(Sáng kiến kinh nghiệm) rèn luyện kỹ năng đọc đồ thị y= f(x)

I. MỞ ĐẦU.
1.1.Lý do chọn đề tài.
Trong kỳ thi THPT Quốc gia mơn tốn năm học 2017-2018 có một bài toán:
Câu 50(MĐ132).Cho hai hàm số y  f  x  , y  g  x  . Hai hàm số y  f   x  và
y  g   x  có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của
hàm số y  g   x  .

3

Hàm số h  x   f  x  4   g  2 x   đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

9


B.  ;3  .
4 

31 
.
 5


A.  5;

2

 31





25 

C.  ;   .
D.  6;  .
5

 4 
Đây là bài tốn khiến học sinh bối dối vì từ trước đến giờ học sinh lớp 12 chỉ
biết đến các bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y  ax 3  bx 2  cx  d ,
y  ax 4  bx 2  c , y 

ax  b
cx  d

chứ chưa quen các bài toán liên quan đến đồ thị của

hàm số y  f  x  .Nên phương pháp giải các bài tốn này như thế nào?.Hệ thống
bài tập chưa có tài liệu nào đề cập đến .Đây là một vấn đề cần phải giải quyết
đáp ứng nhu cầu học tập của học sinh.
/
Chính vì vậy Tơi chọn đề tài:“Rèn luyện kỹ năng đọc đồ thị hàm số y  f  x 
” để giúp học sinh lớp 12 hệ thống được các kiến thức đã học và phát triển ý
tưởng tạo để giải quyết được các bài toán mới. Giúp các em học sinh đạt kết quả
cao trong kỳ thi THPT Quốc gia năm học 2018-2019.
1.2.Mục đích nghiên cứu.
- Giúp học sinh đạt kết quả cao trong kỳ thi THPT Quốc gia 2018-2019.
- Làm tài liệu học tập cho những em học sinh u thích mơn tốn.
- Phát triển ý tưởng sáng tạo các bài toán mới dựa trên các kiến thức đã học.
1.3.Đối tượng nghiên cứu.

-Hệ thống kiến thức đã học cho học sinh về đồ thị từ lớp 10 đến lớp 12
-Giúp học sinh rèn luyện kỹ năng vẽ và đọc đồ thị để giải quyết các bài tốn
liên quan đến đồ thị như Tính đơn điệu,Cực trị,Giá trị lớn nhât và giá trị nhỏ
nhất,….
1.4.Phương pháp nghiên cứu.
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết.
- Phương pháp thu thập thông tin.
/

1


- Phương pháp thông kê,sử lý số liệu.
- Phương pháp điều tra và khảo sát thực tế.
1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm.
- Có sức hấp dẫn với học sinh và các bạn u mơn tốn.
- Từ các kiến thức đã học Học sinh có thể phát triển được các ý tưởng sáng tạo
xây dựng được các bài toán mới.
2.NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1.Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Để giải quyết các bài toán liên quan đến đồ thị chúng ta không thể không nói
đến phép tịnh tiến đồ thị song song với các trục tọa độ.Hàm số chẵn,hàm số lẻ.
Định lý:(Đại số nâng cao lớp 10 trang 43):
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy.Cho đồ thi (G) của hàm số y=f(x) ,p,q là hai số
dương tùy ý.Khi đó:
1/ Tịnh tiến (G) lên trên q đơn vị thì ta được đồ thị y=f(x)+q.
2/ Tịnh tiến (G) xuống dưới q đơn vị thì ta được đồ thị y=f(x)-q.
3/ Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị thì ta được đồ thị y=f(x+p).
4/ Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị thì ta được đồ thị y=f(x-p).
Định lý:(Đại số nâng cao lớp 10 trang 41):

Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
Bên cạnh đó chúng ta hướng dẫn học sinh giải các bài toán đối xứng tâm,đối
xứng trục,phép tịnh tiến.phép vị tự….Trên hệ tọa độ vng góc Oxy và thể hiện
bằng đồ thị.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
- Đối với học sinh đây là dạng toán mới dựa trên các kiến thức tổng hợp đã học.
- Hệ thống bài tập vận dụng sách giáo khoa chưa đề cập đến và sách bồi dưỡng
thì khơng có.
- Một số đề thi thử THPT Quốc gia trên mạng Internet có đề cập một số bài đồ
/
thị hàm số: y  f  x  song khơng có lời giải chi tiết và học sinh cũng khơng có
điều kiện,phương tiện để tiếp cận được.
- Trong qua trình dạy học trên lớp hệ thống bài tập và phương pháp giải các bài
toán liên quan đến đồ thị hàm số đạo hàm các Thầy,Cô cũng chưa chú ý đến vì
có nhiều lý do.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết
vấn đề.
- Để làm sáng kiến kinh nghiệm này Tôi đã sử dụng một số bài toán trên mạng
và chủ yếu phải tự làm.Sau đó sắp xếp các bài tập theo trình tự hệ thống kiến
thức Giải tích 12 chương I hiện hành.
- Trong q trình làm đề tài Tơi có cho học sinh làm để điều chỉnh bài toán sao
cho phù hợp với mức độ yêu cầu của học sinh và đề thi THPT Quốc gia.
NỘI DUNG SÁNG KIẾN KIẾN KINH NGHIỆM.
a/ Các bài tốn về tính đơn điệu của hàm số:

2


Ví dụ 1:Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm trên  và thỏa f  2   f  2   0 và đồ

thị hàm số y  f '  x  có đồ thị như hình bên.
Hàm số y   f  x   nghịch biến trên các
khoảng nào trong các khoảng sau:
2

3

A.  1;  .
2
C.  1;1 .


B.  2; 1 .
D.  1; 2  .

Lời giải:Chọn D.
Từ đồ thị hàm số y  f '  x  ta có bảng xét dấu:

Suy ra y  f ( x)  0, x  2 .Lại có:
x  1 .
2
y   f  x   y '  2 f  x . f ' x   y '  0  2 f  x  . f ' x   0   f '  x   0  
 x  2
 f '  x   0, x   2;1
2 f  x  . f '  x   0, x   2;1
 
Do 
 f '  x   0, x   1; 2 
2 f  x  . f '  x   0, x   1; 2 

Từ đây suy ra hàm số y   f  x   nghịch biến trên khoảng  1; 2 
2

Ví dụ 2. Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x  xác định, liên tục trên  và f '  x 
y
có đồ thị như hình vẽ bên.Khẳng định nào sau đây
là đúng?
A. Hàm số f  x  đồng biến trên  ;1 .
x
B. Hàm số f  x  đồng biến trên  ;1 và  1;   .
O
1
C. Hàm số f  x  đồng biến trên  1;   .
D. Hàm số f  x  đồng biến trên  .
Lời giải: Chọn C.
Dựa vào đồ thị hàm số f   x  , ta thấy f   x   0, x   1;   suy ra hàm số f  x 
đồng biến trên  1;   .
4
3
2
Ví dụ 3. Cho hàm số f  x   ax  bx  cx  dx  e  a  0  . Biết rằng hàm số f  x 
có đạo hàm là f '  x  và hàm số y  f '  x  có đồ thị như hình vẽ bên. Khi đó nhận
xét nào sau đây là sai?

3


A.Trên  2;1 thì hàm số f  x  luôn tăng.
B.Hàm f  x  giảm trên đoạn  1;1 .
C.Hàm f  x  đồng biến trên khoảng  1;   .

D. Hàm f  x  nghịch biến trên khoảng  ; 2 
y

4

x
-2

-1 O

1

Lời giải. Chọn B.
Dựa vào đồ thị của hàm số y  f '  x  ta thấy:
 2  x  1
f '  x   0 khi 

 f  x  đồng biến trên các khoảng  2;1 ,  1;   .
x  1

Suy ra A và C đều đúng.
f '  x   0 khi x  2 
 f  x  nghịch biến trên khoảng  ; 2  .
Suy ra D đúng, B sai.
Ví dụ 4.Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm là hàm số f   x  trên  .
Biết rằng hàm số y  f   x  2   2 có đồ thị như hình
vẽ bên dưới. Hàm số f  x  nghịch biến trên khoảng
nào?
A.  ; 2  .

B.  1;1 .

3 5



C.  ;  .
2 2


D.  2;   .



Lời giải.Chọn B.
Dựa vào đồ thị  C  ta có: f   x  2   2  2, x   1;3  f   x  2   0, x   1;3 .
Đặt x*  x  2 thì f   x *  0, x*   1;1 .
Vậy: Hàm số f  x  nghịch biến trên khoảng  1;1 .
Cách khác:Tịnh tiến sang trái hai đơn vị và xuống dưới 2 đơn vị thì từ đồ thị
 C  sẽ thành đồ thị của hàm y  f   x  . Khi đó: f   x   0, x   1;1 .
Vậy: Hàm số f  x  nghịch biến trên khoảng  1;1 .
b/Các bài tốn về cực trị của hàm số.
Ví dụ 1: Cho hàm số bậc bốn y  f ( x). Hàm số y  f   x  có đồ thị như hình vẽ
dưới đây. Số điểm cực đại của hàm số y  f



x 2  2 x  2 là:

A. 1

B. 2
Lời giải.Chọn D
Tập xác định của hàm số là  .

y

1 O



1

3

x

Ta có y 

x 1

2

x  2x  2

.f 



C. 4

D. 3



x2  2x  2 ,

4


x 1  0
 2
 x  1
 x  2 x  2  1 
  x  1  2
y  0   2
 x  2x  2  1
 x  1  2

 2
 x  2x  2  3
Đặt g ( x)  x 2  2 x  3 .Bảng biến thiên của g ( x) :
x



g  x



1

1  2



1  2


3

3
1

Bảng biến thiên của hàm số y  f
x



x 1



f



x2  2x  2



y





x2  2 x  2 :
1

1  2



1  2

0





0



0



0





0



0



0



y

Từ BBT thấy hàm số có 1 cực đại.
4
5
3
Ví dụ 2:Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x    x  1  x  2   x  3 . Số điểm cực

trị của hàm số f  x  là:
A. 5
B. 3
Lời giải.Chọn B.

