Tài liệu Đề cương ôn thi tốt nghiệp 2009 môn toán doc
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.14 MB, 30 trang )
¤N TËP M«n to¸n
Biên soạn: Đỗ Cao Long
THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2009
A. CẤU TRÚC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu Nội dung kiến thức Điểm
I
Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số.
Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị
của hàm số: Chiều biến thiên của hàm số. Cực trị. Tiếp tuyến,
tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị của hàm số. Tìm trên đồ
thị những điểm có tính chất cho trước; tương giao giữa hai đồ
thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng);...
3,0
II
Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit.
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.
Tìm nguyên hàm, tính tích phân.
Bài toán tổng hợp.
3,0
III
Hình học không gian (tổng hợp): Tính diện tích xung quanh
của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể tích khối
lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay;
tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.
1,0
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh học chương trình nào thì chỉ được làm phần dành riêng cho chương
trình đó (phần 1 hoặc phần 2).
1. Theo chương trình Chuẩn:
Câu
Nội dung kiến thức
Điểm
IV.a
Phương pháp toạ độ trong trong không gian:
Xác định toạ độ của điểm, vectơ.
Mặt cầu.
Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.
Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Vị trí
tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
2,0
V.a
Số phức: Môđun của số phức, các phép toán trên số phức.
Căn bậc hai của số thực âm. Phương trình bậc hai hệ số thực
có biệt thức âm.
Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng, thể tích
khối tròn xoay.
1,0
2. Theo chương trình Nâng cao:
Câu
Nội dung kiến thức
Điểm
IV.b
Phương pháp toạ độ trong trong không gian:
Xác định toạ độ của điểm, vectơ.
Mặt cầu.
Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.
Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt
phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng. Vị trí tương đối
của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
2,0
V.b
Số phức: Môđun của số phức, các phép toán trên số phức.
Căn bậc hai của số phức. Phương trình bậc hai với hệ số
phức. Dạng lượng giác của số phức.
Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ dạng
2
ax bx c
y
px q
và
một số yếu tố liên quan.
Sự tiếp xúc của hai đường cong.
Hệ phương trình mũ và lôgarit.
Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng, thể tích
khối tròn xoay..
1,0
┼- 2Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼
Biên soạn: Đỗ Cao Long. 3 4 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn)
┼ ┼ ┼ Email: ┼
Chuyên đề I:
Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số. Các bài toán liên quan đến ứng
dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số.
1. Chiều biến thiên của hàm số.
Lý thuyết: Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số
y f x
1. Tìm tập xác định
2. Tính đạo hàm
y f x
. Giải phương trình
0fx
để
tìm các nghiệm
1,2...,
i
x i n
.
3. Sắp xếp các nghiệm
i
x
theo thứ tự tăng dần từ trái sang phải
và lập bảng biến thiên của hàm số.
4. Kết luận (hàm số đồng biến trên khoảng mà
0fx
và
ngược lại).
Ví dụ: Xét chiều biến thiên của hàm số
2
4yx
Gợi ý giải:
Đ/k xác định:
2
40x
2
4 2 2xx
Tập xác định của hàm số
2;2D
.
Đạo hàm:
2
22
4
2 4 4
x
x
y
xx
00yx
thuộc
2;2
Dấu của
y
cùng dấu với biểu thức
x
.
Ta có bảng biến thiên
x
2
0 2
y
+ 0
y
0
2
0
Căn cứ vào bảng biến thiên ta thấy, hàm số đồng biến trên khoảng
2;0
và nghịch biến rtreen khoảng
0;2
Một lưu ý quan trọng đó là nếu tập xác định là khoảng
;ab
hoặc hàm số gián đoạn tại
0
x
thì ta cần tính các giới hạn
lim
xa
y
,
lim
xb
y
và
0
lim
xx
y
,
0
lim
xx
y
để điền vào bảng biến
thiên.
Bài tập:
Câu 1: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau trên tập xác
định của chúng:
1)
53
14
31
53
y x x x
;
2)
4
1
yx
x
;
3) Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
tan sin , 0
2
x x x
b)
1 1 , 0
2
x
xx
.
Câu 2 (Đề TN 2007, Lần 2, Ban KHTN): Xét sự đồng biến, nghịch
biến của hàm số
42
82y x x
.
