ky thuat su dung BDT Bunhia

<span class='text_page_counter'>(1)</span>. Bất đẳng thức Bunhia copxky I.KiÕn thøc c¬ b¶n. §Þnh lý: Víi mäi sè a1, a2, …an, b1, b2 , …., bn ta lu«n cã: (a ❑12 +a ❑22 +…+a ❑2n )(b ❑12 +b ❑22 +…+b. ( a1 b1 +a 2 b2 +. ..+ an bn )2 2 ❑n ). Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi:. Chøng minh: (a1t-b1)2 0 (a2t-b2)2 0 ………... (ant-bn)2 0 ( a21 +¿ a22 +….+. 2. an. )t2-2(ab+ab+…+ab)t+(. §Æt A= a21 +¿ a22 +….+ B=ab+ab+ab C=. b21 +¿. b22. +….+. Ta cã: At2-2Bt+C B2 − AC 4A. A[(t-B)2B2-AC. 0. ⇔. a1 a2 a = =.. ..= n b1 b 2 bn. 2. b1 +¿. 2. b2. +….+. 2. bn. ). 0. a2n b2n. 0 víi mäi t ]. B2. 0 víi mäi t AC (®iÒu ph¶i chøng minh).. II. Mét sè vÝ dô: 1)Sử dụng bất đẳng thức Bunhia-copxky chứng minh các bất đẳng khác. VÝ dô 1. Cho a,b,c > 0 Chøng minh r»ng: 2. 2. 2. a b c a b c + 2+ 2≥ + + 2 b c a b c a. 3 √3 abc (bất đẳng thức Cosi). víi a, b, c > 0 ta cã : a+b+c a2+b2+c2. Hay. 1 3. (a+b+c)2 Cosi-Bunhia. 1 a b + + 3 b c )2 a2 b2 c 2 + + ≥¿ b2 c 2 a2. 1 3. ( a+ b + c ) 3 b c a. √ 3. a b c . . b c a. = a+ b + c. b c a. (®pcm). VÝ dô 2. Cho a2+b2+c2=1 vµ m2+n2 = 1 Chøng minh r»ng: |am+bn+ c| √2 Ta có: m2+n2+1 = 2 do đó: (am+bn+c)2 (a2+b2+c2)( m2+n2+1)=1.2 (¸p dông B§T Bunhia a,b,c vµ m,n,1) ⇔ (am+bn+c)2 2.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ⇔. |am+ bn+ c|. √ 2 (®pcm). VÝ dô 3. Cho ba sè a,b,c tho¶ m·n ®iÒu kiÖn a+b+c=1 1 3. Chøng minh r»ng a2+b2+c2. Gi¶i: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki 1,1,1 và a,b,c ta có: (12+12+12)( a2+b2+c2) (1. a+1.b+1.c)2 =( a+b+c)2=1 1 ⇔ 3( a2+b2+c2) ⇔. 1 3. a2+b2+c2. DÊu b»ng xÈy ra khi a=b=c= 1 3. 2. Sử dụng bất đẳng thức Bunhia-copxky tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất VÝ dô 4. Cho c¸c sè x, y, z tháa m·n ®iÒu kiÖn: xy + yz + zx = 1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P = x4+y4+z4 Ta có: áp dụng bất đẳng thức Bunhia cho 6 số a1=x; a2=y; a3=z; b1=y; b2=z; b3=x ta cã: 1=(xy+yz+zx)2 (x2+y2+z2)( x2+y2+z2) ⇔ ( x2+y2+z2 ) 1 Ta lại áp dụng bất đẳng thức Bunhia cho: a1=1; a2=1; a3=1; b1=x2; b2=y2; b3=z2 1. (1+1+1) (x4+y4+z4) ⇒ ( x4+y4+z4 ). (x2+y2+z2)2. Dấu đẳng thức xẩy ra khi: x = y = z y. z. vµ x2=y2=z2 ⇒ x=y=z= ± √ 3. x. 3. VËy Pmin = 1 3. VÝ dô 5: Cho các số dơng a,b,c và các số dơng x,y,z thay đổi sao cho: a b c + + =1 x y z. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A=x+y+z. Gi¶i: Ta cã: √ a+ √ b+ √c= a . √ x + b . √ y + c . √ z. √. x. √. y. √. z. áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: ( √ a+ √ b+ √c )2 ⇔ (. a b c ( + + )( x+ y+ z) x y z. x+y+z √ a+ √ b+ √c )2 DÊu b»ng xÈy ra khi vµ chØ khi:. 1 3.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> √. a b c : √ x= :√ y= : √z x y z. √. ⇔. √. x + y +¿ a b √ = √ = √ c = √a+ ❑√b+ √ c ¿ x y z. =1:( √ a+ √ b+ √c ) §Õn ®©y dÔ dµng suy ra: x= √ a(√ a+ √b + √ c) y= √ b(√ a+ √ b+ √ c) z= √ c (√ a+ √ b+ √ c ) Khi đó Amin=( √ a+ √ b+ √c )2. 3.Dùng bất đẳng thức cosi-bunhia copxky vào giải phơng trình. I. Mét sè vÝ dô: VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh √ x − 4 + √ x −6 =x2 - 10x + 27 Gi¶i: §k:4 x 6 Ta cã VP= x2 - 10x + 27= x2 - 10x + 25+2=(x-5)2+2 2 VT2=( √ x − 4 + √ x −6 )2 (12+12) { ( √ x − 4 )2 +( √ x −6 )2 } (áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 1,1 và √ x − 4 , √ x −6 ) M¨t kh¸c : ( √ x − 4 )2 +( √ x −6 )2=x-4+6-x=2 Suy ra : VT2 2.2 ⇔ VT 2(v× VT= √ x − 4 + √ x −6 0) Ta thÊy VP 2, VT 2 nªn ph¬ng tr×nh cã nghiÖm khi VT=VP=2 ⇔ x=5. VËy ph¬ng tr×nh cã m«t nghiÖm x=5. VÝ dô 2. Gi¶i ph¬ng tr×nh √4 1− x 2 + √4 1+ x+ 4√ 1 − x=3 Gi¶i: §k : -1 x 1 Theo bât đẳng thc Cô-si ta có:. √1 − x. √4 1− x 2 = √4 (1 − x)(1+ x ) √4 1.(1+ x ). 2. 1+ √ 1+ x 2. Tõ (1),(2),vµ(3) ta cã :. (2). √4 1− x 2 + √4 1+ x + √4 1− x. 1+ 1+1+ x + 1+1 − x =3 2. (1) √4 1+ x =¿. 2. 1+ ❑√ 1− x 2. √ 1− x = √4 1.(1 − x ) 4. 2. √ 1+ x. +. (3) 1+ √ 1+ x + √ ! − x.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi √ 1+ x = √ 1− x √ 1+ x =1 √ 1− x =1 ⇔ x=o KiÓm tra l¹i ta thÊy x=0 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh..

<span class='text_page_counter'>(5)</span>