Tài liệu Phương pháp giải toán mặt cầu doc

www.truongthi.com.vn
Môn Toán

MẶT CẦU
I) Nhắc lại lý thuyết:
A) Định nghĩa và phương trình:
1) Định nghĩa: Trong không gian cho điểm I và một số R > 0. Tập các
điểm M trong không gian sao cho khoảng cách IM = R là một mặt cầu tâm
I, bán kính R.
2) Phương trình:
a) Phương trình chính tắc: Giả sử I(a, b, c). M(x, y, z) thuộc mặt cầu ⇔
IM = R
⇔ IM
2
= R
2
⇔ (x - a)
2
+ (y - b)
2
+ (z - c)
2
= R
2

b) Phương trình tổng quát: Mọi mặt cầu trong không gian có phương trình
viết được dưới dạng x
2
+ y
2
+ z

2
- 2ax - 2by - 2cz + d = 0. ở đó a, b, c,
được là các hằng số. Đây là mặt cầu tâm I(a, b, c), bán kính R =
222
abc++−d
.
c) Chùm mặt cầu: Cho hai mặt cầu B
1
tâm I
1
bán kính R
1
và mặt cầu B
2

tâm I
2
, bán kính R
2
. Giả sử B
1
và B
2
giao nhau theo một đường tròn. Điều
kiện giao nhau theo một đường tròn là
12
RR−
< I
1
I

2
< R
1
+ R
2
. Khi đó
tập hợp các mặt cầu đi qua đường tròn giao tuyến, kể cả mặt phẳng chứa
đường tròn, được gọi là chùm mặt cầu xác định bởi B
1
và B
2
. Giả sử B
1
,
B
2
có phương trình lần lượt là:
α[(x - a
1
)
2
+ (y - b
1
)
2
+ (z - c
1
)
2
-

R
] = 0
2
1
+ β[(x - a
2
)
2
+ (y - b
2
)
2
+ (z - c
2
)
2
- ] = 0
2
2
R
ở đó |α| + |β| > 0
B) Tiếp tuyến với mặt cầu. Tiếp diện.
Đường thẳng ∆ là tiếp tuyến với mặt cầu khi và chỉ khi khoảng cách từ
tâm I của cầu đến ∆ bằng bán
Mặt phẳng (P) là tiếp diện của mặt cầu khi và chỉ khi khoảng cách từ I đến
mặt phẳng (P) bằng bán kính R của cầu. Nếu d(I, (P)) = h bé hơn R, thì
mặt phẳng (P) giao với mặt cầu tâm I, bán kính R theo một đường tròn,
có tâm J là hình chiếu vuông góc với I xuống mặt phẳng P và bán kính r =
2
Rh−

2
. ở đó h = IJ.
D) Giao của hai mặt cầu. Giả sử B
1
và B
2
là hai mặt cầu không đồng tâm
x
2
+ y
2
+ z
2
- 2a
1
x - 2b
1
y - 2c
1
z + d
1
= 0 (1) (B
1
)
x
2
+ y
2
+ z
2

- 2a
2
x - 2b
2
y - 2c
2
z + d
2
= 0 (2) (B
2
)
2
1
www.truongthi.com.vn
Môn Toán

Tập các điểm M(x, y, z) thuộc giao của (B
1
) với (B
2
) là tập nghiệm của hệ
.
(1)
(2)



Lấy vế với vế trừ đi nhau, hệ trên tương đương với hệ:

222

1111
21 21 21 12
x + y + z 2a x 2b y 2c z + d = 0 (1)
2(a a )x + 2(b b )y + 2(c c )z + d d = 0 (3)

−−−


−−−−



Phương trình (3) là phương trình của mặt phẳng. Như vậy giao của hai
mặt cầu có thể là tập rỗng, hoặc một điểm, hoặc là một đường tròn.
Đường tròn giao tuyến đó nằm trên mặt phẳng vuông góc với đường nối
tâm.
II. Luyện tập
Ví dụ 1:
Cho mặt cầu: (x - 1)
2
+ (y + 1)
2
+ z
2
= 11(C)
và hai đường thẳng
x y 1z
11 2
+−
==

