Tự chọn : Bài tập chương I đại số

Bài tập về nhân đa thức – Hằng đẳng thức
Bài 1 : Thực hiện các phép nhân các đa thức sau :
a. ( 2x + 4) ( x
2
– 3x + 5) b. ( x
2
– x + 1 )(x
2
+ x + 1)
c. ( x
2
– 2x + 1)(x
2
+ 2x + 1) d. ( 2x
2
+ x – 1)(x
2
– 2x + 3)
e. ( x + 1)(x + 2)(2x – 1) f. (2x
3
+ 3y)(2x
4
y – 3x
2
y
2
+ 4y
3
)
h. (a + b + c – d)(a + b – c + d) g. (x – a)
2

– (2x – 3a)
2
+ ( x + 2a)(3x + 4a)
Bài 2 : Rút gọn các biểu thức sau :
a. 3x(2x – 5y) + (3x – y)(-2x) – ½ (2 – 26xy)
b. (2x + 3)(x – 1) + (x –3)
2
– 3(x +4)(x – 4)
c. (3 – 2x )(x + 3) – (7x – 2)(x + 5) + (3x + 2)
2

d. 2x
2
+3(x –1)(x + 1) – 5x(x + 2)
e. (8 – 5x)(x + 2) + 4(x – 2)(x + 1) + 2(x – 2)(x + 2) + 10
f. 4(x – 1)(x + 5) – (x + 2)(x + 5) – 3(x –1)(x + 2)
g. (y – 3)(y + 3)(y
2
+ 9) – (y
2
+ 2)(y
2
– 2)
h. (a + b – c)
2
– (a – c)
2
– 2ab + 2bc
i. (a + b + c)
3

+ (a – b – c)
3
– 6a(b + c)
2

Bài 3 : Chứng minh các đẳng thức sau :
a. (x – 2)(x
2
– 5x + 1) – x(x
2
+ 11) = - 7x
2
– 2
b. (a + b)(b + c) – (c + d)(d + a) – (a + c)(b – d) = b
2
– d
2

c. (a – 1)(a – 2) + (a – 3)(a + 4) – (2a
2
+ 5a – 34) = - 7a + 24
d. (a + c)(a – c) – b(2a – b) – (a – b + c)(a – b – c) = 0
e. (5x – 11)
2
+ (4 – 5x)
2
+ 2(5x – 11)(4 – 5x) = 49
f. ½ (a + b + c )[(a – b)
2
+ (b – c)

2
+ (c – a)
2
] = a
3
+ b
3
+ c
3
– 3abc
g. (a + b + c)
3
= a
3
+ b
3
+ c
3
+ 3(a +b)(b + c)(c + a)
Bài 4 : Rút gọn rồi tính giá trò của biểu thức
a. 2x(x – 3y) – 4y(x + 2) – 2(x
2
– 3y – 4xy) tại x = -2/3 ; y = ¾
b.
1 1 290 1 2
2
337 291 291 337 291 337
− −g g
g
c.

1 1 116 118 3
2 3 5
117 119 117 119 119
− −g g
d. (2x
2
+ x – 1)(3x – 2) + (x – 3)(5 – 6x
2
) với x = - 2
e. (4m
3
– 3m
2
+ 2m – 7)(2m
2
– ½ ) – (m + ½ )(8m
2
– 2/3m – 4/7) tại m = - ½
f. 5(x + 2y)
2
– (3y + 2x)
2
+ (4x – y)
2
+ 3(x – 2y)(x + 2y) tại x = - ½ , y = 0,725
g. (x – a)
2
– (2x – 3a)
2
+ (x + 2a)(3x + 4a) tại x = 0,004 , a = 225

Bài 5 : Chứng minh rằng nếu x + y = a , xy = b thì
a. x
2
+ y
2
= a
2
– 2b
b. x
3
+ y
3
= a
3
– 3ab
c. (x – y)
2
= a
2
– 4b
Bài 6 : Chứng tỏ rằng giá trò của biểu thức
a. A = (x + y + x)
2
+ (x – y)
2
+ ( x – z)
2
– 3(x
2
+ y

