(Sáng kiến kinh nghiệm) một số giải pháp giúp học sinh 12 phát huy khả năng giải các dạng bài tập tích phân liên quan đến hàm ẩn trong kỳ thi THPT quốc gia

MỤC LỤC
I. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
2. Mục đích nghiên cứu
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
5. Các phương pháp nghiên cứu
II. NỘI DUNG:
1. Cơ sở lý luận
1.1. Nguyên hàm
1.2. Tích phân
2.Thực trạng trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
3. Giải pháp giải quyết vấn đề
Dạng 1: Bài tốn tích phân liên quan đến biểu thức

2
2
2
3
3
3
3
3
3
4
5
5
5

f ' ( x )=h ( x ) . f n ( x ) , n ∈ N ¿

Dạng 2: Bài tốn tích phân liên quan đến biểu thức
n

8

'

f ( x ) . f ( x ) =h( x)

Dạng 3: Bài tốn tích phân liên quan đến biểu thức dạng
U(x).f’(x) + U’(x).f(x) = h(x)
Dạng 4: tích phân liên quan đến biểu thức có dạng
f’(x) + p(x).f(x)= h(x)
Một số dạng khác
Bài tập vận dụng
4. Kết quả thực hiện
4.1. Kết quả vận dụng của bản thân
4.2. Triển khai trước tổ bộ môn
III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kết luận
2. Kiến nghị

9
11
15
17
18
18
19
19

19
20

I.MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
1


Mỗi một nội dung trong chương trình tốn phổ thơng đều có vai trị rất quan
trọng trong việc hình thành và phát triển tư duy của học sinh. Trong quá
trình giảng dạy, giáo viên phải đặt ra cái đích là giúp học sinh nắm được kiến
thức cơ bản, hình thành phương pháp, kỹ năng, kỹ xảo, từ đó tạo được thái độ
và động cơ học tập đúng đắn. Thực tế dạy và học cho chúng ta thấy cịn có
nhiều vấn đề cần phải giải quyết ,học sinh chưa hình thành được kỹ năng, kỹ
xảo trong q trình giải tốn và đặc biệt từ năm học 2016-2017, Bộ Giáo dục
và Đào tạo thực hiện đổi mới trong kỳ thi Trung học Phổ thơng Quốc gia
(THPTQG). Trong đó mơn tốn được đổi từ hình thức thi từ tự luận sang hình
thức thi trắc nghiệm. Việc thay đổi đã tạo nên nhiều bỡ ngỡ cũng như khó
khăn cho cả giáo viên và học sinh trong việc ơn luyện. Hình thức thi trắc
nghiệm mơn tốn địi hỏi một số kĩ năng mới mà khi thi tự luận chưa được
khai thác . Chẳng hạn, trước đây thi tự luận khi dạy phần tích phân giáo viên
chỉ tập trung hướng dẫn cách học sinh vận dụng các phương pháp tính tích
phân để tính các tích phân. Ví dụ, tính các tích phân sau:
2

a. ∫ x . ln ( x +1 ) dx
1

1

b. ∫ x . e x dx
0

3

3

c.∫ √ 3 x−1 dx
0

Khi thi tự luận gặp các bài tốn này học sinh phải trình bày được các bước để
dẫn đến kết quả đúng . Nhưng khi thay đổi hình thức thi trắc nghiệm, với
những bài tốn kiểu như thế này thì học sinh chỉ cần sử dụng máy tính cầm
tay hồn tồn có thể chọn được một đáp án đúng mà khơng cần phải biết
cách tìm tích phân đó như thế nào. Đó chính là lý do quan trọng nhất mà
người ra đề thi phải thay đổi hình thức ra đề để hạn chế tối đa việc sử dụng
máy tính vào việc giải quyết các bài tốn. Việc sử dụng máy tính cầm tay chỉ
hỗ trợ một phần nào đó thơi, quan trọng các e vẫn phải nắm được bản chất
của bài tốn thì mới làm được. Vì vậy hệ thống bài tập tích phân liên quan
đến hàm ẩn gần như còn mới và lạ đối với cả giáo viên và học sinh. Bằng
những kinh nghiệm giảng dạy trên lớp và dạy bồi dưỡng tôi đã rút ra cho
mình một số dạng bài tập tích phân liên quan đến hàm ẩn . Đó chính là lý do
tơi đưa ra đề tài "
2.Mục đích nghiên cứu:
2


