Bài tập ôn tập Chương 4 Đại số 9

CƠ HÀ TỐN

Chương 4: Phương trình bậc hai

Vấn đề 1: Cơng Thức nghiệm phương trình bậc hai
I . KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Cơng thức nghiệm: Phương trình ax2+bx+c = 0 (a ≠ 0) có ∆ = b2- 4ac
+Nếu ∆ < 0 thì phương trình vơ nghiệm
−b
+Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =
2a
+Nếu ∆ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
−b+ ∆
−b− ∆
; x2 =
2a
2a
2
2. Công thức nghiệm thu gọn: Phương trình ax +bx+c = 0 (a ≠ 0) có ∆’=b’ 2- ac ( b =2b’ )
+Nếu ∆’ < 0 thì phương trình vơ nghiệm
−b
+Nếu ∆’= 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =
a
+Nếu ∆’> 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x1 =

x1 =

− b + ∆'
− b − ∆'
; x2 =

a
a

II. Bài tập áp dụng
A) Tự luận
Dạn 1: Giải phương trình: Giải các phương trình sau
1
x2 - 11x + 30 = 0
2
x2 - 10x + 21 = 0
3
x2 - 12x + 27 = 0
4
5x2 - 17x + 12 = 0
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19

3x2 - 19x - 22 = 0
x2 - (1+ 2 )x + 2 = 0
x2 - 14x + 33 = 0
6x2 - 13x - 48 = 0
3x2 + 5x + 61 = 0
x2 - 3 x - 2 - 6 = 0
x2 - 24x + 70 = 0
x2 - 6x - 16 = 0
2x2 + 3x + 1 = 0
x2 - 5x + 6 = 0

41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54

2

3x + 2x + 5 = 0
2x2 + 5x - 3 = 0

x2 - 7x - 2 = 0
3x2 - 2 3 x - 2 = 0
-x2 - 7x - 13 = 0

55
56
57
58
59
1

x2 - 16x + 84 = 0
x2 + 2x - 8 = 0
5x2 + 8x + 4 = 0
x2 – 2( 3 + 2) x + 4 6 = 0
11x2 + 13x - 24 = 0
x2 - 11x + 30 = 0
x2 - 13x + 42 = 0
11x2 - 13x - 24 = 0
x2 - 13x + 40 = 0
3x2 + 5x - 1 = 0
5x2 + 7x - 1 = 0
3x2 - 2 3 x - 3 = 0
x2 - 2 2 x + 1 = 0
x2 - 2 3 − 1 x - 2 3 = 0
11x2 + 13x + 24 = 0
x2 + 13x + 42 = 0
11x2 - 13x - 24 = 0
2x2 - 3x - 5 = 0
x2 - 4x + 4 = 0

(

)


CƠ HÀ TỐN

20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40

Chương 4: Phương trình bậc hai

2 x2 – 2( 3 − 1) x -3 2 = 0
3x2 - 2x - 1 = 0
x2 - 8x + 15 = 0
2x2 + 6x + 5 = 0
5x2 + 2x - 3 = 0
x2 + 13x + 42 = 0
x2 - 10x + 2 = 0
x2 - 7x + 10 = 0
5x2 + 2x - 7 = 0
4x2 - 5x + 7 = 0
x2 - 4x + 21 = 0
5x2 + 2x -3 = 0
4x2 + 28x + 49 = 0
x2 - 6x + 48 = 0
3x2 - 4x + 2 = 0
x2 - 16x + 84 = 0
x2 + 2x - 8 = 0
5x2 + 8x + 4 = 0
x2 - 2( 3 + 2 ) x + 4 6 = 0
x2 - 6x + 8 = 0
3x2 - 4x + 2 = 0

60

x2 - 7x + 10 = 0

61
62

63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78

4x2 + 11x - 3 = 0
3x2 + 8x - 3 = 0
x2 + x + 1 = 0
x2 + 16x + 39 = 0
3x2 - 8x + 4 = 0
4x2 + 21x - 18 = 0
4x2 + 20x + 25 = 0
2x2 - 7x + 7 = 0
-5x2 + 3x - 1 = 0
x2 - 2 3 x - 6 = 0
x2 - 9x + 18 = 0
3x2 + 5x + 4 = 0
x2 + 5 = 0

x2 - 4 = 0
x2 - 2x = 0
x4 - 13x2 + 36 = 0
9x4 + 6x2 + 1 = 0
2x4 + 5x2 + 2 = 0

79
80

2x4 - 7x2 - 4 = 0
x4 - 5x2 + 4 = 0

Dạng 2: Biến đổi về phương trình bậc hai
1. Phương trình chứa ẩn ở mẫu
12
8
16
30
x 2 − 3x + 5
1
−
=1
+
=3
=
1)
2)
3)
( x − 3)( x + 2) x − 3
x −1 x +1

x − 3 1− x
2
2x
x
8x + 8
x + 2 4 x − 11x − 2
x 2 + 14 x
x
−
=
=
4)
5)
6)
=
3
x − 2 x + 4 ( x − 2 )( x + 4 )
( x − 1)( x + 2)
1− x
x+2
x +8

2. Phương trình tích
1) (x + 2)2 – 3x – 5 = (1- x)(1 + x)
3) x(x2 – 6) – ( x – 2)2 = (x + 1)3
12x -23
5) 3x3 + 6x2 – 4x = 0
7) (x2 + x +1)2 = (4x – 1)2
9) (2x2 + 3)2 – 10x3 – 15x = 0
11) x3 – 3x2 + 6x – 8

13) x3 – 2x2 – x – 6 = 0
3. Phương trình trùng phương
1) x4 - 8x2 - 9 = 0
4) 36t4 - 13t2 + 1 = 0

2) (x – 1)3 + 2x = x3 –x2 – 2x + 1
4) (x + 5)2 + (x – 2)2 +(x+ 7) (x – 7) =
6) (x+1)3 – x + 1 = (x – 1)(x – 2)
8) (x2 + 3x + 2)2= 6(x2 + 3x + 2)
10) x3 -5x2 – x + 5 = 0
12) x3 – 3x2 – 4x + 12
14) x3 + 2x2 – 11x – 12 = 0

2) y4 - 1, 16y2 + 0,16 = 0
5) 1/3x4 - 1/2x2 + 1/6 = 0

4. Đặt ẩn phụ
2

3) z4 - 7z2 - 144 = 0
6) 3 x4 - 2 − 3 x2 - 2 = 0

(

)


CƠ HÀ TỐN

Chương 4: Phương trình bậc hai

1) (4x – 5)2 – 6(4x – 5) + 8 = 0
2) (x2 + 3x – 1)2 + 2(x2 + 3x – 1) – 8 = 0
3) (2x2 + x – 2)2 + 10x2 + 5x – 16 = 0 4) (x2 – 3x + 1)( x2 – 3x + 4) = 3
5)

2x 2

( x + 1)

2

−

5x
+3 =0
x +1

6) x -

x −1 - 3 = 0

B) Trắc nghiệm
Câu 1: Đâu là phương trình bậc hai một ẩn?
A. 2x2 – 3x = 0
B. 2x2 – 3x
C. x2 = x2 + 2x -3
D. 0x2 – 12x + 1 = 0
2
Câu 2: Hệ số a của phương trình 3x - 2 + 2x = 0 là bao nhiêu?

