CD PHUONG TRINH VA HPT

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH. I. Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ thích hợp. Bài 1: Giải phương trình 10 .. x −2 2 x+ 2 2 x2− 4 + −11 . 2 =0 . x+ 1 x −1 x −1. ( ) ( ). (. ). (*). ---Hướng dẫn--x−2 x+ 2 Đặt u= x +1 ; v = x −1 (1).. Ta có:. (*) ⇔ 10.u2 + v2 – 11.uv = 0 ⇔ (u – v).(10u – v) = 0 ⇔ u = v hoặc 10u = v.. Xét các trường hợp, thay vào (1) ta tìm được x một cách dễ dàng. Bài 2: Giải phương trình (x2 - 4x+3).(x2 - 6x + 8) = 15. (*) ---Hướng dẫn--- Ta có: (x2 - 4x+3).(x2 - 6x + 8) = 15 ⇔ (x - 1).(x - 3).(x - 2).(x - 4) – 15 = 0 ⇔ (x - 1).(x - 2).(x - 3).(x - 4) - 15 = 0 ⇔ (x2 - 5x + 4).(x2 - 5x + 6) – 15 = 0. - Đặt x2 - 5x + 5 = u (1). Ta có: (*) ⇔ (u - 1).(u + 1) - 15 = 0 ⇔ u2 – 16 = 0 ⇔ u=. ± 4.. Thay các giá trị của u vào (1) ta dễ dàng tìm được x.. Bài 3: Giải phương trình ---Hướng dẫn---. 2. 2. x x + =90 . x+1 x −1. ( ) ( ). (*).

<span class='text_page_counter'>(2)</span> x +1 ¿2 ¿ x −1 ¿2 ¿=90 ¿ 1 ¿ x2. ¿. Ta có: (*) . - Đặt u = x2 ( u. 2 x2  2  x . 2 90 ( x  1) 2 (**) 2. 0) (1). thay vào (**) ta được:. 2. u− 1¿ ¿ u− 1¿ 2 ¿ 2u+ 2 u. ¿. (u. ⇔. 1).. 2 88 u − 182u+ 90=0 .. Từ đây ta dễ dàng tìm được u, thay vào (1) ta tìm được x. Bài 4: Giải phương trình. √3 x+ √3 2 x −3=√3 12.(x −1) . (*). ---Hướng dẫn--3 Đặt x u;. 3. 2 x  3 v (1). Thay vào (*) ta có:. 3. u+ v=√ 4 .(u 3+ v 3 )⇔ u 3+ v 3 +3 uv .(u+ v)=4 .(u3 + v 3). u − v ¿2 =0 ⇔ ¿ u=− v ¿ u=v ¿ ¿ ¿ ¿ 2 ⇔ 3 .(u+ v).(u −2 uv + v 2)=0 ⇔ 3 .(u+v ). ¿. Xét các trường hợp thay vào (1) ta dễ dàng tìm được x.. Bài 5: Giải phương trình. 2. √ 5 x 3 +3 x 2+3 x −2+ 12 = x2 +3 x (1).. ---Hướng dẫn--Từ (1)  2. √ 5 x3 +3 x 2+ 3 x −2=x2 +6 x − 1 ⇒20 x 3+12 x 2+ 12 x − 8=x 4 +36 x2 +1+12 x3 −2 x 2 − 12 x.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 4. 3. 2. ⇒ x −8 x +22 x −24 x +9=0. ⇒ x 2 − 8 x +22 −. (x. 0).. 24 9 + =0 . x x2. 3 Đặt x+ x = y (*) ta có:. y2 - 8y + 16 = 0 suy ra y = 4 thay vào (*) ta dễ dàng tìm được x.. Bài 6: Giải phương trình.  x 1 .( x  4)  3.( x  4).. x 1  18 0 x 4. ---Hướng dẫn--Điều kiện x > 4 hoặc x < -1. * Nếu x > 4, thì (1) trở thành: (*). (x+ 1) .(x − 4)+3 . √( x+ 1).( x − 4)−18=0. Đặt √( x +1).( x − 4 )= y ≥ 0 (2), thay vào (*) ta được: y2 + 3y -18 = 0. - Từ đó ta dễ dàng tìm được y, thay vào (2) ta tìm được x. * Nếu x < -1, (1) trở thành: (x+ 1).(x − 4)−3 . √ (x+ 1) .( x − 4) −18=0. Đặt √( x +1).( x − 4 )= y ≥ 0 (3) rồi thay vào (**) ta có: y2 - 3y -18 = 0. Từ đó ta dễ dàng tìm được y, thay vào (3) ta tìm được x. Bài 7: Giải phương trình (2x2 - 3x +1).(2x2 + 5x + 1) = 9x2 (1). Giải (1) ⇔ 4 x 4 +4 x3 −20 x 2+ 2 x +1=0 (x ⇔ 4x2 + 4x -20 + ⇔. (. 2 x+. 2 1 + x x2. 0).Chia cả hai vế cho x2 ta được :. = 0.. 1 2 1 +2. 2 x + − 24=0 . Đặt y = x x. ) (. ). 2x+. 1 .(2) x. Ta có: y2 + 2y -24 = 0. Từ đó ta tìm được y,thay vào (2) ta dễ dàng tìm được x.. (1)..