2
+ z
2
) không phụ thuộc vào các biến .
b. B = (3x – 5)(2x + 11) – (2x + 3)(3x + 7) không phụ thuộc vào x
c. C = (x + y)
3
+ (x – y)
3
– 6xy
2
không phụ thuọc vào y
d. D = (1 – x + y)
2
+ 2(1 – x + y)(x – y) + (x – y)
2
không phụ thuộc vào biến .
e. E = (15x – 1)
2
+ 3(7x + 3)(x + 1) – (x
2
- 73) luôn dương với mọi x
f. F = (6x + 1)
2
– ( 3x – 4)(3x + 4) – 1,5(18x
2
+ 1) + 2,5 luôn chia hết cho 6 với mọi x là số nguyên .
Bài 7 . Tìm x biết
a. (3x – 5)(7 – 5x) – (5x + 2)(2 – 3x) = 4
b. 5(2x + 3)(x + 2) = 75 + 2(5x – 4)(x – 1)

c. (5x + 1)
2
– (5x + 3)(5x – 3) = 30
d. (x + 3)(x
2
– 3x + 9) – x(x – 2)(x + 2) = 15
e. (x + 2)(x + 3) + (x – 2)(x + 5) = 2(x + 3)
2
– 18
f. (x + 2)
3
+ (x – 2)
3
= 2x(x – 2)(x + 2) + 56
g. (x + 3)
3
– x(3x + 1)
2
+ (2x + 1)(4x
2
– 2x + 1) – 3x
2
= 54
h. (x – 3)
3
– (x –3)(x
2
+ 3x + 9) + 6(x + 1)
2
= -33

Bài 8 : Cho biết a + b + c = 2y . Chứng minh rằng
a. 2bc + b
2
+ c
2
– a
2
= 4y(y – a)
b. (y – a)
2
+ (y – b)
2
+ (y – c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
– p
2

Bài 9. Cho biết x – y = 7 . Hãy tính giái trò của các biểu thức sau :
a. A = x(x + 2)+ y(y – 2) - 2xy + 37
b. B = x
3
– 3xy(x – y) – y
3
- x

2
+ 2xy – y
2
+ 7x – 7y
c. C = x
2
)x + 1) – y
2
(y – 1) + xy – 3xy(x – y + 1) – 95
Bài 10 :
a. Cho x + y = 3 và x
2
+ y
2
= 5 . Tính x
3
+ y
3

b. Cho x – y = 5 và x
2
+ y
2
= 15 . Tính x
3
– y
3
; x
3
+ y

3

c. Cho x + y = a , xy = 1 . Hãy tính x
2
+ y
2
; x
3
+ y
3
; x
4
+ y
4
?
Bài 11 . Cho x + y = 5 . Hãy tính giá trò của các biểu thức sau
a. P = 3x
2
– 2x + 3y
2
– 2y + 6xy – 100
b. Q = x
3
+ y
3
– 2x
2
– 2y
2
+ 3xy(x + y –2) + 4xy + 3(x + y) + 10

Bài 12 : Chứng minh rằng với mọi giá trò của x thì biểu thức sau :
a. 4x
2
– 12x + 12 luôn dương
b. – 5 + 4x – x
2
luôn âm
c. x
2
– x + 1 luôn dương
Bài 13 . Với giá trò nào của x thì các biểu thức sau có giá trò lớn nhất ( hoặc nhỏ nhất ) ?
a. 2x(4 – 2x) + 17 b. 9x
2
– 6x + 5 c. 3x
2
+ 5x + 3
Bài 14 .
a. Cho 3 số lẻ liên tiếp . Tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số đầu là 180 . Timd mỗi số ?
b. Có hai cái sân hình chữ nhật và hình vuông . Sân hình chữ nhật có chiều dài hơn cạnh của hình
vuông là 3 m , chiều rộng kém cạnh hình vuông 8 m . Diện tích của sân hình vuông lớn hơn diện
tích của sân hình chữ nhật là 149 m
2
. Tính cạnh của hình vuông ?
c. Tìm ba số tự nhiên liên tiếp , biết rằng tổng các tích của hai trong ba số ấy bằng 74 ?
Bài 15 . Cho hai số A = 3
32
; B = (3 + 1)(3
2
+ 1)(3
4

