Bài giảng Toán rời rạc: Chương 3 - TS. Đặng Xuân Thọ

TOÁN RỜI RẠC
(DISCRETE MATHEMATICS)
Bùi Thị Thủy
Đặng Xuân Thọ


Support
2






Full name: Đặng Xuân Thọ
Mobile: 091.2629.383
Email:
Website: />
Toán Rời Rạc - ĐHSPHN


NỘI DUNG
3



Chương 1. Logic mệnh đề



Chương 2. Lý thuyết tập hợp



Chương 3. Một số công thức tổ hợp



Chương 4. Suy luận và kiểm chứng chương trình



Chương 5. Đại số Boole và cấu trúc mạch logic



Chương 6. Thuật toán



Chương 7. Lý thuyết đồ thị
Toán Rời Rạc - ĐHSPHN


Chương 3. Một số công thức tổ hợp
4







“Đánh giá số điện thoại nhiều nhất có thể có
trong Hà Nội.”
“Xác định số mật khẩu, mỗi mật khẩu gồm
sáu, bảy, hoặc tám ký tự; mỗi ký tự có thể chữ
hoặc số; mỗi mật khẩu chứa ít nhất một chữ.”
Một số cơng thức tổ hợp
Chỉnh hợp
 Hốn vị
 Hốn vị trên đường trịn
…


Tốn Rời Rạc - ĐHSPHN


5

Cơ sở của phép đếm

Toán Rời Rạc - ĐHSPHN


Cơ sở của phép đếm
6







Phần này chúng ta chỉ giải quyết xác định lực
lượng của tập hợp hữu hạn.
Nếu tập hợp A là tập hợp hữu hạn, thì lực
lượng của nó là số lượng phần tử của nó, ký
hiệu là 𝐴 .
Định lý: Nếu Ai (i=1,2,..n) là một phân hoạch
của tập hợp A thì ta có 𝑛𝑖=1 𝐴𝑖 = 𝐴 .

Toán Rời Rạc - ĐHSPHN


Số phần tử của tích Đêcac
7



Ví dụ: Cho tập hợp A={a,b}. Tìm tất cả các
dãy ký tự có ba phần tử được tạo thành từ A?




aaa, aab, bbb, bba, abb, baa, aba, bab

Định lý: cho trước các tập hợp hữu hạn Ai
(i=1,..,k) trong đó tập hợp Ai có đúng ni phần
tử. Khi đó tích Đêcac A1 x A2 x … x Ak có đúng

n1n2…nk phần tử. Nghĩa là:
𝐴1 × 𝐴2 × ⋯ × 𝐴𝑘 = 𝐴1 × 𝐴2 × 𝐴𝑘



Đặc biệt ta có: 𝐴𝑛 = 𝐴

𝑛

Tốn Rời Rạc - ĐHSPHN


Số phần tử của tích Đêcac
8



Ví dụ: Có bao nhiêu số tự nhiên có chín chữ
số mà trong biểu diễn thập phân của nó khơng
có mặt chữ số nào trong tập hợp {0,3,7,9}?


Mỗi số tự nhiên có chín chữ số không được viết
bởi các chữ số {0,3,7,9} là một dãy chín kí tự có
lặp của tập hợp {1,2,4,5,6,8}.

 69

Tốn Rời Rạc - ĐHSPHN

9

Hai nguyên lý cơ bản

Toán Rời Rạc - ĐHSPHN


Cơ sở của phép đếm (1/2)
10



Nguyên lý cộng




Giả sử có các công đoạn E1, E2,…, Ek. Để thực
hiện E ta chỉ cần thực hiện một trong những Ei
(i = 1..k) trong đó số cách thực hiện Ei là ni. Khi
đó số cách thực hiện E là n1 + n2 + …+ nk.

Ví dụ:

Hà Nội

3 hãng hàng khơng
2 hãng tàu thủy

TP. HCM

15 hãng giao thơng
đường bộ
Có 3 + 2 + 15 = 20 cách


Cơ sở của phép đếm (2/2)
11



Nguyên lý nhân




Giả sử có công đoạn E được thực hiện lần lượt
qua các công đoạn E1, E2, …, Ek trong đó số cách
thực hiện Ei là ni (i = 1, k). Khi đó số cách thực
hiện E là n1 x n2 x … x nk

Ví dụ:
Hà Nội

8 cách

Đà Nẵng

Có 8 * 4 = 32 cách

Toán Rời Rạc - ĐHSPHN

4 cách

TP. HCM


12

Một Số Cơng Thức Tổ Hợp

Tốn Rời Rạc - ĐHSPHN


Hoán vị
13





Khái niệm. Hoán vị của một tập các đối tượng
khác nhau là một cách sắp xếp có thứ tự các
đối tượng này.
Bài tốn. Cho tập A có n phần tử. Hãy tính số
các hốn vị khác nhau của tập A.




Ví dụ: cho A={a,b,c,d} tìm tất cả các hốn vị có thể có
của tập hợp A?

Định lý. Số các hốn vị khác nhau của một
tập n phần tử là Pn = n!
Toán Rời Rạc - ĐHSPHN


Hốn vị
14



Ví dụ: Hãy tính số các số sau:
Có năm chữ số được viết bởi đúng 5 chữ số 1, 2,
3, 4 và 5?
 Có năm chữ số được viết bởi đúng 5 chữ số 1, 2,
3, 4 và 5 trong đó ba chữ số đầu là ba chữ số lẻ,
hai chữ số sau là hai chữ số chẵn?