A. -2
B. 2
C. 0
D. 3
Câu 3: Hệ số b trong phương trình –x2 – 3 = 0 là bao nhiêu?
A. -1
B. 0
C. -3
D. 3
Câu 4: Hệ số c trong phương trình 3x2 + 4x = 0 là bao nhiêu?
A. 3
B. 4
C. 0
D. -3
Câu 5: Hệ số a trong phương trình 2x2 – 3x = 5x2 -2 là bao nhiêu?
A. 3 hoặc -3
B. 2
C. 5
D. Khơng có
Câu 6: Điều kiện để phương trình ax2 + bx +c = 0 là phương trình bậc hai là gì?
A. a ≠ 0
B. b ≠ 0
C. c ≠ 0
D. Khơng có
Câu 7: Cho phương trình 2x2 – 3x + 1 = 0. Xác định hệ số a, b, c?
A. 2, -3, 1
B. -3, 2, 1
C. 1, 2, -3
D. -3, 1, 2
2

Câu 8: Cho phương trình 3x – 5x + 2 = 0. Giá trị ∆ = ?
A. 2
B. -2
C. 1
D. -1
2
Câu 9: Một phương trình bậc hai ax + bx + c = 0 có ∆ < 0. Khi đó kết luận như thế nào
về số nghiệm của phương trình trên?
A. có 1 nghiệm
B. vơ nghiệm
C. có 2 nghiệm D. có nghiệm kép
phân biệt
2
Câu 10: Một phương trình bậc hai ax + bx + c = 0 có ∆ ≥ 0. Khi đó kết luận như thế
nào về số nghiệm của phương trình trên?
A. có nghiệm
B. vơ nghiệm
C. có 2 nghiệm D. có nghiệm kép
phân biệt
2
Câu 11: Phương trình bậc hai ax + bx + c = 0 có 2 nghiệm trái dấu với điều kiện nào?
A. a.b < 0
B. a.c < 0
C. b.c < 0
D. a.b.c < 0
2
Câu 12: Với m = ? thì phương trình x – 2x + m = 0 nhận x = 1 là nghiệm
A. 0
B. -2
C. 1

D. -1
Câu 13: Khoanh trịn vào phương trình sử dụng được cơng thức nghiệm thu gọn
A. x2 – 3x + 1 = 0
B. 2x2 + 3x – 1 = 0
C. –x2 + 2x + 3 = 0 D. x2 – 2x = 0
Câu 14: Dấu hiệu nhận biết phương trình bậc hai sử dụng được công thức nghiệm thu
gọn
A. a chẵn
B. b chẵn
C. c chẵn
D. Tất cả hệ số đều chẵn
2
Câu 15: Nghiệm của phương trình x + 5 x -1- 5 =0 là
A. vô nghiệm
B. 1, -1 - 5
C. 1, 1 + 5
D. -1, -1 - 5
Câu 16: Cho phương trình –x2 + 4x + 5 = 0 có ∆’ = ?
A. 0
B. -9
C. 9
D. 10
Câu 17: Khơng giải phương trình cho biết số nghiệm của phương trình x2 + 4x – 2017
=0 là
3


CƠ HÀ TỐN

Chương 4: Phương trình bậc hai

A. 1 nghiệm
B. 2 nghiệm
C. vô nghiệm
D. vô số nghiệm
2
Câu 18: Với giá trị nào của m thì phương trình x – mx + 4 = 0 vô nghiệm
A. -4 < m < 4
B. m < 4
C. m = 4
D. m > 4
2
Câu 19: Với giá trị nào của m thì phương trình mx + 2mx + m + 2 = 0 có nghiệm
A. m > 0
B. m < 0
C. m ≤ 0
D. m ≤ 0

Vấn đề 2: Vi – et và ứng dụng
I. Kiến thức cần nhớ
1. Hệ thức Vi-ét
a) Định lí Vi-ét: Nếu x1; x2 là nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a≠ 0) thì :
−b
c
S = x1+x2 =
; P = x1.x2 =
a
a
b) Ứng dụng:
+) Hệ quả 1: Nếu phương trình ax 2+bx+c = 0 (a ≠ 0) có: a + b + c = 0 thì phương trình có

c
nghiệm x1 = 1; x2 =
a
+) Hệ quả 2: Nếu phương trình ax 2+bx+c = 0 (a ≠ 0) có: a- b+c = 0 thì phương trình có
−c
nghiệm: x1 = -1; x2 =
a
c) Định lí: (đảo Vi-ét) Nếu hai số x 1; x2 có x1+x2= S ; x1.x2 = P thì x1; x2 là nghiệm của
phương trình : x2- S x+P = 0 (x1 ; x2 tồn tại khi S2 – 4P ≥ 0)
Chú ý:
+ Định lí Vi-ét chỉ áp dụng được khi phương trình có nghiệm (tức là ∆ ≥ 0)
+ Nếu a và c trái dấu thì phương trình ln có 2 nghiệm trái dấu
II. Bài tập áp dụng
A) Tự luận
Dạng 1: Tìm hai số khi biết tổng và tích
Bài 1: Tìm x, y biết
a)
x + y = 17, x.y = 180
e)
x2 + y2 = 61 , x.y = 30
b)
x + y = 25, x.y = 160
f)
x – y = 6, x.y = 40
2
2
c)
x + y = 30, x + y = 650
g)
x – y = 5, x.y = 66

d)
x + y = 11 x.y = 28
h)
x2 + y2 = 25 x.y = 12
Bài 3: Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = − 3 và tích P = ab = − 4
Bài 4: Tìm 2 số a và b biết
1. a + b = 9 và a2 + b2 = 41 2. A − b = 5 và ab = 36 3. A2 + b2 = 61 v à ab = 30
Dạng 2: Tìm tham số và nghiệm cịn lại của PTBH
Bài 5
a) Phương trình x 2 − 2 px + 5 = 0 . Có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm thứ hai.
b) Phương trình x 2 + 5 x + q = 0 có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm thứ hai.
c) Cho phương trình: x 2 − 7 x + q = 0 , biết hiệu 2 nghiệm bằng 11. Tìm q và hai nghiệm
của phương trình.

4


CƠ HÀ TỐN

Chương 4: Phương trình bậc hai

d) Tìm q và hai nghiệm của phương trình : x 2 − qx + 50 = 0 , biết phương trình có 2
nghiệm và có một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia.
Dạng 3: Tìm PTBH nhận 2 số bất kì làm nghiệm
Bài 6: Cho x1 = 3 ; x2 = 2 lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên
Bài 7: Cho phương trình : x 2 − 3x + 2 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 . Khơng giải
phương trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn : y1 = x2 +
y2 = x1 +

1

v
x1

1
x2

Bi 8: Lập phơng trình bậc 2 có các nghiệm là

1
1
và
bit x1, x2 l
x1 1
x2 − 1

nghiệm của phương trình x2 – 3x – 5 = 0

Dạng 4: Tính giá trị biểu thức
Bài 8: Cho phương trình x 2 − 4 3 x + 8 = 0 có 2 nghiệm x1 ; x2 , khơng giải phương trình,
tính
6 x12 + 10 x1 x2 + 6 x22
Q=
5 x1 x23 + 5 x13 x2
2
Bài 9: Cho phương trình : mx − 6 ( m − 1) x + 9 ( m − 3) = 0 . Tìm giá trị của tham số m để 2
nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 + x2 = x1.x2
2
2
Bài 10 :Cho phương trình : x − ( 2m + 1) x + m + 2 = 0 . Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2

thoả mãn hệ thức : 3 x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 7 = 0
Bài 11
2
1.Cho phương trình : mx + 2 ( m − 4 ) x + m + 7 = 0 . Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả

mãn hệ thức : x1 − 2 x2 = 0
2
2. Cho phương trình : x + ( m − 1) x + 5m − 6 = 0 . Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn

hệ thức: 4 x1 + 3 x2 = 1
2
3. Cho phương trình : 3 x − ( 3m − 2 ) x − ( 3m + 1) = 0 . Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả

mãn hệ thức : 3 x1 − 5 x2 = 6
Bài 12: Gọi x1 , x2 là nghiệm thỏa mãn phương trình : x2 – 3x – 7 = 0 . Tính giá trị các
biểu thức sau:
A = x12 + x22
B = x1 − x 2
5


CƠ HÀ TỐN

Chương 4: Phương trình bậc hai

1
1
+
D = (3x1 + x2)(3x2 + x1)
x1 − 1 x 2 − 1

Dạng 5: Tìm biểu thức chứa nghiệm của phương trình khơng phụ thuộc vào m
C=

2
Bài 12: Cho phương trình : ( m − 1) x − 2mx + m − 4 = 0 có 2 nghiệm x1 ; x2 . Lập hệ thức

liên hệ giữa x1 ; x2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m.
2
Bài 13: Gọi x1 ; x2 là nghiệm của phương trình : ( m − 1) x − 2mx + m − 4 = 0 . Chứng minh

biểu thức A = 3 ( x1 + x2 ) + 2 x1 x2 − 8 không phụ thuộc giá trị của m.
2
Bài 14:Cho phương trình : x − ( m + 2 ) x + ( 2m − 1) = 0 có 2 nghiệm x1 ; x2 . Hãy lập hệ

thức liên hệ giữa x1 ; x2 sao cho x1 ; x2 độc lập đối với m.
2
Bài 15 :Cho phương trình : x + ( 4m + 1) x + 2 ( m − 4 ) = 0 .

Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m.

Dạng 6: Biện luận điều kiện của PTBH
Bài 16 :Cho phương trình:

ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) .Hãy tìm điều kiện để phương

trình có 2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm ….
Ta lập bảng xét dấu sau:
S = x1 + x2
P = x1 x2
Dấu nghiệm

x1
x2
m
±
trái dấu
P<0
±
±
Cùng dấu,
P>0
cùng dương,
+
+
S>0
P>0
−
−
cùng âm
S<0
P>0
2
Ví dụ: Xác định tham số m sao cho phương trình: 2 x − ( 3m + 1)

∆
Điều kiện chung
∆≥ 0
∆ ≥ 0 ; P < 0.
∆≥ 0
∆≥ 0 ;P>0
∆≥ 0

∆≥ 0 ;P>0;S>0
∆≥ 0
∆ ≥ 0 ; P > 0 ; S < 0.
2
x + m − m − 6 = 0 có 2

nghiệm trái dấu.
2
Bài 17 :Cho phương trình : x + ( 2m − 1) x − m = 0 . Gọi x1 và x2 là các nghiệm của
2
2
phương trình. Tìm m để : A = x1 + x2 − 6 x1 x2 có giá trị nhỏ nhất.

Bài 18: Cho phương trình : x 2 − mx + m − 1 = 0 . Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phương
trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức sau: B =
 x1 + x2 = m
Ta có: Theo hệ thức VI-ÉT thì : 
 x1 x2 = m − 1
2 x1 x2 + 3
2 x1 x2 + 3
2(m − 1) + 3 2m + 1
⇒B= 2
=
=
= 2
2
2
x1 + x2 + 2 ( x1 x2 + 1) ( x1 + x2 ) + 2
m2 + 2
m +2

6

2 x1 x2 + 3
x + x22 + 2 ( x1 x2 + 1)
2
1


CƠ HÀ TỐN

Chương 4: Phương trình bậc hai

Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn
Ta biến đổi B như sau:
2
m 2 + 2 − ( m 2 − 2m + 1)
m − 1)
(
B=
= 1− 2
m2 + 2
m +2
2
m −1
Vì ( m − 1) 2 ≥ 0 ⇒ ( 2 ) ≥ 0 ⇒ B ≤ 1
m +2
Với cách thêm bớt khác ta lại có:
1 2
1
1 2

1
2
m + 2m + 1 − m 2
m + 4m + 4 ) − ( m 2 + 2 )
(
m + 2)
(
1
2
2
2
2
B=
=
=
−
2
2
2
m +2
m +2
2 ( m + 2) 2
Vì ( m + 2 ) ≥ 0 ⇒
2

( m + 2)

2

2 ( m + 2)

2

≥0⇒ B≥−

1
2

Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và B là tham số, ta i tìm điều kiện
cho tham số B để phương trình đã cho ln có nghiệm với i m.
2m + 1
B= 2
⇔ Bm 2 − 2m + 2 B − 1 = 0
(Với m là ẩn, B là tham số) (**)
m +2
Ta có: ∆ = 1 − B (2 B − 1) = 1 − 2 B 2 + B
Để phương trình (**) ln có nghiệm với i m thì ∆ ≥ 0
−2 B 2 + B + 1 ≥ 0 ⇔ 2 B 2 − B − 1 ≤ 0 ⇔ ( 2 B + 1) ( B − 1) ≤ 0
hay

1
B≤−


 2 B + 1 ≤ 0
2


1
  B ≥ 1
B −1 ≥ 0

⇔
⇔
⇔ − ≤ B ≤1
 2 B + 1 ≥ 0
2
  B ≥ − 1


2
  B − 1 ≤ 0
 B ≤ 1

Vậy: max B=1 ⇔ m = 1
1
min B = − ⇔ m = −2
2
Bài 19: (Bài toán tổng quát)
Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = 0 (a ≠ 0) có:
1. Có nghiệm (có hai nghiệm) ⇔ ∆ ≥ 0
2. Vô nghiệm ⇔ ∆ < 0
3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) ⇔ ∆ = 0
4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) ⇔ ∆ > 0
5. Hai nghiệm cùng dấu ⇔ ∆≥ 0 và P > 0
6. Hai nghiệm trái dấu ⇔ ∆ > 0 và P < 0 ⇔ a.c < 0
7. Hai nghiệm dương(lớn hơn 0) ⇔ ∆≥ 0; S > 0 và P > 0
8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0) ⇔ ∆≥ 0; S < 0 và P > 0
9. Hai nghiệm đối nhau ⇔ ∆≥ 0 và S = 0
10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau ⇔ ∆≥ 0 và P = 1
7

CƠ HÀ TỐN

Chương 4: Phương trình bậc hai

11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔ a.c < 0 và S < 0
12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn
⇔ a.c < 0 và S > 0
Bài 20: Giải phương trình (giải và biện luận): x2- 2x+k = 0 ( tham số k)
Bài 21: Cho phương trình (m-1)x2 + 2x – 3 = 0 (1) (tham số m)
a) Tìm m để (1) có nghiệm
b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy nhất đó?
c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? Khi đó hãy tìm nghiệm cịn lại(nếu có)?
Bài 22: Cho phương trình: x2 -2(m-1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số x)
a) Chứng tỏ i phương trình có nghiệm x1, x2 với i m
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm
d) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thoả mãn x12+x22 ≥ 10.
e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m
f) Hãy biểu thị x1 qua x2
Bài 23: Cho phương trình: x2 + 2x + m-1= 0 ( m là tham số)
a) Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1+2x2 = 1
1
1
c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn y1 = x1 +
; y 2 = x2 +
với x1; x2 là nghiệm của
x2
x1

phương trình ở trên
Bài 24: Giải và biện luận pt : x2 – 2(m + 1) +2m+10 = 0
Bài 25 : Cho pt : x2 – ( k – 1)x - k2 + k – 2 = 0 (1)
1. Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt
2. Gọi x1, x2 là nghiệm của pt (1) .Tìm k để : x13 + x23 > 0
Bài 26: Cho phương trình : x2 – 2( m + 1) x + m – 4 = 0 (1) (m là tham số)
1. Giải (1) với m = -5
2. Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm với moa m

B) Trắc nghiệm
Câu 1: Tích 2 nghiệm của phương trình –x2 + 7x + 8 = 0 có giá trị là bao nhiêu?
A. 8
B. -8
C. 7
D. -7
Câu 2: Gọi P là tích 2 nghiệm của phương trình x2 – 5x – 16 = 0. Khi đó P = ?
A. 5
B. -5
C. 16
D. -16
Câu 3: Phương trình x4 + 2x2 – 3 = 0 có tổng hai nghiệm bẳng
A. -2
B. -1
C. 0
D. -3
2
Câu 4: Gọi S, P là tổng và tích hai nghiệm của phương trình x – 5x + 10 = 0. Khi đó S +
P=?
A. 15
B. -10

C. 5
D. -5
Câu 5: Tích hai nghiệm của phương trình –x2 + 5x + 6 = 0 là?
A. 6
B. -6
C. 5
D. -5
2
Câu 6: Cho phương trình x – 4x - 5 = 0. Khi đó giá trị biểu thức x12 + x 22 = ?
A. 26
B. -16
C. 16
D. -26
2
Câu 7: Phương trình bậc hai 2 x + mx − 2011 = 0 có tích hai nghiệm là

8


CƠ HÀ TỐN

A.

m
;
2

Chương 4: Phương trình bậc hai

B.

−

2011
;
2

C.

−

m
;
2

D.

