DE THI VA DAP AN THI THU DH LAN 2 KHOI BD NAM 2013LG1

<span class='text_page_counter'>(1)</span>TRƯỜNG THPT LẠNG GIANG SỐ 1. ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH KHÁ GIỎI LẦN 2. ĐỀ CHÍNH THỨC. Năm học: 2012 - 2013 Môn: Toán - Khối B, D. Thời gian làm bài: 150 phút. --------------------*******-------------------PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 − mx + 2 có đồ thị là ( Cm ) 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2.Tìm m để ( Cm ) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị vuông góc với đường thẳng y = −4 x + 3 . Câu II (2,0 điểm) Giải các phương trình sau: 1. Giải phương trình : tan x = 4cos 2 2x + cot x. (1 − x 3 ) y = 2 , ( x, y ∈ ℝ ) 2. Giải hệ phương trình:  3 ( 2x + 1) y = −1. Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân bất định: I =. ∫1+ 2. 1 dx 2x + 1. Câu IV (1,0 điểm) Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC), mặt bên (SBC) hợp với đáy một góc 60° . Gọi N là trung điểm của BC, trên AB và AC lấy các điểm M, P sao cho AM = AN = AP. Tính thể tích khối chóp S.AMNP. Câu V (1,0 điểm) Cho hai số thực x,y thỏa mãn: x 2 + y 2 = 2 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: P = 2(x 3 + y 3 ) − 3xy . PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B). A. Theo chương trình chuẩn. Câu VIa (2,0 điểm) 1. Lập phương trình đường tròn (C) có tâm I(1 ; 1), biết đường thẳng ∆ : 3 x − 4 y + 3 = 0 cắt (C) theo dây cung AB với AB = 2 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1; 1; 0), B(0; 0; -2), C(1; 1; 1). Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B đồng thời khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) bằng 3 n.  3  Câu VIIa (1,0 điểm) Cho khai triển  x 3 +  Biết tổng hệ số của 3 số hạng đầu tiên trong khai 3 2 x   triển trên bằng 631. Tìm hệ số của số hạng có chứa x5. B. Theo chương trình nâng cao. Câu VIb (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đường cao kẻ từ B là: x+y-3=0 và chân đường cao.  7 −3   là trung điểm của AB. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết B có 2 2 . kẻ từ A là H(3;-3). M  ;. hoành độ lớn hơn 4. 2. Trong không gian Oxyz, Cho bốn điểm A(0;2;1), B(2;0;0), C(3;-2;0), D(1;3;2) và đường thẳng. x −1 y +1 z − 2 = = . Tìm điểm M trên d sao cho nó cách đều D và mặt phẳng (ABC). 1 2 2  x  2 −2 log 0,5  + 2  = y log 4 Câu VIIb (1,0 điểm) Giải hệ phương trình :    y  2  y − 2y + 4x + 8 = 0. d:. .................................Hết................................. Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm. Họ tên thí sinh: .......................................................... Số báo danh:..........................