Thông qua đề tài này giúp cho người đọc, đặc biệt là học sinh nhận thấy được
có một số bài tốn về tích phân khơng thể dùng máy tính để chọn được đáp án
đúng. Từ đó giúp các em biết cách nhận biết và giải quyết một số bài tập tích

phân liên quan đến hàm ẩn một cách nhanh chóng và hiệu quả cao trong các
kì thi đặc biệt là trong các kì thi THPTQG ở các năm sau.
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là tập trung vận dụng lý thuyết về nguyên
hàm và tích phân trong SGK Giải tích 12 để giải quyết một số dạng bài tập về
tích phân có liên quan đến hàm ẩn.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu:
Đưa ra những cơ sở lí luận cần thiết, trên cơ sở đó phân dạng các bài tập tích
phân liên quan đến hàm ẩn. Giúp học sinh nhận dạng và giải quyết bài toán
một cách hiệu quả nhất.
5.Các phương pháp nghiên cứu:
Phương pháp nghiên cứu chủ yếu là nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm vào
các dạng bài tập được sắp xếp và phân chia một cách hợp lý.
II. NỘI DUNG :
1. Cơ sở lý luận:
1.1. Nguyên hàm:
1.Định nghĩa:
+) F(x) là một nguyên hàm của hàm số y = f(x) trên K nếu F’(x) = f(x), ∀ x ∈ K
+) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số y = f(x) trên K thì F(x) + C (C là
một hằng số bất kì) là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K và được kí
hiệu: ∫ f ( x ) dx=F ( x ) +C
2. Tính chất:
'
+) ∫ f ( x ) dx=f ( x ) +C

+) ∫ k . f ( x ) dx=k ∫ f ( x ) dx , ∀ k ≠ 0
+) ∫ [ f ( x )± g (x) ] dx=∫ f ( x ) dx ±∫ g ( x ) dx
+) mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K
3

3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp:

ax
+C
lna
∫ cosxdx=sinx+C

∫ 0. dx=C

∫ a dx=

∫ dx=x+C
x∝+1
∝
x
dx
=
+C ( ∝≠−1 )
∫
∝+1

∫ sinxdx=−cosx +C

x

1

1

∫ x dx=ln|x|+ C
∫ e x dx=e x+ C

∫ cos 2 x dx=tanx+ C
1

∫ sin2 x dx=−cotx +C

4. Các phương pháp tìm nguyên hàm:
a. Phương pháp đổi biến số:

∫ f ( u ( x ) ) . u' ( x ) dx=F ( u ( x ) ) +C
b. Phương pháp nguyên hàm từng phần:

∫ u ( x ) . v ' ( x ) dx=u ( x ) . v ( x )−∫ v ( x ) . u' ( x ) dx
Hay

∫ u . dv=uv −∫ vdu

1.2. Tích phân:
1. Định nghĩa:
b

∫ f ( x ) dx=F ( x ) ∨¿ba =F ( a ) −F ( b)¿
a

( Trong đó F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a;b])
2. Tính chất:
b

a

+) ∫ f ( x ) dx=−∫ f ( x ) dx
a
b

b

b

+) ∫ kf ( x ) dx=k ∫ f ( x ) dx ( k là hằng số)
a
b

a

b

b

+) ∫ [ f ( x )± g (x) ] dx=∫ f ( x ) dx ±∫ g ( x ) dx
a

a

a

4

b

c

b

+) ∫ f ( x ) dx=∫ f ( x ) dx +∫ f ( x ) dx
a

a

c

b

+) ∫ f 2 ( x ) dx=0=¿ f ( x )=0
a

3. Các phương pháp tính tích phân:
a. Phương pháp đổi biến số:
b

β

∫ f ( x ) dx=∫ f ( φ ( t ) ) .φ ' ( t ) dt
∝

a

b. Phương pháp tính tích phân từng phần:

b

b

∫ u ( x ) . v ' ( x ) dx=u ( x ) . v (x )∨¿ba−∫ v ( x ) . u' ( x ) dx ¿
a

a

b

Hay

b
b
a

∫ u . dv=u . v∨¿ −∫ v . du ¿
a

a

2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Phần kiến thức về tích phân là một nội dung không thể thiếu trong cấu trúc
đề thi THPTQG. Năm học 2016-2017 là năm đầu tiên thay đổi hình thức thi
trắc nghiệm, nhiều bài tốn tích phân học sinh có thể dùng máy tính để chọn
được được đáp án đúng mà không cần biết cách giải như thế nào. Nắm được
khe hở đó từ năm 2017-2018 người ra đề thay đổi cách thức ra bài toán hạn
chế việc sử dung máy tính chọn đáp án đúng. Vì vậy trong các đề sau này xuất
hiện một số bài tập về tích phân liên quan đến hàm ẩn,đây là một dạng bài

tập mới lạ đối với các em nên các em sẽ thấy bở ngỡ và khó khăn. Chính vì vậy
đề tài này được đưa ra nhằm giúp cho học sinh dễ dàng tiếp cận và giải quyết
một cách hiệu quả các dạng bài tập này.
3.Giải pháp để giải quyết vấn đề:
Dạng 1: Bài tốn tích phân liên quan đến biểu thức f ' ( x )=h ( x ) . f n ( x ) , n ∈ N ¿
Phương pháp:
Nếu n = 1: Ta có

