Tài liệu Bài tập toán ôn thi đại học khối A 2005 có lời giải hướng dẫn pptx

www.saosangsong.com.vn
Năm học 2009-2010
1
NHÁY A 2005.
Thời gian làm bài : 180 phút

Đề A 2005

Câu 1 (2 điểm ). Cho hàm số : y =
2
x - 2(m - 1) x 1
x 1
mm+ −
=
−

1) Định m để đồ thị hàm số có tiệm cận qua điểm (2; 3)
2) Định m để đồ thị có điểm cực đại cách tiệm cận xiên một khoảng là ½.

Câu 2 (2 điểm ) :
1) Giải bất phương trình : 2x + 7 3x - 2 x + 3−>
2) Giải phương trình : 2sin
2
(3 x + π/4) sin2x + (sinx - cos x)
2
= 0

Câu 3 (1 điểm ). Tính tich phân :
/2
0
sin 2x 1 3sin x

x
1sinx
d
π
+
+
∫


Câu 4 (1 điểm ). Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều ,
mặt bên SCD là tam giác vuông tại S. Tính thể tích khối chóp và tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp.
Câu 5 (1 điểm ). Cho x , y, z là các số dương thỏa mãn :
111
6
x yz
+ +=, tìm giá trị lớn nhất của T =
111
3x 2 3 2 x 3 2x + y yz y z z
++
++ ++ +


Câu 6 (2 điểm ).
1) Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn (x – 3)
2
+ (y + 2)
2
= 8. Tìm toạ độ các đỉnh hình vuông
ABCD nội tiếp trong đường tròn biết đường chéo hình vuông hợp với Ox một góc 45

0
.
2) Trong hệ trục Oxyz , cho đường thẳng d :
x 1 3
122
yz− −
==
và mặt phẳng (P) : 2x + y + 2z =
0 .
a. Tìm trên d điểm M cách mặt phẳng (P) một khoảng là 8.
b. Viết phương trình d’, hình chiếu của d lên (P).

Câu 7 (1 điểm ). Giải hệ :
()
22
22
21/8
x+y
(x + )
log (x ) 3log (x ) 1
5500,223
y
yy+− =
⎧
⎪
⎨
−−
⎪
⎩
0=

GIẢI VẮN TẮT
Câu 1. 1. y = mx – m + 2 +
1
x 1−

TC xiên qua (2 ; 3) Ù 3 = 2m – m + 2 Ù m = 1
2. y’ =
2
2
x - 2mx+ m -1
(x 1)
m
−

Vì ∆’ = m nên m > 0 thì có CĐ, CT và điểm CĐ là M(
;2 ( ) 2 2)
mm mm
mm
mm
−−
−+

www.saosangsong.com.vn
Năm học 2009-2010
2
= (1 -
1
;2 2 )m
m

−
d(M, ∆) =
2
|222|
1
mm m m
m
−+ −−+
+
=
2
||1
2
1
m
m

=
+
Ù 4m = m
2
+ 1 Ù m
2
– 4m + 1 = 0 Ù m = 2 3 ±
Câu 2.
1) ĐK : x ≥ 2/3 : 2x + 7 3x - 2 x + 3>+
Ù 2 x + 7 > 4 x + 1 + 2
2
3x + 7 x-6

Ù
2
3x + 7x - 6 < 3 x− <=>
22
x < 3
3x 7 x – 6 x – 6 x 9
⎧
⎨
+>
⎩
+
Ù Ù 2/3 ≤ x < 1
2
2/3 x < 3
2x + 13x - 15> 0
≤
⎧
⎨
⎩
2) [1 – cos(6x + π/2)] sin 2x + 1 - sin 2x Ù sin 2 x + sin6x. sin2x + 1 - sin 2 x = 0
Ù cos4x – cos8x + 2 = 0 Ù 2cos
2
4 x - cos4x - 3 = 0 Ù cos 4x = - 1 Ù x = π/4 + k. π/2

Câu 3. I =
/2
0
2sin xcos x 1 3sin x
dx
1sinx

π
+
+
∫

Đặt t =
2
1 3sin x 1 3sin x 2 3cos x d x ttdt+=>=+ =>=
=> I =
2
2
2
1
12
2.
33
1
1
3
tt
d
t
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
−
+
t
∫

