Bài giảng xác suất và thống kê ( Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng )- Trấn An Hải

TRẦN AN HẢI










 TUẦN 4







HÀ NỘI - 2009
Chương 2
BIẾN NGẪU NHIÊN



…………. tiếp theo

§4 

 MỘT SỐ QUY LUẬT PPXS THÔNG DỤNG

 Phân bố nhị thức
Ví dụ
Kiểm tra 100 sản phẩm của một nhà máy theo
kiểu có hoàn lại. Ta thấy

 Có dãy 100 phép thử với kết quả của mỗi phép
thử là
A = “Chính phẩm”, A = “Phế phẩm”
Chúng có xác suất không đổi qua mỗi lần kiểm tra.

 Kết quả của mỗi lần kiểm tra không ảnh hưởng
đến các kết quả của những lần kiểm tra còn lại.
Tổng quát hóa ta có định nghĩa

 Một dãy n phép thử được gọi là đc lp nếu các
kết quả của mỗi phép thử không ảnh hưởng đến
kết quả của những phép thử còn lại.

 Một dãy n phép thử độc lập được gọi là một
lc đ Bernoulli khi thỏa 2 điều kiện:
∗ Mỗi phép thử chỉ xét tới biến cố A và A.
∗ P(A) = p trong mỗi phép thử.


Ta xét một lược đồ Bernoulli gồm n phép thử.
Đặt X = số lần xuất hiện A trong n phép thử.
X là một bnn có tập giá trị là {0, 1, 2, …, n}.
Ta tìm quy luật ppxs của X.

Trường hợp n = 3
Ký hiệu B
i
= “A xảy ra ở phép thử thứ i”
P(B
i
) = p, qpBP
i
=−= 1)(
P{X = 0} = P(
321
BBB )
= P(
1
B ) P(
2
B )P(
3
B ) = q
3
=
300
3
qpC

P{X = 1} = P(

321
BBB ∪
321
BBB ∪
321
BBB )
= 3pq
2
=
211
3
qpC

P{X = 2} = P(
321
BBB ∪
321
BBB ∪
321
BBB )
= 3p
2
q =
122
3
qpC

P{X = 3} = P(
321
BBB ) = p

3
=
033
3
qpC


Trường hợp tổng quát
Chứng minh tương tự trường hợp trên, ta có:
Quy luật ppxs của X là
P{X = i} =
inii
n
qpC
−
(i = 0, 1, …, n).

Ta nói X có phân b nh thc với tham số n, p. Ta
ký hiệu X ∼ B(n, p) (B viết tắt binomial).




Đặc biệt, khi X ∼ B(1, p) ta nói X có phân bố không-
mt với tham số p
X 0 1
P q p

Định lý
Nếu X ∼ B(n, p), thì
1) E(X) = np
2) D(X) = npq
3) mod(X) = [(n+1)p] ( phần nguyên của (n+1)p)




Ví dụ
Tỉ lệ cử tri ủng hộ ứng cử viên Bush trong bầu cử tổng
thống là 60%. Người ta hỏi ý kiến 20 cử tri được chọn
một cách ngẫu nhiên. Gọi X là số người bỏ phiếu cho
Bush trong 20 người đó.
a) Tính số người bỏ phiếu có khả năng nhất và tính
trung bình số người bỏ phiếu trong 20 người trên.
b) Tính P{X ≤ 10}, P{X>12}, P{X = 11}.

Giải
X ∼ B(20; 0,6)
a) số người bỏ phiếu có khả năng nhất = mod(X)
= [21⋅0,6] = 12.
b) P{X ≤ 10} =
∑
=
−
⋅
10

0
20
20
4,06,0
i
iii
C = 0,245 (tra bảng).
P{X > 12} = 1 - P{X≤12}
= 1-
∑
=
−
⋅
12
0
20
20
4,06,0
i
iii
C = 1- 0,584 = 0,416.
P{X = 11} =
91111
20
4,06,0 ⋅C
Muốn tra bảng, ta dùng
P{X = 11} = P{X ≤ 11} - P{X ≤ 10}
= 0,404 – 0,245 = 0,159. ☺
☺☺
☺

 Phân bố siêu bội
Xét một tập gồm N đối tượng, trong đó có M đối
tượng có tính chất T và N-M đối tượng không có
tính chất T. Chọn ngẫu nhiên n (n ≤ M) đối tượng
theo kiểu không hoàn lại.





