………………… .................................................. ………………………………………………………………………………………… .................................................. ………………………………………………………………………… Điền kết quả vào ô vuông:. BH =. SABC =. BC =. Bài 10 (5 điểm): Cho đờng tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC. Gọi E, M, F là các tiếp điểm (MAB, E  BC ; F  AC ). §Æt AB = c; BC = a; CA = b. a) LËp c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch ΔEMF theo a, b, c. Cách giải:.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… A ……………………………………………………………………………… M ……………………………………………………………………………… F ……………………………………………………………………………… O ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… B C E ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… …………………………………………………………………..................... b) ¸p dông tÝnh diÖn tÝch ΔEMF khi a = 5cm; b = 6cm; c = 7cm SΔEMF =.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> híng dÉn chÊm thi chän häc sinh giái CÊp huyÖn n¨m häc 2011 - 2012 M«n : gi¶i to¸n b»ng m¸y tÝnh casio Ngµy thi: 27 th¸ng 11 n¨m 2011 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề). phòng Gd & đt sơn động. Bài 1: (5 điểm) Tính giá trị của các biểu thức sau và điền kết quả vào ô vuông: Mỗi câu đúng 1 điểm 2  4 4   0,8 :  .1, 25   1, 08  : 4 25  7 5     1, 2.0,5  : 1 1 2 5  5 0, 64  6  3  .2  25 4  17  9 a) A = 3. b) B =. 6. 847 3  6 27. B=3. 847 27 1. 2 . 12. 2  1 . C=. 9 4 . c) d). KQ:. 1. C  64 . D=60. 1 A = 23. 64. 310 43382 = 673 673. 1 4 D = 40,99744. 9,81 2 4π .0,87.cos52017 /. e) Biếtt: cosA = 0,8516 ; tgB = 3,1725 ; sinC = 0,4351. Tính : E = cotg(A + B – C) ?. E = 0,2066. Bài 2: (5 điểm) Tìm giá trị của x, y, z dưới dạng phân số (hoặc hỗn số) từ các phương trình sau rồi điền kết quả vào ô vuông : Mỗi câu đúng 2,5 điểm x 1. a). 1 5. x.  1 3. 4. 5. 1 2. 1 3.   1   y  4 2  : 0, 003       3 1  2, 65  .4 : 1  5   b)   20. 41 x = 363 8. 3  1    0,3   .1 1 20  2    : 62  17,81: 0,0137 1301 3  1 20   1,88  2 25  . 8     y=6.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Bài 3: (5 điểm) Mỗi câu đúng 2,5 điểm 199  2005 10 . 1 1 1. 13  a=1. 3. b=3. 1 a. a) Tìm ccác số tự nhiên a và b biết rằng:. 1 b. b)Tìm số tự nhiên lớn nhất, nhỏ nhất (tơng ứng đặt là a, b) có dạng 1x 2 y3z chia hÕt cho 7 C¸ch gi¶i KÕt qu¶ Giả sử số lớn nhất có dạng là 19293z , khi đó ta phân a=192934 tÝch 19293z = 192930 + z = 7.27561 + 3+z +Từ đó suy ra z=4 Giả sử số nhỏ nhất có dạng là 10203z , khi đó ta phân b=102032 tÝch 10203z = 102030 + z = 7.14575 + 5+z +Từ đó suy ra z=2 Bµi 4:(5®iÓm) Mỗi câu đúng 2,5 điểm a) Tổng quát ngời đó gửi a đồng lãi suất là r% Sau 1 tháng, tổng số tiền (cả gốc và lãi) là: a(1+r%) ( đồng) Sau 2 tháng, tổng số tiền (cả gốc và lãi) là: a(1+r%)2 ( đồng) Sau 3 tháng, tổng số tiền (cả gốc và lãi) là: a(1+r%)3 (đồng) Sau 1 năm, tổng số tiền (cả gốc và lãi) là: a(1+r%)12 ( đồng) áp dụng với a = 1000000 ; r = 0,4. Bấm trên máy đợc kết quả lần lợt là : Sau 1 th¸ng Sau 2 th¸ng Sau 3 th¸ng Sau 1 n¨m Tæng sè tiÒn 1004000 1008016 1012048,064 1049070,208 b) Nếu cứ mỗi tháng ngời đó gửi vào ngân hàng 1 triệu đồng và lãi xuất vẫn là 0,4% (các tháng cũng không rút lãi suất ra) thì sau một năm ngời đó có đợc số tiền là: Số tiền sau 1 năm là: 12316622,09 đồng.. Bài 5: (5 điểm ) Cho U0 = 2; U1 = 3; Un + 1 = 3Un - 2Un - 1 ( n  N* ) a) ViÕt quy tr×nh bÊm phÝm liªn tôc tÝnh Un ( n ≥ 3 ). 2 Shift sto A 3 Shift sto B 3 Alpha B  2 Alpha A Shift sto A 3 Alpha A  2 Alpha B Shift sto B Lặp lại hai phím   để tính các U n (n 4). (2 điểm).