Câu 3 (Đề TN 2007, Lần 2, Ban KHXH): Xét sự đồng biến, nghịch
biến của hàm số
3
31y x x
.
Đáp số: Câu 2: H/số đồng biến trên các khoảng
2;0 , 2;
H/số nghịch biến trên các khoảng
; 2 , 0;2
Câu 3: H/số đồng biến trên các khoảng
1;1
┼- 3Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼
Biên soạn: Đỗ Cao Long. 5 6 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn)
┼ ┼ ┼ Email: ┼
2. Cực trị của hàm số.
Lý thuyết:
- Định lý 1, định lý 2 SGK Giải tích 12.
Dạng 1: Tìm m để hàm số
,y f x m
đạt cực đại (hoặc cực tiểu)
tại
0
xx
.
Cách giải:
Tính
,y f x m
Điều kiện cần để hàm số đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại
0
xx
là
00
,0y x f x m
.
Giải phương trình này tìm được m.
Thử lại (Điều kiện đủ)
Với giá trị của m tìm được, ta tính
0
yx
.
- Nếu
0
0yx
thì hàm số đạt cực tiểu tại
0
xx
- Nếu
0
0yx
thì hàm số đạt cực đại tại
0
xx
.
Căn cứ vào yêu cầu đề để chọn giá trị của m thỏa mãn.
Kết luận.
Còn có cách khác để thử lại đó là lập bảng biến thiên để kiểm
tra xem hàm số đạt cực đại hay cực tiểu tại
0
xx
.
Ví dụ 1: Tìm m để hàm số
2
1x mx
y
xm
đạt cực đại tại
2x
.
Gợi ý giải:
Để dễ tính đạo hàm ta chia tử cho mẫu được
1
yx
xm
Đ/k xác định
0x m x m
Đạo hàm
2
11
1yx
xm
xm
2
1
21
2
y
m
Đ/k cần để hàm số đạt cực đại tại
2x
là
20y
2
2
1
1 0 2 1
2
m
m
2 1 1
2 1 3
mm
mm
Thử lại (đ/k đủ)
Ta có
23
12
10y
x m x m
3
2
xm
- Với
1m
, ta có
3
2
2 2 0
21
y
nên trường hợp này
hàm số đạt cực tiểu tại
2x
(không thỏa đề bài).
- Với
3m
ta có
3
2
2 2 0
23
y
nên trường hợp này
hàm số đạt cực đại tại
2x
(thỏa đề bài)
Kết luận: Giá trị của m phải tìm là
3m
.
Dạng 2: Chứng minh hàm số
,y f x m
luôn có cực trị với mọi
giá trị của tham số m.
Cách giải:
Chứng tỏ
,0fy x m
luôn có nghiệm và đổi dấu khi x chạy
qua các nghiệm đó.
- Với hàm số bậc ba, chứng tỏ
y
có delta dương;
- Với hàm số bậc bốn (trùng phương) cần theo yêu cầu đề để
tìm m để
y
có 1 nghiệm, hoặc 3 nghiệm.
┼- 4Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼
Biên soạn: Đỗ Cao Long. 7 8 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn)
┼ ┼ ┼ Email: ┼
Ví dụ 2: Chứng minh rằng hàm số
3
21y x mx x
luôn có
một điểm cực đại và một điểm cực tiểu với mọi giá trị của m.
Gợi ý giải:
Tập xác định của hàm số:
D
Đạo hàm
2
3 2 2y x mx
là tam thức bậc hai có
2
2
2 4.3. 2 4 24mm
0, m
.
Suy ra
0y
có hai nghiệm phân biệt và
y
đổi dấu (có thể lập
bảng xét dấu với hai nghiệm
12
,xx
) khi x đi qua hai nghiệm đó.
Vậy hàm số luôn có một cực đại, một cực tiểu với mọi m.
Bài tập:
Câu 1 (Đề TN 2006, KPB): Cho hàm số
32
69y x x x
có đồ
thị (C). Với giá trị nào của tham số m, đường thẳng
2
y x m m
đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm
cực đại và cực tiểu của đồ thị (C).
Câu 2: Tìm m để hàm số
32
2
5
3
y x mx m x
có cực trị
tại
1x
. Khi đó hàm số đạt cực đại hay cực tiểu ? Tính cực trị
tương ứng ?
Câu 3: (TN BTTH 2006)
Chứng minh hàm số
32
1
2 3 9
3
y x mx m x
luôn có
cực trị với mọi giá trị của tham số m ?