Ta có dãy n phép thử với kết quả của mỗi phép
thử là
A = “Đối tượng có tính chất T” và A
Chúng có xác suất thay đổi qua mỗi phép thử.
Trong dãy này kết quả của mỗi phép thử ảnh
hưởng đến các kết quả của những phép thử khác
nên dãy này không phải là lược đồ Bernoulli.


Gọi X = số đối tượng được chọn có tính chất T.
X có tập giá trị là {0, 1, 2, …, n} với quy luật phân
bố cho bởi
P{X = i} =
n
N

in
MN
i
M
C
CC
−
−
⋅
.
Ta nói X có phân b siêu bi với các tham số
(N, M, n).



Định lý
Nếu X có phân bố siêu bội với các tham số
(N, M, n), thì
E(X) =
N
M
n ⋅ và D(X) =
1−
−
⋅
−
⋅⋅
N
nN
N

MN
N
M
n .





Ví dụ
Trong 500 vé xổ số bán ra có 50 vé trúng thưởng. Một
người mua 20 vé. Tính:
1) Xác suất để anh ta có đúng 3 vé trúng thưởng;
2) Trung bình của số vé trúng thưởng.
Giải X = số vé trúng thưởng.
X có phân bố siêu bội với tham số (500, 50, 20)
P{X = 3} =
3
500
17
450
3
50
C
CC ⋅
≈ 0,194. EX = 2
500
50
20 =⋅ . ☺
☺☺

☺

Chú ý
Khi n là rất bé so với N thì
ini
i
n
n
N
in
MN
i
M
N
M
N
M
C
C
CC
−
−
−






−







≈
⋅
1

nên quy luật phân phối trong phương pháp lấy
không hoàn và lấy có hoàn lại gần không khác
nhau. Vì thế ta có thể tính toán như trong trường
hợp có hoàn lại cho đơn giản.


Ví dụ
Một kho chứa sản phẩm của 2 xí nghiệp A và B
với tỉ lệ bằng nhau. Tỉ lệ chính phẩm của A, B lần
lượt là 80% và 85%. Tính xác suất để trong 2 sản
phẩm lấy ngẫu nhiên từ kho có đúng một chính
phẩm.


Giải
Kết quả của việc lấy 2 sản phẩm là
H
1
= “Cả 2 sản phẩm là của A”
H

2
= “Cả 2 sản phẩm là của B”
H
3
= “1 sản phẩm là của A, 1 sản phẩm là của B”
K =“Trong 2 sản phẩm lấy ra có đúng 1 chính
phẩm”
H
i
(i =1, 2, 3) là nhóm đầy đủ



P(H
1
) = 0,5⋅0,5= 0,25, P(H
2
) = 0,5⋅0,5= 0,25
P(H
3
) = 1 - P(H
1
) - P(H
2
) = 0,5.
P(K/H
1
) =
1
2

C 0,8⋅0,2 = 0,32
P(K/H
2
) =
1
2
C 0,85⋅0,15 = 0,255
P(K/H
3
) = 0,8⋅0,15 + 0,2⋅0,85 = 0,29
Theo công thức xác suất đầy đủ
P(A) =
∑
=
3
1i
ii
HKPHP )/()( = … ☺
☺☺
☺
 Phân bố Poisson
Các b.n.n như : số cuộc điện thoại tại một trạm
điện thoại trong một phút, số khách vào một cửa
hàng trong một ngày, số xe cộ đi qua một trạm
quan sát trong một giờ, … có cùng kiểu ppxs, gọi
là lut phân b Poisson (do nhà toán học
Siméon-Denis Poisson tìm ra 1837).


• B.n.n X được nói là có phân b Poisson với

tham số λ, ký hiệu X ∼ Poisson(λ), nếu tập giá
trị của nó là N và
P{X = k} =
!k
e
k
λ
λ−
,
trong đó λ > 0 cho trước.

Siméon Denis Poisson (1781-1840)

Định lý
Nếu X ∼ Poisson(λ), thì
E(X) = D(X) = λ, mod(X) = [λ].






Ví dụ
 Nếu ở một tổng đài các cú điện thoại gọi đến
xuất hiện ngẫu nhiên, độc lập với nhau và trung
bình có 2 cuộc gọi trong một phút, thì X = Số cú
điện thoại xuất hiện trong 1 phút là bnn có luật
ppxs cho bởi
P{X = k} =
!k

e
k
2
2−
.