D. 2

C. 1

 x  1

Ta có f   x   0   x  2 .
 x  3

Ta có bảng biến thiên của hàm số f  x  và f  x  .
x

f  x

f



1

3



0



0



2



0



 x

5


x

f



0

2



2

 x

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy số điểm cực trị của hàm số f  x  là 3 .
3
Ví dụ 3:Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f '  x   x 2  x  1  13x  15  . Khi đó số

 5x 
cực trị của hàm số y  f  2  là.
 x 4

A. 5
Lời giải:Chọn D.

B. 3

C. 2
'

 5x 
 5x 
Ta có g  x   f  x 2  4   g '  x    x 2  4  ' f









Do đó g '  x  

2



 5x  5 4  x
' 2
.f
 2
2
 x 4
x 4



25 x 2  5 x
 5x 
  65 x

'
.

 1 .  2
 15 
f
2  2
Mà  x 2  4 

x2  4  x  4   x  4



D. 6



 5x 
' 2

 x 4

3



x

2

4



 x  1  x  4   x  3  15 x  20 
3

25 x 2



2

.

125 x 2 4  x 2

x2  4

.

x

2

4



3

3

  x  1  x  4   x  3  15x  20 
 x  4
3

2

3

8

4

Suy ra hàm số y  g  x  có 6 điểm cực trị x  2;1; 4;3;  .


3

Ví dụ 4.Cho hàm số y  f  x  xác định trên R. Đồ thị hàm số y  f '  x  như hình
1
3

3
3
4
2
cực tiểu của hàm số g  x  đoạn  3;1 là:
1
A. xCT  1
B. xCT 
2
C. xCT  2
D. xCT  0

vẽ bên. Đặt g  x   f  x   x 3  x 2  x  2018. Điểm

Lời giải: Đáp án A.
3
3

2
2
x 1
3
3
2
 f '  x   x  x    x  1
2
2
 x  3

Ta có g '  x   f '  x   x 2  x   0

3
2

3
2

Khi x  1 ta có: f '  x   x 2  x   g '  x   0,

6


3
2

3
2

Khi x  1 ta có f '  x   x 2  x   g '  x   0
Qua x  1, g’(x) đổi dấu từ dương sang âm  x  1 là điểm cực đại của đồ thị hàm
số y  g  x 
Chứng minh tương tự ta được x  1 là điểm cực tiểu và x  3 là điểm cực đại
của đồ thị hàm số y  g  x  .
c/Các bài toán về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.
Ví dụ 1.Cho hàm số y  f  x  có đồ thị y  f '  x  như hình vẽ sau:
1
3

3
4

3
2

Xét hàm số g  x   x3  x 2  x  f  x 
mệnh đề nào dưới đây đúng?
g  x   g  3  .
g  x   g  1 .
B. max
A. max
 3;1
 3;1
g  x   g  1 .
C. max
 3;1

g  x 
D. max

3;1


g  3  g  1
2



Lời giải.Chọn B.
3
3
3
3
Ta có g ( x)  x 2  x   f   x   0  f ( x)  x 2  x  .
2

2

2
2

g
(
x
)

0
Số nghiệm của phương trình
chính là số giao
3

3
điểm của y  f ( x) và y  x 2  x 
2
2
3
3
Ta thấy y  f ( x) cắt y  x 2  x  tại ba điểm phân biệt là  3;3 ;  1; 2  ;  1;1 .
2
2
Khi đó ta có BBT của y  g  x  như sau:

g  x   g  1 .
Do đó max
 3;1

Ví dụ 2.Cho hàm số y  f  x  có đồ thị y  f   x  như hình vẽ bên dưới.
Xét hàm
1
3

3
4

3
2

số g  x   f  x   x 3  x 2  x  2018 ,
mệnh đề nào dưới đây đúng?
g  x   g  3  .
g  x   g  1 .

A. min
B. min
 3;1
 3;1
g  x   g  1 .
C. min
 3;1

g  x 
D. min
 3;1

g  3  g  1
2

.

Lời giải.Chọn B
1
3
3
3
3

g  x   f  x   x 3  x 2  x  2018  g '  x   f '  x    x 3  x    0
3
4
2
2
2



7


 x  3
3 
 3 3
 f '  x    x  x     x  1
2
2

 x  1

Dựa vào đồ thị ta có .
g  x   g  1 .
Vậy min
 3;1
Ví dụ 3.Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên  và có đồ thị như hình vẽ.
3
Đặt hàm số y  g  x   f  2 x  x  1  m .
Tìm m để max 0;1g  x   10
A. m  13 .

B. m  3 .

C. m  12 .

D. m  1 .

Lời giải .Chọn A.
Dựa vào đồ thị của hàm số f  x  .
Ta có hàm số đạt cực trị tại x  1 nên f   x   0  x  1 .
Ta có: g   x    f  2 x3  x  1  m   f   2 x 3  x  1  6 x 2  1





 f  2 x3  x  1  0
 2 x3  x  1  1
 x  a  0,8
 3
g x  0  

 6 x 2  1  0  VN 
x  0
 2 x  x  1  1

Ta có bảng biến thiên như sau:

Do đó hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x  0 hoặc x  1
Suy ra max 0;1g  x   10  m  3  10  m  13 .

Ví dụ 4: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  . Đồ thị của hàm số y  f '  x  như
2
hình bên. Đặt g  x   2 f  x    x  1 . Mệnh đề nào
dưới đây đúng?
g  x   g  1 .
g  x   g  1 .

A. min
B. max
 3;3
 3;3
g  x   g  3 .
C. min
 3;3

D. Không tồn tại giá trị nhỏ nhất của g  x  trên

 3;3 .
Lời giải Đáp án B.