+ 1) (3
8
+ 1)(3
16
+ 1) . Hãy so sánh A và B ?
Bài 16 : Cho x
2
= y
2
+ z
2
. Chứng minh rằng : (5x – 3y + 4z)(5x – 3y – 4z) = ( 3x – 5y)
2

Bài 17 . Tính giá trò của các biểu thức sau
a. 123
2
+ 2. 123 . 77 + 77
2
b. 234
2
– 234 . 68 + 34
2

c. 2007
2
– 2010 . 2004 d. 100
2
– 99
2

+ 98
2
– 97
2
+ 96
2
– 95
2
+ ….. + 2
2
– 1
2

e. 1000
2
+ 1003
2
+ 1005
2
+ 1006
2
–1001
2
– 1002
2
– 1004
2
– 1007
2

f.
2 2
2 2
780 220
125 150.125 75
−
+ +
Bài 18 : Tính giá trò của biểu thức sau
a. x
17
- 80x
16
– 80x
15
– 80x
14
- ……. – 80x – 1 tại x = 79
b. x
17
– 12x
16
+ 12x
15
– 12x
14
+ 12x
13
- ……+ 12x
3
– 12x

2
+ 12x – 1 tại x = 11 .
Bài 19 . Chứng minh rằng :
55554 . 55559 . 55552 – 55556 . 55551 . 55558 = 66665 . 66670 . 66663 – 66667 . 66662 . 66669 .
Bài 20 . Tính bằng cách hợp lý :
1 1 116 118 5
3 4 1 5
117 119 117 119 119
× − × −
Bài 21 : Chứng tỏ rằng
a. (a – b)
2
+ (ab + 1)
2
= (a
2
+ 1)(b
2
+ 1)
b. (x – 2)(x – 3)(x + 3)(x + 2) + x
2
= (x
2
– 6)
2

c. Nếu a + c = 2b thì a
2
+ 8bc = ( 2b + c)
2

d. Nếu a + b = ab thì (a
3
+ b
3
– a
3
b
3
)
3
+ 27a
6
b
6
= 0
e. Nễu x = a – b thì x
3
+ 3abx + b
3
– a
3
= 0
Bài 22 . Nếu x = a + 5b , y = 5a – b , f = 3a – 2b , t = 2a + 3b thì ta có đẳng thức
x
2
+ y
2
= 2(f
2

+ t
2
)
Bài 23 : Biết x = y
2
– 16x
2
; y = f
2
– 4x
2
; t = x – 1 . Hãy tìm x ?
Bài 24 : Biết a + b = 1 . Hãy tính giá trò của biểu thức M = 2(a
3
+ b
3
) - 3(a
2
+ b
2
)
BÀI TẬP VỀ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
I/ Phương pháp đặt nhân tử chung
Bài 1 : Phân tích thành nhân tử bằng phương pháp đắt nhân tử chung
a. 21x
2
y – 12xy
2
+ 15xy b. x
3

