Bài giảng Toán rời rạc: Chương 5 - Nguyễn Quỳnh Diệp

CHƯƠNG 5

ĐỒ THỊ
Nguyễn Quỳnh Diệp

File Bài giảng: goo.gl/Y3cpLF hoặc goo.gl/TYxXQD
Nguyễn Quỳnh Diệp

1


NỘI DUNG
• Các định nghĩa

• Các thuật ngữ về đồ thị
• Biểu diễn đồ thị

• Tính liên thơng
• Đường đi Euler và đường đi Hamilton

• Bài tốn đường đi ngắn nhất

Toán rời rạc

Nguyễn Quỳnh Diệp

2


5.1. CÁC ĐỊNH NGHĨA

Toán rời rạc

Nguyễn Quỳnh Diệp

3


ĐỒ THỊ
• Đồ thị là một cấu trúc rời rạc
• Gồm các đỉnh (V) và các cạnh (E) nối đỉnh

Toán rời rạc

Nguyễn Quỳnh Diệp

4


ĐỒ THỊ
• Dùng đồ thị cho các lĩnh vực khác nhau:
 Kĩ sư điện: dùng đồ thị để thiết kế các mạch điện
 Ngành khoa học: biểu diễn cấu trúc hóa học của các chất, cấu
trúc DNA…
 Ngành ngơn ngữ học: biểu diễn cây ngơn ngữ
• Các ứng dụng khác của đồ thị
 Biểu diễn sự ảnh hưởng của một ai đó trong tổ chức
 Biểu diễn kết quả cuộc thi thể thao
 Mạng hàng khơng

Tốn rời rạc

Nguyễn Quỳnh Diệp

5


PHÂN LOẠI ĐỒ THỊ - ĐƠN ĐỒ THỊ
Định nghĩa 1:
Một đơn đồ thị G = (V, E) gồm một tập khơng rỗng V mà các
phẩn tử của nó gọi là các đỉnh và một tập E mà các phần tử
của nó gọi là các cạnh là các cặp khơng sắp thứ tự của các
đỉnh phân biệt.

Ví dụ:

Tốn rời rạc

Nguyễn Quỳnh Diệp

6


ĐA ĐỒ THỊ
Định nghĩa 2:
Một đa đồ thị G = (V, E) gồm một tập các đỉnh V, một tập các
cạnh E và một hàm f từ E tới {(u,v)| u,v V , u  v}.
Các cạnh e1 và e2 được gọi là cạnh bội nếu f(e1) = f(e2).

Ví dụ:

Tốn rời rạc

Nguyễn Quỳnh Diệp

7


GIẢ ĐỒ THỊ
Định nghĩa 3:
Một giả đồ thị G = (V, E) gồm một tập các đỉnh V, một tập các
cạnh E và một hàm f từ E tới {{u,v}| u,v V }.
Một cạnh là khuyên nếu f(e) = { u, u } = {u} với một đỉnh u
nào đó

Ví dụ:

Toán rời rạc

Nguyễn Quỳnh Diệp

8


ĐỒ THỊ CĨ HƯỚNG
Định nghĩa 4:
Một đồ thị có hướng G = (V, E) gồm một tập các đỉnh V, một
tập các cạnh E là các cặp có thứ tự của các phần tử thuộc V.

Ví dụ:

Tốn rời rạc

Nguyễn Quỳnh Diệp

9


ĐA ĐỒ THỊ CÓ HƯỚNG
Định nghĩa 5:
Một đa đồ thị có hướng G = (V, E) gồm một tập các đỉnh V, một
tập các cạnh E và một hàm f từ E tới {(u,v)| u, v  V}.
Cạnh e1 và e2 là các cạnh bội nếu f(e1) = f(e2).

Ví dụ:

Tốn rời rạc

Nguyễn Quỳnh Diệp

10


ĐỒ THỊ
Bảng thuật ngữ đồ thị:
Loại

Cạnh

Cạnh bội ? Có khuyên ?