8


 x  3

Ta có: g '  x   2 f '  x   2  x  1  0   x  1
 x  3
Với x  3 ta có: f '  x   x  1 suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 3 .
Tương tự ta suy ra hình dạng đồ thị hàm số g  x  bên dưới, ta cần so sánh g  3

và g  3 .
2
Ta có g  x   2 f  x    x  1  g '  x   2 f '  x   2  x  1 ; x   .
 x  3
(Dựa vào ĐTHS y  f '  x  ).
x  1

Phương trình g '  x   f '  x   x  1  

Bảng xét dấu g '  x 
x
-3
1
g’(x)
0
+
0
g  x   g  1 .
Dựa vào bảng xét dấu, ta được max
 3;3
Dựa vào hình vẽ lại có

1

3

3

1

-

3
0

 2 f '  x   2 x  dx    2 f '  x   2 x  dx .

Do đó g  1  g  3  g  1  g  3  g  3  g  3 .
d/Các bài toán về tương giao đồ thị.
Ví dụ 1.Cho hàm số y  f  x  

ax  b
, ( a , b , c , d   , c  0 , d  0 ) có đồ thị  C 
cx  d
như hình vẽ dưới đây. Biết  C  cắt trục tung tại

. Đồ thị của hàm số y  f   x 
điểm có tung độ bằng 2 . Tiếp tuyến của  C  tại giao điểm của  C  với trục
hoành có phương trình là
C. x  3 y  2  0
D. x  3 y  2  0 .
A. x  3 y  2  0 . B. x  3 y  2  0 .
y
Lời giải.Chọn C.
x
2 1

 ad  bc 
ax  b
Xét hàm số y  f  x  
có f   x  
2 .
cx  d
 cx  d 
2

O

3

Ta có đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung
độ bằng 2 nên f  0   2 

b
 2  b  2d .
d

Từ đồ thị y  f   x  nhận đường thẳng x  1 làm tiệm cận đứng nên
ad  2d 2
a  2d
d
.

f
x





  1  d  c
2
2
c
 dx  d  d  x  1

Mặt khác ta lại có đồ thị y  f   x  đi qua điểm  2; 3 nên f   2   3
a  2d

 3  a  d .
d
dx  2d  x  2
1

Vậy f  x  
.Đồ thị  C  cắt trục Ox tại điểm  2;0  và f   2    .
dx  d
x 1
3


9


Vậy phương trình tiếp tuyến của  C  tại giao điểm của  C  và trục Ox là
1
 x  2  x  3y  2  0 .
3
Ví dụ 2:Cho hàm số y  f  x  có đồ thị f   x  như hình vẽ:
y

Xét hàm số g  x   2 f  x   2 x3  4 x  3m  6 5 với m là
tham số thực. Điều kiện cần và đủ để g  x   0 ,
x    5; 5  là.

A. m 

2
f

3

 5 .

B. m 

2
f  5 .
3





C. m 

2
f  0 .
3

D. m 

2
f
3

 5 .

Lời giải.Chọn A.
2

2
Ta có g   x   2 f   x   6 x  4 ; g   x   0  f   x   3x  2  x  0  x   5 .
Ta thấy g   x   0 , x    5; 5  nên hàm số g  x 
đồng biến trên   5; 5  .

g  x  0
Do đó, để g  x   0 , x    5; 5  thì max
5; 5 

g

 5   0  m  23 f  5  .

Ví dụ 3:Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  3;3 và đồ thị hàm
số y  f   x  như hình vẽ bên. Biết f (1)  6 và

 x  1 . Kết luận nào sau đây là đúng?
f ( x) 
2

g ( x) 

2

A. Phương trình
B. Phương trình
C. Phương trình
D. Phương trình

g ( x)  0 có đúng hai nghiệm thuộc  3;3 .

g ( x)  0 khơng có nghiệm thuộc  3;3 .
g ( x)  0 có đúng một nghiệm thuộc  3;3
g ( x)  0 có đúng ba nghiệm thuộc  3;3 .

Lời giải.Chọn C.
Ta có : g  x   f  x   

x  1  g  x  f  x  x  1
 
  
 . Vẽ đường thẳng y  x  1
2
trên cùng một hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số y  f   x  (như hình vẽ bên).
2

Từ đồ thị ta thấy: g   x   f   x    x  1  0 , x   3;1 .(do
đường cong nằm phía trên đường thẳng),
g   x   f   x    x  1  0 , x   1;3 (do đường cong nằm
phía dưới đường thẳng).
Ta có: g  1  f  1 

 1  1
2

2

 62  4.

Bảng biến thiên:

10


Dựa vào đồ thị ta thấy: diện tích S1 lớn hơn 4 (trong phần bên trái có nhiều hơn
1

4 ơ, mỗi ơ có diện tích bằng 1 ), do đó: 4  S1   g   x  dx  4  g  x  3
1

3

 4  g  1  g  3  g  3  0 .