Gợi ý – đáp số:
Câu 1: Tìm tọa độ hai cực trị của hàm số
3;0A
,
1;4B
Trung điểm hai cực trị
2;2M
. Cho
2;2M
thuộc đường
thẳng
2
y x m m
, ta có
2
22mm
. Giải tìm m.
Câu 2:
7
3
m
. Hàm số đạt cực tiểu tại
1x
.
3. Tiếp tuyến, tiệm cận của đồ thị hàm số.
Lý thuyết:
Cho hàm số
y f x
có đồ thị
C
và
00
;M x y
là điểm trên
C
. Tiếp tuyến với đồ thị
C
tại
00
;M x y
có:
- Hệ số góc:
0
k f x
- Phương trình:
00
y y k x x
Hay
0 0 0
y y f x x x
Vậy để viết được PT tiếp tuyến tại
00
;M x y
chúng ta cần đủ ba
yếu tố sau:
- Hoành độ tiếp điểm:
0
x
- Tung độ tiếp điểm:
0
y
{Nếu đề chưa cho ta phải tính bằng
cách thay
0
x
vào hàm số
00
y f x
}
- Hệ số góc
0
k f x
Dạng 1: Viết p/trình tiếp tuyến khi biết tọa độ tiếp điểm
00
;M x y
,
hoặc hoành độ
0
x
, hoặc tung độ
0
y
.
Ví dụ: Viết p/trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
42
21y x x
tại điểm
2;9M
.
Gợi ý giải:
Ta có (đạo hàm):
3
44y x x
T/tuyến tại
2;9M
có:
- Hệ số góc
3
2 4 2 4 2 24ky
- P/trình:
9 24 2yx
Hay
24 39yx
Ở đây cần biết:
┼- 5Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼
Biên soạn: Đỗ Cao Long. 9 10 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn)
┼ ┼ ┼ Email: ┼
0
2x
,
0
9y
ở tọa độ của M (đề đã cho).
Ví dụ 2: Viết p/trình tiếp tuyến với độ thị hàm số
1
1
x
y
x
a) Tại điểm có hoành độ bằng
2
.
b) Tại điểm có tung độ bằng
3
.
Gợi ý giải:
a) Ta có
2
1 1 1 1
1
x x x x
y
x
2
2
1x
Gọi tọa độ tiếp điểm là
00
;xy
. Theo giả thiết có
0
2x
.
Tung độ tiếp điểm:
0
0
0
1
2 1 1
1 2 1 3
x
y
x
Hệ số góc của tiếp tuyến tại
1
2;
2
bằng :
2
22
2
9
21
ky
P/trình tiếp tuyến:
12
2
39
yx
. Hay
21
99
yx
Với dạng này, đề cho
0
2x
, ta cần tính
0
0
0
1
1
x
y
x
và tính
đạo hàm, suy ra hệ số góc của t/tuyến
0
k y x
2y
.
b) Ta có
2
1 1 1 1
1
x x x x
y
x
2
2
1x
Gọi tọa độ tiếp điểm là
00
;xy
. Theo giả thiết có
0
3y
.
Vậy
0
0
0
1
3
1
x
y
x
00
1 3 1xx
0
2x
Hệ số góc của tiếp tuyến tại
00
; 2;3xy
là:
2
2
22
21
ky
P/trình tiếp tuyến cần tìm:
3 2 2yx
.
Hay
27yx
.
Dạng 2: Viết p/trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc của nó.
Dấu hiệu:
- Tiếp tuyến song song với đường thẳng
:0d ax by c
- Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
:0d ax by c
Cách giải:
Cần biết (rút y theo x)
:
ac
d y x
bb
nên
d
có hệ số góc
a
k
b
.
Khi t/tuyến song song với
d
thì hế số góc của t/tuyến bằng
hệ số góc của
d
và bằng
a
kk
b
.
Khi t/tuyến vuông góc với
d
thì hế số góc
k
của t/tuyến và
hệ số góc
k
của
d
thỏa mãn
.1kk
.1
a
k
b
Lời giải (Các bước):
Tính đạo hàm hàm số
y f x
Tính hệ số góc của tiếp tuyến
k
(theo các dấu hiệu trên)
Gọi
00
;xy
là tọa độ tiếp điểm
Hệ số góc của t/tuyến
0
k y x
.