2011
.
2

Câu 8: Tổng của hai số là -5, tích của hai số là 4. Vậy hai số đó là nghiệm của phương
trình
B. x2 − 5x + 4 = 0
C. x2 + 4x − 5 = 0
D. x2 − 4x + 5 = 0
A. x2 + 5x + 4 = 0
Câu 9 : Phương trình bậc hai 3x2 − 5x − 8 = 0 có tổng S, tích P các nghiệm x1, x2
A.S = 5/3; P = -8/3
B. S = -5/3; P = -8/3 C. S = 5/3; P = 8/3 D. S = -5/3; P = 8/3

Câu 10: Một nghiệm của phương trình : 2x2 − (k + 2)x − k − 4 = 0 là:
−k − 4
k+ 4
A.1
B.
C. –k – 4
D.
2
2
2
Câu 11: Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 2x − mx − 3 = 0 thì tổng x1+ x2 là :
A. m
B. −3
C. 3
D. − m
2
2
2
2
4
2
Câu 12 : Nếu phương trình ax + bx + c = 0 (a#0) chỉ có hai nghiệm x1 ;x2 thì
−b
−b
c
A.
B.
C. x + x = 0
D.
x1 + x2 =

x1 + x2 =
x1.x2 =
1
2
a
2a
a
2
Câu 13: Cho phương trình x + (m+ 2)x + m = 0 . Giá trị của m để phương trình có một
nghiệm bằng 1 là:
3
A. m= 3
B. m= -2
C. m = 1
D.
m= −
2
2
Câu 14: Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình x + x − 1 = 0. Khi đó biểu thức
x12 + x22 có giá trị là:
A. 1
B. -1
C. 3
D. -3
Câu 15: Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a#0) có hai nghiệm x1 = -1, x2 = -c/a khi:
A. a+b+c=0
B. a-b+c=0
C. a+b-c=0
D. a-b-c=0

Câu 16 : Nếu x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình x2 − 2x − 1 = 0 thì ( x1 − x2 )
bằng : A.6
B. -6
C. 4
D. Một kết quả khác
2
Vấn đề 3: Chuyên đề : Hàm số bậc hai y= ax ( a ≠ 0 )

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1.Hàm số y = ax2(a ≠ 0):
Dạng 1: Hàm số y = ax2(a ≠ 0) có những tính chất sau:
- Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0.
- Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0.
Dạng 2: Đồ thị của hàm số y = ax2(a ≠ 0):
- Là một Parabol (P) với đỉnh là gốc tọa độ 0 và nhận trục Oy làm trục đối xứng.
- Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành. 0 là điểm thấp nhất của đồ thị.
- Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành. 0 là điểm cao nhất của đồ thị.
*)Vẽ đồ thị của hàm số y = ax2 (a ≠ 0):
9

2


CƠ HÀ TỐN

Chương 4: Phương trình bậc hai

- Lập bảng các giá trị tương ứng của (P).
- Dựa và bảng giá trị → vẽ (P).
Dạng 3: Tìm giao điểm của hai đồ thị :(P): y = ax2(a ≠ 0) và (D): y = ax + b:

- Lập phương trình hồnh độ giao điểm của (P) và (D): cho 2 vế phải của 2 hàm số bằng
nhau → đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0.
- Giải pt hoành độ giao điểm:
+ Nếu ∆ > 0 ⇒ pt có 2 nghiệm phân biệt ⇒ (D) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
+ Nếu ∆ = 0 ⇒ pt có nghiệm kép ⇒ (D) và (P) tiếp xúc nhau.
+ Nếu ∆ < 0 ⇒ pt vô nghiệm ⇒ (D) và (P) không giao nhau.
Dạng 4: Xác định số giao điểm của hai đồ thị :(P): y = ax2 và (Dm) theo tham số m:
B1: Lập phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D m): cho 2 vế phải của 2 hàm số
bằng nhau → đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0.
B2: Lập ∆ (hoặc ∆ ' ) của pt hoành độ giao điểm.
B3: Biện luận:
+ (Dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi ∆ > 0 → giải bất pt → tìm m.
+ (Dm) tiếp xúc (P) tại 1 điểm ∆ = 0 → giải pt → tìm m.
+ (Dm) và (P) không giao nhau khi ∆ < 0 → giải bất pt → tìm m.
II. BÀI TẬP VẬN DỤNG
A) Tự luận
1 2
x và đường thẳng (d) có phương trình: y=2x-2
2
Chứng tỏ rằng đường thẳng (d) và parabol (P) có điểm chung duy nhất. Xác định toạ độ
điểm chung đó
1 2
Bài 2: Cho Parabol (P): y = − x và đường thẳng (d) có phương trình: y=x+m
4
Bài 1: Cho Parabol (P): y =

a)
b)

Tìm m để đường thẳng (d) và parabol (P) có điểm chung duy nhất.

Tìm m để đường thẳng (d) và parabol (P) cắt nhau tại hai điểm phân
biệt.

c)

Tìm m để đường thẳng (d) và parabol (P) khơng có điểm chung

Bài 3: Cho Parabol (P): y = x 2 và đường thẳng (d) có phương trình: y=ax+b. Tìm a và b
để đường thẳng (d) và parabol (P) tiếp xúc nhau tại điểm A(1;1)
1 2
Bài 4: Cho Parabol (P): y = x
4
a) Viết phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc là k và đi qua điểm M(1,5;-1)
b) Tìm k để đường thẳng (d) và Parabol (P) tiếp xúc nhau
c) Tìm k để đường thẳng (d) và Parabol (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
Bài 5. Cho hàm số y = (m+ 2)x2 (m≠ −2) . Tìm giá trị của m để:
a) Hàm số đồng biến với x < 0.
b) Có giá trị y = 4 khi x = −1.

10


CƠ HÀ TỐN

Chương 4: Phương trình bậc hai

1 2
x . Xác định m để các điểm sau nằm trên parabol:
4
 3

a) A( 2; m)
b) B ( − 2; m)
c) C  m; ÷
 4
Bài 7: Xác định m để đồ thị hàm số y = (m2 − 2)x2 đi qua điểm A(1;2) . Với m tìm được,
Bài 6: Cho parabol y =

đồ thị hàm số có đi qua điểm B(2;9) hay khơng?
Bài 8 a)Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc toạ độ O và điểm M(2;4) .
b) Viết phương trình parabol dạng y = ax2 và đi qua điểm M(2;4) .
c) Vẽ parabol và đường tăhngr trên trong cùng một hệ trục toạ độ và tìm toạ độ giao
điểm của chúng.
Bài 9: Cho hàm số y = ax2 (a ≠ 0) .
a) Xác định a để đồ thị hàm số đi qua điểm A(−1;2) .
b) Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được.
c) Tìm các điểm trên đồ thị có tung độ bằng 4.
d) Tìm các điểm trên đồ thị và cách đều hai trục toạ độ.
B) Trắc nghiệm
Câu 1: Đâu là hàm số bậc hai
A. y = x2
C. y = 0x2 – 2
D. y = 3x + 1
1
B. y = 2
x
Câu 2: Hàm số y = ax2 là hàm số bậc hai khi nào?
A. a > 0
B. a < 0
C. a ∈ R
D. Không cần điều kiện

2
Câu 3: Hàm số y = ax đồng biến khi x > 0 với điều kiện nào?
A. a > 0
B. a < 0
C. a ∈ R
D. Không cần điều kiện
2
Câu 4: Hàm số y = ax đạt giá trị lớn nhất tại x = 0 với điều kiện nào?
A. a > 0
B. a < 0
C. a ∈ R
D. Không cần điều kiện
2
Câu 5: Giá trị của hàm sô y = 3x tại x = 2 là bao nhiêu?
A. 13
B. 12
C. -13
D. -12
2
Câu 6: Hàm số y = 2x đạt giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất? Giá trị đó là bao nhiêu?
A. NN, -1
B. NN, 1
C. LN, 0
D. NN, 0
2
Câu 7: Trong các điểm sau điểm nào thuộc đồ thị hàm số y = 3x
A. (3, 4)
B. (-1, 3)
C. (1,3)
D. (0, 2)

2
Câu 8: Đồ thị hàm số y = ax nhận đường thẳng nào sau đây là trục đối xứng?
A. Ox
B. y = x
C. y = -x
D. Oy
2
Câu 9: Đồ thị hàm số y = - 5 x có bề lõm hướng đi đâu?
A. lên trên
B. xuống dưới
C. sang phải
D. sang trái
2
Câu 10: Đâu là điểm thấp nhất của đồ thị hàm số y = 4x ?
C. Điểm B(2, 4) D. Điểm D( -1, 3)
A. Điểm O(0, 0)
B. Điểm A(1, 2)
1 2
Câu 11: Giá trị của hàm số y = x tại x = 4 là bao nhiêu?
2
A. 4
B. 8
C. 6
D. 10
2
Câu 12: Đồ thị hàm số y = -2x đi qua điểm nào sau đây?
A. A(-1, -2)
B. B(1, 2)
C. C(-1, 2)
D. D(1, -2)

