DE THI CHON HSG TRUONG PHUC TRACH

<span class='text_page_counter'>(1)</span>SỞ GD-ĐT HÀ TĨNH TRƯỜNG THPT PHÚC TRẠCH. ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TỈNH MÔN TOÁN: LỚP 12 NĂM HỌC:2012-2013 Thời gian làm bài:120phút (không kể thời gian giao đề). ĐỀ CHÍNH THỨC. Bài 1.(3,0điểm). 3 2 Cho hàm số y x  2mx  3(m  1)x  2 (1), m là tham số thực. Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng  : y  x  2 tại 3 điểm phân biệt A(0;2) ; B; C sao cho tam giác MBC có diện tích 2 2 , với M(3;1).. Bài 2.(3,0điểm). Tìm m để hệ phương trình : Bµi 3.(4,0 ®iÓm). có ba cặp nghiệm phân biệt. Cho tam giác ABC không tù.Chứng minh rằng A B C A B C 10 3 tan + tan +tan +tan ⋅ tan ⋅ tan ≥ √ 2 2 2 2 2 2 9 Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?. x, y, z  (0;1)   Bài 4.(4,0điểm)  xyz (1  x)(1  y )(1  z ). 3 CMR: x +y +z  4 2. 2. 2. Bài 5.(6,0điểm) ∘. Cho hình chóp S.ABC có ∠ ASB =∠ ASC=45 ;cos(∠BSC)=. 1 ; SB=SC= 4. √ 2 SA.SA=a. K là trung. điểm của BC; M là điểm nằm trên đoạn thẳng AK. Đặt AM=x. 1.. Chứng minh:. SA. (ABC). 2.. Mặt phẳng (a) qua M và vuông góc với AK. Tìm x để thiết diện của hình chóp S.ABC cắt bởi mp(a) có diện tích lớn nhất .. .....................................Hết..................................... Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ĐÁP ÁN 3 2 Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với ( ) là: x  2mx  3(m  1)x  2  x  2.  x 0  y 2  2  g(x) x  2mx  3m  2 0(2). ................................................................................................................................................... Đường thẳng () cắt dồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0;2), B, C  Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0  m  1   '  0 m  3m  2  0   m  2    2 g(0) 0 3m  2 0  m 3. 1điểm. 2. ...................................................................................................................................................... Bài 1(3đ). Bài 2(3đ). Gọi. B  x1 ; y1 . và. C  x2 ; y 2 . 1điểm ............ .. , trong đó x1 , x2 là nghiệm của (2); y1  x1  2 và. ............ ... y1  x2  2 h d  M;()  . 3 1  2. 2S 2.2 2  BC  MBC  4 h 2. 2 Ta có 2 2 BC ( x2  x1 )  ( y2  y1 ) 2 2  ( x2  x1 ) 2  4 x1 x2  8(m2  3m  2) Mà =. 1điểm. 2 Suy ra 8(m  3m  2) =16  m 0 (thoả mãn) hoặc m 3 (thoả mãn). Ta có do x=0 không là nghiệm phương trình ). x2  2 x 1 3x 2  6 x  m  3 x Thay vào phương trình thứ nhất ta được: (a) .................................................................................................................................................... . Hệ có ba cặp nghiệm (a) có ba nghiệm phân biệt thỏa mãn .. 1đ. Xét hàm số. 1đ. với. .. . ........................................................................................................................................................ Dựa vào bảng biến thiên ta thấy (a) có ba nghiệm phân biệt. ............. ............ 1đ. . Vậy. là những giá trị cần tìm.. Không mất tính tổng quát, giả sử A ≥ B ≥C. C B A π C B A Vì tam giác ABC không tù ⇒ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 4 ⇒tan 2 ≤ tan 2 ≤ tan 2 ≤ 1. 1đ.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> A. B. C. Đặt x = tan 2 ; y = tan 2 ; z = tan 2 thì 0 < z y x 1 Bài 3(4đ) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm: 1 - x; 1 - y; 1 - z ta được:. Bài 4(4đ). 1 − x +1 − y +1 − z 3 ≥ √ ( 1 − x ) ( 1− y )( 1 − z )= √3 1 −(x + y + z )+ xy + yz+ xz − xyz 3. ................................................................................................................................. A. B. Vì xy + yz + xz = tan 2 tan 2 Suy ra:. B. C. + tan 2 tan 2. A. C. + tan 2 tan 2. ............. =1. 3. x yz 3  (x  y  z)  1  2  ( x  y  z )  xyz   1   2  ( x  y  z )  xyz 3 3 . .................................................................................................................................... 3.  x yz  x yz   x  y  z  xyz 2   1   1  2   3 3    . 1đ ............ 3. 1đ. ................................................................................................................................ 3 3 10 3 √ −1 = √ Vì x + y + z √ 3 nên ⇒ x + y + z+ xyz ≥ 2+. (3 ). 9. ............ 1đ. Từ đó suy ra điều cần chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi tam giác ABC đều Ta có: (1)  1-(x+y+z)+xy+yz+zx=2xyz  x 2 +y 2 +z 2 =2-2(x+y+z)+(x+y+z) 2 -4xyz ................................................................................................................................. 3.  x yz   xyz 3   áp dụng bđt Côsi ta có : nên  x yz   2 2 2 2 3    x +y +z 2-2(x+y+z)+(x+y+z) -4. ............. 1đ. 3. ................................................................................................................................... Đặt t= x+y+z thì: 0  t  3 .Khi đó: 4 3 2 1 15 3 3 t  t  2t  2  (2t  3) 2 (  t )   2 2 2 27 27 4 4 4 x +y +z 3 1 dấu bằng xảy ra khi t= 2 hay x=y=z= 2 (đpcm) . 1đ. ............ 2đ.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> S. F. P. E. N. A. Q M. C. K. B. 3đ. Bài 5(6đ) Δ 1. CM: AB=AC= a ( sử dụng định lí cosin trong tam giác); vuông cân tại A: SA ⊥ AB ⇒ SA ⊥( ABC) SA ⊥ AC. Δ SAB = Δ SAC(c-g-c) ;. {. ........................................................................................................................................................ 2. BC AK; SA AKTrong mặt phẳng (ABC) qua M kẻ đt song song BC cắt AB; AC tại P, QTong mặt phẳng (SAK) qua M kẻ đt song song với SA cắt SK tại N . Từ N kẻ đt song song với BC cắt SB; SC tại F; E thiết diện là hình chữ nhật PQEF : S td =PQ . PF ....................................................................................................................................................... Ta có : BC=a √ 3 ; AK= a/ 2 Tính được PQ=2 x √ 3 ; PF=(a− 2 x ) .......................................................................................................................................................... 2 x +a −2 x ¿ 2 hay M là trung điểm AK ¿ S td =2 x √ 3 (a −2 x) ≤ √3 ¿. ............ .. 1đ ............ 1đ ............ 1đ.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>

<span class='text_page_counter'>(6)</span>