1
(∆
1
)

x1 y z
12
+
==
1
(∆
2
)
a) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với (C) và song song với ∆
1
;
song song với ∆
2
.
b) Viết phương trình chính tắc của đường thẳng qua tâm cầu và cắt cả ∆
1

và ∆
2
.
Lời giải
a) Mặt phẳng (P) song song với ∆
1
và ∆
2

thì
U
(1, 1, 2) và
U
(1, 2, 1) là
cặp véctơ chỉ phương của (P); n = [
U
] = (-3, 1, 1) là véctơ pháp của
mặt phẳng (P).
1 2
21
,U
Phương trình mặt phẳng (P) có dạng:
-3x + y + z + D = 0
Vì mặt phẳng (P) tiếp xúc với cầu (C) nên khoảng cách từ tâm I(1,1, 0,)
đến (P) bằng bán kính R =
11
của cầu.
Từ đó:
4D
11
11
−+
=
⇒ D - 4 = ± 11 hay D
1
= 15, D
2
= -7. Như vậy có
hai mặt phẳng (P): -3x + y + z + 15 = 0

(P
1
)
-3x + y + z - 7 = 0 (P
2
).
4
2
www.truongthi.com.vn
Môn Toán

b) Đường thẳng ∆ qua tâm I(1, -1, 0) và cắt cả hai đường thẳng ∆
1
và ∆
2
,
nên ∆ nằm trong mặt phẳng (Q
1
) qua I và ∆
1
. ∆ nằm trong mặt phẳng (Q
2
)
qua I và ∆
2
. Do đó ∆ = (Q
1
) ∩ (Q
2
).

Tìm phương trình (Q
1
): Có M
1
(0, -1, 1) ∈ ∆
1
và
U
(1, 1, 2) // ∆
1
1
, (-1,
0, 1) // (Q
1
IM
1
).
⇒
=
[]
111
; IMUn =
122111
,,
011 110


−−

= (1, - 3, 1) là

véctơ pháp của (Q
1
). Phương trình (Q
1
) có dạng:
1(x - 0) - 3(y + 1) + 1(z - 1) = 0
x - 3y + z - 4 = 0 (Q
1
)

Tương tự, (Q
2
) có phương trình dạng:
x + 2y - 5z + 1 = 0 (Q
2
).
Vì vậy ∆ = (Q
1
) ∩ (Q
2
):


x3y z40
x2y 5z 1 0
−+−=

+−+=



Lấy điểm I ∈ ∆, và U (13, 6, 5) // ∆.
Phương trình chính tắc của ∆ có dạng:
x1 y 1z
13 6 5
−+
==

Ví dụ 2: Lập phương trình mặt cầu (S) qua điểm M(0, 0, 3) và qua đường
tròn có phương trình
222
x y z2x4y 4z 40 0(C)
2x 2
y z40 (P)


+++−−−=

+−+=



Lời giải: Vì đường tròn đã cho là giao của mặt phẳng (P) với mặt cầu (C),
nên mặt cầu (S) thuộc chùm mặt cầu xác định bởi (C) và (P). Do vậy,
phương trình cầu (S) có dạng:
α (x
2
+ y
2
+ z

2
+ 2x - 4y - 4z - 40) + β(2x + 2y - z + 4) = 0
ở đó α
2
+ β
2
> 0. Vì M(0, 0, 3) ∈ (S) nên ta có:
-42 α + β = 0, chọn α = 1, β = 43
Ta có phương trình (L) có dạng:
x
2
+ y
2
+ z
2
+ 88x + 82y - 47z + 132 = 0
Ví dụ 3: Cho mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
- 6x + 4y - 2z + 5 = 0
và mặt phẳng (P): x + 2y + 2z + 11 = 0
1) Tìm tâm và bán kính của mặt cầu
2) Tìm điểm M trên (S) sao cho khoảng cách từ đó đến mặt phẳng (P) là
ngắn nhất.
Lời giải
6
3

www.truongthi.com.vn
Môn Toán

1) Phương trình (S): (x - 3)
2
+ (y + 2)
2
+ (z - 1)
2
= 9 có tâm I (3, -2, 1) và
bán kính R = 3.
2) Xét khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P)
d(I, (P)) =
34211
12
3
144
−++
=
++
= 4 > R = 3
nên mặt phẳng (P) không cắt mặt cầu.
Xét đường thẳng (∆) qua I và vuông góc với (P), u (1, 2, 2) // ∆. Phương
trình tham số (∆) có dạng
x3t
y 22t
z12t
=+



