(Sáng kiến kinh nghiệm) rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về đường tròn cho học sinh lớp 9 trường THCS thiết ống

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA
PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÁ THƯỚC

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TỐN VỀ
ĐƯỜNG TRỊN CHO HỌC SINH LỚP 9 TRƯỜNG THCS
THIẾT ỐNG

Người thực hiện: Trịnh Văn Đoan
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Thiết Ống
SKKN thuộc mơn: Tốn

THANH HĨA, NĂM 2019


MỤC LỤC
NỘI DUNG
1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
1.2. Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu
2. Nội dung
2.1. Cơ sở lí luận của SKKN
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng SKKN
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Các giải pháp cụ thể
2.3.2. Các bước tổ chức thực hiện
2.3.3. Tổ chức thực hiện

+ Dạng 1
+ Dạng 2
+ Dạng 3
+ Dạng 4
+ Dạng 5
+ Dạng 6
+ Bài tập vận dụng
2.4. Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận
3.2. Kiến nghị

Trang
1
1
1
2
2
3
3
3
4
4
5
5
5
6
8
9
11

12
16
18
19
19
19


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Tốn học là mơn khoa học tự nhiên có tính trừu tượng cao, tính logic, chặt
chẽ đồng thời mơn tốn cịn là bộ mơn hỗ trợ cho các mơn học khác. Hình học là
môn học rèn luyện cho học sinh khả năng đo đạc, tính tốn, suy luận logíc, phát
triển tư duy sáng tạo cho học sinh. Nâng cao được năng lực tư duy, tính độc lập,
sáng tạo linh hoạt trong cách tìm lời giải bài tập tốn nhất là bộ mơn hình học
càng có ý nghĩa quan trọng. Việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi và ôn thi vào lớp
10 không đơn thuần chỉ cung cấp cho các em một số kiến thức cơ bản thông qua
việc làm bài tập hoặc làm càng nhiều bài tập khó, hay mà giáo viên phải biết rèn
luyện khả năng sáng tạo đối với bộ môn hình học càng phải biết rèn luyện năng
lực tư duy trừu tượng và phán đoán logic.
Qua thực tế giảng dạy và đối tượng là học sinh lớp 9 trường THCS Thiết
Ống tôi thấy rằng khả năng vận dụng kiến thức cơ bản để vẽ hình, giải bài tập
Hình học của học sinh còn nhiều hạn chế dẫn đến khi giải mắc nhiều sai sót,
khơng biết cách trình bày hoặc áp dụng kiến thức có liên quan một cách khơng
linh hoạt và thiếu sáng tạo. Chính vì vậy giáo viên cần chuẩn bị thật kỹ lý thuyết
cũng như các dạng bài tập phù hợp với học sinh, để vừa có điều kiện ôn lại kiến
thức cơ bản vừa giúp học sinh phát triển tốt tư duy, thuật giải,…Trong chương
trình mơn Hình học THCS, đặc biệt ở lớp 9 các bài toán về đường trịn là dạng
khó, có rất nhiều ứng dụng trong thực tế cũng như các kì thi. Với kinh nghiệm
của bản thân, qua thực tế giảng dạy cùng với sự học hỏi đồng nghiệp tôi xin

được giới thiệu đề tài: “Rèn luyện kĩ năng giải các bài toán về đường tròn cho
học sinh lớp 9 trường THCS Thiết Ống”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
a. Đối với giáo viên:
- Tìm ra các giải pháp, hình thức dạy học và bồi dưỡng nhằm đạt hiệu quả
cao nhất.
- Nâng cao trình độ chuyên môn cụ thể là thành thạo kĩ năng giải các bài
tốn về đường trịn phục vụ cho q trình giảng dạy.
- Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nâng cao kiến thức.
b. Đối với học sinh:
- Giúp học sinh học tập mơn tốn nói chung và việc giải bài tốn về
đường trịn nói riêng. Trang bị cho học sinh một số kiến thức mới nhằm nâng
cao năng lực học mơn tốn giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động, sáng tạo
và làm công cụ giải quyết một số bài tập có liên quan đến đường trịn.
- Kích thích mạnh mẽ ý thức tự giác, lịng say mê và ý chí vươn lên trong
học tập, tu dưỡng của học sinh nói chung .
- Gây được hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong SGK, sách tham
khảo, giúp học sinh tự khai thác và giải được một số bài tập.

1


- Giúp học sinh có ý thức khai thác bài toán cơ bản và vận dụng thành
thạo các phương pháp đó để giải bài tập.
- Thơng qua việc giải các bài tốn về đường trịn giúp học sinh thấy rõ
mục đích của việc học tốn và học tốt hơn phần tốn về đường trịn.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Các kĩ năng giải bài tốn về đường trịn cho học sinh lớp 9.
- Đề tài áp dụng cho học sinh lớp 9 và trong các giờ dạy, luyện tập, ôn tập
cuối kỳ, cuối năm, kỳ thi học sinh giỏi và thi tuyển vào THPT.

1.4. Phương pháp nghiên cứu
a. Phương pháp nghiên cứu lí luận
Thơng qua các tài liệu: Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập, sách
tham khảo, một số vấn đề phát triển toán 9. Các chuyên đề bồi dưỡng toán
THCS, nâng cao và phát triển Toán 9, phương pháp giải tốn hình học 9, 300 bài
tốn trắc nghiệm và tự luận về đường tròn lớp 9, những bài tốn tổng hợp về
đường trịn, báo tốn học tuổi trẻ...
b. Phương pháp kiểm tra
Qua các bài kiểm tra trắc nghiệm và tự luận của học sinh để nắm bắt kiến
thức, kĩ năng việc giải các bài tốn về đường trịn của học sinh lớp 9. Đặc biệt
lưu ý tới các sai lầm thiếu sót mà học sinh thường mắc phải trong q trình giải
bài tốn về hình học .
c. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
Thông qua việc giảng dạy hàng ngày của bản thân và kết quả học tập của
học sinh và việc ứng dụng của học sinh để làm bài tập.
d. Phương pháp phân tích, tổng hợp
Từ các bài thực tế giảng dạy, các bài làm của học sinh, các khóa học để
phân tích kĩ càng điểm thiếu sót, lập luận chưa chặt chẽ của học sinh. Thông qua
trao đổi kinh nghiệm giảng dạy của đồng nghiệp để tổng hợp lại các bài giảng
chi tiết nhất, cụ thể nhất để cung cấp cho học sinh một cách hiệu quả nhất.

