tong hop cong thuc tick phan

<span class='text_page_counter'>(1)</span>IVIV- TÍCH PHAÂN 1. Định nghĩa, công thức, tính chất : * F là 1 nguyên hàm của f ⇔ f là đạo hàm của F. Hoï taát caû caùc nguyeân haøm cuûa f : ∫ f (x)dx = F(x) + C. *. α ∫ du = u + C ; ∫ u du =. (C ∈ R). uα+1 +C, α ≠ – 1 α +1. b. *. b a. = F(b) − F(a). a. du u u u u ∫ u = ln u + C; ∫ e du = e + C; ∫ a du = a / ln a + C ∫ sin udu = − cos u + C ; ∫ cos udu = sin u + C. *. a. b. a. c. b. c. ∫a = 0 ; ∫a = − ∫b , ∫a = ∫a + ∫b b. b. b. b. b. a. a. a. a. a. ∫ (f + g) = ∫ f + ∫ g ; ∫ kf = k ∫ f. 2 2 ∫ du / sin u = − cot gu + C ; ∫ du / cos u = tgu + C 2. Tích phân từng phần : udv = uv − vdu. ∫. ∫ f(x)dx = F(x). ∫. Thường dùng khi tính tích phân các hàm hỗn hợp. a. ∫ x n e x , ∫ x n sin x ; ∫ x n cos x : u = x n b. ∫ x n ln x : u = ln x c.. ∫e. x. sin x , ∫ e x cos x : u = e x hay dv = e x dx. từng phần 2 lần, giải phương trình ẩn hàm ʃ 3. Các dạng thường gặp : a. ∫ sin m x. cos 2 n +1 x : u = sinx.. e. f. g. h. i.. 2 n +1. : u = cosx. ∫ cos x.sin x 2m 2n : haï baäc veà baäc 1 ∫ sin x. cos x ∫ R(sin x, cos x) , R : hàm hữu tỷ m. d.. b.. ∫ tg x / cos x 2m 2n ∫ cot g x / sin x 2m. 2n. ∫ ∫ ∫. :. u = tgx. (n ≥ 0). :. u = cotgx. (n ≥ 0). chứa a2 – u2. :. u = asint. chứa u2 – a2 R(–sinx, cosx) = – R(sinx, cosx) : u = cosx chứa a2 + u2 R(sinx, –cosx) = – R(sinx, cosx) : u = sinx R(–sinx,–cosx) = R(sinx, cosx) : u = tgx ∨ u = cotgx π π/ 2 x π R ñôn giaûn : u = tg ∫ : thử đặt u = 2 − x ∫ : thử đặt u = π − x 2. :. u = a/cost. :. u = atgt. 0. c.. 0. ∫ x (a + bx ) , (m + 1) / n ∈ Z : u = a + bx m n p/ q m +1 p + + ∈ Z : u q x n = a + bx n x ( a bx ) , ∫ n q 1 ∫ dx /[( hx + k) ax2 + bx + c : hx + k = u ∫ R(x, (ax + b) /(cx + d) , R là hàm hữu tỷ : u = (ax + b) /(cx + d) k m/n n k ∫ chứa (a + bx ) : thử đặt u = a + bx . Tích phân hàm số hữu tỷ : ∫ P(x) / Q(x) : bậc P < bậc Q n 2 m. n p/ q. q. n. 4. * Ñöa Q veà daïng tích cuûa x + a, (x + a) , ax + bx + c (∆ < 0) * Đưa P/Q về dạng tổng các phân thức đơn giản, dựa vào các thừa số của Q : An A A2 A , ( x + a) n → 1 + x+a→ + ... + 2 x+a x + a ( x + a) (x + a)n ax 2 + bx + c(∆ < 0) →. A(2ax + b) B dx   + 2 (∆ < 0) = ∫ du /( u2 + a2 ) : ñaët u = atgt  ∫ 2 2 ax + bx + c ax + bx + c  ax + bx + c .