Đơn đồ thị

Vơ hướng

Khơng

Khơng

Đa đồ thị

Vơ hướng

Có

Khơng

Giả đồ thị

Vơ hướng

Có

Có

Đồ thị có hướng

Có hướng

Khơng

Có

Có

Có

Đa đồ thị có hướng Có hướng

Tốn rời rạc

Nguyễn Quỳnh Diệp

11


CÁC MƠ HÌNH ĐỒ THỊ
Ví dụ 1: Mạng xã hội

Tốn rời rạc

Nguyễn Quỳnh Diệp

12


CÁC MƠ HÌNH ĐỒ THỊ
Ví dụ 2: Đồ thị ảnh hưởng

Toán rời rạc

Nguyễn Quỳnh Diệp

13


CÁC MƠ HÌNH ĐỒ THỊ
Ví dụ 3: Đồ thị các mơđun phụ thuộc

Tốn rời rạc

Nguyễn Quỳnh Diệp

14


CÁC MƠ HÌNH ĐỒ THỊ
Ví dụ 4: Đồ thị thi đấu

Toán rời rạc

Nguyễn Quỳnh Diệp

15


BÀI TẬP
 Bài 1: Xác định các loại đồ thị cho hình bên dưới

Tốn rời rạc

Nguyễn Quỳnh Diệp

16

16


BÀI TẬP
 Bài 2: Xác định các loại đồ thị cho hình bên dưới

Tốn rời rạc

Nguyễn Quỳnh Diệp

17

17


5.2. CÁC THUẬT NGỮ VỀ ĐỒ THỊ

Toán rời rạc

Nguyễn Quỳnh Diệp

18


ĐỒ THỊ VƠ HƯỚNG
Định nghĩa 1:

Cho đồ thị vơ hướng G, hai đỉnh u và v được gọi là liền kề
(hoặc láng giềng) nếu {u, v} là một cạnh của G.
Nếu e = {u, v} thì e gọi là cạnh liên thuộc hoặc cạnh nối với
các đỉnh u và v.
Các đỉnh u và v gọi là các điểm đầu mút của cạnh {u, v}.

Định nghĩa 2:
Trong đồ thị vô hướng, bậc của một đỉnh là số các cạnh liên
thuộc với nó, riêng khun tại một đỉnh được tính hai lần cho
bậc của nó. Kí hiệu bậc của đỉnh v là deg(v)
Toán rời rạc

Nguyễn Quỳnh Diệp

19


ĐỒ THỊ VƠ HƯỚNG
Ví dụ 1: Bậc của các đỉnh trong các đồ thị sau là bao nhiêu?

• Đỉnh bậc 0 gọi là đỉnh cơ lập (ví dụ đỉnh g trong G)
• Đỉnh bậc 1 gọi là đỉnh treo (ví dụ đỉnh d trong G, c trong H)
Toán rời rạc

Nguyễn Quỳnh Diệp

20


ĐỒ THỊ VƠ HƯỚNG

Định lí 1:
ĐỊNH LÍ BẮT TAY. Cho G = (V, E) là một đồ thị vô hướng.
Khi đó:
𝟐|𝑬| =

𝒅𝒆𝒈(𝒗)
𝒗∈𝑽

(Định lý đúng với cả khi đồ thị vơ hướng có cạnh bội hoặc khun)

Định lí 2:
Một đồ thị vơ hướng có một số chẵn các đỉnh bậc lẻ

Tốn rời rạc

Nguyễn Quỳnh Diệp

21


ĐỒ THỊ CĨ HƯỚNG
Định nghĩa 3:
Trong đồ thị có hướng G, nếu (u, v) là cạnh của G thì u được
gọi là nối tới v và v được gọi là được nối từ u.
Đỉnh u gọi là đỉnh đầu, đỉnh v gọi là đỉnh cuối của cạnh (u,v).
Đỉnh đầu và đỉnh cuối của khuyên trùng nhau.

Định nghĩa 4:
Trong đồ thị có hướng bậc-vào của đỉnh v kí hiệu deg(v) là số
các cạnh có đỉnh cuối là v. Bậc-ra của đỉnh v, kí hiệu deg+(v) là

số các cạnh có đỉnh đầu là v.
Toán rời rạc

Nguyễn Quỳnh Diệp

22


ĐỒ THỊ CĨ HƯỚNG
Ví dụ 2: Tìm bậc-vào và bậc-ra của mỗi định trong đồ thị sau:

Định lí 3:
Gọi G = (V,E) là một đồ thị có hướng. Khi đó:
𝒅𝒆𝒈− 𝒗 =
𝒗∈𝑽
Toán rời rạc

𝒅𝒆𝒈+ 𝒗 = |𝑬|
𝒗 ∈𝑽

Nguyễn Quỳnh Diệp

23


MỘT SỐ ĐỒ THỊ ĐẶC BIỆT
Đồ thị đầy đủ n đỉnh:
 Kí hiệu Kn

 Là đơn đồ thị

 Giữa mỗi cặp đỉnh phân biệt chỉ có 1 cạnh nối chúng

Tốn rời rạc

Nguyễn Quỳnh Diệp

24


MỘT SỐ ĐỒ THỊ ĐẶC BIỆT
Đồ thị vòng n đỉnh:
 Kí hiệu Cn , n  3

 Có n đỉnh v1, v2, ..., vn
 Các cạnh {v1, v2}, {v2, v3},..., {vn-1, vn} và {vn, v1}

Toán rời rạc

Nguyễn Quỳnh Diệp

25