=
3
22
22
11
443
323 2
tt t
dt t dt
tt
−
⎡ ⎤
=−
⎢ ⎥
++
⎣ ⎦
∫∫

=
2
2
2
1
43
ln( 2)
32 2
t
t
⎡⎤
−+

⎢⎥
⎣⎦
= . . .
Câu 4. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của IJ: AB vuông góc IJ và SI nên vuông góc (SIJ).
Kẻ SH vuông góc IJ thì SH là đường cao hình chóp.
Do SI = a
3 / 2 , SJ = a/2 và IJ = a => tam giác SIJ vuông tại S. Suy ra: SH =
.
4
SI SJ a 3
IJ
=
=> V =
3
3
12
a
.
S
A
B C
D
I J
H
O
G
• Tâm mặt cầu O là giao điểm hai trục G x và
Jy của hai tam giác SAB và SCD.
• R
2

= SO
2
= SG
2
+ SJ
2
= (a
2
/3 + a
2
/4)
= 7a
2
/12
=> R =
21
6
a




www.saosangsong.com.vn
Năm học 2009-2010
3

Câu 5.
Áp dụng BĐT:
11 1 111
()( )4

4
ab
ab ab ab
⎛
++≥=> ≤+
⎜
+
⎝⎠
⎞
⎟
, ta có :
T
11 1 1 1 1 1
4 3x 2 3 2 x 3 2x
y zyz z y
⎛⎞
≤+++ ++
⎜⎟
++
⎝⎠
+

Áp dụng BĐT:
111 1 1111
()( )9
9
abc
abc abc abc
⎛⎞
++ ++ ≥=> ≤ ++

⎜⎟
++
⎝⎠
, ta có :
11111
29
1
y zyyz yyz
⎛⎞
=≤+
⎜⎟
+++
⎝⎠
+ . . .
=> T
11 1 1 1212 1 21
43x 3 3 9 x x
yz yzz y
⎛⎞
⎡
⎤
⎥
≤++++++++
⎜⎟
⎢
⎣⎦
⎝⎠
=
11 1 1
1

6x yz
⎛⎞
+ +=
⎜⎟
⎝⎠

Vậy max T = 1 khi x = y = z = ½
Cách khác : Dùng BĐT Côsi cho 6 số, ta được :
12 6 1 2 6
1111
...
... 36
aa a a a a
⎛⎞
≤+++
⎜⎟
+++
⎝⎠
1

=>
1 1 1 1111111 1321
3x 2 36 x x x 36 xy zyyz
⎛⎞⎛
++≤+++++=++
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
yz
⎞
⎟

⎠

=> T ≤
11 1 1
1
6x yz
⎛⎞
++ =
⎜⎟
⎝⎠

Câu 6. 1) Không mất tính tổng quát có thể giả sữ hệ số góc của BD là 1 . Biết BD qua tâm I(3 ; - 2) nên
phương trình BD là : y = 1. (x – 3) – 2 = x – 5 . Thế vào phương trình đường tròn, ta được phương trình
hoành độ B, D :
(x – 3)
2
+ (x – 3)
2
= 8 Ù x = 5 hay x = 1 ( đó là hoành độ B hay D).
Tương tự, phương trình AC là y = - 1.(x -3) – 2 = - x + 1. Thế vào phương trình đường tròn ta được
hoành độ của A và C. . .
2) a. M = (t + 1; 2t ; 2t + 3), ta có :
d(M, (P)) =
|2 2 2 4 6|
8
3
ttt++++
=
Ù |8t + 8| = 24 Ù t = 2 hay t = - 4. Vậy M = . . . . .
b. Ta tìm toạ độ giao điểm A của d và (P) : 2(t + 1) + (2t) + 2(2t + 3) = 0

Ù 8t + 8 = 0 Ù t = - 1 => A(0 ; - 2; 1).
d’ là giao tuyến của (P) và (Q), mặt phẳng qua d và vuông góc (P).
VTPT của (Q) là : (2 ; 2 ; - 3)
() ()
[, ]
QdP
nan=
JJJG JJG JJJG
=
=VTCP của d’ là : ( - 7 ; 10 ; 2). Suy ra phương trình d’ :
'()()
[, ]
dPQ
ann=
JJG JJJG JJJG
x 2 1
710 2
yz+−
==
−


Câu 7. ĐK : x + y > 0 và x y > 0 Ù x , y > 0
(1) Ù log
2
(x + y) x y = 1 Ù (x + y)x y = 2
(2) Đặt t = : t - 50/t – 23 = 0 Ù t
22
x+y
5≥1

2
– 23t – 50 = 0 Ù t = 25
Ù x
2
+ y
2
= 2.
Đặt S = x + y, P = x y : S P = 2 ; S
2
– 2P = 2.
S
2
– 4/S - 2 = 0 Ù S
3
- 2S – 4 = 0 Ù (S – 2)(S
2
+ 2S + 2) = 0 Ù S = 2 => P = 1.
www.saosangsong.com.vn
Năm học 2009-2010
4
Hệ có 1 nghiệm (1 ; 1).