2


2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 
Hoạt động dạy và học trong nhà trường được tiến hành bằng kế hoạch cụ
thể và chi tiết. Toán học là một mơn học khó, học sinh khi học và vận dụng vào
giải bài tập thì cần có sự linh hoạt trong từng bài, từng trường hợp. Hình học là
một trong hai mơn Tốn, nó trừu tượng trong hình vẽ, rắc rối trong suy luận nên

yêu cầu học sinh phải chăm chỉ luyện tập. Do đó đại đa số học sinh ngại học
mơn Hình. Các bài tốn về đường trịn là một phần nhỏ của Hình học THCS
cũng như lớp 9, phần lí thuyết thì ngắn gọn nhưng sự vận dụng vào giải các
dạng bài tập thì vơ vàn, mà các dạng toán áp dụng trong SGK và SBT ít, không
đáp ứng được yêu cầu học tập và rèn luyện của học sinh, đòi hỏi học sinh phải
tự mua sách và nghiên cứu sách nâng cao ở nhà. Khi gặp dạng bài tập mới
khơng có lời giải và chỉ dẫn chi tiết, việc làm này làm cho học sinh thụ động và
đơi khi chán nản, khơng muốn tự mình tìm tịi và suy luận nữa.
Chính vì vậy vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào mà mỗi tiết học về đường
tròn, giáo viên cần khắc sâu kiến thức trọng tâm cho học sinh, để các em đều
nắm được kiến thức cơ bản. Có như vậy tiết học mới phong phú và chất lượng.
Mơn Hình học có khả năng giúp học sinh rèn luyện óc trừu tượng, khả năng tư
duy chính xác trong việc tìm ra các kiến thức mới. Có tác dụng rèn luyện cho
học sinh phương pháp thực hành, phương pháp suy luận, phương pháp xử lí
thơng tin, tính cần cù chịu khó trong q trình học tập mơn này. Vì vậy để học
sinh chủ động chiếm lĩnh tri thức và nâng cao chất lượng học tập của học sinh
tôi đã chọn đề tài này.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 
a. Thực trạng chung
Tốn học là mơn học cơng cụ đắc lực không thể thiếu để hổ trợ cho các
môn khoa học khác cũng như giải quyết các vấn đề thực tế. Việc giúp học sinh
nắm vững kiến thức cơ bản và vận dụng tốn học vào thực tế khơng phải của
riêng thầy giáo, cơ giáo nào.
Chương trình tốn THCS đã giúp học sinh giải quyết nhiều vấn đề cơ bản
trong thực tế. Trong chương trình tốn THCS nhiều dạng tốn mang tính áp
dụng cao, nó là cơ sở để ứng dụng giải quyết các bài toán liên quan. Trong đó có
mợt dạng toán liên quan giải các bài tốn về đường trịn là rất khó đới với học
sinh THCS. Trên thực tế kiến thức về đường tròn chỉ dừng lại ở khái niệm chứ
không đi sâu vì thế khi gặp mợt bài toán khó về đường trịn thì học sinh không
có phương hướng để giải quyết. Tuy nhiên việc hệ thống hóa các dạng bài tập

cũng như phương pháp giải các dạng tốn liên quan đến đường trịn chưa được
các giáo viên thực sự chú ý và quan tâm. Vì lí do đó kĩ năng giải các bài tốn về
đường tròn cho học sinh lớp 9 còn ở mức yếu kém, lúng túng, gặp nhiều khó
khăn khi tìm huớng giải đúng đắn.
Giải các bài tốn về đường trịn là bài tốn khó vì phạm vi kiến thức rộng
đặc biệt là với học sinh lớp 9, các dạng bài toán về đường tròn thường xuyên
xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi, các đề thi vào lớp 10 THPT.
3


b. Đối với giáo viên
Qua thực tế dạy học sinh lớp 9 và tham khảo ý kiến của đồng nghiệp tơi
thấy rằng khi gặp các bài tốn về đường trịn thường có những khó khăn sau:
- Các dạng tốn đường trịn là dạng tốn khó vì phạm vi và kiến thức rộng
nên khi dạy còn nhiều lúng túng.
- Giáo viên khi dạy về đường tròn chỉ chữa bài tập là xong, ít khai thác,
phân tích, mở rộng bài tốn, đến khi học sinh gặp bài tốn khác một chút là
khơng có phương pháp giải nên khơng giải được.
- Khi dạy loại toán này giáo viên chưa đưa ra được các phương pháp cụ
thể do đó việc giảng dạy cịn mang tính chất thụ động.
- Khơng đưa ra hoặc sửa chữa những sai lầm mà học sinh thường mắc
phải khi giải các bài toán này.
c. Đối với học sinh
Các em khi giải các bài tốn về đường trịn thường lúng túng, khơng biết
bắt đầu từ đâu, chưa định hình được phương pháp giải nên đa số các em thường
học kém và khơng hứng thú học tập.
Học sinh thường ngại học Hình học cũng như các bài tốn về đường trịn
vì khơng biết vẽ hình, kiến thức khơng liền mạch, phương pháp giải hạn chế...
Kết quả khảo sát trước khi thực hiện đề tài năm 2017 - 2018
Giỏi

Khá
Trung bình
Yếu
Kém
Sĩ
Lớp
số SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL %
9A 36
2
5,5
6
16,7
18
50
10
27,8
0 0%
Vì vậy phát triển năng lực tư duy lơgíc, óc trừu tượng cho học sinh thông
qua việc giải các bài tốn về đường trịn là cần thiết. Trong những năm giảng
dạy thực tế ở trường THCS Thiết Ống tôi đã tích luỹ được một số kiến thức và
kinh nghiệm về các kĩ năng giải các bài tốn về đường trịn.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1. Các giải pháp cụ thể
- Ra đề cho học sinh làm bài kiểm tra khảo sát để đánh giá đúng chất
lượng của học sinh về kiến thức giải các bài tốn về đường trịn.
- Cung cấp tồn bộ kiến thức cơ bản cho học sinh.
- Điều tra về mức độ hứng thú học giải các bài toán về đường tròn của học
sinh.
- Nghiên cứu, phân loại các dạng bài tập sao cho phù hợp với từng đối
tượng học sinh và từng phần kiến thức cụ thể.
- Hệ thống bài toán theo từng dạng và đưa ra các bài toán từ dễ đến khó,
sau đó giảng giải cụ thể cho học sinh từng dạng để từ đó học sinh nắm vững
kiến thức và cách vận dụng vào giải các bài toán tương tự.
- Gây được hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong SGK, sách tham
khảo, giúp học sinh tự giải được một số bài tập.
- Thực hiện dạy theo phương pháp đổi mới, sử dụng tối đa các đồ dùng
dạy học.