┼- 6Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼
Biên soạn: Đỗ Cao Long. 11 12 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn)
┼ ┼ ┼ Email: ┼
- Giải ph/trình này tìm được
0
x
- Thay vào
00
y f x
để tính tung độ tiếp điểm
Viết p/trình t/tuyến.
Ví dụ 3: Viết p/trình t/tuyến với đồ thị hàm số
2
1
x
y
x
, biết:
a) Hệ số góc của t/tuyến bằng
2
.
b) T/tuyến song song với đường thẳng
1
:
2
d y x
.
c) T/tuyến vuông góc với đường thẳng
9
:1
2
yx
Gợi ý giải:
a) Ta có
22
2 1 2
2
11
xx
y
xx
Gọi
00
;xy
là tọa độ tiếp điểm, ta có hệ số góc tiếp tuyến tại
00
;xy
bằng
0
2
0
2
1
yx
x
Theo giải thiết ta có
0
2yx
2
0
2
2
1x
2
0
11x
00
00
1 1 2
1 1 0
xx
xx
Với
0
2x
, ta có
0
0
0
2
2.2
4
1 2 1
x
y
x
Tr/hợp này ta có p/trình t/tuyến tại
2;4
là
4 2 2yx
hay
28yx
.
Với
0
0x
, ta có
0
0
0
2
2.0
0
1 0 1
x
y
x
.
Tr/hợp này ta có p/trình t/tuyến tại
0;0
là
0 2 0yx
hay
2yx
.
Kết luận: Vậy có hai t/tuyến thỏa đề bài có p/trình là
28yx
;
2yx
Lưu ý: Hệ số góc của t/tuyến
0
2k y x
(đề cho).
b) T/tuyến song song với
d
nên hệ số góc của t/tuyến bằng hệ số
góc của
d
, bằng
1
2
k
.
Gọi
00
;xy
là tọa độ tiếp điểm, ta có hệ số góc tiếp tuyến tại
00
;xy
bằng
0
2
0
2
1
yx
x
Vậy
0
y x k
2
0
21
2
1x
2
0
1
1
4
x
0
0
0
0
3
1
1
2
2
1
1
1
2
2
x
x
x
x
Với
0
3
2
x
, ta có
0
0
0
3
2.
2
2
6
3
1
1
2
x
y
x
.
Tr/hợp này ta có p/trình t/tuyến tại
3
;6
2
là
13
6
22
yx
hay
1 27
24
yx
Với
0
1
2
x
, ta có
0
0
0
1
2.
2
2
2
1
1
1
2
x
y
x
.
┼- 7Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼
Biên soạn: Đỗ Cao Long. 13 14 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn)
┼ ┼ ┼ Email: ┼
Tr/hợp này ta có p/trình t/tuyến tại
1
;2
2
là
11
2
22
yx
hay
17
24
yx
Kết luận: Vậy có hai t/tuyến thỏa đề bài có p/trình là
1 27
24
yx
;
17
24
yx
c) Đường thẳng
9
:1
2
yx
có hệ số góc
9
2
k
.
Gọi k là hệ số góc của t/tuyến. Biết t/tuyến vuông góc với
nên
ta có
9
. 1 . 1
2
k k k
2
9
k
.
Đến đây làm tương tự như câu a) hoặc câu b).
Đáp số: Có hai tiếp tuyến có p/trình là
2 32
99
yx
;
28
99
yx
Bài tập:
Câu 1 (Đề TN 2006, Ban KHXH):
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
23
1
x
y
x
tại
điểm thuộc đồ thị có hoành độ
0
3x
.
Câu 2 (Đề TN 2007, Bổ túc): Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
(C) hàm số
3
32y x x
tại điểm A(2;4).
Câu 3 (Đề TN 2007, Lần 2, Phân ban):
Cho hàm số
1
2
x
y
x
, gọi đồ thị của hàm số là (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của
(C) với trục tung.
Câu 4 (Đề TN 2008, Lần 2, Phân ban):
Cho hàm số
32
1
x
y
x
, gọi đồ thị của hàm số là (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có tung độ
bằng
0
2y
.
Đáp số: Câu 1:
13
44
yx
; Câu 2:
9 14yx
Câu 3:
41
33
yx
; Câu 4:
52yx
4. Tương giao giữa hai đồ thị.
Lý thuyết:
Dạng 1: Dựa vào đồ thị hàm số
y f x
để biện luận theo m số
nghiệm của phương trình
f x m
.
Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
C
của hàm số
3
3y x x
. Dựa vào đồ thị
C
, biện luận theo m số nghiệm
của phương trình
3
3 1 0x x m
(1).
Gợi ý giải:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
C
(2 điểm)
Học sinh tự làm. Đồ thị (xem hình)
┼- 8Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼
Biên soạn: Đỗ Cao Long. 15 16 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn)
┼ ┼ ┼ Email: ┼
x
y
3
- 3
-2
-1
2
0
1
Viết lại (1) dưới dạng
(1)
3
31x x m
(2)
Đây là PT hoành độ giao điểm của đồ thị
C
của hàm số
3
3y x x
với đường thẳng
:1d y m
(song song với trục
hoành) nên số nghiệm của (2) bằng số giao điểm của
d
và
C
.
Dựa vào đồ thị ta có kết quả biện luận sau:
* Với
1 2 1
1 2 3
mm
mm
, ta thấy
d
và
C
không có
điểm chung. Suy ra (2) vô nghiệm
* Với
1 2 1
1 2 3
mm
mm
, ta thấy
d
cắt
C
tại một điểm
và tiếp xúc tại một điểm. Suy ra (2) có hai nghiệm (một nghiệm đơn
và một nghiệm kép)
Nói đơn giản hơn là
d
và
C
có hai điểm chung nên (2) có
hai nghiệm.
* Với
1 2 1
1 2 3
mm
mm
, ta thấy
d
cắt
C
tại ba điểm
phân biệt. Suy ra (2) có 3 nghiệm phân biệt.
Kết luận:
* Với
1m
hoặc
3m
, p/trình (1) vô nghiệm.
* Với
1m
hoặc
3m
, p.trình (1) có hai nghiệm.
* Với
13m
, p/trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.
Dạng 2: Chứng tỏ đường thẳng
d
:
0ax by c
cắt đồ thị hàm
số
mx n
y f x
cx d
tại hai điểm phân biệt, hoặc không cắt
Cách giải:
Viết lại
:
ac
d y x
bb
Lập p/trình hoành độ giao điểm của
d
và
C
:
mx n a c
x
cx d b b
(1)
Quy đồng khử mẫu đưa về p/trình bậc hai dạng
2
,0f x m Ax Bx C
với
0
d
cx d x
c
Tính
2
4B AC
Đến đây cần chứng tỏ
0
với mọi m và
,
d
fm
c
0
và kết luận (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. Suy ra
d
cắt
C
tại hai điểm phân biệt.
- Tương tự, kết luận cho tr.hợp
0; 0
.
Ví dụ: (Bài 11/tr46-SGK GT12, Cơ bản) Chứng minh rằng với
mọi giá trị thực của m, đường thẳng
:2d y x m
luôn cắt
đồ thị
C
của hàm số
3
1
x
y
x
tại hai điểm phân biệt M, N.
Gợi ý – Giải:
┼- 9Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼
Biên soạn: Đỗ Cao Long. 17 18 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn)
┼ ┼ ┼ Email: ┼
P/trình hoành độ giao điểm của
d
và
C
là
3
2
1
x
xm
x
(1)
3 2 1 , 1 0x x m x x
2
2 1 3 0x m x m
,
1x
(2)
P/trình (2) là p/trình bậc hai có
2
1 4.2. 3mm
2
2
6 25 3 16m m m
0
với mọi m. (a)
Mặt khác, thay
1x
vào vế trái của (2) ta được
2
2. 1 1 3 2 0mm
với mọi m. (b)
Kết hợp (a) và (b) suy ra p/trình (2) luôn có hai nghiệm phân biệt
thỏa
1x
. Do đó (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
Vậy đ/thẳng
d
luôn cắt đồ thị
C
tại hai điểm phân biệt với mọi
giá trị của m.
Ví dụ (Bài 8.b/tr44- GT12, cơ bản) Tìm m để đồ thị
m
C
của
hàm số
32
31y x m x m
cắt trục hoành tại điểm có
hoành độ
2x
.
Phân tích bài toán:
- Nhưng điểm nằm trên trục hoành thì có tung độ
0y
.
- Vậy
m
C
cắt trục hoành tại điểm
; 2;0xy
.