<span class='text_page_counter'>(2)</span> b. 5. Tính dieän tích hình phaúng : SD = ∫ f (x ) dx a. D giới hạn bởi x = a, x = b, (Ox), (C) : y = f(x) : a f(x) : phân thức hữu tỉ : lập BXD f(x) trên [a,b] để mở .; f(x) : hàm lượng giác : xét dấu f(x) trên cung [a, b] của đường tròn lượng giác. b b. D giới hạn bởi x = a, x = b , (C) : y = f(x) (C') : y = g(x) : SD = ∫ f (x ) − g(x ) dx a Xét dấu f(x) – g(x) như trường hợp a/. c. D giới hạn bởi (C1) : f1(x, y) = 0 , (C2) : f2 (x, y) = 0 f(x) b. g(y). α / SD = ∫ f(x) − g(x) dx. g(x). b. y=b f(y) y=a. a. β/. SD = ∫ f(y) − g(y) dy a. x=a x=b Với trường hợp α) : nếu biên trên hay biên dưới bị gãy, ta cắt D bằng các đường thẳng đứng ngay choã gaõy. Với trường hợp β) : nếu biên phải hay biên trái bị gãy, ta cắt D bằng các đường ngang ngaychỗ gãy. Chọn tính ∫ theo dx hay dy để ∫ dễ tính toán hay D ít bị chia cắt. Cần giải các hệ phương trình tọa độ giao điểm. Cần biết vẽ đồ thị các hình thường gặp : các hàm cơ bản, các đường tròn, (E) , (H), (P), hàm lượng giác, hàm mũ, hàm . . Cần biết rút y theo x hay x theo y từ công thức f(x,y) = 0 và biết chọn + hay −. (y = ... +. : treân, y = ... −. : dưới, x = ... +. : phaûi, x = ... −. 6. Tính theå tích vaät theå troøn xoay : a. D nhö 5.a/ xoay quanh (Ox) :. : traùi. ). f(x). b. V = π ∫ [f (x )]2 dx. a. b. a b. b.. b a. V = π ∫ [f (y)] 2 dy. f(x). f(y) g(x a ). a b. c.. V = π ∫ [f 2 (x ) − g 2 (x)]dx. b. a. b. b. d.. V = π ∫ [f (y) − g (y)]dy 2. 2. a. g(y). f(y). a f(x). e. f.. c. b. a. c. V = π ∫ f 2 (x )dx + π ∫ g 2 (x )dx c. b. a. c. V = π ∫ g2 (y)dy + π ∫ f 2 (y)dy. a. f(x). -g(x) b. b g(x. 0). Chuù yù : xoay quanh (Ox) : ∫ ...dx ; xoay quanh (Oy) : ∫ ... dy.. a. c. b. c. f(y) -g(y).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> PHỤ LỤC 1. PHỤ LỤC 1 1. Các quy tắc tính đạo hàm. 1. (u ± v)0 = u0 ± v 0 .. 4.. 2. (uv)0 = u0 v + uv 0 .. 5.. 3.. (ku)0. =. ku0 .. 6..
0 0 u 0 = u v−uv . v v2
1 0 v0 = − v2 . v 0 yx = yu0 .u0x .. 2. Bảng đạo hàm của các hàm số thường gặp. Đạo hàm của hàm số y = f (x) 1. c0 = 0 2.. x0. 3.. (xα )0. 4..