4


- Giải đáp những thắc mắc, sửa chữa những sai lầm hay gặp khi giải các
bài tốn về đường trịn trong quá trình dạy học.
2.3.2. Các bước tổ chức thực hiện
- Phân dạng các bài tốn về đường trịn nhằm nâng cao chất lượng học
sinh.
- Tham khảo các tài liệu đã được biện soạn và đưa ra các dạng bài từ dễ
đến khó.
- Trao đổi với đồng nghiệp bạn bè để hồn thiện các dạng bài tốn và
phương pháp giải để hồn thiện hơn bài giảng của mình.
2.3.3. Tổ chức thực hiện
Để học sinh nắm vững các dạng tốn hình học lớp 9 và có kĩ năng giải

thành thạo từng dạng, trong q trình giảng dạy tơi đã phân các bài tốn hình
học lớp 9 thành các dạng để dạy cho học sinh như sau:
Dạng 1. Bài tập vận dụng về tính chất của đường trịn
1. Ứng dụng tính chất của đường trịn
Xem xét và sử dụng tính chất của đường trịn (lớp 9) về quan hệ đường
kính và dây cung; dây cung và khoảng cách đến tâm để chứng minh hai đường
thẳng vng góc, so sánh hai đoạn thẳng.
Sử dụng đường kính là dây cung lớn nhất của đường trịn để xác định vị
trí của một đường thẳng, một điểm, có hình đặc biệt hoặc là áp dụng để giải các
bài toán về cực trị.
2. Bài toán áp dụng
Bài 1. Cho đường trịn (O) đường kính AB, dây CD khơng cắt dường kính
AB. Gọi H và K theo thứ tự là chân các dường vng góc kẻ từ A và B đến CD.
Chứng minh rằng: CH = DK.
Hướng dẫn:
Theo giả thiết ta có: AH  CD và BK  CD

C

H

D

M

K

nên AH//BK suy ra AHKB là hình thang.
Kẻ OM  CD tại M  MC=MD (1) (Định lí

A

O

B

quan hệ vng góc giữa đường kính và dây).
Xét hình thang AHKB có:
OA=OB=R; OM//AH//BK (cùng vng góc với CD).
 OM là đường trung bình của hình thang

 MH=MK (2)

Từ (1) và (2) suy ra: CH = DK.
Bài 2. Cho (O) và dây AB khơng là đường kính. Gọi M là trung điểm của
AB. Qua M vẽ dây CD không trùng với AB. Chứng minh rằng:
5


a) M không là trung điểm của CD;
b) AB < CD.
Hướng dẫn:
a) Vì MA = MB nên OM  AB. Giả sử MC = MD
suy ra OM  CD. Điều này vơ lí vì qua điểm M có
2 đường thẳng cùng vng góc với OM. Vậy điều
giả sử là sai, do đó M khơng là trung điểm của
CD.
b) Vẽ OH  CD, OH < OM (cạnh góc vng nhỏ
hơn cạnh huyền). Suy ra CD > AB hay AB < CD.

C
O
H
A

B

M
D

Bài tập tương tự:
Bài 1. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Lấy một điểm C
trên nửa đường tròn sao cho  ABC = 300. Gọi P là giao của tiếp tuyến tại A
với nửa đường tròn và đường thẳng BC. Chứng minh PA 2  PC.PB .
Bài 2. Cho (O; R) và điểm M ở trong đường trịn. Hãy dựng dây AB qua
M sao cho góc AOB nhỏ nhất.
Dạng 2. Bài tập về tiếp tuyến của đường trịn
1. Ứng dụng của tiếp tuyến
- Từ các tính chất của tiếp tuyến, của hai tiếp tuyến cắt nhau ta chỉ ra
được các đường thẳng vng góc, các cặp đoạn thẳng và các cặp góc bằng nhau;
cũng từ đó ta xây dựng được các hệ thức về cạnh, về góc.
- Vận dụng tính chất của tiếp tuyến HS có thể vận dụng vào tam giác tìm
ra cơng thức tính diện tích của đường trịn nội tiếp, đường trịn ngoại tiếp và
đường tròn bàng tiếp tam giác, cũng như bán kính.
Lưu ý : Chứng minh AX là tiếp tuyến của (O;R) chúng ta làm theo một trong
các cách sau:
E
A  (O; R) và  OAX = 900.
Khoảng cách từ O đến AX bằng R.
Nếu X nằm trên phần kéo dài của

O
F
2
EF và XA = XE.XF (xem hình).
X

A

2. Bài tốn áp dụng
Bài 1. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngồi tại A. Kẻ các đường
kính AOB; AO’C. Gọi DE là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn; D(O); E
(O’). Gọi M là giao điểm của BD và CE.

6


a) Tính số đo góc DAE.
b) Tứ giác ADME là hình gì ?
c) Chứng minh rằng MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn .
Hướng dẫn :
a) Kẻ tiếp tuyến chung của hai đường tròn
đi qua A cắt tiếp tuyến chung DE ở F.
Dựa vào tính chất tiếp tuyến ta có FA =
FD = FE. Vậy  DAE là tam giác vuông
O
A
O'
C
B
tại A hay  DAE = 900.

b) Tứ giác ADME có Dˆ = Aˆ = Eˆ = 90 0 nên
E
nó là hình chữ nhật .
F
D
c) Từ câu b) AM đi qua trung điểm của
DE hay AM trùng với AF nên AM là tiếp
M
tuyến chung của hai đường tròn .
Chú ý :
- Với những bài tập cho trước hai đường tròn tiếp xúc nhau, ta nên lưu ý đến
tiếp tuyến chung của chúng. Nó thường có một vai trị rất quan trọng trong các
lời giải.
- Với bài tập trên chúng ta có thể hỏi:
- CMR:  OFO’ là góc vng.
- DE là tiếp tuyến của đường trịn ngoại tiếp tam giác OFO’.
- Các tia AD và AE cắt (O) và (O’) ở H; K. Chứng minh: SAHK = SADE .
Bài 2. Gọi a, b, c là số đo 3 cạnh của tam giác ABC, r là bán kính đường
trịn nội tiếp tam giác. Tính diện tích tam giác theo p và r, trong đó p là nửa chu
vi tam giác.
Hướng dẫn :
Gọi D, E, F là các tiếp điểm .
A
Theo tính chất tiếp tuyến: OD = OF = OE = r.
Nên : SABC = SABO + SBCO + SACO
SABC

1
= ( a + b + c).r = pr.
2

E

F

O

Vậy S = pr.
B

D

C

Từ bài tập trên hãy tính:
Bán kính r của đường trịn nội tiếp tam giác vuông, tam giác đều theo các
cạnh của tam giác .
Các đoạn tiếp tuyến AE , BF , CD theo các cạnh a , b, c của tam giác .
7