Mặt khác: diện tích  R tan 30 nhỏ hơn 4 (trong phần bên phải có ít hơn 4 ơ), do
3

đó 4  S2    g   x  dx  4   g  x  1  4  g  1  g  3  g  3  0 .
3

1

Vậy phương trình g  x   0 có đúng một nghiệm thuộc đoạn  3;3 (nghiệm này
nằm trong khoảng  3;1 ).
Ví dụ 4.Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên R và có đồ thị là đường
cong
trong hình vẽ dưới. Đặt g  x   f  f  x   . Tìm số
3

y

2

1

2

1

1

1

2

3

O

4

x

2
3
4
5
6

nghiệm của phương trình g   x   0 .
B. 8

C. 4 .
A. 2 .

D. 6 .

7

Lời giải.Chọn.B.

 f  x  0

Ta có g   x   f   f  x   . f   x   0  

 f   f  x    0

x  0
f  x  0  
 x  x3   2;3

 f  x  0
f   f  x    0  
.
 f  x   x3   2;3

 x  x1   1;0 

+ f  x  0  x  1
 x  x   3; 4 
3


 x  x2  x1
2;3
f
x
x







+
.

3
 x  x3   0;1

Vậy phương trình g   x   0 có 8 nghiệm phân biệt.
e/ Các bài toán về nhận dạng đồ thị.
3
2
Ví dụ 1.Cho hàm số f  x   ax  bx  cx  d  a, b, c, d    . Hàm số y  f   x  có đồ
thị như hình vẽ. Hàm số đã cho có thể là hàm số trong các hàm số dưới đây?
B. y   x3  2 x 2  x  2 .
A. y  x3  2 x  1 .
C. y   x3  x 2  x  2 .
D. y   x3  2 x 2  x  2 .

11


Lời giải.Chọn C.
Nhìn đồ thị y  f   x  ta suy ra a  0 và f   x   0
vô nghiệm nên chọn y   x3  x 2  x  2 .
Ví dụ 2. Cho 3 hàm số y  f  x  , y  g  x   f   x  , y  h  x   g   x  có đồ thị là 3
đường cong trong hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. g  1  h  1  f  1 .
B. f  1  g  1  h  1 .
C. h  1  g  1  f  1 .
D. h  1  f  1  g  1 .
Lời giải. Chọn C.
-Nếu  1 là đồ thị hàm số y  h  x   g   x  thì g   x   0 x   0; 2   g  x  đồng biến
trên  0; 2  , trong hai đồ thị cịn lại khơng có đồ thị nào thoả mãn là đồ thị hàm số
y  g  x  f  x .
-Nếu  2  là đồ thị hàm số y  h  x   g   x  thì
g   x   0x   1,5;1,5   g  x  đồng biến trên
 1,5;1,5 ,  1 là đồ thị hàm số y  g  x   f   x 
thì f   x   0x   0; 2   f  x  đồng biến trên
 0; 2  , nhưng  3 không thoả mãn là đồ thị hàm
số y  f  x  .
-Nếu  3 là đồ thị hàm số y  h  x   g   x  thì g   x   0x   ;1  g  x  đồng biến
trên  ;1 , vậy  2  là đồ thị hàm số y  g  x   f   x  và  1 là đồ thị hàm số
y  f  x  .Dựa vào đồ thị ta có h  1  g  1  f  1 .
Ví dụ 3: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên  . Đường cong trong hình vẽ
bên là đồ thị của hàm số y  f '  x  ( y  f '  x  liên tục trên  ).
2
Xét hàm số g  x   f  x  2  Mệnh đề nào dưới đây sai ?
A. Hàm số g  x  , nghịch biến trên  ; 2  .

B. Hàm số g  x  , đồng biến trên  2;   .
C. Hàm số g  x  , nghịch biến trên  1;0  .
D. Hàm số g  x  , nghịch biến trên  0; 2  .
Lời giải.Đáp án C.
2
Xét hàm số g  x   f  x  2  trên  ,
có g '  x    x 2  2  . f '  x 2  2   2 x. f '  x 2  2  .
'

x  0
x  0
x0



2
2
Phương trình g '  x   0  x. f ' x  2  0   f ' x 2  2  0   x  2  1   x  1

 x2  2  2
 x  2

2
Với x  2  x 2  2  0 mà f '  x   0, x   2;   suy ra f ' x  2  0, x   2;  













12


Bảng biến thiên


x



f ' x2  2
g  x



2

+

0

1


0



0
0

1
0



2
0





+





+
+
+
Từ bảng biến thiên ta có hàm số g  x  nghịch biến trên khoảng  1;0  .

Ví dụ 4.Cho hàm số y  f  x  liên tục và có đạo hàm cấp hai trên  . Đồ thị của
các hàm số y  f  x  , y  f '  x  , y  f ''  x  lần lượt là các đường cong trong hình vẽ
bên :
A.  C1  ,  C2  ,  C3  . B.  C1  ,  C3  ,  C2  . C.  C3  ,  C2  ,  C1  .
D.  C3  ,  C1  ,  C2  .
Lời giải.Chọn D.
Dựa vào đồ thị ta thấy:  C2  có một cực trị,
 C1  có hai cực trị và  C3  có ba cực trị. Nên
suy ra đồ thị của các hàm số y  f  x  ,
y  f '  x  , y  f ''  x  lần lượt là  C3  ,  C1  ,  C2 
.
x

Ví dụ 5: Cho đồ thị của ba hàm số y  f ( x), y  f ( x), y   f  t  dt ở hình dưới.
0