1 0 x. (c = const). =1 = αxα−1 = − x12. √ 0 5. ( x) = 6.. (sin x)0. (x 6= 0). 1 √ 2 x. (x > 0). 8. (tan x)0 =. (cos u)0 = −u0 sin u. 1 cos2 x 9. (cot x)0 = − sin12 x 10. (ex )0 = ex. (cos x 6= 0). 11. (ax )0 = ax ln a. (0 < a 6= 1). (ln x)0. 13. (loga. =. x)0. 1 x. =. (sin x 6= 0). (x > 0) 1 x ln a. (uα )0 = αuα−1 .u0
0 1 0 = − uu2 (u 6= 0) u √ 0 u0 (u > 0) ( u) = 2√ u (sin u)0 = u0 cos u. = cos x. 7. (cos x)0 = − sin x. 12.. Đạo hàm của hàm số y = f [u(x)]. (0 < a 6= 1, x > 0). (tan u)0 = (cot u)0. =. (eu )0. eu. =. u0 cos2 u 0 − sinu2 u. (au )0 = u0 au ln a (ln u)0 (loga. =. u)0. u0 u. =. (cos u 6= 0) (sin u 6= 0) (0 < a 6= 1). (u > 0) u0 u ln a. (0 < a 6= 1, u > 0). 3. Bảng nguyên hàm mở rộng. 1 dx = a1 arctan xa + C a2 +x2 1 a+x 1 2. a2 −x 2 dx = 2a ln a−x + C   √ R 3. √x21+a2 dx = ln x + x2 + a2 + C R x 4. √a21−x2 dx = arcsin |a| +C R x 5. x√x12 −a2 dx = a1 arccos |a| +C √ R 2 +a2 x a+ 1 1 6. x√x2 +a2 dx = − a ln +C x  √ √ R√ 2 7. a2 + x2 dx = x2 a2 + x2 + a2 ln x + x2 + √ R√ 2 8. a2 − x2 dx = x2 a2 − x2 + a2 arcsin xa + C R ax 9. eax sin bxdx = a2e+b2 (a sin bx − b cos bx) + C R ax 10. eax cos bxdx = a2e+b2 (a cos bx + b sin bx) + C. 1.. R R.  a2 + C. Lưu ý. Bảng này chỉ dùng để tra cứu không được sử dụng trong chương trình phổ thông..

<span class='text_page_counter'>(4)</span> PHỤ LỤC 2 1. Bảng giá trị lượng giác của các cung đặc biệt. 0. π 6. π 4. π 3. π 2. π. α. 00. 300. 1800. 0. 1. 0. cos α. 1. 0. 1. tan α. 0. 1 √2 3 √2 3 3. 600 √ 3 2 1 2. 900. sin α. 450 √ 2 √2 2 2. 3. ||. 0. 3 3. 0. ||. cot α. ||. √. 3. 1 1. √ √. 2. Đẳng thức lượng giác cơ bản. 1. sin2 α + cos2 α = 1. 1 2. 1 + tan2 α = . cos2 α 1 3. 1 + cot2 α = . sin2 α. 4. tan α. cot α = 1. sin α 5. tan α = . cos α cos α 6. cot α = sin α. 3. Công thức lượng giác. Công thức cộng.. Công thức biến đổi tích thành tổng.. 1. cos (a − b) = cos a cos b + sin a sin b.. 10. cos a cos b =. 2. cos (a + b) = cos a cos b − sin a sin b.. 11. sin a sin b =. 3. sin (a − b) = sin a cos b − cos a sin b.. 12. sin a cos b =. 4. sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b. tan a − tan b . 5. tan (a − b) = 1 + tan a tan b tan a + tan b 6. tan (a + b) = . 1 − tan a tan b Công thức nhân đôi.. 8. cos 2a = cos2 a − sin2 a.. Công thức biến đổi tổng thành tích. u−v u+v cos . 13. cos u + cos v = 2 cos 2 2 u+v u−v 14. cos u − cos v = −2 sin sin . 2 2 u+v u−v 15. sin u + sin v = 2 sin cos . 2 2 u−v u+v sin . 16. sin u − sin v = 2 cos 2 2 Công thức nhân ba.. 8a. cos 2a = 2cos2 a − 1.. 17. sin 3a = 3 sin a − 4sin3 a.. 8b. cos 2a = 1 − 2sin2 a. 2 tan a 9. tan 2a = . 1 − tan2 a Công thức hạ bậc. 1 + cos 2a 8c. cos2 a = . 2 1 − cos 2a 8d. sin2 a = . 2 1 − cos 2a 8e. tan2 a = . 1 + cos 2a. 18. cos 3a = 4cos3 a − 3 cos a.. 7. sin 2a = 2 sin a cos a.. 1 2 [cos (a − b) + cos (a + b)]. 1 2 [cos (a − b) − cos (a + b)]. 1 2 [sin (a − b) + sin (a + b)].. Công thức khác. 19. sin x + cos x = 20. sin x − cos x =. √ √. 2 sin x + 2 sin x −. π 4 .
π 4 ..
. 21. sin4 x + cos4 x = 1 − 12 sin2 2x. 22. sin6 x + cos6 x = 1 − 34 sin2 2x..

<span class='text_page_counter'>(5)</span>