Bài tập tương tự:
Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi O là tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC; d là tiếp tuyến của đường tròn tại A. Các tiếp tuyến của
đường tròn tại B và C cắt d theo thứ tự ở D và E.
a) Tính góc DOE?
b) Chứng minh : DE = BD + CE .
c) Chứng minh : BD.CE = R2 (R là bán kính đường trịn tâm O).
d) Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường trịn có đường kính DE.
Bài 2. Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB=2R, M di động trên nửa

đường tròn (O) (M khác A và B). Kẻ đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại H.
Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến AC và BD với (M), C và D là hai tiếp điểm.
a) Chứng minh 3 điểm C, M, D thẳng hàng và CD là tiếp tuyến của (O).
b) Gọi K là giao điểm của AB và CD; K và B nằm cùng phía với A. Xác định
vị trí của M để OK+2OH nhỏ nhất.
Dạng 3. Bài tập về các loại góc trong đường trịn
1. Kiến thức:
Học sinh sử dụng định nghĩa, tính chất về góc nội tiếp, góc ở tâm, ... để
tìm số đo, chứng minh các góc bằng nhau, …
2. Bài tập áp dụng
Bài 1. Cho đường trịn (O) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax với đường
tròn. Điểm C thuộc nửa đường tròn cùng nửa mặt phẳng với Ax với bờ là AB.
Phân giác của góc CAx cắt đường trịn tại E, cắt BC ở D. Chứng minh:
a) Tam giác ABD cân.
b) H là giao điểm của BC và DE. Chứng minh DH  AB.
c) BE cắt Ax tại K. Chứng minh tứ giác AKDH là hình thoi.
Hướng dẫn :
a) AD là phân giác hai cung AE và CE bằng
nhau. Dựa vào góc nội tiếp ta dễ dàng chứng
D
x
minh được BE vừa là phân giác vừa là đường
cao của tam giác ABD, nên ABD cân đỉnh B.
K
C
E
b) Dựa vào góc chắn nửa đường tròn. Ta thấy H
là trực tâm của ABD nên DH  AB.
H
c) Ta thấy KE = HE (vẽ AKH cân đỉnh A) và

AE = DE ( ABD cân đỉnh B) và ADKH, nên
tứ giác AKDH là hình thoi .

A

O

B

* Khai thác bài toán :
- Chứng minh OE  AC .
8


- Tìm vị trí của C trên cung AB để ABD đều
Bài 2. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Đường trịn (O) có đường kính
BC cắt AB, AC theo thứ tự ở D, E. Gọi I là giao điểm của BE và CD .
a) Chứng minh : AI  BC.
b) Chứng minh :  IDE =  IAE.
c) Cho  BAC = 600. Chứng minh tam giác DOE là tam giác đều.
Hướng dẫn:
a) Dựa vào tính chất góc chắn nửa đường tròn, ta
chứng minh được I là trực tâm của  ABC nên AI 
A
BC .
b)  IAE =  EBC (góc có cạnh tương ứng vng
góc)
D
 EBC = EDC (cùng chắn cung EC).
I

Từ hai điều trên suy ra điều chứng minh .
c)  BAC = 600   DBE = 300 (cùng chắn cung
DE)

B

O

E

C



 Sđ DE = 600   DOE = 600 (góc ở tâm)
mà tam giác DOE cân đỉnh O nên DOE là tam giác
đều.
Bài tập tương tự:
Bài 1. Cho A là một điểm cố định trên đường tròn (O) và M là một điểm
di động trên đường trịn đó. N là giao của AM với đường kính cố định BC.
Chứng minh giao điểm của đường tròn (O) với đường tròn ngoại tiếp tam giác
OMN là cố định .
Bài 2. Cho tam giác ABC nội tiếp (O;R). Chứng minh rằng:
a) R =

a
b
c



.
2SinA 2SinB 2SinC

b) R =

abc
4S 

.

(Từ bài tập trên hãy tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác vng, tam
giác đều.)
Dạng 4. Bài tập về tứ giác nội tiếp một đường tròn
1. Kiến thức: Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn theo một trong
các cách sau đây :
- Chứng minh tổng hai góc đối diện trong một tứ giác bằng 1800.
- Chứng minh hai điểm nhìn hai điểm cịn lại dưới cùng một góc.

9


- Tứ giác ABCD có AC cắt BD tại M mà MA.MC = MB.MD thì tứ giác
ABCD nội tiếp .
- Tứ giác có hai cạnh bên AB và CD giao nhau tại M mà MA.MB =
MC.MD thì tứ giác ABCD nội tiếp .
2. Bài toán áp dụng:
Bài 1. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Chứng minh rằng:
AC.BD = AB.DC + AD.BC.
Hướng dẫn :
Giả sử  ACD >  ACB .

A
Lấy E trên BD sao cho  ACB =  DCE.
B
 ABC  DEC  AB.DC = AC.DE.
O
 ADC  BEC  AD.BC = AC.BE.
E
Cộng từng vế hai đẳng thức trên suy ra điều chứng
C
minh.
D
Bài 2. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn với các đường cao BD, CE .
a) Chứng minh BEDC là tứ giác nội tiếp .
b) Chứng minh: AD.AC = AE.AB.
c) Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng
minh rằng: Ax // ED .
Hướng dẫn:
a) D, E cùng nhìn BC dưới một góc 900 nên tứ giác
BEDC nội tiếp .
A
b) Hai tam giác vuông ABD và ACE đồng dạng.
x
D
Suy ra: AD.AC = AE.AB.
E
O
c)  xAB =  ACB (cùng chắn cung AB)
 AED =  ACB (cùng phụ với  BED)
C
B

Nên  xAB =  AED. Suy ra Ax // ED.
Khai thác bài toán : Với giả thiết của bài tốn trên chúng ta có thể khai
thác bài tốn theo nhiều hướng và ra được nhiều câu hỏi :
- Kéo dài các đường cao BD, CE, AF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
ở D’, E’, F’. Chứng minh :
+ H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác D’E’F .
+ H đối xứng với D’, E’, F’ qua AC, AB, BC .
+ ED // E’D’.
+ OA  E’D’.
10


