Bai tap nguyen ham va cong thuc lop 12

<span class='text_page_counter'>(1)</span>CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM Bảng nguyên hàm các hàm số đơn giản u là hàm số theo biến x, tức là u u(x). *Trường hợp đặc biệt u ax  b,a 0. *Nguyên hàm của các hàm số đơn giản. dx x  C du u  C k.dx k.x  C , k là hằng số k.du k.u  C  x dx . x1 C  1. 1. x dx ln x  C 1 1  2 dx   C x x 1  x dx 2 x  C *Nguyên hàm của hàm số mũ x x e dx e  C. e.  xdx  e x  C. ax x a dx ln a  C, 0  a 1. 1  du  u u C   1 1 u du ln u  C 1 1  2 dx   C u u. 1  .dx 1 . (ax  b) (ax  b) C  a  1 1 1 (ax  b) dx a ln ax  b  C. .  ax  b du a .2. 1 du 2 u  C u. 1. e. udu eu  C. e.  udu  e u  C. 1. cos2 x dx tan x  C 1. sin2 x dx  cot x  C. ax  b  C. axbdx 1 eaxb  C a. e. au u a du ln a  C. 1 amxn mx  n dx  .  C,m 0 a m ln a. *Nguyên hàm của hàm số lượng giác cos x.dx sin x  C cos u.du sin u  C. sin x.dx  cos x  C. 1. 1. cos(ax  b)dx a sin(ax  b)  C 1. sin u.du  cos u  C. sin(ax  b)dx  a cos(ax  b)  C. 1. cos2 u du tan u  C 1. sin2 u du  cot u  C. 1. 1. cos2 (ax  b) dx a tan(ax  b)  C 1. 1. sin2 (ax  b) dx  a cot g(ax  b)  C. Một số ví dụ trong trường hợp đặc biệt. *Trường hợp đặc biệt u ax  b 1 cos kx.dx  sin kx  C k. sin kx.dx  e. 1 k. cos kx  C. kxdx  1 e kx  C k. 1  .dx 1 . (ax  b) (ax  b) C  a  1. Ví dụ. 1. cos2x.dx 2 sin 2x  C,(k 2) 1. sin 2x.dx  2 cos2x  C 2xdx 1 e2x  C. e. 2. 1 (2x  1)21 1 2 (2x  1) .dx  .  C  .(2x  1)3  C  2. 2 1. 6.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 1. 1. 1. 1. 1. (ax  b) dx a ln ax  b  C.  ax  b du a .2. 1. ax  b  C. 1.  3x  5 du 3 .2. axbdx 1 eaxb  C a mxn mxn du  1 . a a  C,m 0  m ln a 1 cos(ax  b)dx a sin(ax  b)  C 1 sin(ax  b)dx  a cos(ax  b)  C 1 1 cos2 (ax  b) dx a tan(ax  b)  C. 3x  5  C . 2 3x  5  C 3. 2x1dx 1 e2x1  C. e. 1. 1. 3x  1 dx 3 ln 3x  1  C. e. 2. 2x1 2x1dx 1 . 5 5 C  2 ln 5 1. cos(2x 1)dx 2 sin(2x 1)  C 1. sin(3x  1)dx  3 cos(3x  1)  C 1. 1. cos2 (2x  1) dx 2 tan(2x 1)  C. 1. 1. sin2 (ax  b) dx  a cot(ax  b)  C. 1. sin2 (3x  1) dx  3 cot(3x 1)  C. *Chú ý: Những công thức trên có thể chứng minh bằng cách lấy đạo hàm vế trái hoặc tính bằng phương pháp đổi biến số đặt u ax  b  du .?.dx  dx .?.du. 1. cos(ax  b)dx a sin(ax  b)  C,a 0 Ví dụ: Chứng minh Giải: Đặt. 1 a. u ax  b  du (ax  b)'dx a.dx  dx  .du. 1 1 1 1 cos(ax  b)dx cos u. .du  cos u.du  .sin u  C  sin(ax  b)  C a a a a Suy ra I. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất. A/ Tìm nguyên hàm của các hàm số. Bài 1: Sử dụng bảng nguyên hàm và tính chất. a)f(x) 2x9 -. 