11


CƠ HÀ TỐN

Chương 4: Phương trình bậc hai

−1 2
x . Giá trị của hàm số đó tại x = − 3 là:
3
A. − 3
B. 3
C.-1
D. 3
1 2
Câu 14: Hàm số y = − x
3
A.Nghịch biến khi x <0, đồng biến khi x>0. C. Nghịch biến khi x <0.
B. Đồng biến khi x > 0.
D. Nghịch biến khi x> 0, đồng biến khi x < 0.
1 2
Câu 15: Cho ba điểm A(2;-2) ; B(-2; 2); C( -2; -2) , Parabol (P): y = − x đi qua điểm nào?
2
A. Điểm A và B
B. Điểm A và C
C. Điểm B và C
D. Điểm A, B, C
1 2
Câu 16: Điểm thuộc đồ thị hàm số y = − x là:

3
1
1




A. M 1;
B. N ;1
C. P  1; −1
D. Q  −1;1
 3÷
3 ÷
 3÷
 3 ÷








Câu 13: Cho hàm số y =

ĐỀ CƯƠNG ÔN TÂP CHƯƠNG IV ĐẠI SỐ LỚP 9
A/ PHẦN TRẮCNGHIỆM KHÁCH QUAN
x2
1/ Điểm thuộc đồ thị hàm số y= là:
2

A.(-2:2)
B.(2:2)
C.(3:-3)
D.(-6:-18)
2/ Một nghiệm của PTBH -3x2 + 2x+5=0 là:
5
5
3
A.1
B.C.
D.
3
3
5
3/Tổng hai nghiệm của PTBH -3x2 - 4x +9 =0 là:
4
4
A.-3
B.3
C,D.
3
3
4/ Hai số có tổng là 15 và tích là -107 là nghiệm PTBH :
A.x2 + 15x – 107=0
B.x2 - 15x – 107=0
2
C.x + 15x +107=0
D.x2 - 15x + 107=0
5/ Biệt thức ∆ của PTBH : 5x2 +13x - 7 = 0 là :
A.29

B.309
C.204
D.134
2
6/ PTBH : -3+2x+5x = 0 có tích hai nghiệm là :
2
2
3
3
A.
B.C.
D.3
3
5
5
7/ Biệt thức ∆ ’ của PTBH : -3+2x+5x2=0 là :
A.15
B.16
C.19
D.4
8/PTBH :x2+3x - 5=0.Biểu thức x12+x22 có giá trị bằng :
A.16
B. -1
C.19
D.4
2
x
9/ Điểm thuộc đồ thị hàm số y=
có tung độ bằng 2 thì có hịanh độ là :
2

A.- 2
B.2
C.2 hoặc -2
D.4 hoặc – 4
2
10/ Biệt thức ∆ của PTBH : 2x - (k-1)x+ k = 0 là:
12


CƠ HÀ TỐN

A. k2+6k-23

Chương 4: Phương trình bậc hai

B.k2+6k-25

C.(k-5)2

D..(k+5)2

11/ Một nghiệm của PTBH: 2x2- (k-1)x+ k = 0 là:
k −1
1− k
k −3
A.
B.
C.
2
2

2
12/ Một nghiệm của PTBH: 3x2 + 5x-8= 0 là:
2
A.1
B.-1
C.
3
13/ Phương trình có x2 - 5 x + 10 -2 = 0 có 1 nghiệm là

D.

3−k
2

D.-

2
3

2 thì nghiệm cịn lại là:
A.1
B.-1
C. 5 + 2
D. 5 - 2
14/ Phương trình có x2 +3x – 5 = 0.Biểu thức(x1-x2)2 có giá trị là:
A,29
B,19
C.4
D.16
2

x
15/ Cho hàm số y= . Kết luận nào sau đây là đúng :
2
A.Hàm số luôn luôn đồng biến
B,Hàm số luôn luôn nghịch biến
C. Hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x >0
D. Hàm số đồng biến khi x > 0, nghịch biến khi x <0
16/ PTBH ẩn x : x2-(2m - 1)x + 2m = 0 có hệ số b bằng :
A,2(m - 1)
B.1 – 2m
C.2 - 4m
D.2m – 1
2
17/ Điểm P(- 1: - 3) thuộc đồ thị hàm số y = mx thì m có giá trị là:
A. – 3
B.-2
C.2
D.3
2
18/ Phương trình: x - (a+1)x + a = 0 có 2 nghiệm là:
A.x1=1;x2 = a
B.x1= - 1;x2 = - a
C.x1=1;x2 = - a
C,x1= - 1;x2 = a
19/ nghiệm của PT 3x2 + 2x + 1 = 0 là hòanh độ giao điểm của các hàm số:
A.y = 3x2và y = 2x + 1
B.y = 3x2và y = - 2x + 1
C.y = 3x2và y = - 2x - 1
D.y = - 3x2và y = 2x - 1
2

20/ Nếu PT : ax +bx+c=0(a ≠ 0) có một nghiệm là 1 thì tổng nào sau đây là đúng :
A.a+b+c = 0
B.a-b+c = 0
C,a – b - c = 0
D.a+b - c = 0
21/ Với x > 0 . Hàm số y = (m2 +3) x2 đồng biến khi m :
A. m > 0
B. m ≤ 0
C. m < 0
D .Với mọi m ∈ R
2
22 / Điểm M (-1;2) thuộc đồ thị hàm số y= ax khi a bằng :
A. a =2
B a = -2
C. a = 4
D a =-4
2
23: Các hệ số của phương trình x – 2 (2m –1) x + 2m là :
a = ………..
b = ………
c =…………..
24: Cho hai bảng :
1) x2 +2x –3 =0
2) x2 –3x =0
3) 2x2 –4 =0

a) có hai nghiệm là 0 và 3
b)có hai nghiệm là 0 và –3
c) c ó hai nghiệmlà 2 và−

13

2


CƠ HÀ TỐN

Chương 4: Phương trình bậc hai

d) có hai nghiệm là 1 và –3

2

5

4)  x+ ÷ = - 1
4


e) v ô nghiệm
Bảng truy
Bảng chọn
Hãy ghép một câu ở bảng truy và một câu ở bảng chọn để được một câu đúng
25: Phương trình 4x2 + 4(m- 1) x + m2 +1 = 0 có hai nghiệm khi và chỉ khi :
A. m > 0
B. m < 0
C. m ≤ 0
D.m ≥ 0
26: Giá trị của m để phương trình x2 – 4mx + 11 = 0 có nghiệm kép là :
A. m =

11

B.

11
2

11
2

C. m = ±

D. m = −

11
2

27: Gọi S và P là tổng và tích hai nghiệm của phương trình x2 – 5x + 6 = 0
Khi đó S + P bằng:
A. 5
B.7
C .9
D . 11
28: Cho u + v = 32 ; u.v = 231 . Khi đó u = …………; v = …………….( cho u > v )
29 : Giá trị của k để phương trình x2 +3x +2k = 0 có hai nghiệm trái dấu là :
A. k > 0
B . k >2
C. k < 0
k<2

30 : Toạ độ giao điểm của (P) y =
A. M ( 2 ; 2)

B. N ( -3 ;

9
)
2

1 2
1
x và đường thẳng (d) y = - x + 3 là :
2
2
C. M( 2 ;2) và O(0; 0)

D. M( 2 ;2) và N( -3 ;

9
)
2

31 :Hàm số y = (m +2 )x2 đạt giá trị nhỏ nhất khi :
A. m < -2
B. m ≤ -2
C. m > -2
D . m ≥ -2
2
32 : Hàm số y = 2x qua hai điểm A( 2 ; m ) và B ( 3 ; n ) . Khi đó giá trị của biểu
thức A = 2m – n bằng :

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
33: Giá trị của m để phương trình 2x2 – 4x + 3 m = 0 có hai nghiệm phân biệt là ;
A. m ≤

2
3

B.m ≥

2
3

C. m <

1
3

D. m ≤

2
3

D. m >

34 : Giá trị của m để phương trình mx2 – 2(m –1)x +m +1 = 0 có hai nghiệm là :
A. m <

1
3

B. m ≤

1
3

C. m ≥

2
3

1
và m ≠ 0
3

35 : Giá trị của m để phương trình 4x2 – m x +1 = 0 có nghiệm kép là :………
36: Giá trị của m để phương trình m2x2 – m x +4 = 0 vơ nghiệm là …………….
37: Giá trị của k để phương trình 2x2 – ( 2k + 3)x +k2 -9 = 0 có hai nghiệm trái dấu là:
A. k < 3
B.k>3
C. 0 D . –3 < k < 3
38 : Trung bình cộng của hai số bằng 5 , trung bình nhân của hai số bằng 4 thì hai số này
là nghiệm của phương trình :
A. X2 – 5X + 4 = 0
B . X2 – 10X + 16 = 0
C. X2 + 5X + 4 = 0
D. X2 + 10X + 16 = 0

14


CƠ HÀ TỐN

Chương 4: Phương trình bậc hai

39 : Phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠
A .−

b
c

B.