+ Các đường tròn tam giác: HAB , HBC, HCA có bán kính bằng nhau .
+ SABC =

abc
.
4R

- Vẽ hình bình hành BHCK, I là trung điểm của BC. Chứng minh:
+ Tứ giác ABKC nội tiếp với K nằm trên đường tròn (O) .
+ BAˆH = OAˆC . H, I, K thẳng hàng.
+ AH // OI ; AH = 2.OI. Nếu B, C cố định A di động thì bán kính đường trịn
ngoại tiếp  ADE khơng đổi .
+ Đường thẳng qua K song song với BC cắt AH tại M thì A, B, C, K, M cùng
nằm trên một đường tròn.
Bài tập tương tự:
Bài 1. Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O); E là điểm chính giữa của cung
AB, hai dây EC, ED cắt AB tại P và Q. Các dây AD và EC kéo dài cắt nhau tại
I, các dây BC và ED kéo dài cắt nhau tại K. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác CDIK nội tiếp.
b) Tứ giác CDQP nột tiếp.
c) IK // AB.
d) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AQD tiếp xúc với EA.
Bài 2. Cho đường trịn (O;R) đường kính AB, C là điểm trên đường kính
AB. Trên đường trịn lấy điểm D và M là trung điểm cung DB. MC cắt đường
tròn tại E, DE cắt AM tại K. Vẽ đường thẳng qua C song song AD và cắt DE tại
F. Chứng minh:
a) Tứ giác AKCE nội tiếp.
b) CK//BD.
c) CK  AD.
d) Tứ giác CBEF nội tiếp.
Dạng 5. Hệ thức trong hình học
Bài 1. Trên cung BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC lấy
một điểm P tuỳ ý. Các đoạn thẳng AP và BC cắt nhau tại điểm Q. Chứng minh
rằng:

1
1
1


.
PQ
BP CP

Hướng dẫn:
Cách giải 1: (Hình 1)
Trên đoạn AP lấy hai điểm N và M sao cho BN = BP
và PM = PC. Khi đó ta có các tam giác BNP và tam

giác MPC là các tam giác cân.
Vì  APB =  ACB = 600 và  MPC =  ABC =
600 (Các góc nội tiếp cùng chắn một cung).
Suy ra tam giác BNP và tam giác MPC là các tam
giác đều.
Xét  CQP và  BQN có:  BQN =  CQP (hai góc

A

N
O
M
B

C

Q
P

Hình 1
11


đối đỉnh) và  BNQ =  CPQ = 600
Suy ra:  CQP


 BQN 

1

1
1
=

CP
PQ
BP

CP
BN
BN
1
BN - PQ
=
=
=

PQ
NQ
BN - PQ
CP
PQ.BN

1
1
1 .


PQ
BP CP

Cách giải 2: (Hình 2)
PQ QC
=
PB AC
PQ BQ
=
∆PCQ ∆BAQ (g-g) 
PC AB
PQ PQ QC BQ
+
=
+
Do đó:
PB PC AC AB
1
1
1
1
1


 PQ( + ) = 1 
PQ
BP CP
PB PC

∆PBQ

∆CAQ (g-g) 

A

O
B

Q

C

P

Hình 2

* Nhận xét: Từ bài toán trên, giáo viên cần yêu cầu học sinh khái quát nên các
bài toán sau và tự giải:
Bài 2. Cho tam giác ABC đều nội tiếp (O;R), P là điểm chuyển động trên
cung BC không chứa A. Xác định vị trí của P để tổng

1
1
1
=
+
đạt giá trị
PA PB PC

nhỏ nhất.
Bài 3. Cho BC là dây cung cố định của (O;R), (BC ≠ 2R), A là điểm
chuyển động trên cung lớn BC, P là điểm chuyển động trên cung nhỏ BC.

Xác định vị trí của các điểm A và P để tổng

1
1
1
=
+
đạt giá trị nhỏ nhất.
PA PB PC

Dạng 6. Bài tập tổng hợp
Ở phần trên chúng ta đã sử dụng một số định nghĩa và tính chất của
đường tròn, các yếu tố liên quan để giải đáp một số bài toán cơ bản. Ở phần này
chúng ta sẽ nâng cao khả năng giải toán trên những bài toán tổng hợp của những
dạng toán trên dựa trên những kiến thức đã học và tư duy trừu tượng. Vì vậy để
giải được các bài toán này yêu cầu:
- Đối với giáo viên: phải nắm vững kiến thức, vận dụng kiến thức linh
hoạt từ dễ đến khó để truyền đạt và giải đáp cho học sinh.
- Đối với học sinh: nắm vững kiến thức cơ bản, biết đọc và vẽ hình, chịu
khó tư duy và lập luận để giải các bài toán liên quan.
1. Các câu hỏi thường gặp trong các bài tốn hình:
- Chứng minh: Nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn (đặc biệt là 4
điểm cùng nằm trên một đường tròn hay chứng minh tứ giác nội tiếp).
- Chứng minh hai đường thẳng song song, vng góc với nhau.

12


- Chứng minh đẳng thức hình học.
- Chứng minh điểm cố định.

- Nhận biết hình là hình gì? (có thể là tam giác cân, hình bình hành, hình
thoi, hình chữ nhật,…). Lưu ý: Khi chứng minh tứ giác là hình thang cân khơng
được chứng minh là hình thang có hai cạnh bên bằng nhau.
- Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy; 3 hay nhiều điểm thẳng hàng.
- Chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của 1 đường tròn, tiếp tuyến
chung của hai đường trịn .
- Xác định vị trí đặc biệt để có hình đặc biệt.
- Tốn cực trị hình học.
- Tốn các đại lượng hình học: đoạn thẳng, cung, góc, chu vi, diện tích…
Trong các câu hỏi trên tùy theo từng bài mà ra các câu hỏi sao cho có sự
lơgíc giữa các câu thứ nhất, thứ hai và các câu sau .
Thông thường kết quả của các câu trên bao giờ cũng là giả thiết để chứng
minh câu dưới, đôi khi cần vẽ thêm đường phụ để bài toán trở nên đơn giản hơn.
2. Bài tập vận dụng
Bài 1. Cho đường tròn (O) và dây cung AB. Trên tia AB lấy một điểm C
nằm ngồi đường trịn. Từ điểm chính giữa P của cung lớn AB kẻ đường kính
PQ, cắt dây AB tại D. Tia CP cắt đường tròn tại điểm thứ hai I. Các dây AB và
QI cắt nhau tại K.
a) Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp một đường tròn.
b) Chứng minh CI.CP = CK.CD.
c) Chứng minh IC là tia phân giác của góc ngồi đỉnh I của tam giác AIB.
d) Cố định A, B, C. Chứng minh rằng khi đường tròn (O) thay đổi nhưng
vẫn đi qua A, B thì đường thẳng QI ln đi qua một điểm cố định.
Hướng dẫn:
a) Ta có: PQ  AB   PDK = 900.
P
 PIK =  PIQ = 900 (góc nội tiếp chắn
nửa đường trịn)
I
Vậy tứ giác PDIK nội tiếp đường trịn đường

kính PK.
O
b) Hai tam giác vng CIK và CDP đồng
dạng. Từ đó suy ra:
A
C
D K
B
CI
CK

 CI .CP  CD.CK .
CD CP

Q

c) Ta có:  AIQ =  BIQ (góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau)
Suy ra IQ là tia phân giác trong tại I của tam giác AIB.