<span class='text_page_counter'>(2)</span> HƯỚNG DẪN CHẤM THI KHẢO SÁT HS KHÁ GIỎI LẦN 2 MÔN: TOÁN LỚP 12 – Khối B, D Chú ý : Dưới đây chỉ là sơ lược từng bước giải và cách cho điểm từng phần của mỗi bài. Bài làm của học sinh yêu cầu phải chi tiết, lập luận chặt chẽ. Nếu học sinh giải cách khác đúng thì chấm và cho điểm từng phần tương ứng.. Câu. ý. I 1đ. 1 2. NỘI DUNG A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH. Điểm. Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 − mx + 2 đồ thị ( Cm ). 2 điểm 1đ. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. + Học sinh tự làm bài khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số +) y ' = 3x 2 − 6 x − m Hàm số có CĐ, CT ⇔ y ' = 3 x 2 − 6 x − m = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2. ⇔ ∆ ' = 9 + 3m > 0 ⇔ m > −3 (*) +) Gọi hai điểm cực trị là A ( x1 ; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ). 1đ. 0.25. 0.5. Thực hiện phép chia y cho y’ ta được:. 1 m 1 2   y =  x −  y '−  m + 2  x +  2 −  3 3 3 3   1 m 1 2   ⇒ y1 = y ( x1 ) =  x −  y '−  m + 2  x1 +  2 −  ; 3 3 3 3   m 1 1 2   y2 = y ( x2 ) =  x −  y '−  m + 2  x2 +  2 −  ; 3 3 3 3  . ⇒ Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là d : y = −(. 2m m + 2) x + (2 − ) 3 3. thẳng đi qua các điểm cực trị vuông góc với đường thẳng y = −4 x + 3 .. +) Đường. 27  2m  ⇔ − + 2  . ( −4 ) = −1 ⇔ m = − 8  3 . 0.25. Kết luận:....................................................... II. 1. ĐK : sin 2x ≠ 0 ⇔ x ≠. kπ ,k ∈ℤ 2. −2 cos 2x = 4 cos 2 2x sin 2x ⇔ cos 2x + sin 4x.cos 2x = 0 ⇔ (1 + sin 4x ) cos 2x = 0 tan x − cot x = 4 cos 2 2x ⇔. 1đ.  x = cos 2x = 0  ⇔ ⇔ sin 4x = −1  x = . π kπ + 4 2 ,k∈ℤ −π kπ + 8 2. 2 điểm 0.25. 0.25. 0.25. Kết luận:.... 0.25.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 2. ĐK: x,y ∈ ℝ Xét y=0, thay vào không thỏa mãn. Xét y ≠ 0 , đặt 1 = t. 0.25. 2  3 1 − x3 =  (1 − x ) y = 2 y ⇒  x + 2t = 1(1)  3 ⇔  3 t + 2x = −1 − 1  2x + 1 y = − 1 ( ) 2x + 1 =   y3 ⇒ ( t + x ) ( x 2 − xt + t 2 + 2 ) = 0 ⇔ t = − x. 0.25. y. 1đ. 3. Thay t=-x vào (1) ta được  x = 1  1+ 5 3 2 x − 2x − 1 = 0 ⇔ ( x + 1) ( x − x − 1) = 0 ⇔  x =  2  x = 1 − 5  2    Hệ có ba nghiệm (1; −1) ,  1 + 5 ; 1 − 5  ,  1 − 5 ; 1 + 5  2  2 2   2. III Đặt 1đ. I =∫. 2x + 1 = t ⇒ 2x = t 2 − 1 ⇒ dx = tdt 1  t 1 t 1 dt = ∫  −  dt = − ln (1 + 2t ) + C 1 + 2t 2 4  2 2 (1 + 2t ) . Vậy I =. (. ). 1 1 2 x + 1 − ln 1 + 2 2 x + 1 + C 2 4. 0.25. 0.25 1 điểm 0.25 0.5. 0.25 1 điểm. IV HÌNH VẼ: hỌC SINH TỰ VẼ HÌNH +) Xác định góc SNA = 60 0 ; A N =. a 3 3a ; SA = 2 2 1. +) Chứng minh: A N ⊥ MP ⇒ S A MNP = A N .MP = 2 +) V S .A MNP =. 1đ V. 0.25 a2 3 8. 0.5. 3. 1 a 3 S A MNP .SA = (đvtt) 3 16. 0.25 1 điểm t2 − 2 2 2 Do 2x 2 + 2y 2 ≥ ( x + y ) ⇒ t 2 ≤ 4 ⇔ −2 ≤ t ≤ 2. +) Đặt x+y=t ⇒ x 2 + y 2 = 2 ⇔ xy =. 3 2. 0.25. +) P= 2 ( x + y ) − 6xy ( x + y ) − 3xy = − t 3 − t 2 + 6t + 3 3. t = 1 P’= −3t − 3t + 6, P ' = 0 ⇔  (tm)  t = −2 2. 0.25.