1

1

D.

b
c

0) có hai nghiệm x1 ; x2 thì x + x
1
2

c

b

C.

1 1
+
b c

bằng :

40: Số nguyên a nhỏ nhất để phương trình : ( 2a – 1)x2 – 8 x + 6 = 0 vô nghiệm là :
A.a =1
B. a = -1
C. a = 2
Da=3
2
41 : Hàm số y = ax qua ba điểm A( 2 ; m ) và B (- 3 ; n ) và C( 2 ; 8 ) . Khi đó giá trị
của biểu thức 3m – 4 n là …………
42 : Gọi x1 ;x2 là hai nghiệm của phương trình 3x2 - ax - b = 0 .Khi đó tổng x1 + x2 là :
A. −

a
3

B.

a
3

C.

b
3

D.-

1
4

D.

b
3

43 : Hai phương trình x2 + ax +1 = 0 và x2 – x – a = 0 có một nghiệm thực chung khi a
bằng :
A. 0
B1
C.2
D .3
44 : Giá trị của m để phương trình 4x2 + 4(m –1)x + m2 +1 = 0 có nghiệm là :
A. m > 0
B.m<0
C. m ≥ 0
D.m ≤ 0
2
45 : Đồ thị của hàm số y = ax đi qua điểm A ( -2 ; 1) . Khi đó giá trị của a bằng :
A. 4

B. 1

C.

46 : Phương trình nào sau đây là vô nghiệm :
A. x2 + x +2 = 0
C. (x2 + 1) ( x - 2 ) = 0

1
2

B. x2 - 2x = 0
D . (x2 - 1) ( x + 1 ) = 0

47 : Phương trình x2 + 2x +m +2 = 0 vơ nghiệm khi :
Am >1
B.m<1
C m > -1
D m < -1
48 : Cho 5 điểm A ( 1 ; 2) ; B ( -1 ; 2) ; C ( 2 ; 8 ) ; D ( -2 ; 4 ) ; E ( 2 ; 4 ) . Ba điểm
nào trong 5 điểm trên cùng thuộc Parabol (P): y = ax2
A. A, B , C
B.A,B,D
C.B,D,E
D .A, B , E
49: Hãy ghép một câu ở bảng truy và một câu ở bảng chọn để được một câu đúng :
1) x2 - 6x + 5 = 0
a) Có hai nghiệm phân biệt
2
2) x - 2x +3 = 0
b) Có nghiệm kép

3) x2 + 5x +1 = 0
c) có một nghiệm
2
4) x - 4x + 4 = 0
d) Vơ nghiệm
e) Có hai nghiệm
Bảng truy
Bảng chọn
2
50 : Hiệu hai nghiệm của phương trình x + 2x - 5 = 0 bằng :
A. 2 6
B.-2 6
C.–2
D. 0
51 : Hãy ghép một câu ở bảng truy và một câu ở bảng chọn để được một câu đúng :
1) x2 - 5x + m - 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt khi
a) m = -37/4
2) x2 - 5x + m - 3 = 0 có nghiệm kép khi
b) m < 37/4
2
3) x - 5x + m - 3 = 0 vô nghiệm khi
c) m = 37/4
d) m > 37/4
15


CƠ HÀ TỐN

Chương 4: Phương trình bậc hai

52 : Gọi S và P là tổng và tích hai nghiệm của phương trình 2x2 + x - 3 = 0
Khi đó S. P bằng:
A. -

1
2

B.

3
4

C. -

3
4

1
2

C. −

D.

3
2

53 : Cho x + y = 32 ; x. y = 175 . khi đó x = ………….. ; y = …………… (cho u > v)
54 : Giá trị của k ∈ ¢ để phương trình 2x2 – ( 2k4 + k2 ) x+ k2 - 3 = 0 có hai nghiệm trái
dấu là : ……………….

55 : Phương trình x2 – 2 (m + 1) x -2m - 4 = 0 có một nghiệm bằng – 2. Khi đó nghiệm
cịn lại bằng :
A. –1
B. 0
C.1
D.2
2
3
56 : Phương trình 2x + 4x - 1 = 0 có hai nghiệm x1 và x2. khi đó A =x1.x2 + x13x2
A.1

B

5
2

D.

3
2

57 : Phương trình x2 – 2mx +2m - 3 = 0 có hai nghiệm x1 và x2. mà x12+ x22 = 5. Khi đó
A. x1 + x2 = …………….
B. x1 . x2 = …………….
2
2
58 : Với x > 0 , hàm số y = (m +2 ).x đồng biến khi :
A.m >0
B . m≥ 0
C. m < 0

D . mọi m ∈ R
2
59 : Toạ độ giao điểm của (P) y = x và đường thẳng (d) y = 2x là :
A. O ( 0 ; 0) N ( 0 ;2)
C. M( 0 ;2) và H(0; 4)
B. O ( 0 ; 0) và N( 2;4)
D . M( 2;0 và H(0; 4)
60:Tìm m để các phương trình sau đây thoã điều kiện cho trước
1) 2x2 – 4x + 3m = 0 có hai nghiệm phân biệt
2) mx2 – 2 (m -1 )x + m + 1 = 0 có hai nghiệm
3) x2 – (m+ 1)x + 4 = 0 có nghiệm kép . Tính nghiệm kép này
4)( m – 1) x2 + m -2 = 0 có nghiệm kép . Tính nghiệm kép này
5) x2 + 2x + m +2 = 0 vô nghiệm
6) m2x2 + mx + 4 = 0 vơ nghiệm
61:Phương trình x2 + 2x + m -2 = 0 vô nghiệm khi :
A. m > 3
B. m < 3
C.m≥ 3
D. m ≤ 3
2
62: Số nguyên a nhỏ nhất để phương trình : (2a – 1)x – 8x + 6 = 0 vô nghiệm là
A. a = 2
B. a = -2
C. a = -1
D.a=1
2
63 : Cho phương trình x + ( m +2 )x + m = 0 . Giá trị của m để phương trình có một
nghiệm bằng 1 là :
A. m = 3
B. m = -2

C.m=1
D.m=2
64: Cho phương trình x + ( m +2 )x + m = 0 . Giá trị của m để phương trình có hai
nghiệm phân biệt là :
A. m =-5
B .m = 4
C. m = -1 D. Với mọi m ∈ R
2
65: Cho phương trình x + ( m +2 )x + m = 0 . Giá trị của m để phương trình có hai
nghiệm cùng âm là :
A.m >0
Bm<0
C.m≥ 0
D. m = -1
2
66: Cho phương trình x + ( m +2 )x + m = 0 . Giá trị của m để phương trình có cùng
dương là :
A. m > 0
Bm<0
C.m≥ 0
D. khơng có
giá trị nàothỗ