13


Do IC  QI nên IC là phân giác ngoài tại I của tam giác AIB.
d) Theo câu b) ta có: CI.CP = CK.CD (1)
Đồng thời ta thấy hai tam giác CIB và CAP đồng dạng (vì có  IBC =  APC
do cùng bù góc ABI). Từ đó suy ra:
CI
CA

 CI .CP  CA.CB.

CB CP

Từ (1) và (2) suy ra: CK.CA.CB 

(2)

CK 

CA.CB
.
CD

Do A, B, C cố định nên D cố định. Do đó CK có độ dài khơng đổi và do đó K là
điểm cố định. Vậy đường thẳng QI luôn đi qua điểm cố định K.
Bài 2. Cho ba điểm cố định A, B, C thẳng hàng (theo thứ tự đó). Một
đường trịn (O) thay đổi nhưng luôn đi qua B và C. Từ điểm A kẻ các tiếp tuyến
AM, AN đến đường tròn (O). Gọi I là trung điểm của BC. Đường thẳng MN cắt
AO và BC lần lượt tại H và K.
a) Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn (O) thay đổi.
c) Đường thẳng AO cắt đường tròn (O) tại các điểm P và Q (P nằm giữa
A và O). Gọi D là trung điểm của HQ, từ H kẻ đường thẳng vng góc với MD
cắt đường thẳng MP tại E. Chứng minh P là trung điểm của ME.
Hướng dẫn:
a) Vì I là trung điểm của BC nên: OI
 BC   OIA = 900
Ta có:  AMO =  ANO = 900 (do
AM, AN là tiếp tuyến của (O))
Suy ra 4 điểm O, M, N, I cùng
thuộc đường trịn đường kính AO.

M

H

P

O

Q

D

A
B

E

K

I

C

N

b) AM, AN là hai tiếp tuyến căt nhau tại A nên OA là tia phân giác của góc
MON mà  OMN cân tại O nên OA  MN.
 ABN đồng dạng với tam giác  ANC (vì  ANB =  CAN và góc CAN
chung) suy ra:

AB
AN

 AB. AC  AN 2
AN
AC

 ANO vuông tại N đường cao NH nên ta có: AH.AO = AN2

Suy ra: AB.AC = AH.AO
 AHK đồng dạng với  AIO (vì  AHK =  AIO = 900 và  OAI chung)
suy ra:
AH
AK

 AH . AO  AI . AK
AI
AO

14


 AI.AK = AB.AC  AK 

AB. AC
AI

(khơng đổi)

Ta có A, B, C, I cố định nên điểm K cũng cố định.
Vậy điểm K cố định khi đường tròn (O) thay đổi.
c) Ta có  PMQ = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét  MHE và  QDM có:
 MEH =  DMQ (cùng phụ với góc DMP)
 EMH =  MQD(cùng phụ với góc MPO)
ME

MH

MP

MH

 MHE đồng dạng với  QDM  MQ  DQ
MH

MP

1 ME

 PMH đồng dạng với  MQH  MQ  HQ  2 DQ  MQ  2 . MQ

 ME = 2MP  P là trung điểm của ME.

Bài 3. Từ một điểm S nằm ngồi đường trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến SA,
SB và cát tuyến SCD của đường tròn đó.
a) Gọi E là trung điểm của dây CD. Chứng minh 5 điểm S, A, E, O, B
cùng nằm trên một đường trịn .
b) Nếu SA = OA thì SAOB là hình gì? Tại sao ?

1
c) Chứng minh AC.BD = BC.DA = AB.CD.
2
Hướng dẫn:
a) Sử dụng tính chất tiếp tuyến, ta có A, B cùng nhìn SO dưới một góc vng,
nên tứ giác SADO nội tiếp đường trịn đường kính SO .
ˆ = 900 . Nên
Dựa vào tính chất đường kính vng góc với dây cung, ta có SEO
E thuộc đường trịn đường kính SO .
b) Nếu SA = OA thì SA = AB = OA = OB và góc A vng nên tứ giác SAOB là
hình vng.
c) Ta thấy:
AC SC
=
DA SA

∆SAC

∆SDA 

∆SCB

BC SC
=
∆SBD 
BD SB

A
K
E

C

D

S
O

AC BC
=
Mà SA = SB 
AD BD

 AC.BD = AD.BC (1)

B

Trên SD lấy K sao cho  CAK =  BAD lúc đó:
∆CAK

∆BAD (g-g)  AC.DB = AB.CK

15


∆BAC ∆DAK (g-g)  BC.AD = DK.AB
Cộng từng vế ta được AC.BD + BC.AD = AB( CK+DK ) = AB.CD (2)
1
Từ (1) và (2) suy ra: AC.BD + AC.BD = AB.CD hay AC.BD= AB.CD
2

(đpcm).
Bài 4. Cho tam giác đều ABC có đường cao là AH. Trên cạnh BC lấy
điểm M bất kì (M khơng trùng với B, C, H); từ M kẻ MP, MQ vng góc với
các cạnh AB. AC.
a) Chứng minh APMQ là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh rằng MP + MQ = AH.
c) Chứng minh OH  PQ.
Hướng dẫn:
a) Ta có: MP  AB (gt)  APM = 900;
MQ
MQ  AC (gt)  AQM = 900
A
như  APM + AQM = 1800
 Tứ giác APMQ nội tiếp được trong
đường trịn đường kính AM.
O

b) Ta có: SABC =

1
2

.BC.AH;

SABM =

1
2

.AB.MP;

1
2

.AC.MQ

SACM =

P

2

Q
B

Mặt khác: SABM + SACM = SABC 

1

H

M

C

1
1
1
AB.MP + AC.MQ = BC.AH
2

2
2

 AB.MP + AC.MQ = BC.AH
Mà AB = BC = CA (vì tam giác ABC đều)  MP + MQ = AH.