+ 2
2
– 2x c. 9x
2
y
2
+ 15x
2
y

– 21xy
2

d. x
2
y
2
z
3
+ x
3
y
2
z
2
+ x
2
y
3
z

2
e. 3x(x- 1) + 7(x – 1)
2
f. 3x(x – a) + 4a (a – x)
g. x(x
2
– 4) + 4(x + 2) h. (4x(x – 2y) – 8y(2y – x) k. 3x(x + 1)
2
– 5x
2
(x + 1) + 7(x + 1)
Bài 2 . Tìm x biết
a. x
2
– 5x = 0 b. 2x(x – 4) + 5(x – 4) = 0 c. x(x – 7) = 14 – 2x
d. x
2
(x + 1) + 2x(x + 1) = 0 e. 2(2x – 3) – 2(3 – 2x) = 0
Bài 3 . Phân tích thành nhân tử
a. 40a
3
b
3
c
2
x + 12a
3
b
4
c

2
– 16a
4
b
5
cx b. ( b – 2c)(a – b) – (a + b)(2c – b)
Bài 4. Tính bằng cách hợp lý :
a. 3,71 . 34 + 66 . 3,71 b. 170 . 22,89 - 128,9 . 17
c. 1,43 . 141 – 14,3 . 4,1 + 100 . 59 d. 121
2
. 75 + 121 . 150 . 79 + 75 . 79
2

II/ Phương pháp dùng hằng đẳng thức
Bài 1 . Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. 4x
2
+ 4xy + y
2

b. 9x
4
– 30x
2
y

+ 25y
2

c. – 9a

2
+ 12ab – 4b
2

d. 0,25a
6
+ 0,25a
3
b
2
+ 1/16b
4

e. x
3
+ 6x
2
y + 12xy
2
+ 8y
3
f. 8x
3
– 36x
2
y

+ 54xy
2
– 27y

3
g.
2 2 4 4
12 4
x y 9x y
5 25
− −
h. 9x
2
– 25y
4
i. (2x _ 1)
2
– 9x
2

j. (x
2
+ 1)
2
– 4x
2
k.
2
2 2
1
4x 4x
4
 
+ −

 ÷
 
l. 16x
2
– (5x +y)
2

m. 16(x – y)
2
– 25(x
2
+ 2xy + y
2
)
n. x
3
+ 64
o. 27x
3
– 8y
3

p. (a – b)
3
+ (b – c)
3
+ (c – a)
3

q. (x – y + 4)

2
– (2x + 3y – 1)
2
r. 49(y – 4)
2
– 9y
2
– 36y – 36
s. (x + y)
3
– x
3
– y
3
Bài 2 . Tìm x biết
a. x
3
– 16x = 0
b. (2x + 1)
2
= (2 – x)
2

c. 28 – ( 2x – 3)
2
= 5
d. 12x
2
+ 12 = 36x
e. (x – 5)

2
– 9x
2
– 12x – 4 = 0
f. (x + 2)
3
+ 2x – 3)
3
= 0
Bài 3 : Tính giá trò của các biểu thức sau :
a.
2 2
2 2
43 11
36,5 27,5
−
−
b.
2 2
97 83
97.83
180
+
−
III/ Phương pháp nhóm các hạng tử
Bài 1 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. 3a
2
c
2

+ bd + 3abc + acd b. x
3
– 2x
2
– x + 2 c. 8x
2
+ 4xy – 2ax – ay
d. a
2
c – a
2
d – b
2
d + b
2
c e. a
2
x + a
2
y – 7x – 7y f. 8xy
3
– 5xyz – 24y
2
+ 15z
g. 5xy
3
+ 30x
2
z
2

– 6x
3
yz – 25y
2
z h. 15m
3
n
2
p – 28p
2
nq
3
+ 35mn
3
q
2
– 12m
2
p
3
q
k. 8abc
3
– 3a
2
b
2
c – 15a
3
b

3
+ 40a
2
b
2
c
2
m. 2x
3
+ 7x
2
– 8x – 28
Bài 2 . Nhóm các số hạng để xuất hiện các dạng của các hằng đẳng thức , rồi phân tích thành nhân tử
a. 4x
2
– 9y
2
+ 4x – 6y b. x
2
+ 3x + 3y + 2xy + y
2
c. 4x
2
– 6x - 4xy + 3y + y
2
d. x
2
– y
2
+ 2x + 1 e. 4x