'

f ( x )=h ( x ) . f ( x ) ↔

f '(x)
=h ( x ) → ln ( f ( x ) )=∫ h ( x ) . dx
f (x)

f '(x)
1
=∫ h ( x ) . dx
Nếu n > 1: Ta có : f ( x )=h ( x ) . f ( x ) ↔ n =h ( x ) →
f (x)
(1−n ) . f n−1 ( x )
'

n

5


Ví dụ 1:

Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên R, thỏa mãn các điều kiện:
f ( x ) >0 , ∀ x ∈ R , f ' ( x )=−e x . f 2 ( x ) , ∀ x ∈ R và f ( 0 )=
2

2

−2

A. 9

B. 9

C. 3

1
. Tính f(ln2)
2
1

D. 3

Giải:
f '(x)
1
x
x
x
Từ f ( x )=−e . f ( x ) ↔− 2 =e → f ( x ) =∫ e . dx=e +C
f ( x)
'

x

2

1
0
Tại x = 0 ta có: f ( 0) =e +C → C=1
1
1
ln 2
Tại x = ln2: f ( ln 2) =e +1→ f ( ln2 ) = 3 . Vậy ta chọn đáp án D.

Ví dụ 2:
Cho hàm số f(x) có đồ thị hàm số (C),xác định và liên tục trên R, thỏa mãn:
2
f ( x ) >0 , ∀ x ∈ R , f ' ( x )=( x . f ( x ) ) , ∀ x ∈ R và f ( 0 ) =2.
Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hồnh độ x = 1 của đồ thị hàm số (C).
A. y = 6x+ 30

B. y = -6x + 30

C. y = 36x - 30

D. y = -36x + 42

Giải:
2

f ' ( x )=( x . f (x ) ) ↔−

f '(x)
1
−1 3
=−x 2 →
=∫ −x 2 . dx=
x +C
2
f (x)
3
f (x)

1
1
1
−x 3 1
1
=C →C= →
=
+ → f ( x )=
2 f (x)
3 2
Tại x = 0: f ( 0)
−x 3 1
+
3 2

Tại x = 1: f(1) = 6 và f’(1) = 36
Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hồnh độ x = 1 là: y = 36x - 30
Vậy chọn đáp án: C

Ví dụ 3:
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên ( 0 ;+ ∞ ), thỏa mãn:
6


f ' ( x ) + ( 2 x + 4 ) . f 2 ( x )=0 , f ( x ) >0 , ∀ x ∈ R và f ( 2 )=

1
.
15

Tính f(1) + f(2) + f(3)
7

A. 15

11

B. 15

11

7

C. 30

D. 30

Giải:
'

f ( x ) + ( 2 x + 4 ) . f 2 ( x )=0 ↔−

f ' (x)
1
=2 x +4 →
=∫ ( 2 x + 4 ) . dx=x 2+ 4 x +C
2
f (x)
f (x)

1

Tại x = 2: f ( 2) =12+C → C=3
1

1

Tại x = 1: f (1) =8 → f ( 1 )= 8
1

1

Tại x = 3: f (3) =24 → f ( 3 )= 24
1

1

1

7

Suy ra : f ( 1 ) + f ( 2 )+ f ( 3 )= 8 + 15 + 24 = 30
Vậy ta chọn đáp án: D
Ví dụ 4:
Cho hàm số f(x) xác định và có đạo hàm trên R, thỏa mãn:
f ( x ) ≠ 0 , ∀ x ∈ R , f ' ( x )= (2 x +3 ) . f 2 ( x ) và f ( 0 )=

−1
.
2

a
a
¿
Tổng: f ( 1 ) + f ( 2 )+ f ( 2018 )= b , a ∈ Z , b ∈ N và b là phân số tối giản.

Mệnh đề nào sau đây đúng:
a
A. b ←1

a
B. b >1

C. a + b = 1010

D. b - a = 3029

Giải
f ' ( x )=( 2 x+ 3 ) . f 2 ( x ) ↔−

f ' ( x)
1
=− ( 2 x +3 ) →
=−∫ ( 2 x+3 ) . dx=− ( x2 +3 x ) +C
2
f
(
x
)
f (x)

1

Tại x = 0: f ( 0) =C →C=−2
7


Tại x = 1:

1
−1
1 1
=−6 → f ( 1 )=
=− −
6
2 3
f ( 1)

Tại x = 2:

1
−1
1 1
=−12 → f ( 2 )=
=− −
12
3 4
f ( 2)

Tại x = 3:

1
−1
1 1
=−20 → f ( 3 ) = =− −
20
4 5
f (3)

(

(

(

)
)
)

.........
Tại x = 2018:

1
−1
1
1
=−4078380→ f ( 2018 )=
=−
−
4078380
2019
2020
f ( 2018)

(

)