c) Tam giác ABC có AH là đường cao nên cũng là đường phân giác
 HAP = HAQ => HP= HQ( tính chất góc nội tiếp)
 HOP = HOQ (t/c góc ở tâm)
 OH là tia phân giác góc POQ. Mà tam giác POQ cân tại O ( vì OP
và OQ cùng là bán kính) nên suy ra OH cũng là đường cao  OH  PQ.
Bài tập vận dụng:
Bài 1. Cho tam giác ABC, có góc A nhọn, nội tiếp trong đường trịn tâm O,
bán kính R. Hai đường cao BI và CJ lần lượt cắt đường tròn tại P, Q.
a) Chứng minh IJ//PQ.
b) Chứng minh OA  IJ.
c) Cho B, C cố định, A di chuyển trên vung lớn BC của đường tròn (O).
Chứng minh bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác AIJ khơng đổi.
16


Bài 2. Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O. Các
đường cao BD và CE của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi K là giao điểm của
DE với CB.
a) Chứng minh: Tứ giác BCDE nội tiếp.
b) Chứng minh: KB.KC = KE.KD.
c) Gọi M là trung điểm của BC, AK cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai
N. Chứng minh: Ba điểm M, H, N thẳng hàng.
Bài 3. Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Gọi C là trung điểm của
OA, qua C kẻ đường thẳng vng góc với OA cắt đường trịn đó tại hia điểm

phân biệt M và N. Trên cung nhỏ BM lấy điểm K (K khác B và M), trên tia KN
lấy điểm I sao cho KI = KM. Gọi H là giao điểm của AK và MN. Chứng minh
rằng:
a) Tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp.
b) AK.AH = R2.
c) NI = BK.
Bài 4. Cho đường trịn (O) bán kính R và một đường thẳng d cắt (O) tại C,
D. Một điểm M di động trên d sao cho MC > MD và ở ngoài đường tròn (O).
Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB. Gọi H là trung điểm của CD và giao của AB
với MO, OH lần lượt là E, F. Chứng minh rằng:
a) OE.OM = R2.
b) Tứ giác MEHF nội tiếp.
c) Đường thẳng AB đi qua điểm cố định.
Bài 5. Cho đường trịn (O) bán kính R, một dây AB cố định (AB < 2R) và
một điểm M bất kì trên cung lớn AB (M khác A, B). Gọi I là trung điểm của dây
AB và (O’) là đường tròn qua M, tiếp xúc với AB tại A. Đường thẳng MI cắt
(O), (O’) lần lượt tại các giao điểm thứ hai là N, P. Chứng minh rằng:
a) IA2 = IP.IM.
b) Tứ giác ANBP là hình bình hành.
c) IB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MBP.
d) Khi M di chuyển thì trọng tâm G của tam giác PAB chạy trên một cung
tròn cố định.
Bài 6. Cho hai đường tròn (O ; R) và (O’ ; R’) tiếp xúc ngoài tại A (R > R’).
Đường nối tâm OO’ cắt đường tròn (O) và (O’) theo thứ tự tại B và C (B và C
khác A). EF là dây cung của đường trịn (O) vng góc với BC tại trung điểm I
của BC, EC cắt đường tròn (O’) tại D.
a) Tứ giác BECF là hình gì?
b) Chứng minh ba điểm A, D, F thẳng hàng.
c) CF cắt đường tròn (O’) tại G. Chứng minh ba đường thẳng EG, DF và CI
đồng quy.

d) Chứng minh ID tiếp xúc với đường tròn (O’).

17


Bài 7. Cho (O) cắt (O’) tại A và B. Kẻ cát tuyến chung CBD  AB ( C ở
trên (O) và D ở trên (O’).)
a) Chứng minh A, O, C và A,O’, D thẳng hàng.
b) Kéo dài CA và DA cắt (O’) và (O) theo thứ tự tại I và K. Chứng minh tứ
giác CKID nội tiếp.
c) Chứng minh BA, CK và DI đồng quy.
Bài 8. Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB. Một điểm C cố định
thuộc đoạn thẳng AO (C khác A và C khác O). Đường thẳng đi qua C và vng
góc với AO cắt nửa đường tròn đã cho tại D. Trên cung BD lấy điểm M (M khác
B và M khác D). Tiếp tuyến của nửa đường tròn đã cho tại M cắt đường thẳng
CD tại E. Gọi F là giao điểm của AM và CD.
a) Chứng minh tam giác EMF là tam giác cân.
b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác FDM. Chứng minh ba điểm
D, I, B thẳng hàng.
c) Chứng minh góc ABI có số đo khơng đổi khi M di chuyển trên cung BD.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, với đồng nghiệp và nhà trường.
Trước kia, khi chưa áp dụng đề tài này vào giảng dạy thì đại đa số học
sinh nắm chưa vững kiến thức nên phần lớn áp dụng vào giải các bài tốn cịn
hạn chế. Sau khi thực hiện áp dụng phương pháp đổi mới: lấy học sinh làm trung
tâm, học sinh chủ động tiếp thu kiến thức, vận dụng nó vào giải được một số
dạng bài tập liên quan thì chất lượng của học sinh đã từng bước được cải thiện
và nâng cao rõ rệt. Đặc biệt khi vận dụng đưa đề tài này vào bài dạy tôi đã tiến
hành thực hiện giảng dạy học sinh khối 9 trường THCS Thiết Ống, chất lượng
đã có nhiều chuyển biến tích cực.

Kết quả khảo sát sau khi thực hiện đề tài cuối năm học 2017 - 2018
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Kém
Sĩ
Lớp
số SL
%
SL
%
SL
%
SL
% SL %
9A 36 6
16,7
12
33,3
18
50
0
0
0
0
Qua kết quả thống kê cho thấy việc áp dụng đề tài “Rèn luyện kĩ năng giải
các bài tốn về đường trịn cho học sinh lớp 9 trường THCS Thiết Ống” học
theo nội dung và phương pháp phù hợp với quan điểm dạy học hiện nay đã đem
lại kết quả khả quan.