16


CƠ HÀ TỐN

Chương 4: Phương trình bậc hai

67 : Cho phương trình x2 + ( m +2 )x + m = 0 . Giá trị của m để phương trình có hai
nghiệm trái dấu là :
A. . m > 0
Bm<0
C.m≥ 0
D. khơng có
giá trị nàothỗ
68: Cho phương trình x2 + ( m +2 )x + m = 0 . Giá trị của m để phương trình có hai
nghiệm cùng dấu là :
A. m > 0 B m < 0
C.m≥ 0
D. khơng có giá trị nào thỏa mãn
2
69:Cho phương trình x – 6x + m = 0 . Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình . Tìm
m thỗ điều kiện :
1) x1 – x2 = 10
2) x12– x22 = 42
3) x12 – x22 = 26
4) x1 = 2x2
5) 3x1 + x2 = 8
B PHẦN TỰ LUẬN
Bài 1: Cho các hàm số y = x2 có đồ thị là (P) và hàm số y = 5x – 6 có đồ thị là (D)
a/ vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vng góc.
b/ Xác định tọa độ giao điểm của (P) và (D) .
Bài 2 :Cho các hàm số y = 2x2 có đồ thị là (P) và hàm số y = -3x +2 có đồ thị là (D
a/ vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vng góc.
b/ Xác định tọa độ giao điểm của (P) và (D) .
c/ Gọi A là điểm trên (P) có hịanh độ bằng 1 và B là điểm trên (D) có tung độ bằng m
+ Khi m = 5 viết phương trình đường thẳng đi qua A và B.
+ Tìm m để 3 điểm A, O, B thẳng hàng ( O là gốc tọa độ)

3
x2
Bài 3: Cho các hàm số y = có đồ thị là (P) và hàm số y = x –
có đồ thị là (D)
2
2
a/ vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vng góc.
b/ Xác định tọa độ giao điểm của (P) và (D).
3
1
Bài 4: Cho các hàm số y = - x2 có đồ thị là (P) và hàm số y = - 2 x +
có đồ thị là (D)
2
2
a/ vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vng góc.
b/ Xác định tọa độ giao điểm của (P) và (D).
c/Tìm tọa độ những điểm trên (P) thỏa tính chất tổng hịanh độ và tung độ của
điểm đó bằng 4.
Bài 5 :Cho các hàm số y = - 2x2 có đồ thị là (P) và hàm số y = -3x +m có đồ thị là (Dm)
a/ Khi m= 1 vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vng góc và xác định tọa
độ giao điểm của chúng.
1
b/ Tìm m để (Dm) đi qua điểm trên (P) có hịanh độ bằng
2
c/ Tìm m để (P) cắt (D) tại 2 điểm phân biệt.
1
Bài 6 :Cho các hàm số y = - x2 có đồ thị là (P) và hàm số y = x có đồ thị là (D)
4
a/ Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vng góc.
b/ Xác định tọa độ giao điểm của (P) và (D).

Bài 7 : Cho phương trình : x2 – (2k-1)x + 2k – 2 = 0 (1)
a/ Giải phương trình (1) khi k = - 2
17


CƠ HÀ TỐN

Chương 4: Phương trình bậc hai

b/ Tìm giá trị của k để phương trình (1) có một nghiệm x1 = - 2. Tìm nghiệm x2
c/ Chứng minh rằng phương trình (1) ln có 2 nghiệm phân biệt.
d/Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của PT(1), Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ
thuộc vào k
Bài 8: Cho phương trình : mx2+mx – 1 = 0 (1)
1
a/ Giải phương trình (1) khi m =
2
b/ Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép.
c/ Tìm m để bình phương của tổng hai nghiệm bằng bình phương của tích hai nghiệm
Bài 9: Cho phương trình : x2 –2 (m + 1)x + m - 1 = 0 (1)
a/ Giải phương trình (1) khi m = - 2.
b/ Chứng minh rằng phương trình (1) ln có 2 nghiệm phân biệt.
c/ Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình (1) .Tính x12 – x22
d/ Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của PT(1), Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 khơng phụ thuộc vào m
Bài 10: Cho phương trình : x2 – mx + m - 1 = 0 (1)
a/ Giải phương trình (1) khi m = - 2.
b/ Chứng minh rằng phương trình (1) ln có nghiệm khi m thay đổi
c/ Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
d/ Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình (1) .Tìm m thỏa x12 + x22 - 6x1 x2 =8
:Bài 11: Cho phương trình : x2 –(2m -3)x - 4m = 0 (1)

a/ Giải phương trình (1) khi m = - 3.
b/ Chứng minh rằng phương trình (1) ln có 2 nghiệm phân biệt.
c/ Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình (1) .Tìm m để x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 12: Cho phương trình x2 − (2m+ 1)x + m2 + 3 = 0 (1) ( m là tham số)
a) Giải phương trình với m = 3
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x2 + x2 = 1
1
2
Bài 13:
5 − 3x
1. Giải bất phương trình sau : x − 1
+ 4≥
3
5
2. Cho hệ phương trình :  mx + 2y = m+ 1 (I) (m là thamsè)

2x + my = 2m− 1
a) Giải hệ phương trình với m = 3
b) Định m nguyên để hệ sau có nghiện duy nhất (x ,y) với x, y nguyên.
3. Tìm hai số biết hiệu của chúng bằng 10 và tổng các binh phương của chúng bằng
250.
Bài 14: Cho phương trình : (m+ 1)x2 − 2(m− 1)x + m− 2 = 0 (1) (m – tham số)
a)Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1;x2
b)Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm x1;x2 thỏa mãn 4(x1 + x2 ) = 7x1.x2
Bài 15:

 x + my = 3m
Cho hệ phương trình : 
( m là tham số)
2

 mx − y = m − 2
a. Giải hệ phương trình với m = 3
b. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thảo mãn : x2 − 2x − y > 0
18


CƠ HÀ TỐN

Chương 4: Phương trình bậc hai

Bài 16:
2
a) Giải bất phương trình : 3(x − 2).(x + 2) = 3x + x
b)Cho phương trình : x2 − 2(m+ 1)x − m+ 1 = 0
- Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
- Xác định m để phương trình có hai ngiệm dương phân biệt.
c) Tìm 1 số có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng chục hơn chữ số hàng đơn vị là 2 và
tích của số phải tìm với số phải tìm nhưng viết theo thứ tự ngược lại bằng 2944.
Bài 17: Tìm m để đường thẳng (d) : y = mx -1 (m là tham số) cắt parabol (P): y = x 2 tại
1 1
hai điểm có hồnh độ x1, x2 thỏa mãn : 2 + 2 = 7 .
x1 x2
Bài 18:
1) Tìm m để phương trình sau vơ nghiệm : (m 2 − 1) x − 3 x + m + 2 = 0 (1)

2) Cho phương trình : x2 + mx − 4 = 0 (1) ( với m là tham số)
- Giải phương trình (1) khi m= 3
- Giả sử x1,x2 là nghiệm của phương trình (1), tìm m để : x1(x22 + 1) + x2(x12 + 1) > 6

Bài 19 : Cho parabol (P) có phương trình y = x2 và đường thẳng ( d )  : y = 2x + m + 1

a) Chứng minh rằng với mọi m, (d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B.
b) Gọi xA ;xB lần lượt là hoành độ giao điểm của A và B. Hãy xác định giá trị của
2

m sao cho x2A + x2B = 10
Bài 20: Cho phương trình ẩn x : x2 − mx + 2m− 3 = 0 (1)
a)Giải phương trình (1) khi m = 1.
b)Tìm giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm.
c)Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1,x2 của phương trình (1) khơng phụ thuộc vào m.
KIỂM TRA 1 TIẾT CHƯƠNG 4

ĐỀ 1
PHẦN 1: TRẮC NGHIỆM ( Khoanh tròn vào đáp án đúng)
Câu 1: Số nghiệm của phương trình : 2x2 + 5x − 3 = 0 là:
A.1
B. 2
C. 3
D. Vô số
1
Câu 2: Hàm số y = − x2 . đồng biến khi
3
A. x > 0
B. x < 0
C. x ≥ 0
D. x ≤ 0
2
Câu 3: Tổng và tích các nghiệm của phương trình 4x + 2x – 5 = 0 là
1
5
1

5
A.x1 + x2= ; x1.x2=
B.x1+x2= − ; x1.x2= −
2
4
2
4
19


CƠ HÀ TỐN

Chương 4: Phương trình bậc hai

1
5
1
5
; x1.x2=
D.x1+x2= ; x1.x2= −
2
4
2
4
2
Câu 4 : Phương trình x - 2x + m = 0 có nghiệm khi
A. m ≥ −1
B. m ≤ 1
C. m < 1
D. m ≤ −1