2
– 4 – 4y – y
2
f. x
2
– y
2
+ 2yz – z
2
g. 3a
2
– 6ab + 3b
2
– 12c
2
h. 1 – 2a + 2bc + a
2
– b
2
– c
2
k. (x + y)
3
– x
3
– y
3

m. a
3

+ b
3
+ c
3
– 3abc n. 4a
2
b
2
– (a
2
+ b
2
– c
2
)
2
l. 81 – x
4
– 12x
3
– 36x
2
Bài 3 : Sử dụng nhận xét sau : a – b = - [(b – c) + (c – a)] để phân tích các biểu thức sau thành nhân tử
a. bc(b – c) + ac(c – a) + ab(a – b)
b. a
2
b
2
(b – a) + b
2

c
2
(c – b) + a
2
c
2
(a – c)
c. a
3
(b – c) + b
3
(c – a) + c
3
(a – b)
d. ab(a – b) - ac(a + c) + bc(2a + c – b)
e. (a – b)
3
+ (b – c)
3
+ ( c – a)
3
Bài 4 . Phân tích thành nhân tử
a. ab(a + b) + ac(a + c) + bc(b + c) + 2abc
b. ab(a + b) + ac(a + c) + bc(b + c) + 3abc
IV / Một số phương pháp khác
Bài 1 . Tách một số hạng thành nhiều hạng tử , rồi phân tích thành nhân tử
a. x
2
– 7xy + 10y
2

b. 5x
2
+ 6xy + y
2
c. x
2
– 5xy – 14y
2
d. 2x
2
– 5x + 2 e. x
2
– x – 6 e. x
2
+ 2xy – 15y
2
g. x
3
– 7x + 6 h. 4x
2
+ 4xy – 8y
2
k. x
2
– 5x + 4
Bài 2 . Thêm hoặc bớt một hạng tử rôi phân tích thành nhân tử
a. 64a
4
+ 1 d. x
4

4y
4
b. x
4
+ 324 e. x
5
+ x

+ 1
c. x
4
+ x
2
+ 1 f. x
3
+ y
3
+ z
3
– 3xyz
Bài 3 . Đặt một biểu thức là ẩn phụ , rồi phân tích thành nhân tử
a. (x
2
+ x + 1)(x
2
+ x + 2) – 12 d. (x
2
+ 8x + 7)(x + 3)(x + 5) + 15
b. (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 1 e. (x + 2)(x + 3)(x + 5)(x + 4) – 24
c. (x

2
+ 3x + 1)(x
2
+ 3x + 2) - 6 f. 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) – 3x
2
Bài 4 . Chứng minh rằng với mọi x, y, z là các số nguyên thì biểu thức sau là bình phương của một số
nguyên : M = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y
2
z
2
.
V / Một số dạng toán liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử
Bài 1 : Tìm x biết
a. 2x
3
– 50x = 0 f. x
2
– 5x + 4 = 0 m. x
3
+ 27 + (x + 3)(x-9) = 0
b. 2x
3
– 3x
2
– 8x + 12 = 0 g. x
3
+ x
2
– 4x = 4 l. x
4

– 9x
3
+ 81 x – 81 = 0
c. x
2
– 3 = 2x h. x
3
– 4x
2
+ 4x = 1 n. x
4
– 6x
3
+ 54x – 81 = 0
d. 5x
2
– 3(x + 1)
2
– 5 = 0 i. x
3
– 4x
2
- 8x – 8 = 0 p. x
4
– 4x
3
+ 16x – 16 = 0
e. x
2
+ 2x – 16 = 0 k. 4x