Để đạt được kết quả như mong muốn, mỗi giáo viên đứng lớp phải thực
sự tâm huyết, quan tâm đến vấn đề nội dung và phương pháp dạy học Tốn nói
chung và Hình học nói riêng. Giáo viên phải thực sự thấu hiểu bản chất của từng
đơn vị kiến thức.
Tóm lại thiết kế bài dạy là công việc thường xuyên hết sức quan trọng đối
với bất kỳ giáo viên nào trước khi lên lớp. Giáo án quyết định sự thành công của
giờ dạy bởi đó là “Sự hình dung trước những cơng việc” mà giáo viên sẽ tổ
chức cho học sinh tìm hiểu học tập, tiếp nhận trên lớp.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
18


3.1. Kết luận
Sau quá trình nghiên cứu và trực tiếp giảng dạy thực nghiệm đề tài “Rèn
luyện kĩ năng giải các bài tốn về đường trịn cho học sinh lớp 9 trường THCS
Thiết Ống” tôi nhận thấy:
Qua việc giảng dạy theo tinh thần sáng kiến trên học sinh có tiến bộ rõ rệt
thể hiện ở các điểm sau: học sinh đã biết suy ngẫm trước những bài tốn đường
trịn từ đơn giản đến phức tạp, đưa bài tốn đường trịn phức tạp sử dụng các
dạng đơn giản có sẵn để giải một cách thành thạo, linh hoạt. Giúp trang bị một
số phương pháp giải, bổ sung những kiến thức còn thiếu hụt hoặc sai xót. Quan
trọng hơn nữa là tạo hứng thú cho các em tìm tịi, sáng tạo, áp dụng tốn học vào
đời sống thực tế. Do đó chất lượng học toán của học sinh nâng lên rõ rệt. Tỷ lệ
học sinh khá giỏi tăng lên. Đề tài này cịn kích thích được sự ham mê học tốn
của học sinh đặc biệt hình học, phát huy được tính linh hoạt, chủ động sáng tạo
và tự tin hơn trong học tập và trong cuộc sống.
3.2. Kiến nghị
a. Đối với giáo viên
Phần này là loại toán tương đối phức tạp, đa dạng cần có tư duy tốt, và kỹ
năng vận dụng tương đối linh hoạt thì học sinh mới có thể hiểu sâu rộng vấn đề.

Bởi vậy trong quá trình truyền đạt kiến thức cho học sinh, bản thân mỗi giáo
viên phải trang bị thật chu đáo, tỉ mỷ, rõ ràng từng đơn vị kiến thức cơ bản, từng
thể loại bài tập cụ thể để học sinh hiểu sâu bản chất và vận dụng tốt vào giải
toán.
Xây dựng cho các em niềm đam mê, hứng thú học tập, trân trọng những
suy nghĩ, ý kiến phát biểu và những sáng tao dù rằng rất nhỏ của các em để có
tác dụng động viên khích lệ, kích thích khả năng tự tìm tịi nghiên cứu của các
em
Giáo viên cần thường xuyên kiểm tra đánh giá kết quả học tập của các
em. Từ đó mà bổ xung những thiếu sót, sai lầm về kiến thức, phương pháp kịp
thời. Phải có kế hoạch phân chia từng chuyên đề cụ thể. Dạy sâu, chắc và kết
hợp logic giữa các dạng bài toán khác nhau.
b. Đối với nhà trường
Phải kết hợp tốt các lực lượng giáo dục: Nhà trường - gia đình và xã hội
cùng tham gia kèm cặp, giúp đỡ các em.
Tăng cường cơ sở vật chất, bố trí phịng học bộ mơn để thuận tiện cho
giáo viên ứng dụng công nghệ thông tin trong giảng dạy.
Thư viện trường cần có thêm nhiều tài liệu tham khảo, đặc biệt là các
chun đề về phân mơn Hình học.
Tạo điều kiện về thời gian, không gian, tổ chức các chuyên đề cấp trường
để giáo viên có thể áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào thực tiễn giảng dạy
c. Đối với phòng giáo dục và đào tạo

19


Tổ chức các chuyên đề về phương pháp dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, phụ
đạo học sinh yếu kém, đặc biệt phát huy phương pháp dạy học sáng tạo theo tinh
thần đổi mới. Triển khai các sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng và hiệu quả
đến với các giáo viên, để từ đó áp dụng vào cơng tác giảng dạy.

Hồn thành được đề tài này, ngoài việc nghiên cứu tài liệu, qua thực tế
giảng dạy, tơi cịn được sự giúp đỡ của các đồng nghiệp, đặc biệt là sự chỉ bảo
tận tình của của Ban giám hiệu.
Nhưng với thời gian và năng lực bản thân có hạn, đề tài này khơng tránh
khỏi những sai sót. Rất mong được sự giúp đỡ, góp ý của các bạn đồng nghiệp,
các thầy cơ giáo để tơi có thể rút kinh nghiệm trong q trình giảng dạy.
Trên đây chỉ là một vài kinh nghiệm nhỏ trong giảng dạy “Rèn luyện kĩ
năng giải các bài tốn về đường trịn của học sinh lớp 9 trường THCS Thiết
Ống”, có lẽ khơng tránh khỏi những thiếu sót. Song tơi vẫn xin phép được trình
bày sáng kiến của mình với tinh thần mong muốn được sự góp ý của các cấp
lãnh đạo ngành, được giao lưu, học hỏi các đồng nghiệp nhằm bổ sung những
kinh nghiệm và khắc phục những thiếu sót để phương pháp này ngày càng được
hoàn thiện hơn và đạt hiệu quả cao nhất .
Xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN
Thiết Ống, ngày 28 tháng 3 năm 2019
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
khơng sao chép nội dung của người khác.
Người thực hiện

Hà Văn Chinh

Trịnh Văn Đoan

20


DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Giải bằng nhiều cách các bài toán lớp 9 - Tác giả: Nguyễn Đức Tấn NXB giáo dục.

2. Vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài tốn hình học 9 - Nguyễn Đức Tấn
- NXB giáo dục.
3. Cẩm nang vẽ thêm hình phụ trong giải tốn hình học phẳng - Nguyễn Đức
Tấn - NXB tổng hợp TP HCM.
4. Tuyển chọn các chuyên đề Tốn học tuổi trẻ- NXB giáo dục.
5. Giáo trình Thực hành giải toán tập 2 - NXB ĐHSP.
6. Những bài tốn tổng hợp về đường trịn lớp 9 - Nguyễn Tiến Quang NXB giáo dục.
7. Nâng cao và phát triển toán tập 2 - NXB giáo dục.
8. Tuyển tập các bài tốn hay và khó hình học 9 - NXB giáo dục.

21


DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH XẾP LOẠI
TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Trịnh Văn Đoan
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên - Trường THCS Thiết Ống

TT

1
2
3
4

Tên đề tài SKKN
Phương pháp hướng dẫn học sinh
giải bài tốn hình học ở trường

THCS.
Khai thác và phát triển bài toán từ
một bài tập cơ bản.
Khai thác và phát triển bài toán từ
một bất đẳng thức cơ bản.
Khai thác và phát triển bài toán từ
một bất đẳng thức cơ bản.

Cấp đánh
giá xếp
loại

Kết quả
đánh giá
xếp loại

Năm học
đánh giá
xếp loại

Huyện

C

2007-2008

Huyện

C

2013-2014

Huyện

B

2014-2015

Tỉnh

C

2014-2015

22