1 2. b)f(x) 3x  x  1 2 c)f(x)  +3 x d)f(x) 2sin x cos x e)f(x)  3 Bài 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số 1 2 a. f(x) = x – 3x + x. x10 1  x C 5 2 3x x2 kq: F(x)   x C ln3 2. kq: F(x)=. kq: F(x) 2 ln x  3x  C kq: F(x)  2 cos x  C 1 kq: F(x)  sin x  C 3 x3 3x2   ln x  C 2 ĐS. F(x) = 3.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 2x4  3 x2 b f(x) = c. f(x) =. x 1 x2. (x2  1)2 x2. d. f(x) =. x 3 x  4 x 1 2  3x f. f(x) = x ( x  1)2 e. f(x) =. g. f(x) =. x x 1 3x. 2x3 3  C ĐS. F(x) = 3 x ĐS. F(x) =. 1 x. ln x   C. x3 1  2x   C x ĐS. F(x) = 3 4 3 5 3 2 4 2x 3x 4x   C 3 4 5 ĐS. F(x) = 3. 2 ĐS. F(x) = 2 x  3 x  C ĐS. F(x) =. x  4 x  ln x  C. 5 2 3 3 h. f(x) = ĐS. F(x) = x  x  C x6 5 2 i)f(x) x  3x  4 kq : F(x)   x3  4x  C 6 3 x 1 5 j)f(x)   5x2  2x 1 kq : F(x)  x 4  x3  x2  x  C 2 8 3 2 2 7 1 6 3 k)f(x)  x6  3x5  3x2  2 kq : F(x)  x  x  x  2x  C 3 21 2 1 1 l)f(x) (2x  3x  2 )(x2  )  3x  3 kq : F(x)  x4  x  C x 2 2 2 2 * HD: nếu gặp hằng đẳng thức thì khai triễn hằng đẳng thức, ví dụ: (a  b) a  2ab  b Bài 3 : Tìm. a)(x  2)(x  4)dx b)(x2  3)(x  1)dx c)3(x  3)2 dx x2  5x g) dx x 2x3  5x2  1 h) dx x 2x3  5x2  1 g) dx x2 (x  2)2 h) dx x (x  4)2 i) dx x2. Bài 4 Tìm. 1 kq: F(x)  x3  x2  8x  C 3 1 1 3 kq: F(x)  x3  x2  x2  3x  C 3 2 2 kq: F(x) x3  9x2  27x  C 1 kq: F(x)  x2  5x  C 2 2 5 kq: F(x)  x3  x2  ln x  C 3 2 1 kq: F(x) x2  5x   C x 1 2. kq: F(x)  x 2  4x  4 ln x  C kq: F(x) x  8ln x . 16 C x.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 3 1 a)(x 4  x 2  5)dx. 7 1 4 4 kq: F(x)  x  2x 2  5x  C 7 1 2 kq: F(x)    2x2  x  C 2 x 2x x3 1 kq: F(x)   2x   C 3 x kq: F(x) x 2  ln x  x  C. b)(x  3  2x  2  4x  1)dx c) x( x  2x)(x  1)dx d)(2x  1)(1 . 1 )dx x. Bài 5: Tìm. 2.3x 4x kq: F(x)   C ln3 ln 4 2.ax 5x kq: F(x)   C ln a ln 5 kq: F(x) 3e x  5cos x  ln x  C. a)(2.3x  4x )dx b)(2.ax  5x )dx c)(3ex  5sin x  d)ex (2 . 1 )dx x. e x )dx cos2 x. kq: F(x) 2.ex  tan x  C 6x C ln 3 90x kq: F(x)  C ln 90. e)2x.3x dx. kq: F(x) . f)2x.32x.5x dx g)ex (2  e x ) ex h) x dx 2. kq: 2ex  x  C ex kq: C (1  ln 2)2x. Bài 6 Tính nguyên hàm của các hàm số x 1 a)sin2 dx kq: F(x)  (x  sin x)  C 2 2 x b)(2x  sin2 )dx 2 x 1 c)cos2 dx kq: F(x)  (x  sin x)  C 2 2 x 1  cos2x 1  cos2x d)(2x2  cos2 )dx HD : sin 2x  ; cos2 x  2 2 2 2 e) (1  tan x)dx kq: F(x) tan x  C. . d)(1  cot 2 x)dx e) tan2 xdx.  f)cot 2 xdx. HD :1  tan 2 x . kq: F(x)  cot x  C kq: F(x) tan x  x  C kq: F(x)  cot x  x  C 1 1 ;1  cot 2 x  2 cos x sin2 x.