- Điểm này thuộc
m
C
nên tọa độ của nó thỏa mãn p/trình
m
C
.
Lời giải:
Từ giả thiết ta suy ra
m
C
cắt trục hoành tại điểm
2;0
, thay
tọa độ điểm này vào p/trình của
m
C
ta được:
32
0 2 3 2 1mm
8 4 3 1 0mm
3 5 0m
5
3
m
Vậy
5
3
m
là giá trị cần tìm.
Bài tập:
Câu 1 (Đề TN 2008, L1, Phân ban):
Cho hàm số
32
2 3 1y x x
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2) Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình
32
2 3 1x x m
Câu 2 (Đề TN 2008, L2, KPB):
Cho hàm số
32
3y x x
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2) Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt
32
30x x m
Câu 3 (Đề TN 2006, Phân ban):
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
32
3y x x
2. Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương
trình
32
30x x m
.
3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.
5. Điểm đặc biệt của đồ thị hàm số.
Lý thuyết:
- Một số dạng bài toán: Tìm điểm trên đồ thị có tọa độ nguyên;
Ví dụ: Tìm các điểm trên đồ thị hàm số
3
1
x
y
x
có tọa độ là
những số nguyên.
Giải:
Đ/k xác định:
1 0 1xx
┼- 10Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼
Biên soạn: Đỗ Cao Long. 19 20 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn)
┼ ┼ ┼ Email: ┼
Chia tử cho mẫu ta có
4
1
1
y
x
Xét điểm
;xy
thuộc đồ thị hàm số đã cho, ta có
4
1
1
y
x
.
Với
x
ta có
4
1
1
y
x
4
1x
1x
là các
ước số nguyên của 4.
Các trường hợp xảy ra:
14x
3x
, ta có
33
0
31
y
14x
5x
, ta có
2y
1 2 1xx
, ta có
1y
1 2 3xx
, ta có
3y
1 1 0xx
, ta có
3y
1 1 2xx
, ta có
5y
Vậy có sáu điểm thuộc đồ thị hàm số có tọa độ nguyên là:
3;0
,
5;2 , 1; 1 , 3;3 , 0; 3 , 2;5
Bài tập:
Tìm các điểm trên đồ thị hàm số
22
2
x
y
x
có tọa độ là những số
nguyên.
6. Khảo sát hàm số
Sơ đồ:
Tập xác định.
Đạo hàm
y f x
Giải p/trình
0fx
Tính các giới hạn
lim
x
y
; tiệm cận với hàm hữu tỷ
ax b
y
cx d
Và
lim
d
x
c
y
để suy ra tiệm cận đứng là đ/t
a
x
c
;
lim
x
a
y
c
, suy ra tiệm cận ngang là đ/t
a
y
c
Bảng biến thiên (điền đầy đủ các thông tin, chú ý giá trị các
giới hạn đã tính)
Dựa vào bảng biến thiên suy ra:
- Các khoảng đơn điệu (đồng, nghịch biến) của hàm số;
- Cực trị của hàm số (nếu có).
Vẽ đồ thị:
- Xác định giao điểm với trục hoành: Cho
0y
, tìm x.
- Xác định giao điểm với trục tung: Cho
0x
, tìm y.
- Cho thêm một số điểm đặc biệt (Chú ý đến tính đ/xứng của đồ
thị: Hàm bậc ba đ/x qua tâm là trung điểm hai cực trị; hàm bậc
bốn (trùng phương) đ/x qua trục tung; hàm hữu tỷ đ/x qua giao
điểm 2 t/cận)
┼- 11Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼
Biên soạn: Đỗ Cao Long. 21 22 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn)
┼ ┼ ┼ Email: ┼
Chuyên đề II:
Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Lý thuyết:
Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
y f x
liên tục
trên đoạn
;ab
.
Tính đạo hàm
y f x
Giải phương trình
0fx
và tìm các nghiệm
0
x
thuộc
đoạn
;ab
(các nghiệm nằm ngoài đoạn này không lấy )
Tính
0
,,f a f b f x
So sánh các số trên và kết luận.
0
;
min min , ,
ab
f x f a f b f x
0
;
max max , ,
ab
f x f a f b f x
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
1
2
x
y
x
trên đoạn
1;3
.