Xác định xem  C1  ,  C2  ,  C3  tương ứng là đồ thị hàm số nào?
x

A. y  f ( x), y  f ( x), y   f  t  dt .
0

x

B. y  f ( x), y   f  t  dt , y  f ( x) .
0

x

C. y  f ( x), y   f  t  dt , y  f ( x) .

0

x

D. y   f  t  dt , y  f ( x), y  f ( x) .
0

Lời giải:Đáp án C.
Dựa vào đồ thị ta có:  C3  là đạo hàm của  C1 
f/Các bài tốn về tính giá trị hàm số.
3
2
Ví dụ 1: Cho hàm số y  f  x   ax  bx  cx  d  a, b, c, d   ; a  0  , có đồ thị (C).
Biết rằng đồ thị (C) đi qua gốc tọa độ và đồ
thị hàm số y  f   x  cho bởi hình vẽ . Tính
giá trị H  f  4   f  2  .
A. H  58
B. H  51
C. H  45
D. H  64
Lời giải.Chọn A.
4

2

13


Giả sử f   x   Ax  Bx  C , có đồ thị là một Parabol với đỉnh I  0;1 nên B  0 và
C 1 .Ta có f   x   Ax 2  1 , Parabol đi qua điểm M  1; 4  nên suy ra A  3 .

2
2
3
Vậy f   x   3x  1 .Suy ra f  x     3x  1 dx  x  x  D
3
Do đồ thị (C) đi qua gốc tọa độ nên D  0 . Vậy f  x   x  x .
Từ đó suy ra H  68 10  58 .
4
2
Ví dụ 2: Cho hàm số y  f  x   ax  bx  c với  a  0  có đồ thị hàm số y  f '  x 
như hình vẽ bên. Biết rằng đồ thị hàm số y  f  x  tiếp xúc với đường thẳng
y  2 đồng thời đi qua điểm M  2; 14  . Giá trị của biểu thức P  a  b  c là?
2

A. P  a  b  c  

7
2

B. P  a  b  c  

3
2

C. P  a  b  c  

5
2

D. P  a  b  c 

1
2

Lời giải: Đáp án A.

3
Từ hình vẽ của đồ thị hàm số y  f '  x   4ax  2bx đã cho ta nhận thấy rằng:

f '  1  4  4a  2b  4  2a  b  2
Hơn thế nữa, ta có a  0, b  0 và đồ thị hàm số chỉ có duy nhất 1 điểm cực đại do

vậy để đồ thị hàm số
y  f  x  tiếp xúc với đường thẳng y  2 thì c  2 .
Mặt khác đồ thị hàm số đi qua điểm M  2; 14  nên 16a  4b  c  14
1
2

Do vậy ta tìm được a   , b  1, c  2 nên P  a  b  c  

7
2

Học sinh có thể tưởng tượng hình dáng đồ thị hàm số như hình vẽ bên
Ví dụ 3: Cho hàm số y  f  x  . Đồ thị của hàm số y  f '  x  như hình vẽ. Đặt
g  x   3 f  x   x 3 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. g  2   g  2   g  1 . B. g  2   g  2   g  1 .
C. g  1  g  2   g  2  . D. g  1  g  2   g  2  .
Lời giải:Chọn B.
Ta thấy đồ thị hàm số y  x 2 cắt đồ thị hàm số y  f '  x  tại 3

điểm có tạo độ  2; 4  ,  1;1 ,  2; 4  . Căn cứ vào diện tích hình
1

2

2

1

phẳng trên hình vẽ ta có:   x 2  f '  x  dx    f '  x   x 2 dx
x
 1 
x3  2
   f  x 
  f  x  
3  1
3
 2 
3

14


x3  3 f  x  1 3 f  x   x3 2
1
2


 g  x
 g  x

2
1
2
1
3
3
  g  1  g  2   g  2   g  1  g  2   g  2  (1)

Mặt khác từ đồ thị ta có bảng biến thiên sau:

x
-2
-1

y’
0
0
+
g  2 
y



2
0

g  2

-

g  1
 g  2   g  2   g  1 .
Ví dụ 4.Cho hàm số y  f  x  . Đồ thị của hàm số y  f   x  như hình vẽ bên. Đặt
M  max f  x  , m  min f  x  , T  M  m .
 2;6
 2;6
y

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. T  f  0   f  2  .
B. T  f  5   f  2  .
C. T  f  5   f  6  .
D. T  f  0   f  2  .

4
2
3 2

1 O

1

2 3

4 5

6 7

x

2

Lời giải.Chọn B.
Gọi S1 , S2 , S3 , S4 lần lượt là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y  f   x  với và trục hồnh.
y

0

Quan sát hình vẽ, ta có

4
S1

2

3 2 1 O
2



2

 f  x

S3

2 3 4 5 S4 6 7

1

S2

2

5

x

0
2

 f  x

 f  2   f  2 

0
2

2

f   x  dx    f   x  dx
0

 f  0   f  2   f  0   f  2 

  f   x  dx   f   x  dx  f  x  2  f  x  2  f  0   f  2   f  5  f  2  0
0

0

5

2

5

6

2

5

 f   x  dx    f   x  dx

 f  x  2  f  x  6  f  5  f  2   f  5  f  6   f  2   f  6 
5

5

Ta có bảng biến thiên

15


f  x   f  5  và x  0
Dựa vào bảng biến thiên ta có M  max
 2;6

Khi đó T  f  5   f  2  .

h/ Các bài toán liên quan đến đạo hàm cấp 2.
Ví dụ 1: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị của hàm số y  f ''  x  như hình vẽ, đặt
g  x   6 f  x   x 3 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
 g '  3  g '  3
.
 g '  4   g '  1

 g '  3  g '  3
.
 g '  4   g '  1

A. 