=− +


=+




Xét giao của ∆ với cầu (S):
t
2
+ 4t
2
+ 4t
2
= 9 ⇒ t
2
= 1 ⇒ t = ± 1
có M
1
(4, 0 ,3) và M
2
(2, -4, -1) là giao của (∆) với mặt cầu (S).
Ta thấy khoảng cách từ M
1
đến (P) là d
1
=
21
3

= 7 và khoảng cách từ M
2

đến (P) là d
2
= 1 nên điểm M
2
(2, -4, -1) là điểm cần tìm.
Ví dụ 4: Cho mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
= 4 và mặt phẳng x + z -2 = 0 (P).
a) Chứng tỏ rằng mặt phẳng (P) và mặt cầu cắt nhau. Xác định tâm và
bán kính của đường tròn giao tuyến.
b) Viết phương trình đường cong (C
1
) là hình chiếu vuông góc của đường
giao tuyến (C) lên mặt phẳng xoy.
Lời giải
a) Tâm cầu (S) là O(0, 0, 0), bán kính R = 2. Khoảng cách từ O(0, 0, 0)
đến mặt phẳng (P) là d =
2
bé hơn bán kính. Vì vậy (C) = (P) ∩ (S) là
đường tròn, tâm I là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (P), bán
kính r =
2
. Xét đường thẳng (d) qua O(0, 0, 0) và (d) ⊥ (P). Phương

trình tham số của (d) có dạng:
xt
y0
zt
=


=


=

(P) ∩ (d) = I (1, 0, 1).
b) Nếu M
1
(x
1
, y
1
, 0) ∈ (C
1
) thì có Mo(xo, yo, zo) thuộc đường tròn (C) sao
cho x
1
= xo, y
1
= yo.
Vì Mo ∈ (C) nên
222
ooo

oo
x y z0
xz2

++=


+=



Từ đó:
22 2
oo o
x y (2 x ) 4++− =
⇒
22 2
11 1
x y (2 x ) 4++− =

8
4
www.truongthi.com.vn
Môn Toán

⇒
22
111
2x 4x y 0−+=

⇒
22
11
2(x 1) y 2−+=

⇒
2
2
1
1
y
(x 1) 1
2
−+=
(*)
Đảo lại, nếu có điểm M
1
(x
1
, y
1
, 0) thỏa mãn phương trình (*), thì lấy xo =
x
1
, yo = y
1
, zo = 2z
1
thì Mo (xo, yo, zo) ∈ (C) mà có hình chiếu vuông góc
xuống mặt phẳng xoy là M

1
. Như vậy: Hình chiếu vuông góc của đường
tròn giao tuyến (C) là mặt phẳng xoy là elíp có phương trình
2
2
y
(x 1) 1
2
z0


−+=


=


III. Bài tập tự giải
1. Đề thi Đại học Ngoại thương - 1996
Tìm điểm A thuộc mặt cầu (L):
x
2
+ y
2
+ z
2
- 2x + 2z - 2 = 0 sao cho khoảng cách từ A đến mặt phẳng 2x
- 2y + z + 6 = 0 là lớn nhất.
Đáp số: A
741

,,
333

−−



2. Cho đường thẳng (d):
x y z1 0
x
y z1 0
+++=

−+−=



và hai mặt phẳng (P
1
): x + 2y + 2z + 3 = 0
(P
2
): x + 2y + 2z + 7 = 0
Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc (d) và tiếp xúc với cả hai mặt
phẳng (P
1
), (P
2
).
Đáp số: Mặt cầu có phương trình:

(x - 3)
2
+ (y + 1)
2
+ (z + 3)
2
=
4
9

3. Cho đường tròn (C) trong không gian có phương trình
222
x y z4x6y 6z 17 0
x2y2z10


++−+++=

−++=



1) Tìm tọa độ tâm vòng tròn (C) và bán kính vòng tròn đó.
2) Lập phương trình mặt cầu chứa đường tròn (C) và có tâm thuộc mặt
phẳng
x + y + z + 3 = 0
Đáp số: 1) Tâm I
5711
,,
33 3


−−



, bán kính r = 2.
2) Phương trình cầu: (x - 3)
2
+ (y + 5)
2
+ (z + 1)
2
= 20
10
5