Gợi ý- Giải:
Đạo hàm
2
21
2
y
x
2
2
21
0 0 4 2
2
y x x
x
Trên đoạn
1;3x
ta lấy
2x
.
Ta có
2 1 7
11
1 2 2
y
;
22
2 1 3
22
y
2 3 19
31
3 2 6
y
So sánh các số trên ta suy ra
1;3
min 2 3yy
;
1;3
7
max 1
2
yy
Bài tập
Câu 1 (Đề TN 2008, Lần 1, Ban KHTN): Tìm GTLN, GTNN của
hàm số
2cosf x x x
trên đoạn
0;
2
.
Câu 2 (Đề TN 2008, Lần 1, Ban KHXH): Tìm GTLN, GTNN của
hàm số
42
21y x x
trên đoạn
0;2
.
Câu 3 (Đề TN 2008, L2, KPB): Tìm GTLN, GTNN của hàm số
21
3
x
y
x
trên đoạn
0;2
.
Câu 4 (Đề TN 2008, L2, Ban KHTN): Tìm GTLN, GTNN của hàm
số
42
2 4 3y x x
trên đoạn
0;2
.
Câu 5 (Đề TN 2008, L2, Ban KHXH): Tìm GTLN, GTNN của hàm
số
32
2 6 1y x x
trên đoạn
1;1
.
Chuyên đề III:
Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit.
1. Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ.
Lý huyết
- Ghi nhớ các phép toán với lũy thừa, mũ. (Với
01a
)
.
x y x y
a a a
;
.
yx
x x y y
a a a
x
xy
y
a
a
a
;
1
x
x
a
a
.
Ghi nhớ công thức khử cơ số:
f x g x
a a f x g x
10
fx
a f x
;
┼- 12Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT năm 2009, môn Toán ┼
Biên soạn: Đỗ Cao Long. 23 24 Tel: 01236012220. Nick: longdocao (@yahoo.com.vn)
┼ ┼ ┼ Email: ┼
log
fx
a
a c f x c
Dạng 1: Phương trình mũ bậc hai
2
. . 0
xx
ma n a p
(1)
Cách giải:
Đặt
,0
x
t a t
, khi đó
2
22xx
t a a
.
Ta có p/trình
2
. . 0, 0mt nt p t
(2)
Giải p/trình (2), tìm nghiệm
0t
Giải p/trình
log
x
a
a t x t
Kết luận, nghiệm của (1)
Ví dụ: Giải các phương trình sau
1)
21
3 4.3 1 0
xx
2)
2. 3 2 2 2 1 1 0
xx
Lời giải :
1)
21
3 4.3 1 0
xx
2
3.3 4.3 1 0
xx
Đặt
3 , 0
x
tt
, khi đó
22
3
x
t
.
Ta có p/trình
2
3 4 1 0tt
,
0t
Giải p/trình này được
1
1;
3
tt
(thỏa mãn đ/k
0t
)
Với
1t
, ta có
0
3 1 3 3 0
xx
x
- Với
1
3
t
, ta có
1
1
3 3 3 1
3
xx
x
Vậy p/trình đã cho có hai nghiệm
0; 1xx
Chú ý:
2 1 2 1 2
3 3 .3 3.3
x x x
2) Để ý
2
2 1 2 2 2 1 3 2 2
Đặt
21
x
t
,
0t
,
Khi đó
2
2
2
3 2 2 2 1 2 1
x
xx
t
P/trình đã cho trở thành
2
2 1 0tt
,
0t
Giải p/trình này ta được
1t
(nhận);
1
0
2
t
(loại)
Với
1t
, ta có
2 1 1 0
x
x
Vậy p/trình đã cho có nghiệm duy nhất
0x
.
Dạng 2:
. . 0
xx
ma n a p
hay
.0
x
x
n
m a p
a
Cách giải:
Đặt
,0
x
t a t
, khi đó
11
x
x
a
t
a
Thay vào p/trình đã cho, giải tìm nghiệm
0t
. Rồi tìm x.
Kết luận.
Ví dụ : Giải các phương trình sau
1)
1
6 6 5 0
xx
2)
1
1
1
5 26 0
5
x
x
Lời giải:
1) Ta có
1
6 6 5 0
xx
6 6.6 5 0
xx
Đặt
6
x
t
,
0t
ta có
11
6
6
x
x
t
Ta có p/trình
1
6. 5 0t
t
,
0t
2
5 6 0tt
.