B. 

 g '  3  g '  3
.
 g '  4   g '  1

C. 

 g '  3  g '  3
.
 g '  4   g '  1

D. 

Lời giải: Đáp án A.

g  x   6 f  x   x3  g '  x   6 f '  x   3x 2

g ''  x   6. f ''  x   6 x  6  f ''  x   x 
 x  3
x  4
 g ''  x   0  f ''  x    x  
x  3

x 1
1

3

4

Theo hình vẽ ta có:    x  f ''  x   dx    f ''  x   x  dx    x  f ''  x   dx
3

 x


 f ' x 
 2


1

1

3

3

4


 x

x 
  f ' x    
 f ' x   g ' x
21  2

3
3
 g '  3  g '  3
 g '  3  g '  1  g '  3  g '  1  g '  3   g '  4   
 g '  4   g '  1
2

2

2

1

3

 g ' x

3

1

 g ' x

4

3

Ví dụ 2: Một trong số các đồ thị dưới đây là đồ thị của hàm số g  x  liên tục trên
 và thỏa mãn g '  0   0, g ''  0   0x   1; 2  . Hỏi đó là đồ thị nào?
A.
B.
C.
D.

Lời giải:Đáp án A.
Lập bảng biến thiên của 4 đồ thị y  g  x  trong mỗi đáp án thì ta thấy chỉ có đáp
án A thỏa mãn.

16


Ví dụ 3:Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm cấp một f '( x) và đạo hàm cấp hai
f ''( x) trên  . Biết đồthị của hàm số y  f ( x), y  f '( x), y  f ''( x) là một trong các
đường cong (C1 ), (C2 ), (C3 ) ở
hình vẽ bên. Hỏi đồ thị của hàm số
y  f ( x), y  f '( x), y  f ''( x) lần lượt theo thứ tự
nàodưới đây?
A. (C2 ), (C1 ), (C3 ) .

B. (C1 ), (C3 ), (C2 ) .
C. (C2 ), (C3 ), (C1 ) .
D. (C3 ), (C1 ), (C2 ) .
Hướng dẫn giải.Chọn C.
Dựa vào đồ thị ta thấy.
-Hàm số có đồ thị  C1  nhận giá trị dương (đồ thị  C1  nằm phía trên trục hồnh)
thì hàm số có đồ thị  C3  đồng biến trên khoảng đó. Do đó hàm số có đồ thị  C1 
là đạo hàm của hàm số có đồ thị  C3  .
-Hàm số có đồ thị  C3  nhận giá trị dương (đồ thị  C3  nằm phía trên trục hồnh)
thì hàm số có đồ thị  C2  đồng biến trên khoảng đó. Do đó hàm số có đồ thị  C3 
là đạo hàm của hàm số có đồ thị  C2  .
Ví dụ 4.Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp hai trên  . Biết f   0   3 ,
f   2   2018 và bẳng xét dấu của f   x  như sau:

Hàm số y  f  x  2017   2018 x đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x0 thuộc khoảng nào
sau đây?
B.  2017;   .
C.  0; 2 
D.  2017;0  .
A.  ;  2017  .
Lời giải.Chọn A.
Ta có bảng biến thiên:

y  f  x  2017   2018 x  y  f   x  2017   2018 .
 x  2017  2
 x  2015

y  0  f   x  2017   2018  
.
 x  2017  a  0

 x  a  2017  2017

Ta có bảng biến thiên:

17


Hàm số y  f  x  2017   2018 x đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm
x0  a  2017   ; 2017  .
2.5.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối học sinh.
-Trước khi hướng dẫn đề tài:Rèn luyện kỹ năng đọc đồ thị hàm số y  f / ( x) .
Tôi cho học sinh làm bài kiểm tra 15 phút.
Câu 1:Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên  . Đường cong trong hình vẽ bên
là đồ thị hàm số y  f   x  , ( y  f   x  liên tục trên  ). Xét hàm số
g  x   f  x 2  2  . Mệnh đề nào dưới đây sai?
y
A. Hàm số g  x  nghịch biến trên khoảng  ;  2  .
1

1
O

2

B. Hàm số g  x  đồng biến trên khoảng  2;    .

x

2

C. Hàm số g  x  nghịch biến trên khoảng  1;0  .

4

D. Hàm số g  x  nghịch biến trên khoảng  0; 2  .
2
2
2
2
2
Câu 2.Cho hàm số f  x   x  x  1  x  4   x  9   x  16  . Hỏi phương trình

f   x   0 có bao nhiêu nghiệm?

A. 9 .

B. 8 .

C. 7 .

D. 6 .

2

Câu 3: Cho hàm số f  x  liên tục trên   thỏa mãn f '  x   x  1, x   , f  0   1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của f  1 ?