2
Câu 5 : Phương trình 2x - 5x + 3 = 0 có nghiệm là:
3
3
3
A. x1 = 1; x2 =
B. x1 = - 1; x2 =
C. x1 = - 1; x2 = D. x = 1
2
2
2
Câu 6 : Tổng hai số là 7, tích hai số là 12. Hai số là nghiệm của phương trình.
A. x2 - 12x + 7 = 0 B. x2 + 12x - 7 = 0
C. x2 - 7x -12 = 0 D. x2 - 7x +12 = 0
Câu 7 : Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số y= x2
A.(2;4)
B.(3;6)
C.(4;15)
D.(7;24)
3
Câu 8 : Hàm sô y = - x2. Khi đó f(-2) bằng :
4
A. 3
B. -3
C. -6
D. 6

C. x1+x2= −

PHẦN 2: TỰ LUẬN

Bài 1: Cho hàm số y = x2 (P) và y = - 2x + 3 (d).
a. Vẽ (P) trên mặt phẳng tọa độ
b. Tìm giao điểm của (P) và (d)
Bài 2: Một tàu thủy xuôi dịng khúc sơng dài 48km rồi ngược dịn sơng ấy 48 km thì mất
5 giờ.Tính vận tốc của tàu thủy biết vận tốc dòng nước là 4 km/h.
2
Bài 3: Cho phương trình x − 2(m + 1)x − 3 = 0

(*) . Tìm điều kiện m để phương

2
2
trình (*) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1 + x2 = 10.

----HT----

2
PHN 1: TRC NGHIM ( HÃy khoanh tròn vào chữ cái đứng trớc đáp án
đúng)

1
2

2
Cõu 1. Cho hm s y = − x

(A). Ham số trên luôn đồng biến
(B). Ham số trên luôn nghịch biến
(C). Giá trị của hàm số bao giờ cũng âm
D. Ham số đồng biến khi x < 0

Câu 2: Phương trình x2 – 5x – 6 = 0 có hai nghiệm là
A. x1 = – 1; x2 = 6 B. x1 = 1; x2 = 6
C. x1 = – 1; x2 = -6
D. x1 = 1; x2 = -6
Câu 3: Biệt thức ∆' của phương trình 4x2 – 6x – 1 = 0 là
A ∆'= 5
B. ∆ ' = 13
C. ∆ ' = 52
D. ∆ ' = 20
2
Câu 4. Phương trình 5 x − 5 x − 2 = 0 có tổng hai nhiệm là

20


CƠ HÀ TỐN

Chương 4: Phương trình bậc hai

2
−2 5
C. 5
D.
5
5
2
Câu 5. Đồ thị của hàm số y = ax đi qua điểm M(1; 3). Khi đó hệ số a bằng:
A. . a = 1
B. a = 2
C. a = 3

D. a = 4
2
Câu 6. Phương trình x + 4x + m = 0 (m là tham số) có nghiệm là 2 khi:
A. . m = 12
B. m = –12
C. . m = 8
D. . m = – 8
2
Câu 7. Phương trình x – 7x + 6 = 0 có tổng và tích các nghiệm là :
A. . S = 7; P = 6
B. S =– 7; P =–6
C. S = 7; P =–6
D. S =– 7; P = 6
Câu 8. Hai số có tổng bằng 14 và tích bằng 45 là nghiệm của phương trình:
A. x2 + 14x + 45 = 0
B. x2 – 14x + 45 = 0
2
C. x + 14 – 45 = 0
D. x2 – 14x – 45 = 0
A. − 5

B.

PHẦN 2: TỰ LUẬN
Bài 1: Cho hàm số y = x2 (P)
a. Vẽ đồ thị hàm số trên hệ trục tọa độ
b. Tìm giao điểm của (P) :y = x2 và đường thẳng (d): y = 2x -1.
Bài 2: Một xe khách và một xe du lịch khởi hành cùng lúc từ A đến B. Biết vận tốc của
xe du lịch luôn hơn xe khách là 20km/h. Do vậy xe du lịch đến B trước xe khách 50 phút.
Tính vận tốc mỗi xe biết quãng đường AB dài 100km.

Bài 3: Cho phương trình x2 – 6x + 2m-1 = 0. Tìm m để PT có 2 nghiệm thoả mãn
x1
x
+ 2 =0
1 − x1 1 − x 2

ĐỀ 3
PHẦN 1: TRẮC NGHIỆM (Hãy khoanh tròn vào đáp án đúng)
Câu 1: Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số: y = 2x2:
A(3;18)
B(3;-18)
C(-2; 4)
2
Câu 2: Cho hàm số: y = -3x . Phát biểu nào sau đây là đúng :

D(-2;- 4)

A. Hàm số đồng biến khi x > 0, nghịch biến khi x < 0; C. Đồ thị hs nằm phía trên trục hồnh
B. Hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0; D. Đồ thị hàm số nhận điểm O(0;0)
là điểm thấp nhất.

Câu 3: Phương trình (m2 – 1)x2 + 2x -1 = 0 là phương trình bậc hai mét Èn khi:
A. m ≠ 1
B. m ≠ -1
C. m ≠ ± 1;
D. Một đáp án khác
Câu 4: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:
A. 4x2 - 5x + 1 = 0
B. 2x2 + x – 1 = 0
C. 3x2 + x + 2 = 0

D. x2 + x – 1 = 0
Câu 5: Với giá trị nào của a thì phương trình : x2+ x – a = 0 có hai nghiệm phân biệt ?
1
1
1
1
A. a > - ;
B.a< ;
C.a> ;
D. a < 4
4
4
4
2
Câu 6: Phương trình x - 7x + 6 = 0 có nghiệm là:
A. x1 = 1 ; x2 = 6.
B. x1 = 1 ; x2 = - 6.
C. x1 = -1 ; x2 = 6
D. x1 = -1 ; x2 = -6
Câu 7: Phương trình 2x 2 − x(k + 1) + 8 = 0 có nghiệm kép khi k =?

21


CƠ HÀ TỐN

Chương 4: Phương trình bậc hai

A. 9 hoặc -7
B. -7

C. 9 hoặc 7
D. -9 hoặc 7
Câu 8: Phương trình có hai nghiệm trái dấu là?
A. 2x 2 + 3x + 1 = 0
B. 2x 2 − 7x + 5 = 0
C. − x 2 + 4x + 5 = 0
D. 4x 2 + 12x + 9 = 0

PHẦN 2: TỰ LUẬN
Bài 1: Cho hàm số y = x2 có đồ thị là (P) và hàm số y = - x+ 2 có đồ thị là (d)
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Xác định toạ độ giao điểm của (P) và (d) bằng tÝnh to¸n
Bài 2: Một xe ơ tơ đi từ A đến B cách nhau 150km rồi sau đó từ B trở về A hết 5 giờ.
Biết vận tốc lúc về lớn hơn vận tốc lúc đi là 25km/h.Tính vận tốc của xe ơ tơ ?
Bài 3: Cho phương trình : x 2 − 2mx + m − 1 = 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm
x1 , x 2 sao cho x12 + x 2 2 có gía trị nhỏ nhất

ĐỀ 4
1
Câu 1: Cho hàm số y = f ( x) = − 2 x

a) Tính

1
1
f ( 1) ; f ( −1) ; f ( ); f (− ); f (2); f (−2)
2
2

b) Hàm số đã cho đồng biến hay nghịch biến trên R? Vì sao?

c) Vẽ đồ thị hàm số trên.
Câu 2: Cho các phương trình:

−3x2 + 2 x + 5 = 0

0 x 2 + 3x − 2 = 0

8 x 2 + 3x − 5 = 0

a) Trong các phương trình đã cho đâu là phương trình bậc hai?
b) Xác định hệ số a, b, c trong các phương trình vừa tìm được ở câu a?
c) Giải các phương trình vừa tìm được ở câu a.
Câu 3: Giải và biện luận phương trình: (m + 2) x2 − (m + 4) x + 2 − m = 0
Câu 4: Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
a) u + v = 12, uv = 28 và u > v
b) u + v = 3, uv = 6

22