1
( 12 − 2020
)=−1009
2020

f ( 1 ) + f ( 2 )+ …+ f ( 2018 )=−

Suy ra: b - a = 3029
Vậy chọn đáp án : D
Ví dụ 5:
Cho hàm số f(x) liên tục và nhận giá trị dương trên ( 0 ;+ ∞ ), thỏa mãn:

f ( x )=f ' ( x ) . √ 3 x +1 , ∀ x >0 và f (1 )=1 . Mệnh đề nào sau đây đúng:
A. 4
B. 2
Giải:
f ( x )=f ' ( x ) . √ 3 x +1↔

f '( x )
1
1
2. 3 x +1
=
→ ln ( f ( x ) )=∫
. dx= √
+C
f (x ) √ 3 x+ 1
3
√3 x +1

4

−4

Tại x = 1: ln ( f ( 1 ) )= 3 +C → C= 3
4

4
Tại x = 5: ln ( f ( 5 ) )= → f ( 5 )=e 3 ≈ 3,79 →3 3

Vậy chọn đáp án: C
Dạng 2: Bài tốn tích phân liên quan đến biểu thức f n ( x ) . f ' ( x ) =h(x)
Phương pháp: Lấy nguyên hàm hai vế ta đươc:
f n+1 ( x )=∫ h ( x ) . dx

Ví dụ 1:
8


Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên R và thỏa mãn điều kiện:
f’(x).f(x) = x 4 + x 2 và f(0) = 2. Tính f 2 (2)
313

A. 15

332

324

B. 15

C. 15

323

D. 15

Giải:
5

3

1
x x
Ta có: ∫ f ' ( x ) f ( x ) dx=∫ ( x 4 + x 2 ) dx≤¿ f 2 ( x )= + + c
2

5

3

1 2
Mà f(0) = 2 ¿> 2 f ( 0 )=c=¿ c=2
2 5 2 3
332
2
2
Vậy f ( x )= 5 x + 3 x + 4=¿ f ( 2 )= 15 .

Vậy chọn đáp án D
Ví dụ 2:
Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên R và thỏa mãn điều kiện:
f 6 ( x ) . f ' ( x ) =12 x +13, f ( 0 )=2. Khi đó phương trình f(x) = 3 có bao nhiêu nghiệm.
A. 2

B. 3

C.7

D. 1

Giải: Ta có:

∫ f 6 ( x ) f ' ( x ) dx=∫ ( 12 x +13 ) dx≤¿ f 7 ( x ) =6 x2 +13 x +C
Mặt khác: f(0) = 2 nên C= 128
Xét pt: f ( x )=3≤¿ f 7 ( x )=37≤¿ 6 x 2+ 13 x +128=2187
¿>6 x 2 +13 x−2059=0

Suy ra pt có 2 nghiệm nên chọn đáp án A
Dạng 3: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức dạng
U(x).f’(x) + U’(x).f(x) = h(x)
Phương pháp: từ gt ta có (U(x).f(x))’= h(x)
Lấy đạo hàm hai vế ta được: U(x).f(x) =

∫ h ( x ) dx

Ví dụ 1:

9


Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục và có đạo hàm trên R và thỏa mãn:
(x+1).f’(x)+f(x) = 3 x 2 - 2x , f(1) = -1. Tính f(2)
2

A.2

B. 3

C. 3

5

D. 2

Giải: Từ gt ta có
((x+1).f(x))’ = 3 x 2−2 x =¿ ( x+1 ) . f ( x )=∫ ( 3 x 2−2 x ) dx =x3 −x2 +C
Mà f(1) = -1 nên C = 2.f(1) = -2
Tại x = 2 ta có: 3.f(2) = 2 nên f(2) = 2/3
Vậy chọn đáp án B.
Ví dụ 2:
Cho hàm số y = f(x) xác định, có đạo hàm trên (0;+∞) va thỏa mãn:
f ' ( x )+

f (x)
=4 x 2 +3 x (1), f(1) = 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại x
x

= 2 là:
A. y = 16x + 20

B. y = -16x+ 20

C. y = -16x -20

D. y = 16x - 20

Giải:
'

Từ (1)¿> x . f ' ( x ) + f ( x ) =4 x 3 +3 x 2≤¿ ( x . f ( x ) ) =4 x 3+ 3 x 2
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
x . f ( x ) =∫ ( 4 x 3 +3 x 2) dx =x 4 + x 3+C

Mà f(1) = 2 nên C = 0. Vậy : f ( x )=x 3 + x 2
Tại x = 2: f(2) = 12, f’(2) = 16 nên pttt là: y = 16(x-2)+12 hay y = 16x-20
Vậy chọn đáp án D
Ví dụ 3:
Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên R, thỏa mãn:
π

sinx.f’(x) + cosx.f(x) = 2x - 1 . Tính: f( 2 ).
A.

π 2+2 π
4

B.

π 2−2 π
4

C.

2 π−π 2
4

D.

