DE LUYEN THI HOC SINH GIOI MON TOAN 9 2012 2013

<span class='text_page_counter'>(1)</span>ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 9-THCS THAM DỰ KỲ THI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn: Toán. (Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề ) ( Đề thi có 01 trang ). Câu 1 (4,5 điểm). 5  3  29  12 5 ; a) Rút gọn biểu thức: A = b) Tìm tất cả các tam giác vuông có các cạnh là một số nguyên và có diện tích bằng chu vi. Câu 2 (4,0 điểm). 3 3 a) Giải phương trình: x  2 + 7  x = 3; b) Cho 3 số x, y, z thỏa mãn đồng thời:. 3x - 2y - 2 y  2012 +1 =0 3y - 2z - 2 z  2013 + 1 = 0 3z - 2x - 2 x  2 - 2 = 0; 2011 2012 2013 Tính giá trị của biểu thức P = ( x - 4) + ( y + 2012) + ( z - 2013) . Câu 3 (3,0 điểm). Giải hệ phương trình: 1  1 x  x y  y  2 y x3  1 . Câu 4 (6,5 điểm). Cho nửa đường tròn đường kính AB, tâm O. Từ A, B kẻ hai tia tiếp tuyến Ax và By (Tia Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở E và F. a) Gọi giao điểm của AF và BE là K. Chứng minh MK vuông góc với AB; b) Cho AB = 2R và gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác EOF. 1 r 1 Chứng minh rằng: 3 < R < 2 ;. c) Vẽ tam giác vuông cân MBD đỉnh B ra phía ngoài nửa đường tròn. Chứng minh rằng khi M di chuyển trên nửa đường tròn đường kính AB thì đường thẳng đi qua D và song song với MB luôn đi qua một điểm cố định. Câu 5( 2,0 điểm). Cho x, y >1. Chứng minh rằng:. ( x3  y 3 )  ( x 2  y 2 ) 8 ( x  1).( y  1) .. ------------------Hết--------------------.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 9 - THCS THAM DỰ KỲ THI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012 – 2013 Môn: Toán --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. Câu 1 (4,5 điểm): 5. 29  12 5 ; b) Tìm tất cả các tam giác vuông có các cạnh là một số nguyên và có diện tích bằng chu vi.. a) Rút gọn biểu thức: A =. 3. Nội dung 5. a) A = =. 5. 5. =. 3. 29  12 5 =. 5. 3. Điểm (2 5  3) 2. 3 2 5 3. 0,50. ( 5  1) 2. 5  5 1 = 1 = b) Gọi x, y, z là các cạnh của tam giác vuông: 1 x  y z . Ta có: x 2  y 2 z 2 (1) xy = 2( x + y + z). (2) 2. 0,50 0,50. 2. 2. Từ (1) ta có: z ( x  y )  2 xy ( x  y)  4( x  y  z )  ( x  y ) 2  4( x  y )  4  z 2  4 z  4  ( x  y  2) 2 ( z  2) 2  x  y  2  z  2 ( do x+ y  2). Thay z = x + y - 4 vào (2) ta được: ( x- 4) ( y - 4) = 8, suy ra: x - 4 =1 và y - 4 =8  x = 5 và y = 12  z = 13 x - 4 =2 và y - 4 =4  x = 6 và y = 8  z = 10. Vậy các tam giác vuông phải tìm có các cạnh là: 5, 12, 13 và 6, 8, 10.. 0,50. 0,50 0,50 0,50 0,50. 0,50. Câu 2 (4,0 điểm): 3 x  2 + 3 7  x = 3; a) Giải phương trình: b) Cho 3 số x, y,z thỏa mãn đồng thời: 3x - 2y - 2 y  2012 +1 =0 3y - 2z - 2 z  2013 + 1 = 0 3z - 2x - 2 x  2 - 2 = 0; 2011 2012 2013 Tính giá trị của biểu thức P = ( x - 4) + ( y + 2012) + ( z - 2013) . Nội dung Điểm x2 + 3 7 x = 3 3 x2 .  x 27  x 3. a). 3.  9 + 9.. 3. ( x  2)(7  x). 3. 7  x . (3 x 2 +. = 27. 3. 7  x ) = 27.. 0,50 0,50.