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Bài 8: Giải phương trình. √ x2 −16 x +64 −2 . √ x 2 −8 x+ 16+ √ x2 =0 .. ---Hướng dẫn--⇔|x −8|− 2.|x − 4|+|x|=0 . Ta có. - x-8 x- 4 x. -. 0. 4. - 0 + 0 + +. 8. +. 0. + + +. - Đến đây ta xét từng khoảng , bài toán trở nên đơn giản. Bài 9: Giải phương trình (1 + x + x2)2 = 5.(1 + x2 + x4) (*) ---Hướng dẫn--Ta có: (*) ⇔ 1+ x 2+ x 4 +2 x +2 x 2+2 x 3=5+5 x 2+ 5 x 4 ⇔ 4 x 4 −2 x3 +2 x 2 −2 x +4=0 ⇔ 2 x 4 − x 3 + x 2 − x+2=0. Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho, vậy x. 0.. Chia cả hai vế của phương trình trên cho x2 ta được: 1. 2. 1 2x2 - x + 1 - x + 2 =0 . Đặt y = x+ x (*). Ta có: x. 2y2 - y - 3 = 0.Từ đó ta dễ dàng tìm được y, thay vào (*) ta tìm được x. Bài 10: Giải phương trình (6-x)4 + (8-x)4 = 16. ---Hướng dẫn--- Đặt 7 - x = y (*). ta có: (y-1)4 + (y + 1)4 =16 ⇔ 2y4 +12 y2 +2 = 16 ⇔ 2.(y-1).(y+1).(y2+7)=0 ⇔ y =1 hoặc y = -1.. Thay các giá trị của y tìm được ở trên thay vào (*) ta dễ dàng tìm được các giá trị của x. II.Tìm các nghiệm nguyên (x;y) hoặc (x;y;z) của các phương trình sau:.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Bài 1: x2 = y.(y + 1).(y + 2).(y + 3) ---Giải--Đặt y2 + 3y = t. Ta có: x2 = y.(y+1).(y+2).(y+3) = (y2 + 3y).(y2 + 3y +2) = t2 + 2t. *Nếu t > 0 thì t2 < x2 = t2 + 2t < (t+1)2 suy ra không tồn tại x thỏa mãn. *Nếu t < -2 thì 2t + 4 < 0 nên t2 + 2t > t2 + 4t + 4  t2 + 2t > t2 + 4t + 4 = (t+2)2.  x2 = t2 + 2t > (t + 2)2 (*).. Lại có: t2 +2t < t2 suy ra x2 < t2 (**). Từ (*)&(**)  suy ra (t + 2)2 < x2 < t2 suy ra x2 = (t+1)2 suy ra t2 +2t = (t +1)2 (=x2) Suy ra : t2 +2t = t2 +2t +1 (Vô lý). *Nếu t = -1 suy ra x2 = t2 +2t = -1 <0 (Vô lý). *Nếu t = 0 suy ra x = 0 ⇒ y = 0 hoặc -1 hoặc -2 hoặc -3 . ¿ x − y+ z=2(1) Bài 2: Giải hệ phương trình (I) 2 x 2 − xy+ x −2 z=1(2) ¿{ ¿. Giải: Từ (2) ta có: 2x2 - xy+x-2z =1 kết hợp với (1) ta có: 2x2 - xy+x-2.