π 2−π
2
10


Giải:
Từ gt ta có: (sinx.f(x))’=2x - 1
→ sinx . f ( x )=∫ ( 2 x−1 ) . dx=x 2−x+ C

Mặt khác với x = 0 ta có: sin0.f(0) = 0 +C suy ra C = 0
π
π
π
Với x= 2 → sin 2 . f 2 =¿

()

Vậy chọn đáp án B
Ví dụ 4:
Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên R, thỏa mãn:
( x 2 +1 ) . f ' ( x ) +2 x . f ( x )=−x
1

−1

A. 4

(1) và f(0) = 2. Tính f(3)
1

B. 4

C. 2

−1

D. 2

Giải:
Từ (1) ta có:
'

( ( x2 +1 ) . f ( x ) ) =−x → ( x 2 +1 ) . f ( x )=∫ −x . dx= −x
2

2

+C

Mặt khác : f(0) = C = 2
−5
−1
Tại x = 3: 10.f(3) = 2 → f ( 3 ) = 4 . Vậy chọn đáp án A

Dạng 4: tích phân liên quan đến biểu thức có dạng
f’(x) + p(x).f(x)= h(x)
Phương pháp : Nhân cả hai vế với e∫ p ( x ) . dx ta được:
e∫

P ( x ) .dx

↔ ( e∫
→ e∫

. f ( x ) +e∫

P ( x ) .dx

P ( x ) . dx

P ( x ) .dx

. P ( x ) . f ( x )=e∫

'

P ( x ) . dx

. f ( x ) ) =e∫

. f ( x )=∫ e∫

P ( x ) .dx

P ( x ) .dx

. h(x )

. h( x)
. h ( x ) . dx

Ví dụ 1 :
Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên R, thỏa mãn:
11


f(x) + f’(x) = sinx, ∀ x ∈ R (1) và f(0) = 1. Tính: e π . f ( π )
A.

e π −1
2

B.

Giải:

e π +1
2

C.

e π +3
2

π +1

D. 2

dễ dàng nhận thấy:

P(x) = 1 →∫ P ( x ) . dx=∫ dx=x → e∫

P ( x ) .dx

=e x

Nhân cả hai vế với e x ta được:
e x . f ( x )+ e x . f ' ( x )=e x . sinx
x

'

x

↔ ( e . f ( x ) ) =e . sinx
1
→ e x . f ( x )=∫ e x . sinx .dx = ( e x . sinx−e x . cosx ) +C
2
1 0
3
0
0
Tại x = 0: e . f ( 0 )= 2 ( e . sin 0−e . cos 0 ) +C → C= 2
1( π
3 e π +3
π
(
)
)
Tại x=π :e . f π = e . sinπ−e . cosπ + =

2
2
2
π

Vậy chọn đáp án C.
Ví dụ 2 :
Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên R, thỏa mãn:
f ' ( x )=f ( x ) + x 2 .e x +1, ∀ x ∈ R ,(1) và f(1) = -1.Tính: f(3).

A.

26. e3 +3
3

B.

26. e3−3
3

C. 9. e 3+ 1

D. 9. e 3−1

Giải:
Từ (1) : f ' ( x )−f ( x ) =x2 . e x + 1 (2)
Nhận thấy: P(x) = -1→ e∫ P ( x ) . dx=e∫−dx =e− x
Nhân hai vế của (2) với e− x ta được:
e− x . f ' ( x )−e− x . f ( x )=x 2+ e−x
−x

'

2

↔ ( e . f ( x ) ) =x + e

−x

3

x
−x
2
−x
−x
→ e . f ( x ) =∫ ( x + e ) . dx= −e +C
3
12


1 −1
−1
−1
Tại x = 1: e . f ( 1 )= 3 −e + C →C= 3
1
26.e 3−3
Tại x = 3: e−3 . f ( 3 )=9−e−3− → f ( 3 )=
3

3

Vậy chọn đáp án B.
Ví dụ 3:
Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên R, thỏa mãn:
( x +2 ) . f ( x ) + ( x +1 ) . f ' ( x )=e x , ∀ x ∈ R , ( 1 ) và f ( 0 )=

1
2

Tính f(2).
e

e

A. 3

B. 6

C.

e2
3

D.

e2
6

Giải:

Từ (1) ta có: f ' ( x ) +
Nhận thấy : P ( x )=

x +2 ( ) e x
.f x =
(2)
x +1
x +1
x+2

∫ .dx
x +2
( )
→ e∫ P x .dx =e x+1 =e x+ ln ⁡( x+1 )=( x +1 ) . e x
x +1

Nhân cả hai vế của (2) với ( x +1 ) . e x ta được:
( x +1 ) . e x . f ' ( x ) + ( x +2 ) . e x . f ( x )=e2 x
'

↔ ( ( x+ 1 ) . e x . f ( x )) =e 2 x
x

2x

→ ( x+1 ) . e . f ( x )=∫ e . dx=

e2 x
+C
2

0

e
Tại x = 0: e 0 . f ( 0 )= +C →C=0
2

e4
e2
(
)
(
)
Tại x = 2: 3. e . f 2 = → f 2 =
2
6
2

Vậy chọn đáp án D.
Ví dụ 4:
π
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên 0 ; 3 , thỏa mãn:

[ ]