<span class='text_page_counter'>(3)</span>  (x + 2 ) ( 7 - x ) = 8  x 2 - 5x - 6 = 0  x = -1; x = 6.. 0,50. Vậy phương trình có nghiệm x = -1; x = 6.. 0,50. b) 3x - 2y - 2 y  2012 +1 =0 (1) 3y - 2z - 2 z  2013 + 1 = 0 (2) 3z - 2x - 2 x  2 - 2 = 0 (3) Cộng vế với vế của (1), (2), và (3) ta được:. 0,50. x + y + z - 2 y  2012 - 2 z  2013 - 2 x  2 = 0  ( x - 2 - 2 x  2 + 1) + ( y + 2012 - 2 y  2012 + 1) + ( z - 2013 - 2 z  2013 + 1) = 0  ( x  2 - 1 ) 2 + ( y  2012 - 1) 2 + ( z  2013 - 1) 2 = 0 x 2 - 1 = 0  x = 3  y  2012 - 1 = 0  y = - 2011. 0,50. 0,50. z  2013 - 1 = 0  z = 2014 2011. 2012. Vậy P = ( 3 - 4) + ( - 2011 + 2012) 2013  P = -1 + 1 +1 = 1. + ( 2014 - 2013) Câu 3 (3,0 điểm):. Giải hệ phương trình:. 0,50. 1  1 x  x y  y  2 y  x 3  1 . Nội dung ĐK: x 0, y 0 . Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có 1 ( x - y ) ( 1+ xy ) = 0  x = y hoặc xy = -1 x y x y   2 y  x3  1  ( x  1)( x 2  x  1) 0  *  1 5  1 5  x = y = 1; x = y = 2 ; x=y= 2 .. ( thỏa mãn ĐK) 1   y  x   xy  1   2  x3  1  3  * 2 y x 1   x. 1   y  x   x 4  x  2 0  vô nghiệm.. Điểm 0,25. 0,50 0,50. 0,50. 0,50.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 1 1 3 2 2 (Ta có x + x + 2 = ( x - 2 ) + ( x + 2 ) + 2 > 0  x) 4. 2. 0,50. Vậy hệ đã cho có 3 nghiệm  1 5  1 5 2 ; x=y= 2 x = y = 1; x = y = .. 0,25. Câu 4: (6,5 điểm) Cho nửa đường tròn đường kính AB, tâm O.Từ A, B kẻ hai tia tiếp tuyến Ax và By ( Tia Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở E và F. a) Gọi giao điểm của AF và BE là K. Chứng minh MK vuông góc với AB; b) Cho AB = 2R và gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác EOF. Chứng 1 r 1 minh rằng: 3 < R < 2 ; c) Vẽ tam giác vuông cân MBD đỉnh B ra phía ngoài nửa đường tròn. Chứng minh rằng khi M di chuyển trên nửa đường tròn đường kính AB thì đường thẳng đi qua D và song song với MB luôn đi qua một điểm cố định.. Nội dung Vẽ hình:. Điểm 0,50. a) Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có: AE = EM, BF = FM. Vì Ax và By cùng vuông góc với AB nên Ax // By, theo định lí Ta-lét ta. 0,50. KF BF  có: KA AE KF MF   KA ME  MK // AE  MK  AB.. 0,50. b) Chứng minh tam giác OEF vuông tại O, OM là đường cao và OM = R. Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác OEF là a, b, c; EF = a. 0,50 0,50 0,50 0,50. 1 1 Ta có S EOF = 2 r (a + b + c) = 2 aR. r a   aR = r( a + b + c)  R a  b  c a a 1 Mà b + c > a  a + b + c > 2a  a  b  c < 2a < 2 Mặt khác: b< a, c < a  a + b + c < 3a. 0,50 0,50.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> a a 1 1 r 1  a  b  c > 3a > 3  3 < R < 2 .. c) Gọi T là giao điểm của tia By và đường thẳng đi qua D và song song với 0  MB. Ta có BDT = 90 . Chứng minh tam giác AMB và tam giác TDB bằng nhau ( g-c-g)  AB = BT  BT không đổi, T thuộc tia By cố định  T cố định.. Vậy khi M di chuyển trên nửa đường tròn đường kính AB thì đường thẳng đi qua D và song song với MB luôn đi qua điểm cố định T.. 0,50 0,50 0,50 0,50. Câu 5: ( 2,0 điểm) Cho x, y >1. Chứng minh rằng: ( x3  y 3 )  ( x 2  y 2 ) 8 ( x  1).( y  1) .. Nội dung 2 xy x2 y 2 ( x3  y 3 )  ( x 2  y 2 ) x2 y2 .  ( x  1).( y  1) Ta có P = = y  1 x  1  2 y  1 x  1 = ( x  1)( y  1) (1) 1 x  1 x x  1  1.( x  1)   2 2 Lại có 1 y  1 y y  1  1.( y  1)   2 2 2 xy xy ( x  1)( y  1)  4  ( x  1)( y  1) 8 (2) Suy ra ( x3  y 3 )  ( x2  y 2 ) 8 ( x  1).( y  1) Từ (1) và (2) suy ra . 2 x y2  Dấu bằng xảy ra  y  1 x  1 và x = y = 2  x = y =2.. ----------------HẾT---------------. Điểm 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25. 0,50.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>