<span class='text_page_counter'>(9)</span> KÕt qu¶: n Un. 2 5. 3 9. 4 17. 5 33. 6 65. 7 129. 8 257. 9 10 513 1025 (1 điểm) b) TÝnh c¸c Un vµ dù ®o¸n sè h¹ng tæng qu¸t lµ Un = 2n + 1 ( n  N ) Chøng minh b»ng quy n¹p: Un + 1 = 3Un - 2Un - 1 = 3( 2n + 1) - 2( 2n - 1 + 1) = 3.2n + 3 - 2n - 2 = 2n + 1 + 1(®pcm). * Do đó ta có: U2n + Un + 1 - 1 = (22n + 1) + (2n + 1 + 1) - 1 = (2n)2 + 2.2n + 1 = (2n + 1)2 ( lµ sè chÝnh ph¬ng ). (2 điểm) Bài 6: (5 điểm) Mỗi câu đúng 2,5 điểm. a).  f (1) 3   f (2) 8  f (3) 15 .  1  b  c  d 3   8  4b  2c  d 8  27  9b  3c  d 15 .  b  c  d 2   4b  2c  d 0  9b  3c  d  12 .  b  5   c 13 d  6 .  f(x) = x3 - 5x2 + 13x – 6.. Thay x=2009; x=2010 Tính đợc: f(2009) = 8088332435 ;. f(2010)= 8100426624.. b) f(x) = (x+3)(x-4)(x-3) + mx+n (D lµ mx+n) ta cã: f(-3) = m.(-3)+ n = 1 f(4) = m.4 + n = 8 giải hệ phương trỡnh tìm đợc m =1; n=4. Từ đó suy ra :. Bµi 7: (5 ®iÓm) b = -4 ; c =-8; d=40. Trên măt phẳng toạ độ vuông góc Oxy Cho các điểm A(1,8; 4,2) B(-2,1; -1,2); C(3,9; -4,1) a) TÝnh chu vi tam gi¸c ABC. b) TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC. Chu vi  21,88671. SABC  21,855. c) TÝnh c¸c gãc cña tam gi¸c ABC. A 500 2'10, 35''. B 79057'30,14''.  500 0'19, 51'' C. (2 ®iÓm) Bài 8: (5 điểm) 0  Cho tam giác ABC có A 120 ; AB = 4cm ; AC = 6cm và trung tuyến AM. Từ B, kẻ BH vuông góc với AC tại H và từ M, kẻ MK vuông góc với AC tại K (H, K  AC). Tính độ dài đường trung tuyến AM..

<span class='text_page_counter'>(10)</span>  Cách giải: 0 0 0  .Ta có BAH 180  120 60. . 0. Nên AH = AB. cos BAH 4.cos 60 2 cm Mặt khác: BH//MK (gt) mà MB = MC. H. A HC AC  AH 6  2    4 4 2 2 2 1200 Suy ra KH = KC cm K 6 1 B BH và MK = 2 ( vì MK là đường trung bình của BCH ) (3 điểm) 1 1 M  AB sin BAH  .4.sin 600 2.sin 600 2 = 2 2. 2. 2. C. 0 2. Do đó AM  AK  MK  2  (2.sin 60 ) = 2,64575 cm (2 điểm) Bài 9: (5điểm) 0  Cho tam giác ABC có AB = 8,91cm ; AC = 10,32cm và BAC 72 . Tính: a) Độ dài đường cao BH. b) Diện tích tam giác ABC. c) Độ dài cạnh BC Cách giải: . a) Ta có BH = AB Sin BAC = 8,91.sin720 = 8,47391 cm (2 ñieåm)đ b) SABC. 1 1 = 2 AC.BH = 2 10,32.8.474. = 43,72539 cm2 (1 ñieåm)đ c) Ta có AH = AB. cos = 8,91.cos720 Suy ra HC = AC – AH = 10,32 - 8,91.cos720 2 2 0 2 0 2 Do đó BC = BH  HC  (8,91.sin72 ) +(10,32 - 8,91.cos72 ) (2 ñieåm)đ. BH = 8,47391 cm. SABC = 43,72539 cm2. BC = 11,36053 cm. Bài 10: Cho đờng tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC. Gọi E, M, F là các tiếp điểm (MAB, E  BC ; F  AC ). §Æt AB = c; BC = a; CA = b. a) LËp c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch ΔEMF theo a, b, c. Cách giải: a) Ta cã: AM + AF + FC + CE + EB + BM = a + b + c  2AM + 2 CE + 2EB = a + b + c ( v× AM = AF, CF = CE, BM=BE)  2AM + 2BC = a + b + c .............................................................. ...............................................................

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Tính đợc. AM AF . bc a a c b a b  c ; BM BE  ; CE CF  2 2 2. (1®iÓm).  ABC §Æt S1 = SΔAMF ; S2 = SΔBMF ; S3 = SΔCEF ; 2 2 S1 AM.AF  b  c  a  S 2 BM.BE  c  a  b    ;   S AB.AC 4bc S BA.BC 4ca 2 S 3 CE.CF  a  b  c    S CB.CA 4ab S S. VËy S EMF.  p p  a   p  b  p  c M. 2 2 2 B  a  b  c b  c  a c  a  b        S  1      4ab 4bc 4ca   (1 ®iÓm). b) ¸p dông tÝnh diÖn tÝch ΔEMF khi a = 5cm; b = 6cm; c = 7cm (2 ®iÓm) SΔEMF = 3. 359 3 cm2. TaA cã: F. O. E. (1 ®iÓm). C.

<span class='text_page_counter'>(12)</span>