13


π
f’(x).cosx + sinx.f(x) = 1 , ∀ x ∈ 0 ; 3

[ ]

3+ 1
A. √

(1) và f(0) = 1. Tính: I =∫ f ( x ) . dx
0

1

3−1
B. √

2

π
3

1 π
D. 2 + 3

C. 2

2

Giải:
sinx
1
'

Từ (1) ta có: f ( x ) + cosx . f ( x )= cosx (2)

Nhận thấy:
sinx

. dx
∫
∫
sinx
P ( x ) . dx
P ( x )=
→ e∫
=e cosx =e
cosx

−d (cosx)
cosx

=e−ln ⁡( cosx )=

1
cosx

1

Nhân cả hai vế của (2) với cosx ta được:
1
sinx
1
. f ' ( x )+

f ( x )=
2
cosx
( cosx )
( cosx )2
'
1
1
(
)
↔
.f x =
cosx
( cosx )2

(

→

)

1
1
. f ( x )=∫
. dx=tanx+C
cosx
cos2 x
1

Tại x = 0: cos 0 . f ( 0 )=tan 0+C → C=1→ f ( x )=sinx+cosx

π
3

π
3

π
3

0

0

0

I =∫ ( sinx+cosx ) . dx=∫ sinx . dx+∫ cosx. dx= √

3+1
2

Vậy chọn đáp án A
Ví dụ 5:
Cho hàm số y= f(x) liên tục trên R\{0;-1} và thỏa mãn:
x ( x +1 ) f ' ( x )+ f ( x )=x 2+ x (1)và f ( 1 )=−2. ln2.

Giá trị f(2) = a + b.ln3, (a , b ∈ R ). Tính: a 2+ b2
25

A. 4

9

B. 2

5

C. 2

13

D. 4

Giải:
14


1
'
Từ (1) f ( x ) + x . ( x +1 ) f ( x )=1(2)
1

1

1

∫ x . ( x+1) dx
∫ ( x − x+1 ) dx
1
∫ P ( x ) .dx
Nhận thấy: P ( x )=

→e
=e
=e
=¿
x ( x+1 )

¿ e ln |x|−ln ⁡|x+1|=

x
x +1
x

Nhân hai vế của (2) với x+1 ta được:
x
1
x
. f ' ( x )+
. f ( x )=
2
x+1
x +1
( x+1 )
'
x
x
.f (x) =
x+1
x+1

↔

(

)

→

x
x
1
. f ( x )=∫
. dx=∫ 1−
. dx=x−ln|x +1|+C
x +1
x+1
x +1

(

)

1
Tại x = 1: 2 . f ( 1 )=1−ln 2+C →C=−1
2
3 3
3
−3
Tại x = 2: 3 . f ( 2 )=2−ln 3−1→ f ( 2 )= 2 − 2 ln3 → a= 2 , b= 2
→ a2 +b2 =

9
2

Vậy chọn đáp án B
Một số dạng khác
Ví dụ 1:
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R\{0} thỏa mãn:
x 2 . f 2 ( x ) + ( 2 x −1 ) . f ( x )=x . f ' ( x ) −1, ∀ x ∈ R \{ 0 }(1)và f (1)=−2
2

Tính: I =∫ f ( x ) . dx
1

−1
A. 2 −ln 2

−3
B. 2 −ln 2

ln 2

C. −1− 2

−3 ln 2
D. 2 − 2

Giải:
Từ (1) x 2 . f 2 ( x ) +2 xf ( x )−f ( x )=x . f ' ( x )−1
15

↔ x2 . f 2 ( x )+2 x . f ( x ) +1=f ( x )+ x . f '( x)
2

↔ ( x . f ( x ) +1 ) =f ( x ) + x . f ' (x)
↔

→

f ( x ) + x . f ' (x )

( xf ( x ) +1 )

2

=1 →

(

'
1
=−1
x . f ( x ) +1

)

1
=∫ −dx=−x+ C
x . f ( x ) +1
1

Tại x = 1: 1. f (1 )+1 =−1+C →C=0
→

1
−1 1
=−x → f ( x ) = − 2
x x
x . f ( x ) +1
2

2

I =∫ f ( x ) . dx=∫
1

1

( −1x − x1 ) . dx= −12 −ln 2
2

Vậy chọn đáp án A
Ví dụ 2:
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên [4;8] và
8

( f ' ( x) )2
1
1
. dx=1 và f ( 4 )= , f ( 8 )=

f(x) ≠ 0, ∀ x ∈ [ 4 ; 8 ] và thỏa mãn: ∫
4
4
2
4 ( f (x) )

Tính: f(6).
5

2

A. 8

3

B. 3

C. 8

1

D. 3

Giải:
8

8

f ' ( x)
1 '

1
1
dx=
−
=2
Ta có ∫ 2 dx=∫ −
f (x)
f (4 ) f (8)
4 f (x )
4

( )

8

Giả sử k là một số thực thỏa mãn: ∫
4

(

2
f ' (x )
+
k
dx=0
f 2 (x)