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 13 , P(2) = 1, P(−2) = −5 2 13 MaxP= khi x 2 + y 2 = 2, x + y = 1 2 MinP=-5 khi x 2 + y 2 = 2, x + y = −2. +) P(1) = 1đ. 0.5. B. PHẦN RIÊNG. 3 điểm. A. Theo chương trình chuẩn.. VIA. 2 điêm 1. Gọi H là trung điểm của AB ⇒ IH = d(I, ∆ ) =. 3.1 − 4.1 + 3 5. 2 5. =. 0.25. 2. 29  AB   = 5  2 . Bán kính của đường tròn là: R = IH 2 + . ⇒ phương trình đường tròn là:. ( x − 1). 0.25 29 25. + ( y − 1) =. 2. 2. 0.25. Kết luận................. 2. +) Giả sử mp(P) có dạng:. (. Ax + By + Cz + D = 0 , A + B + C ≠ 0 2. 2. 2. ). ⇒ n P = ( A;B;C ) là VTPT của mp (P). 1   − A + B + D = 0 C = ( A − B ) ⇒ +) (P) đi qua A và B nên ta có hệ pt:  2 −2C + D = 0 D = A − B 1 ⇒ mp (P) có phương trình là: Ax + By + ( A − B ) z + ( A − B ) = 0 2 A  = −1 +) d ( C;(P) ) = 3 ⇒  B A = 7  B 5 +) Với A = −1 chọn A = 1, B = -1 ⇒ C = 1, D = 2 ⇒ (P) : x − y + z + 2 = 0 B A 7 Với = chọn A = 7, B = 5 ⇒ C = 1, D = 2 ⇒ (P) : 7x + 5y + z + 2 = 0 B 5. VII A. 0.25 0.25. 0.25. 0.25. 0.25 1 điểm. n. 3n 3( n −1) 3( n − 2)  3 3  3 32 0 1 2 2 2 +) Ta có:  x + = Cn . x + C n . x . + Cn . x 2 . + ... + ...  3 2 3 2 3 4 x  x x  +) Tổng hệ số của 3 số hạng đầu tiên là: Cn0 + 3Cn1 + 9Cn2 = 631 ⇔ n = 12. . n. ( ). 3  k 3  = ∑ C12 . x 2 x  k =0  13k Theo gt: 18 − =5⇒ k =6 6. +)  x 3 + 3. 12. 12 − k. k.  3  k .  = ∑ C12 .x 3 2  x  k =0. +) Vậy hệ số của số hạng chứa x5 là C126 .36 B. Theo chương trình nâng cao VIB. 12. 13 k 18 − 6. .3k. 0.25 0.25 0.25. 0.25.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 1. +) B ∈ d ⇒ B ( a;3 − a ) ⇒ A ( 7 − a;a − 6 ). 0.25. HA = ( 4 − a;a − 3) , HB ( a − 3; 6 − a ). H là chân đường cao của tam giác kẻ từ A ⇒ HA.HB = 0 a = 3(l) a = 5(tm). +) ⇔ ( 4 − a )( a − 3) + ( a − 3)( 6 − a ) = 0 ⇔ . ⇒ B ( 5; −2 ) ,A ( 2; −1). 1đ. thẳng BC qua H(3;-3) và có vtcp BH = ( −2; −1) ⇒ phương trình BC là: x-2y-9=0 Đường thẳng AC qua A(2;-1) và vuông góc với d có phương trình: x-y-3=0 +) C = AC ∩ BC ⇒ tọa độ C là nghiệm của hệ. 0.25. +) Đường.  x − 2y − 9 = 0  x = −3 ⇔ ⇒ C ( −3; −6 )  x − y − 3 = 0  y = −6. 2. +) Mặt. phẳng (ABC) có phương trình: 2x+y+2z-4=0. +) M ∈ d ⇒ M ( a + 1; 2a − 1; 2a + 2 ) d ( M, (ABC) ) =. 0.25. 0.25 0.25. 8a + 1 3. +) MD = 9a 2 − 16a + 16 8a + 1 gt ⇒ MD = d ( M, (ABC) ) ⇔ = 9a 2 − 16a + 16 3 a = 1 160 269 320  2 +) ⇔ 17a − 160a + 143 = 0 ⇔  143 ⇒ M1 (1;3; 2 ) , M 2  ; ;  a =  17 17 17  17 . VIIB. 0.25. 0.25. 0.25. 0 < y ≠ 1  0.25 +) Đk:  x + 2 > 0 y  +) x  x  2 log 0,5  + 2  = − 2 ⇔ − log 2  + 2  = log 2 y − 2 ⇔ log 2 ( x + 2y ) = 2 0.25 y  log y 4 y . ⇔ x = 4 − 2y y 2 − 2y + 4x + 8 = 0 ⇔ y 2 − 2y + 4 ( 4 − 2y ) + 8 = 0 ⇔ y 2 − 10y + 24 = 0 +) y = 6 ⇔ y = 4 +) Với y = 6 ⇒ x = −8 (tm) Với y = 4 ⇒ x = −4 (tm) KL.......... 0.25 0.25.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>