Toán Rời Rạc - ĐHSPHN


Hốn vị trên đường trịn
15



Ví dụ: Cho tập hợp A = {a,b,c,d}. Tìm tất cả

các hốn vị khác nhau của các phần tử của A
trên đường trịn?

Tốn Rời Rạc - ĐHSPHN


Hốn vị trên đường trịn
16





Bài tốn: Tính số các hốn vị khác nhau của
một tập hợp A gồm n phần tử nằm trên một
đường trịn?
Định lý: Số các hốn vị trịn khác nhau của
tập hợp A có n phần tử là Qn = (n – 1)!

Toán Rời Rạc - ĐHSPHN


Chỉnh hợp
17



Bài tốn: Cho tập A có n phần tử và số k≤n
(kN). Mỗi dãy độ dài k được xếp bởi các
phần tử của tập A trong đó mỗi phần tử có

mặt khơng q một lần được gọi là một dãy
k phần tử khơng lặp của A.


Tính số các dãy đó?

Tốn Rời Rạc - ĐHSPHN


Chỉnh hợp
18





Định lý: Cho trước tập A có n phần tử và một
số tự nhiên k ≤ n. Số các dãy k phần tử khơng
lặp của A là:

Ví dụ: có bao nhiêu số có 4 chữ số mà trong
biểu diễn thập phân của nó khơng có 2 chữ số
nào giống nhau và khơng có mặt chữ số
chẵn?
Tốn Rời Rạc - ĐHSPHN


Chỉnh hợp lặp
19





Cho tập A có n phần tử. Khi đó số dãy gồm k
phần tử có lặp thuộc tập A là nk và được gọi là
chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử.
Ví dụ: có bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số
mà trong biểu diễn thập phân của nó khơng có
mặt chữ số nào trong tập hợp {0,1,2,3,4,5}?

Toán Rời Rạc - ĐHSPHN


Chỉnh hợp với tần số lặp cho trước
20



Định lý: Cho trước một tập hợp A có n phần
tử. Số các dãy k phần tử có lặp (k1+k2+…+kn)
và (k=k1+…+kn) là:

k!
P(k1 , k2 ,..., kn ) 
k1 !k2 !...kn !


Ví dụ: Tính các số tự nhiên có 7 chữ số, trong
đó có 3 chữ số 1, 2 chữ số 2 và 2 chữ số 3.

Toán Rời Rạc - ĐHSPHN


Tổ hợp
21





Tổ hợp chập k của n phần tử là số các tập
hợp con k phần tử của một tập n phần tử cho
trước (khơng có thứ tự).
Ví dụ: Cho tập hợp A={a,b,c,d}. Tìm tất cả các
tập hợp hai phần tử của A?




{a,b}; {a,c}; {a,d}; {b,c}; {b,d}; {c,d}

Định lý. Số tập hợp con k phần tử của một tập
A có n phần tử cho trước là:

Toán Rời Rạc - ĐHSPHN


Tổ hợp
22





Ví dụ 1. Có bao nhiêu cách tuyển 5 trong số
10 cầu thủ của một đội bóng để đi thi đấu tại
một trường khác?
Ví dụ 2. Trong 10 cầu thủ trên, có 3 cầu thủ
nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 5 cầu thủ đi
thi đấu trong đó có 2 cầu thủ nữ.

Toán Rời Rạc - ĐHSPHN


Luyện tập
23

1. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đơi một
khác nhau?
2. Có bao nhiêu máy điện thoại có 6 chữ số?
Và trường hợp 6 chữ số đơi một khác nhau?
3. Cho A={1,2,3,4,5,6,7}. Có bao nhiêu số tự
nhiên có 5 chữ số lấy từ A sao cho:
Có chữ số đầu là 3
 Không tận cùng bằng chữ số 4
 Cứ 2 chữ số kề nhau là khác nhau
 Không bắt đầu bằng 123


Luyện tập
24

4. Một lớp học có 40 học sinh với 25 nam và 15
nữ. Có mấy cách chọn 4 học sinh sao cho:
a. Chọn nam, nữ tùy ý
b. Chọn 2 nam và 2 nữ
c. Tính xác suất để chọn ít nhất một nữ

5. Tìm số đường chéo của đa giác lồi có n cạnh.
(Đa giác lồi là đa giác có tính chất kéo dài bất kỳ cạnh
nào đều khơng cắt đa giác. Khi đó 2 đỉnh bất kỳ nối
lại, được hoặc cạnh hoặc đường chéo. )
Toán Rời Rạc - ĐHSPHN


Luyện tập
25

6. Từ tập A = {0,1,2,3,4,5} lập được bao nhiêu số tự
nhiên có 8 chữ số sao cho:
- chữ số 2 có mặt 3 lần
- mỗi chữ số cịn lại có mặt 1 lần

7. Xét tam giác có đỉnh lấy từ một đa giác lồi có 20
cạnh.
a. Có bao nhiêu tam giác nói trên?
b. Tính xác suất để chọn được tam giác có đúng 1 cạnh
chung với đa giác?
c. Có bao nhiêu tam giác có đúng 2 cạnh chung với đa giác?

d. Tính xác suất để chọn được tam giác khơng có cạnh
chung với đa giác?
Tốn Rời Rạc - ĐHSPHN