4
3

A. .

7
3

B. .

C. 1.

3
4

D. .

Câu 4: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm là hàm số liên tục trên  . Đồ thị
của
hàm số y  f '  x  như hình vẽ bên.
Hỏi hàm số y  f  x  có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 3.
B. 1.
C. 2.
D. 0.
Câu 5.(Đề minh họa BGD2018)
Cho hàm số y  f  x  . Hàm số y  f   x  có bảng biến thiên như sau

18


x
Bất phương trình f  x   e  m đúng với mọi x   1;1 khi và chỉ khi

A. m  f  1  e .

1
e

B. m  f  1  .

1
e

C. m  f  1  .

D. m  f  1  e .

Kết quả là học sinh lúng túng không làm bài được.
/
Sau khi hướng dẫn đề tài: “Rèn luyện kỹ năng đọc đồ thị hàm số y  f  x  ”.Tôi
cho học sinh hai lớp 12A và 12B làm lại bài kiểm tra thì thu được kết quả sau:
Điểm
1 – 2,5 3 – 4,5 5 – 6,5 7 – 8,5 9 – 10
Lớp
Lớp 12A
4,0%
11%
60%
15%
10,0%
( 28 HS )
Lớp 12B

10%
12%
58%
12%
8%
( 30 HS )
2.6.Bài tập tham khảo:
Câu 1.Cho hàm số f  x  có đồ thị như hình vẽ bên.
y
Tìm số điểm cực tiểu của hàm số g  x   f  x  1 .
4
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
–1

2

O

x

1
3

Câu 2.Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên R và có f  1  1, f  1   .
Đặt g  x   f  x   4 f  x  . Cho biết đồ thị của y  f   x  có dạng như hình vẽ
dưới đây.Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số g  x  có giá trị lớn nhất và khơng có giá

trị nhỏ nhất trên R
B. Hàm số g  x  có giá trị nhỏ nhất và khơng có giá
trị nhỏ nhất trên R
C. Hàm số g  x  có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất trên R
D. Hàm số g  x  khơng có giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất trên R
2

Câu 3. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x  liên tục trên  và đồ thị của
hàm số f   x  trên đoạn  2;6

19


y

như hình vẽ bên. Tìm khẳng định đúng trong các
khẳng định sau.

3
2
1
2

2
O

4

1

6 x

A. maxxf2;6 x   f  2  .

B. maxxf2;6 x   f  2  .

C. maxxf2;6 x   f  6  .

D. maxxf2;6 x   f  1 .

Câu 4.Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên R và có đồ thị của hàm số
y  f '( x) như hình vẽ bên dưới. Để hàm số y  f (2 x 3  6 x  3) đồng biến với
mọi
x  m (m  R )

thì

a, b, c   * , c  2b và

m  a sin

b
c

trong

đó

b
là phân số tối giản).
c

Tổng S  2a  3b  c bằng
A. 7.
B. 2.
C. 5.
D. 9.
Câu 5.Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  . Đồ thị của hàm số
y  f   x  được cho bởi hình vẽ . bên dưới.Chọn khẳng định đúng.

A. Hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng  1;1 .
B. Hàm số y  f  x  nghịch biến trên khoảng  1;3 .
C. Hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng  0; 2  .
D. Hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng  1;1 và
khoảng  3; 4  .
Câu 6. Cho hàm số y  f  x  , biết hàm số f  x  có đạo hàm f   x  và hàm số
y  f   x  có đồ thị như hình vẽ. Đặt g  x   f  x  1 . Kết luận nào sau đây là
đúng?
A. Hàm số g  x  đồng biến trên khoảng (3;4)
B. Hàm số g  x  đồng biến trên khoảng (0;1)
C. Hàm số g  x  nghịch biến trên khoảng (4;6)
D. Hàm số g  x  nghịch biến trên khoảng  2;  
Câu 7.Cho hàm số f  x  . Biết hàm số y  f   x  có đồ thị như hình bên. Trên
2
đoạn  4;3 , hàm số g  x   2 f  x    1  x  đạt giá
trị nhỏ nhất tại điểm
A. x0  4 .
B. x0  1 .

C. x0  3 .

D. x0  3 .

3.KẾT LUẬN:

20


3.1.Kết luận:
Sau thời gian giảng dạy tại lớp 12A,12B.Tơi có nhận xét:
- Đề tài được các em học sinh yêu tốn đón nhận và làm rất say mê.
- Số học sinh có học lực trung bình thì rất thờ ơ.
- Một phần vì bài tập địi hỏi kỷ năng vận dụng kiến thức cả ba khối và đòi hỏi
sáng tạo.Nếu khơng có người hướng dẫn thì rất khó làm được bài tập.
Tuy nhiên đề tài rất có ích cho các em muốn được điểm tối đa trong kỳ thi
THPT Quốc gia 2019 và là tài liệu tham khảo cho các Thầy,cơ giáo ơn luyện cho
học sinh.
Trong khn khổ trình bày có hạn nên việc trình bày khơng tránh được những
thiếu sót.Rất mong được sự góp ý của các Thầy,cơ giáo và các em học sinh để
đề tài hồn hiện hơn.
Tơi xin cam kết đề tài này do tôi tự làm và tôi xin chịu trách nhiệm với đề tài
của minh.
Xác nhận của Ban giám hiệu
Thanh hóa,Ngày 25 tháng 4 năm 2019
Người viết

Lê Nguyên Thạch

21