)

8

( f ' ( x) )2
f ' (x)
↔∫ (
+ 2k .
+ k 2). dx=0 ¿
4 ¿
2
( f ( x ))
( f ( x ))
4
8

8
8
( f ' ( x )) 2
f '(x)
2
↔∫
dx+ 2 k ∫
dx + k .∫ dx=0
4
2
4 ( f (x) )
4 ( f ( x) )
4

16

↔ 1+ 2k .2+k 2 .4=0 ↔ k=
8

Tức: ∫
4

(

−1
2
6

6

2
f '( x ) 1
f '( x )
1
1
−
dx=0↔ 2
= →∫ 2
dx=∫ dx=1 (a)
2
f ( x) 2
( f (x ) ) 2
4 f ( x)
4 2

f ' (x)

)

6

6

f ' ( x)
1 '
1
1
dx=
−
. dx=
−
Mặt khác: ∫ 2
∫
(b)
f (x)
f ( 4 ) f (6)
4 f (x )
4

( )
1

Từ (a) và (b) suy ra : f(6) = 3
Vậy chọn đáp án D.
b

Chú ý: ∫ f ( x ) . dx=0 thì khơng suy ra được f ( x )=0 nhưng
a

b

∫ f 2 k ( x ) dx=0 ↔ f ( x )=0
a

Bài tập vận dụng:
Câu 1(Đại học Vinh lần 2- 2018) : Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục
trên [1;2] thỏa mãn: f(1) = 4 và f ( x )=x . f ' ( x ) −2 x 3−3 x 2.
Tính: f(2)
A. 5

B. 20

C. 10

D. 15

Câu 2(Quỳnh Lưu 1- Nghệ An - 2018): Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm và liên
tục trên R thỏa mãn: f ' ( x ) +2 x . f ( x )=2 x . e−x và f(0) = 1. Tính: f(1).
2

A. e

1

B. e

−2

C. e

2

D. e

Câu 3(Cẩm Bình - Hà Tĩnh - 2018): Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm và liên tục
trên R thỏa mãn: x . f ' ( x )−x 2 .e x =f ( x) và f(1) = e. Tính:
2

I =∫ f ( x ) . dx
1

A. e 2−2 e

B. e

C. e 2

D. 3. e 2−2 e

Câu 4(SGD Bắc Ninh) : Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạohàm tại
∀ x ∈ ( 0; +∞ ) và thỏa mãn: f(x) = x.(sinx + f’(x)) + cosx và

17


3π

2

∫ f ( x ) . sinxdx=−4
π
2

Khi đó f ( π ) nằm trong khoảng nào?
A. (6;7)

B. (5;6)

C. (12;13)

D. (11;12)

π
Câu 5: Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên 0 ; 2 đồng thời thỏa
mãn:

( )

f ( x ) +tanx . f ' ( x )=

x
π
π
biết √ 3 . f
−f
=aπ √ 3+bln3
3

3
6
cos x

() ()

Trong đó a , b ∈ R . Tính giá trị của biểu thức: P = a + b.
14

7

−4

A. 9

B. 9

−2

C. 9

D. 9

Câu 6: Cho hàm số f(x) xác định có đạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn
1

∫ f ( x ) dx=1,

f(1) = cot1. Tính tích phân

0

1

I = ∫ ( f ( x ) tan2 x + f ' ( x ) tanx ) dx
0

A. 1 - ln(cos1)

B. 0

C. 1 - cot1

D. -1

Câu 7: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0;1], f(x) và f’(x) đều nhận
giá trị dương trên [0;1] thỏa mãn: f(0) = 2,
1

1
'

∫ f ( x ) . [f
0

2

( x ) +1 ] dx=2 ∫ √ f ( x ) . f ( x ) dx . Tính∫ f 3 ( x ) dx
0

15

0

15

A. 4

Câu 8:

1
'

17

B. 2

19

C. 2

D. 2

x
−π π
Cho f ( x )= 2 trên 2 ; 2 , F(x) là một nguyên hàm của x.f’(x) thỏa
cos x

(

)

−π π
mãn: F(0) = 0. Biết a ∈ 2 ; 2 , thỏa mãn: tana = 3. Tính

(

)

F ( a )−10 a2 +3 a
−1
A. 2 ln 10

−1
B. 4 ln 10

1
C. 2 ln 10

D. ln10
18


ax+ b

Câu 9: Cho hai số a, b thỏa mãn: F(x)= x +4 ,(4 a−b≠ 0) là một nguyên hàm của
hàm số f(x) và thỏa mãn: 2. f 2 ( x )=[ F ( x )−1 ] . f ' (x ). Khẳng định nào dưới đây
đúng và đầy đủ nhất ?
A. a= 1, b = 4.

B. a= 1, b = -1.

C. a=1, b ∈ R ¿ {4¿}D. a ∈ R ,b ∈ R .
Câu 10:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f’(x) liên tục trên ¿ và thỏa mãn:
3
3. f ( x )+ f ' ( x )=√ 1+ 3.e−2 x. Tính: e . f (1 )−f (0)
A.