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> g)(tan x  cot x)2 dx h)(2 tan x  cot x)2 dx HD : (a  b)2 a2  2ab  b2. kq: F(x) tan x  cot x  4x  C kq: F(x) 4 tan x  cot x  x  C. 1 h) dx 2 sin x.cos2x cos2x h) dx sin2 x.cos2x. kq: F(x) tan x  cot x  C kq: F(x)  tan x  cot x  C. HD : sin2 x  cos2x 1; cos2x cos2x  sin2 x Bài 7: Tìm hàm số f(x) biết rằng. kq: f(x) x2  x  3 x3 kq: f(x) 2x  1 3 x2 1 3 kq: f(x)    2x  2 x 2 8x x x2 40 kq: f(x)    3 2 3 kq: f(x) x 4  x3  2x  3. a)f '(x) 2x  1; f(1) 5 7 b)f '(x) 2  x2 ; f(2)  3 c)f '(x) x . 1  2; f(1) 2 x2. d)f '(x) 4 x  x; f(4) 0 e)f '(x) 4x3  3x2  2; f( 1) 3. 4 3 3 x4 kq: f(x)  x  x 4 4 x3 kq: f(x)   1 3 kq: f(x) (x  2)3. f)f '(x) 3 x  x3  1; f(1) 2 g)f '(x) (x  1)(x  1)  1; f(0) 1 h)f '(x) 3(x  2)2 ; f(0) 8 Bài 8: Tìm hàm số f(x) biết rằng a)f '(x) ax . x2 1 5   2 x 2 5 x3 23 kq: f(x)   7 7. b ; f( 1) 2,f(1) 4 x2. kq: f(x) . 15 x b)f '(x)  ; f(1) 4,f(4) 9 14. II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số. f[u(x)].u'(x)dx Tính I =  bằng cách đặt t = u(x)  dt  u'(x)dx  Đặt t = u(x) . I=. f[u(x)].u'(x)dx f(t)dt BÀI TẬP. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: dx  5 (5x  1)dx 1.  2. (3  2x) 3. 5.. 2 7 (2x  1) xdx. 6.. 3 4 2 (x  5) x dx.  5  2xdx 7.. . x 2  1.xdx. dx. 4..  2x  1. 8.. x. 2. x dx 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 3x2. 9. 13..  5  2x. 3. dx 10.. 4 sin x cos xdx. dx  17. sin x ex dx 21.. e. 25.. x. x. 14.. dx. ln3 x  x dx 11.. x(1  x)2 sin x dx 5 x. cos. e. 3. 22.. tgx. cos. 2. x. dx. 3 2 cos x sin xdx. 19.. tgxdx. 23..  1 x. 12.. x.e. 16.. cos. x x  1.dx. 29. 30. 31. 2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.. e. dx. e. . 20. 2.  1 x. 27.. x 2 1. tgxdx 2 x. .dx. . 24.. x 2 dx. dx  2 26. 1  x. 2. cot gxdx. 15.. dx  18. cos x. 1  x .dx. 2. . 2. dx 1. x. x. 28. 32.. x. 2. x. x. dx. dx 4  x2 dx  x 1. x 2  1.dx. 3. Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I u(x).v '(x)dx u(x).v(x)  v(x).u'(x)dx Hay. udv uv  vdu ( với du = u’(x)dx, Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: x.sin xdx x cos xdx 1.  2.  3. x sin 2xdx x cos 2xdx 5.  6.  9.. x ln xdx x.  13. cos. dx. 10.. ln. 2. 17.. e .cos xdx. 21.. x lg xdx. 2x ln(1  x)dx. x. 3 x2. x. 22.. 15. dx.  5)sin xdx x. 7. 11.. 2. 14.. 2. x.e dx. (x 2  2x  3) cos xdx 4 ln xdx 8. . ln xdx. xdx. xtg xdx xe 18. . 2. (x. dv = v’(x)dx). . x. sin x dx x ln(1  x )dx 19.  2. 23.. ln(1  x) dx x2. . e. 12.. x. dx. ln(x  1)dx 2 xdx 20.  2. 16.. x. 24.. x. 2. cos 2xdx.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>