(2 - x + y)=1 ⇔ 2x2 -xy +3x-2y-5 =0 x 2 +3 x −5 7 ⇔ y= =x +1 − ∈ Ζ ⇒ 7 ⋮ x+ 2⇒ x +2=±1, ± 7. x+ 2 x+ 2. Từ đó ta tìm được x ⇒ tìm được y ⇒ tìm được z. ¿ x − y − z=3(1) Bài 3: x 2 − y 2 − z 2=1(2) ¿{ ¿. Giải: Thay (1) vào (2) ta được:.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> (y + z -3)2 -y2 -z2 =1 ⇔ yz - 3y - 3z = -4 ⇔ (y-3).(z-3) = 5 = 1.5 = (-1).(-5) = 5.1= =(-5).(-1. Từ đó ta tìm được y và z ⇒ tìm được x. Bài 4: 2xy + x + y = 83. Giải: ⇔. x=. 83 − y 166 − 2 y 167 ⇔ 2 x= =−1+ ∈ Ζ ⇒ 167 ⋮ 2 y +1 ⇒ 2 y+ 1=± 1,± 167 . 2 y +1 2 y +1 2 y +1. Từ đó ta tìm được y ⇒ tìm được x. xy yz zx Bài 5: z + x + y =3 .. Giải: Điều kiện : x,y,z. 0.. Nhận xét:Trong ba số x,y,z luôn tồn tại hai số cùng dấu (Theo nguyên tắc Đirichlê có 3 số -3 thỏ mà chỉ có hai chuồng-mọi số nguyên khác 0 chỉ mang dấu âm hoặc dấu dương) Ta có thể giả sử x,y cùng dấu với nhau.Suy ra x.y = |xy| > 0 và xy yz zx Đặt A= z + x + y =3 . xy yz zx Giả sử z <0 khi đó 3 = A = z + x + y <0+0+ 0=0 (Vô lý).. Vậy z >0.Ta có: |xy| |xy| x y 3 . z . . z . =3 . √|xy| z A = xy + yz + zx =3= + z . y + z . x ≥3 . 3 z. x. y. z. ⇒ 1 ≥|xy|. z ⇒ z=1,|xy|=1⇒ z=1 , x= y=1 ¿ z=1 , x= y =−1 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿. | x | | y|. √. z. | y| | x|. x y , >0 . y x.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Bài 6: 2x2 - 2xy = 5x + y - 19. Giải: Từ bài ra ta có: 2. y=. 2 x +5 x+ 19 17 =x+2+ ∈ Ζ ⇒17 ⋮ 2 x +1 ⇒2 x +1=±1, ±17 . 2 x+1 2 x+1. Từ đó ta tìm được x ⇒ tìm được y. III.Giải hệ phương trình và các phương trình khác. 1. 1. =2. Bài 1: Tìm các giá trị không âm của x thoả mãn x + √2 − x 2. Giải: Điều kiện : x ≠ 0,|x|< √ 2 . 1. 1. <¿ - Nếu x < 0 thì x + √2 − x 2. 1. √2 − x. 2. ≤. 1 < 2. (Xem lại lập luận này?) √2. Vậy ta xét x > 0: - Đặt x = a và. √ 2− x2=b (a,b > 0).. ¿ 1 1 + =2 a b Ta có: a2 +b 2=2 ¿{ ¿. Có: 2= 1 + 1 ≥ 2. 1 ⇒ ab ≥ 1 (1). a b. √. Lại có: 2 = a2 + b2. ab. 2ab suy ra 1. ab (2).. Từ (1)&(2) suy ra ab = 1 mà a2 + b2 =2 nên suy ra (a+b)2 = 4 suy ra a + b = 2. ¿ ab=1 a+ b=2 Vậy ta có: ⇒ a=b=1⇒ x=1 . ¿{ ¿. Bài 2: Giải:. √ 4 − x2 + √ 1+4 x +√ x 2+ y 2 −2 y −3=√ x 4 −16 − y +5 ..