1

√ e2 +3

−

1
2

B.

1
2. √ e 2+ 3

−

1
4

C.

( e 2+3 ) √ e 2 +3−8
3

D.( e 2 +3 ) √ e2 +3 - 8.

4.Kết quả thực hiện:
4.1. Kết quả vận dụng của bản thân:
Tôi đã thực hiện việc giảng dạy mảng kiến thức này trong hai năm gần đây
với mức độ khác nhau giữa các lớp trong cùng một khóa học hay các khóa
học khác nhau. Đề tài đã được thực hiện khi tơi tham gia giảng dạy mơn tốn
của lớp 12A1 trường THPT Ngọc Lặc, trong quá trình giảng dạy học sinh dễ
dàng tiếp nhận kiến thức và vận dụng một cách linh hoạt . Kết quả học sinh
cảm thấy tự tin và hứng thú khi gặp các dạng toán này.Qua các bài kiểm tra
về phần này và các đề thi thử THPTQG nhiều em có sự tiến bộ rõ rệt và kết
quả tốt. Cụ thể như sau:

Lớp 12A1 năm học 2018-2019 (Sỉ số 41)
G
K
TB
Y
SL %
SL %
SL %
SL
20 48,1
21 51,9
0
0

0

%
0

Kém
SL %
0
0

4.2. Triển khai trước tổ bộ môn:
Tôi đã đưa đề tài này ra tổ để trao đổi và rút kinh nghiệm, đa số các đồng
nghiệp trong tổ đã đánh giá cao và vận dụng có hiệu quả, tạo được hứng thú
cho học sinh, giúp các em hiểu sâu, nắm vững và tự tin hơn khi đứng trước
các bài tốn tích phân liên quan đến hàm ẩn.
19


III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ:
1. Kết luận:
Trong dạy học giải bài tập tốn nói chung và dạy học giải bài tập tốn
tích phân nói riêng, việc xây dựng các bài tốn riêng lẻ thành một hệ thống
theo một trình tự logic có sự sắp đặt của phương pháp và quy trình giải tốn
sẽ giúp học sinh dễ dàng tiếp cận với nội dung bài học, đồng thời có thể phát
triển tư duy học toán cũng như tạo ra niềm vui và sự hứng thú trong học
tốn.
Việc chọn trình tự bài tập và phân dạng như trên giúp học sinh dễ tiếp
thu hơn và thấy được trong từng bài toán nên áp dụng kiến thức nào cho phù
hợp. Mỗi dạng tốn tơi chọn một số bài tập để học sinh hiểu cách làm để từ đó
làm những bài tập mang tính tương tự và dần nâng cao hơn. .Tuy nhiên, vẫn

cịn một số học sinh khơng tiến bộ do mất cơ bản, sức ỳ quá lớn hoặc chưa có
động cơ, hứng thú trong học tập.
Do đó đây chỉ là những giải pháp trong hàng vạn giải pháp để giúp
phát triển tư duy, sự sáng tạo của học sinh. Giáo viên trước hết phải cung cấp
cho học sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản sau đó là cung cấp cho học sinh
cách nhận dạng bài toán, thể hiện bài toán từ đó học sinh có thể vân dụng linh
hoạt các kiến thưc cơ bản, phân tích tìm ra hướng giải, bắt đầu từ đâu và bắt
đầu như thế nào là rất quan trọng để học sinh không sợ khi đứng trước một
bài tốn khó mà dần dần tạo sự tự tin, gây hứng thú say mê mơn tốn, từ đó
tạo cho học sinh tác phong tự học tự nghiên cứu . Đề tài có thể phát triển và
xây dựng thành hệ thống đề thành sách tham khảo cho học sinh và giáo viên.
Rất mong sự đóng góp ý kiến của các bạn quan tâm và đồng nghiệp để đề
tài này được đầy đủ hoàn thiện hơn .
2. Kiến nghị:
Đối với tổ chuyên môn :

20


Cần có nhiều buổi họp thảo luận về nội dung tích phân, đặc biệt là các
dạng bài mới lạ liên quan đến tích phân. Khuyến khích học sinh xây dựng bài
tập toán liên quan đến những dạng bài tập toán trong bài giảng.
Đối với trường :
Cần bố trí những tiết thảo luận hơn nữa để thơng qua đó các học sinh
bổ trợ nhau về kiến thức. Trong dạy học giải bài tập toán, giáo viên cần xây
dựng bài giảng thành hệ thống những bài tập có phương pháp và quy trình
giải tốn.
Đối với ngành giáo dục :
Phát triển và nhân rộng những đề tài có ứng dụng thực tiễn cao, đồng
thời viết thành những bộ sách tham khảo cho học sinh và giáo viên.

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 16 tháng 05 năm 2019

Tơi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, khơng sao
chép nội dung của người khác.
Người viết

Đào Quỳnh Giao

21