2
– 25 – (2x – 25)(2x + 7) = 0
Bài 2 . Chứng minh rằng với mọi x là số nguyên lẻ thì biểu thức x
3
+ 3x
2
– x - 3 luôn chia hết cho 48
Bài 3 . Chứng minh biểu thức có dạng : 2(3a – 2)
2
– 3a(3a – 2) + 1 luôn không âm với mọi giá trò của a .
Bài tập về phép chia đa thức
1/ Chia đơn thức cho đơn thức
Bài 1. Chia các đơn thức sau
a. 15a
2
b
3
c : (-3a
2
b)
c.
3 4 5 2 5
1 3
a b c : a bc
2 2
 
−
 ÷
 
e. (-3m

3
n
2
p)
2
: (27m
3
np . 2m
3
n
2
)
b. – 21xy
5
z
3
: 7xy
2
z
3
d.
5 3 2 2 3
1 11
5 a b c : a b
2 2
−
   
−
 ÷  ÷
   

f.
4 3 5 4 2
12 4
x y z : x yz
25 5
 
−
 ÷
 
Bài 2 : Làm các phép chia sau :
a. 4x
2
(y + z)
5
: 2x(y + z)
3
c. x
m+1
(y + 2)
3
:x
m-1
(y +2)
3
e. 30(x –y)
7
: 5(x –y)
5
b. – x
2

(y –1)
3
(z +2)
2
: ½ x
2
(y-1)
2

d.
5 4 3 2
12 16
(a b) a : (a b) a
25 35
   
− + − +
 ÷  ÷
   
f.
6 3
3 16
(a b) : (a b)
2 35
   
− − − −
 ÷  ÷
   
Bài 3 : Tìm x biết
a. x
5

(3x – 1)
m + 3
: x
5
(3x – 1)
m - 1
– 5
6
: 5
2
= 0 ( x ≠ 0 , x ≠ 1/3 )
b. 3a
3
(x
2
– 1)
4
: 3a
3
(x
2
– 1)
3
= 15 ( x ≠ ± 1)
c. x
3
(2x – 1)
m + 2
: x
3

(2x – 1)
m – 1
= 3
5
: 3
2
Bài 4 : Điền vào dấu * cho hợp nghóa :
a. 4y
5
: x
2
 = 1/3 x
3
y
2
b. 20x
n+2
 : x
n – 1
= 5y
n –1

Bài 5 : Tìm số tự nhiên n để phép chia sau thực hiện được :
a. 12x
4
y
n
: 16x
3
y

7
b.
6 n
3 16
(a b) : (a b)
2 35
   
− − − −
 ÷  ÷
   
c.
5 n 3 n 3 2
32 16
x a y : x a y
25 35
   
− −
 ÷  ÷
   
d. x
n + 3
y
4
: x
7
y
n
e. (x +y)
6n
(x –y)

5
: (x+y)
18
(x –y)
n
2/ Chia đa thức cho đơn thức
Bài 1 : Làm các phép chia sau
a. (21a
4
b
2
x
3
– 6a
2
b
3
x
5
+ 9a
3
b
4
x
4
) : 3a
2
bx
2
b. ( 81a

4
x
4
y
3
– 36x
5
y
4
– 18x
6
y
5
) : ( - 9x
3
y
3
)
c. (10x
3
y
2
+ 12x
4
y
3
– 6x
5
y
4

) : ( - ½ x
3
y
2
)
d.
2 3 3 4 2 2
10 15 5
x yz xy z 5xyz : xyz
3 2 3
 
− + −
 ÷
 
e. [15(x – y)
5
– 10(x – y)
4
+ 20(x – y)
3
] : 5(x – y)
3
f. [3(x + y)
7
+ 5(x + y)
5
– 10(x + y)
4
] : (x + y)
4

g. [(x
4
+ 1)
5
– 2(x
4
+ 1)
4
+ 3(x
4
+ 1)
3
] : (x
4
+ 1)
3
Bài 2 : Thực hiện phép tính sau :
a. ( 2 .3
7
– 5 . 3
4
+ 3
3
) : 3
3