<span class='text_page_counter'>(8)</span> ¿ 4 − x 2 ≥0 (1) 1+ 4 x ≥ 0(2) 2 Điều kiện: x + y 2 −2 y − 3 ≥0 (3) x 4 −16 ≥ 0(4) ¿{{{ ¿. Từ (4) suy ra x2. 4 kết hợp với (1) suy ra x2 = 4 kết hợp với (2) suy ra x = 2.. Phương trình đã cho trở thành: | y −1|=− y +5 .. Lúc này việc tìm y không còn khó khăn gì nữa (Lập bảng xét dấu). Bài 3: 2x4 -21x3 + 74x2 -105x +50 =0. Giải: Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho. Vậy x. 0.Chia cả hai vế của phương trình đã cho cho x2 ta được:. 2 x 2 −21 x+74 −. 105 50 25 2 25 + 2 =0 ⇔ 2 . x + − 21. x + −26=0 x x x x. (. ). (. ). 25 Đặt x+ x = y ta có:. 2y2 -21.y - 26 = 0.Từ đó ta tìm được y ⇒ tìm ra x. ¿ 2.|1+|x||−|1−|x||=5 Bài 4: |1+|x||+ 4 .|1−|x||=7 ¿{ ¿. Giải: ¿ a=|1+| x||≥ 0 Đặt : b=|1−|x||≥ 0 ¿{ ¿ ¿ 2 a −b=5 Hệ đã cho trở thành: a+ 4 b=7 ¿{ ¿.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Từ đó tìm được a =3,b =1. Đến đây việc tìm ra x không còn khó khăn nữa. ¿. |x − 1|+| y −5|=1(1) y=5+|x −1|(2) Bài 5: ¿{ ¿. Giải: Thay biểu thức (2) vào phương trình (1) ta có: |x − 1|+|5+|x −1|−5|=1 ⇔ 2 .|x −1|=1 .. Từ đó ta tìm được x.Việc tìm giá trị của y cũng không có gì khó khan nữa.. ¿ 2 x 2 −15 xy + 4 y 2 − 12 x +45 y −24=0 (1) Bài 6: x 2 −2 y 2+3 y −3 x +xy=0(2) ¿{ ¿. Giải: Phương trình (2) phân tích được như sau: ⇔ x= y ¿ x=3 −2 y (x - y).(x -3 + 2y) = 0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿. Xét các trường hợp thay vào phương trình (1) ta dễ dàng tìm được x và y. Bài 7: x3 + (3-m).x2 + (m-9).x + m2 -6m + 5 = 0. Giải: Phương trình đã cho phân tích được như sau:. [ x −(m− 5)] . [ x 2 −2 x −(m −1)]=0 . Đến đây việc giải và biện luận phương trình không còn khó khăn gì nữa..

<span class='text_page_counter'>(10)</span> ¿ x + y + z=1 Bài 8: x 4 + y 4 + z 4 =xyz ¿{ ¿. Giải: Bổ đề: ∀ a , b , c ∈ R : a2+ b2 +c 2 ≥ ab+ bc+ ca . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. (Dễ dàng chứng minh được bổ đề trên). Sử dụng bổ đề ta có: xyz = x4 + y4 + z4. x2y2 + y2z2 + z2x2. xyz.(x + y + z) = xyz.. Suy ra các dấu bất đẳng thức ở trên đều phải trở thành đẳng thức tức là ta phải có: x = y =z kết hợp với giả thiết ban đầu :x + y + z =1 ta được: x= y=z =. 1 . 3. ¿ x + y =1(1) 2. Bài 9:. 1999. 1999. 2000. 2. 2000. √ x − √ y =( √ y − √ x ) .(x + y + xy+2001)(2) ¿{ ¿. Giải: Điều kiện: x,y 0 . Nhìn nhận phương trình (2) ta thấy: -Nếu x > y thì: VT > 0, VP < 0 suy ra: VT > VP. -Nếu y > x thì: VT <0, VP >0 suy ra: VT < VP. -Nếu x = y khi đó: VT =VP =0. 1 Kết hợp với (1) (Chú ý:x,y 0 . ) ta được: x= y= . √2.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Bài 10: √ x+ √ 2 x −5 − 2+ √ x −3 . √2 x − 5+2=2 . √2 (1). Giải: 1 2 1 2 (1) ⇔ . √( √ 2 x −5+1 ) + . √ ( √ 2 x −3 − 3 ) =2 . √ 2 √2 √2 ⇔ √ 2 x −5+1+|√ 2 x − 5− 3|=4. Ta có: 4=|3 − √2 x − 5|+ √ 2 x −5+1 ≥ 3− √ 2 x −5+ √ 2 x −5+1=4 .. Vậy dấu bất đẳng thức ở trên phải trở thành dấu đẳng thức tức là: 3 − √ 2 x −5 ≥ 0 ⇔ 2 x − 5 ≥0 9≥ 2 x −5 5 ⇔7 ≥ x ≥ 2 ¿{ 5 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x ∈ 2 ;7 .. [ ].

<span class='text_page_counter'>(12)</span>